山东省枣庄市2025-2026学年高二下学期期末模拟卷数学试题

**基本信息** 聚焦高二选择性必修内容，通过温差与感冒人数关系、奥数迷调查等真实情境，结合导数极值、概率分布等综合应用，考查数学眼光、思维与语言。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|导数计算、线性回归、分布列|基础概念与简单应用，如样本中心点判断| |多选题|3/18|二项式定理、条件概率、函数极值|多维度辨析，如二项式系数和与项系数| |填空题|3/15|回归方程、数学期望、方程实根|数据处理与逻辑推理，如含误差数据的回归修正| |解答题|5/77|二项式定理、独立性检验、导数切线、概率分布、函数单调性|分层递进，如奥数迷调查结合条件概率考查数学思维，导数综合题考查逻辑推理与创新应用|

山东省枣庄市2025-2026学年高二下学期期末模拟卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 4.考试范围：人教A版选择性必修第二册（第五章）、选择性必修第三册（第六、七、八章）。 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．若，则（   ） A．0 B．9 C．12 D．18 【答案】D 【详解】在中，偶数次项系数为正，奇数次项系数为负， 所以，取， 可得， 故所求式的值为. 故选：D. 2．高二、一班李慧同学为了研究温差与本校当天新增感冒人数（人）的关系，她记录了5天的数据： 5 6 8 9 12 17 20 25 28 35 经过拟合，发现基本符合经验回归方程，则下列选项错误的是（   ） A．样本中心点为 B． C．时，残差为 D．相关系数 【答案】B 【分析】由回归直线必过样本中心可判断A项，代入样本中心点即可判断B，由残差公式可判断C项，由线性回归方程的斜率即可相关系数正负可判断D项. 【详解】对于A项，因为，， 所以样本中心点为，故A项正确； 对于B项，由回归直线必过样本中心点可得：，解得：，故B项不正确； 对于C项，由B项知，，令，则， 所以残差为，故C项正确； 对于D项，经验回归方程中，斜率，说明与正相关， 故相关系数，故D项正确. 故选：B. 3．随机变量的分布列如下表，则（   ） 0 1 A．2 B． C．1 D． 【答案】A 【分析】利用离散型随机变量分布列性质，离散型随机变量的期望和方差公式以及离散型随机变量方差的性质分析求解即可. 【详解】由题可知，解得， 则，所以， 所以． 故选：A. 4．现有4名男生和2名女生排成一排照相，要求两名女生排在一起的排法总数为（    ） A．48 B．96 C．120 D．240 【答案】D 【分析】相邻元素运用捆绑法解决即可. 【详解】第一步将两名女生内部排列，第二步将两名女生看作一个整体与4名男生全排列， 即：. 故选：D. 5．已知随机变量X服从正态分布，若，，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【详解】因为X服从正态分布，所以正态曲线关于对称， 又因为，则， 且，即， 可知a与3是关于对称的，所以． 故选：C. 6．摇奖器内有10个小球，其中8个小球上标有数字2，2个小球上标有数字5，现摇出3个小球，规定所得奖金（元）为这3个小球上所标数字之和，则获得12元奖金的概率是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用古典概型的概率公式即得. 【详解】当摇出的3个小球有1个标有数字2，2个标有数字5时，， 故． 故选：A. 7．若是函数的极小值点，则的极大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，由条件可得，即可得到的值，然后代入检验，再由函数极值的求解，代入计算，即可得到结果. 【详解】由可得， 又是函数的极小值点，所以，解得或， 当时，， 当时，，此时单调递增， 当时，，此时单调递减， 即是的极大值点，不符合题意，故舍去； 当时，， 当时，，此时单调递增， 当时，，此时单调递减， 当时，，此时单调递增， 即是的极大值点，是的极小值点，符合题意， 此时， 所以的极大值为. 故选：B 8．甲箱中有2个红球，3个白球和2个黑球，乙箱中有3个红球和3个黑球，先从甲箱中随机摸出一个球放入乙箱中，再从乙箱中摸出2个球，分别用，，表示从甲箱中摸出的球是红球，白球和黑球的事件，用表示从乙箱中摸出的2个球颜色不同的事件，则下列结论错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用古典概率可求A，利用条件概率可求B，利用全概率公式可求C，利用贝叶斯公式可求D. 【详解】由题意，A正确； 若发生，则乙箱中有3个红球，3个黑球和1个白球，，B正确； ，D正确； ，C不正确. 故选：C. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9．已知的展开式中第3项与第6项的二项式系数相等，则二项式展开式中（    ） A．所有二项式系数和为128 B．所有项系数和为 C．不存在常数项 D．含项的系数为 【答案】AC 【分析】先求得，然后根据二项式系数和、所有项的系数和、项的系数等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】依题意，解得， 所以二项式系数和为，A选项正确. 由令，得所有项系数和为，B选项错误. 展开式的通项公式为， 令不合题意，所以展开式没有常数项，C选项正确. 令，所以含项的系数为，D选项错误. 故选：AC 10．实验中学开展“强国有我，筑梦前行”主题演讲比赛，共有6位男生，4位女生进入决赛.现通过抽签决定出场顺序，记事件A表示“第一位出场的是女生”，事件B表示“第二位出场的是女生”，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据题意求解概率，即可结合条件概率以及并事件的概率公式求解. 【详解】由题意可得，故C正确， ，则，故B正确，A错误， ，故D错误， 故选：BC 11．已知函数，，则下列说法正确的有（ ） A．当时，曲线在点处的切线方程为 B．对任意，在定义域内恒有两个极值点 C．若在处取得极值，则的极大值为 D．若在上的最小值为，则 【答案】ACD 【分析】A选项，当时，求切点和切线斜率，根据点斜式即可写切线方程； B选项，求导，存在只有一个极值点的情况，从而作出判断； C选项，由极值点得，借助分析单调性判断在处取得极大值，从而求出极大值； D选项，讨论在上的符号，当时，单调递增，最小值为，当时，不满足条件，即可进行判断. 【详解】对于A：当时，，所以，又因为，所以， 所以曲线在点处的切线方程为，即，故A正确； 对于B：因为， 令，得或.当时，不在定义域内，此时只有一个极值点，故B错误； 对于C：因为在处取得极值，所以，即， 所以，令，得或， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 所以在时取到极大值，极大值为，故C正确； 对于D：，因为，所以只需讨论. 当时，，所以，所以在上单调递增， 所以最小值为，成立； 当时，在单调递减，在单调递增， 所以最小值为， 令，即，因为，所以需， 设，则，所以，无解； 当时，，所以，所以在上单调递减， 所以最小值为，令， 则，验证可知不成立，综上，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题（本大题共3小题，每小题 5 分，共15分．） 12．已知一组数据的回归直线方程为，且，发现有两组数据，的误差较大，去掉这两组数据后，重新求得回归直线方程为，则当时，_____. 【答案】5 【分析】分别求出原数据和新数据的样本中心点即可 【详解】由回归直线方程过样本中心点，可将代入，得， 所以原数据的样本中心点为， 则去掉两组数据，后的新数据的 ，， 所以新数据的样本中心点为， 设新数据的回归直线方程为，将代入得， 当时，. 故答案为：5 13．一个袋中装有形状、大小完全相同的9个球，其中3个红球，6个白球，从袋中有放回地取球，每次随机取1个，直到取出3次红球即停止.记为5次之内（含5次）取到红球的个数，则的数学期望____. 【答案】 【分析】有放回抽取问题可以看作独立重复试验，求出随机变量的分布列求解即可. 【详解】由题意，随机变量的所有可能取值为0，1，2，3， 当时，可按二项分布的概率公式，求得。 ，，， 方法1：， 方法2： , 所以的数学期望. 故答案为： . 14．已知函数，若关于x的方程有3个不等实根.则实数a的取值范围为____【答案】 【分析】由题意可得，函数与直线有3个交点，数形结合求得实数a的取值范围. 【详解】当时，，则， 令，则，令，则， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 则，且当时，， 又时，，则函数图象如图，    关于x的方程有3个不等实根，即函数与直线有3个交点， 由图象可知，即实数a的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15（13分）．已知（，）. (1)若展开式的二项式系数和为128，求n的值； (2)当时，二项式的展开式中的系数为A，常数项为B，若，则求a的值： (3)当，时，求二项式的展开式中系数最大的项. 【分析】（1）根据，可求的值. （2）根据二项展开式的通项公式，求出的系数和常数项，根据可求的值. （3）设为二项展开式的第项的系数，由，确定的值，再求即可. 【详解】（1）由题意. （2）当时，展开式的通项公式为. 由，所以； 由，所以. 由，又，所以或. （3）当，时，， 其展开式的通项公式为. 其系数为. 由， . 所以二项式的展开式中第5项的系数最大，且. 16（15分）.某中学对学生钻研奥数课程的情况进行调查，将每周独立钻研奥数课程超过6小时的学生称为“奥数迷”，否则称为“非奥数迷”，从调查结果中随机抽取100人进行分析，得到数据如表所示： 奥数迷 非奥数迷 总计 男 24 36 60 女 12 28 40 总计 36 64 100 0.1 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 (1)对照列联表，根据小概率的独立性检验，是否为“奥数迷”与性别有关？ (2)现从抽取的“奥数迷”中，按性别采用分层抽样的方法抽取3人参加奥数闯关比赛，已知其中男、女学生独立闯关成功的概率分别为，在恰有两人闯关成功的条件下，求两人性别相同的概率． 参考数据与公式：，其中． 【分析】（1）作零假设，根据表中数据计算得并与作比较，然后得到结论； （2）由分层抽样得到抽取的男生和女生的人数，记“恰有两人闯关成功”为事件，“没有女生闯关成功”为事件，分别求出则，，由条件概率公式求得. . 【详解】（1）零假设：“奥数迷”与性别无关 根据表中数据计算得 根据小概率的独立性检验，没有充分的证据推断不成立，因此可以认为“奥数迷”与性别无关． 没有90%的把握认为是否为“奥数迷”与性别有关. （2）根据分层抽样，抽取的男生人数为2人，女生人数为1人， 记“恰有两人闯关成功”为事件，“没有女生闯关成功”为事件， 则， . 由条件概率的公式得， 故在恰有两人闯关成功的条件下，两人性别相同的概率为 . 17（15分）．已知，其中为实数，曲线在处的切线方程为. (1)求实数的值； (2)若曲线是曲线的切线，且经过点，求的方程. 【详解】（1）， 由曲线在点处的切线方程为， 切点为，斜率，可得，即， ，解得． （2）曲线 ，求导得， 设曲线与过点的切线相切于点， 则切线的斜率， 所以切线方程为， 由于切线过点，得， 化简为，即，解得或， 故所求的切线方程为或． 18（17分）．实验中学为促进学生进一步对人工智能的了解，特举办人工智能知识竞赛活动.活动分两轮进行，第一轮通过后方可进入第二轮，两轮通过后即可获得代表学校参加全市比赛的资格.已知李明、张华、刘防3位同学通过第一轮的概率依次为、、，在通过第一轮的条件下，他们通过第二轮的概率依次为、、，假设他们之间通过与否相互独立． (1)求这3人中至少有2人通过第一轮的概率； (2)设这3人中通过第二轮的人数为，求的分布列及期望. 【分析】（1）根据题意，分为恰有两人通过和三人都通过，结合相互独立事件的概率公式和互斥事件的概率加法公式，即可求解； （2）分别求得三人通过第二轮的概率分别为，，，根据题意，得到变量的可能取值为，求得相应的概率，列出分布列，结合期望的公式，即可求解. 【详解】（1）：因为李明、张华、刘防3位同学通过第一轮的概率依次为， 若恰有两人通过的概率为， 若三人都通过的概率为， 所以这3人中至少有2人通过第一轮的概率. （2）：根据题意，李明通过第二轮的概率为， 张华通过第二轮的概率为，刘防通过第二轮的概率为， 则这3人中通过第二轮的人数的可能取值为， 当时，即3人都未通过第二轮，其概率为， 当时，即3人仅有1人通过第二轮， 其概率为， 当时，即3人仅有2人通过第二轮， 其概率为， 当时，即3人都通过第二轮，其概率为， 所以随机变量的分布列为： 0 1 2 3 所以期望为. 19（17分）．已知函数，． (1)若，求的图象在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间； (3)若，都有，求实数的取值范围． 【分析】（1）先由题意，得到，对其求导，得到对应的切线斜率，进而可得出所求切线方程； （2）求出函数的导数，分类讨论解不等式即可得出函数的单调区间； （3）先根据题意，得到在上恒成立，只需在上恒成立，令，，对其求导，求出的最大值，即可得出结果. 【详解】（1）若，则，则，. ，所以切点坐标为，切线斜率为， 曲线在点处的切线方程为. 化简可得：. （2）因为，定义域为，所以， 当时，恒成立， 所以函数在单调递增； 当时，令，解得， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减. 综上，当时，单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，单调递增区间为，单调递减区间为. （3）若，都有，即， 即在上恒成立，令，， 由题意，只需当时，即可， 令，即,, 因为当时，，所以在上单调递增， 当时，，所以在上单调递减， ，. 综上所述，实数的取值范围是. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东省枣庄市2025-2026学年高二下学期期末模拟卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 4.考试范围：人教A版选择性必修第二册（第五章）、选择性必修第三册（第六、七、八章）。 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．若，则（   ） A．0 B．9 C．12 D．18 2．高二、一班李慧同学为了研究温差与本校当天新增感冒人数（人）的关系，她记录了5天的数据： 5 6 8 9 12 17 20 25 28 35 经过拟合，发现基本符合经验回归方程，则下列选项错误的是（   ） A．样本中心点为 B． C．时，残差为 D．相关系数 3．随机变量的分布列如下表，则（   ） 0 1 A．2 B． C．1 D． 4．现有4名男生和2名女生排成一排照相，要求两名女生排在一起的排法总数为（    ） A．48 B．96 C．120 D．240 5．已知随机变量X服从正态分布，若，，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 6．摇奖器内有10个小球，其中8个小球上标有数字2，2个小球上标有数字5，现摇出3个小球，规定所得奖金（元）为这3个小球上所标数字之和，则获得12元奖金的概率是（    ）． A． B． C． D． 7．若是函数的极小值点，则的极大值为（   ） A． B． C． D． 8．甲箱中有2个红球，3个白球和2个黑球，乙箱中有3个红球和3个黑球，先从甲箱中随机摸出一个球放入乙箱中，再从乙箱中摸出2个球，分别用，，表示从甲箱中摸出的球是红球，白球和黑球的事件，用表示从乙箱中摸出的2个球颜色不同的事件，则下列结论错误的是（     ） A． B． C． D． 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9．已知的展开式中第3项与第6项的二项式系数相等，则二项式展开式中（    ） A．所有二项式系数和为128 B．所有项系数和为 C．不存在常数项 D．含项的系数为 10．实验中学开展“强国有我，筑梦前行”主题演讲比赛，共有6位男生，4位女生进入决赛.现通过抽签决定出场顺序，记事件A表示“第一位出场的是女生”，事件B表示“第二位出场的是女生”，则（    ） A． B． C． D． 11．已知函数，，则下列说法正确的有（ ） A．当时，曲线在点处的切线方程为 B．对任意，在定义域内恒有两个极值点 C．若在处取得极值，则的极大值为 D．若在上的最小值为，则 三、填空题（本大题共3小题，每小题 5 分，共15分．） 12．已知一组数据的回归直线方程为，且，发现有两组数据，的误差较大，去掉这两组数据后，重新求得回归直线方程为，则当时，_____. 13．一个袋中装有形状、大小完全相同的9个球，其中3个红球，6个白球，从袋中有放回地取球，每次随机取1个，直到取出3次红球即停止.记为5次之内（含5次）取到红球的个数，则的数学期望____. 14．已知函数，若关于x的方程有3个不等实根.则实数a的取值范围为___。 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15（13分）．已知（，）. (1)若展开式的二项式系数和为128，求n的值； (2)当时，二项式的展开式中的系数为A，常数项为B，若，则求a的值： (3)当，时，求二项式的展开式中系数最大的项. 16（15分）.某中学对学生钻研奥数课程的情况进行调查，将每周独立钻研奥数课程超过6小时的学生称为“奥数迷”，否则称为“非奥数迷”，从调查结果中随机抽取100人进行分析，得到数据如表所示： 奥数迷 非奥数迷 总计 男 24 36 60 女 12 28 40 总计 36 64 100 0.1 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 (1)对照列联表，根据小概率的独立性检验，是否为“奥数迷”与性别有关？ (2)现从抽取的“奥数迷”中，按性别采用分层抽样的方法抽取3人参加奥数闯关比赛，已知其中男、女学生独立闯关成功的概率分别为，在恰有两人闯关成功的条件下，求两人性别相同的概率． 参考数据与公式：，其中． 17（15分）．已知，其中为实数，曲线在处的切线方程为. (1)求实数的值； (2)若曲线是曲线的切线，且经过点，求的方程. 18（17分）．实验中学为促进学生进一步对人工智能的了解，特举办人工智能知识竞赛活动.活动分两轮进行，第一轮通过后方可进入第二轮，两轮通过后即可获得代表学校参加全市比赛的资格.已知李明、张华、刘防3位同学通过第一轮的概率依次为、、，在通过第一轮的条件下，他们通过第二轮的概率依次为、、，假设他们之间通过与否相互独立． (1)求这3人中至少有2人通过第一轮的概率； (2)设这3人中通过第二轮的人数为，求的分布列及期望. 19（17分）．已知函数，． (1)若，求的图象在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间； (3)若，都有，求实数的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $