专题03 二项式定理及其应用8大考点（期末真题汇编，天津专用）高二数学下学期人教A版

**基本信息** 高中数学二项式定理专题期末试题汇编，涵盖求特定项系数、参数、系数和等8个高频考点，精选天津各区近年期末真题，适配期末复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择/填空|46题|含特定项系数（如第1题）、参数求解（第12题）、两项乘积展开式（第15题）等8类考点|以天津各区期末真题为素材，分层设计基础巩固与能力提升题，贴合高考命题趋势|

专题03 二项式定理及其应用 高频考点概览 考点 01 求二项展开式中的特定项及其系数 考点 02 求二项展开式中的参数 考点 03 求两项相乘的展开式特定项的系数 考点 04 求二项展开式中的二项式系数和 考点 05 求二项展开式中的各项系数和 考点 06 求奇数项或偶数项系数和 考点 07 二项式系数的最值问题 考点 08 项的系数的最值问题 考点01 求二项展开式中的特定项及其系数 1．（2021春•天津期末）在的二项展开式中，的系数是（　　） A． B．20 C．15 D． 2．（2023春•南开区期末）在的展开式中，常数项为 　　 ．（请用数字作答） 3．（2024秋•河东区期末）在的展开式中，的系数是 　　． 4．（2025秋•河东区期末）在的展开式中，则的系数是 　　． 5．（2025秋•和平区期末）二项式展开式中项的系数为 　　． 6．（2025春•和平区校级期末）展开式中第4项的二项式系数为（　　） A． B．1120 C．56 D．70 7．（2020秋•静海区校级期末）在的二项展开式中，的系数为（　　） A． B．10 C． D．40 8．（2024秋•天津期末）的展开式中，的系数为 　　 ． 9．（2021秋•西青区期末）的展开式中常数项是　　． 10．（2021春•西青区期末）在的展开式中，含的项的系数为（　　） A．69 B．121 C． D． 11．（2024春•天津期末）已知展开式中的常数项是540，则实数的值为 　　 ． 考点02 求二项展开式中的参数 12．（2024春•和平区校级期末）已知关于的展开式中的常数项为，则　． 13．（2023秋•河北区期末）已知，若的展开式中含项的系数为40，则　　． 14．（2022春•河东区期末）在的展开式中，若常数项为，则实数值为（　　） A． B． C． D．2 考点03 求两项相乘的展开式特定项的系数 15．（2025春•西青区期末）的展开式中的系数是（　　） A．0 B．2 C．4 D．10 16．（2024春•天津期末）展开式中的系数为 　　．（结果用数字表示） 17．（2023春•西青区期末）的展开式中，常数项为　　． 18．（2023春•和平区校级期末）的展开式中的系数为（　　） A．85 B．5 C． D． 考点04 求二项展开式中的二项式系数和 19．（2025春•西青区期末）若展开式的二项式系数之和为64， 　　 ；展开式中项的系数为 　　 ． 20．（2024秋•红桥区期末）已知展开式的二项式系数和为64． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）若展开式中的常数项为20，求的值． 21．（2022秋•河东区校级期末）若展开式中的所有二项式系数和为512，则　　；该展开式中的系数为　　． 22．（2024秋•河北区期末）已知的展开式中，各项系数之和为81，则二项式系数之和为 　　． 23．（2024春•南开区期末）已知展开式的二项式系数之和为64，则展开式中系数为有理数的项的个数是 　　． 24．（2023春•天津期末）在的展开式中，二项式系数和是32，的系数为 　　． 25．（2022秋•河西区校级期末）已知的展开式的二项式系数之和为64，则展开式第三项的系数是 　　． 26．（2022春•东丽区期末）已知的展开式的二项式系数之和为16，则　　；展开式的常数项是 　　． 27．（2021春•和平区期末）在的展开式中，设各项的系数和为，各项的二项式系数和为，则　　． 28．（2025秋•天津校级期末）的展开式中，各项的二项式系数和为64，则常数项为 ． 29．（2025春•天津期末）已知的展开式中第4项与第7项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（　　） A．128 B．256 C．512 D．1024 考点05 求二项展开式中的各项系数和 30．（2023春•南开区校级期末）已知的展开式中各项系数和为243，则展开式中常数项为 　　 ． 31．（2024春•天津期末）已知为正数，的展开式中各项系数的和为1，则常数项为 　 ． 32．（2023春•西青区期末）在的展开式中共有7项，则下列叙述中正确的结论个数为（　　） ①二项式系数之和为32； ②各项系数之和为0； ③二项式系数最大项为第四项； ④的系数为15． A．4 B．3 C．2 D．1 33．（2023春•南开区期末）在二项式的展开式中，前三项系数的绝对值，，满足． （1）求展开式的第四项； （2）求展开式中各项的系数和． 34．（2021春•南开区期末）已知在的展开式中，第5项的二项式系数与第3项的二项式系数的比是． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求展开式的各项系数的和； （Ⅲ）求展开式中所有的有理项． 35．（2025春•南开区期末）在的展开式中，下列说法正确的是（　　） A．各项系数和为2186 B．第4项与第5项的系数相等 C．的项的系数为21 D．二项式系数最大为35 36．（2024春•红桥区期末）已知，则　　． 37．（2025春•南开区期末）已知，若． （1）求实数的值； （2）求； （3）求的值． 38．（2024春•南开区期末）已知的展开式中的常数项为． （Ⅰ）求实数的值； （Ⅱ）若的展开式中各项系数的和为，求该展开式中的系数． 39．（2022春•天津期末）已知，则等于（　　） A． B． C．0 D．1 40． （2022春•和平区校级期末）已知，则　 　（用数字作答）． 考点06 求奇数项或偶数项系数和 41．（2022春•和平区校级期末）若，则（　　） A．40 B．41 C． D． 42．（2021春•武清区期末）记，则（　　） A．81 B．365 C．481 D．728 43．（2021春•天津期末）若． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求的值． 考点07 二项式系数的最值问题 44．（2025春•天津期末）已知的展开式中，前三项的二项式系数和为56． （1）求展开式中各项系数的和； （2）求展开式中的常数项； （3）求展开式中二项式系数最大的项． 45．（2021春•和平区期末）若展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是（　　） A．360 B．180 C．90 D．45 考点08 项的系数的最值问题 46．（2022秋•河北区校级期末）已知的展开式中，唯有的系数最大，则的系数和为　　． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 二项式定理及其应用 高频考点概览 考点 01 求二项展开式中的特定项及其系数 考点 02 求二项展开式中的参数 考点 03 求两项相乘的展开式特定项的系数 考点 04 求二项展开式中的二项式系数和 考点 05 求二项展开式中的各项系数和 考点 06 求奇数项或偶数项系数和 考点 07 二项式系数的最值问题 考点 08 项的系数的最值问题 ( 考点01 求二项展开式中的特定项及其系数 ) 1．（2021春•天津期末）在的二项展开式中，的系数是（　　） A． B．20 C．15 D． 【解答】解：设的二项展开式的通项为， 则，令得， 的系数是． 故选：． 2．（2023春•南开区期末）在的展开式中，常数项为 　　 ．（请用数字作答） 【解答】解：二项式的展开式的通项公式为，，1，2，，6， 令，解得， 所以展开式的常数项为， 故答案为：60． 3．（2024秋•河东区期末）在的展开式中，的系数是 　　． 【解答】解：在的展开式中，的系数为． 故答案为：． 4．（2025秋•河东区期末）在的展开式中，则的系数是 　　． 【解答】解：的展开式的通项公式， 令，， 所以的系数是． 故答案为：135． 5．（2025秋•和平区期末）二项式展开式中项的系数为 　　． 【解答】解：展开式中含的项为， 所以的系数为， 故答案为：． 6．（2025春•和平区校级期末）展开式中第4项的二项式系数为（　　） A． B．1120 C．56 D．70 【解答】解：根据二项式系数的定义可知，二项式各项二项式系数为：，，，，， 所以的展开式中第4项的二项式系数是． 故选：． 7．（2020秋•静海区校级期末）在的二项展开式中，的系数为（　　） A． B．10 C． D．40 【解答】解：在的二项展开式的通项公式为． 令，可得，故的系数为， 故选：． 8．（2024秋•天津期末）的展开式中，的系数为 　　 ． 【解答】解：根据二项式的展开式，1，2，3，4，， 令，解得； 故的系数为． 故答案为：． 9．（2021秋•西青区期末）的展开式中常数项是　　． 【解答】解：的展开式的通项公式为，，1，2，3，4． 对于，它的通项公式为，，1，2，． 令，可得，；或，． 故展开式中常数项为， 故答案为：． 10．（2021春•西青区期末）在的展开式中，含的项的系数为（　　） A．69 B．121 C． D． 【解答】解：的展开式中， 含的项的系数为， 故选：． ( 考点02 求二项展开式中的参数 ) 11．（2024春•天津期末）已知展开式中的常数项是540，则实数的值为 　　 ． 【解答】解：展开式中的常数项是， ． 故答案为：． 12．（2024春•和平区校级期末）已知关于的展开式中的常数项为，则　． 【解答】解：的常数项为， 因此． 故答案为：1． 13．（2023秋•河北区期末）已知，若的展开式中含项的系数为40，则　　． 【解答】解：的展开式中通项公式：， 令，解得， 含项的系数为40， ， ， ． 故答案为：2． 14．（2022春•河东区期末）在的展开式中，若常数项为，则实数值为（　　） A． B． C． D．2 【解答】解：展开式的通项为， 令，得， 所以常数项为，解得． 故选：． ( 考点0 3 求两项相乘的展开式特定项的系数 ) 15．（2025春•西青区期末）的展开式中的系数是（　　） A．0 B．2 C．4 D．10 【解答】解：由的展开式中的项是：． 故选：． 16．（2024春•天津期末）展开式中的系数为 　　．（结果用数字表示） 【解答】解：的展开式的通项公式为：，1，2，，， 令，则， ，， 故展开式中的系数为：． 故答案为：28． 17．（2023春•西青区期末）的展开式中，常数项为　　． 【解答】解：， 常数项为， 故答案为：40． 18．（2023春•和平区校级期末）的展开式中的系数为（　　） A．85 B．5 C． D． 【解答】解：的展开式的通项为， 则，， 从而的展开式中的系数为． 故选：． ( 考点0 4 求二项展开式中的二项式系数和 ) 19．（2025春•西青区期末）若展开式的二项式系数之和为64， 　　 ；展开式中项的系数为 　　 ． 【解答】解：第一空，由题意可得二项式系数和为，解得； 第二空，由第一空可得展开式通项为，，1，，6， 令，则， 则展开式中项的系数为． 故答案为：6；15． 20．（2024秋•红桥区期末）已知展开式的二项式系数和为64． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）若展开式中的常数项为20，求的值． 【解答】解：（Ⅰ）因为展开式的二项式系数和为64，即，解得； （Ⅱ）若展开式中的常数项为20，则由， 令，解得，所以，即，解得． 21．（2022秋•河东区校级期末）若展开式中的所有二项式系数和为512，则　　；该展开式中的系数为　　． 【解答】解：由已知可得，解得， 则的展开式的通项为， 令，解得， 展开式中的系数为． 故答案为：9，． 22．（2024秋•河北区期末）已知的展开式中，各项系数之和为81，则二项式系数之和为 　　． 【解答】解：因为的展开式中，各项系数之和为81，令，可得，解得， 因此，二项式系数之和为． 故答案为：16． 23．（2024春•南开区期末）已知展开式的二项式系数之和为64，则展开式中系数为有理数的项的个数是 　　． 【解答】解：由已知可得，解得， 所以二项式的展开式的通项公式为， 令，，1，2，，6， 则，2，4，6， 所以系数为有理数的项的个数为4项， 故答案为：4． 24．（2023春•天津期末）在的展开式中，二项式系数和是32，的系数为 　　． 【解答】解：由题意可得：，解得， 可得的展开式的通项为， 令，解得，则， 所以的系数为． 故答案为：． 25．（2022秋•河西区校级期末）已知的展开式的二项式系数之和为64，则展开式第三项的系数是 　　． 【解答】解：由已知可得，解得， 所以二项式的展开式的第3项为， 所以第3项的系数为60， 故答案为：60． 26．（2022春•东丽区期末）已知的展开式的二项式系数之和为16，则　　；展开式的常数项是 　　． 【解答】解：的展开式的二项式系数之和为，则． 根据它的通项公式，令，可得展开式的常数项是16， 故答案为：4；16． 27．（2021春•和平区期末）在的展开式中，设各项的系数和为，各项的二项式系数和为，则　　． 【解答】解：在的展开式中，令可得设各项的系数和为， 而各项的二项式系数和为， ， 故答案为：1． 28．（2025秋•天津校级期末）的展开式中，各项的二项式系数和为64，则常数项为 ． 【解答】解：由题可得：，所以， 所以的展开式的通项公式为：，，1，， 令，解得，代入通项得常数项． 故答案为：． 29．（2025春•天津期末）已知的展开式中第4项与第7项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（　　） A．128 B．256 C．512 D．1024 【解答】解：由二项式系数性质可知，第4项的二项式系数为，第7项的二项式系数为， 因为的展开式中第4项与第7项的二项式系数相等， 所以，所以， 所以二项式的奇数项的二项式系数和为． 故选：． ( 考点0 5 求二项展开式中的各项系数和 ) 30．（2023春•南开区校级期末）已知的展开式中各项系数和为243，则展开式中常数项为 　　 ． 【解答】解：已知的展开式中各项系数和为243，即，解得； 所以， 令，故常数项为． 故答案为：80． 31．（2024春•天津期末）已知为正数，的展开式中各项系数的和为1，则常数项为 　 ． 【解答】解：因为的展开式中各项系数的和为1，且为正数， 所以，则， 故的展开式的通项为， 令，解得， 所以的展开式中常数项为． 故答案为：60． 32．（2023春•西青区期末）在的展开式中共有7项，则下列叙述中正确的结论个数为（　　） ①二项式系数之和为32； ②各项系数之和为0； ③二项式系数最大项为第四项； ④的系数为15． A．4 B．3 C．2 D．1 【解答】解：在的展开式中共有7项，，． 故二项式系数之和为，故①错误． 令，可得各项系数之和为0，故②正确． 根据可得，当时，二项式系数最大，即第四项的二项式系数最大，故③正确． 在通项公式中，令，求得，可得的系数为，故④正确． 故选：． 33．（2023春•南开区期末）在二项式的展开式中，前三项系数的绝对值，，满足． （1）求展开式的第四项； （2）求展开式中各项的系数和． 【解答】解：（1）因为的展开通项为：， 由题意可知：，，，且，， 则，即， 解得或（舍去）， 第四项； （2）由（1）可得二项式， 令，得展开式的各项系数的和为． 34．（2021春•南开区期末）已知在的展开式中，第5项的二项式系数与第3项的二项式系数的比是． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求展开式的各项系数的和； （Ⅲ）求展开式中所有的有理项． 【解答】解：（Ⅰ）依题意得，解得． （Ⅱ）令，则有， 所以，展开式的各项系数和为． （Ⅲ），其通项为． 当时，为有理项，故，，或． 所以，展开式中的有理项为，，． 35．（2025春•南开区期末）在的展开式中，下列说法正确的是（　　） A．各项系数和为2186 B．第4项与第5项的系数相等 C．的项的系数为21 D．二项式系数最大为35 【解答】解：对于中，令，可得，即展开式各项系数和为2187，所以错误； 对于中，二项式展开式的通项为， 可得展开式的第4项的系数为，第5项的系数为， 所以展开式的第4项和第5项的系数不相等，所以错误； 对于中，由二项式展开式的通项为， 可得的项的系数为，所以错误； 对于中，由展开式的二项式系数的性质，可得展开式的第4和5项的二项式系数最大，二项式系数的最大值为，所以正确． 故选：． 36．（2024春•红桥区期末）已知，则　　． 【解答】解：令，则， 令，则， 所以， 故答案为：． 37．（2025春•南开区期末）已知，若． （1）求实数的值； （2）求； （3）求的值． 【解答】解：（1）因为，根据赋值法， 令，可得，解得； （2）由（1）可知：， 为一次项系数，故，所以． （3）由（1）可知：，且， 令，可得， 则， 所以． 38．（2024春•南开区期末）已知的展开式中的常数项为． （Ⅰ）求实数的值； （Ⅱ）若的展开式中各项系数的和为，求该展开式中的系数． 【解答】解：（Ⅰ）根据二项式的展开式，1，2，3，4，5，， 当时，展开式为常数项，故， 解得． （Ⅱ）由（Ⅰ）得：的展开式的各项的系数和为， 令，整理得，故； 故； 根据的二项式展开式，1，2，3，4，， 当时与配对，故展开式中的系数为， 当时，与2配对，故展开式中的系数为， 故展开式中的系数为． 39．（2022春•天津期末）已知，则等于（　　） A． B． C．0 D．1 【解答】解：设，则， ， 故， 故选：． 40． （2022春•和平区校级期末）已知，则　 　（用数字作答）． 【解答】解：令，代入原式得， 再令，代入原式得， 故． 故答案为：511． ( 考点0 6 求奇数项或偶数项系数和 ) 41．（2022春•和平区校级期末）若，则（　　） A．40 B．41 C． D． 【解答】解：法一：， 可得，，， ， 故答案为：41． 法二：， 令，可得， 再令，可得， 两式相加除以2可得，， 故选：． 42．（2021春•武清区期末）记，则（　　） A．81 B．365 C．481 D．728 【解答】解：， 令， ①， 再令，可得 ②， ②加①后再除以2，可得， 故选：． 43．（2021春•天津期末）若． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求的值． 【解答】解：（Ⅰ）在中，令，则． 再令，则①， 所以． （Ⅱ）在所给的等式中，令，则②， 由①②可得． ( 考点0 7 二项式系数的最值问题 ) 44．（2025春•天津期末）已知的展开式中，前三项的二项式系数和为56． （1）求展开式中各项系数的和； （2）求展开式中的常数项； （3）求展开式中二项式系数最大的项． 【解答】解：由题意可得，解得或（舍去），所以， 则二项式为， （1）令，则二项式的展开式的各项系数和为； （2）二项式的展开式的通项公式为，，1，，10， 令，则，所以常数项为； （3）因为，则二项式的展开式共有11项，所以第6项的二项式系数最大， 即． 45．（2021春•和平区期末）若展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是（　　） A．360 B．180 C．90 D．45 【解答】解：展开式的通项为 展开式中，只有第六项的二项式系数最大 展开式的通项为 令得 所以展开式中的常数项为 故选：． ( 考点 08 项的系数的最值问题 ) 46．（2022秋•河北区校级期末）已知的展开式中，唯有的系数最大，则的系数和为　　． 【解答】解：由题意，，且， 所以， 所以令，的系数和为． 故答案为：64． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $