23.4实际问题与一次函数——一次函数与几何综合 解答题专题训练 2025-2026学年人教版八年级数学下册

**基本信息** 聚焦一次函数与几何综合，通过基础到拓展的三层设计，实现从概念应用到动态探究的知识巩固，培养几何直观与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础应用|一次函数解析式、坐标轴交点、面积计算|如第1-3题，直接应用待定系数法及面积公式，巩固课堂核心概念| |综合应用|动点问题、翻折变换、等腰三角形分类|如第4-8题，结合动点动线（如M点移动），渗透分类讨论思想| |拓展探究|平移对称、菱形存在性、跨知识综合|如第9-20题，涉及图形变换（如直线平移）与存在性问题，发展空间观念与创新意识|

2025-2026学年人教版八年级数学下册《23.4实际问题与一次函数——一次函数与几何综合》解答题专题训练（附答案） 1．在平面直角坐标系中，一次函数的图象与直线平行，且经过点． (1)求这个一次函数的解析式； (2)若一次函数的图象与y轴交于点B，点C是x轴上一点，的面积是5，求点C的坐标． 2．在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与轴、轴交于点、两点． (1)求和的值； (2)若点为轴负半轴上的一点，连接，若，求点的坐标． 3．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴，轴分别交于，两点． (1)求一次函数的表达式； (2)若点为轴上一动点，连接，当的面积是面积的2倍时，求点的坐标． 4．如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，在y轴上有一点，动点M从A点以每秒1个单位的速度沿x轴向左移动． (1)求A、B两点的坐标； (2)求的面积S与M的移动时间t之间的函数关系式； (3)在M运动过程中，当时，直接写出此时M点的坐标． 5．如图，在直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B． (1)求A，B两点的坐标； (2)求的面积； (3)点C在线段上，沿将翻折，O点恰好落在上的D点处，求直线的表达式． 6．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别相交于点，点． (1)求的面积； (2)点在轴上，若是等腰三角形，直接写出点的坐标． 7．如图，直线与轴，轴分别交于，两点，与直线交于点． (1)求，的值； (2)若点在轴上，且，求点的坐标； (3)若点在直线上，过点作直线轴，与直线交于点，已知，求点的坐标． 8．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于，两点，与直线交于点． (1)求点，的坐标． (2)若第一象限内的点到轴的距离为，求直线的函数表达式． (3)若是轴上一动点，是否存在点，使是直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 9．如图1所示，正比例函数的解析式为，直线交x轴，y轴于点A、B，已知点A坐标为且．    (1)求直线的解析式； (2)现将直线沿x轴负方向平移，交直线于点M，交x轴，y轴于点E和F．试问当与全等时，直线需沿x轴负方向平移多少单位长度． 10．综合运用． 如图，在平面直角坐标系中，放入一个矩形纸片，将纸片翻折后，点恰好落在轴上，记为，折痕为．直线的关系式是，与轴相交于点，且． (1)求的长度； (2)求点的坐标； (3)求矩形的面积 11．如图，直线与x轴、y轴分别交于成A、B，与函数的图像交于点． (1)求出k，b的值； (2)求出的面积； (3)在x轴上有一点P，过点P作x轴的垂线，分别交函数和的图像于点C，D．若，求点P的坐标． 12．在平面直角坐标系中，一次函数的图象与坐标轴围成的三角形，叫做此一次函数的坐标三角形．例如，图中的一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，则为此函数的坐标三角形． (1)求函数的坐标三角形的面积； (2)若函数（b为常数）的坐标三角形周长为16，求此三角形的面积． 13．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于B，C两点，与正比例函数的图象交于点A，点A的横坐标为4． (1)求b的值； (2)当时，请根据图象直接写出x的取值范围； (3)若有动点，当取最小值时，求m的值． 14．如图，在平面直角坐标系中，直线：与直线：（）相交于点，直线与y轴交于点． (1)求直线的解析式； (2)①请用无刻度的直尺和圆规作出关于直线的对称图形，点O的对应点为C； ②求证：． 15．如图，一次函数的图像分别与轴、轴相交于，，以线段为边在第一象限内作等腰直角三角形，． (1)点的坐标为______，_____； (2)求点的坐标； (3)求直线与轴的交点坐标． 16．如图，四边形是平行四边形，其中点A的坐标是，点O的坐标是，点C的坐标是． (1)请求出点B的坐标； (2)已知点D是直线上一个动点，若三角形是等腰三角形，请求出所有符合要求的点D的坐标； (3)已知直线以每秒1个单位长度的速度沿y轴向下平移，经过多少秒该直线恰好将平行四边形分成面积相等的两部分？ 17．如图，平面直角坐标系中，直线的函数解析式为，点在直线上，直线、直线相交于点，且、． (1)求的值及直线的解析式； (2)在坐标平面内是否存在一点，使得以、、、为顶点的四边形为矩形，若存在，直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 18．在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A，B两点，以为边在第二象限内作正方形． (1)求点C，D的坐标； (2)在x轴上是否存在点M，使的周长最小？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 19．小明在学习一次函数后，对形如（其中k，m，n为常数，且）的一次函数图象和性质进行了探究，过程如下： 【特例探究】 (1)如图所示，小明分别画出了函数，，的图象．请你根据列表、描点、连线的步骤在图中画出函数的图象． 【深入探究】 (2)通过对上述几个函数图象的观察、思考，你发现（k为常数，且）的图象一定会经过的点的坐标是 ． 【得到性质】 (3)函数（其中k、m、n为常数，且）的图象一定会经过的点的坐标是 ． 【实践运用】 (4)已知一次函数（k为常数，且）的图象一定过点N，且与y轴相交于点A，若的面积为2，求k的值． 20．如图1，已知直线交x轴于点A、交y轴于点B，且． (1)请直接写出直线的解析式：__________________． (2)如图2，直线与x轴、y轴分别交于点C、D，与直线交于点P． ①若点E在线段上且满足，求点E的坐标； ②若点M是位于点B上方的y轴上一点，点Q在直线上，点N为第一象限内直线上一动点，是否存在点N，使得以点B、M、N、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点N坐标；若不存在，请说明理由． 参考答案 1．（1）解：一次函数的图象与直线平行， ， 又过点， ，解得， 一次函数的解析式； （2）解：时，，则，， 设，如图， ， ，解得， 又， 点的坐标为或． 2．（1）解：一次函数过点， ∴， ∴一次函数表达式为， 将点代入得，， 解得， ∴一次函数的表达式为， ∴，； （2）解：如图，过点作于点，交的延长线于点，过点作轴于点， ∵，， ∴，， ∴， ∵轴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设直线的解析式为，把、代入得， ， 解得， ∴直线的表达式为， 把代入，得， ∴． 3．（1）解：把，代入，得： ，解得， ∴； （2）解：设， ∵，， ∴， ∵的面积是面积的2倍， ∴， ∴， ∴或； ∴或． 4．（1）解：对于直线， 当时，；当时，， 则A、B两点的坐标分别为； （2）解：∵， ∴， 当时，； 当时，， 综上， ； （3）解：M点的坐标为或； 理由如下： ∵， ∴只需，则， 即， 此时，若M在x轴的正半轴时，M点的坐标为； M在x轴的负半轴，则M点的坐标为， 综上，当时，此时M点的坐标为或． 5．（1）解：对于一次函数， 令，则， ∴点坐标为． 令，则，解得， ∴点坐标为． （2）解：由（1）知，点坐标为，点坐标为． ，， ∴． （3）解：因为在线段上，设点坐标为， 已知，，则， 由翻折可知，，， ∴， ∴， 在中，，，， 根据勾股定理， 即， 整理得，解得， ∴点坐标为， 设直线的表达式为， 将点坐标为和点坐标为代入函数解析式， 即，解得， ∴直线的表达式为． 6．（1）解：∵直线与轴，轴分别交于点，点， 当时，， 当时，， ∴，， ∴，， ∴； （2）解：∵，， ∴， 设， 当，且点在点上方时， ∵， ∴，此时点的坐标为； 当，且点在点上方时， ∵， ∴，此时点的坐标为； 当时， ∵，， ∴， 解得， 此时点的坐标为； 当时， ∵， ∴点与点关于原点对称， 此时点的坐标为； 综上，点的坐标为或或或． 7．（1）解：将代入，得，解得． 将代入，得，解得． （2）解：由题意，得点的坐标为，则． 设点的坐标为，则． 解得． 所以，点的坐标为或 （3）解：设点的坐标为，则点的坐标为． 则． 解得或． 所以，点的坐标为或． 8．（1）解：∵直线分别交轴，轴于，两点, ∴当时，, ∴点； ∵当时，, ∴点． （2）解：∵第一象限内的点到轴的距离为， ∴点的纵坐标为， ∵点在直线上， ∴， ∴点， ∴直线的解析式为， ∴， ∴． （3）解：存在，理由如下： 当边为斜边，； ∵， ∴点与点重合， ∴当点时，是直角三角形； 当边为直角边，； ∵线段在第一象限， ∴点在的负半轴， ∴设点， ∴， ∵，， ∴，， ∴，，， ∵是直角三角形， ∴， ∴， 解得：， ∴当点时，是直角三角形； 当边为直角边，； ∵点在上，点是轴上一动点， ∴； 综上所述，当点，时，是直角三角形． 9．（1）解：将直线向下平移1个单位，与x轴、y轴分别交于点C、D，交与点E，如图所示：    根据平移可知，直线的解析式为， 把代入得， 把代入得， 解得：， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为：， 把代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为：； （2）解：设直线需沿x轴负方向平移个单位长度后，， 根据平移可知： 直线的解析式为， 把代入得， 把代入得，解得：， ∴，， ∴，， ∴， 根据解析（1）可知，， ， ∵， ∴， ∴， 即， ， ， ， ， ∴， 解得：或（舍去）， ∴当与全等时，直线需沿x轴负方向平移个单位长度．      10．（1）解：∵直线的关系式是 ∴当时， ∴点 ∴． （2）解：∵四边形是矩形， ∴，，， 由折叠可得，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 设， ∴，， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴点． （3）解：∵，， ∴矩形的面积为：． 11．（1）解：把代入，得， 把代入，得， 解得：； （2）解：直线与x轴、y轴分别交于成A、B， ∴当时，， ∴， ，又 ， ； （3）解：当时，， ， ， 如图， 设，则，， ， ， 解得：或， 点P的坐标为或． 12．（1）解：∵直线与x轴的交点坐标为，与y轴交点坐标为， ∴函数的坐标三角形的面积为； （2）解：直线与x轴的交点坐标为，与y轴交点坐标为， 根据勾股定理，得坐标三角形的斜边的长为， 当时，，得，此时，坐标三角形面积为； 当时，，得，此时，三角形面积． 综上，当函数的坐标三角形周长为16时，面积为． 13．（1）解：在中，令得， ∴， 把代入得：， ∴； （2）由图象可得，当时，x的取值范围是； （3）作A关于直线的对称点，如图： ∵、关于直线对称， ∴，， ∴， ∴P在线段上时，最小，即最小， 由（1）知，即点， 设直线为， 将代入得：，解得， ∴直线为， 将代入得：， 解得． 14．（1）解：将代入，得，解得， ． 将，分别代入， 得解得 故直线的解析式为． （2）①解：作图如答图所示． ②证明：， ， ． 由轴对称的性质，得， ， ． 15．（1）解：对于一次函数， 当时，，即， ， 当时，，解得，即． （2）解：如图，作轴于． ，轴，， ， ， 又，， ， ，． ． ． （3）解：设直线的解析式为， 把和代入，得 解得， ， 当时， 解得， 直线与轴的交点坐标为． 16．（1）解：点坐标是，， ，   四边形是平行四边形，   ，，   点坐标是，   ； （2）解：点是直线上一个动点，   设，   ①当时，三角形是等腰三角形，   或，   或，   ②当时，三角形是等腰三角形，   则点在的垂直平分线上，   ，   ③时，， 或， 或， 综上所述，点D的坐标为或或或或 ； （3）解：∵，， ∴平行四边形对角线交点的坐标为，即， ∵该直线恰好将平行四边形分成面积相等的两部分， ∴平移后的直线经过平行四边形对角线交点， 设平移t秒，直线向下平移t个单位，平移后解析式为， 将代入得：，解得． 答：经过12秒该直线恰好将平行四边形分成面积相等的两部分． 17．（1）解：令直线的函数解析式为， 将点、代入， 得，解得， ∴直线的函数解析式为， ∵点在直线上， ∴， 解得， 故点，再将点代入， 得， 解得， ∴直线的函数解析式为， 综上，的值为，直线的解析式为． （2）解：令形成矩形的中心点为，点坐标为 ∵点在直线上， 令点坐标为， ∵、， 则，，， 对结果进行分类讨论： ①当为对角线，时， 此时点为、中点， 即点， 由，根据勾股定理可得， ∴， 化简得， 解得或， 当时，， 由为中点，即、横坐标之和、纵坐标之和除以为点的横、纵坐标， 可得，， 解得，， 故此时； 当时，， 由为中点， 可得，， 可得，， 故此时； ②当为对角线，时， 根据勾股定理可得， ∴， 化简得， 解得， 当时，， 由为、中点，由该情况下、横坐标、纵坐标之和等同于、横坐标、纵坐标之和， ∴，， 可得，， 故此时； ③当为对角线，时， 根据勾股定理可得， ∴， 化简得， 解得， 当时，， 由为、中点，由该情况下、横坐标、纵坐标之和等同于、B横坐标、纵坐标之和， ∴，， 可得，， 故此时； 综上，点的坐标为，，，． 18．（1）解：当时，， 点的坐标为， ； 当时，， 解得：， 点的坐标为， ． 四边形为正方形， ，． 过点作轴于点，过点作轴于点， ，，， ． 在和中，， ， ，， 点的坐标为，即； 同理，可证出：， ，， 点的坐标为，即． （2）解：作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时取得最小值，即的周长最小， 点的坐标为， 点的坐标为． 设直线的解析式为， 将，代入， 得：，解得：， 直线的解析式为． 当时，， 解得：， 点的坐标为． 在轴上存在点，使的周长最小，点的坐标为． 19．（1）解：列表： x 0 1 y 4 2 描点、连线，画出直线，如图： （2）解： 通过对上述几个函数图象的观察、思考，发现（k为常数，且）的图象一定会经过的点的坐标是． （3）解： 将代入函数，得 ， ∴（k为常数，且）的图象一定会经过的点的坐标是； （4）解：将代入一次函数，得 ， ∵一次函数（k为常数，且）的图象一定过点N， ∴， ∵一次函数与y轴相交于点A， ∴将代入，得 ， ∴， ∴， ∵的面积为2， ∴， ∴或． 20．（1）解：在中，当时，， ∴点B的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∵点A在x轴的坐标轴上， ∴点A的坐标为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为； （2）解：①∵点E在线段上， ∴点O和点E在直线的同侧， ∵， ∴， ∴直线的解析式为， 联立，解得， ∴点E的坐标为； ②∵点M在点B的上方，且点N在第一象限， ∴与一定没有交点， ∴不能为对角线； 设点， 当是以点B、M、N、Q为顶点的菱形的对角线时，则与互相垂直平分， ∴点Q与点N关于y轴对称， ∴， 解得， ∴， ∴此时点N的坐标为； 当是以点B、M、N、Q为顶点的菱形的对角线时，，且， ∴轴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴ ∴此时点N的坐标为； 综上所述，点N的坐标为或 学科网（北京）股份有限公司 $