第十章 概率8大题型（期末复习专项训练）高一数学下学期人教A版

**基本信息** 以概率核心概念为起点，通过事件关系、概率计算到应用的递进式题型设计，系统覆盖概率知识体系，强化数学抽象与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |随机事件|4题|判断事件类型，结合生活实例|从基础概念引入，建立概率研究对象| |事件关系与运算|4题|包含、互斥、对立关系判断，集合思想应用|衔接集合知识，构建事件间逻辑联系| |古典概型|4题|结合函数、频率分布直方图的概率计算|从简单计数到复杂数据处理，体现数学建模| |互斥与独立事件|8题|概率公式应用，事件独立性判断|深化事件关系，形成概率计算方法链| |频率与概率|4题|模拟试验、频率估计概率|连接理论与实践，培养数据观念|

第十章概率 题型一 随机事件 1 题型二 事件的包含关系与运算 3 题型三 互斥事件与对立事件 4 题型四 古典概型的概率 6 题型五 互斥事件与对立事件的概率 11 题型六 独立事件的判断 12 题型七 独立事件的概率 15 题型八 频率与概率问题 19 题型一 随机事件 1．(24-25高一下·全国·期末)以下事件是随机事件的是（    ） A．下雨屋顶湿 B．秋后柳叶黄 C．有水就有鱼 D．水结冰体积变大 【答案】C 【分析】利用随机事件的定义求解即可. 【详解】由题意得A，B，D的概率为1，所以是必然事件， C的概率不为0，也不为1，所以它是随机事件，故C正确. 故选：C 2．(23-24高一下·黑龙江哈尔滨第三十二中学校·期末)（多选）在25件同类产品中，有2件次品，从中任取3件产品，其中不是随机事件的是（    ） A．3件都是正品 B．至少有1件次品 C．3件都是次品 D．至少有1件正品 【答案】CD 【分析】根据题意，只需找到不可能事件与必然事件即可. 【详解】对于A，因25件同类产品中，有2件次品，则有23件正品， 故从中任取3件产品，其中3件都是正品是可能的，是随机事件，不符题意； 对于B，当从中任取3件产品中“2正1次”或“1正2次”都表示至少有1件次品， 故是随机事件，不符题意； 对于C，因同类产品中总共只有2件次品，故“3件都是次品”是不可能事件，符合题意； 对于D，因25件同类产品中，有2件次品， 而要从中任取3件产品不可能全是次品，即其中至少1件是正品， 故“至少有1件正品”是必然事件，故符合题意. 故选：CD. 3．(23-24高一上·陕西汉中汉台区·期末) （多选）在25件同类产品中，有2件次品，从中任取5件产品，其中是随机事件的是（    ） A．5件都是正品 B．至少有1件次品 C．有3件次品 D．至少有3件正品 【答案】AB 【分析】根据题意25件产品中只有两件次品，所以不可能取出3件次品，且至少有3件正品，即可. 【详解】在25件同类产品中，有2件次品，从中任取5件产品，“5件都是正品”、“至少有1件次品”，都是随机事件，A、B正确， 在25件同类产品中，有2件次品，所以不可能取出3件次品， 则“有3件次品”不是随机事件，是不可能事件，C错误； 在25件同类产品中，有2件次品，从中取5件，则“至少有3件正品”为必然事件，不是随机事件，D错误. 故选：AB 4．(22-23高一上·广西桂林·期末)下列事件：①物体在重力作用下会自由下落；②方程有两个不相等的实数根；③下周一会下雨；④桂林生活广播电视台在某天某一节目播出时段内收到观众信息回复次数大于次.其中随机事件的序号为________. 【答案】③④ 【分析】根据随机事件的定义依次判断各个选项即可. 【详解】对于①，物理在重力作用下必然会自由下落，为必然事件，不是随机事件，①错误； 对于②，方程有两个不相等的实数根为不可能事件，不是随机事件，②错误； 对于③，下周一可能会下雨，也可能不会下雨，则下周一会下雨可能发生，也可能不发生，为随机事件，③正确； 对于④，收到观众信息回复次数大于次可能发生，也可能不发生，为随机事件，④正确. 故答案为：③④. 题型二 事件的包含关系与运算 1．(25-26高一上·内蒙古呼和浩特·期末) （多选）给出关于满足 的非空集合，的四个命题，其中正确的命题是（   ） A．若任取，则是必然事件 B．若任取，则是不可能事件 C．若任取，则是随机事件 D．若任取，则是必然事件 【答案】ACD 【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件、子集的定义逐一判断即可. 【详解】对于A：因为 ，，所以，因此若任取，则是必然事件，真命题； 对于B：因为 ，显然存在一个元素在集合中，不在集合中， 因此若任取，则是随机事件，假命题； 对于C：因为 ，任取，有可能成立，也可能不成立， 因此任取，则是随机事件，真命题； 对于D：因为 ，，所以一定有，显然任取，则是必然事件，真命题． 故选：ACD 2．(22-23高一上·安徽淮北实验高级中学·期末)掷一枚骰子，设事件出现的点数不大于3，出现的点数为偶数，则（    ） A． B．事件A与是互斥事件 C．出现的点数为2 D．事件A与是对立事件 【答案】C 【分析】根据事件的关系和运算一一判定即可. 【详解】掷骰子有点数为1，2，3，4，5，6六种结果， 即，事件， 故，即事件A、B既不互斥也不对立. 显然C正确. 故选：C 3．(22-23高一下·河北武强中学·期末)打靶3次，事件“击中发”，其中．那么表示_______． 【答案】至少击中1发 【分析】根据和事件的定义判断. 【详解】根据并事件的定义可知，表示至少有一个发生， 所以表示至少击中1发. 故答案为：至少击中1发. 4．(22-23高一下·河北武强中学·期末) （多选）掷一枚质地均匀的骰子，记“向上的点数是1或2”为事件，“向上的点数是2或3”为事件，则（    ） A． B． C．表示向上的点数是2 D．表示向上的点数是1或2或3 【答案】CD 【分析】根据事件的关系与运算的概念进行判断. 【详解】由题可知，“向上的点数是1或2”为事件，“向上的点数是2或3”为事件， 所以事件不包含事件，故A错误； 事件也不等于事件，故B错误； 事件表示“向上的点数是2”，故C正确； 事件表示“向上的点数是1或2或3”，故D正确. 故选：CD. 题型三 互斥事件与对立事件 1．(23-24高一下·四川达州外国语学校·期末) （多选）如图，一个电路中有四个电器元件，每个元件可能正常，也可能失效．记“电路是通路”，“电路是断路”，“至少三个元件正常”，“恰有三个元件正常”，则（    ） A．与互斥，但不对立 B．与互斥，但不对立 C． D． 【答案】BC 【分析】分析各事件的含义，结合事件的互斥性和对立性判断选项A，B；分析的关联，判断选项C；分析的关联判断选项D． 【详解】选项A：电路不可能同时通路和断路，故，互斥成立； 全集是所有元件状态组合，覆盖了通路和断路所有情况，故是对立事件，故A错误； 选项B：表示至多两个元件正常，表示恰有三个元件正常， ，互斥成立，仅覆盖正常数，未包含 “四个元件都正常”，故不对立，故B正确； 选项C：恰有三个元件正常时，必有一个元件失效，由电路图可知： 任意三个元件正常时，电路均保持通路，即必然发生， ，故C正确； 选项D：“电路是断路”， 表示至多两个元件正常， 若正常，失效，此时正常元件数为2，但电路为通路， 故发生时不一定发生，故D错误． 故选：BC． 2．(24-25高一下·广西百色·期末)抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：A=“点数不大于3”，B=“点数大于4”，C=“点数为奇数”，D=“点数为偶数”，下列结论正确的是（    ） A．B，C为对立事件 B．A，C为互斥事件 C．C，D为对立事件 D．A，D为互斥事件 【答案】C 【分析】根据互斥事件、对立事件的定义逐一判断各个选项即可求解． 【详解】样本空间为，，，，， 对于A，，所以B，C不互斥，更不可能对立，故A错误； 对于B，由于，所以A，C不互斥，故B错误； 对于C，因为，，所以C，D为对立事件，故C正确； 对于D，，所以A，D不互斥，故D错误． 故选：C． 3．(24-25高一下·河北秦皇岛部分学校·期末)投掷两枚质地均匀的骰子，记事件A为两枚骰子朝上的点数均为偶数，事件B为两枚骰子朝上的点数均为奇数，则（    ） A．A为必然事件 B．B为不可能事件 C．A与B为互斥但不对立事件 D．A与B互为对立事件 【答案】C 【分析】由必然事件、不可能事件、互斥和对立事件的概念可判断. 【详解】显然A与B都是随机事件，且A与B不能同时发生，但可能同时不发生，故A与B为互斥但不对立事件. 故选：C. 4．(25-26高一上·贵州遵义·)一个袋子中有大小和质地相同的5个小球，其中有3个红球和2个白球．从袋中不放回地依次随机摸出2个小球（每次取1个小球），记事件“两次都摸到红球”，事件“两次都摸到白球”，事件“两次摸到的小球颜色不同”，事件“两次摸到的小球颜色相同”，则下列事件互为对立事件的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】由互斥事件、对立事件的概念依次判断各个选项即可. 【详解】对于A，事件“两次都摸到红球”，事件“两次都摸到白球”， 从袋中不放回地依次随机摸出2个小球有可能是一红球和一白球，即事件A，B都不发生， 故A，B互斥，但并集不等于样本空间，故不是对立事件，A错误； 对于B，事件“两次都摸到红球”，事件“两次摸到的小球颜色不同”， 从袋中不放回地依次随机摸出2个小球有可能两个白球，即事件A，C都不发生， 故A，C互斥，但并集不等于样本空间，不是对立事件，B错误； 对于C，事件“两次都摸到白球”，事件“两次摸到的小球颜色不同”， 从袋中不放回地依次随机摸出2个小球有可能两个红球，即事件B，C都不发生， 故B，C互斥，但并集不等于样本空间，不是对立事件，C错误； 对于D，事件“两次摸到的小球颜色不同”，事件“两次摸到的小球颜色相同”， 由于从袋中不放回地依次随机摸出2个小球的颜色要么是相同的， 要么不同， 故，故与是对立事件， 故选：D 题型四 古典概型的概率 1．(25-26高一·陕西渭南韩城·期末)现从①，②，③，④这4个函数中随机抽取2个函数，则恰有1个函数是奇函数的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先判断函数的奇偶性，然后计算从这4个函数中随机抽取2个函数的选法总数，再计算恰有1个函数是奇函数的选法数，最后计算概率即可. 【详解】对于定义域为， 令，则， ， 是奇函数； 对于定义域为， 令，则， ， 是偶函数； 对于定义域为， 令，则， 是非奇非偶函数； 对于定义域为， 令，则， ， 是奇函数， 从这4个函数中随机抽取2个函数，①②、①③、①④、②③、②④、③④，共有种选法, 其中恰有1个函数是奇函数的选法：①②、①③、②④、③④，共有种， 所以，所求概率. 故选：D 2．(24-25高一下·江苏无锡惠山区锡山高级中学·期末)某研究机构为了了解各年龄层对高考改革方案的关注程度，随机选取了200名年龄在内的市民进行了调查，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图（分第一～六组区间分别为，，，，，）． (1)求选取的市民年龄在内的人数及a的值； (2)利用频率分布直方图，估计200名市民的年龄的平均数和第80百分位数； (3)若从第3，4组用分层抽样的方法选取5名市民进行座谈，再从中选取2人在座谈会中作重点发言，求作重点发言的市民中至少有一人的年龄在内的概率． 【答案】(1)， (2)平均数为，第80百分位数为. (3) 【分析】（1）先求出年龄在内的频率，再求出频数；根据直方图面积为1求解a的值； （2）根据频率分布直方图，求出组中值，利用组中值求平均数即可，第80百分位数即为左侧面积为0.8的线所对应的值； （3）先确定从第3，4组中分别抽取3人，2人.再根据古典概型公式求解概率即可. 【详解】（1）由题意可知，年龄在内的频率为， 故年龄在内的市民人数为. 由图可得：，解得； （2）平均数为 前三组的频率和为， 第四组的频率为，所以第80百分位数在第四组， 第80百分位数为. （3）易知，第3组的人数，第4组人数都多于20，且频率之比为， 所以用分层抽样的方法从第3、4两组市民中抽取5名参加座谈， 所以应从第3，4组中分别抽取3人，2人. 记第3组的3名分别为，，，第4组的2名分别为，， 则从5名中选取2名作重点发言的所有情况为，，，，， ，，，，，共有10种. 其中第4组的2名，至少有一名被选中的有：，，，， ，，，共有7种， 所以至少有一人的年龄在内的概率为. 3．(25-26高一·贵州遵义第二中学·期末)近几年，贵州榕江县“村超篮球联赛”火热开展，以篮球为纽带点燃乡村的体育热情，促进了全民健身和乡村振兴的发展，榕江县某篮球队对最近场比赛的得分进行了统计，将数据按，，，分为组，画出的频率分布直方图如图所示． (1)求频率分布直方图中的值 (2)估计这场比赛得分的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表） (3)现从比赛得分在的比赛中按分层抽样抽取场比赛，再从这场比赛中随机抽取场，求这两场都不低于分的概率. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据频率和为，列方程，可解得； （2）根据频率分布直方图的平均数计算公式直接可计算； （3）根据分层抽样的定义确定得分分别在，内的人数，再用古典概型的概率公式计算. 【详解】（1）由已知得，解得； （2）由已知可估计平均数为 ； （3）由频率分布直方图可知得分在，内的频率分别为，， 即分别在两区间内的场数之比为， 根据分层抽样可知，抽取的场比赛中得分在内的有场，设为，，得分在内的有场，设为，，， 则从场中随机抽取场的情况有，，，，，，，，，，共有种情况； 其中满足两场都不低于分的情况有，，，共种情况， 则所求概率为. 4．(25-26高一上·江西南昌进贤县李渡中学·期末)第15届全运会于2025年11月9日至21日在广东、香港、澳门共同举行，为引导学生重温全运会的精彩瞬间，某校举行了与全运会相关的知识竞赛，现随机抽取了100名学生的竞赛成绩，并分成五组，绘制成如图所示的频率分布直方图． (1)求a的值；并估计抽取的100名同学成绩的平均数（同一组数据用该组的中间值代替）； (2)在、两组中，采用分层抽样的方法，从中抽取5人，求在、两组中应分别抽取几人？若从抽取的5人中，再随机选出2人，求选出的2人均来自的概率． 【答案】(1)， (2)4，1， 【分析】（1）根据频率和为求出a的值，再利用平均数的计算方法求解即可； （2）根据分层抽样的特点求出各层抽取的人数，再利用古典概型的概率公式求解. 【详解】（1）由题意知，所以， ； （2）的频率为，的频率为， 所以在中应抽取的人数为（人）． 在中应抽取的人数为（人）． 在抽取4人，记作，在抽取1人，记作E． 在这5人中随机选出2人的所有可能为： ，，，，，，，，，，共10种， 其中选出的2人均来自的有：，，，，，，共6种， 即所求概率为． 题型五 互斥事件与对立事件的概率 1．(25-26高一上·江西九江六校协作体·期末)河流与河流是水库的主要水源，只要河流A，B之一不缺水，水库就不缺水．根据经验知道河流A，B不缺水的概率分别是0.8和0.6，同时不缺水的概率是0.5，则水库缺水的概率为_________． 【答案】0.1/ 【分析】设相应事件，可知，根据事件的关系运算求解即可. 【详解】记“河流不缺水”为事件，“河流不缺水”为事件，“水库不缺水”为事件，则水库缺水为事件， 由，且， 可得， 所以水库缺水的概率． 故答案为： 2．(24-25高一下·内蒙古牙克石林业第一中学·三模)已知事件互斥，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据互斥事件以及对立事件得概率公式计算即可. 【详解】由题可知：事件互斥，则，又， 所以，则. 故选：D 3．(24-25高一下·河北唐山·期末)某小组有4名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加歌咏比赛，下列选项中是互斥而不对立的两个事件的是（    ） A．至少有1名男生和至少有1名女生 B．至少有1名男生和全是男生 C．至少有1名男生和全是女生 D．恰有1名男生和恰有2名男生 【答案】D 【分析】根据互斥一定对立，对立不一定互斥的定义逐项分析判断即可. 【详解】A. 当选到一男一女时，至少有1名男生和至少有1名女生同时发生，既不互斥也不对立，A错误 B. 两名都是男生时，至少有1名男生和全是男生同时发生，既不互斥也不对立，B错误 C. 至少有1名男生和全是女生，是对立事件，C错误 D. 恰有1名男生和恰有2名男生，互斥而不对立，D正确. 故选：D 4．(25-26高一上·辽宁抚顺六校协作体·期末) （多选）已知事件满足，，则下列结论正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果与互斥，那么 D．如果与相互独立，那么 【答案】CD 【分析】由互斥事件的概率，相互独立事件的概率公式逐项判断即可. 【详解】对于选项A，设一个盒子里有标号为 1 到 10 的小球, 从中摸出一个小球, 记下球的编号, 记事件A=“球的编号是偶数”， 事件B=“球的编号是1，2，3” ，事件C=“球的编号是奇数” 满足 , 但是 选项A错误; 对于选项B，如果 , 那么 ，选项B错误; 对于选项C， 如果与互斥，那么 , 所以选项C正确; 对于选项D，如果与相互独立，那么 ，所以选项D正确。 故选：CD 题型六 独立事件的判断 1．(25-26高一上·山西忻州第一中学校等校·)一个不透明的袋子中装有大小和质地相同的6个球，其中有2个红球，2个绿球，2个蓝球，从袋中一次性随机取出2个球，设事件“2个球颜色相同”，事件“2个球中至少有一个红球”，事件“2个球中至多有一个红球”，事件“2个都不是红球”，则（    ） A．与互斥 B．与对立 C．与相互独立 D． 【答案】D 【分析】由和互斥事件、对立事件定义即可判断AB；由即可判断C；由交事件定义计算即可判断D. 【详解】将2个红球、2个绿球和2个蓝球分别记为， 则从袋中一次性随机取出2个球的样本空间为共15个样本点， 由题意共3个样本点，共9个样本点， 共14个样本点，共6个样本点， 所以，故A与D不互斥，故A错误； ，故B与C不互斥，故B错误； 因为，一个样本点， 所以，即，故C错误； ，故D正确. 故选：D 2．(24-25高一下·山西吕梁·期末) （多选）分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A =“第一枚硬币反面朝上”，事件B =“第二枚硬币反面朝上”，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C．A与B互斥 D．A与B相互独立 【答案】AD 【分析】由古典概型概率公式计算可判断A、B，C；根据独立事件的定义计算可判断D. 【详解】对于A、C选项，，故A正确，C错误； 对于B选项，因为，， 所以，故B错误； 对于D选项，由，得A与B相互独立，故D正确. 故选：AD. 3．(25-26高一上·山东潍坊·) （多选）已知口袋中装有除颜色外完全相同的2个红球和2个白球，从中有放回地随机取2次，每次取1个球.记事件M为“第一次摸到红球”，N为“第二次摸到白球”，Q为“两次摸出的球颜色相同”，则下列说法正确的有（） A． B．M与Q互斥 C． D．M与N相互独立 【答案】ACD 【分析】根据互斥事件、独立事件、和事件概率的计算公式，依次计算、判断互斥性、计算、验证独立性，逐一判定选项正误. 【详解】每次取红球概率为，取白球概率为. 第二次取球与第一次无关，每次摸到白球的概率均为，因此，A正确. 第一次摸到红球且第二次摸到红球，和可以同时发生，不互斥，B错误. 因为. ，，=， 所以，C正确. ，，满足，因此与相互独立，D正确. 故选：. 4．(25-26高一上·广西桂林·期末) （多选）某书店的书架上有6本不同类型的书，编号为1、2、3、4、5、6．随机选一本阅读，设事件为“选到书的编号是奇数”，事件为“选到书的编号是3或6”，事件为“选到书的编号小于4”，下列说法正确的是（   ） A．和是互斥事件 B．和是相互独立事件 C． D． 【答案】BC 【分析】由题干可得事件和可以同时发生，进而可以判断选项A；求出事件和的概率和两者同时发生的概率，根据独立事件的定义即可判断B；利用和事件的概率公式求解即可判断选项C；找出事件同时发生的样本点并求出概率即可判断选项D. 【详解】选项A，由题意知，事件包含样本点，事件包含样本点， 则事件和事件可能同时发生，所以不是互斥事件，故A错误； 选项B，由题意知事件发生的概率， 事件包含的样本点为，则事件发生的概率， 事件和事件同时发生的样本点为3， 则事件和事件同时发生的概率， 所以，和是相互独立事件，故B正确； 选项C，由选项A，B可知，，，， 所以，故C正确； 选项D,事件和同时发生的样本点为，则，故D错误， 故选：BC. 题型七 独立事件的概率 1．(24-25高一下·福建福州马尾一中等六校·期末)甲、乙两人参加某高校的入学面试，入学面试有3道难度相当的题目，甲答对每道题目的概率都是，乙答对每道题目的概率都是，对抽到的不同题目能否答对是独立的，且甲、乙两人答题互不影响； (1)求甲、乙两人共答对5道题目的概率． (2)若每位面试者共有三次机会，一旦某次答对抽到的题目，则面试通过，否则就一直抽题到第3次为止，求甲、乙两人只有一人通过面试的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用相互独立事件概率乘法公式，再结合互斥事件加法公式即可求解； （2）先求甲乙两人分别没通过面试的概率，再利用对立事件，即可得到甲乙两人分别通过面试的概率，然后利用两人中仅有一人通过，结合两相互独立事件概率乘法公式即可求解. 【详解】（1）设“甲答对3道题目”, “甲答对2道题目” “乙答对3道题目”， “乙答对2道题目”，根据独立事件的性质，可得， ，    ， ，     ， 设为 “甲、乙两人共答对5道题目”， 则，因为与互斥，与，与分别相互独立， ， 所以甲、乙两人共答对5道题目的概率． （2）C=“甲通过面试”，D=“乙通过面试”，与相互独立， ， E=“甲、乙两人只有一人通过面试”，则，因为与互斥， 与，与分别相互独立， 所以甲、乙两人只有一人通过面试的概率 2．(25-26高一上·安徽皖江名校联盟·期末)甲、乙两位同学独立地参加某大学少科班的入学面试，入学面试共有3道题目，答对2道题则通过面试（前2道题都答对或都答错，第3道题均不需要回答）.已知甲答对每道题目的概率均为，乙答对第1道和第2道题目的概率都是，答对第3道题目的概率是，且甲、乙两人对每道题能否答对相互独立.记“甲只回答2道题就结束面试”为事件，记“乙3道题都回答且通过面试”为事件. (1)求事件“甲只回答2道题且通过”的概率； (2)求事件和事件同时发生的概率； (3)求甲、乙两人恰有一人通过面试的概率. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由题意直接计算即可； （2）先由题意求出即可由独立事件概率乘法公式计算求解； （3）先依次分析计算求出甲、乙通过面试的概率，再由独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式计算即可求解. 【详解】（1）由题可得（甲只回答2道题且通过）； （2）由题可得， 若事件发生，则乙前两题对一题，错一题，第三题答对， ， 由题意可知事件相互独立， 所以； （3）记甲没有通过面试为事件， 包括前两道回答对一道且最后一道错误或前两道均回答错误两种情况， 则甲没有通过面试的概率为 则甲通过面试的概率为， 乙通过面试的事件记为，则概率为， 乙没有通过面试概率为， 由题意可知事件相互独立，甲、乙两人恰有一人通过面试的事件记为， 则概率为 . 3．(25-26高一上·山西忻州第一中学校等校·)甲、乙两人进行4场投篮比赛，规定若有一人连续获胜2场，则比赛提前结束.根据以往的经验，在每场比赛中甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，假设每场比赛没有平局，且各场比赛结果相互独立. (1)求打完两场比赛结束的概率； (2)求比赛结束时，甲获胜的次数大于乙的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）打完两场比赛结束有两种情况，即甲连胜两场或乙连胜两场，分别计算这两种情况的概率，再根据互斥事件概率加法公式求解。 （2）比赛结束时甲获胜的次数大于乙，2场结束即甲连胜两场结束比赛、3场结束即前两场为 “乙胜、甲胜”，第三场甲胜，4 场结束即前 3场为 “甲胜、乙胜、甲胜”，第四场甲胜，分别计算这些情况的概率，再根据互斥事件概率加法公式求解. 【详解】（1）设第i场比赛甲获胜为事件（i=1，2，3，4），乙获胜为事件（Ai​的对立事件）， 由题意，各场比赛相互独立，且 打完两场比赛结束则甲连胜两场或乙连胜两场，概率为 . （2）设 “比赛结束时甲获胜的次数大于乙” 为事件C， 分2 场结束、3 场结束、4 场结束三种符合条件的情况，对应子事件为 2场结束且甲胜次数>乙胜次数，， 3场结束且甲胜次数>乙胜次数，即前两场为 “乙胜、甲胜”，第三场甲胜 ； 4 场结束且甲胜次数 > 乙胜次数，即前 3 场为 “甲胜、乙胜、甲胜”，第四场甲胜， . 比赛结束时，甲获胜的次数大于乙的概率为. 4．(25-26高一上·河南南阳·期末)在某项体能测试中，甲、乙两人各自通过体能测试的概率分别是和，两人都通过体能测试的概率为，甲、乙两人是否通过体能测试相互独立. (1)求的值； (2)求恰有一人通过体能测试的概率； (3)求至少有一人通过体能测试的概率． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用独立事件的概率公式可得出关于的等式，即可解出的值； （2）利用独立事件和互斥事件的概率公式可求得所求事件的概率； （3）方法一：利用独立事件和互斥事件的概率公式可求得所求事件的概率； 方法二：利用对立事件的概率公式和独立事件的概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】（1）记“甲通过体能测试”为事件，“乙通过体能测试”为事件，则，． 由题意可知：事件、相互独立． 两人都通过体能测试的概率为，解得：． （2）记“恰有一人通过体能测试”为事件． 所以， 所以恰有一人通过体能测试的概率为. （3）记“至少有一人通过体能测试”为事件． （方法一）； （方法二）． 所以至少有一人通过体能测试的概率为． 题型八 频率与概率问题 1．(24-25高一下·广西南宁第二中学·期末)在用随机数（整数）模拟“有5个男生和5个女生，从中抽选4人，求选出2个男生2个女生的概率”时，可让计算机产生的随机整数，并且代表男生，用代表女生．因为是选出4个，所以每4个随机数作为一组．通过模拟试验产生了10组随机数： 6830 4725 7056 6431 7840 4523 7834 2604 6346 0952 由此估计“选出2个男生2个女生”的概率为______ 【答案】/ 【分析】根据数据统计选出2个男生2个女生的种数，再用古典概型概率公式求解． 【详解】由数据得“选出2个男生2个女生”的种数有：6830，4725，7840，7834，6346，0952共6个， 所以“选出2个男生2个女生”的概率为. 故答案为：． 2．(23-24高一下·甘肃临夏州·期末)某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如表所示． 赔付金额/元 0 1000 2000 3000 4500 车辆数/辆 600 80 110 120 90 若每辆车的投保金额均为2500元，估计赔付金额大于投保金额的概率为______；在样本车辆中，车主是新司机的占15%，在赔付金额为4500元的样本车辆中，车主是新司机的占30%，估计在已投保的新司机中，获赔金额为4500元的概率为______． 【答案】 0.21/ 0.18/ 【分析】计算出赔付金额大于投保金额的频率，得到估计赔付金额大于投保金额的概率；在求出投保的新司机人数和赔付金额为4500元的样本车辆中，新司机人数，估计出在已投保的新司机中，获赔金额为4500元的概率. 【详解】赔付金额大于投保金额的频率为， 估计赔付金额大于投保金额的概率为0.21， 在样本车辆中，车主是新司机的占15%， 故投保的新司机人数为， 在赔付金额为4500元的样本车辆中，车主是新司机的占30%，即人， 估计在已投保的新司机中，获赔金额为4500元的概率为. 故答案为：0.21，0.18 3．(23-24高一下·青海海南藏族第一民族高级中学·期末)某超市举行购物抽奖活动，规定购物消费每满188元就送一次抽奖机会，中奖的概率为，则下列说法正确的是（    ） A．某人抽奖100次，一定能中奖15次 B．某人抽奖200次，至少能中奖3次 C．某人抽奖1次，一定不能中奖 D．某人抽奖20次，可能1次也没中奖 【答案】D 【分析】中奖的概率为，只能说有中奖的可能性，但不能确定一定中奖还是不中奖，分析判断即可. 【详解】中奖的概率为，与抽的次数无关，只是有中奖的可能性， 故选：D． 4．(25-26高一上·陕西渭南临渭区·期末) （多选）下列说法错误的有（    ） A．设一批产品的次品率为，从中任取100件，则必有10件次品 B．明天降雨概率为90%，则明天可能不下雨 C．连续投10次骰子，则连续投出10个1是不可能事件 D．连续抽5次奖，中了1次三等奖，则中三等奖的概率是 【答案】ACD 【分析】根据概率和频率的定义逐一分析即可． 【详解】对于A，次品率是一个概率值，表示的是统计意义上的平均结果，不是必然结果， 抽取100件产品，次品数是一个随机变量，可能是10件，但不是“必有”10件，故A错误； 对于B“明天降雨概率为90%，则明天可能不下雨”概率为90%表示降雨的可能性很大， 但不是100%，所以仍然存在不下雨的可能，故B正确； 对于C，“连续投10次骰子，则连续投出10个1是不可能事件”每次投骰子出现1的概率是， 连续10次出现1的概率是，虽然概率很小，但仍然是可能发生的，故C错误； 对于D，概率是理论上的稳定值，不能通过一次有限的试验结果（5次中1次）来直接确定，这只是这次试验的频率，不是概率，故D错误． 本题选择不正确的，故选：ACD． 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十章概率 题型一 随机事件 1 题型二 事件的包含关系与运算 3 题型三 互斥事件与对立事件 4 题型四 古典概型的概率 6 题型五 互斥事件与对立事件的概率 11 题型六 独立事件的判断 12 题型七 独立事件的概率 15 题型八 频率与概率问题 19 题型一 随机事件 1．(24-25高一下·全国·期末)以下事件是随机事件的是（    ） A．下雨屋顶湿 B．秋后柳叶黄 C．有水就有鱼 D．水结冰体积变大 2．(23-24高一下·黑龙江哈尔滨第三十二中学校·期末)（多选）在25件同类产品中，有2件次品，从中任取3件产品，其中不是随机事件的是（    ） A．3件都是正品 B．至少有1件次品 C．3件都是次品 D．至少有1件正品 3．(23-24高一上·陕西汉中汉台区·期末) （多选）在25件同类产品中，有2件次品，从中任取5件产品，其中是随机事件的是（    ） A．5件都是正品 B．至少有1件次品 C．有3件次品 D．至少有3件正品 4．(22-23高一上·广西桂林·期末)下列事件：①物体在重力作用下会自由下落；②方程有两个不相等的实数根；③下周一会下雨；④桂林生活广播电视台在某天某一节目播出时段内收到观众信息回复次数大于次.其中随机事件的序号为________. 题型二 事件的包含关系与运算 1．(25-26高一上·内蒙古呼和浩特·期末) （多选）给出关于满足 的非空集合，的四个命题，其中正确的命题是（   ） A．若任取，则是必然事件 B．若任取，则是不可能事件 C．若任取，则是随机事件 D．若任取，则是必然事件 2．(22-23高一上·安徽淮北实验高级中学·期末)掷一枚骰子，设事件出现的点数不大于3，出现的点数为偶数，则（    ） A． B．事件A与是互斥事件 C．出现的点数为2 D．事件A与是对立事件 3．(22-23高一下·河北武强中学·期末)打靶3次，事件“击中发”，其中．那么表示_______． 4．(22-23高一下·河北武强中学·期末) （多选）掷一枚质地均匀的骰子，记“向上的点数是1或2”为事件，“向上的点数是2或3”为事件，则（    ） A． B． C．表示向上的点数是2 D．表示向上的点数是1或2或3 题型三 互斥事件与对立事件 1．(23-24高一下·四川达州外国语学校·期末) （多选）如图，一个电路中有四个电器元件，每个元件可能正常，也可能失效．记“电路是通路”，“电路是断路”，“至少三个元件正常”，“恰有三个元件正常”，则（    ） A．与互斥，但不对立 B．与互斥，但不对立 C． D． 2．(24-25高一下·广西百色·期末)抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：A=“点数不大于3”，B=“点数大于4”，C=“点数为奇数”，D=“点数为偶数”，下列结论正确的是（    ） A．B，C为对立事件 B．A，C为互斥事件 C．C，D为对立事件 D．A，D为互斥事件 3．(24-25高一下·河北秦皇岛部分学校·期末)投掷两枚质地均匀的骰子，记事件A为两枚骰子朝上的点数均为偶数，事件B为两枚骰子朝上的点数均为奇数，则（    ） A．A为必然事件 B．B为不可能事件 C．A与B为互斥但不对立事件 D．A与B互为对立事件 4．(25-26高一上·贵州遵义·)一个袋子中有大小和质地相同的5个小球，其中有3个红球和2个白球．从袋中不放回地依次随机摸出2个小球（每次取1个小球），记事件“两次都摸到红球”，事件“两次都摸到白球”，事件“两次摸到的小球颜色不同”，事件“两次摸到的小球颜色相同”，则下列事件互为对立事件的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 题型四 古典概型的概率 1．(25-26高一·陕西渭南韩城·期末)现从①，②，③，④这4个函数中随机抽取2个函数，则恰有1个函数是奇函数的概率为（   ） A． B． C． D． 2．(24-25高一下·江苏无锡惠山区锡山高级中学·期末)某研究机构为了了解各年龄层对高考改革方案的关注程度，随机选取了200名年龄在内的市民进行了调查，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图（分第一～六组区间分别为，，，，，）． (1)求选取的市民年龄在内的人数及a的值； (2)利用频率分布直方图，估计200名市民的年龄的平均数和第80百分位数； (3)若从第3，4组用分层抽样的方法选取5名市民进行座谈，再从中选取2人在座谈会中作重点发言，求作重点发言的市民中至少有一人的年龄在内的概率． 3．(25-26高一·贵州遵义第二中学·期末)近几年，贵州榕江县“村超篮球联赛”火热开展，以篮球为纽带点燃乡村的体育热情，促进了全民健身和乡村振兴的发展，榕江县某篮球队对最近场比赛的得分进行了统计，将数据按，，，分为组，画出的频率分布直方图如图所示． (1)求频率分布直方图中的值 (2)估计这场比赛得分的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表） (3)现从比赛得分在的比赛中按分层抽样抽取场比赛，再从这场比赛中随机抽取场，求这两场都不低于分的概率. 4．(25-26高一上·江西南昌进贤县李渡中学·期末)第15届全运会于2025年11月9日至21日在广东、香港、澳门共同举行，为引导学生重温全运会的精彩瞬间，某校举行了与全运会相关的知识竞赛，现随机抽取了100名学生的竞赛成绩，并分成五组，绘制成如图所示的频率分布直方图． (1)求a的值；并估计抽取的100名同学成绩的平均数（同一组数据用该组的中间值代替）； (2)在、两组中，采用分层抽样的方法，从中抽取5人，求在、两组中应分别抽取几人？若从抽取的5人中，再随机选出2人，求选出的2人均来自的概率． 题型五 互斥事件与对立事件的概率 1．(25-26高一上·江西九江六校协作体·期末)河流与河流是水库的主要水源，只要河流A，B之一不缺水，水库就不缺水．根据经验知道河流A，B不缺水的概率分别是0.8和0.6，同时不缺水的概率是0.5，则水库缺水的概率为_________． 2．(24-25高一下·内蒙古牙克石林业第一中学·三模)已知事件互斥，且，则（    ） A． B． C． D． 3．(24-25高一下·河北唐山·期末)某小组有4名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加歌咏比赛，下列选项中是互斥而不对立的两个事件的是（    ） A．至少有1名男生和至少有1名女生 B．至少有1名男生和全是男生 C．至少有1名男生和全是女生 D．恰有1名男生和恰有2名男生 4．(25-26高一上·辽宁抚顺六校协作体·期末) （多选）已知事件满足，，则下列结论正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果与互斥，那么 D．如果与相互独立，那么 题型六 独立事件的判断 1．(25-26高一上·山西忻州第一中学校等校·)一个不透明的袋子中装有大小和质地相同的6个球，其中有2个红球，2个绿球，2个蓝球，从袋中一次性随机取出2个球，设事件“2个球颜色相同”，事件“2个球中至少有一个红球”，事件“2个球中至多有一个红球”，事件“2个都不是红球”，则（    ） A．与互斥 B．与对立 C．与相互独立 D． 2．(24-25高一下·山西吕梁·期末) （多选）分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A =“第一枚硬币反面朝上”，事件B =“第二枚硬币反面朝上”，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C．A与B互斥 D．A与B相互独立 3．(25-26高一上·山东潍坊·) （多选）已知口袋中装有除颜色外完全相同的2个红球和2个白球，从中有放回地随机取2次，每次取1个球.记事件M为“第一次摸到红球”，N为“第二次摸到白球”，Q为“两次摸出的球颜色相同”，则下列说法正确的有（） A． B．M与Q互斥 C． D．M与N相互独立 4．(25-26高一上·广西桂林·期末) （多选）某书店的书架上有6本不同类型的书，编号为1、2、3、4、5、6．随机选一本阅读，设事件为“选到书的编号是奇数”，事件为“选到书的编号是3或6”，事件为“选到书的编号小于4”，下列说法正确的是（   ） A．和是互斥事件 B．和是相互独立事件 C． D． 题型七 独立事件的概率 1．(24-25高一下·福建福州马尾一中等六校·期末)甲、乙两人参加某高校的入学面试，入学面试有3道难度相当的题目，甲答对每道题目的概率都是，乙答对每道题目的概率都是，对抽到的不同题目能否答对是独立的，且甲、乙两人答题互不影响； (1)求甲、乙两人共答对5道题目的概率． (2)若每位面试者共有三次机会，一旦某次答对抽到的题目，则面试通过，否则就一直抽题到第3次为止，求甲、乙两人只有一人通过面试的概率． 2．(25-26高一上·安徽皖江名校联盟·期末)甲、乙两位同学独立地参加某大学少科班的入学面试，入学面试共有3道题目，答对2道题则通过面试（前2道题都答对或都答错，第3道题均不需要回答）.已知甲答对每道题目的概率均为，乙答对第1道和第2道题目的概率都是，答对第3道题目的概率是，且甲、乙两人对每道题能否答对相互独立.记“甲只回答2道题就结束面试”为事件，记“乙3道题都回答且通过面试”为事件. (1)求事件“甲只回答2道题且通过”的概率； (2)求事件和事件同时发生的概率； (3)求甲、乙两人恰有一人通过面试的概率. 3．(25-26高一上·山西忻州第一中学校等校·)甲、乙两人进行4场投篮比赛，规定若有一人连续获胜2场，则比赛提前结束.根据以往的经验，在每场比赛中甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，假设每场比赛没有平局，且各场比赛结果相互独立. (1)求打完两场比赛结束的概率； (2)求比赛结束时，甲获胜的次数大于乙的概率. 4．(25-26高一上·河南南阳·期末)在某项体能测试中，甲、乙两人各自通过体能测试的概率分别是和，两人都通过体能测试的概率为，甲、乙两人是否通过体能测试相互独立. (1)求的值； (2)求恰有一人通过体能测试的概率； (3)求至少有一人通过体能测试的概率． 题型八 频率与概率问题 1．(24-25高一下·广西南宁第二中学·期末)在用随机数（整数）模拟“有5个男生和5个女生，从中抽选4人，求选出2个男生2个女生的概率”时，可让计算机产生的随机整数，并且代表男生，用代表女生．因为是选出4个，所以每4个随机数作为一组．通过模拟试验产生了10组随机数： 6830 4725 7056 6431 7840 4523 7834 2604 6346 0952 由此估计“选出2个男生2个女生”的概率为______ 2．(23-24高一下·甘肃临夏州·期末)某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如表所示． 赔付金额/元 0 1000 2000 3000 4500 车辆数/辆 600 80 110 120 90 若每辆车的投保金额均为2500元，估计赔付金额大于投保金额的概率为______；在样本车辆中，车主是新司机的占15%，在赔付金额为4500元的样本车辆中，车主是新司机的占30%，估计在已投保的新司机中，获赔金额为4500元的概率为______． 3．(23-24高一下·青海海南藏族第一民族高级中学·期末)某超市举行购物抽奖活动，规定购物消费每满188元就送一次抽奖机会，中奖的概率为，则下列说法正确的是（    ） A．某人抽奖100次，一定能中奖15次 B．某人抽奖200次，至少能中奖3次 C．某人抽奖1次，一定不能中奖 D．某人抽奖20次，可能1次也没中奖 4．(25-26高一上·陕西渭南临渭区·期末) （多选）下列说法错误的有（    ） A．设一批产品的次品率为，从中任取100件，则必有10件次品 B．明天降雨概率为90%，则明天可能不下雨 C．连续投10次骰子，则连续投出10个1是不可能事件 D．连续抽5次奖，中了1次三等奖，则中三等奖的概率是 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $