重难点02 玩转立体几何截面与轨迹周长面积问题（期末真题汇编）高一数学下学期人教A版

**基本信息** 聚焦立体几何截面与轨迹问题，汇编多地区高一下期末真题，覆盖判断截面形状、周长/面积定值与最值、轨迹长度与面积四大高频考点，梯度设计兼顾基础与综合能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择（含多选）|30题|正方体/圆锥截面形状判断、异面直线成角、体积计算|结合数学探究活动（如第4题注水容器截面），多地区真题融合（晋/黔/闽等）| |填空|7题|截面面积最值、轨迹长度计算|设置动态动点问题（如第36题外接球上轨迹）| |解答|3题|截面面积求解、线面垂直证明|综合考查空间想象与逻辑推理（如第27题平面截三棱柱）|

命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 重难点02玩转立体几何截面与轨迹周长面积问题 ☆4大高频考点概览 考点01判断截面形状 考点02截面的周长定值与最值问题 考点03截面的面积定值与最值问题 考点04轨迹的长度与面积定值与最值问题 目目 考点01 判断截面形状 1.(24-25高一下·山西太原期末)如图，已知正方体ABCD-A,B,C,D,的棱长为4，E是棱CD的中点，则平 面AB,E截正方体ABCD-A,B,C,D,所得截面图形的面积为() D E C B B A.92 B.18 C.18√2 D.36 2.(24-25高一贵州贵阳期末)如图，在正方体ABCD-A,B,CD,中，点E,F分别是AB,BC的中点，过点 D,E,F的平面截该正方体所得的截面是() D A D: E B A.三角形 B.四边形 C.五边形 D.六边形 3.(24-25高一下·福建福州九县一中期末)（多选）已知棱长为2m的正方体ABCD-A,B,CD,中，下列结论 中正确的是() A.若点P在线段B,C上运动，异面直线AP与DD,所成的角范围为 B.若点P在线段B,C上运动，C,P+AP的最小值（√6+√2）m 1/14 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 C.若将正方体ABCD-A,B,C,D,视为容器（容器厚度忽略不计），则底面直径为2.4m,高为0.01m的 圆柱体能被整体放入该容器 D。若点P在△4CB的内部及边界上运动，且DP=2m,则动点P的轨迹长为2 -πm 3 3 4.(24-25高一下·广东清远期末)在数学探究活动课中，小华进行了如下探究：如图，这是注入了一定量水的 正方体密闭容器，现将该正方体容器的一个顶点A固定在地面上，使得AD,AB,AA,三条棱与水平面所成 角均相等，此时水平面恰好经过BB:的中点，若AB=1,则该水平面截正方体ABCD-ABCD,所得截面的 面积为 D B A D B 5.(24-25高一下·浙江衢州期末)用一个平面去截一个正方体，所得截面形状可能为：() ①三角形②四边形③五边形④六边形⑤圆 A.①②③ B.①②④ C.①②③④ D.①②③④⑤ 6.(24-25高一下·湖南长沙明德中学期末)在侧棱长为2√3的正三棱锥S-ABC中， ∠ASB=∠BSC=∠CSA=40°，过A作截面AEF,则截面的最小周长为() A.2√2 B.4 C.6 D.10 7.(24-25高一下·四川成都树德中学期末)己知在四面体P-ABC中，PA=BC=2,PB=AC=√7， PC=AB=V5,PM=MC,AN=NB,平面B满足MN⊥B,记平面B截得该四面体P-ABC的多边形 的面积为S,则S的最大值为 8.(24-25高一下·山东青岛第二中学·期末)已知圆锥的底面周长为16π，侧面积为80π，则过该圆锥顶点的 平面截此圆锥所得截面面积的最大值为() A.2 B.48 C.50 D.96 Q.2425高一下安徽大天联考末已知一个圆锥的底面半径为3，侧面展开图是一个圆心角为V3π的 扇形，则过该圆锥顶点的平面截该圆锥所得截面面积的最大值为 10.(24-25高一下·云南迪庆藏族民族中学期末)己知圆锥的高为16cm,底面积为512cm2,平行于圆锥底面 的截面面积为50cm2,则截面与底面的距离为() 2/14 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 A.5cm B.10cm C.11cm D.25cm 目目 考点02 截面的周长定值与最值问题 11.(2425高一下·湖北荆州期末)（多选）己知正方体ABCD-AB,C,D的棱长为1，E,F,G分别为棱 AB,BC,CD的中点，则下列说法正确的是() A.过点E,F,D的平面截正方体ABCD-A,B,CD,所得截面多边形为正五边形 B.若三棱锥B-CCE的顶点都在球0的表面上，则球0的表面积为4 9元 C.从顶点A出发沿正方体ABCD-AB,CD,的表面运动到点G的最短路线长为 D.若用一张正方形的纸把正方体ABCD-A,BCD,完全包住，不考虑纸的厚度，不将纸撕开，则所需 正方形纸的面积的最小值为8 12.(24-25高一下·福建宁德期末)（多选）如图，在棱长为1的正方体ABCD-AB,C,D,中，P为棱BB,的 中点，Q为正方形BCCB,内一动点（含边界），则下列说法中正确的有() D A B ‘D B A.直线DP与AA4所成角的正切值为2√2 B.用平面A,DP截该正方体，所得截面周长为√5+√2 C.若D,Q∥平面A,DP,则D,Q长度的取值范围为 325 4’2 D.若Dp=6 则时点Q的轨迹长度为2元 2 13.(24-25高一下·新疆巴音郭楞蒙古期末)（多选）如图，在棱长为1的正方体ABCD-A,B,C,D,中，点 P,M,N分别为棱CC,CB,CD上的动点（点P不与点C,C,重合），若CP=CM=CN,则下列说法正确的是 () 3/14 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 D B M A B A.存在点P,使得点A到平面PMN距离为 12 B.平面A,B,CD⊥平面PMN C.BD与PM所在直线是异面直线 D.用平行于平面PMW的平面截正方体，得到的截面为六边形时，该六边形周长一定为3√2 14.(24-25高一下·新疆乌鲁木齐·期末)（多选）如图，圆锥PO的底面半径为3，高为3√3，过PO靠近P的 三等分点O作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，则下列说法正确的是() D A.圆锥母线与底面所成的角为 3 B.圆锥PO的侧面积为27π C.挖去圆柱的体积为23π D.剩下几何体的表面积为(27+4V5)π 15.(24-25高一下江苏南京六校联合体期末)（多选）已知正方体ABCD-A,B,C,D,的棱长为2，点P为线 段BC上的动点，则() A.PA+PA的最小值为12+46 B.AP与BD,始终保持垂直 C.以A为球心，√2为半径的球面与平面4BD的交线长为6m 3 4/14 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 D.经过AC,的平面截正方体所得截面面积的最小值为√30 16.(24-25高一下湖南期中)（多选）如图，在棱长为2的正方体ABCD-A,B,C,D,中，M为DD的中点， 点E和点F分别在线段AB,和B,M上运动（不包含端点），下列说法正确的有() D B M E A D B A:正方体被平面AB,M截得的载面面积为} B.BE+EF的最小值为2 C.三棱锥C-EMC,的体积为3 D.直线A,E与平面AB,M可能垂直 17.(24-25高一下·江苏无锡第一中学期中（多选）如图，在棱长为2的正方体ABCD-A,B,CD中，点M, P分别为线段CC,AB上的动点，则下列说法中正确的是() D C A B M 的 A.当M为线段CC,中点时，平面BMD,截正方体所得的截面为平行四边形 B.PA+PC取得最小值2√2+√2 C.当四面体ABMD的顶点在一个体积为36π的球面上时，CM=1 D.对任意点M,平面BMD,⊥平面AC,D 18.(24-25高一下·甘肃天水秦安县第一中学期末)（多选）如图，在正方体ABCD-A,B,CD,中，N为底面 ABCD的中心，P为线段AD上的动点（不包括两个端点），M为线段AP的中点，则() 5/14 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 A M B A.CM与PN是异面直线 B.存在点P,使得PN∥平面CCDD C.平面PAN⊥平面BDD,B, D.过P,A,C三点的正方体的截面一定是等腰梯形 19.(24-25高一下·四川成都锦江区嘉祥外国语高级中学期末)（多选）如图，在边长为1的正方体 ABCD-A,B,C,D,中，点P在线段AD,上运动，下列命题中正确的是() D A B-1 B A.三棱锥C,-BDP的体积为定值 B.异面直线C,P与直线CB所成角为定值 C.在点P运动过程中，平面BPD截该正方体的截面形状为三角形或矩形 D.直线CP与平面4D,DA所成角的余弦值的范围是0,5 3 20.(24-25高一下·广东汕尾·期末)（多选）如图，在棱长为2的正方体ABCD-A,B,C,D,中，O为正方体的 中心，M为DD的中点，F为侧面正方形AAD,D内一动点，且满足BF∥平面BCM,则() 6/14 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 D A B Mi F。 D B A.动点F的轨迹是一条线段，线段长度为√2 B.直线4B,与AD的夹角的余弦值为V5 C.三棱锥F-BCM的体积为定值 D. 若过A,M,G三点作正方体的截面Q,Q为截面2上一点，则线段4Q长度最小值为26 目目 考点03 截面的面积定值与最值问题 21.(24-25高一下江西南昌南昌大学附属学校期末)如图，在棱长为√2的正方体ABCD-A'B'CD'中，点 E、F、G分别是棱AB、B'C'、CD的中点，则由点E、F、G确定的平面截正方体所得的截面多边形 的面积等于() D G ⊙ D ℉ A.35 B.2V5 C.55 2 2 D.3v2 2 22.(2425高一下·福建福州马尾一中等六校期末)（多选)如图，AC为圆锥S0底面圆0的直径，点B是 圆0上异于A、C的动点，圆锥的底面半径为1，其侧面展开图为一个半圆.则下列正确的是() S 4Q1 B 7/14 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 A.圆锥S0的表面积为3π B.三角形SBC面积的最大值为2 C.若二面角S-BC-0的正切值为25，则三角形SBC面积的为V59 D。圆维50的外接球体积为。 23.(24-25高一下广东云浮期末)如图所示，一个水平放置的ABC的斜二测直观图是aA'B'C',若 0A=√3，O'B'=O'C'=2,则ABC的面积是() C A.5 B.25 C.35 D.45 24.(24-25高一下·山东泰安宁阳县期末)（多选）三棱锥P-ABC中，M为PA中点，PA=AC=BC=1, PB=√3，PA⊥AC,AC⊥BC,则下列选项正确的是() A.PA⊥BC B.直线CW平面PAB所成静的正弦佰值为专 C直线Bw与PC所成角为写 D.。过M的平面与三棱锥P-A8C的外接球的载面面积最小值为牙 25.(24-25高一下·四川攀枝花)（多选）已知圆锥S0的底面半径为1，母线SA长为4，底面圆周上有一动 点B,则() A.圆锥的体积为15π 3 B.圆锥的侧面展开图的圆心角大小为 2 C.圆锥截面SAB的面积的最大值为√15 8/14 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 D.若CeSA,且CA=1,则从点A出发绕圆锥侧面一周到达点C的最短长度为4W2 26.(24-25高一下·山东济南期末)（多选）如图，在棱长为2的正方体ABCD-A,BCD,中，点E,F分别是 棱BC,CC,的中点，P是侧面BCC,B,内（含边界）的一动点，且满足A,P∥平面AEF,则() D B D == A.点P到平面AEF的距离为定值 B.存在点P,满足A,P⊥EF C二面角P-AC-8的取值花目为[0到 D.过点P作正方体外接球的截面，所得截面面积的最小值为刀 27.(24-25高一下湖北黄冈期末)如图，在三棱柱ABC-A,B,C,中，平面A4B,B⊥平面ABC,平面 AA,CC⊥平面ABC,AB⊥BC,AB=AA=V3,BC=1,P是线段BC1上一动点，BP=1BC,元∈(0,1) A (I)证明：三棱柱ABC-A,B,C,是直三棱柱； (②若元=子求平面4BP截三棱柱4BC-48C所得截面的面积： ③)是否存在元，使得直线BP与平面4CC,4所成角的正切值为5，若存在，求出无的值，若不存在，请 7 说明理由 28.(24-25高一下·江西南昌第二中学期末)如图，斜三棱柱ABC-A,BC,中，AB⊥BC,四边形ABB,A,是 菱形，D为AB的中点，AD⊥平面ABC,BB,=2BC=2. 9/14 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 B A B B (①)求证：四边形CBB,C,为矩形： 2在4C上是否存在点Q,使得B.Q1平面ADC,若有在，求出架的值，若不存在，请说明理由， oc (3)若E,F分别为AA,,AC的中点，求此斜三棱柱被平面B,EF所截的截面面积. 29.(2425高一下·广西河池期末)正四面体ABCD的棱长为8，E为棱BC的中点，过点E作正四面体 ABCD外接球的截面，则截面面积的最小值为 30.(2425高一下·湖北武汉新洲区第一中学阳逻校区·期末)我国古代数学名著《九章算术》中，将底面是 直角三角形的直三棱柱（侧棱垂直于底面的三棱柱）称之为“堑堵”.如图，三棱柱ABC-A,B,C,为一个“堑堵”， 底面ABC是以AB为斜边的直角三角形且AB=5,AC=3,点P在棱BB,上，且PC⊥PC,当△APC,的 面积取最小值时，三棱锥P-ABC的外接球体积为() C B 45π A. B. 45V5元 C.30π D.45π 2 目目 考点04 轨迹的长度与面积定值与最值问题 31.(24-25高一下·江苏无锡惠山区锡山高级中学期末)（多选）如图，正方体ABCD-A,B,CD,的棱长为2， 点M是其侧面ADD,A,上的一个动点（含边界），点P是线段CC,上的动点，则() 10/14 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 A B M D A.PM的长度范围是l,V2] B.存在点P,M,使得平面B,D,M与平面PBD平行 C.存在点P,M,使得二面角M-DC-P大小为写 D.当P为棱CC的中点且PM=2√2时，则点M的轨迹长度为 3 32.(24-25高一下，安徽合肥第六中学期末)（多选）如图，在棱长为2的正方体ABCD-A,B,CD,中，M为 B,C的中点，P为线段BD上动点（包括端点），则下列说法中正确的是() D C M D A.存在P点使得MP∥平面ADB B.直线BM与平面BDD,B所成角正弦值为 10 C.AP+MP的最小值为√7+2√3 D.若点Q在正方体ABCD-A,B,CD,表面上运动（包含边界），且MQ⊥A,C,则点Q0的轨迹长度为 6W2 33.(2425高一下·云南曲靖会泽县·期末)（多选）如图，己知长方形ABCD中AB=2BC=4,将其沿着AB 旋转一圈得到一个圆柱，A,B为上下底面的圆心圆柱内有一个半径为1的小球在其内部运动，小球的球心 为O,则下列说法正确的有() 11/14 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 •B ●A A.该圆柱外接球的表面积为32元 B.球心O的轨迹为一个长方体 C.沿着圆柱的表面从点A到点B的最短路径的距离为8 D.小球运动过程中所走过的空间的体积大于3 3 34.(2425高一下·辽宁大连期末)（多选）已知正方体ABCD-A,B,C,D,AB=a,且直线AP与直线CC夹 角为P,则下列说法正确的是() A.若点P在棱CC上，且tano=2√2，则PC,=a B.若p-名，且点P在面ABCD上，则点P的轨迹长度为 6 C.P是ABCD-4B,CD,面上的动点，DP1AC,则P的轨迹图形面积是5。 2 D.点P为截面AC,B上的动点，DP⊥A,C,则点P的轨迹长度是√2a 35.(24-25高一下·辽宁沈阳五校协作体期末)（多选）如图，在长方体ABCD-A,B,CD,中， AB=√2BC=√2CC,=2√2，动点M在长方体的表面上运动（含边界），且BD,⊥MC,点M的轨迹形成 的封闭图形为Ω，则() D C B A B A.点M的轨迹长度为2√6+2V2 B.AB,与2所在平面所成角的正弦值为 6 C.2所在的平面将长方体分成的大小两部分体积比为12：1 12/14 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 D.若BD,与Q所在的平面交于点E,则ED3 BE 1 36.(24-25高一下·吉林BEST合作体”期末)已知菱形ABCD的各边长为4，∠D=60°.如图所示，将 △ACD沿AC折起，使得点D到达点S的位置，连接SB,得到三棱锥S-ABC,此时SB=6.若E是线段 SA的中点，点F在三棱锥S-ABC的外接球上运动，且始终保持EF⊥AC,则点F轨迹的面积为一· S B D 37.(24-25高一下·安徽宣城期末)如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，PA=4,平面PAB⊥平面 ABCD,平面PAD⊥平面ABCD D (1I)求证：PA⊥平面ABCD; (2)求二面角A-PD-B的余弦值； (③)点M在正方形ABCD内（包括边界），若平面PAM⊥平面PDM,且∠ADM∈工 4’3 求点M的轨迹长 度 38.(24-25高一下·安微合肥百花中学等四校联考·期末)（多选）如图，正方体ABCD-A,B,C,D,的棱长为2， E是棱DD的中点，F是侧面CDDC上的动点，且满足B,F/平面A,BE,则下列结论中正确的是() A B 1 A s:--. B 13/14 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 A.平面4BE截正方体ABCD-AB,CD,所得截面面积为2 9 B.点F的轨迹长度为写 C.存在点F,使得B,F⊥CD D.直线BF与平面CD0,C所成角的正弦值的最大值为25 39.(24-25高一下·浙江杭州上城区等5地)（多选）在棱长为3的正方体ABCD-A,B,C,D,中，M为DD的 中点，F为侧面AADD内一动点，满足BF11平面BCM,则() A.三棱锥A-ABC的外接球表面积为27πB.三棱锥F-BC,M的体积是定值 C.动点F的轨迹是一条圆弧，长度为zD.动点F的轨迹是一条线段，长度为3V2 16 2 40.(2425高一下·河北NT20名校联合体期末)（多选）如图，在长方体ABCD-A,B,CD,中， AB=√2BC=√2CC,=2√2，动点M在长方体的表面上运动（含边界），且BD⊥MC,点M的轨迹形成 的封闭图形为，则() D C A B D B A.点M的轨迹长度为2√6+2√2 B.点A到2所在平面的距离为√2 C.2所在的平面将长方体分成的大小两部分体积比为11：1D.若BD,与2所在的平面交于点E,则 BE 1 ED3 14/14 重难点02 玩转立体几何截面与轨迹周长面积问题 4大高频考点概览 考点01判断截面形状 考点02截面的周长定值与最值问题 考点03截面的面积定值与最值问题 考点04轨迹的长度与面积定值与最值问题 ( 地 城 考点01 判断截面形状 ) 1．(24-25高一下·山西太原·期末)如图，已知正方体的棱长为4，是棱的中点，则平面截正方体所得截面图形的面积为（    ）    A． B．18 C． D．36 【答案】B 【分析】取的中点，连接，得平面为平面截正方体的截面，由梯形的面积公式即可求解. 【详解】取的中点，连接，易知，所以平面与交点为， 则平面为平面截正方体的截面，四边形为等腰梯形， 过做，由，， 所以,， ，, 所以其面积为. 故选：B.    2．(24-25高一·贵州贵阳·期末)如图，在正方体中，点分别是的中点，过点的平面截该正方体所得的截面是（    ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【答案】C 【分析】把截面补形，利用共面可得结果． 【详解】 延长与直线相交于连接与分别交于点 连接，则五边形即为截面， 故选：C. 3．(24-25高一下·福建福州九县一中·期末)（多选）已知棱长为2m的正方体中，下列结论中正确的是（ ） A．若点P在线段上运动，异面直线AP与所成的角范围为 B．若点在线段上运动，的最小值 C．若将正方体 视为容器（容器厚度忽略不计），则底面直径为2.4m，高为0.01m的圆柱体能被整体放入该容器 D．若点P在 的内部及边界上运动，且m, 则动点P的轨迹长为 m 【答案】BCD 【分析】当点运动到点的位置时，此时，可判定A不正确；把沿着展开，使得与在同一平面上，利用余弦定理，求得，可判定B正确；根据圆柱的底面半径和高，与正方体的棱长间的关系，可判定C正确；证得平面，求得，结合三角形与圆的性质、弧长公式，可判定D正确. 【详解】对于A中，在正方体中，可得， 所以异面直线与所成的角就是直线与所成的角，即为 当点运动到点的位置时，此时，所以A不正确； 对于B中，在正方体中，把沿着展开， 使得与在同一平面上，其中为边长为的等边三角形， 为直角边为的等腰直角三角形，如图所示， 可得，则， 连接，在中，可得 ，所以， 即的最小距离为，所以B正确； 对于C中，因为，可知底面正方形不能包含圆柱的底面圆， 如图所示，过的中点作，设， 可得，则， 即，解得，且， 以为轴可以对称放置底面直径为的圆柱， 若底面直径为的圆柱，与正方体的上下底面均相切， 设圆柱的底面圆心为，与正方体的下底面的切点为， 可知，，则， 即，可得， 根据对称性可知圆柱的高， 所以底面直径为，高为的圆柱能够被整体放入正方体内，所以C正确. 对于D中，连接和，在正方形中，可得， 又因为平面，且平面，所以， 因为，且平面，所以平面， 又因为平面，所以，同理可证：， 因为，且平面，所以平面， 设与平面交于点，可得，所以， 由，可得， 又因为等边的边长为，其内切圆的半径为， 如图所示，过点作，可得点为的中点，且， 可得，所以，则， 所以动点P的轨迹为的3倍，其长度为，所以D正确. 故选：BCD    4．(24-25高一下·广东清远·期末)在数学探究活动课中，小华进行了如下探究:如图，这是注入了一定量水的正方体密闭容器，现将该正方体容器的一个顶点A固定在地面上，使得AD，AB，AA1三条棱与水平面所成角均相等，此时水平面恰好经过BB1的中点，若AB=1，则该水平面截正方体ABCD-A1B1C1D1所得截面的面积为___.    【答案】/ 【分析】先根据三条棱与水平面所成角均相等，得出水面与平面A1BD平行，再根据特点得出截面为正六边形，然后可得答案. 【详解】在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AD，AB，AA1与平面A1BD所成的角是相等的， 所以水平面平行于平面A1BD， 又水平面恰好经过BB1的中点，则水平面截正方体所得的截面是过棱的中点的正六边形，且边长为，所以其面积. 故答案为：      5．(24-25高一下·浙江衢州·期末)用一个平面去截一个正方体，所得截面形状可能为：（    ） ①三角形②四边形③五边形④六边形⑤圆 A．①②③ B．①②④ C．①②③④ D．①②③④⑤ 【答案】C 【分析】由正方体的结构特征，作出截面即可判断. 【详解】用一个平面去截一个正方体，分别是所在棱的中点，所得截面形状可能为三角形、四边形、五边形、六边形， 如图所示：      故选：C. 6．(24-25高一下·湖南长沙明德中学·期末)在侧棱长为的正三棱锥中，，过作截面，则截面的最小周长为（   ） A． B．4 C．6 D．10 【答案】C 【分析】作出三棱锥的侧面展开图，连接交、于点、，则侧面展开图中线段的长度即为截面的最小周长，利用余弦定理计算可得. 【详解】如图三棱锥以及侧面展开图，要求截面的周长最小， 连接交、于点、，则侧面展开图中线段的长度即为截面的最小周长， 因为侧棱长为的正三棱锥，， 所以， 由余弦定理可得 ， ，所以截面的最小周长为. 故选：C. 7．(24-25高一下·四川成都树德中学·期末)已知在四面体中，，，，， ，平面满足，记平面截得该四面体的多边形的面积为，则的最大值为________. 【答案】 【分析】将四面体还原至长方体，可知点，分别为，中点，即可得当经过中点时，截面面积最大，再根据长方体的性质可得解. 【详解】由，，， 可知四面体的各个棱为长方体各面的对角线， 设长方体的长宽高分别，，， 则，解得， 如图所示， 由， ， 可得点，分别为，中点， 所以长方体以为对角线的平面， 又，所以与长方体以为对角线的平面平行， 易知当经过中点时，截面面积最大， 此时与长方体的截面如图所示，其中四边形即为与四面体相交所得截面， 此时、、、分别为各边中点， 则， 故答案为：. 8．(24-25高一下·山东青岛第二中学·期末)已知圆锥的底面周长为，侧面积为，则过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为（   ） A．2 B．48 C．50 D．96 【答案】C 【分析】由题可求圆锥底面半径和母线长，先求当截面过中心轴时，顶角为钝角，然后得出截面面积的最大值即可. 【详解】设圆锥底面半径为，母线长为， 则， 当截面过中心轴时，所以， 所以， 由三角形面积公式得当时，截面面积最大，最大为. 故选：C. 9．(24-25高一下·安徽天一大联考·期末)已知一个圆锥的底面半径为，侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则过该圆锥顶点的平面截该圆锥所得截面面积的最大值为__________. 【答案】/0.5 【分析】根据给定条件，求出圆锥母线长，再求出圆锥轴截面等腰三角形的顶角，进而求出截面面积的最大值. 【详解】设圆锥母线长为，依题意，，解得， 设圆锥轴截面等腰三角形顶角为，则，， 设过该圆锥顶点的平面截该圆锥所得截面等腰三角形顶角为， 该截面三角形面积，当且仅当时取等号， 所以所求最大值为. 故答案为： 10．(24-25高一下·云南迪庆藏族民族中学·期末)已知圆锥的高为，底面积为，平行于圆锥底面的截面面积为，则截面与底面的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆锥中平行底面截面的性质求解. 【详解】设截面与底面的距离为，则，解得. 故选：C ( 地 城 考点02 截面的周长定值与最值问题 ) 11．(24-25高一下·湖北荆州·期末)（多选）已知正方体的棱长为，，，分别为棱，，的中点，则下列说法正确的是（    ） A．过点，，的平面截正方体所得截面多边形为正五边形 B．若三棱锥的顶点都在球的表面上，则球的表面积为 C．从顶点出发沿正方体的表面运动到点的最短路线长为 D．若用一张正方形的纸把正方体完全包住，不考虑纸的厚度，不将纸撕开，则所需正方形纸的面积的最小值为8 【答案】BCD 【分析】对于A作出过点，，的平面截正方体所得截面计算截面边长即可判断，对于B：取棱、的中点，则长方体的外接球即为三棱锥的外接球，求半径即可判断，对于C正方体部分展开分别求出即可判断，对于D由正方体的侧面展开图.结合图④可以看出五个边长为2的正方形及上下左右四个等腰直角三角形组成一个正方形，可知要想把正方体完全包住，正方形 即为所求最小正方形，计算其面积即可判断. 【详解】对于A：如图①，延长交的延长线于点，易得，所以，连接交于点，由，得，所以是上靠近的三等分点，在棱上取点，使得，连接，则，在棱上取点，使得，连接，则，得，取的中点，连接，则，得，则是上靠近的三等分点，连接，则五边形即为所求截面. ，， ，， ，故五边形不是正五边形，故A错误； 对于B：如图②，取棱、的中点，则长方体的外接球即为三棱锥的外接球，直径长为，则球的表面积为，故B正确 对于C：正方体部分展开图如图③所示，按不同的展开方式，分三种情况：， ，，则的最小值为，故C正确. 对于D：由正方体的侧面展开图.结合图④可以看出五个边长为2的正方形及上下左右四个等腰直角三角形组成一个正方形，可知要想把正方体完全包住，正方形 即为所求最小正方形，其对角线长为，所以面积为，故D正确. 12．(24-25高一下·福建宁德·期末)（多选）如图，在棱长为1的正方体中，为棱的中点，为正方形内一动点（含边界），则下列说法中正确的有（    ） A．直线与所成角的正切值为 B．用平面截该正方体，所得截面周长为 C．若平面，则长度的取值范围为 D．若，则动点的轨迹长度为 【答案】ACD 【分析】对于A：利用三角函数定义即可求得结果.对于B：做出截面的图形，分别求每条边的长即可求得结果, 对于C：找出点Q的轨迹，即可求出长度的取值范围，对于D：同样找出点Q的轨迹，即可求出动点的轨迹长度. 【详解】对于A： 如图，连接,直线与所成角即直线与所成角,即, 在三角形中，,故A正确； 对于B，如图，截面为等腰梯形， 周长，B错误； 对于C，如图取中点的中点为，平面即为平面, 因为,平面,平面,平面, 同理：平面,所以平面平面， 动点的轨迹为线段，，又可知是等腰三角形， 所以,最小值为边上的高， 可得的长度取值范围为，C正确； 对于D，因为平面，平面，所有， 则有，所以点轨迹是以为圆心，为半径的圆弧， 圆心角是，轨迹长度为，D正确． 故选：ACD 13．(24-25高一下·新疆巴音郭楞蒙古·期末)（多选）如图，在棱长为1的正方体中，点分别为棱上的动点（点不与点重合），若，则下列说法正确的是（    ） A．存在点，使得点到平面距离为 B．平面平面 C．与所在直线是异面直线 D．用平行于平面的平面截正方体，得到的截面为六边形时，该六边形周长一定为 【答案】BCD 【分析】连接，证得平面平面，根据正四面体和正方体的性质，求得到平面的距离，可判断A；在正方体中，证得平面，得到平面，即可判断B；根据异面直线的定义，可判断C；在上取点，过作，再过作以此类推，截面为六边形，不妨设，分别求得六边形的边长，可判断D. 【详解】对于A中，连接， 因为，所以， 因为，，所以平面， 同理可得：平面， 又因为，且平面，所以平面平面， 又由三棱锥的各条棱长均为，则三棱锥为正四面体， 可得点到平面的距离为， 在正方体中，平面，且平面， 所以， 又因为，且，平面， 所以平面，因为平面，所以， 同理可证：，且，平面， 所以平面， 又由，所以到平面的距离， 因为，所以A不正确； 对于B中，由平面，且平面，所以， 在正方形中，可得， 因为，且平面，所以平面， 又因为，所以平面， 因为平面，所以平面平面，所以B正确； 对于C中，因为平面，在平面内，不在平面内， 与不重合，所以直线与直线既不平行也不相交， 所以直线与直线是异面直线，所以C正确； 对于D中，在上取点，过点作交于点， 过作交于点，以此类推，如图所示， 可得点，此时截面为六边形， 根据题意，可得平面平面， 不妨设，则， 所以， 所以六边形的周长为，所以D正确. 故选：BCD. 14．(24-25高一下·新疆乌鲁木齐·期末)（多选）如图，圆锥的底面半径为3，高为，过靠近的三等分点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，则下列说法正确的是（    ） A．圆锥母线与底面所成的角为 B．圆锥的侧面积为 C．挖去圆柱的体积为 D．剩下几何体的表面积为 【答案】ACD 【分析】根据题意，利用勾股定理可求圆锥的母线长，挖去圆柱的半径和高，然后即可逐项求解. 【详解】 因为圆锥的底面半径为3，高为，所以母线长， 则，即圆锥母线与底面所成的角为，故A正确； 圆锥的侧面积，故B错误； 因为为的三等分点，所以， 则圆柱的体积为，故C正确； 圆柱的侧面积， 剩下几何体的表面积，故D正确； 故选：ACD. 15．(24-25高一下·江苏南京六校联合体·期末)（多选）已知正方体的棱长为2，点为线段上的动点，则（    ） A．的最小值为 B．与始终保持垂直 C．以为球心，为半径的球面与平面的交线长为 D．经过的平面截正方体所得截面面积的最小值为 【答案】BC 【分析】利用两平面展开图来判断A，利用证明线面垂直来判断B，利用球的几何性质来判断C，利用正方体的特殊截面来判断D. 【详解】      对于A，由于分别在平面，平面内，把这两个平面展开为一个平面， 即可得：，所以在平面展开图中， 由于是等边三角形，所以由余弦定理可得： ， 所以，故A错误；    对于B，因为，且平面， 所以平面，又因为平面，所以， 同理可证，又因为平面， 所以平面，又因为平面，所以，故B正确；    对于C，连接平面，且为等边三角形的中心， 再同上面可证明得平面，利用三棱锥的等体积法得： ， 以为球心，为半径的球面与平面的交线为圆，设该圆的半径为， 则由勾股定理可得：， 所以该圆的周长为，故C正确；    对于D，当经过的平面截正方体所得截面时,若为两边中点， 此时菱形的面积为，故D错误； 故选：BC 16．(24-25高一下·湖南·期中)（多选）如图，在棱长为2的正方体中，M为的中点，点E和点F分别在线段和上运动（不包含端点），下列说法正确的有（   ） A．正方体被平面截得的截面面积为 B．的最小值为2 C．三棱锥的体积为 D．直线与平面可能垂直 【答案】AC 【分析】对于A，取的中点G，连接，GM，，可证明，得到正方体被平面所截得的截面为四边形，进而求解其面积即可判断；对于B，将平面以为轴旋转展开，与平面在同一个平面内，通过计算可得为直角，可得当E，F都到达时，的值取得最小值，进而判断即可；对于C，由等体积法求解判断即可；对于D，先假设直线与平面垂直，通过推导得出平面平面，产生矛盾，进而判断即可. 【详解】对于A，取的中点G，连接，GM，， 因为M为的中点，所以， 在正方体中，，所以， 则正方体被平面所截得的截面为四边形， 且四边形为等腰梯形，，，， 在等腰梯形中，过点，分别作，垂足为，， 则，所以， 所以等腰梯形的面积为，故A正确； 对于B，计算的最小值，将平面以为轴旋转展开， 与平面在同一个平面内，如图所示， 由于，，，， 则，则， 则为直角，所以当E，F都到达时，的值取得最小值2，但E，F不能取端点，故B错误． 对于C，由，故C正确． 对于D，若直线与平面垂直，则必有，此时E为的中点， 又平面，平面，所以， 又，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面， 而平面与平面相交，矛盾， 所以与平面不可能垂直，故D错误． 故选：AC. 17．(24-25高一下·江苏无锡第一中学·期中)（多选）如图，在棱长为2的正方体中，点M，P分别为线段上的动点，则下列说法中正确的是（   ） A．当为线段中点时，平面截正方体所得的截面为平行四边形 B．取得最小值 C．当四面体ABMD的顶点在一个体积为的球面上时， D．对任意点，平面平面 【答案】ABD 【分析】A.作出平面截正方体所得的截面，即可说明；B.展开成平面，利用三点共线，即可求解；C.利用补体的方法求外接球半径，即可判断；D.证明平面，即可判断. 【详解】A.设是的中点，连结，设是的中点，连结，， 因为，且，所以四边形是平行四边形，所以， 且，，所以，且，所以四边形是平行四边形， 而正方体的棱长为2，且分别是的中点，所以， 所以四边形是菱形， 所以平面就是平面，此截面是平行四边形，故A正确； B.如图，将和展开成一个平面，当三点共线时，最短， ，， 所以，故B正确； C.如图，过点作平面，四面体和四棱柱是同一个外接球， 当时，，得，外接球的体积，故C错误； D.如图，，且，，平面， 则平面，平面，所以，同理， 且，平面，所以平面，且平面，所以平面平面，故D正确. 故选：ABD 18．(24-25高一下·甘肃天水秦安县第一中学·期末)（多选）如图，在正方体中，为底面的中心，为线段上的动点（不包括两个端点），为线段的中点，则（    ） A．与是异面直线 B．存在点，使得平面 C．平面平面 D．过三点的正方体的截面一定是等腰梯形 【答案】BCD 【分析】由，交于点得共面，可判断A；当，分别为，中点时，证明，可判断B；证明与平面后得面面垂直，可判断C；作出过，，三点的截面后可判断D． 【详解】，，共线，即，交于点，因此，共面，故A错误； 由于正方体中，，因为平面，平面，所以， 又因为平面，，所以平面， 又因为平面，所以平面平面，故C正确； 在上取点，使得，连结，，， 易知，又正方体中，，所以，，共面， 就是过，，三点的正方体的截面，它是等腰梯形，故D正确； 当，分别为，中点时，，且， 所以四边形为平行四边形，， 又平面，平面，所以平面，故B正确. 故选：BCD 19．(24-25高一下·四川成都锦江区嘉祥外国语高级中学·期末)（多选）如图，在边长为1的正方体中，点P在线段上运动，下列命题中正确的是（    ） A．三棱锥的体积为定值 B．异面直线与直线所成角为定值 C．在点P运动过程中，平面BPD截该正方体的截面形状为三角形或矩形 D．直线与平面所成角的余弦值的范围是 【答案】AB 【分析】根据三棱锥的体积，可判断A；根据线面垂直的性质，可判断B；举特例判断C；易得为直线与平面所成角，进而求解判断D. 【详解】对于A，由，其中的面积为定值， 在正方体中，， 因为平面，平面，所以直线平面， 所以当点在线段上运动时，点到平面的距离也为定值， 所以三棱锥的体积为定值，故A正确； 对于B，连接，在正方体中，平面， 因为平面，所以， 又由，，平面， 所以平面， 又因为平面，所以， 所以异面直线与直线所成的角为，故B正确； 对于C，设分别为的中点， 连接，，，则， 设为与的交点， 在正方体中，，则，且， 则此时平面BPD截该正方体的截面为梯形，故C错误； 对于D，在正方体中，平面， 则为直线与平面所成角， 当与重合时，最大，此时平面，则， 当与重合时，最小，而， 此时， 所以直线与平面所成角的余弦值的范围是，故D错误. 故选：AB. 20．(24-25高一下·广东汕尾·期末)（多选）如图，在棱长为2的正方体中，O为正方体的中心，M为的中点，F为侧面正方形内一动点，且满足平面，则（    ） A．动点F的轨迹是一条线段，线段长度为 B．直线与的夹角的余弦值为 C．三棱锥的体积为定值 D．若过A，M，三点作正方体的截面，Q为截面上一点，则线段长度最小值为 【答案】ACD 【分析】取的中点H，G，连接，证明平面，，从而得到点F的轨迹长度判断A；由正方体的结构特征易知且为等边三角形，即可判断B；根据A得出平面，从而得到点F到平面的距离为定值，再结合的面积也为定值，即可判断C；设N为的中点，从而根据面面平行的性质定理得到截面即为面，利用等体积法可求线段长度最小值为. 【详解】对于A：如图分别取的中点H，G，连接， 由正方体的性质可得，平面，平面， 所以平面，同理可得平面， 且，平面，所以平面， 而平面，所以平面，所以点F的轨迹为线段GH，又，故A正确； 对于B：由正方体的结构特征易知且为等边三角形， 所以直线与的夹角为，即直线与的夹角的为， 所以直线与的夹角的余弦值为，故B错误； 对于C：由A知，点F的轨迹为线段GH， 因为平面，则点F到平面的距离为定值， 同时的面积也为定值，则三棱锥的体积为定值，故C正确； 对于D：如图，设平面与平面交于AN，N在上． 因为截面平面，截面平面， 平面平面，所以，同理， 所以截面为平行四边形，则点N为的中点． 因为Q为截面上一点，则线段长度最小值即为到平面的距离， 因为，， 所以， ，设到平面的距离为， 因为，所以， 所以，解得， 所以线段长度最小值为，故D正确. 故选：ACD. ( 地 城 考点0 3 截面的面积定值与最值问题 ) 21．(24-25高一下·江西南昌南昌大学附属学校·期末)如图，在棱长为的正方体中，点、、分别是棱、、的中点，则由点、、确定的平面截正方体所得的截面多边形的面积等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，借助面面平行性质作出截面，进而求出截面面积. 【详解】因为在棱长为的正方体中，由、分别为、的中点， 得，且，由且，得四边形为平行四边形， 即，设平面交棱于点，由平面平面， 且平面平面，平面平面，得， 由为的中点，得为的中点，设直线分别交、的延长线于点P、Q，如图： 连接交棱于点，连接交棱于点，连接、，则截面为六边形. 由，E为的中点，得，又，则为的中点， 同理为的中点，六边形是边长为1的正六边形， 所以截面面积为 故选：A 22．(24-25高一下·福建福州马尾一中等六校·期末)（多选）如图，为圆锥底面圆的直径，点是圆上异于、的动点，圆锥的底面半径为1，其侧面展开图为一个半圆． 则下列正确的是（    ） A．圆锥的表面积为 B．三角形面积的最大值为2 C．若二面角的正切值为，则三角形面积的为 D．圆锥的外接球体积为 【答案】ACD 【分析】根据圆锥侧面展开图的半径与母线长度的关系求得表面积；依据的面积与长度的关系，利用基本不等式求最值；找出二面角的平面角可利用三角函数求得线段长度进而求面积；理清外接球的性质列方程求解半径. 【详解】圆锥底面周长为，即圆锥侧面展开图的半圆的弧长为. 则该半圆所在圆的周长为，故其半径为，即该圆锥的母线长为，. 圆锥的侧面积为，底面积为，故表面积为.A选项正确. 设，，，故的面积，当且仅当时等号成立，即时等号成立.但 ,故无法取得最大值. B选项错误. 中点为，连接，.易知. 所以为二面角的平面角，. 又因为为直角，所以，求得.由勾股定理得. 所以的面积为.C选项正确. 圆锥的外接球球心在点上方，设. 因为，所以，解得. 故外接球的半径为，所以体积为. D选项正确. 故选：ACD. 23．(24-25高一下·广东云浮·期末)如图所示，一个水平放置的的斜二测直观图是，若，则的面积是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据斜二测直观图求出, 的长，求出的面积． 【详解】由斜二测直观图可知，且， 则的面积. 故选：D. 24．(24-25高一下·山东泰安宁阳县·期末)（多选）三棱锥中，为中点，，，，，则下列选项正确的是（    ） A． B．直线与平面所成角的正弦值为 C．直线与所成角为 D．过的平面与三棱锥的外接球的截面面积最小值为 【答案】ACD 【分析】由题可证，根据线面垂直的判定可证平面，继而得到；设中点为，可证平面，所以就是直线与平面所成角，即可得到直线与平面所成角的正弦值；设中点为，根据异面直线夹角可知就是直线与所成角或其补角，在中通过求即可得到直线与所成角；根据题意可知都是直接三角形，有公共斜边，即可确定球心在中点处，再利用球的截面得性质即可得截面面积最小值. 【详解】 ，，， 又，所以，即， 又，平面， 所以平面，平面，，故A正确； 设中点为，连接， ，，， 又平面，平面，所以， 又平面，所以平面，， 即就是直线与平面所成角， ，，故B错误； 设中点为，连接， 分别是中点，， 即就是直线与所成角或其补角， 在中，，，， ，所以直线与所成角为，故C正确； 又，所以，即， 则都是直接三角形，有公共斜边， 所以三棱锥的外接球球心在中点处，外接球半径， 即垂直截面时，截面面积最小，此时截面半径， 所以截面面积最小值为，故D正确； 故选：ACD 25．(24-25高一下·四川攀枝花·)（多选）已知圆锥的底面半径为1，母线长为4，底面圆周上有一动点，则（    ） A．圆锥的体积为 B．圆锥的侧面展开图的圆心角大小为 C．圆锥截面的面积的最大值为 D．若，且，则从点出发绕圆锥侧面一周到达点的最短长度为 【答案】ABC 【分析】对于A：求出圆锥的体积即可判断；对于B：直接求出圆锥的侧面展开图的圆心角即可判断；对于C：最大时，截面面积最大，计算可判断；对于D：利用圆锥的侧面展开图可求最短距离可判断. 【详解】对于A选项，圆锥高，体积； 对于B选项，侧面展开图弧长，圆心角； 对于C选项，截面面积， 当直径两端点为，，因为底面半径为1，故直径为2，小于母线长，故此时为锐角， 底面直径两端点，对应最大，又， 所以，故面积最大值为； 对于D选项，侧面展开图扇形圆心角， 在上且，则， 展开后扇形中，与 (对应底面同一点)的圆心角为，最短路径为线段， 由余弦定理：，故D错误． 故选：ABC. 26．(24-25高一下·山东济南·期末)（多选）如图，在棱长为2的正方体中，点分别是棱的中点，是侧面内（含边界）的一动点，且满足//平面，则（   ） A．点到平面的距离为定值 B．存在点，满足 C．二面角的取值范围为 D．过点作正方体外接球的截面，所得截面面积的最小值为 【答案】ABD 【分析】取中点，中点，连接，连接，，，，证明点的轨迹为，再结合，可对A判断；当点为的中点时可证平面，从而可对B判断；利用几何法作出就是二面角的平面角，分析点在运动时变化情况，可对C判断；求出正方体外接球的半径，且当点位于或时，离球心的距离最远，从而可对D判断求解. 【详解】取中点，中点，连接，连接，，，， 则，，所以，又， 所以四边形为平行四边形，所以，且， 又因为，，所以， 又因为平面，，平面， 所以平面，因平面，所以平面， 所以点的轨迹为. A：由上可求得，可得为定值，故A正确； B：作且交的中点，连接，因为平面，平面， 所以，又，平面，所以平面， 又因为，所以平面，又平面，所以， 所以当点于点重合时，满足，故B正确； C：连接，，作且交于点，作且交于点， 由平面，平面，则， 又，平面，所以平面，又平面， 所以，所以就是二面角的平面角， 即，因点的轨迹为，结合图形当点从到的过程中是逐渐增大的， 当点位于处，此时，则，求得， 当点位于的中点处时，，，则， 当点位于处时，，，则， 综上所述：取不到，故C错误； D：正方体的外接球的半径为， 当点在或处时，正方体的中心（即外接球球心）离点距离最远为， 此时以点为截面圆心，截面圆半径最小为，所以截面面积的最小值为，故D正确. 故选：ABD. 27．(24-25高一下·湖北黄冈·期末)如图，在三棱柱中，平面平面，平面平面，，是线段上一动点，，. (1)证明：三棱柱是直三棱柱； (2)若，求平面截三棱柱所得截面的面积； (3)是否存在，使得直线与平面所成角的正切值为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在， 【分析】（1）在上任取一点，过作交于，在上任取一点，过作交于，可证平面，证明可得结论； （2）过作，交于点，连接，截面为直角梯形，求得面积即可； （3）延长交于点，过作于，所以平面，连接，为与平面所成的角，可得，进而可求的值. 【详解】（1）如图： 在上任取一点，过作交于， 在上任取一点，过作交于， 由平面平面，平面平面，平面 所以：平面， 同理有平面，从而有， 平面，平面，所以平面， 又因为平面平面，平面， 从而有，即平面. 从而三棱柱是直三棱柱. （2） 当时，连接延长交直线于，所以， 又因为，所以，所以为线段上靠近的一个三等分点， 过作，交于点，连接， 因为三棱柱为直棱柱，所以平面平面， 又，平面，平面平面， 所以平面，所以平面， 从而截面为直角梯形，， 所以， 从而直角梯形的面积为. （3） 延长交于点，过作于， 因为三棱柱为直棱柱，所以平面平面， 又平面，平面平面， 所以平面，连接， 则为与平面所成的角， 由，，可知，， 若直线与平面所成角的正切值为，即， 从而，即，，从而易得， 即点为上靠近的一个三等分点，. 28．(24-25高一下·江西南昌第二中学·期末)如图，斜三棱柱中，，四边形是菱形，为的中点，平面，． (1)求证：四边形为矩形； (2)在上是否存在点，使得平面，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由； (3)若分别为，的中点，求此斜三棱柱被平面所截的截面面积． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， (3) 【分析】（1）根据线面垂直的性质定理和判定定理求解即可； （2）过点作的垂线交于点，由线面垂直的性质定理和判定定理可知平面，过点作的平行线交于点，所以平面，再在平面中以为原点，为轴建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标表示求解即可； （3）延长，交于点，连接交于点，连接，，则四边形即为所得截面，利用线面垂直的判断定理和性质定理，结合余弦定理求该截面面积即可. 【详解】（1）斜三棱柱中，侧面是平行四边形， 因为平面，平面，所以， 因为，，所以平面， 又因为平面，所以，所以四边形为矩形. （2）如图，过点作的垂线交于点， 因为平面，平面，所以， 又因为，，，所以平面， 过点作的平行线交于点，连接，所以平面， 由斜三棱柱的性质易知， 在平面中以为原点，为轴建立平面直角坐标系， 所以，，，，， 设，则，所以，， 因为，所以， 即，解得， 在上是存在点，当时，平面. （3）延长，交于点，连接交于点，连接，， 则四边形即为所得截面， 因为四边形是菱形，为的中点，平面，平面， 所以，是等边三角形，则， 因为，所以， 过作交于， 因为，，，平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以，， 在中，因为， 由余弦定理可知， 因为分别为，的中点，，易知与全等， 所以，，， 在直角三角形中，由可得， 在中，由余弦定理可知， 所以， 所以， 设截面面积为，由于，， 所以 . 即所求截面面积为. 29．(24-25高一下·广西河池·期末)正四面体的棱长为8，为棱的中点，过点作正四面体外接球的截面，则截面面积的最小值为_____. 【答案】 【分析】根据正四面体的特征可结合三角形的边角关系求解长度，即可根据勾股定理求解球半径，由与截面垂直时截面最小，即可根据勾股定理求解. 【详解】由正四面体的特征可知其外接球的球心在高所在的直线上，设球心为， 则,, , 设外接球的半径为,则, 代入的值可得, 要使过点作正四面体外接球的截面中面积最小，则到球心的距离最大，即与截面垂直时，此时截面最小， 则到球心的距离, 故截面圆的半径为, 因此截面圆的面积为， 故答案为： 30．(24-25高一下·湖北武汉新洲区第一中学阳逻校区·期末)我国古代数学名著《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱（侧棱垂直于底面的三棱柱）称之为“堑堵”.如图，三棱柱为一个“堑堵”，底面是以为斜边的直角三角形且，，点在棱上，且，当的面积取最小值时，三棱锥的外接球体积为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件，利用直三棱柱的性质平面，进而可得，设，，结合条件，利用基本不等式求得，再利用直角三角形的性质，求得球的半径，即可求解. 【详解】由堑堵的定义可知，为直角三角形，故， 由已知可得，平面平面ABC，且平面平面， 又，平面ABC， 平面，而平面， ，又，，AC，平面APC， 平面APC，又平面APC，则， 设，，则， ，， ， 由，得，整理得， ， 则， 当且仅当，即时，的面积取得最小值为18， 此时， 设三棱锥的外接球的半径为R， 因为，都是以AP为斜边的直角三角形， 故线段为外接球的直径，故所求外接球的体积为.    故选：B. ( 地 城 考点0 4 轨迹的长度与面积定值与最值问题 ) 31．(24-25高一下·江苏无锡惠山区锡山高级中学·期末)（多选）如图，正方体的棱长为2，点M是其侧面上的一个动点（含边界），点P是线段上的动点，则（   ） A．的长度范围是 B．存在点P，M，使得平面与平面平行 C．存在点P，M，使得二面角大小为 D．当P为棱的中点且时，则点M的轨迹长度为 【答案】BC 【分析】对于A，易得即可判断；对于B，可找到点P，M使得平面与平面PBD平行；对于C，由题意，证得，得到二面角的平面角即可判断；对于D，求得点M的轨迹长度判断． 【详解】解：对于A，易知点到侧面的距离为2，故，故A错误； 对于B，当M为中点，P为中点时， 连接、，结合正方体的结构特征有， ，又平面，平面，则平面PBD， ，又平面，平面，则平面， 又且都在面内，则平面平面 故B正确； 对于C，在正方体中，可得平面， 因为平面，平面，所以， 所以二面角的平面角为，其中，所以C正确； 对于D，取中点E，连接PE，ME，PM，则平面， 根据线面垂直的性质有，则， 则点M在侧面内运动轨迹为以E为圆心半径为2的劣弧， 分别交AD、于、，则， 则，劣弧的长为，故D错误． 32．(24-25高一下·安徽合肥第六中学·期末)（多选）如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，为线段上动点（包括端点），则下列说法中正确的是（    ）    A．存在点使得平面 B．直线与平面所成角正弦值为 C．的最小值为 D．若点在正方体，表面上运动（包含边界），且，则点的轨迹长度为 【答案】BCD 【分析】利用面面平行的判定推理平面平面，然后利用直线与平面相交判断A；利用定义法作出线面角，并在直角三角形中求出线面角的正弦判断B；把三角形与三角形置于同一平面内，利用余弦定理求出线段长判断C；先利用线面垂直的判定推理平面，取棱的中点利用面面平行的判定推理得平面平面，进而平面，从而求出点的轨迹为正六边形，求解周长即可判断D． 【详解】对于A：先证平面平面，由正方体性质可知，且， 且，所以四边形和均为平行四边形， 所以，，因为平面， 在平面外，所以平面，平面， 又平面，，所以平面平面， 又为的中点，为线段上动点（包括端点）， 所以直线与平面相交，从而直线与平面相交，故A错误； 对于B：连接，则，由平面，平面， 得，又，，平面， 则平面，过作交于，连接， 于是平面，是直线与平面所成的角，，，所以，故B正确；    对于C，把三角形与三角形置于同一平面内，连接， 则的最小值为， 在中，，， ， 由余弦定理得，C正确；    对于D，由正方体的性质知平面，平面，所以， 因为四边形为正方形，所以，平面， 所以平面，平面，所以， 同理可得，平面，故平面； 如图，    取棱的中点分别为， 连接，可得六边形为正六边形， 而，平面，平面，故平面， 同理可证平面，，，平面， 故平面平面，所以平面， 即过点且与垂直的平面截正方体所得截面即为正六边形，边长为， 其周长为，所以点的轨迹为正六边形，则点的轨迹长度为，D正确． 故选：BCD 33．(24-25高一下·云南曲靖会泽县·期末)（多选）如图，已知长方形ABCD中，将其沿着AB旋转一圈得到一个圆柱，A，B为上下底面的圆心.圆柱内有一个半径为1的小球在其内部运动，小球的球心为O ，则下列说法正确的有（    ） A．该圆柱外接球的表面积为32π B．球心O的轨迹为一个长方体 C．沿着圆柱的表面从点 A 到点 B 的最短路径的距离为8 D．小球运动过程中所走过的空间的体积大于 【答案】ACD 【分析】首先确定所得圆柱底面半径、高，再求出外接球半径，即可判断A、C；根据小球在圆柱中运动，直观想象确定球心的轨迹及小球所及空间的最大体积判断B、D. 【详解】由题设，所得是底面半径为2，高为4的圆柱，则其外接球的半径为， 所以外接球的表面积为，A对； 沿着圆柱的表面从点 A 到点 B 的最短路径的距离为，C对； 由于小球半径为1，则其在圆柱中运动时轨迹是底面半径为1，高为2的圆柱，B错； 小球运动过程中所走过的空间是除去球体与圆柱的底面和侧面相切时球体与圆柱所成空隙部分的其它空间， 该空间最大体积大于，D对， (括号部分说明：表示从一个底面半径、高为2的圆柱体中去掉一个底面半径为1，高为2的圆柱体和一个底面为半圆(半径为1)，高为的柱体). 故选：ACD 34．(24-25高一下·辽宁大连·期末)（多选）已知正方体，，且直线与直线夹角为，则下列说法正确的是（   ） A．若点在棱上，且，则 B．若，且点在面上，则点的轨迹长度为 C．是面上的动点，，则的轨迹图形面积是 D．点为截面上的动点，，则点的轨迹长度是 【答案】BCD 【分析】对A，由题易得，运算得解；对B，由题可得点的轨迹是以为圆心，所含圆心角为的圆弧，运算得解；对C，由题易证平面，可得点的轨迹图形是，求解判断；对D，由C，可确定点的轨迹得解. 【详解】对于A，如图，点在上，则，所以， 解得，所以，故A错误； 对于B，因为，所以直线与夹角为， 所以射线的轨迹是以为轴，轴截面等腰三角形顶角为的圆锥侧面， 当点在底面内时，， 点的轨迹是以为圆心，所含圆心角为的圆弧，轨迹长度为，故B正确； 对于C，如图，连接， 由平面，平面，则，又， ，平面，故平面， 平面，所以， 同理，可得，而，平面， 所以平面，因为，所以平面，又是正方体面上的动点， 所以点的轨迹图形是，易知是正三角形，边长为， 所以点的轨迹图形的面积为，故C正确； 对于D，由C可知，平面，又点为截面上的动点，平面平面， 所以点的轨迹是线段，长度为，故D正确. 故选：BCD. 35．(24-25高一下·辽宁沈阳五校协作体·期末)（多选）如图，在长方体中，，动点M在长方体的表面上运动（含边界），且，点M的轨迹形成的封闭图形为，则（   ） A．点M的轨迹长度为 B．与所在平面所成角的正弦值为 C．Ω所在的平面将长方体分成的大小两部分体积比为 D．若与所在的平面交于点E，则 【答案】ABD 【分析】对于A，取的中点，证明平面，即可确定点M的轨迹形成的封闭图形即为，求出的周长即可判断；对于B，先求出点到所在平面的距离，则与所在平面所成的角的正弦值根据计算即可判断；对于C，先求出三棱锥及长方体的体积，再求出除去三棱锥剩余部分的体积，即可求出大小两部分体积的比值，即可判断；对于D，先确定点E的位置，再通过两次三角形相似即可求出的值，即可判断. 【详解】 对于A，如图所示，取的中点，连接， 连接与交于点. 当点在平面上时， 因为平面，平面，所以. 由已知平面为正方形，则，，所以平面， 因为平面，所以， 若，则点在平面上的轨迹为，长度为； 当点在平面上时， 因为平面，平面，所以. 因为，所以， 所以，所以， 所以，即， 因为，所以平面， 因为平面，所以， 若，则点在平面上的轨迹为，长度为； 因为，所以平面， 所以点M的轨迹形成的封闭图形即为， 因为，所以点M的轨迹长度为，故A正确； 对于B，设点到所在平面的距离为， 可知，等腰的面积为， 则由可得，解得. 又， 设与所在平面所成的角为，则， 所以与所在平面所成角的正弦值为，故B正确； 对于C，因为三棱锥的体积 ， 而长方体的体积， 所以除去三棱锥剩余部分的体积为， 所以所在的平面将长方体分成的大小两部分体积比为，故C错误； 对于D，连接与交于点，则为平面与平面的交线， 则点即为与所在的平面交点， 由，可知，即， 由，可知，故D正确. 故选：ABD 36．(24-25高一下·吉林“BEST合作体”·期末)已知菱形的各边长为4，．如图所示，将沿折起，使得点D到达点S的位置，连接，得到三棱锥，此时．若E是线段的中点，点F在三棱锥的外接球上运动，且始终保持，则点F轨迹的面积为______． 【答案】/ 【分析】取中点M，连接，，作于H，设点F轨迹所在平面为，则平面经过点H且，设三棱锥外接球的球心为O，，的中心分别为，，则平面，平面，且O，，，M四点共面，求出外接球半径，截面圆半径后可得结论. 【详解】取中点M，连接，， 则，，，，平面， ∴平面，， 由题意，又， 所以， 是三角形内角，因此， 作于H，设点F轨迹所在平面为， 则平面经过点H且， 设三棱锥外接球的球心为O，，的中心分别为，， 易知平面，平面，且O，，，M四点共面， ，由球的性质知，从而，即是的角平分线， 所以，，， 又， 则三棱锥外接球半径， 易知O到平面的距离， 故平面截外接球所得截面圆的半径为， 所以截面圆的面积为，即点F轨迹的面积为． 故答案为：． 37．(24-25高一下·安徽宣城·期末)如图，四边形是边长为2的正方形，，平面平面，平面平面. (1)求证：平面； (2)求二面角的余弦值； (3)点M在正方形内（包括边界），若平面平面，且，求点M的轨迹长度. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）利用面面垂直的性质可证平面，进而利用线面垂直的性质可证，可理可证，进而可证结论； （2）过作于，连接，可得为二面角的平面角，求解即可； （3）以为直径在正方形内作一个半圆，在该半圆圆上任取点，连接，可证点M的运动轨迹为一个半圆，据此求解即可. 【详解】（1）四边形是边长为2的正方形，所以， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又平面，所以， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又平面，所以， 又，平面， 所以平面； （2）过作于，连接， 由（1）可知平面，又平面，所以， 又，平面，所以平面，平面， 所以，所以为二面角的平面角， 因为，，所以， 又，所以，解得， 在中，， 所以， 所以二面角的余弦值为； （3）以为直径在正方形内作一个半圆，在该半圆圆上任取点，连接， 则，又因为平面；平面， 所以，又，平面， 所以平面，又平面，所以平面平面， 所以点M的运动轨迹为此半圆， 设的中点为，连接，因为，所以， 所以根据扇形的弧长公式得点M的运动轨迹长度为. 38．(24-25高一下·安徽合肥百花中学等四校联考·期末)（多选）如图，正方体的棱长为2，是棱的中点，是侧面上的动点，且满足，则下列结论中正确的是（   ） A．平面截正方体所得截面面积为 B．点的轨迹长度为 C．存在点，使得 D．直线与平面所成角的正弦值的最大值为 【答案】AC 【分析】取的中点G，连接、，则等腰梯形为截面，求面积判断选项A；取中点M，中点N，连接,,，推导出点的运动轨迹为线段，判断选项B；取中点F，推导出，又因为，所以，判断选项C；取F是的中点，因为是等腰三角形，则,同理,与交于点F，且与均在平面内，所以为与平面所成的线面角，所以，因为，且时最小，满足题设正弦值最大，求正弦值，判断选项D. 【详解】 已知正方体的棱长为2，是棱的中点，是侧面上的动点， 且满足，取的中点G，连接、, 则等腰梯形（,且）为其截面， 面积为，故A对； 取中点M，中点N，连接,,， 由题可得,,且平面， 所以平面，平面， 又与是平面内的两条相交直线, 所以平面平面，所以点F的运动轨迹为线段，长度为，故B错； 取中点F，因为为等腰三角形，所以， 又因为，所以，故C对. 因为平面，所以为与平面所成的线面角， 所以， 因为，且时最小，满足题设正弦值最大， 所以，，故D错. 故选：AC. 39．(24-25高一下·浙江杭州上城区等5地·)（多选）在棱长为3的正方体中，为的中点，为侧面内一动点，满足平面，则（    ） A．三棱锥的外接球表面积为 B．三棱锥的体积是定值 C．动点的轨迹是一条圆弧，长度为 D．动点的轨迹是一条线段，长度为 【答案】ABD 【分析】对于A，三棱锥的外接球即为正方体的外接球，即可判断A； 对于B，因为平面，所以点到平面的距离为定值，又的面积为定值，所以三棱锥的体积是定值，可判断B； 对于C、D，取、的中点，连接、、、，可证得所以平面平面，从而可得点的轨迹为线段，且，即可判断C、D. 【详解】对于A，由题意可知，三棱锥的外接球即为正方体的外接球，可知正方体外接球的半径为正方体的体对角线， 设正方体外接球的半径为，则，即， 所以三棱锥的外接球表面积为，故A正确； 对于B，因为平面，所以点到平面的距离为定值， 又的面积为定值，所以三棱锥的体积是定值，故B正确； 对于C，取、的中点，连接、、、，如图所示，    因为且，所以四边形为平行四边形，所以， 同理可得，又，所以， 又因为平面，平面，且， 平面，平面，且， 所以平面平面， 又平面，所以平面， 又为侧面内一动点，所以点的轨迹为线段，故C错误； 对于D，由C可知，点的轨迹为线段，则，故D正确. 故选：ABD. 40．(24-25高一下·河北NT20名校联合体·期末)（多选）如图，在长方体中，，动点在长方体的表面上运动（含边界），且，点的轨迹形成的封闭图形为，则（ ） A．点的轨迹长度为 B．点到所在平面的距离为 C．所在的平面将长方体分成的大小两部分体积比为11:1 D．若与所在的平面交于点，则 【答案】ACD 【分析】对A，当点在平面上时，可证，此时点的轨迹为，同理，当点在底面上时，为的中点，点的轨迹形成的封闭图形为，运算得解；对 B，由等体积法运算得解；对C，由长方体的体积为，求解判断；对D，连接，则为平面与平面的交线，则点即为与的交点，由运算得解. 【详解】如图， 对于A，当点在平面上时，因为平面平面，所以， 因为平面，所以平面， 因为平面，所以， 若，则点的轨迹为，长度为； 当点在底面上时，因为平面平面， 故，又，则平面平面，所以. 设与AB交于点P，由知，所以. 此时为的中点，所以的轨迹为， 连接，则，所以点的轨迹形成的封闭图形为，周长为.故A正确； 对于B，在中，，故面积， 设点到所在平面的距离为，由得，解得，故B错误； 对于C，长方体的体积为，剩余的部分体积为，故体积比为11:1，故C正确； 对于D，连接，则为平面与平面的交线，则点即为与的交点， 由知，由知，故D正确. 故选：ACD. 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $