精品解析：浙江省杭州学军中学2025-2026学年高二下学期5月阶段检测数学试题

高二下数学科目测试卷 命题人：封荣旭 审题人：龙崎钢 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集为，集合或，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由于或，， 所以， 所以. 2. 若 ，则z （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的乘法以及除法运算即可化简求解. 【详解】由得， 故选：C 3. 设等比数列的前项和为，若，则（　　） A. 24 B. 32 C. 36 D. 108 【答案】B 【解析】 【详解】因为等比数列的前项和为， 所以，，，成等比数列， 所以，解得， 又，所以，解得. 4. 直线绕原点按逆时针方向旋转30°后所得的直线l与圆的位置关系是（ ） A. 直线l过圆心 B. 直线l与圆相交，但不过圆心 C. 直线l与圆相切 D. 直线l与圆无公共点 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，求出直线l的方程，再根据圆心到直线l的距离与半径的关系判断作答. 【详解】直线过原点，斜率为，倾斜角为， 依题意，直线l的倾斜角为，斜率为，而l过原点，因此直线l的方程为：，即， 而圆的圆心为，半径为， 于是得圆心到直线l的距离为， 所以直线l与圆相切. 故选：C 5. “”是“”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】先证明由可得，再举反例说明由不能推出即可. 【详解】若“”成立，则或， 当时，， 当时，， 因此，“”可以推出“”， 若“”成立，利用代入，得，即， 这只能说明，不能推出“”， 例如，当时，，但且， 所以，“”是“”的必要不充分条件， 故选：A. 6. 已知函数的图象在点处的切线经过坐标原点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用导数求出函数在点处的切线方程，再将原点的坐标代入切线方程可求出实数的值. 【详解】，，切点为， ，， 所以，函数的图象在点处的切线方程为，由于该直线过原点， 则，解得，故选A. 【点睛】本题考查切线过点的问题，一般先利用导数求出切线方程，再将所过点的坐标代入切线方程求解，考查运算求解能力，属于中等题. 7. 甲、乙、丙、丁、戊5人站成一排，若甲和乙之间恰好有1人，且丙和丁不相邻，则不同排法共有（ ） A. 16种 B. 20种 C. 24种 D. 28种 【答案】D 【解析】 【分析】分类讨论求解， 第一类，甲和乙之间为丙或丁，则丙丁一定不相邻；第二类，甲和乙之间为戊，则仅当甲乙在二、四位符合条件.从而得解. 【详解】甲和乙之间恰好有1人，有两种情况： 甲和乙之间为丙或丁，则丙丁一定不相邻，有种， 甲和乙之间为戊，则仅当甲乙在二、四位符合条件，有种，共有种． 故选：D. 8. 已知直线BC垂直单位圆O所在的平面，且直线BC交单位圆于点A，，P为单位圆上除A外的任意一点，l为过点P的单位圆O的切线，则（　　） A. 有且仅有一点P使二面角取得最小值 B. 有且仅有两点P使二面角取得最小值 C. 有且仅有一点P使二面角取得最大值 D. 有且仅有两点P使二面角取得最大值 【答案】D 【解析】 【分析】先作出二面角的平面角，表示出二面角的正切值，再构造辅助函数，最后用导数求最值方法判断． 【详解】过A作于M，连接MB、MC，如图所示， 因为直线BC垂直单位圆O所在的平面，直线在平面内，且直线BC交单位圆于点A， 所以，平面，，所以平面， 平面，所以，， 所以是二面角的平面角， 设，，，，则， 由已知得，， ， ， ， 令，则， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 所以，当时，取最大值，没有最小值， 即当时取最大值，从而取最大值， 由对称性知当时，对应P点有且仅有两个点， 所以有且仅有两点P使二面角B﹣l﹣C取得最大值． 故选：D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 2025年1月20日，DeepSeek发布并开源DeepSeek-R1模型，这是继ChatGPT之后人工智能技术的又一次突破，对人工智能市场的发展产生了巨大的推动作用.以下是收集到的2015年至2024年人工智能的市场规模（单位：十亿美元）的数据： 年份 2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021 2022 2023 2024 年份代号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 市场规模 6.4 9.5 13.8 20.1 29 40.7 58 80.4 110 150 设与的关系可以用线性回归模型进行拟合，4.8，则（ ） A. 人工智能的市场规模与年份正相关 B. 人工智能的市场规模的分位数为110 C. 关于的回归方程为 D. 人工智能的市场规模的年增长率约为 【答案】AD 【解析】 【分析】根据正相关、百分位数、的概念可判断A、B；将代入求解即可判断C；设，通过计算估算的关系即可判断D. 【详解】对于A，人工智能的市场规模随年份增大而增大，故是正相关关系，故A正确； 对于B，分位数是从小到大第9个和第10个数据的平均数，即，故B错误； 对于C，因为，即，故C错误； 对于D，设，则，故的年增长率约为，故D正确. 故选：AD. 10. 已知，，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. 当时， C. 当时，的取值范围是 D. 当，，时， 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A项，令函数，由函数的单调性进行求解；对于B项，由，则，即可求解；对于C项，则函数单调性得进行求解；对于D项，由，得，即可求解． 【详解】由已知可得，令函数， 则原等式等价于，函数在上单调递增， 则，对于A显然错误； 对于B，由，则，由, 解得，，则，B正确； 对于C，由，，得， 又，则， 即，因此，C正确； 对于D，依题意，，，D正确. 故选：BCD 11. 已知点在焦点为的抛物线上，其中是各项均不为零的数列且．若，则（ ） A. B. 数列为等差数列 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】先求抛物线方程得，由，根据抛物线的定义得，进而得，即可求，进而判断A，根据等差数列的定义即可判断B，利用并项求和即可判断C，由得，令，利用导数研究单调性即可判断D. 【详解】由题意有：，所以抛物线方程为，又点在上，所以， 所以， 因为，所以， 所以数列是以1为首项，公差为1的等差数列， 所以，故A正确； 又，不是固定不变的常数， 所以数列不是等差数列，故B错误； 由，故C正确； 由，即，令， 所以，所以在单调递增，又， 所以当时，，，即， 所以，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知的展开式中的系数为，则实数______. 【答案】 【解析】 【分析】根据二项展开式即可求解. 【详解】因为的展开式中的系数为，的展开式中的系数为，的展开式中的系数为， 所以的展开式中的系数为， 所以，即，解得. 13. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若，， ，则的面积为________． 【答案】3 【解析】 【分析】利用余弦定理，结合已知求出，再利用三角形面积公式计算即得. 【详解】在中，由余弦定理，得，则， 于是，解得， 所以的面积为. 故答案为：3 14. 一位飞镖运动员向一个目标投掷三次，记事件“第次命中目标”，，，，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意，计算条件概率，利用全概率公式，求得答案. 【详解】由题意，，， 则； ，， 则； 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 盐水选种是古代劳动人民的智慧结晶，其原理是借助盐水估测种子的密度，进而判断其优良．现对一批某品种种子的密度（单位：）进行测定，测定结果整理成频率分布直方图如图所示，认为密度不小于的种子为优种，小于的为良种．自然情况下，优种和良种的萌发率分别为和． （1）估计这批种子密度的平均值；（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表） （2）用频率估计概率，从这批种子（总数远大于）中选取粒在自然情况下种植，设萌发的种子数为，求随机变量的分布列和数学期望（各种子的萌发相互独立）． 【答案】（1） （2）分布列见解析； 【解析】 【分析】（1）求出每组的中点值然后即可求解. （2）根据题意从这批种子中选取粒在自然情况下种植萌发的种子数符合二项分布，从而可求出分布列，求出期望值. 【小问1详解】 估计种子密度的平均值为； 【小问2详解】 由频率分布直方图知优种占比为， 任选一粒种子萌发的概率． 因为这批种子总数远大于2，所以萌发的种子数符合二项分布， 所以可取的值为，，， 所以， ， ， 所以的分布列为： 0 1 2 所以期望， 故期望值为. 16. 已知等比数列的前项和，满足，且成等差数列. （1）求数列的通项公式； （2）设数列满足，记数列的前项和，求的最大值. 【答案】（1）（2）166 【解析】 【分析】（1）将题目中的条件转化为首项和公比的式子，于是可得到通项公式； （2）通过条件先求出数列的通项，要想的值最大，只需找出即可. 【详解】解：（1） 所以 （2）当时， 当 时， 将代入成立，所以 ， 当时，， 当时， 所以 【点睛】本题主要考查等比数列的通项公式，数列的最值问题，意在考查学生的基础知识，计算能力和分析能力，难度不大. 17. 如图，三棱锥中，，，，E为BC的中点． （1）证明：； （2）点F满足，求二面角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析； （2）． 【解析】 【分析】（1）根据题意易证平面，从而证得； （2）由题可证平面，所以以点为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，再求出平面的一个法向量，根据二面角的向量公式以及同角三角函数关系即可解出． 【小问1详解】 连接，因为E为BC中点，，所以①， 因为，，所以与均为等边三角形， ，从而②，由①②，，平面， 所以，平面，而平面，所以． 【小问2详解】 不妨设，，． ，，又，平面平面． 以点为原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示： 设， 设平面与平面的一个法向量分别为， 二面角平面角为,而， 因为，所以，即有， ，取，所以； ，取，所以， 所以，，从而． 所以二面角的正弦值为． 18. 已知函数的定义域是，，导函数，设是曲线在点处的切线． （1）求的最大值； （2）当时，证明：除切点A外，曲线在直线的上方； （3）若实数a满足当时，总有成立，则称a为函数的一个“T点”，求的所有T点． 【答案】（1）； （2）证明见解析； （3） 【解析】 【分析】（1）对求导，由导数判断的单调性，进而求解极值点，进而得到最大值； （2）写出切线的表达式，构造函数，结合的导数分析其单调性，结合的条件判断函数在定义域内的正负； （3）将给定不等式转化为与的大小关系，结合的范围对分类类讨论，结合的条件，分和两种情况讨论的符号，根据不等式恒成立的条件确定的取值. 【小问1详解】 设，定义域，求导得：， 令，解得. 当时单调递增；时单调递减， 因此的最大值为. 【小问2详解】 切线方程为，要证， 设：，. 由(1)知在单调递增，且： 时，，递减，故； 时，，递增，故. 因此对任意，，曲线在切线上方，得证. 【小问3详解】 点等价于：对任意，恒成立. 若：取，得，，， 故，不符合； 若：取，得，，， 故，不符合； 若：对任意，都有，单调递减： 时，，，得； 时，，，得，符合要求， 因此的所有点为. 19. 如图，O为坐标原点，设抛物线方程为，M为直线上任意一点，过M引抛物线的切线，切点分别为A，B． （1）已知当M点的坐标为时，，求此时抛物线的方程； （2）设点J为M关于直线的对称点，，证明：； （3）是否存在点M，使得点C关于直线的对称点D在抛物线上，其中，点C满足（O为坐标原点）．若存在，求出所有适合题意的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）或 （2）证明详见解析 （3）存在， 【解析】 【分析】（1）利用导数，得到直线、的方程，进而可得，再求出，结合弦长公式求解即可； （2）先求出直线的方程，根据对称性求出点坐标，再求长度判断即可； （3）分情况，当的纵坐标与两种情况,求出点的坐标表达式，再利用与垂直进行求解分析是否存在即可. 【小问1详解】 由题意设，， 由得，则 所以 因此直线的方程为　　　 直线的方程为 所以①， ②， 由①、②得，因此，即， 当时，把代入①②， 即，　 所以是方程的两根， 因此 ，又， 所以， 由弦长公式得 又，所以或， 因此所求抛物线方程为或； 【小问2详解】 设，，由（1）知，， 则的方程为： ， ，解得， ， 当且仅当时，等号同时成立，又， ； 【小问3详解】 设，由题意得， 则的中点坐标为 设直线AB的方程为 由点Q在直线上，并注意到点也在直线AB上， 代入得， 若在抛物线上，则， 因此或， 即或 ， ①当时，则，此时，点 适合题意.   ②当，对于，此时， 又AB⊥CD，所以 即矛盾. 对于因为此时直线平行于y轴， 又 所以直线与直线不垂直，与题设矛盾， 所以时，不存在符合题意的M点， 综上所述，仅存在一点适合题意． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二下数学科目测试卷 命题人：封荣旭 审题人：龙崎钢 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集为，集合或，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若 ，则z （ ） A. B. C. D. 3. 设等比数列的前项和为，若，则（　　） A. 24 B. 32 C. 36 D. 108 4. 直线绕原点按逆时针方向旋转30°后所得的直线l与圆的位置关系是（ ） A. 直线l过圆心 B. 直线l与圆相交，但不过圆心 C. 直线l与圆相切 D. 直线l与圆无公共点 5. “”是“”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知函数的图象在点处的切线经过坐标原点，则（ ） A. B. C. D. 7. 甲、乙、丙、丁、戊5人站成一排，若甲和乙之间恰好有1人，且丙和丁不相邻，则不同排法共有（ ） A. 16种 B. 20种 C. 24种 D. 28种 8. 已知直线BC垂直单位圆O所在的平面，且直线BC交单位圆于点A，，P为单位圆上除A外的任意一点，l为过点P的单位圆O的切线，则（　　） A. 有且仅有一点P使二面角取得最小值 B. 有且仅有两点P使二面角取得最小值 C. 有且仅有一点P使二面角取得最大值 D. 有且仅有两点P使二面角取得最大值 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 2025年1月20日，DeepSeek发布并开源DeepSeek-R1模型，这是继ChatGPT之后人工智能技术的又一次突破，对人工智能市场的发展产生了巨大的推动作用.以下是收集到的2015年至2024年人工智能的市场规模（单位：十亿美元）的数据： 年份 2015 2016 2017 2018 2019 2020 2021 2022 2023 2024 年份代号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 市场规模 6.4 9.5 13.8 20.1 29 40.7 58 80.4 110 150 设与的关系可以用线性回归模型进行拟合，4.8，则（ ） A. 人工智能的市场规模与年份正相关 B. 人工智能的市场规模的分位数为110 C. 关于的回归方程为 D. 人工智能的市场规模的年增长率约为 10. 已知，，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. 当时， C. 当时，的取值范围是 D. 当，，时， 11. 已知点在焦点为的抛物线上，其中是各项均不为零的数列且．若，则（ ） A. B. 数列为等差数列 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知的展开式中的系数为，则实数______. 13. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若，， ，则的面积为________． 14. 一位飞镖运动员向一个目标投掷三次，记事件“第次命中目标”，，，，则___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 盐水选种是古代劳动人民的智慧结晶，其原理是借助盐水估测种子的密度，进而判断其优良．现对一批某品种种子的密度（单位：）进行测定，测定结果整理成频率分布直方图如图所示，认为密度不小于的种子为优种，小于的为良种．自然情况下，优种和良种的萌发率分别为和． （1）估计这批种子密度的平均值；（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表） （2）用频率估计概率，从这批种子（总数远大于）中选取粒在自然情况下种植，设萌发的种子数为，求随机变量的分布列和数学期望（各种子的萌发相互独立）． 16. 已知等比数列的前项和，满足，且成等差数列. （1）求数列的通项公式； （2）设数列满足，记数列的前项和，求的最大值. 17. 如图，三棱锥中，，，，E为BC的中点． （1）证明：； （2）点F满足，求二面角的正弦值． 18. 已知函数的定义域是，，导函数，设是曲线在点处的切线． （1）求的最大值； （2）当时，证明：除切点A外，曲线在直线的上方； （3）若实数a满足当时，总有成立，则称a为函数的一个“T点”，求的所有T点． 19. 如图，O为坐标原点，设抛物线方程为，M为直线上任意一点，过M引抛物线的切线，切点分别为A，B． （1）已知当M点的坐标为时，，求此时抛物线的方程； （2）设点J为M关于直线的对称点，，证明： ； （3）是否存在点M，使得点C关于直线的对称点D在抛物线上，其中，点C满足（O为坐标原点）．若存在，求出所有适合题意的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $