1.2 常用逻辑用语 课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“常用逻辑用语”专题，覆盖充分条件与必要条件、含有量词的命题两大核心考点，依据高考评价体系分析近五年真题，明确充分条件与必要条件占比60%的高频考查方向，归纳条件关系判断、命题否定等典型题型，构建系统备考框架。 课件亮点在于“真题溯源+方法提炼+素养落地”，如以2025天津卷“x=0是sin2x=0的条件”为例，用集合包含关系解析充分不必要条件判断，培养数学思维。总结向量夹角锐角需排除共线等易错点，帮助学生掌握等价转化技巧，教师可借助真题训练与方法总结，精准指导学生高效突破考点，提升高考得分率。

1.2　常用逻辑用语 返回目录 五年高考 考点1　充分条件与必要条件 1.★(2025天津,2,5分)已知x∈R,则“x=0”是“sin 2x=0”的 ( ) A.充分不必要条件　　    B.必要不充分条件 C.充要条件　　     D.既不充分也不必要条件     A     解析　由x=0⇒sin 2x=sin 0=0,则“x=0”是“sin 2x=0”的充分条件; 若sin 2x=0,则2x=kπ(k∈Z),则x= (k∈Z), 故“x=0”不是“sin 2x=0”的必要条件. 综上可知,“x=0”是“sin 2x=0”的充分不必要条件.故选A. 返回目录 2.★(2024天津,2,5分)已知a,b∈R,则“a3=b3”是“3a=3b”的 ( ) A.充分不必要条件　　    B.必要不充分条件 C.充要条件　　     D.既不充分也不必要条件     C     解析　若a3=b3,则当且仅当a=b时a3=b3成立;若3a=3b,则当且仅当a=b时3a=3b成立,所以a3= b3与3a=3b互为充要条件.故选C. 返回目录 3.★★(2024北京,5,4分)设a,b是向量,则“(a+b)·(a-b)=0”是“a=-b或a=b”的( ) A.充分不必要条件　　    B.必要不充分条件 C.充要条件　　     D.既不充分也不必要条件     B     解析　若(a+b)·(a-b)=0,则a2=b2,即|a|=|b|,但|a|=|b|推不出a=-b或a=b,如a=(1,0),b=(0,1),满 足|a|=|b|,但a≠-b,a≠b;而a=-b或a=b可推出|a|=|b|,所以“(a+b)·(a-b)=0”是“a=-b或a=b” 的必要不充分条件. 返回目录 4.★★(2024全国甲理,9,5分)设向量a=(x+1,x),b=(x,2),则( ) A.x=-3是a⊥b的必要条件 B.x=1+ 是a∥b的必要条件 C.x=0是a⊥b的充分条件 D.x=-1+ 是a∥b的充分条件     C     解析　对于A,当a⊥b时,a·b=0,所以x·(x+1)+2x=0,解得x=0或-3,即必要性不成立,故A错 误;对于C,当x=0时,a=(1,0),b=(0,2),故a·b=0,所以a⊥b,即充分性成立,故C正确; 对于B,当a∥b时,2(x+1)=x2,解得x=1± ,即必要性不成立,故B错误; 对于D,当x=-1+ 时,不满足2(x+1)=x2,所以a∥b不成立,即充分性不成立,故D错误.故选 C. 返回目录 5.★★★(2023全国甲理,7,5分)设甲:sin2α+sin2β=1,乙:sin α+cos β=0,则 ( ) A.甲是乙的充分条件但不是必要条件 B.甲是乙的必要条件但不是充分条件 C.甲是乙的充要条件 D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件     B     解析　当sin2α+sin2β=1时,sin2α=1-sin2β,即sin2α=cos2β,∴sin α=±cos β,即sin α+cos β=0或 sin α-cos β=0,故充分性不成立; 当sin α+cos β=0时,sin2α=cos2β,∴sin2α=1-sin2β,即sin2α+sin2β=1,故必要性成立.∴甲是乙 的必要条件但不是充分条件.故选B. 返回目录 6.★★★(2025北京,7,4分)已知函数f(x)的定义域为D,则“f(x)的值域为R”是“对任意 M∈R,存在x0∈D,使得|f(x0)|>M”的 ( ) A.充分不必要条件　　    B.必要不充分条件 C.充要条件　　     D.既不充分也不必要条件     A     解析　若f(x)的值域为R,则|f(x)|的值域为[0,+∞),故对于任意M∈R,都存在x0∈D,使得 |f(x0)|>M,充分性成立; 设f(x)=x2,满足对任意M∈R,都存在x0∈D,使得|f(x0)|>M,但f(x)的值域不为R,必要性不成 立,故选A. 返回目录 三年模拟 1.★(2026届浙江绍兴诊断,4)“x=π”是“sin x=0”的 ( ) A.充分不必要条件　　    B.必要不充分条件 C.充要条件　　     D.既不充分也不必要条件     A     解析　当x=π时,sin x=0,充分性成立;当sin x=0时,x=kπ,k∈Z,必要性不成立,所以“x=π” 是“sin x=0”的充分不必要条件. 返回目录 2.★(2026届山东名校联盟阶段检测,3)“a>b>0”是“a-ln b>b-ln a”的 ( ) A.充分不必要条件　　    B.必要不充分条件 C.充要条件　　      D.既不充分也不必要条件     C     解析　由a-ln b>b-ln a,得a+ln a>b+ln b, 因为函数f(x)=x+ln x在(0,+∞)上单调递增,所以a>b>0,即必要性成立; 当a>b>0时,由函数f(x)=x+ln x在(0,+∞)上单调递增, 得a+ln a>b+ln b,所以a-ln b>b-ln a,即充分性成立, 所以“a>b>0”是“a-ln b>b-ln a”的充要条件.故选C. 返回目录 3.★(2025届福建泉州考前模拟(一),2)设A={x|1≤2x≤4},B={x|x2≤ax},若x∈A是x∈B的 充分条件,则 ( ) A.0<a<2　　    B.1<a<2　　    C.a=2　　    D.a≥2     D     解析　由题意,得A=[0,2],因为x∈A是x∈B的充分条件, 所以A⊆B,即∀x∈[0,2],x2-ax≤0, 已知二次函数y=x2-ax=x(x-a)的图象开口向上,与x轴交于点(0,0),(a,0), 仅当a≥2时满足∀x∈[0,2],x2-ax≤0. 故选D. 返回目录 4.★★(2026届河北衡水四调,5)记向量a=(1,2),b=(0,1),设甲:向量a与向量a+xb的夹角为 锐角,乙:x>- ,则甲是乙的 ( ) A.充分不必要条件　　    B.必要不充分条件 C.充要条件　　     D.既不充分也不必要条件     A     解析　由题意得a+xb=(1,2+x),若a与a+xb的夹角为锐角,则a·(a+xb)=1+2(2+x)>0,且1×(2 +x)-1×2≠0,即2x+5>0且x≠0,解得x>- ,且x≠0,因为 ⫋ ,所以 甲是乙的充分不必要条件.故选A. 返回目录 5.★★(2026届安徽合肥一中质量测评,2)已知m∈R,p:3m2-4m+1≤0,q:函数f(x)= x3-3mx2 +1在区间(2,6)上不单调,则p是q的 ( ) A.充分不必要条件　　    B.必要不充分条件 C.充要条件　　     D.既不充分也不必要条件     D     解析　由3m2-4m+1≤0,得 ≤m≤1;f '(x)=x2-2·3mx=x(x-2·3m), 要使函数f(x)在区间(2,6)上不单调,则有2<2·3m<6,解得0<m<1, 所以p是q的既不充分也不必要条件.故选D. 返回目录 6.★★(2025届河北秦皇岛一模,2)已知λ>0,集合A={x|x2-5x-6<0},B={x|(x-λ)(x-2λ)<0},若x ∈A是x∈B的必要不充分条件,则λ的取值范围为 ( ) A.(0,3)　　    B.(0,3]　　    C.(0,2)　　    D.(0,2]     B     解析    A={x|x2-5x-6<0}={x|-1<x<6},B={x|(x-λ)(x-2λ)<0}={x|λ<x<2λ},因为x∈A是x∈B的 必要不充分条件,所以B⫋A,可得 等号不同时成立,结合λ>0,解得0<λ≤3,所以λ的 取值范围为(0,3],故选B. 易错警示　求解参数取值范围时应注意:(1)对区间端点值的处理;(2)条件的等价变形. 返回目录 7.★★(2026届浙江学军中学练习,4)设{an}是等差数列,其前n项和为Sn,则“S1+S3>2S2” 是“{an}为递增数列”的 ( ) A.充分而不必要条件　　    B.必要而不充分条件 C.充分必要条件　　    D.既不充分也不必要条件     C     解析　设{an}的公差为d,由S1+S3>2S2得a1+a1+a2+a3>2(a1+a2)⇒a3>a2,即d>0,所以{an}为递 增数列,充分性成立.由{an}为递增数列得a3>a2>a1,所以S1+S3=a1+a1+a2+a3>a1+a1+a2+a2= 2(a1+a2)=2S2,必要性成立. 所以“S1+S3>2S2”是“{an}为递增数列”的充分必要条件.故选C. 返回目录 8.★★(2025届江西萍乡三模,5)记x,y为实数,设甲:y>x>0;乙:x-cos y<y-cos x,则甲是乙的  ( ) A.充分不必要条件　　    B.必要不充分条件 C.充要条件　　     D.既不充分也不必要条件     A     解析　构造函数f(x)=x+cos x,则f '(x)=1-sin x≥0,故f(x)在R上单调递增, 由y>x>0,得f(y)>f(x),即y+cos y>x+cos x,即x-cos y<y-cos x,故充分性成立; 由x-cos y<y-cos x,得x+cos x<y+cos y,即f(x)<f(y),可得y>x,故必要性不成立. 综上,甲是乙的充分不必要条件.故选A. 返回目录 9.★★(2025届广西桂林联考,6)“∃x∈R,使ax2-4x-3>0”的一个充分不必要条件是  ( ) A.a≤0　　    B.a<-  C.a≥1　　    D.a<- 或a≥0     C     返回目录 解析　当a=0时,-4x-3>0有解; 当a>0时,二次函数y=ax2-4x-3的图象开口向上,所以ax2-4x-3>0有解; 当a<0时,若ax2-4x-3>0有解,则 解得- <a<0. 综上,可得a>- . 选项C满足[1,+∞)⫋ ,所以“∃x∈R,使ax2-4x-3>0”的一个充分不必要条件是 a≥1.故选C. 返回目录 方法总结　解决充分、必要条件相关问题:一是注意问题的形式,看清“p是q的……” 还是“p的……是q”,如果是第二种形式,要先转化为第一种形式,再判断;二是灵活利 用各种方法判断两个条件之间的关系,充分、必要条件的判断常通过“⇒”来进行,即 转化为两个命题关系的判断,当较难判断时,可借助两个集合之间的关系来判断. 返回目录 10.★★(2026届广东中山纪念中学月考,13)设命题p:0< <a,命题q: ∈N且x∈N*,若 p是q的必要条件,则a的取值范围是_______________.     (26,+∞)     解析　由x∈N*时, ∈N,知x+1为26的正因数,即为1,2,13,26,当x+1=1时,x=0,不合题 意,舍去;当x+1=2时,x=1;当x+1=13时,x=12;当x+1=26时,x=25,故命题q:x∈{1,12,25}; 由于p是q的必要条件,故{1,12,25}⊆ , 只需满足 <a,即a>26,即a的取值范围是(26,+∞). 返回目录 考点2　含有量词的命题 五年高考 1.★(2024新课标Ⅱ,2,5分)已知命题 p:∀x∈R,|x+1|>1;命题q:∃x>0,x3=x.则( ) A.p和q都是真命题 B.¬p和q都是真命题 C.p和¬q都是真命题 D.¬p和¬q都是真命题     B     返回目录 解析　解法一　通解     由|x+1|>1得x+1>1或x+1<-1,即x>0或x<-2,因此命题p是假命题,¬p是真命题; 由x3=x可得x(x-1)(x+1)=0,即x=0,-1或1,因此∃x=1>0,使得x3=x,命题q是真命题,故选B. 解法二　特殊值法     对于p,取x=-1,则有|x+1|=0<1,故p是假命题,¬p是真命题; 对于q,取x=1,则有x3=13=1=x,故q是真命题,¬q是假命题. 综上,¬p和q都是真命题. 返回目录 2.★(2016浙江理,4,5分)命题“∀x∈R,∃n∈N*,使得n≥x2”的否定形式是 ( ) A.∀x∈R,∃n∈N*,使得n<x2 B.∀x∈R,∀n∈N*,使得n<x2 C.∃x∈R,∃n∈N*,使得n<x2 D.∃x∈R,∀n∈N*,使得n<x2     D     解析　先将条件中的全称量词变为存在量词,存在量词变为全称量词,再否定结论.故选 D. 返回目录 3.★(2015课标Ⅰ,3,5分)设命题p:∃n∈N,n2>2n,则¬p为 ( ) A.∀n∈N,n2>2n　　     B.∃n∈N,n2≤2n C.∀n∈N,n2≤2n　　    D.∃n∈N,n2=2n     C     解析　根据存在量词命题的否定为全称量词命题,知¬p:∀n∈N,n2≤2n,故选C. 返回目录 三年模拟 1.★(2025届天津和平三模,2)命题“∃x∈N,x2>1”的否定是 ( ) A.∀x∉N,x2<1　　     B.∀x∈N,x2<1 C.∀x∉N,x2≤1　　    D.∀x∈N,x2≤1     D     解析　命题“∃x∈N,x2>1”的否定是“∀x∈N,x2≤1”【改变量词,否定结论】,故选 D. 返回目录 2.★(2026届江西景德镇联考,2)下列命题既是真命题又是存在量词命题的是 ( ) A.∀x∈Q, ∈Q B.∃x∈(0,1),x2= -1 C.菱形的对角线互相垂直平分 D.在40到50之间至少有两个质数     D     返回目录 解析　对于A,命题“∀x∈Q, ∈Q”为全称量词命题,所以A不符合题意; 对于B,因为 -1>1,所以方程x2= -1在x∈(0,1)无解, 所以命题“∃x∈(0,1),x2= -1”为假命题,所以B不符合题意; 对于C,命题“菱形的对角线互相垂直平分”,即所有菱形的对角线互相垂直平分,所以 命题为全称量词命题,所以C不符合题意; 对于D,在40到50之间有三个质数,分别为41,43,47,故在40到50之间至少有两个质数,为 存在量词命题且为真命题,所以D符合题意.故选D. 返回目录 3.★(2025届江西师大附中三模,2)已知命题p:∀α∈R,sin =cos ,则下列结论 正确的是 ( ) A.p为真命题,且命题p的否定为∀α∈R,sin ≠cos  B.p为真命题,且命题p的否定为∃α∈R,sin ≠cos  C.p为假命题,且命题p的否定为∀α∈R,sin ≠cos  D.p为假命题,且命题p的否定为∃α∈R,sin ≠cos      B     返回目录 解析    sin =sin =cos ,所以∀α∈R,sin =cos 都成 立,所以命题p为真命题. 命题p的否定为∃α∈R,sin ≠cos .故选B. 返回目录 4.★★(2026届广东广州花都调研,3)已知命题p:∃x∈R,sin x+cos x=2;命题q:∀x∈R,e|x| ≥1,则 ( ) A.p真q真　　    B.p真q假　　     C.p假q真　　    D.p假q假     C     解析    ∀x∈R,sin x+cos x= sin ≤ ,所以命题p为假命题; ∀x∈R,都有e|x|≥e0=1,命题q为真命题.故选C. 返回目录 5.★★(2026届山东聊城调研,3)若∃x∈{x|-3≤x≤3},使得x-4a-13<0成立,则实数a的取 值范围是( ) A.(-∞,3)　　     B.(-4,+∞) C.(-3,+∞)　　    D.(-∞,-4)     B     解析    ∃x∈{x|-3≤x≤3},使得x-4a-13<0成立,则(x-4a-13)min=-3-4a-13<0,解得a>-4,则实 数a的取值范围是(-4,+∞).故选B. 返回目录 6.★★(2026届江苏扬州七校联盟联考,6)已知命题p:“∃x∈R,ax2+2ax-4≥0”为假命 题,则a的取值范围是 ( ) A.(-4,0)　　     B.(-4,0] C.(-∞,-4)∪(0,+∞)　　     D.(-∞,-4)∪[0,+∞)     B     返回目录 解析　由命题“∃x∈R,ax2+2ax-4≥0”为假命题,可得∀x∈R,ax2+2ax-4<0为真命题, 当a=0时,不等式显然成立. 当a≠0时,由题可得函数y=ax2+2ax-4的图象恒在x轴下方, 则 解得-4<a<0. 综上,a的取值范围是(-4,0].故选B. 返回目录 7.★★★(2025届西南名校联盟“3+3+3”备考诊断性联考(四),6)已知命题:“∃x∈(0, +∞),2x2-ax+1<0”为假命题,则实数a的取值范围是 ( ) A.(-∞,2 ]　　    B.(-∞,2] C.(-∞,1]　　     D.      A     返回目录 解析　由命题“∃x∈(0,+∞),2x2-ax+1<0”为假命题,可知其否定“∀x∈(0,+∞),2x2-ax +1≥0”为真命题. 由2x2-ax+1≥0,得ax≤2x2+1, 因为x>0,所以不等式两边同时除以x,得a≤2x+ 在(0,+∞)上恒成立. 2x+ ≥2 =2 , 当且仅当2x= ,即x= 时等号成立. 因为a≤2x+ 在(0,+∞)上恒成立,所以a≤2 .故选A. 返回目录 8.★★★(2025届贵州毕节第四次适应性考试,5)给出下列四个命题: ①∀x∈R,ln(2x+1)>0; ②∃x∈Q,x2=2; ③∀x∈(0,+∞),ln x≤x-1; ④将函数f(x)= cos 2x的图象向左平移 个单位长度,得到g(x)=cos 2x-sin 2x的图象. 其中真命题的个数为 ( ) A.1　　    B.2　　    C.3　　    D.4     B     返回目录 解析　因为2x>0,所以2x+1>1. 因为对数函数y=ln t在(0,+∞)上单调递增,所以ln(2x+1)>ln 1=0,故命题①为真命题. 若x2=2,则x=± , 和- 都是无理数,不存在有理数x,使得x2=2,所以命题②为假命题. 令f(x)=ln x-x+1,x∈(0,+∞),对f(x)求导,可得f '(x)= -1= . 令f '(x)=0,即 =0,解得x=1. 当0<x<1时, f '(x)>0, f(x)单调递增; 当x>1时, f '(x)<0, f(x)单调递减, 则f(x)在x=1处取得极大值,也是最大值, f(1)=ln 1-1+1=0,所以f(x)≤0,即ln x≤x-1,故命题 返回目录 ③为真命题. 将函数f(x)= cos 2x的图象向左平移 个单位长度,得到y= cos  = cos =- sin 2x的图象. 而g(x)=cos 2x-sin 2x =   =   = cos ≠- sin 2x, 返回目录 所以命题④为假命题. 综上,真命题有①③,共2个. 故选B. 返回目录 9.★★★(2026届黑龙江新时代教育联合体期中,8)若存在正数x,使3x(3x-a)<1成立,则实 数a的取值范围是 ( ) A.[-3,+∞)　　    B.[-1,+∞) C.(-1,+∞)　　    D.(0,+∞)     C     解析　存在正数x,使3x(3x-a)<1成立⇔3x-a< 成立⇔a>3x- 成立,令f(x)=3x-  ,x>0,显然f(x)=3x- 在(0,+∞)上单调递增,则f(x)>f(0)=-1,即f(x)的值域为(-1,+∞), 依题意有a>-1,所以实数a的取值范围是(-1,+∞).故选C. 返回目录 $