第09课 排列组合问题（导学案）新五年级数学暑假自学课（青岛版·新教材）

第09课 排列组合问题 模块导航 ·模块一 学习目标 ·模块二 预习引导 ·模块三 小试牛刀 模块一 学习目标 1、学习目标。 理解排列、组合的含义，能分清有序排列和无序组合两类题型，掌握有序列举的解题方法，做到列举时不重复、不遗漏。 能够运用列举法、固定位置法解决组数、握手、路线搭配、服饰搭配等生活中的简单排列组合实际问题。 2、重难点。 重点：掌握有序列举的解题方法，解题过程做到不重复、不遗漏。 难点：准确区分排列（与顺序有关）和组合（与顺序无关），选择正确方法解题。 模块二 预习引导 一、排列组合解题方法 1、解题步骤： 解决排列组合问题，优先使用有序列举法。按照固定顺序逐一罗列所有情况，常用固定首位法解题：先固定第一个位置的数字或物品，再依次搭配剩余内容，完整写出所有可能性。 2、算理理解： 排列：事物顺序改变，结果随之改变，属于有序问题，例如数字组数、排队问题；组合：事物顺序改变，结果不变，属于无序问题，例如握手、两两搭配问题。两类题目核心都是有序思考，避免多算或者漏算。 二、解题书写规范 解题时按顺序逐条列举，不要杂乱乱写；列举完成后数一数总数量，作答时写明一共有多少种情况；区分清楚题目是否需要考虑顺序，不盲目套用同一种解题方法。 三、本课验算 写完所有结果后，重新按相反顺序再次列举一遍，核对两次列举的总数量是否一致；同时检查是否出现重复情况、是否有遗漏情况，数量一致且无重复遗漏，即为解题正确。 模块三 小试牛刀 一、选择题 1．小红和小力各有8、2、5三张数字卡片，每人拿出1张，一共可以组成（    ）个不同的两位数。 A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】A 【分析】根据题意，小红和小力各出一张卡片组成两位数，意味着十位和个位分别由两人手中的卡片决定。由于两人拥有的卡片数字相同，可以采用列举法，固定十位数字，搭配个位数字，从而找出所有可能的两位数。 【详解】当十位是 2 时，个位可以是 2、5、8，组成的数有：22、25、28，共3个； 当十位是 5 时，个位可以是 2、5、8，组成的数有：52、55、58，共3个； 当十位是 8 时，个位可以是 2、5、8，组成的数有：82、85、88，共3个。 3＋3＋3 ＝6＋3 ＝9（个） 一共可以组成9个不同的两位数。 2．2024年欧洲杯小组赛共有24支球队参加，分为6个小组。小组赛中每组所有球队互相比赛一场，那么本次欧洲杯小组赛一共要赛（    ）场。 A．6 B．32 C．36 D．12 【答案】C 【分析】根据“24支球队参加，分为6个小组”可知每个小组有24÷6＝4支球队，每两队赛一场，单组比赛场数为3＋2＋1＝6场，再乘小组数即可。 【详解】（支） （场） （场） 3．梦梦的日记本密码锁的密码由3个数字组成，每一个数字都是0~9这十个数字中的任意一个，她只记得密码的第三个数字是5，那么她最多需要尝试（    ）次才能打开密码锁。 A．10 B．81 C．100 D．1000 【答案】C 【分析】根据题意，密码由3个数字组成，且第三个数字确定为5，所以只需分析前两个数字的可能性。第一个数字有10种可能，第二个数字也有10种可能，第三个数字有1种可能。将它们可能的种数相乘即可。 【详解】10×10×1＝100（次） 她最多需要尝试100次才能打开密码锁。 4．三个好朋友每两人握手，共握（    ）次；三个好朋友站一排拍照，共有（    ）种不同站法。 A．3；6 B．4；5 C．5；4 D．6；3 【答案】A 【分析】握手问题每两人握手只算1次，不重复计算；排列问题按位置依次确定选择数，用乘法计算总站法。 【详解】 所以甲和乙握手、甲和丙握手、乙和丙握手，一共3次。 第一个位置有3种选择，第二个位置有2种选择，第三个位置有1种选择，所以共有6种不同站法。 5．一个密码由六个数字组成，每个数字都是0~9中的一个，爷爷怎么也想不起密码的第二个和第三个数字是什么了，爷爷最多试（    ）次才能找回密码。 A．10 B．100 C．1000 D．10000 【答案】B 【分析】密码共有6位数字，其中第2位和第3位被遗忘。由于每个数字有0~9共10种可能，且这两个位置的选择相互独立，因此总组合数为各位置可能数的乘积。 【详解】10×10＝100（次） 爷爷最多试100次才能找回密码。 6．从A地开往榆林的大巴车，沿途一共有9个站点（包括起点站和终点站），这列大巴车单程需要准备（    ）种不同的车票。 A．45 B．72 C．36 D．28 【答案】C 【分析】大巴车从A地（起点）到榆林（终点）共有9个站点。每个站点到后续所有站点都需要一种单独的车票。第1个站点到后面8个站点，有8种车票；第2个站点到后面7个站点，有7种；以此类推，直到第8个站点到第9个站点，有1种。总的车票种类为（8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1）种；据此解答。 【详解】由分析得：8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36（种） 因此需要准备36种不同的车票。 二、填空题 7．玲玲给她的某网站账号设置了一个六位数的密码，这个密码由两个小写字母和四个数字组成，这个密码一共有( )种可能性。 【答案】101400000 【分析】我们先确定两个字母的位置。这是一个六位的密码，即有六个位置。根据排列组合的规律：六个位置里面选两个位置放字母。第一个位置，如果放字母，就有六个位置可以放，第二个字母，它就只有五个位置可放，放过的位置，不能重复的放，6×5÷（2×1）＝15个选择；小写的字母一共有26个，所以每一个字母的位置就有26种选择（字母可以重复），即两个字母就有26×26×15种选择。最后剩下的4个位置放数字。每个数字的位置都有0到9共10个（数字可以重复）选择。根据分步乘法原理，一共有：26×26×15×10×10×10×10可能。据此解答。 【详解】6×5÷（2×1）×26×26×10×10×10×10 ＝15×26×26×10×10×10×10 ＝390×26×10×10×10×10 ＝10140×10×10×10×10 ＝101400×10×10×10 ＝1014000×10×10 ＝10140000×10 ＝101400000（个） 8．有数字卡片0，1，2，3各一张，每次取两张组成一个两位数，组成的两位数中有( )个偶数。 【答案】5 【分析】偶数的个位数字必须是 0，2，4，6 或 8。那么这个两位数的个位是0或者2。当个位是0时，十位可以是1，2，3，有3个。当个位是2时，十位可以是1， 3，有2个。据此解答。 【详解】当个位是0时，十位可以是1，2，3，两位数是10，20，30，有3个。当个位是2时，十位可以是1， 3，两位数是12，32，有2个。所以组成的两位数中有5个偶数。 9．用数字卡片8、4、3、1以及小数点和乘号组成一个一位小数乘一位小数的乘法算式，积最小是( )，算式是( )。 【答案】 5.32 3.8×1.4 【分析】根据题意要使乘积最小，整数部分应该尽可能小，通常选择1或3作为整数部分，小数部分则可以选4和8。因此，可能的组合有1.4和3.8，或者1.8和3.4、通过计算3.8×1.4和3.4×1.8来判断即可。 【详解】3.8×1.4＝5.32           3.4×1.8＝6.12               5.32＜6.12 用数字卡片8、4、3、1以及小数点和乘号组成一个一位小数乘一位小数的乘法算式，积最小是5.32，算式是3.8×1.4。 10．小明从家到学校有2条路可走，从学校到少年宫有3条路可走。小明从家出发经过学校到少年宫，有( )种不同的走法。 【答案】 6 【分析】从家到学校的2条路，每条都可以搭配从学校到少年宫的3条路，因此总走法数为种。 【详解】由分析可得： 小明从家到学校有2条路可走，从学校到少年宫有3条路可走。小明从家出发经过学校到少年宫，有6种不同的走法。 11．个位数字可以为1，4，7，十位数字可以为3，6，9，能组成( )个不同的两位数。 【答案】9 【分析】根据题意，个位数字有三种可能，十位数字也有三种可能，那么依次枚举出所有的可能即可，据此填空。 【详解】根据分析可得： 十位为3时：31、34、37 十位为6时：61、64、67 十位为9时：91、94、97 3＋3＋3 ＝6＋3 ＝9（个） 所以能组成9个不同的两位数。 12．某志愿者小组有5人，从中选4人到、两个社区开展活动，4人中1人去社区，3人去社区，则不同的选法有______种。 【答案】20 【分析】假设5名志愿者分别是①②③④⑤，从中选4人，则有5种方法，分别为：①②③④、②③④⑤、①③④⑤、①②④⑤、①②③⑤； 其中，每一种方法中均有4种方法，例如：①②③④中，可按①、②③④；②、①③④；③、①②④；④、①②③。所以一共有20种选法。 据此解答。 【详解】根据分析可知： 5×4＝20（种） 所以不同的选法有20种。 【点睛】本题是组合问题，需要逐层分析，先确定选4人有几种方法，再确定去两个社区的选法。 13．从0、2、7中任选两个数字，能组成( )个不同的两位数，其中最小的是( )。 【答案】 4 20 【分析】每个两位数的十位数和个位数不能一样，且十位不能为0，则可以组成72、70、27、20，再将这些数进行比较大小，找出最小的数即可。 【详解】根据分析可知： 从0、2、7中任选两个数字组成两位数，可以组成72、70、27、20这4个两位数； 72＞70＞27＞20 故从0、2、7中任选两个数字，能组成4个不同的两位数，其中最小的是20。 14．小、小、小和小四名同学竞选班委，有班长、学习委员、生活委员三个职位，每个人只能担任一个职位，并且每个职位只能由一个人担任，如果学习委员只能在小和小之中选，有____种可能的选举结果。 【答案】12 【分析】分别确定班长、学习委员、生活委员的人选，然后根据乘法原理计算即可。 【详解】学习委员只能是小M或小T，因此有2种选择， 此时剩余3名同学（除去已选为学习委员的1人），班长职位可从这3人中任选1人，因此有3种选择， 此时剩余2名同学（除去已选为学习委员和班长的2人），生活委员职位可从这2人中任选1人，因此有2种， 所以共有2 2×3×2＝12（种）。 有12种可能的选举结果。 三、解答题 15．用0、1、2、3、4这五个数字，能组成多少个没有重复数字的三位偶数？ 【答案】30个 【分析】本题将5个数字排进三个数位，其中个位只能为0、2、4且百位不能为0，需要特别注意的是个位的选择对百位造成的影响不同：如果个位选0那么百位就在剩下4个选择中随意选；如果个位不选0选2或4，此时百位就只有3种选择。因此本题需要进行分类讨论。个位选0，百位上选1，2，3，4任意1个数，十位选剩余的3个数是12，13，14，21，23，24，31，32，34，41，42，43共有4个3种选法是4×3；个位不选0，0在十位，如果个位是2，则1，3，4可以在百位有3种；如果个位是4，十位是0，则1，2，3可以在百位有3种；如果0不选，个位上是2，百位和十位可以是1，3，4任意两个数，共有13，14，31，34，41，43这6种选法；0不选，个位上是4，同理有6种选法，然后相加3×4＋3×2＋6×2＝30（个）。 【详解】若个位选0：4×3＝12（个） 若个位选2或4：2×3＋6×2＝6＋12＝18（个） 12＋18＝30（个） 答：能组成30个没有重复数字的三位偶数。 【点睛】本题考查学生分析解决问题的能力，数的组成要分情况有序的组合，才能不遗漏。 16．甲乙丙丁戊五个同学站成一排，有多少种不同的站法？ 【答案】120种 【分析】根据题意可知，甲有5个位置可以选，有5种站法，甲站定后，乙还有4个位置可以选，乙有4种站法，乙站定后，丙还有3个位置可以选，丙有3种站法，丙站定后，丁还有2个位置可以选，丁有2种站法，最后戊只一个位置可选，只有1种站法，所以共有5×4×3×2×1＝120（种）不同的站法，据此即可解答。 【详解】5×4×3×2×1 ＝20×3×2×1 ＝60×2×1 ＝120（种） 答：有120种不同的站法。 17．有黄、蓝、白、红四种信号旗，把其中任意三面分上、中、下挂在旗杆上表示不同的信号，一共可以组成多少种不同的信号？ 【答案】24种 【分析】分析题意可得，把四种信号旗，按上、中、下挂在旗杆上，那么挂在上面的信号旗就有4种信号；挂在旗杆中间的信号旗就有3种不同的信号；最后，挂在旗杆下面的信号旗就有2种不同的信号，由此即可得出信号的数量为4×3×2种，据此解答即可。 【详解】4×3×2 ＝12×2 ＝24（种） 答：一共可以组成24种不同的信号。 18．李老师准备一架天平，有1克、2克、5克砝码各3个。他能用这些砝码称出多少种质量不同的物品？ 【答案】24种 【分析】要想知道砝码能称出多少种质量不同的物品，则就看砝码可以组成多少克的质量，已知有1克、2克、5克砝码各3个，则最少可以称1克，最多可以称（5×3＋2×3＋1×3）克，也就是24克，且只能称整数克，所以他能称1克到24克的东西，也就是24种质量不同的物品。 【详解】5×3＋2×3＋1×3 ＝15＋6＋3 ＝24（种） 答：他能用这些砝码称出24种质量不同的物品。 【点睛】要判断能称几种不同东西，就要看砝码能称出多少克的质量。 19．从杭州发往北京的列车，沿途一共有6个站点（包含起点站和终点站），此列车往返需要准备多少种不同的车票呢？ 【答案】30种 【分析】第一个站点与后面5个站点要准备5种不同的车票，第二个站点与后面4个站点要准备4种不同的车票，第三个站点与后面3个站点要准备3种不同的车票，第四个站点与后面2个站点要准备2种不同的车票，第五个站点与第六个站点要准备1种车票，所以单程总共要准备（5＋4＋3＋2＋1）种不同的车票，本题要求往返需要准备多少种不同的车票，再用单程需要的票数乘2即可解答。 【详解】5＋4＋3＋2＋1 ＝9＋6 ＝15（种） 15×2＝30（种） 答：此列车往返需要准备30种不同的车票。 【点睛】熟练掌握数线段的方法是解答本题的关键。 20．“海象杯”少儿围棋赛共有32名选手参加，比赛采用单场淘汰制，要决出冠军，共要比赛多少场？如果有64名选手参加比赛，产生冠军共要比赛多少场？ 【答案】31场；63场 【分析】淘汰赛中，每一轮淘汰掉一半选手，直至产生最后的冠军；据此分别计算出每一轮比赛后剩下的人数，直到剩下1人时，就是冠军；再把每一轮剩下的人数相加求和，即可求出产生冠军共要比赛的场次。 【详解】（32÷2）＋（32÷2÷2）＋（32÷2÷2÷2）＋（32÷2÷2÷2÷2）＋（32÷2÷2÷2÷2÷2） ＝16＋（16÷2）＋（16÷2÷2）＋（16÷2÷2÷2）＋（16÷2÷2÷2÷2） ＝16＋8＋4＋2＋1 ＝31（场） （64÷2）＋（64÷2÷2）＋（64÷2÷2÷2）＋（64÷2÷2÷2÷2）＋（64÷2÷2÷2÷2÷2）＋（64÷2÷2÷2÷2÷2÷2） ＝32＋（32÷2）＋（32÷2÷2）＋（32÷2÷2÷2）＋（32÷2÷2÷2÷2）＋（32÷2÷2÷2÷2÷2） ＝32＋16＋8＋4＋2＋1 ＝63（场） 答：共要比赛31场。如果有64名选手参加比赛，产生冠军共要比赛63场。 【点睛】此题还可以这样解题：淘汰赛的比赛场次计算：有n个队参加，再淘汰掉（n－1）个队，共比赛（n－1）场。 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第09课 排列组合问题 模块导航 ·模块一 学习目标 ·模块二 预习引导 ·模块三 小试牛刀 模块一 学习目标 1、学习目标。 理解排列、组合的含义，能分清有序排列和无序组合两类题型，掌握有序列举的解题方法，做到列举时不重复、不遗漏。 能够运用列举法、固定位置法解决组数、握手、路线搭配、服饰搭配等生活中的简单排列组合实际问题。 2、重难点。 重点：掌握有序列举的解题方法，解题过程做到不重复、不遗漏。 难点：准确区分排列（与顺序有关）和组合（与顺序无关），选择正确方法解题。 模块二 预习引导 一、排列组合解题方法 1、解题步骤： 解决排列组合问题，优先使用有序列举法。按照固定顺序逐一罗列所有情况，常用固定首位法解题：先固定第一个位置的数字或物品，再依次搭配剩余内容，完整写出所有可能性。 2、算理理解： 排列：事物顺序改变，结果随之改变，属于有序问题，例如数字组数、排队问题；组合：事物顺序改变，结果不变，属于无序问题，例如握手、两两搭配问题。两类题目核心都是有序思考，避免多算或者漏算。 二、解题书写规范 解题时按顺序逐条列举，不要杂乱乱写；列举完成后数一数总数量，作答时写明一共有多少种情况；区分清楚题目是否需要考虑顺序，不盲目套用同一种解题方法。 三、本课验算 写完所有结果后，重新按相反顺序再次列举一遍，核对两次列举的总数量是否一致；同时检查是否出现重复情况、是否有遗漏情况，数量一致且无重复遗漏，即为解题正确。 模块三 小试牛刀 一、选择题 1．小红和小力各有8、2、5三张数字卡片，每人拿出1张，一共可以组成（    ）个不同的两位数。 A．9 B．8 C．7 D．6 2．2024年欧洲杯小组赛共有24支球队参加，分为6个小组。小组赛中每组所有球队互相比赛一场，那么本次欧洲杯小组赛一共要赛（    ）场。 A．6 B．32 C．36 D．12 3．梦梦的日记本密码锁的密码由3个数字组成，每一个数字都是0~9这十个数字中的任意一个，她只记得密码的第三个数字是5，那么她最多需要尝试（    ）次才能打开密码锁。 A．10 B．81 C．100 D．1000 4．三个好朋友每两人握手，共握（    ）次；三个好朋友站一排拍照，共有（    ）种不同站法。 A．3；6 B．4；5 C．5；4 D．6；3 5．一个密码由六个数字组成，每个数字都是0~9中的一个，爷爷怎么也想不起密码的第二个和第三个数字是什么了，爷爷最多试（    ）次才能找回密码。 A．10 B．100 C．1000 D．10000 6．从A地开往榆林的大巴车，沿途一共有9个站点（包括起点站和终点站），这列大巴车单程需要准备（    ）种不同的车票。 A．45 B．72 C．36 D．28 二、填空题 7．玲玲给她的某网站账号设置了一个六位数的密码，这个密码由两个小写字母和四个数字组成，这个密码一共有( )种可能性。 8．有数字卡片0，1，2，3各一张，每次取两张组成一个两位数，组成的两位数中有( )个偶数。 9．用数字卡片8、4、3、1以及小数点和乘号组成一个一位小数乘一位小数的乘法算式，积最小是( )，算式是( )。 10．小明从家到学校有2条路可走，从学校到少年宫有3条路可走。小明从家出发经过学校到少年宫，有( )种不同的走法。 11．个位数字可以为1，4，7，十位数字可以为3，6，9，能组成( )个不同的两位数。 12．某志愿者小组有5人，从中选4人到、两个社区开展活动，4人中1人去社区，3人去社区，则不同的选法有______种。 13．从0、2、7中任选两个数字，能组成( )个不同的两位数，其中最小的是( )。 14．小、小、小和小四名同学竞选班委，有班长、学习委员、生活委员三个职位，每个人只能担任一个职位，并且每个职位只能由一个人担任，如果学习委员只能在小和小之中选，有____种可能的选举结果。 三、解答题 15．用0、1、2、3、4这五个数字，能组成多少个没有重复数字的三位偶数？ 16．甲乙丙丁戊五个同学站成一排，有多少种不同的站法？ 17．有黄、蓝、白、红四种信号旗，把其中任意三面分上、中、下挂在旗杆上表示不同的信号，一共可以组成多少种不同的信号？ 18．李老师准备一架天平，有1克、2克、5克砝码各3个。他能用这些砝码称出多少种质量不同的物品？ 19．从杭州发往北京的列车，沿途一共有6个站点（包含起点站和终点站），此列车往返需要准备多少种不同的车票呢？ 20．“海象杯”少儿围棋赛共有32名选手参加，比赛采用单场淘汰制，要决出冠军，共要比赛多少场？如果有64名选手参加比赛，产生冠军共要比赛多少场？ 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $