9.1-9.3 随机抽样，样本估计总体，统计案例【10个核心题型归纳】讲义-2025-2026学年高一数学下学期人教A版必修第二册

该高中数学单元复习讲义以“随机抽样、样本估计总体、统计案例”为核心，通过题型分类系统梳理知识体系，将10大题型的核心知识（如抽样方法定义、统计量公式）和方法技巧（如分层抽样比例计算、频率分布直方图三步法）用框架图与表格呈现，清晰展现重难点及内在逻辑联系。 讲义亮点在于“真题情境化”练习设计，如结合安徽阜阳阶段检测的随机数表抽样题、福建厦门期中的分层抽样题，培养数据观念与运算能力。每个题型配备步骤化技巧（如百分位数计算四步法）和易错提醒，基础生可掌握规范解法，优秀生能深化思维，助力教师实施分层教学与精准复习。

9.1-9.3 随机抽样，样本估计总体，统计案例 总览 题型·解读 【重难点突破】2025-2026学年高一下学期数学常考题型 1 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型汇编 知识梳理与常考题型 【题型1】 简单随机抽样 基础知识 核心知识 1定义从含有个个体的总体中逐个不放回抽取个个体每个个体被抽到的概率相等 2适用条件总体个数较少且个体差异不大 3常用方法抽签法随机数表法 4基本性质每个个体入样概率为 方法技巧 抽签法步骤编号制签搅拌均匀逐个抽取 随机数表法步骤编号选起始位置按方向读数取不重复编号 易错提醒抽样必须不放回保证每个个体被抽到的机会均等 典型例题 【例题 1】（25-26高一下·安徽阜阳·阶段检测）某校对高一新生进行了数学摸底测试，现利用随机数表从中抽取60名学生进行成绩分析，先将全体900名学生编号为001，002，003，…，900，从中抽取60个样本，并提供了随机数表的第1行到第2行，如下所示.若从该随机数表中第1行第4列开始向右读取数据，则得到的第5个样本的编号为（    ） 95226000　49840128　66175168　39682927　43772366　27096623 92580956　43890890　06482834　59741458　29778149　64608925 A．175 B．866 C．751 D．615 【例题2】（25-26高一下·福建厦门·期中）总体由编号为01，02，⋯  ，39，40的40个个体组成，从中选取6个个体.利用科学计算器依次生成一组随机数如下：𝟔5 𝟎𝟔 𝟓𝟖 𝟔𝟏 𝟓𝟒 𝟑𝟓 𝟎𝟐 𝟒𝟐 𝟑𝟓 𝟒𝟖 𝟗𝟔 𝟑𝟐 𝟏5 𝟓𝟐 39 𝟓𝟐 𝟒0 ，则选出来的第6个个体的编号为 _______ 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高一下·宁夏银川·期中）现从编号为的支水笔中抽取支水笔进行书写长度检测，若从以下随机数表第个数字开始由左向右读取，则抽取的第支水笔的编号为__________. 【巩固练习2】（2026·黑龙江哈尔滨·一模）统计学中，常以前个区间的平均长度估计所有区间的平均长度.某工厂生产的零件以个为一箱，成箱出售（）.每箱中的零件按照生产顺序，从1到连续编号.现从一箱中随机抽取6个零件，发现上面的编号从小到大依次为：12，15，33，38，55，60，则下列4个选项中，作为的估计值，最合适的一项是（    ） A．61 B．70 C．98 D．120 【巩固练习3】（25-26高一下·全国·课后作业）（多选）（多选题）下列抽样的方式属于简单随机抽样的是（   ） A．从500个个体中一次性抽取50个作为样本 B．将500个个体编号，把号签放在一个不透明的容器内搅拌均匀，从中逐个抽取50个作为样本 C．箱子共有100个零件，从中选出10个进行检验，在抽样操作中，从中任意取出一个零件进行检验后，再把它放回箱子 D．福利彩票用摇奖机摇奖 【题型2】 分层抽样 基础知识 核心知识 1定义将总体分成互不交叉的层按各层个体数占总体的比例抽取样本 2适用条件总体由差异明显的几部分组成 3核心公式抽样比各层抽取个体数 4性质各层样本数与该层总体数的比值等于抽样比 方法技巧 比例优先先求抽样比再计算各层抽取数量 易错点各层抽样比必须一致保证样本的代表性 分层原则层内差异小层间差异大 典型例题 【例题1】（25-26高一下·宁夏银川·期中）高一某班有56名学生，其中男生24人，女生32人.按性别进行分层，用分层随机抽样的方法，从该班学生中抽取14人参加跳绳比赛，如果样本按比例分配，则应抽取的男生人数为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【例题2】（25-26高一下·湖南衡阳·期中）“一尺一拳一寸间，科学用眼护双眼”，为保护青少年视力，培养科学健康的用眼习惯，某市疾控中心联合教育局开展“青少年视力健康监测与科学用眼宣传”．计划从全市三所高中（A校2400人、B校1800人、C校1200人）的所有学生中，按人数比例采用分层随机抽样的方法抽取270人进行视力检测与用眼习惯问卷调查，则A校应抽取的人数为（    ） A．60 B．90 C．120 D．150 巩固练习 题型 【巩固练习1】（2026·湖南长沙·模拟预测）甲校有名学生，乙校有名学生，丙校有名学生，为统计三校学生某方面的情况，计划采用分层随机抽样法抽取一个容量为的样本，应在这三校分别抽取学生（    ） A．人，人，人 B．人，人，人 C．人，人，人 D．人，人，人 【巩固练习2】（2026·湖南株洲·模拟预测）某中学七年级有200人，八年级有220人，九年级有180人，用简单随机抽样的方法从该学校抽取一个容量为的样本，若每个学生被抽到的概率为0.3，则（    ） A．180 B．200 C．240 D．260 【巩固练习3】（25-26高一下·安徽阜阳·阶段检测）某学校高一年级共有1 500名学生，从中随机抽取300名学生以了解学生对四大名著的阅读情况，其中只阅读两本名著的有135人，至少阅读三本名著的有96人，请估计该校高一全体1 500名学生中，至多阅读一本名著的人数约为（    ） A．350 B．345 C．450 D．485 【题型3】 频率分布直方图的有关计算 基础知识 核心知识 1频率分布直方图构成横轴为数据分组纵轴为频率/组距 2核心公式 频率=频率/组距×组距 频率=频数/样本容量 所有矩形面积之和为1 3关键统计量 众数最高矩形中点的横坐标 中位数左右面积各为0.5的位置 平均数每个矩形中点横坐标×该矩形面积之和 方法技巧 三步计算法先算频率再算频数最后求统计量 中位数定位从左到右累加面积找到累计面积首次≥0.5的区间再用公式计算具体位置 平均数计算加权平均用组中值代表每组数据 典型例题 【例题1】（25-26高一下·新疆·阶段检测）2026年5月25日至5月31日将是第四届全国城市生活垃圾分类宣传周，为提高同学们的垃圾分类意识．某中学举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，为了了解本次竞赛的成绩情况，从中随机抽取了100名学生的竞赛成绩（单位：分，得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计，将成绩进行整理后，按，，，，分为5组，得到如图所示的频率分布直方图． (1)求图中的值； (2)在这100名学生中，从这次竞赛成绩在内的学生中采用分层随机抽样的方法抽取27名学生进行调查，求这100名学生这次竞赛成绩在内被抽取的人数． (3)估计这100名学生这次竞赛成绩的中位数与平均数； 【例题2】（25-26高一下·四川内江·阶段检测）某校100名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如下： (1)求频率分布直方图中a的值； (2)估计这次考试的众数、平均数及中位数（中位数保留两位小数）． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（2026·甘肃兰州·模拟预测）（多选）2026年1月，重庆合川区女孩“呆呆”（网名）在社交平台发布求助视频，邀请网友帮忙“按猪”，承诺以刨猪汤答谢，结果意外走红.合川区某机构为了解各年龄层对这次“重庆呆呆刨猪汤”的关注程度，随机选取了100名年龄在内的市民进行调查，并绘制出如图所示的频率分布直方图，则（每组数据以区间的中点值为代表）（   ） A． B．所调查市民年龄众数的估计值为40 C．所调查市民年龄的第75百分位数的估计值为42.5 D．所调查市民的平均年龄约为34.5岁 【巩固练习2】（2026·湖南长沙·模拟预测）某公司为了了解本公司职员的午餐费用情况，抽样调查了100位职员的午餐日平均费用（单位：元），得到如下图所示的频率分布直方图，图中标注a的数字模糊不清． (1)试根据频率分布直方图求a的值，并估计该公司职员午餐日平均费用的众数和平均数； (2)已知该公司有1000名职员，试估计该公司有多少职员午餐日平均费用不超过6元？ 【巩固练习3】（2026·山东·模拟预测）（多选）某工厂抽检120个机械零件的外径尺寸（单位：mm），分组数据如下表： 尺寸区间 频数 8 13 22 37 24 16 根据表中数据，下列结论正确的有（     ） A．这120个零件外径尺寸的中位数不小于 B．这120个零件外径尺寸不低于的零件所占比例不足 C．这120个零件外径尺寸的极差介于到之间 D．这120个零件外径尺寸的平均值介于至之间 【题型4】 扇形图折线图有关的计算 基础知识 核心知识 1扇形图用扇形面积表示各部分占总体的百分比圆心角=360°×百分比 2折线图用线段连接数据点反映数据随时间或顺序的变化趋势 3常见计算百分比频数总量圆心角 方法技巧 扇形图计算先由圆心角或频数求百分比再由百分比求总量或其他部分数据 折线图分析重点关注趋势变化峰值谷值增长率等 易错提醒扇形图只反映比例关系不反映具体数量 典型例题 【例题1】（2026高三·全国·专题练习）小明在今年“十一”假期随家人到杭州游玩，恰逢亚运盛会，在10月2日下午女子跳水1米板决赛开赛前，小明随机调查了若干名前来观看本场比赛观众的年龄，并将调查所得数据制作成了如图所示的饼图，则关于这组数据的说法不正确的是（    ） A．平均数约为38.6 B．中位数约为38.75 C．第40百分位数约为35.6 D．上四分位数约为42.6 【例题2】（2026·陕西榆林·模拟预测）某同学收集并整理了某市年月日至日每日最高气温（单位：）的数据（均为整数），并绘制了如图所示的折线图，则月日至日最高气温的中位数为（   ） A． B． C． D． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（2026·湖南株洲·模拟预测）小张记录了2025年1月至11月期间每月跑步的里程（单位：十公里）数据，整理并绘制了如图所示的折线图．根据该折线图，下列说法错误的是（     ）    A．月跑步里程出现波动性 B．月跑步里程最大值出现在10月 C．月跑步里程的中位数为5月份对应的里程数 D．1月至5月的月跑步里程相对于6月至11月波动性更大 【巩固练习2】（2026·贵州黔东南·模拟预测）（多选）如图，这是某校写作兴趣小组25名同学暑假的课外阅读量（单位：本）的折线统计图，则（   ） A．这25名同学暑假的课外阅读量的众数是4本 B．这25名同学暑假的课外阅读量的中位数是5本 C．这25名同学暑假的课外阅读量的平均数是4.4本 D．这25名同学暑假的课外阅读量的第80百分位数是6本 【巩固练习3】（2026·广东佛山·二模）（多选）地方一般公共预算收入是地方经济的重要指标之一，如图是某地区2025年2月至10月地方一般公共预算收入累计的图表，其中条形图是地方一般公共预算收入的月累计值（月累计值指当年1月到当月的数据总和），折线图是与上年同月累计值相比的同比增长率．根据图表，下列说法正确的是（   ） A．该地区2025年每月的地方一般公共预算收入一直递增 B．2025年9月该地区的地方一般公共预算收入超过30亿元 C．2025年9月该地区的地方一般公共预算收入比2024年9月高 D．2024年前10个月，该地区地方一般公共预算收入平均数低于22亿 【题型5】 平均数方差极差的计算 基础知识 核心知识 1平均数 定义式 加权平均数 2方差 定义式 简化公式 3极差最大值与最小值的差反映数据波动范围 方法技巧 平均数速算数据较大时可同时减去一个常数简化计算 方差简化优先使用简化公式减少计算量 性质应用若数据变为则新平均数为新方差为 典型例题 【例题1】（2026·海南海口·模拟预测）（多选）某地7月份记录高温天气有10天，温度（单位：）由低到高的排列分别如下：33，34，35，36，36，37，37，37，37，38，这10个数的平均数为m，中位数为n，极差为t，方差为．则（    ） A． B． C． D． 【例题2】（2026·辽宁大连·三模）在发生公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为“连续7天，每天新增疑似病例不超过5人”．过去7日，甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据信息如下，则一定符合该标志的是（   ） 甲地：总体平均数，且中位数为0； 乙地：中位数为2，3为众数； 丙地：总体平均数为2，且标准差； 丁地：总体平均数，且极差． A．甲地 B．乙地 C．丙地 D．丁地 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高一下·安徽阜阳·阶段检测）（多选）某公司欲对甲、乙、丙、丁四名实习生进行考核，考核规则为对连续五个工作日的工作情况进行打分，若每天的得分均不低于80分（所得分均为整数），则考核合格，否则视为不合格，四人连续五个工作日的得分记录如下. 甲:众数为83，平均数为82. 乙:中位数为82，众数为80. 丙:中位数为85，平均数为82. 丁:有个工作日得分为89，平均数为83，方差为9.2. 甲、乙、丙、丁四人中，考核一定合格的为（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【巩固练习2】（25-26高三·全国·一轮复习）袋子中有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取5次，每次取一个球.记录每次取到的数字，统计后发现这5个数字的平均数为2，方差小于1，则（    ） A．可能取到数字4 B．中位数可能是2 C．极差可能是4 D．众数可能是3 【巩固练习3】（2026·河北雄安·三模）（多选）一组样本数据：1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，则这组数据的（   ） A．中位数是3 B．第80百分位数是4 C．平均数是3.5 D．方差是11 【题型6】 数的百分位数计算 基础知识 核心知识 1定义将一组数据从小到大排列计算若为整数取第项和第项的平均值若不是整数向上取整对应的数即为第百分位数 2常用百分位数第25百分位数（第一四分位数）第50百分位数（中位数）第75百分位数（第三四分位数） 方法技巧 计算步骤 1将数据从小到大排序 2计算 3根据是否为整数按规则取值 易错提醒百分位数不一定是数据中的某一个数需按定义计算 典型例题 【例题1】（25-26高一下·湖南衡阳·期中）某班10名学生的数学测验成绩分别为85，88，90，92，95，96，98，100，105，105，则这组数据的第40百分位数是（    ） A．95 B．93.5 C．92.5 D．92 【例题2】（2026·河南许昌·三模）某篮球运动员近8场比赛的得分从低到高依次为6，9，，，，，，，则这8个数据的上四分位数是____________． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（2026·浙江·三模）已知一组实数：1，2，4，x，8，10，若该组数据的第百分位数为4，则不可能是（   ） A．40 B．50 C．60 D．70 【巩固练习2】（25-26高二下·上海·阶段检测）样本数据：1，1，2，2，3，3，4，4，5，5，6的第75百分位数为________． 【巩固练习3】（25-26高三下·上海·阶段检测）样本数据7，8，10，11，23，24，30，35的第40百分位数为_______. 【题型7】 频率分布直方图中百分位数的计算 基础知识 在频率分布直方图中计算百分位数的步骤可分为以下四部分 1、计算累积频率；2、定位区间；3、设值计算 典型例题 【例题1】（2026·福建泉州·模拟预测）某校从高中部抽出100名学生参加AI基础知识竞赛，由成绩得到如图的频率分布直方图，则估计这100名学生成绩的48%分位数为__________分. 【例题2】（2026·山东滨州·二模）某学校为培养学生创新精神和实践能力，组织了一次“科技小发明”竞赛活动，并对200位参赛学生的综合表现进行评分.学生得分的频率分布直方图如图所示，根据图中数据，估计得分的第80百分位数为（   ） A．78 B．82 C．85 D．88 巩固练习 题型 【巩固练习1】（2026·山东聊城·模拟预测）某小学五年级共有200名学生．期末考试后，学校教导处统计了五年级全体学生的数学成绩，并绘制了如图所示的频率分布直方图，估计这200名学生成绩的80%分位数是（    ） A．70.23 B．70.84 C．71.26 D．71.43 【巩固练习2】（2026·湖南怀化·模拟预测）直播带货已经成为助力乡村振兴的重要方式之一.某村统计了一合作社最近100天通过直播带货销售农产品的日销售额x（单位：万元），并绘制成下面的频率分布直方图，则______；x的第80百分位数为______. 【巩固练习3】（25-26高三·全国·一轮复习）为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，某地面向全体中学生开展了以“铭记历史、缅怀先烈、珍爱和平、开创未来”为主题的知识竞赛活动．现从中随机抽取了100名学生的成绩（满分100分，成绩取整数）整理成如图所示的频率分布直方图，则估计这组数据的第85百分位数为（   ）    A．85 B．86 C．86.5 D．87 【题型8】 分层抽样的方差计算 基础知识 分层随机抽样的平均数与方差计算 在分层随机抽样中，如果层数分为2层，第1层和第2层包含的个体数分别为M和N，抽取的样本量分别为m和n，第1层、第2层的总体平均数分别为，，第1层、第2层的样本平均数分别为，，总体平均数为，样本平均数为，则==+. 由于用第1层的样本平均数可以估计第1层的总体平均数，用第2层的样本平均数可以估计第2层的总体平均数，因此可以用=+估计总体平均数. 又==，所以+=+=. 因此，在比例分配的分层随机抽样中，我们可以直接用样本平均数估计总体平均数. 分层随机抽样的方差计算：若第1组数据中有m个数，且平均数为，；第2组数据有n个数，且的平均数与方差为，. （1）两组数据合并后的平均数 （2）两组数据合并后的方差 典型例题 【例题1】（25-26高二上·广东中山·阶段检测）某校男生人，女生人，男生、女生每天运动时间（分钟）的平均值为，方差分别为，结合此数据，请你估计该校全体学生每天运动时间的平均值（分钟）和方差分别为（    ） A． B． C． D． 【例题2】（2026·四川广元·三模）某果园为检测两试验园苹果的质量，现从试验园抽取30个苹果，其平均质量为，方差为48，从试验园抽取20个苹果，其平均质量为，方差为40，则抽取的这50个苹果的方差为（   ） （参考公式：样本分为2层，各层的容量、平均数和方差分别为，，，，，，记样本的平均数为，方差为，则.） A．45.8 B．140.8 C．176 D．183.2 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高二下·重庆·阶段检测）“2026重庆马拉松”成功举行，某单位承办了志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第一、二组的频率之和为0.3，第一组和第五组的频率相同． (1)求a，b的值； (2)若面试成绩前的候选者为优秀候选者，请估计优秀候选者成绩的最低分； (3)现从以上各组中用分层抽样的方法选取20人，担任本次宣传者．若本次宣传者中第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为62和30，第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为80和40，据此估计这次第二组和第四组这两组的所有面试者的方差． 【巩固练习2】（20-21高一下·广东广州·期末）为了解学生的课外阅读情况，某校采用样本量比例分配的分层随机抽样对高中三个年级的学生进行平均每周课外阅读时间（单位：小时）的调查，所得样本数据如下： 年级 抽样人数 样本平均数 样本方差 高一 40 5 3.5 高二 30 2 高三 30 3 已知高中三个年级学生的总样本平均数为4.1，总样本方差为3.14，则高二年级学生的样本平均数______，高三年级学生的样本方差______. 【巩固练习3】（24-25高一下·河南平顶山·期末）已知总体划分为两层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数、样本方差分别为m，，；n，，.记总的样本平均数为，样本方差为，则，该公式可以用来解决样本数据的最值问题.已知7个样本数据的均值为2，方差为，则这7个样本数据的中位数的最大值为__________. 【题型9】 分析数据变化与方差平均数的变化 基础知识 核心知识 1数据线性变换性质若数据变为 新平均数 新方差 新标准差 2数据加减同一常数方差不变仅平均数改变 3数据乘同一常数平均数和标准差同比例变化方差按比例平方变化 方法技巧 变化分析口诀加常数只移均值乘常数均值方差同变方差变平方倍 实例判断如数据都加5方差不变平均数加5；数据都乘2方差乘4平均数乘2 易错点数据同时加减乘除时要区分常数对均值和方差的不同影响 典型例题 【例题1】（2026·福建泉州·三模）已知一组样本数据的样本容量为10，平均数为6，方差为2．现去掉其中的两个数据3和9，则剩下的8个样本数据的方差为（   ） A． B． C．2 D． 【例题2】（2026·湖北·三模）（多选）在一组样本数据3，5，5，6，7，7，9中增加一个数据后，下列说法正确的是（    ） A．若众数仅为5，则 B．若平均数不变，则 C．若中位数不变，则 D．若极差为9，则或 巩固练习 题型 【巩固练习1】（2026·陕西渭南·三模）（多选）一组互不相等的数据从小到大排列为，去掉后，则下列说法正确的有（   ） A．极差变小 B．平均数变大 C．方差变大 D．50%分位数变大 【巩固练习2】（2024·河北衡水·模拟预测）（多选）已知一组数据满足，则下列说法正确的是（   ） A．这组数据的40%分位数是 B．的极差小于的极差 C．的平均数小于的平均数 D．的方差小于的方差 【巩固练习3】（2026·湖北黄石·模拟预测）（多选）已知数据，，…，的平均数为，标准差为，中位数为，极差为.由这组数据得到新数据，，…，，其中（），则下列命题中正确的是（   ） A．新数据的平均数是 B．新数据的标准差是 C．新数据的中位数是 D．新数据的极差是 【题型10】 统计的综合题型 典型例题 【例题1】（25-26高二下·重庆·期中）某校法联社团组织高一年级所有学生参加“感受法治内涵，争做法治宣传人”的主题知识比赛，旨在引导同学们深入学习法治知识，争当法治精神的传播者.比赛分为初赛和决赛两个环节，现从所有初赛成绩（满分分，最低分分）中，随机调查了位同学的测试成绩，按、、、、分组，并绘制出了如图所示的频率分布直方图. (1)若规定成绩排名前的同学可入围决赛，请估计进入决赛的同学成绩应不低于多少分？ (2)已知落在内的平均成绩是分，方差是分，落在内的平均成绩是分，方差是分，求两组成绩合并后的平均数和方差. 附：设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为、、；、、，记两组数据总体的样本平均数为，则总体样本方差. 【例题2】（24-25高一上·贵州遵义·期末）某学校高一年级某班男同学与女同学的人数之比为，在学校的一次月考中，某数学教师为分析本班的成绩，作了如下统计： 女同学成绩频数分布表 成绩值区间 合计 频数 3 4 10 2 1 20 男同学成绩频率分布直方图 (1)估计本班女同学成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (2)根据男同学成绩的频率分布直方图，比较男同学成绩的平均数与中位数的大小； (3)已知女同学成绩的方差为169，男同学成绩的方差为104，估计该班全体同学成绩的方差（平均用四舍五入取整数计算，方差结果取整数）. 参考公式：总体划分为女生和男生2层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为，，；，，，记总的样本平均数和样本方差分别为，，则. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高二上·四川成都·阶段检测）“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心，现已形成了全民自觉参与，造福百姓的良性循环．据此，某网站推出了关于生态文明建设进展情况的调查，调查数据表明，环境治理和保护问题仍是百姓最为关心的热点．现从参与关注生态文明建设的人群中随机选出100人，并将这100人按年龄分为第1组，第2组，第3组，第4组，如图所示． (1)求的值，并估计这组数据的平均数和中位数； (2)现从年龄在及的人群中按分层抽样抽取5人，再从中选2人作为生态文明建设知识宣讲员，求这两人来自同一组的概率； (3)从年龄在及的人群中按分层抽样共抽取50人，在抽取的人中年龄在的平均数为40，方差为14，年龄在的平均数为50，方差为24． （i）已知总体划分为2层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，记总的样本平均数为，样本方差为．证明： （ii）用样本估计总体，试估计参与关注生态文明建设的人群中年龄的平均数和方差． 【巩固练习2】（25-26高一下·安徽阜阳·阶段检测）某市出租车公司统计该公司某品牌出租车1~6月份的平均收入（单位:万元），其情况如下表所示: 1月份 2月份 3月份 4月份 5月份 6月份 白天 1.05 0.96 1.29 1.17 1.53 1.2 晚上 1.38 1.26 1.5 1.56 1.8 1.5 (1)试求1~6月份的平均收入及月收入的中位数； (2)甲、乙两位师傅打算合租该品牌的一辆出租车，其中甲师傅租白天、乙师傅租晚上，且租车时间所得利润归各自所有，若该品牌的出租车月出租费为0.81万元，根据1~6月份的收入数据，甲、乙两位师傅如何分配租金最为合理? 【巩固练习3】（25-26高一下·浙江温州·期中）学校正在研究基于DeepSeek的人工智能答疑系统，更方便地帮助学生解决学习中碰到的问题.学校为了测试答疑系统是否准确，于是利用DeepSeek解答了50份不同的模拟试卷，收集其准确率，整理得到如下频率分布直方图. (1)求图中的值及这组数据的中位数； (2)若平均准确率不低于90%，则可以认为这个系统是准确的，并投入使用.请问，现在这个系统能否投入使用，并说明理由. 课后过关检测 一、单选题 1．（25-26高一上·山西忻州·期末）某高中高一、高二、高三年级的学生人数分别为400，400，600，为了解各年级学生每天阅读的时间，用分层随机抽样的方法从中抽取样本，若样本中高一年级的学生有14人，则样本容量为（    ） A．42 B．45 C．49 D．50 2．（25-26高一上·江西抚州·期末）某工厂生产两种不同型号的产品，产量之比为，现用分层抽样的方法抽取一个容量为的样本，若样本中型号的产品有40件，则（   ） A．60 B．80 C．100 D．120 3．（24-25高一上·安徽淮北·期末）样本数据的分位数为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·江西景德镇·期末）从某班55位学生中利用下面的随机数表抽取10位同学参加一项活动，将这55位学生按01、02、…、55进行编号，假设从随机数表第1行第2个数字开始由左向右依次选取两个数字，则选出来的第5个号码所对应的学生编号为（    ） 0627  4313  2432  5327  0941  2512  6317  6323  2616  8045  6011 1410  9577  7424  6762  4281  1457  2042  5332  3732  2707  3607 A．51 B．25 C．32 D．12 5．（24-25高一下·江苏无锡·期末）经过简单随机抽样获得的样本数据为，，…，，且数据，，…，的平均数为，方差为，则下列说法正确的是（   ） A．； B．若，则所有的数据都为0； C．若，则的平均数为6； D．若，则的方差为12； 6．（24-25高一上·安徽淮北·期末）某校为调查高一年级的某次考试的数学情况，选取高一年级甲班和乙班进行调查.若甲班学生数学成绩的平均数为90，方差为3，乙班学生数学成绩的平均数为81，方差为5，且甲乙两班的学生人数之比为，则这两班数学的总成绩平均分和方差分别为（   ） A．85.5； B．； C．85.5； D．； 7．（25-26高二下·上海·期中）某学校对100名学生的成绩进行了分析，成绩都在区间内，绘制频率分布直方图如图.则下列说法错误的是（   ） A．成绩在的频数为10 B．图中所有小矩形面积之和为1 C．成绩中位数在区间内 D． 8．（25-26高一下·全国·期末）某新能源汽车电池研发团队测试了一款新型固态电池在0℃环境下的续航里程衰减情况．随机抽取部分测试数据，得到续航里程衰减率（单位：）的频率如下表： 续航里程衰减率 频率 0.10 0.30 0.40 0.15 0.05 据此估计，续航里程衰减率的第60百分位数约为（   ） A．15 B．13.75 C．12.5 D．11.25 9．（2026·安徽·模拟预测）已知一组样本数据，，，，，的平均数为20，方差为16，另一组样本数据，，，的平均数为，方差为16，由两组数据构成的新样本数据，，，，，，，，，的平均数为24，方差为，则（    ） A．， B．， C．， D．， 10．（25-26高三下·江西·阶段检测）为了解某校学生的某次数学测试情况，随机抽取部分学生成绩（最低分为50分，满分100分），得到如图所示的频率分布直方图，则下列结论不正确的是（   ） A．对应矩形的高度为0.016 B．样本众数估计值为75 C．样本平均数估计值为77.4 D．样本成绩的第70百分位数落在内 11．（25-26高一下·甘肃酒泉·期中）随着生活水平的不断提高，旅游已经成为人们生活的一部分．某地旅游部门从年月到该地旅游的游客中随机抽取部分游客进行调查，得到各年龄段游客的人数比例和各年龄段中自助游的比例，如图，则下列说法错误的是（   ） A．若调查的游客中青年人有人，则一共调查了人 B．估计年月到该地旅游的游客中选择自助游的青年人占总游客人数的 C．用分层随机抽样的方法对所调查游客进行抽样，若老年人有人，则中年人有人 D．估计年月到该地旅游且选择自助游的游客中青年人不超过一半 二、多选题 12．（25-26高一下·安徽合肥·阶段检测）某环保监测站对某流域的个监测点的水质指数进行抽样检测，数据按、、、分组，得到频率分布直方图如图所示.已知数值越高水质越优，且水质指数不低于的被称为“I类优质水”，则下列说法正确的是（   ） A． B．若每组数据均以中点值为代表，则估计样本水质指数的平均数为 C．估计该流域水质指数不低于的监测点有个 D．估计该流域水质为“I类优质水”的监测点的占比为 13．（25-26高三下·广西玉林·阶段检测）是指线上引流、线下消费的商业模式，近年来随着技术的渗透，特别是智能配送使得配送时效显著提升，为消费者提供了“沉浸式购物”新体验.已知2020年到2024年我国到家市场规模（单位：千亿元）依次为，则这个数据的（    ） A．极差是 B．中位数是 C．60%分位数是 D．平均数是 14．（25-26高一下·江苏南京·期中）若是样本数据：，，，的平均数（，，，不全相等），则（   ） A．，，，的极差等于，，，，的极差 B．，，，的平均数等于，，，，的平均数 C．，，，的中位数等于，，，，的中位数 D．，，，的标准差大于，，，，的标准差 三、填空题 15．（2026·河北雄安·模拟预测）在期中考试后，某小学五年级统计了学生的数学成绩（满分：100分），将所有学生的数学成绩按分为6组，画出频率分布直方图如图所示，则该校五年级学生期中考试的数学成绩的中位数为___________.（保留到小数点后两位） 16．（25-26高二下·重庆·期中）先后抛掷一枚质地均匀的骰子次，记录向上一面的点数，若已知个点数的中位数为，唯一的众数为，则平均数最大为_____. 17．（25-26高一上·辽宁大连·期末）现从编号为的50支水笔中抽取10支水笔进行书写长度检测，若从以下随机数表第9个数字开始由左向右读取，则抽取的第3支水笔的编号为__________.                      四、解答题 18．（25-26高一上·安徽·期末）文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者．某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取份作为样本，将样本的成绩（满分分，成绩均不低于分）分成六组：、、、，得到如图所示的频率分布直方图． (1)求频率分布直方图中的值； (2)试估计样本成绩的平均数（同一组数据用该组数据的中间值代替）和中位数； (3)已知落在的平均成绩是，方差是，落在的平均成绩为，方差是，求两组成绩合并后的平均数和方差． 19．（25-26高一上·陕西渭南·期末）为了解学生对两家餐厅的满意度情况，现从在两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取了50人，每人分别对这两家餐厅的满意度进行打分（分数区间为），将其分数记为满意指数.根据打分结果按分组，得到如图所示的频率分布直方图，其中餐厅的满意指数在内的学生有15人. (1)求图中的值； (2)利用样本估计总体的思想，比较两家餐厅满意指数的平均数的大小； (3)若餐厅满意指数频率分布直方图中第三组满意指数的方差，第四组满意指数的方差，求在餐厅用过餐的第三组与第四组所有学生的满意指数的方差. （注：本题计算平均数时同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） 20．（25-26高一下·宁夏银川·期中）某校高一年级开设有羽毛球训练课，期末对学生进行羽毛球五项指标(正手发高远球、定点高远球、吊球、杀球以及半场计时往返跑)考核，满分100分.参加考核的学生有40人，考核得分的频率分布直方图如图所示. (1)由频率分布直方图，求出图中的值，并估计考核得分的第60百分位数: (2)现已知直方图中考核得分在内的平均数为75，方差为6.25，在内的平均数为85，方差为0.5，求得分在内的平均数和方差. （附：设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，记两组数据总体的样本平均数为，则总体样本方差） $9.1-9.3 随机抽样，样本估计总体，统计案例 总览 题型·解读 【重难点突破】2025-2026学年高一下学期数学常考题型 1 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型汇编 知识梳理与常考题型 【题型1】 简单随机抽样 基础知识 核心知识 1定义从含有个个体的总体中逐个不放回抽取个个体每个个体被抽到的概率相等 2适用条件总体个数较少且个体差异不大 3常用方法抽签法随机数表法 4基本性质每个个体入样概率为 方法技巧 抽签法步骤编号制签搅拌均匀逐个抽取 随机数表法步骤编号选起始位置按方向读数取不重复编号 易错提醒抽样必须不放回保证每个个体被抽到的机会均等 典型例题 【例题 1】（25-26高一下·安徽阜阳·阶段检测）某校对高一新生进行了数学摸底测试，现利用随机数表从中抽取60名学生进行成绩分析，先将全体900名学生编号为001，002，003，…，900，从中抽取60个样本，并提供了随机数表的第1行到第2行，如下所示.若从该随机数表中第1行第4列开始向右读取数据，则得到的第5个样本的编号为（    ） 95226000　49840128　66175168　39682927　43772366　27096623 92580956　43890890　06482834　59741458　29778149　64608925 A．175 B．866 C．751 D．615 【答案】A 【详解】从随机数表中第1行第4列开始向右读取数据，前5个数据依次是260，004，012，866，175，所以得到的第5个样本的编号为175. 【例题2】（25-26高一下·福建厦门·期中）总体由编号为01，02，⋯  ，39，40的40个个体组成，从中选取6个个体.利用科学计算器依次生成一组随机数如下：𝟔5 𝟎𝟔 𝟓𝟖 𝟔𝟏 𝟓𝟒 𝟑𝟓 𝟎𝟐 𝟒𝟐 𝟑𝟓 𝟒𝟖 𝟗𝟔 𝟑𝟐 𝟏5 𝟓𝟐 39 𝟓𝟐 𝟒0 ，则选出来的第6个个体的编号为 _______ 【答案】39 【分析】根据随机数表法抽样，先筛选出落在有效编号范围内的数，再剔除重复项后按顺序计数，即可得到第 6 个个体的编号. 【详解】因为生成的随机数中落在编号01，02，⋯  ，39，40内的数依次为： 06，35，02，35（重复），32，15，39，40， 剔除重复项后，按顺序选取的 6 个个体编号为：06，35，02，32，15，39， 故第6个个体的编号为39. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高一下·宁夏银川·期中）现从编号为的支水笔中抽取支水笔进行书写长度检测，若从以下随机数表第个数字开始由左向右读取，则抽取的第支水笔的编号为__________. 【答案】 【分析】先确定起始位置，再从起始位置开始，按顺序每次读取两位数字，作为候选编号，最后按顺序筛选出的第个有效编号即可. 【详解】随机数表法 先从随机数表第个数字开始读取： 随机数表： 第个数字是（来自第一组 ），从左向右依次读取两位数字，并筛选出在范围内且不重复的编号： 第个： → 有效，对应编号                 第个： → 无效（），跳过 第个： → 有效，对应编号                 第个： → 无效（），跳过 第个： → 无效（），跳过               第个： → 有效，对应编号 所以，抽取的第支水笔的编号为. 【巩固练习2】（2026·黑龙江哈尔滨·一模）统计学中，常以前个区间的平均长度估计所有区间的平均长度.某工厂生产的零件以个为一箱，成箱出售（）.每箱中的零件按照生产顺序，从1到连续编号.现从一箱中随机抽取6个零件，发现上面的编号从小到大依次为：12，15，33，38，55，60，则下列4个选项中，作为的估计值，最合适的一项是（    ） A．61 B．70 C．98 D．120 【答案】B 【分析】根据统计估计计算求解. 【详解】根据已知从1到连续编号.现从一箱中随机抽取6个零件，发现上面的编号从小到大依次为：12，15，33，38，55，60， 则，所以. 【巩固练习3】（25-26高一下·全国·课后作业）（多选）（多选题）下列抽样的方式属于简单随机抽样的是（   ） A．从500个个体中一次性抽取50个作为样本 B．将500个个体编号，把号签放在一个不透明的容器内搅拌均匀，从中逐个抽取50个作为样本 C．箱子共有100个零件，从中选出10个进行检验，在抽样操作中，从中任意取出一个零件进行检验后，再把它放回箱子 D．福利彩票用摇奖机摇奖 【答案】BD 【分析】根据简单随机抽样的概念依次判断即可. 【详解】根据简单随机抽样的概念：从有限总体中进行随机、不放回抽样， 可知 A不是逐个抽取，C不是不放回抽取，故不是简单随机抽样，BD是简单随机抽样． 故选：BD 【题型2】 分层抽样 基础知识 核心知识 1定义将总体分成互不交叉的层按各层个体数占总体的比例抽取样本 2适用条件总体由差异明显的几部分组成 3核心公式抽样比各层抽取个体数 4性质各层样本数与该层总体数的比值等于抽样比 方法技巧 比例优先先求抽样比再计算各层抽取数量 易错点各层抽样比必须一致保证样本的代表性 分层原则层内差异小层间差异大 典型例题 【例题1】（25-26高一下·宁夏银川·期中）高一某班有56名学生，其中男生24人，女生32人.按性别进行分层，用分层随机抽样的方法，从该班学生中抽取14人参加跳绳比赛，如果样本按比例分配，则应抽取的男生人数为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【详解】因为样本按比例分配，男女比例为， 所以应抽取的男生人数为. 【例题2】（25-26高一下·湖南衡阳·期中）“一尺一拳一寸间，科学用眼护双眼”，为保护青少年视力，培养科学健康的用眼习惯，某市疾控中心联合教育局开展“青少年视力健康监测与科学用眼宣传”．计划从全市三所高中（A校2400人、B校1800人、C校1200人）的所有学生中，按人数比例采用分层随机抽样的方法抽取270人进行视力检测与用眼习惯问卷调查，则A校应抽取的人数为（    ） A．60 B．90 C．120 D．150 【答案】C 【分析】根据分层随机抽样的比例分配原则求解即可. 【详解】因为A校2400人、B校1800人、C校1200人， 所以A校人数在三所高中人数中占比为， 所以按人数比例采用分层随机抽样的方法抽取270人时，A校应抽取的人数为. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（2026·湖南长沙·模拟预测）甲校有名学生，乙校有名学生，丙校有名学生，为统计三校学生某方面的情况，计划采用分层随机抽样法抽取一个容量为的样本，应在这三校分别抽取学生（    ） A．人，人，人 B．人，人，人 C．人，人，人 D．人，人，人 【答案】A 【详解】因为，所以甲校应抽取， 乙校应抽取，丙校应抽取. 【巩固练习2】（2026·湖南株洲·模拟预测）某中学七年级有200人，八年级有220人，九年级有180人，用简单随机抽样的方法从该学校抽取一个容量为的样本，若每个学生被抽到的概率为0.3，则（    ） A．180 B．200 C．240 D．260 【答案】A 【详解】由题意，该中学学生总数为， 因每人被抽到的可能性都为0.3，则抽取的样本容量. 【巩固练习3】（25-26高一下·安徽阜阳·阶段检测）某学校高一年级共有1 500名学生，从中随机抽取300名学生以了解学生对四大名著的阅读情况，其中只阅读两本名著的有135人，至少阅读三本名著的有96人，请估计该校高一全体1 500名学生中，至多阅读一本名著的人数约为（    ） A．350 B．345 C．450 D．485 【答案】B 【分析】先计算抽取的300名样本中至多阅读一本名著的人数，算出样本中该情况的频率，进而即得. 【详解】在这300人中，至多阅读一本名著的人数为（人）， 则高一全体名学生中，至多阅读一本名著的人数约为. 【题型3】 频率分布直方图的有关计算 基础知识 核心知识 1频率分布直方图构成横轴为数据分组纵轴为频率/组距 2核心公式 频率=频率/组距×组距 频率=频数/样本容量 所有矩形面积之和为1 3关键统计量 众数最高矩形中点的横坐标 中位数左右面积各为0.5的位置 平均数每个矩形中点横坐标×该矩形面积之和 方法技巧 三步计算法先算频率再算频数最后求统计量 中位数定位从左到右累加面积找到累计面积首次≥0.5的区间再用公式计算具体位置 平均数计算加权平均用组中值代表每组数据 典型例题 【例题1】（25-26高一下·新疆·阶段检测）2026年5月25日至5月31日将是第四届全国城市生活垃圾分类宣传周，为提高同学们的垃圾分类意识．某中学举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，为了了解本次竞赛的成绩情况，从中随机抽取了100名学生的竞赛成绩（单位：分，得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计，将成绩进行整理后，按，，，，分为5组，得到如图所示的频率分布直方图． (1)求图中的值； (2)在这100名学生中，从这次竞赛成绩在内的学生中采用分层随机抽样的方法抽取27名学生进行调查，求这100名学生这次竞赛成绩在内被抽取的人数． (3)估计这100名学生这次竞赛成绩的中位数与平均数； 【答案】(1) (2) (3)中位数为，平均数为 【分析】（1）利用频率分布直方图中各小长方形面积之和等于1求出； （2）先求出成绩在内、内的人数，再按分层随机抽样的比例求解； （3）用各组的组中值分别乘对应人数，再除以总人数，求得平均数，利用面积和为可得中位数. 【详解】（1）由频率分布直方图可知，各组的组距都是， 各组对应的小长方形面积之和等于总频率1，所以， 化简得，即，即，即， 所以图中. （2）由（1）知， 因此各组的频率分别为， ， 对应这名学生各组的人数分别为， 成绩在内的人数为， 成绩在内的人数为， 所以成绩在内的总人数为， 现从这45人中采用分层随机抽样的方法抽取27人， 则成绩在内被抽取的人数为， 所以这名学生这次竞赛成绩在内被抽取的人数为6. （3）由（2）知，各组的人数分别为， 各组的组中值分别为， 则， 所以估计这名学生这次竞赛成绩的平均数为分. 由可得中位数位于中间，设为， 则. 【例题2】（25-26高一下·四川内江·阶段检测）某校100名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如下： (1)求频率分布直方图中a的值； (2)估计这次考试的众数、平均数及中位数（中位数保留两位小数）． 【答案】(1) (2)众数为，平均数为，中位数为. 【分析】（1）根据频率之和等于1求解即可； （2）根据众数、平均数、中位数的定义，结合频率直方图计算可得. 【详解】（1）由频率直方图可得，解得. （2）由图可知，第三组的矩形最高，所以众数为； 平均数， 因为前2组的频率之和， 前3组的频率之和， 所以中位数位于区间内，则中位数为. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（2026·甘肃兰州·模拟预测）（多选）2026年1月，重庆合川区女孩“呆呆”（网名）在社交平台发布求助视频，邀请网友帮忙“按猪”，承诺以刨猪汤答谢，结果意外走红.合川区某机构为了解各年龄层对这次“重庆呆呆刨猪汤”的关注程度，随机选取了100名年龄在内的市民进行调查，并绘制出如图所示的频率分布直方图，则（每组数据以区间的中点值为代表）（   ） A． B．所调查市民年龄众数的估计值为40 C．所调查市民年龄的第75百分位数的估计值为42.5 D．所调查市民的平均年龄约为34.5岁 【答案】ACD 【详解】对于A，由题可得，解得，故A正确： 对于B，由频率分布直方图可知，年龄位于区间的频率最大，故所调查市民年龄众数的估计值为，故B错误； 对于C，设第75百分位数为，前3组的频率之和为，前4组的频率之和为，故第75百分位数在第4组，所以，解得，所以所调查市民年龄的第75百分位数的估计值为42.5，故C正确； 对于D，所调查市民的平均年龄约为岁，故D正确. 【巩固练习2】（2026·湖南长沙·模拟预测）某公司为了了解本公司职员的午餐费用情况，抽样调查了100位职员的午餐日平均费用（单位：元），得到如下图所示的频率分布直方图，图中标注a的数字模糊不清． (1)试根据频率分布直方图求a的值，并估计该公司职员午餐日平均费用的众数和平均数； (2)已知该公司有1000名职员，试估计该公司有多少职员午餐日平均费用不超过6元？ 【答案】(1) ，众数为，平均数为 (2) 人 【分析】（1）利用频率分布直方图中所有小矩形面积之和为求出，根据最高矩形底边中点估计众数，利用各组中点值乘以频率之和估计平均数； （2）计算日平均费用不超过元的频率，再乘以总人数即可. 【详解】（1）由频率分布直方图可得， ， 解得. 由图可知，最高矩形的组为，故众数的估计值为该组底边的中点值，即. 平均数为： 故，众数为，平均数为. （2）由频率分布直方图可知，午餐日平均费用不超过元的频率为： . 已知该公司共有名职员， 则估计该公司午餐日平均费用不超过元的职员人数为： （人）. 故估计该公司有名职员午餐日平均费用不超过元. 【巩固练习3】（2026·山东·模拟预测）（多选）某工厂抽检120个机械零件的外径尺寸（单位：mm），分组数据如下表： 尺寸区间 频数 8 13 22 37 24 16 根据表中数据，下列结论正确的有（     ） A．这120个零件外径尺寸的中位数不小于 B．这120个零件外径尺寸不低于的零件所占比例不足 C．这120个零件外径尺寸的极差介于到之间 D．这120个零件外径尺寸的平均值介于至之间 【答案】ABC 【分析】由题设表格数据计算各选项对应统计量，据此可判断选项正误. 【详解】对于A，将零件外径尺寸从小到大排列，则第60个，61个数据均不小于34，则中位数不小于34，故A正确； 对于B，不低于的零件占比为：，故B正确； 对于C，由表格数据可得：零件外径尺寸最小值在内，最大值在内，则零件外径尺寸极差，即外径尺寸最大值与最小值差值范围在20到30之间，故C正确； 对于D，由表格数据，每组数据均取最小值，可得零件外径尺寸平均值不低于： ， 每组数据均取区间的右侧端点，可得零件外径尺寸平均值低于： ， 即零件外径尺寸平均值介于至之间，故D错误. 【题型4】 扇形图折线图有关的计算 基础知识 核心知识 1扇形图用扇形面积表示各部分占总体的百分比圆心角=360°×百分比 2折线图用线段连接数据点反映数据随时间或顺序的变化趋势 3常见计算百分比频数总量圆心角 方法技巧 扇形图计算先由圆心角或频数求百分比再由百分比求总量或其他部分数据 折线图分析重点关注趋势变化峰值谷值增长率等 易错提醒扇形图只反映比例关系不反映具体数量 典型例题 【例题1】（2026高三·全国·专题练习）小明在今年“十一”假期随家人到杭州游玩，恰逢亚运盛会，在10月2日下午女子跳水1米板决赛开赛前，小明随机调查了若干名前来观看本场比赛观众的年龄，并将调查所得数据制作成了如图所示的饼图，则关于这组数据的说法不正确的是（    ） A．平均数约为38.6 B．中位数约为38.75 C．第40百分位数约为35.6 D．上四分位数约为42.6 【答案】D 【分析】利用平均数和百分位数的定义逐项判断即可． 【详解】对于A，由饼图可知，平均数为：，故A正确； 对于B，，，故中位数在这一组， 设中位数为，则，解得，故B正确； 对于C，，，故第40百分位数在这一组， 设第40百分位数为，则，解得，故C正确； 对于D，上四分位数即第75百分位数，，， 故第75百分位数在]这一组，设第75百分位数为， 则，解得，故D错误． 【例题2】（2026·陕西榆林·模拟预测）某同学收集并整理了某市年月日至日每日最高气温（单位：）的数据（均为整数），并绘制了如图所示的折线图，则月日至日最高气温的中位数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接由中位数的定义计算可得. 【详解】由图知，月日至日的最高气温由低到高排列为，共个数据， 故中位数为. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（2026·湖南株洲·模拟预测）小张记录了2025年1月至11月期间每月跑步的里程（单位：十公里）数据，整理并绘制了如图所示的折线图．根据该折线图，下列说法错误的是（     ）    A．月跑步里程出现波动性 B．月跑步里程最大值出现在10月 C．月跑步里程的中位数为5月份对应的里程数 D．1月至5月的月跑步里程相对于6月至11月波动性更大 【答案】D 【详解】对于A，由折线图知，月跑步里程互不相同，出现波动，A正确； 对于B，月跑步里程最大值出现在10月，B正确； 对于C，月跑步里程数从小到大排列分别是2月，8月，3月，4月，1月，5月，7月，6月，11月，9月，10月， 因此5月份对应的里程数为中位数，C正确； 对于D，1月到5月的月跑步里程相对于6月至11月更均匀，波动性更小，D错误． 【巩固练习2】（2026·贵州黔东南·模拟预测）（多选）如图，这是某校写作兴趣小组25名同学暑假的课外阅读量（单位：本）的折线统计图，则（   ） A．这25名同学暑假的课外阅读量的众数是4本 B．这25名同学暑假的课外阅读量的中位数是5本 C．这25名同学暑假的课外阅读量的平均数是4.4本 D．这25名同学暑假的课外阅读量的第80百分位数是6本 【答案】BCD 【详解】由图可得课外阅读量为本的同学有人，为本的同学有人，为本的同学有人， 为本的同学有人，为本的同学有人，为本的同学有人，为本的同学有人， 对于A，这25名同学暑假的课外阅读量的众数是5本，A错误； 对于B，将课外阅读量按照从小到大排列，第个数为，中位数是5本，B正确； 对于C，平均数是本，C正确； 对于D，，将课外阅读量按照从小到大排列，第个数为，第个数为， 所以这25名同学暑假的课外阅读量的第80百分位数是6本，D正确. 【巩固练习3】（2026·广东佛山·二模）（多选）地方一般公共预算收入是地方经济的重要指标之一，如图是某地区2025年2月至10月地方一般公共预算收入累计的图表，其中条形图是地方一般公共预算收入的月累计值（月累计值指当年1月到当月的数据总和），折线图是与上年同月累计值相比的同比增长率．根据图表，下列说法正确的是（   ） A．该地区2025年每月的地方一般公共预算收入一直递增 B．2025年9月该地区的地方一般公共预算收入超过30亿元 C．2025年9月该地区的地方一般公共预算收入比2024年9月高 D．2024年前10个月，该地区地方一般公共预算收入平均数低于22亿 【答案】BCD 【分析】根据图表中信息，以及地方一般公共预算收入的月累计值和同比增长的概念，逐一判断各选项的正误，判断结果. 【详解】由图表可知，3月的地方一般公共预算收入为（亿元），4月的地方一般公共预算收入为（亿元），可知选项A错误； 9月该地区的地方一般公共预算收入为（亿元），所以选项B正确； 2025年9月该地区的地方一般公共预算收入累计同比增长，所以2024年9月该地区的地方一般公共预算收入累计为（亿元）， 2025年8月该地区的地方一般公共预算收入累计同比增长，所以2024年8月该地区的地方一般公共预算收入累计为（亿元）， 所以2024年9月该地区的地方一般公共预算收入为（亿元），所以C正确； 2025年10月该地区的地方一般公共预算收入累计同比增长，所以2024年10月该地区的地方一般公共预算收入累计为（亿元），所以2024年前10个月，该地区地方一般公共预算收入平均数为，所以D正确； 故选：BCD. 【题型5】 平均数方差极差的计算 基础知识 核心知识 1平均数 定义式 加权平均数 2方差 定义式 简化公式 3极差最大值与最小值的差反映数据波动范围 方法技巧 平均数速算数据较大时可同时减去一个常数简化计算 方差简化优先使用简化公式减少计算量 性质应用若数据变为则新平均数为新方差为 典型例题 【例题1】（2026·海南海口·模拟预测）（多选）某地7月份记录高温天气有10天，温度（单位：）由低到高的排列分别如下：33，34，35，36，36，37，37，37，37，38，这10个数的平均数为m，中位数为n，极差为t，方差为．则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】，选项A错误. 个数据的中位数是排序后第个和第个数的平均值，第个数是，第个数是，因此，B正确. 最大值为，最小值为，因此，C正确. ，D错误. 【例题2】（2026·辽宁大连·三模）在发生公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为“连续7天，每天新增疑似病例不超过5人”．过去7日，甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据信息如下，则一定符合该标志的是（   ） 甲地：总体平均数，且中位数为0； 乙地：中位数为2，3为众数； 丙地：总体平均数为2，且标准差； 丁地：总体平均数，且极差． A．甲地 B．乙地 C．丙地 D．丁地 【答案】D 【分析】根据各地区的统计量（中位数，极差，平均数，众数，方差），判断是否满足题意. 【详解】甲地：需满足总体平均数，且中位数为0， 假设7天新增疑似病例为0，0，0，0，5，6，7，第6天、第7天新增疑似病例超过5人，不符合该标志. 乙地：假设7天新增疑似病例为0，1，2，2，3，3，7，满足中位数为2， 其中一个众数为3，但是第7天新增疑似病例超过5人，不符合该标志. 丙地：若7天新增疑似病例为1，1，1，1，2，2，6，满足平均数为2， 方差，，但不符合该标志. 丁地：由极差可知，若新增疑似病例最多超过5人，比如6人，那么最小值不低于4人 ，此时平均数 ，与矛盾，故每天新增疑似病例不超过5人，丁地符合该标志. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高一下·安徽阜阳·阶段检测）（多选）某公司欲对甲、乙、丙、丁四名实习生进行考核，考核规则为对连续五个工作日的工作情况进行打分，若每天的得分均不低于80分（所得分均为整数），则考核合格，否则视为不合格，四人连续五个工作日的得分记录如下. 甲:众数为83，平均数为82. 乙:中位数为82，众数为80. 丙:中位数为85，平均数为82. 丁:有个工作日得分为89，平均数为83，方差为9.2. 甲、乙、丙、丁四人中，考核一定合格的为（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】BD 【分析】分别结合甲、乙、丙、丁四人已知的众数、中位数、平均数、方差的统计性质，逐一验证是否存在得分低于分的可能性，由此判断哪名实习生一定满足五天得分均不低于分的合格要求. 【详解】对于A：若甲有四个工作日的得分为，则剩余的那个工作日的得分为， 故甲的考核不一定合格，A错误； 对于B：将得分排序后，第三个为，且至少有两个，这两个必然是最小的两个数， 因此所有得分均不低于，故乙的考核一定合格，B正确； 对于C：丙的中位数为，平均数为，其得分可以为， 故丙的考核不一定合格，C错误； 对于D，由于丁有一个工作日的得分为，且平均数为， 若有一个工作日的得分为，由， 可知其方差必超过了，所以丁连续五个工作日的得分均不低于， 故丁的考核一定合格，D正确. 【巩固练习2】（25-26高三·全国·一轮复习）袋子中有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取5次，每次取一个球.记录每次取到的数字，统计后发现这5个数字的平均数为2，方差小于1，则（    ） A．可能取到数字4 B．中位数可能是2 C．极差可能是4 D．众数可能是3 【答案】B 【详解】设这5个数字为，，，，， 对于A，若取到数字4，不妨设，则，可得， 可知这4个数中至少有2个1，不妨设， 则这5个数字的方差 ，不符合题意，故A错误； 对于C，因为这5个数字的平均数为2，若这5个数字不完全相同， 则这5个数字至少有1个1，不妨设，若极差是4，则最大数为5，不妨设， 则这5个数字的平均数， 则，可知这3个数有2个1，1个2， 此时这5个数字的方差，不符合题意， 若这5个数字完全相同，则极差为0，故C错误； 对于B，例如2，2，2，2，2，可知这5个数字的平均数为2，方差为0，符合题意，且中位数是2，众数是2，故B正确， 对于D，因为5个数的平均数为2，若3是众数，则3出现2次，则另外三个数只能是1，1，2，方差为， 此时众数不为3，矛盾； 若3出现2次以上，则此时3个数的和至少为9，显然不可能，故D错误. 【巩固练习3】（2026·河北雄安·三模）（多选）一组样本数据：1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，则这组数据的（   ） A．中位数是3 B．第80百分位数是4 C．平均数是3.5 D．方差是11 【答案】AB 【分析】根据中位数、平均数、百分位数、方差的定义计算即可. 【详解】因为样本数据为1，2，2，3，3，3，4，4，4，4， 所以中位数为，A正确； 由于，所以第80百分位数是，B正确； 平均数为，所以C错误； 样本数据的方差为， 所以D错误. 【题型6】 数的百分位数计算 基础知识 核心知识 1定义将一组数据从小到大排列计算若为整数取第项和第项的平均值若不是整数向上取整对应的数即为第百分位数 2常用百分位数第25百分位数（第一四分位数）第50百分位数（中位数）第75百分位数（第三四分位数） 方法技巧 计算步骤 1将数据从小到大排序 2计算 3根据是否为整数按规则取值 易错提醒百分位数不一定是数据中的某一个数需按定义计算 典型例题 【例题1】（25-26高一下·湖南衡阳·期中）某班10名学生的数学测验成绩分别为85，88，90，92，95，96，98，100，105，105，则这组数据的第40百分位数是（    ） A．95 B．93.5 C．92.5 D．92 【答案】B 【详解】因为，所以10个数据的第40百分位数是第4个和第5个数的平均数， 即. 【例题2】（2026·河南许昌·三模）某篮球运动员近8场比赛的得分从低到高依次为6，9，，，，，，，则这8个数据的上四分位数是____________． 【答案】/ 【详解】数据升序排列为：6，9，，，，，，， 上四分位数的位置为， 位置为整数，取第项的平均值． 巩固练习 题型 【巩固练习1】（2026·浙江·三模）已知一组实数：1，2，4，x，8，10，若该组数据的第百分位数为4，则不可能是（   ） A．40 B．50 C．60 D．70 【答案】D 【分析】按分类，结合第百分位数的定义逐项分析判断. 【详解】对于A，当时，由，得该组数据的第百分位数为由小到大排列的第3个数4，A可能； 对于B，当时，由，得该组数据的第百分位数为由小到大排列的第3、4个数的平均数4，B可能； 对于C，当时，由，得该组数据的第百分位数为由小到大排列的第4个数4，C可能； 对于D，，无论取何值，该组数据由小到大排列的第5个数不可能为4，因此不可能为，D不可能. 【巩固练习2】（25-26高二下·上海·阶段检测）样本数据：1，1，2，2，3，3，4，4，5，5，6的第75百分位数为________． 【答案】5 【详解】显然该组数据是按照从小到大排列，且共有个数据， 因为， 所以这组数据的第75百分位数为第九个数据，即为5. 【巩固练习3】（25-26高三下·上海·阶段检测）样本数据7，8，10，11，23，24，30，35的第40百分位数为_______. 【答案】 11 【详解】因为，所以第40百分位数为第4个数据11. 【题型7】 频率分布直方图中百分位数的计算 基础知识 在频率分布直方图中计算百分位数的步骤可分为以下四部分 1、计算累积频率；2、定位区间；3、设值计算 典型例题 【例题1】（2026·福建泉州·模拟预测）某校从高中部抽出100名学生参加AI基础知识竞赛，由成绩得到如图的频率分布直方图，则估计这100名学生成绩的48%分位数为__________分. 【答案】76 【详解】依题意，前三个小矩形的面积之和为， 前四个小矩形的面积之和为， 因此分位数位于内，， 所以估计这100名学生成绩的48%分位数为76分. 【例题2】（2026·山东滨州·二模）某学校为培养学生创新精神和实践能力，组织了一次“科技小发明”竞赛活动，并对200位参赛学生的综合表现进行评分.学生得分的频率分布直方图如图所示，根据图中数据，估计得分的第80百分位数为（   ） A．78 B．82 C．85 D．88 【答案】D 【分析】由百分位数计算公式即可求解. 【详解】频率分布直方图中，所有区间的频率和为1， 可得 ， 因此： 各区间累计频率为： 频率，累计， 频率，累计， 频率，累计， 频率，累计 ， 因此第80百分位数落在区间 内， 根据百分位数计算公式：第80百分位数 . 巩固练习 题型 【巩固练习1】（2026·山东聊城·模拟预测）某小学五年级共有200名学生．期末考试后，学校教导处统计了五年级全体学生的数学成绩，并绘制了如图所示的频率分布直方图，估计这200名学生成绩的80%分位数是（    ） A．70.23 B．70.84 C．71.26 D．71.43 【答案】D 【分析】根据百分位数的定义求解即可. 【详解】数学成绩低于60分的频率为， 数学成绩低于80分的频率为， 这200名学生成绩的80%分位数在内． 设200名学生成绩的80%分位数为，则，解得， 估计这200名学生成绩的80%分位数是71.43． 【巩固练习2】（2026·湖南怀化·模拟预测）直播带货已经成为助力乡村振兴的重要方式之一.某村统计了一合作社最近100天通过直播带货销售农产品的日销售额x（单位：万元），并绘制成下面的频率分布直方图，则______；x的第80百分位数为______. 【答案】 / / 【详解】由图知，解得， 设销售额的第80百分位数为m，又 ， ，且，解得. 【巩固练习3】（25-26高三·全国·一轮复习）为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，某地面向全体中学生开展了以“铭记历史、缅怀先烈、珍爱和平、开创未来”为主题的知识竞赛活动．现从中随机抽取了100名学生的成绩（满分100分，成绩取整数）整理成如图所示的频率分布直方图，则估计这组数据的第85百分位数为（   ）    A．85 B．86 C．86.5 D．87 【答案】B 【分析】运用频率分布直方图的性质求出，结合百分位数的定义求解即可. 【详解】由，解得. 所以前4组频率和为，前5组频率和为， 设这组数据的第85百分位数为，则，解得． 【题型8】 分层抽样的方差计算 基础知识 分层随机抽样的平均数与方差计算 在分层随机抽样中，如果层数分为2层，第1层和第2层包含的个体数分别为M和N，抽取的样本量分别为m和n，第1层、第2层的总体平均数分别为，，第1层、第2层的样本平均数分别为，，总体平均数为，样本平均数为，则==+. 由于用第1层的样本平均数可以估计第1层的总体平均数，用第2层的样本平均数可以估计第2层的总体平均数，因此可以用=+估计总体平均数. 又==，所以+=+=. 因此，在比例分配的分层随机抽样中，我们可以直接用样本平均数估计总体平均数. 分层随机抽样的方差计算：若第1组数据中有m个数，且平均数为，；第2组数据有n个数，且的平均数与方差为，. （1）两组数据合并后的平均数 （2）两组数据合并后的方差 典型例题 【例题1】（25-26高二上·广东中山·阶段检测）某校男生人，女生人，男生、女生每天运动时间（分钟）的平均值为，方差分别为，结合此数据，请你估计该校全体学生每天运动时间的平均值（分钟）和方差分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】依题意，平均值为： 而混合数据后，新方差计算如下：. 【例题2】（2026·四川广元·三模）某果园为检测两试验园苹果的质量，现从试验园抽取30个苹果，其平均质量为，方差为48，从试验园抽取20个苹果，其平均质量为，方差为40，则抽取的这50个苹果的方差为（   ） （参考公式：样本分为2层，各层的容量、平均数和方差分别为，，，，，，记样本的平均数为，方差为，则.） A．45.8 B．140.8 C．176 D．183.2 【答案】B 【分析】求出平均数后，利用所给方差公式计算即可得. 【详解】这50个苹果的平均数， 则方差 . 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高二下·重庆·阶段检测）“2026重庆马拉松”成功举行，某单位承办了志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第一、二组的频率之和为0.3，第一组和第五组的频率相同． (1)求a，b的值； (2)若面试成绩前的候选者为优秀候选者，请估计优秀候选者成绩的最低分； (3)现从以上各组中用分层抽样的方法选取20人，担任本次宣传者．若本次宣传者中第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为62和30，第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为80和40，据此估计这次第二组和第四组这两组的所有面试者的方差． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据频率直方图中各小矩形的面积之和为1，求解即可； （2）应用百分位数的定义确定面试成绩前候选者的最低分所在区间，即可求； （3）根据分层抽样的抽样比公式，结合总体方差运算公式进行求解即可. 【详解】（1）由题意可知，，解得； （2）由（1）及图知，， 所以面试成绩前候选者（分数从高到低）的最低分位于区间，设为， 所以，可得. （3）设第二组、第四组的平均数分别为，方差分别为， 且各组频率之比为： ， 所以用分层抽样的方法抽取第二组面试者人， 第四组面试者人， 则第二组和第四组面试者的面试成绩的平均数， 第二组、第四组面试者的面试成绩的方差 ， 故估计第二组、第四组面试者的面试成绩的方差是． 【巩固练习2】（20-21高一下·广东广州·期末）为了解学生的课外阅读情况，某校采用样本量比例分配的分层随机抽样对高中三个年级的学生进行平均每周课外阅读时间（单位：小时）的调查，所得样本数据如下： 年级 抽样人数 样本平均数 样本方差 高一 40 5 3.5 高二 30 2 高三 30 3 已知高中三个年级学生的总样本平均数为4.1，总样本方差为3.14，则高二年级学生的样本平均数______，高三年级学生的样本方差______. 【答案】 4 1.5 【分析】分别由总样本的平均数公式和总样本方差公式求解即可. 【详解】由题意得高中三个年级学生的总样本平均数为4.1， 可得，解得； 因为总样本方差为3.14， 所以， 解得. 故答案为：4；1.5. 【巩固练习3】（24-25高一下·河南平顶山·期末）已知总体划分为两层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数、样本方差分别为m，，；n，，.记总的样本平均数为，样本方差为，则，该公式可以用来解决样本数据的最值问题.已知7个样本数据的均值为2，方差为，则这7个样本数据的中位数的最大值为__________. 【答案】3 【分析】设这7个样本数据为，且，的均值为，方差为；的均值为，方差为，将代入题设总体方差公式求出即可得解. 【详解】设这7个样本数据为，且， 的均值为，方差为；的均值为，方差为， 则，，当且仅当时取等号； 所以， 所以当，时中位数可以达最大， 故答案为：3 【题型9】 分析数据变化与方差平均数的变化 基础知识 核心知识 1数据线性变换性质若数据变为 新平均数 新方差 新标准差 2数据加减同一常数方差不变仅平均数改变 3数据乘同一常数平均数和标准差同比例变化方差按比例平方变化 方法技巧 变化分析口诀加常数只移均值乘常数均值方差同变方差变平方倍 实例判断如数据都加5方差不变平均数加5；数据都乘2方差乘4平均数乘2 易错点数据同时加减乘除时要区分常数对均值和方差的不同影响 典型例题 【例题1】（2026·福建泉州·三模）已知一组样本数据的样本容量为10，平均数为6，方差为2．现去掉其中的两个数据3和9，则剩下的8个样本数据的方差为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【详解】设原样本为，则去掉数据后的平均值为， 又，所以， 所以去掉数据后的方差为. 【例题2】（2026·湖北·三模）（多选）在一组样本数据3，5，5，6，7，7，9中增加一个数据后，下列说法正确的是（    ） A．若众数仅为5，则 B．若平均数不变，则 C．若中位数不变，则 D．若极差为9，则或 【答案】AB 【分析】先求得原始数据的平均数，众数，中位数，极差，再结合选项依次讨论即可得答案. 【详解】原始数据的平均数为， 众数为5和7，中位数为6，极差为， 对于A，原数据众数为5和7，若新众数仅为5，则5的个数须超过7的个数，故增加的，故正确； 对于B，当增加数据后平均数不变，则增加的，故正确； 对于C，原中位数为6，增加后，新中位数为8个数据中第4、5位的平均数， 要使中位数仍为6，经检验只有满足条件，当增加数据后中位数不变，故，故错误； 对于D，当增加数据后极差为9，故当最小时，得； 当最大时，得，故或，故错误. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（2026·陕西渭南·三模）（多选）一组互不相等的数据从小到大排列为，去掉后，则下列说法正确的有（   ） A．极差变小 B．平均数变大 C．方差变大 D．50%分位数变大 【答案】ABD 【分析】根据极差，平均数，方差，百分位数的定义结合作差法逐一判断即可. 【详解】原极差为 ，去掉 后，新极差为 ， 因为 ，所以 ，极差一定变小，A正确； 设原总和 原平均数 ，去掉 后新平均数 ， ， 所有 ，分子为正，故 ，平均数变大，B正确； 方差描述数据离散程度，去掉最小的后，方差可能变小： 例如数据 ，原方差 ， 去掉 后方差，方差变小；C错误； 原数据 ，，50%分位数为 ； 去掉 后 ，， 50%分位数为新序列的第3项，即 ，因为 ，所以， 即，50%分位数变大，D正确. 【巩固练习2】（2024·河北衡水·模拟预测）（多选）已知一组数据满足，则下列说法正确的是（   ） A．这组数据的40%分位数是 B．的极差小于的极差 C．的平均数小于的平均数 D．的方差小于的方差 【答案】BD 【详解】对于A，，所以这组数据的40%分位数是，故A错误； 对于B，因为 ，所以，故B正确； 对于C，不妨取这组数据为1，2，3，4，5，此时的平均数和的平均数均为3，故C错误； 对于D，由可知，数据比数据更分散， 所以的方差小于的方差，故D正确． 【巩固练习3】（2026·湖北黄石·模拟预测）（多选）已知数据，，…，的平均数为，标准差为，中位数为，极差为.由这组数据得到新数据，，…，，其中（），则下列命题中正确的是（   ） A．新数据的平均数是 B．新数据的标准差是 C．新数据的中位数是 D．新数据的极差是 【答案】ACD 【分析】对于AB，由平均数，标准差的计算公式直接验算即可；对于 CD， 直接由中位数，极差的定义验证即可. 【详解】A，因为，所以 ，故A正确； B，因为，所以 ，故B错误； C、D，不妨设，所以， 而，所以，故C正确； 因为，所以 ，故D正确. 【题型10】 统计的综合题型 典型例题 【例题1】（25-26高二下·重庆·期中）某校法联社团组织高一年级所有学生参加“感受法治内涵，争做法治宣传人”的主题知识比赛，旨在引导同学们深入学习法治知识，争当法治精神的传播者.比赛分为初赛和决赛两个环节，现从所有初赛成绩（满分分，最低分分）中，随机调查了位同学的测试成绩，按、、、、分组，并绘制出了如图所示的频率分布直方图. (1)若规定成绩排名前的同学可入围决赛，请估计进入决赛的同学成绩应不低于多少分？ (2)已知落在内的平均成绩是分，方差是分，落在内的平均成绩是分，方差是分，求两组成绩合并后的平均数和方差. 附：设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为、、；、、，记两组数据总体的样本平均数为，则总体样本方差. 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）根据频率分布直方图计算样本数据的第百分位数即可； （2）先求出总体平均数，再利用分层抽样的方差公式求解即可. 【详解】（1）由题意可知，进入决赛的同学成绩的分数线为样本数据的第百分位数， 设样本数据的第百分位数为， 由频率分布直方图中所有矩形的面积之和为可得， 解得， 前三个矩形的面积之和为， 前四个矩形的面积之和为，所以， 由百分位数的定义可得，解得， 故进入决赛的同学成绩应不低于分. （2）由题意可知，成绩落在的频率为， 成绩落在的频率为， 所以，， . 【例题2】（24-25高一上·贵州遵义·期末）某学校高一年级某班男同学与女同学的人数之比为，在学校的一次月考中，某数学教师为分析本班的成绩，作了如下统计： 女同学成绩频数分布表 成绩值区间 合计 频数 3 4 10 2 1 20 男同学成绩频率分布直方图 (1)估计本班女同学成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (2)根据男同学成绩的频率分布直方图，比较男同学成绩的平均数与中位数的大小； (3)已知女同学成绩的方差为169，男同学成绩的方差为104，估计该班全体同学成绩的方差（平均用四舍五入取整数计算，方差结果取整数）. 参考公式：总体划分为女生和男生2层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为，，；，，，记总的样本平均数和样本方差分别为，，则. 【答案】(1) (2)平均数小于中位数 (3) 【分析】（1）利用频率分布表的性质求解平均数即可. （2）利用频率分布直方图的性质求解平均数和中位数，再比较大小即可. （3）先求出样本平均数，再结合样本方差公式求解方差即可. 【详解】（1）由题意得 . （2）因为小长方形面积和为1， 所以，解得， 设平均数为，中位数为， 由题意得 ， ， 因为， 所以中位数在中， 由中位数性质得， 解得，而， 可得中位数大于平均数. （3）因为男同学与女同学的人数之比为， 且女生有20人，所以男生有人， 由题意得， 则样本方差为. 巩固练习 题型 【巩固练习1】（25-26高二上·四川成都·阶段检测）“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心，现已形成了全民自觉参与，造福百姓的良性循环．据此，某网站推出了关于生态文明建设进展情况的调查，调查数据表明，环境治理和保护问题仍是百姓最为关心的热点．现从参与关注生态文明建设的人群中随机选出100人，并将这100人按年龄分为第1组，第2组，第3组，第4组，如图所示． (1)求的值，并估计这组数据的平均数和中位数； (2)现从年龄在及的人群中按分层抽样抽取5人，再从中选2人作为生态文明建设知识宣讲员，求这两人来自同一组的概率； (3)从年龄在及的人群中按分层抽样共抽取50人，在抽取的人中年龄在的平均数为40，方差为14，年龄在的平均数为50，方差为24． （i）已知总体划分为2层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，记总的样本平均数为，样本方差为．证明： （ii）用样本估计总体，试估计参与关注生态文明建设的人群中年龄的平均数和方差． 【答案】(1)，平均数为；中位数为 (2) (3)（i）证明见解析 （ii）， 【分析】（1）根据频率分布图的频率之和为1，计算即可求得，进而利用平均数与中位数的意义求解即可； （2）按分层抽样从抽取的5人中任抽2人，列举出所有基本事件，再利用古典概型概率公式计算即可求解. （3）（i）利用方差的意义计算即可证明结论； （ii）利用（i）的结论计算即可求解. 【详解】（1）由题意可得，解得， 所以平均数为； 因为， 所以中位数在内，中位数为； （2）由在及的人群中按分层抽样抽取5人，因为两组频率之比为， 所以在内抽取了2人，记这两人为，在内抽取了3人，记这三人为， 从中选2人有共10种取法， 其中这两人来自于同一组的取法有共4种取法， 所以这两人来自同一组的概率为； （3）（i）， 又因为，所以， 同理可得， 所以， ，所以， 同理可得， 根据方差的定义可得， 所以， 又 又 ， 又， 所以， 同理， 所以 所以 （ii）年龄在及的人群的比例为， 所以利用分层抽样的方法在及的人群中共抽取50人， 则在的人群中应抽取20人，在的人群中应抽到30人， 则， 所以， . 【巩固练习2】（25-26高一下·安徽阜阳·阶段检测）某市出租车公司统计该公司某品牌出租车1~6月份的平均收入（单位:万元），其情况如下表所示: 1月份 2月份 3月份 4月份 5月份 6月份 白天 1.05 0.96 1.29 1.17 1.53 1.2 晚上 1.38 1.26 1.5 1.56 1.8 1.5 (1)试求1~6月份的平均收入及月收入的中位数； (2)甲、乙两位师傅打算合租该品牌的一辆出租车，其中甲师傅租白天、乙师傅租晚上，且租车时间所得利润归各自所有，若该品牌的出租车月出租费为0.81万元，根据1~6月份的收入数据，甲、乙两位师傅如何分配租金最为合理? 【答案】(1)中位数为（万元），平均收入为（万元） (2)甲师傅应该分担（万元），乙师傅应该分担（万元）. 【分析】（1）先将 1~6 月的月收入数据从小到大排序，取中间两个数的平均数得到中位数，再用所有数据的和除以数据个数计算平均收入； （2）先分别算出白天、晚上的平均收入，再按收入占比分配总租金，得到两位师傅各自应分担的金额. 【详解】（1）1~6月份的月收入分别为2.43万元，2.22万元，2.79万元，2.73万元，3.33万元，2.7万元，所以中位数为 （万元）.平均收入为 （万元）. （2）由所给数据可知，出租车收入与时间段有关联，所以两位师傅的租金应该根据1~6月份的平均收入按比例分担. 而白天的平均收入为 （万元）， 晚上的平均收入为 （万元）， 所以甲师傅应该分担 （万元）， 乙师傅应该分担 （万元）. 【巩固练习3】（25-26高一下·浙江温州·期中）学校正在研究基于DeepSeek的人工智能答疑系统，更方便地帮助学生解决学习中碰到的问题.学校为了测试答疑系统是否准确，于是利用DeepSeek解答了50份不同的模拟试卷，收集其准确率，整理得到如下频率分布直方图. (1)求图中的值及这组数据的中位数； (2)若平均准确率不低于90%，则可以认为这个系统是准确的，并投入使用.请问，现在这个系统能否投入使用，并说明理由. 【答案】(1)， (2)这个系统能投入使用，理由见解析 【分析】（1）借助频率和为1计算即可得的值，利用中位数定义计算即可得结果； （2）计算出准确率的平均数即可得结果. 【详解】（1）由频率分布直方图可得，解得； 设中位数为，前两个矩形的面积之和为， 前三个矩形的面积之和为， 所以，则，解得， 所以估计准确率的中位数为. （2）估计准确率的平均数为， ，所以认为这个系统是准确的，并投入使用. 课后过关检测 一、单选题 1．（25-26高一上·山西忻州·期末）某高中高一、高二、高三年级的学生人数分别为400，400，600，为了解各年级学生每天阅读的时间，用分层随机抽样的方法从中抽取样本，若样本中高一年级的学生有14人，则样本容量为（    ） A．42 B．45 C．49 D．50 【答案】C 【分析】求出总人数得到抽样比，利用分层抽样中样本容量等于总人数乘以抽样比即可求解. 【详解】由题可得总人数为 人，抽样比 所以样本容量. 故选：C. 2．（25-26高一上·江西抚州·期末）某工厂生产两种不同型号的产品，产量之比为，现用分层抽样的方法抽取一个容量为的样本，若样本中型号的产品有40件，则（   ） A．60 B．80 C．100 D．120 【答案】C 【分析】根据分层抽样的原理，样本中各类别的比例应与总体中的比例一致，可得答案. 【详解】根据题意，得：， 解得：，即. 故选：C 3．（24-25高一上·安徽淮北·期末）样本数据的分位数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接根据百分位数的定义可得结果. 【详解】将给定样本从小到大排列，得到： ，样本容量 . 计算分位数位置： , 根据高中百分位数的计算规则，若不是整数，将向上取整，对应位置的数据即为所求分位数。 此处向上取整为，对应排序后第3个数据，为. 所以样本数据的分位数为. 【点睛】 4．（25-26高一上·江西景德镇·期末）从某班55位学生中利用下面的随机数表抽取10位同学参加一项活动，将这55位学生按01、02、…、55进行编号，假设从随机数表第1行第2个数字开始由左向右依次选取两个数字，则选出来的第5个号码所对应的学生编号为（    ） 0627  4313  2432  5327  0941  2512  6317  6323  2616  8045  6011 1410  9577  7424  6762  4281  1457  2042  5332  3732  2707  3607 A．51 B．25 C．32 D．12 【答案】D 【分析】利用随机数表法，按照给定条件依次选取符合要求的号码即可. 【详解】从随机数表第1行第2个数字开始由左向右依次选取两个数字，去掉超过55和重复的号码，选取的号码依次为： 31，32，43，25，12，51，26， 04， 01，11， 所以选出来的第5个号码所对应的学生编号为12. 故选：D. 5．（24-25高一下·江苏无锡·期末）经过简单随机抽样获得的样本数据为，，…，，且数据，，…，的平均数为，方差为，则下列说法正确的是（   ） A．； B．若，则所有的数据都为0； C．若，则的平均数为6； D．若，则的方差为12； 【答案】D 【分析】根据方差的定义及性质，平均数的性质逐项进行检验即可判断. 【详解】对于A：，错误； 对于B：数据，，…，的方差时，说明所有的数据，，…，都相等，但不一定为0，错误； 对于C：数据，，…，的平均数为，数据的平均数为，错误； 对于D：数据，，…，的方差为，数据的方差为，正确. 6．（24-25高一上·安徽淮北·期末）某校为调查高一年级的某次考试的数学情况，选取高一年级甲班和乙班进行调查.若甲班学生数学成绩的平均数为90，方差为3，乙班学生数学成绩的平均数为81，方差为5，且甲乙两班的学生人数之比为，则这两班数学的总成绩平均分和方差分别为（   ） A．85.5； B．； C．85.5； D．； 【答案】B 【详解】设两个班级的总人数为，则甲班的学生数为，乙班学生数为， 所以两班数学的总成绩平均分为， 两班数学的方差为. 7．（25-26高二下·上海·期中）某学校对100名学生的成绩进行了分析，成绩都在区间内，绘制频率分布直方图如图.则下列说法错误的是（   ） A．成绩在的频数为10 B．图中所有小矩形面积之和为1 C．成绩中位数在区间内 D． 【答案】C 【分析】根据频率分布直方图的小矩形的面积之和为1先求出，根据频率分布直方图性质直接求每个选项即可. 【详解】对于D，根据频率分布直方图可知：，可得，所以D正确. 对于A，成绩在的频数为：，故A正确； 对于B，图中所有小矩形面积之和表示所有区间内的频率之和，为1. B正确； 对于C，设成绩的中位数为，     ， 易得中位数在区间内，故C错误. 8．（25-26高一下·全国·期末）某新能源汽车电池研发团队测试了一款新型固态电池在0℃环境下的续航里程衰减情况．随机抽取部分测试数据，得到续航里程衰减率（单位：）的频率如下表： 续航里程衰减率 频率 0.10 0.30 0.40 0.15 0.05 据此估计，续航里程衰减率的第60百分位数约为（   ） A．15 B．13.75 C．12.5 D．11.25 【答案】C 【详解】由题意知，区间的累计频率为， 区间的累计频率为， 区间的累计频率为. 由于，因此续航里程衰减率的第60百分位数位于区间内. 所以估计续航里程衰减率的第60百分位数约为 . 9．（2026·安徽·模拟预测）已知一组样本数据，，，，，的平均数为20，方差为16，另一组样本数据，，，的平均数为，方差为16，由两组数据构成的新样本数据，，，，，，，，，的平均数为24，方差为，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【详解】∵，， ∴，则； 则新的样本数据的方差为， 故，. 10．（25-26高三下·江西·阶段检测）为了解某校学生的某次数学测试情况，随机抽取部分学生成绩（最低分为50分，满分100分），得到如图所示的频率分布直方图，则下列结论不正确的是（   ） A．对应矩形的高度为0.016 B．样本众数估计值为75 C．样本平均数估计值为77.4 D．样本成绩的第70百分位数落在内 【答案】D 【分析】A选项利用矩形的面积之和为1列方程求解，B选项根据众数的定义以及直方图中最高的矩形条来判断，C选项根据平均值的公式计算，D选项判断样本数据在的频率和的频率，可得到70百分位数的范围. 【详解】设对应矩形的高度为，则，解得，A选项正确； 由图可知，的数据最多，众数的估计值为，B选项正确； 平均值为：，C选项正确； 样本数据的频率为， 样本数据的频率为， 故样本成绩的第70百分位数落在内，所以D选项错误. 11．（25-26高一下·甘肃酒泉·期中）随着生活水平的不断提高，旅游已经成为人们生活的一部分．某地旅游部门从年月到该地旅游的游客中随机抽取部分游客进行调查，得到各年龄段游客的人数比例和各年龄段中自助游的比例，如图，则下列说法错误的是（   ） A．若调查的游客中青年人有人，则一共调查了人 B．估计年月到该地旅游的游客中选择自助游的青年人占总游客人数的 C．用分层随机抽样的方法对所调查游客进行抽样，若老年人有人，则中年人有人 D．估计年月到该地旅游且选择自助游的游客中青年人不超过一半 【答案】D 【详解】设年月到该地旅游的游客总人数为． 由题意，游客中老年人、中年人、青年人的人数分别为， 其中选择自助游的老年人、中年人、青年人的人数分别为． 对于A，，解得，即一共调查的游客人数是人，故A正确； 对于B，估计年月到该地旅游的游客中选择自助游的青年人占总游客人数的，故B正确； 对于C，设中年人应抽取人，依题意得，解得，即中年人应抽取人，故C正确； 对于D，因为年月到该地旅游且选择自助游的游客的人数为，其中青年人的人数为，所以选择自助游的游客中青年人超过一半，故D错误． 二、多选题 12．（25-26高一下·安徽合肥·阶段检测）某环保监测站对某流域的个监测点的水质指数进行抽样检测，数据按、、、分组，得到频率分布直方图如图所示.已知数值越高水质越优，且水质指数不低于的被称为“I类优质水”，则下列说法正确的是（   ） A． B．若每组数据均以中点值为代表，则估计样本水质指数的平均数为 C．估计该流域水质指数不低于的监测点有个 D．估计该流域水质为“I类优质水”的监测点的占比为 【答案】ABD 【分析】在频率分布直方图中，所有矩形面积之和为，可得出关于的等式，可判断A选项；利用频率分布直方图可求出样本水质指数的平均数，可判断B选项；求出水质指数不低于的频率，再利用频数、频率和总容量的关系可判断C选项；求出水质指数不低于的频率，可判断D选项. 【详解】对于A，在频率分布直方图中，所有矩形面积之和为， 所以，解得，故A正确； 对于B，样本水质指数的平均数为 ，故B正确； 对于C，由频率分布直方图可知，水质指数不低于的频率为， 则估计该流域水质指数不低于的监测点有个，故C错误； 对于D，第5组的频率为， 故水质指数不低于的频率为， 则估计该流域水质为“I类优质水”的监测点的占比为，故D正确. 13．（25-26高三下·广西玉林·阶段检测）是指线上引流、线下消费的商业模式，近年来随着技术的渗透，特别是智能配送使得配送时效显著提升，为消费者提供了“沉浸式购物”新体验.已知2020年到2024年我国到家市场规模（单位：千亿元）依次为，则这个数据的（    ） A．极差是 B．中位数是 C．60%分位数是 D．平均数是 【答案】ABD 【详解】极差为，故A正确； 中位数是，故B正确； ，所以分位数是与的平均数，故C错误； ，故D正确. 14．（25-26高一下·江苏南京·期中）若是样本数据：，，，的平均数（，，，不全相等），则（   ） A．，，，的极差等于，，，，的极差 B．，，，的平均数等于，，，，的平均数 C．，，，的中位数等于，，，，的中位数 D．，，，的标准差大于，，，，的标准差 【答案】ABD 【分析】由统计中的数学特征进行计算即可． 【详解】不妨设，此时，A中极差均为，故A对； ，所以，故B对； C中前者中位数为，后者中位数为或或，故C错； D中前者标准差为， 后者标准差为，故D对. 三、填空题 15．（2026·河北雄安·模拟预测）在期中考试后，某小学五年级统计了学生的数学成绩（满分：100分），将所有学生的数学成绩按分为6组，画出频率分布直方图如图所示，则该校五年级学生期中考试的数学成绩的中位数为___________.（保留到小数点后两位） 【答案】 【详解】设该校五年级学生期中考试的数学成绩的中位数的估计值为. 第一组、第二组、第三组数据的频率之和为， 第一组、第二组、第三组、第四组数据的频率之和为，所以. 由，解得. 16．（25-26高二下·重庆·期中）先后抛掷一枚质地均匀的骰子次，记录向上一面的点数，若已知个点数的中位数为，唯一的众数为，则平均数最大为_____. 【答案】 【分析】根据题意将符合要求的个数据由小到大排列出来，再结合平均数公式求解即可. 【详解】将个数据由小到大进行排列，前个数依次为、、，要使得这个数据的平均数最大， 则后面两个数分别为、，即这个数据由小到大依次为、、、、， 所以这个点数的平均数的最大值为. 17．（25-26高一上·辽宁大连·期末）现从编号为的50支水笔中抽取10支水笔进行书写长度检测，若从以下随机数表第9个数字开始由左向右读取，则抽取的第3支水笔的编号为__________.                      【答案】32 【分析】先确定起始位置，再从起始位置开始，按顺序每次读取两位数字，作为候选编号，最后按顺序筛选出的第 3 个有效编号即可. 【详解】先从随机数表第 9 个数字开始读取： 随机数表：39832776  39918535  32591131  40469235  04982212  20671263 第 9 个数字是 3（来自第二组 39918535）， 从左向右依次读取两位数字，并筛选出在 01~50 范围内且不重复的编号： 第 1 个：39 → 有效，对应编号 39 第 2 个：91 → 无效（>50），跳过 第 3 个：85 → 无效（>50），跳过 第 4 个：35 → 有效，对应编号 35 第 5 个：32 → 有效，对应编号 32 所以，抽取的第 3 支水笔的编号为 32. 故答案为：32. 四、解答题 18．（25-26高一上·安徽·期末）文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者．某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取份作为样本，将样本的成绩（满分分，成绩均不低于分）分成六组：、、、，得到如图所示的频率分布直方图． (1)求频率分布直方图中的值； (2)试估计样本成绩的平均数（同一组数据用该组数据的中间值代替）和中位数； (3)已知落在的平均成绩是，方差是，落在的平均成绩为，方差是，求两组成绩合并后的平均数和方差． 【答案】(1) (2)平均数为，中位数为 (3)， 【分析】（1）利用频率分布直方图中所有直方图的面积之和为可求出的值； （2）将每个矩形底边的中点值乘以对应矩形的面积，将所得结果全部相加可得样本的平均数；设中位数为，根据中位数的定义可得出关于的等式，即可解出的值； （3）利用总体的平均数和方差公式可求得和的值. 【详解】（1）由题意得，解得． （2）平均数为 设中位数为， 因为成绩落在内的频率为， 落在内的频率为， 所以，则，解得，故中位数为75． （3）由题意得，成绩在有人，成绩在有人， 则这两组成绩的总平均数为， 总方差为． 19．（25-26高一上·陕西渭南·期末）为了解学生对两家餐厅的满意度情况，现从在两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取了50人，每人分别对这两家餐厅的满意度进行打分（分数区间为），将其分数记为满意指数.根据打分结果按分组，得到如图所示的频率分布直方图，其中餐厅的满意指数在内的学生有15人. (1)求图中的值； (2)利用样本估计总体的思想，比较两家餐厅满意指数的平均数的大小； (3)若餐厅满意指数频率分布直方图中第三组满意指数的方差，第四组满意指数的方差，求在餐厅用过餐的第三组与第四组所有学生的满意指数的方差. （注：本题计算平均数时同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据频率分布直方图的频率和为1的性质，结合已知参数值求解； （2）利用组中点值与对应频率的乘积和，计算两个餐厅满意指数的平均数，并比较大小； （3）先确定两组数据的人数，再根据混合数据的平均数和方差公式分步计算. 【详解】（1）餐厅样本容量为50，区间频数为15，对应频率为， 频率分布直方图组距为2，故. 所有区间频率和为， 即，解得， 所以. （2）餐厅满意指数平均数； 餐厅满意指数平均数. 因为，所以餐厅满意指数的平均数大于餐厅满意指数的平均数. （3）餐厅第三组频率为0.4，人数为，平均数7，方差2； 第四组人数为，平均数9，方差1， 混合数据平均数， 方差 . 20．（25-26高一下·宁夏银川·期中）某校高一年级开设有羽毛球训练课，期末对学生进行羽毛球五项指标(正手发高远球、定点高远球、吊球、杀球以及半场计时往返跑)考核，满分100分.参加考核的学生有40人，考核得分的频率分布直方图如图所示. (1)由频率分布直方图，求出图中的值，并估计考核得分的第60百分位数: (2)现已知直方图中考核得分在内的平均数为75，方差为6.25，在内的平均数为85，方差为0.5，求得分在内的平均数和方差. （附：设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，记两组数据总体的样本平均数为，则总体样本方差） 【答案】(1)，85； (2)得分在内的平均数为81，方差为26.8. 【分析】（1）首先根据频率和为1求出，再根据百分位数公式即可得到答案； （2）计算出相关区间内的数据，代入分层抽样的方差公式计算即可. 【详解】（1）由题意得：，解得， 设第60百分位数为，则， 解得，第60百分位数为85. （2）由题意知，落在区间内的数据有个， 落在区间内的数据有个. 由题意，，则. 根据方差的定义， 故得分在内的平均数为81，方差为26.8. $