河北石家庄市第三十八中学2025-2026学年高二下学期5月月考数学试题

**基本信息** 以集合、概率、函数等知识为载体，融入DeepSeek应用调查、新能源汽车充电桩等时代情境，通过选择、填空及综合解答题，考查数学抽象、数据分析与逻辑推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|集合运算、正态分布、基本不等式|第6题结合青少年夏令营选拔，考查正态分布实际应用| |多选题|3/18|命题真假判断、散点图与相关系数|第10题通过散点图辨析相关系数大小，强化直观想象| |填空题|3/15|命题否定、指数对数运算|第14题考查分段函数单调性，强调分类讨论思想| |解答题|5/27|独立性检验、回归方程、导数综合|第15题以DeepSeek应用调查为背景设计独立性检验，第18题结合新能源汽车数据考查相关系数与回归预测，体现数学建模与数据分析素养|

《2025-2026学年度高中数学5月月考试卷卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C A A A B D D ABD BD 题号 11 答案 ABD 1．A 【分析】根据集合的交集运算即可. 【详解】因为集合，， 所以. 故选：A. 2．C 【分析】根据已知分布列，结合互斥事件的概率加法公式求解即可得出答案. 【详解】由已知可得，. 故选：C. 3．A 【分析】首先判断函数的单调性，再根据零点存在性定理判断即可. 【详解】的定义域为， 又与在上单调递增， 所以在上单调递增， 又，， 所以， 根据函数零点存在性定理可得函数的零点所在的大致区间为， 故选：A. 4．A 【分析】解不等式，根据集合的包含关系和充分性、必要性的概念求解即可. 【详解】由可得，解得， 由解得或， 因为集合是集合的真子集， 即由可推出或，由或，推不出， 所以“”是“”的充分而不必要条件， 故选：A 5．A 【分析】根据幂函数的定义与性质列式求解. 【详解】由题意可得：，解得. 故选：A. 6．B 【分析】由题知，根据正态分布对称性可得，据此估计出，然后利用对称性估计参加夏令营的人数即可. 【详解】， 则，， ， 则参加夏令营的人数约为人. 故选：B. 7．D 【分析】由基本不等式求最小值． 【详解】因为 所以，当且仅当即时等号成立， 故选：D． 8．D 【分析】由幂函数与指数函数的单调性比较指数幂的大小即可. 【详解】对于，由于在单调递增，所以， 对于，由于单调递减，故. 所以. 故选：D 9．ABD 【分析】令判断A；令判断B；由不等式性质判断C；令，且判断D. 【详解】A：当时，则有，错； B：当，则有，错； C：由不等式性质，且，则，对； D：当，且时，则有，错. 故选：ABD 10．BD 【分析】根据散点图分析数据的正（负）相关及相关性的强弱，即可判断相关系数的特征. 【详解】由图形特征可知，对应的样本数据都是负相关，所以，都是负数， 又对应的样本数据比对应的样本数据的线性相关程度更强，所以， ，对应的样本数据都是正相关，又对应的样本数据比对应的样本数据的线性相关程度更强， 所以，所以BD正确． 故选：BD． 11．ABD 【分析】根据函数解析式可得函数在和分别单调递减，可知A错误； 再由函数奇偶性定义可判断B错误，C正确，当时，可知D错误. 【详解】对于A，易知的定义域为， 取，，，， 所以在定义域内不为减函数，即A为假命题； 对于B，易知函数的对称轴为，不是轴，因此不是偶函数，即B为假命题； 对于C，函数的定义域为，定义域关于原点对称， 设，则， 所以为奇函数，可知C为真命题； 对于D，当时，函数为常函数，即可得D为假命题. 故选：ABD 12． 【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可． 【详解】因为特称命题的否定是全称命题， 所以命题“”的否定命题：， 故答案为． 【点睛】本题主要考查命题的否定，全称命题与特称命题的否定关系，是基础题． 13．3 【分析】结合指数及对数运算性质即可求解． 【详解】 故答案为：3. 14． 【分析】根据为上的增函数列出关于实数的不等式组即可求解. 【详解】因为函数为上的增函数， 所以，解得， 所以实数的取值范围为， 故答案为： 15．(1)，； (2)； (3)认为企业招聘人数的增减与DeepSeek的应用程度无关，理由见解析． 【分析】（1）根据列联表数据计算出，； （2）用频率估计概率，估计； （3）零假设，计算出卡方，与6.635比较后得到结论. 【详解】（1），． （2）根据统计数据，广泛应用DeepSeek的企业有160家，其中招聘人数减少的有90家， 因此用频率估计概率，估计． （3）零假设：企业招聘人数的增减与DeepSeek的应用程度无关． 因为， 所以根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立， 因此可认为企业招聘人数的增减与DeepSeek的应用程度无关． 16．(1). (2)分布列见解析，. 【分析】（1）根据排列组合知识以及古典概型的概率公式可求出结果； （2）根据题意求出的所有可能取值以及取每个值对应的概率，可得分布列，再根据数学期望公式可得数学期望. 【详解】（1）从6名男生和4名女生中，随机抽取5人组成数学兴趣小组，另5人组成物理兴趣小组，共有种， 其中数学兴趣小组中包含男生A，但不包含女生a的有种， 所以所求概率为. （2）的所有可能取值为， ，， ，， ， 所以的分布列为： 0 1 2 3 4 . 17．(1)单调递增区间为，单调递减区间为 (2)存在，实数 【分析】（1）利用求得，结合复合函数单调性同增异减求得的单调区间. （2）根据的最小值为列方程，从而求得的值. 【详解】（1）∵，∴，即， ，由， 解得，∴函数的定义域为， ∵函数在上单调递增，在上单调递减， 又∵在上为增函数， ∴函数的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）设存在实数a，使函数的最小值为0，， ∵函数的最小值为0，∴函数的最小值为1，所以①，且②， 联立①②解得：， ∴存在实数，使函数的最小值为0. 18．(1)分布列见解析 (2)0.99，与的线性相关程度较强． (3)，0.72． 【分析】（1）由题可知充电桩在3月份使用的概率为0.3，故，根据二项分布写出分布列即可； （2）根据题意先求，利用相关系数公式，代入数据求值与1比较即可； （3）由过回归方程可求，根据回归方程进行预测即可. 【详解】（1）由题可知的所有可能取值为，且， 则， ， ， ， 所以的分布列为 0 1 2 3 0.343 0.441 0.189 0.027 （2）由题可知，， 则， 因为接近于1，所以与的线性相关程度较强． （3）由题可知， 解得， 所以关于的经验回归方程为． 将代入经验回归方程，得， 又因为，所以当时，， 故预测当该市某月的新能源汽车保有量为36万辆时，充电桩的日均使用率为0.72． 19．(1) (2)单调递增区间为，单调递减区间为． (3)证明见解析 【分析】（1）对已知函数求导得到，求出函数在处的导数值即为切线斜率，再根据点在切线上，得到切线方程；（2）求导得到，令得到，根据导函数的定义域结合符号讨论，得出的单调区间；（3）把已知函数代入不等式，根据的函数性质可知函数在单调递增，由得出关于m的不等式，利用函数性质和导数判断函数的单调性，得到，由解不等式，最终证明结论. 【详解】（1）由题可知，则， 又，所以的图象在点处的切线方程为． （2）由题可知，令，可得， 当时，，当时，， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为． （3）由题可知不等式即． 因为在上单调递增， ，， 所以，使得． 当时，，即． 设，则在上，， 所以在上单调递减， 所以当时，． 当时，，即． 设，， 则． 令，，则． 令，， 则，得在上单调递增， 所以， 得在上单调递增，所以， 则，在上单调递增， 则． 由题可知，解得． 又，所以． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度高中数学5月月考试卷 第I卷（选择题） 一、单选题（共8个小题，每小题5分，共40分） 1．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．已知离散型随机变量的分布列为，则（    ） A． B． C． D．1 3．函数的零点所在大致区间是（   ） A． B． C． D． 4．设，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．已知幂函数在上单调递增，则实数m的值为（    ） A．1 B． C．1或 D．0或1 6．为推动中小学人工智能通识教育的普及与发展，某大学计划招收一批10～15岁的青少年参加暑期夏令营，共有20000名学生参加选拔测试，其测试成绩（满分120分），成绩为100分及以上者可以参加夏令营．已知参加选拔测试的学生中80分及以上的人数为3173，则估计参加夏令营的人数约为（    ） 附：，，． A．18 B．27 C．34 D．55 7．已知，且，则的最小值是（    ） A．2 B． C．4 D．8 8．已知，则（   ） A． B． C． D． 二、多选题（共3个小题，每小题6分，共18分） 9．下列命题中，不正确的有（    ） A．若，则 B．若，，则 C．若，且，则 D．若，且，则 10．对四组样本数据进行统计，获得如图所示的散点图，关于其样本相关系数的关系，正确的有（   ） A． B． C． D． 11．下列命题中的假命题是（    ） A．在定义域内为减函数 B．为偶函数 C．为奇函数 D．不是增函数就是减函数 第II卷（非选择题） 三、填空题（共3个小题，每小题5分，共15分） 12．命题“”的否定是__________. 13．计算______． 14．若函数在上是增函数，则实数k的取值范围是__________. 四、解答题（共5个小题） 15．DeepSeek是一种基于人工智能的大型语言模型，它是人们学习、工作与生活的得力助手，但也有部分人认为DeepSeek将在未来取代一部分人的工作．现对300家企业开展调查，统计DeepSeek的应用程度与一年内招聘人数是增加还是减少，得到统计数据如下表所示． DeepSeek的应用程度 招聘人数减少的企业数 招聘人数增加的企业数 合计 广泛应用 90 70 m 未广泛应用 80 140 合计 150 150 300 (1)求； (2)记广泛应用DeepSeek的企业招聘人数减少的概率为，求的估计值； (3)根据小概率值的独立性检验，能否认为企业招聘人数的增减与DeepSeek的应用程度有关？ 附：． 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 16．某班从6名男生和4名女生中，随机抽取5人组成数学兴趣小组，另5人组成物理兴趣小组． (1)求数学兴趣小组中包含男生A，但不包含女生a的概率； (2)用X表示物理兴趣小组中的女生人数，求X的分布列与数学期望． 17．已知函数. (1)若，求函数的单调区间； (2)是否存在实数a，使函数的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由. 18．2025年4月，中国新能源汽车零售渗透率突破，进入“以电为主”的新阶段，充电桩的使用率也成为关注焦点．经调查，某市今年月份的充电桩日均使用时长（时）与新能源汽车保有量（万辆）及充电桩日均使用率（，为常数）的数据如下表所示： 月份 1 2 3 4 5 6 新能源汽车保有量（万辆） 8 13 15 18 23 25 充电桩日均使用时长（时） 5 7 10 12 15 17 充电桩日均使用率 0.15 0.21 0.3 0.36 0.45 0.51 (1)若用充电桩日均使用率近似估计一个充电桩一天内被使用的概率，设该市某个充电桩在3月份的某3天中被使用的天数为，求的分布列； (2)求关于的样本相关系数，并说明线性相关程度的强弱；（精确到0.01） (3)若关于的经验回归方程为，求的值（精确到0.1），并预测当该市某月的新能源汽车保有量为36万辆时，充电桩的日均使用率为多少． 参考数据：，． 参考公式：相关系数． 19．已知函数，． (1)求的图象在点处的切线方程； (2)求的单调区间； (3)若，且不等式对任意恒成立，证明：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $