第八章 实数 单元测试 2025-2026学年人教版数学 七年级下册

**基本信息** 本单元卷聚焦实数章节，通过基础巩固、能力提升、创新应用三级梯度设计，融合数学文化（祖冲之圆周率）、实际应用（观测距离计算）及新定义（虚数单位）题型，适配初中数学第八章单元复习，有效培养抽象能力、运算能力与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|平方根性质、无理数概念、数轴表示|基础概念辨析，如无理数与有理数区分| |填空题|5/15|平方根运算、同类项与平方根综合|简洁考查运算能力，如2022平方根关系计算| |解答题|8/75|实数运算、规律探究、实际应用、数学文化、虚数新定义、几何与实数综合|分层设计，含阅读材料（虚数）、实际问题（细胞体积）、数学文化（祖冲之圆周率比较），培养推理意识与应用意识|

第八章测试卷 （时间：100分钟　分值：120分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．若，则x与y的关系一定是（　　）． A．x－y=0 B．xy=0 C．x+y=0 D．xy=－1 2．若一个正数a的平方根是2x－7与2－x，则a的值是（　　）． A．5 B．3 C．－3 D．9 3．有两个正整数，一个大于，一个大于，则这两数之和的最小值是（　　）． A．6 B．7 C．8 D．9 4．下列说法正确的是（　　）． A．无限小数都是无理数 B．无理数都是无限小数 C．有理数都是有限小数 D．两个无理数的和、差、积、商仍是无理数 5．如图，A，B，C，D是数轴上的四个点，这四个点中最适合表示的是（　　）． A．点A B．点B C．点C D．点D 6．如图，在数轴上，点A表示，点B表示5.1，则A，B两点之间表示整数的点共有（　　）． A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 7．若式子，则等于（　　）． A．－1 B．1 C． D． 8．如果，，那么约等于（　　）． A．28.72 B．0.287 2 C．13.33 D．0.133 3 9．如图，面积为3的正方形ABCD的顶点A在数轴上，以点A为圆心，AB的长为半径画弧交数轴正半轴于点E，若点E表示的数为2，则点A表示的数是（　　）． A．－2 B． C． D． 10．已知|a|＝5，＝7，且|a＋b|＝a＋b，则a－b的值为（　　）． A．2或12 B．2或－12 C．－2或12 D．－2或－12 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．若a，b分别为2 022的两个平方根，则a＋b－ab＝________． 12．若与是同类项，则的平方根是________． 13．计算：________． 14．我国古代数学家张衡将圆周率取值为祖冲之给出圆周率的一种分数形式的近似值为．比较大小：_______（填“>”或“<”）． 15．若的平方根等于，的立方根等于，则________． 三、解答题（本大题共8小题，共75分） 16．（6分）已知＝0，求实数a，b的值，并求出的整数部分和小数部分． 17．（6分）先观察下列等式，再回答下面的问题： ①＝1＋－＝； ②＝1＋－＝； ③＝1＋－＝． （1）请你根据上面三个等式提供的信息，猜想的结果，并验证； （2）请你按照上面各等式中反映的规律，直接写出用n（n为正整数）的式子表示的等式． 18．（8分）阅读下面的文字，解答问题． 现规定：分别用[x]和‹x›表示实数x的整数部分和小数部分，如实数3.14的整数部分是[3.14]＝3，小数部分是‹3.14›＝0.14；实数的整数部分是[]＝2，小数部分是无限不循环小数，无法写完整，但是把它的整数部分减去，就等于它的小数部分，即－2就是的小数部分，所以‹›＝－2． （1）[]＝____________，‹›＝___________；[]＝_________，‹›＝_________． （2）已知‹›＝a，[]＝b，求a＋b－的立方根． 19．（10分）“欲穷千里目，更上一层楼”，说的是登得高看得远．如图(示意图)，若观测点的高度为h，观测者视线能达到的最远距离为d，则d≈，其中R是地球半径，约等于6 400km．小丽站在海边一块岩石上，眼睛离海平面的高度h为20 m，她观测到远处一艘船刚露出海平面，求此时d的值． 20．（10分）某种植物细胞可以近似看作棱长为1的正方体（如图），当这样的一个细胞体积增大1 倍时，它的“棱长”是多少？ 21．（10分）（1）已知的平方根是±2，2x＋y＋1的算术平方根是5，求2x－3y＋18的立方根． （2）已知A＝是a＋b＋3的算术平方根，B＝是a＋2b的立方根，求B－A的立方根． （3）已知与的值互为相反数，求1－的值． 22．（12分）阅读材料： 定义：如果一个数的平方等于－1，记作i2＝－1，那么这个i就叫作虚数单位，虚数与学过的实数合在一起叫作复数，一个复数可以表示成a＋bi（a，b均为实数）的形式，其中a叫作它的实部，b叫作它的虚部． 例如计算：5＋i＋3－4i＝（5＋3）＋（i－4i）＝8－3i． 根据上述材料．解决下列问题： （1）填空：i3＝__________，i4＝________； （2）计算：（2＋i）2； （3）将化为a＋bi（a，b均为实数）的形式（即化为分母中不含i的形式）． 23．（13分）如图，在4×4的小正方形组成的网格中有一个阴影部分（阴影部分也是正方形），每个小正方形的边长为1，点A 表示的数为1. 【计算】（1）图中正方形ABCD的面积为多少？ 它的边长为多少？边长的值在哪两个连续的整数之间？ 【探究】（2）若正方形ABCD的边长的值的整数部分为x，小数部分为y，求(y－) x的值． 【推理】（3）若正方形ABCD 从当前状态沿数轴正方向翻滚，当点B翻滚到与数轴上的点P重合时，记为第一次翻滚，如图，当点C 翻滚到数轴上时，记为第二次翻滚，以此类推． ①请直接回答：点P表示的数为多少？ ②是否存在正整数n使得该正方形n次翻滚后，其顶点A，B，C，D中的某个点与表示2 025的点重合？请说明理由． 参考答案 1．【答案】C 【解析】因为， 所以， 所以， 即． 2．【答案】D 【解析】因为一个正数a的平方根是2x－7与2－x， 所以， 所以， 所以． 3．【答案】B 【解析】因为，，， 所以， 所以大于的最小正整数是4． 因为，，， 所以， 所以大于的最小正整数是3． 所以这两数之和的最小值是7． 4．【答案】B 【解析】选项A，无限循环小数属于有理数，故该选项错误，不符合题意； 选项B，无理数都是无限小数，故该选项正确，符合题意； 选项C，有理数还可以是无限循环小数，故该选项错误，不符合题意； 选项D，如，这两个无理数的和是有理数，故该选项错误，不符合题意． 5．【答案】D 【解析】因为，，， 所以， 所以最适合表示的是点D． 6．【答案】C 【解析】因为1＜＜2，5＜5.1＜6， 所以在和5.1之间的整数有2，3，4，5． 所以A，B两点之间表示整数的点共有4个． 7．【答案】A 【解析】由题意，得，， 解得，， 所以． 8．【答案】C 【解析】． 9．【答案】D 【解析】因为正方形ABCD的面积为3， 所以． 由作图可知， 所以点A表示的数是． 10．【答案】D 【解析】因为|a|＝5， 所以a＝±5． 因为＝7， 所以|b|＝7． 所以b＝±7． 因为|a＋b|＝a＋b， 所以a＋b＞0． 所以a＝5，b＝7或a＝－5，b＝7． 当a＝5，b＝7时，a－b＝5－7＝－2； 当a＝－5，b＝7时，a－b＝－5－7＝－12． 综上所述，a－b的值为－2或－12． 11．【答案】2 022 【解析】因为a，b分别为2 022的两个平方根， 所以a＝－b，＝2 022． 所以a＋b＝0，ab＝－＝－2 022． 所以a＋b－ab＝0－(－2 022)＝2 022． 12．【答案】 【解析】因为与是同类项， 所以，， 解得，， 所以， 所以的平方根是． 13．【答案】 【解析】． 14．【答案】 【解析】因为，， 而， 所以， 所以． 15．【答案】1或0或1 【解析】因为实数的平方根等于， 所以． 因为实数的立方根等于， 所以或或， 所以或或． 16．【答案】解：因为＝0， 所以＝0，且≠0． 因为≠0， 所以a≠－7． 因为＝0，且≥0，|－49|≥0， 所以＝0，|－49|＝0． 所以3a－b＝0，－49＝0． 因为－49＝0，a≠－7， 所以a＝7． 又因为3a－b＝0， 所以b＝21． 因为16＜21＜25， 所以4＜＜5． 所以的整数部分是4． 所以的小数部分是－4． 17．【答案】解：（1）＝1＋－＝． 验证： ＝ ＝ ＝ ＝． （2）＝1＋－＝1＋（n为正整数）． 18．【答案】解：（1）因为1＜＜2， 所以的整数部分为1，小数部分为－1， 即[]＝1，‹ ›＝－1． 因为3＜＜4， 所以的整数部分为3，小数部分为－3， 即[]＝3，‹ ›＝－3． 故答案为1， －1，3， －3． （2）因为的整数部分是2， 的整数部分是10， 所以‹›＝a＝－2，[ ]＝b＝10， 所以a＋b－＝－2＋10－＝8． 又因为8的立方根为2， 所以a＋b－的立方根是2． 19．【答案】解：由R＝6 400 km，h＝0.02 km，得d≈＝＝16（km）． 答：此时d的值为16 km． 20．【答案】解：棱长为1时，正方体的体积为1×1×1＝1．、 当这样的一个细胞体积增大1倍时，此时正方体的体积为2． 设体积为2的正方体的棱长为x， 则x3＝2， 所以x＝． 答：当这样的一个细胞体积增大1倍时，它的“棱长”是． 21．【答案】解：（1）根据题意，得2x－1＝16，2x＋y＋1＝25，则2x＝17，y＝7， 所以2x－3y＋18＝17－21＋18＝14， 所以2x－3y＋18的立方根为． （2）由题意，得a－2＝2，a－2b＋3＝3， 解得a＝4，b＝2， 则A＝＝3，B＝＝2， 所以B－A＝2－3＝－1． 所以B－A的立方根为－1． （3）由已知，得3－2x＋（x＋5）＝0， 解得x＝8， 所以1－＝1－＝1－4＝－3． 22．【答案】解：（1）因为i2＝－1， 所以i3＝i2·i＝－1·i＝－i，i4＝i2·i2＝－1·（－1）＝1． 故答案为－i，1． （2）（2＋i）2＝i2＋4i＋4＝－1＋4i＋4＝3＋4i． （3）＝＝＝＝i． 23．【答案】解：正方形ABCD的面积为4×4－4××1×3＝10， 所以正方形ABCD的边长为． 因为＜＜， 所以3＜＜4， 所以边长的值在3与4之间． （2）由（1）可知，x＝3，y＝－3， 所以（y－）x＝（－3－）3＝（－3）3＝－27． （3）①点P表示的数为1＋． ②不存在．理由如下： 假设存在正整数n使得该正方形n次翻滚后，其顶点 A，B，C，D中的某个点与表示2 025的点重合，则n×＋1＝2 025， 所以n＝2 024，＝． 因为n为正整数， 所以为有理数，而为无理数， 所以上式等号不成立， 即不存在正整数n使得该正方形n次翻滚后，其顶点A，B，C，D中的某个点与表示2 025的点重合． 学科网（北京）股份有限公司 $