第12课 连续求一个数的几分之几是多少（导学案）五年级数学暑假自学课（青岛版五四制·新教材）

第12课 连续求一个数的几分之几是多少 模块导航 ·模块一 学习目标 ·模块二 预习引导 ·模块三 小试牛刀 模块一 学习目标 1、学习目标 理解连续求一个数的几分之几是多少的实际意义，掌握这类问题的解题思路，明白题目中存在两个不同的单位“1”。 学会用双层线段图分析两步分数乘法应用题的数量关系，能分别用分步算式、综合分数连乘算式两种方式解题。 熟练掌握分数连乘的简便计算方法，养成先整体约分再计算的习惯，能准确解决生活中连续求分率的实际问题，规范答题并完成验算。 2、重难点 重点：掌握连续求一个数的几分之几是多少的解题方法，会列分数连乘综合算式解题，牢记两步乘法的解题逻辑。 难点：找准题目中先后两个不同的单位“1”，理清两个分率分别对应的标准量，区分前后两次对比的基准，避免混淆单位“1”。 模块二 预习引导 一、题型含义与核心算理 连续求一个数的几分之几是多少，属于两步分数乘法实际问题，是上一课一步分数乘法应用题的延伸。题目会连续给出两个分率，需要先后两次求一个数的几分之几，全程已知单位“1”，因此全程用乘法计算。 这类题目最大特点：含有两个不一样的单位“1”，第一个单位“1”是题目给出的原始总量，第二个单位“1”是第一步求出的中间量。 通用数量关系式：原始总量 × 第一个分率 × 第二个分率 = 最终所求数量 二、两种解题方法（课本要求全部掌握） 方法一：分步列式（适合基础薄弱，清晰看懂每一步含义） 第一步：找准第一个单位“1”，求出中间过渡量； 第二步：以上一步求出的中间量作为第二个单位“1”，求出最终结果。 方法二：综合连乘列式（做题首选，计算更简便） 直接用原始总量连续乘两个对应分率，列式一步到位，计算时可以把所有分子、分母放在一起一次性交叉约分，简化计算步骤。 三、双线线段图画图方法（本课必考画图题型） 区别于上一课单线线段图，连续求几分之几需要画双层线段图，画图步骤如下： 第层线段：画出整条线段，表示第一个单位“1”（原始总量），按照第一个分率平均分线段； 第二层线段：在第一步分出的部分线段基础上，再按照第二个分率再次平均分，标注出最终要求的部分； 举例：果园有60棵苹果树，梨树棵数是苹果树的，桃树棵数是梨树的，求桃树有多少棵？ 分步算式：60×=50（棵），50×=30（棵） 综合算式：60××=30（棵） 四、标准解题四步骤 找双单位1：先后圈出题目中两个不同的单位“1”，标注先后顺序； 辨分率含义：明确每一个分率分别对应哪一个单位“1”； 列对应算式：可分步计算，也可直接列分数连乘算式； 巧约分计算：分数连乘优先整体约分，最后算出最简结果。 五、高频易错点提醒 易错1：混淆两个单位“1”，把第二个分率依旧对应原始总量，这是本课最常见错误； 易错2：分数连乘计算时只两两约分，不会整体一次性约分，计算量大且容易出错； 易错3：分不清一步乘法和连续两步乘法，看到两个分率就盲目相加或相减，混淆分数加减法和分数乘法应用题。 六、应用题验算方法 逆向分步验算：用最终结果先除以第二个分率，算出中间量；再用中间量除以第一个分率，看结果是否等于题目最开始的原始总量，数值一致则解题正确。 模块三 小试牛刀 一、选择题 1．一根绳子，第一次剪去全长的，第二次剪去余下的，两次一共剪去全长的（    ）。 A． B． C． D． 2．一本课外书240页，小兰第一天看了全书的，第二天看的页数是第一天的，小兰第二天看了（    ）。 A．40页 B．48页 C．88页 D．200页 3．《论语·为政》中有关于年龄的代称，其中“耳顺之年”是指60岁，“知命之年”所指年龄是“耳顺之年”所指年龄的“而立之年”所指年龄是“知命之年”所指年龄的，则“而立之年”是指（    ）岁。 A．50 B．45 C．30 D．25 4．浩浩同学周日参加了社区举行的“电信反诈”宣传活动，帮助发放反诈宣传单。一共有200张宣传单，他上午发放了，下午发放了余下的，这时宣传单（    ）。 A．全部发放完 B．还有 C．还有 D．还有 5．《庄子·天下》中有一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”意思就是：一根一尺长的木棍，今天取它的一半，即，明天取它一半的一半，后天再取它一半的一半的一半……这样取下去，永远也取不完。照这样推算，第四天截取的长度占最初木棒长度的（    ）。 A． B． C． D． 6．苹果是一种营养价值极高的水果，苹果中的类黄酮有助于人体及时排出体内垃圾。一个苹果中，碳水化合物的质量大约占苹果质量的，类黄酮的质量是碳水化合物质量的。如果一个苹果重180克，那么这个苹果中含有类黄酮（    ）克。 A．36 B．32 C．30 D． 二、填空题 7．40kg的是( )kg ， 比60m少是( )m。比24km长是( )km，45g的的是( )g。 8．睡鼠的冬眠期大约有200天，青蛙的冬眠期是睡鼠的，熊的冬眠期是青蛙的，熊的冬眠期大约是( )天。 9．《西游记》是中国古代第一部浪漫主义章回体长篇神魔小说。小华买了一本《西游记》，共320页。第一周读了全书的，第二周读的页数是第一周的。算式的运算结果表示( )。 10．一本故事书共120页，小明第一天看了全书的，第二天看了第一天的。小明第二天看了________页。 11．如果蓝鲸的寿命是80年，鲨鱼的寿命是蓝鲸的，海豚的寿命是鲨鱼的，那么海豚的寿命是( )年。 12．小淘气是真淘气！他站在晒台上向下抛一个弹力球，弹力球从5m的高处自由落下。这种弹力球自由下落后每次弹起的高度都是前一次下落高度的，它第二次下落后能弹起( )m。 13．《庄子•天下》中有这样一段话：一尺之棰，日取其半，万世不竭”。意思是说：一尺长的木棍，每天截取一半，永远也截取不完。照这样推算，第三天截取的长度，占最初木棒长度的( )。 14．王叔叔家买了一桶12升的矿泉水，第一天喝了全部的，第二天喝的是第一天的，第二天喝了( )升。 三、计算题 15．直接写出得数。                                                               16．脱式计算，能简算的要简算。                                           四、解答题 17．“传播安全文化，宣传安全知识”学校举办安全知识竞赛，获得三等奖的有42人，获得二等奖的是获得三等奖的。获得一等奖的人数是获得二等奖的，获得一等奖的有多少人？ 18．清风书社去年全年接待读者120万人。上半年接待读者的人数是全年的，第一季度接待读者人数是上半年的。第一季度接待读者多少万人？ 19．一堆煤共有168吨，第一次运走它的，第二次运走余下的，第三次运走又余下的，……照这样运了六次后，这堆煤还剩下多少吨？ 20．某地新建一批保障性住房，其中两居室有240套，三居室的套数是两居室的，一居室的套数是三居室的，这批保障性住房中一居室有多少套？ 21．修一条长42千米的高速公路，某公司第一周修了全长的，第二周比第一周多修了。第二周修了多少千米？ 22．五（2）班图书角有240本图书，五（1）班图书角的图书本数是五（2）班的，五（3）班图书角的图书本数是五（1）班的。这三个班的图书角共有多少本图书？ 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第12课 连续求一个数的几分之几是多少 模块导航 ·模块一 学习目标 ·模块二 预习引导 ·模块三 小试牛刀 模块一 学习目标 1、学习目标 理解连续求一个数的几分之几是多少的实际意义，掌握这类问题的解题思路，明白题目中存在两个不同的单位“1”。 学会用双层线段图分析两步分数乘法应用题的数量关系，能分别用分步算式、综合分数连乘算式两种方式解题。 熟练掌握分数连乘的简便计算方法，养成先整体约分再计算的习惯，能准确解决生活中连续求分率的实际问题，规范答题并完成验算。 2、重难点 重点：掌握连续求一个数的几分之几是多少的解题方法，会列分数连乘综合算式解题，牢记两步乘法的解题逻辑。 难点：找准题目中先后两个不同的单位“1”，理清两个分率分别对应的标准量，区分前后两次对比的基准，避免混淆单位“1”。 模块二 预习引导 一、题型含义与核心算理 连续求一个数的几分之几是多少，属于两步分数乘法实际问题，是上一课一步分数乘法应用题的延伸。题目会连续给出两个分率，需要先后两次求一个数的几分之几，全程已知单位“1”，因此全程用乘法计算。 这类题目最大特点：含有两个不一样的单位“1”，第一个单位“1”是题目给出的原始总量，第二个单位“1”是第一步求出的中间量。 通用数量关系式：原始总量 × 第一个分率 × 第二个分率 = 最终所求数量 二、两种解题方法（课本要求全部掌握） 方法一：分步列式（适合基础薄弱，清晰看懂每一步含义） 第一步：找准第一个单位“1”，求出中间过渡量； 第二步：以上一步求出的中间量作为第二个单位“1”，求出最终结果。 方法二：综合连乘列式（做题首选，计算更简便） 直接用原始总量连续乘两个对应分率，列式一步到位，计算时可以把所有分子、分母放在一起一次性交叉约分，简化计算步骤。 三、双线线段图画图方法（本课必考画图题型） 区别于上一课单线线段图，连续求几分之几需要画双层线段图，画图步骤如下： 第层线段：画出整条线段，表示第一个单位“1”（原始总量），按照第一个分率平均分线段； 第二层线段：在第一步分出的部分线段基础上，再按照第二个分率再次平均分，标注出最终要求的部分； 举例：果园有60棵苹果树，梨树棵数是苹果树的，桃树棵数是梨树的，求桃树有多少棵？ 分步算式：60×=50（棵），50×=30（棵） 综合算式：60××=30（棵） 四、标准解题四步骤 找双单位1：先后圈出题目中两个不同的单位“1”，标注先后顺序； 辨分率含义：明确每一个分率分别对应哪一个单位“1”； 列对应算式：可分步计算，也可直接列分数连乘算式； 巧约分计算：分数连乘优先整体约分，最后算出最简结果。 五、高频易错点提醒 易错1：混淆两个单位“1”，把第二个分率依旧对应原始总量，这是本课最常见错误； 易错2：分数连乘计算时只两两约分，不会整体一次性约分，计算量大且容易出错； 易错3：分不清一步乘法和连续两步乘法，看到两个分率就盲目相加或相减，混淆分数加减法和分数乘法应用题。 六、应用题验算方法 逆向分步验算：用最终结果先除以第二个分率，算出中间量；再用中间量除以第一个分率，看结果是否等于题目最开始的原始总量，数值一致则解题正确。 模块三 小试牛刀 一、选择题 1．一根绳子，第一次剪去全长的，第二次剪去余下的，两次一共剪去全长的（    ）。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将绳子长度看作单位“1”，第一次剪去全长的，还余下全长的（1－），余下的对应分率×第二次剪去余下的几分之几＝第二次剪去全长的几分之几，第一次剪去全长的几分之几＋第二次剪去全长的几分之几＝两次一共剪去全长的几分之几。 【详解】＋（1－）× ＝＋× ＝＋ ＝ 两次一共剪去全长的。 2．一本课外书240页，小兰第一天看了全书的，第二天看的页数是第一天的，小兰第二天看了（    ）。 A．40页 B．48页 C．88页 D．200页 【答案】A 【分析】第一天看了全书的，是把全书总页数看作单位“1”；第二天看的页数是第一天的，是把第一天看的页数看作单位“1”。根据分数乘法的意义，求一个数的几分之几是多少，用乘法计算。先求出第一天看的页数，再求出第二天看的页数求解。 【详解】第一天看的页数：（页）； 第二天看的页数：（页） 3．《论语·为政》中有关于年龄的代称，其中“耳顺之年”是指60岁，“知命之年”所指年龄是“耳顺之年”所指年龄的“而立之年”所指年龄是“知命之年”所指年龄的，则“而立之年”是指（    ）岁。 A．50 B．45 C．30 D．25 【答案】C 【分析】求“知命之年”是把“耳顺之年”看作单位“1”，求“而立之年”是把“知命之年”看作单位“1”，根据求一个数的几分之几是多少，用乘法，即可求解。 【详解】 ＝30（岁） 则“而立之年”是指30岁。 4．浩浩同学周日参加了社区举行的“电信反诈”宣传活动，帮助发放反诈宣传单。一共有200张宣传单，他上午发放了，下午发放了余下的，这时宣传单（    ）。 A．全部发放完 B．还有 C．还有 D．还有 【答案】B 【分析】将宣传单总张数看作单位“1”，总张数×上午发放的对应分率＝上午发放的张数，总张数－上午发放的张数＝余下的张数；再将余下的张数看作单位“1”，余下的张数×下午发放的对应分率＝下午发放的张数，总张数－上午发放的张数－下午发放的张数＝最后剩下的张数。最后剩下的张数÷总张数＝这时宣传单是总张数的几分之几。 【详解】200×＝100（张） （200－100）× ＝100× ＝50（张） 200－100－50＝50（张） 50÷200＝＝ 这时宣传单还有。 故答案为：B 5．《庄子·天下》中有一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”意思就是：一根一尺长的木棍，今天取它的一半，即，明天取它一半的一半，后天再取它一半的一半的一半……这样取下去，永远也取不完。照这样推算，第四天截取的长度占最初木棒长度的（    ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将原长1尺看作单位“1”，第一天取它的一半为：1×＝（尺），取走一半剩下一半，则取走的长度和剩下的长度是一样的，则第一天剩下的长度是尺；第二天取第一天剩下长度的一半，把第一天剩下的尺当作单位“1”，则第二天取的长度为：×＝（尺）；第三天取第二天剩下长度的一半，第二天剩下的长度是尺，以第二天剩下的尺为单位“1”，则第三天取的长度为：×＝（尺）；第四天取第三天剩下长度的一半，第三天剩下的长度是尺，所以第四天取的长度为：×＝（尺）。用尺除以1尺，即可求出第四天截取的长度占最初木棒长度的几分之几。 求一个数的几分之几是多少，用乘法计算； 求一个数是另一个数的几分之几，用除法计算。 【详解】1×＝（尺） ×＝（尺） ×＝（尺） ×＝（尺） ÷1＝ 即第四天截取的长度占最初木棒长度的。 故答案为：D 6．苹果是一种营养价值极高的水果，苹果中的类黄酮有助于人体及时排出体内垃圾。一个苹果中，碳水化合物的质量大约占苹果质量的，类黄酮的质量是碳水化合物质量的。如果一个苹果重180克，那么这个苹果中含有类黄酮（    ）克。 A．36 B．32 C．30 D． 【答案】A 【分析】分析题目，把苹果的质量看作单位“1”，根据求一个数的几分之几是多少用乘法，先用苹果的质量乘求出碳水化合物的质量，再用碳水化合物的质量乘求出类黄酮的质量即可。 【详解】180×× ＝27× ＝36（克） 这个苹果中含有类黄酮36克。 故答案为：A 二、填空题 7．40kg的是( )kg ， 比60m少是( )m。比24km长是( )km，45g的的是( )g。 【答案】 24 45 45 6 【分析】第①空：把40kg看作单位“1”，根据“求一个数的几分之几是多少”用乘法计算； 第②空：把60m看作单位“1”，根据“求比一个数少几分之几的数是多少”用乘法计算； 第③空：把24千米看作单位“1”，根据“求比一个数多几分之几的数是多少”用乘法计算； 第④空：把45g看作单位“1”，根据“连续求一个数的几分之几是多少”用连乘计算。 【详解】第①空：（kg） 第②空： （m） 第③空： （km） 第④空： （g） 8．睡鼠的冬眠期大约有200天，青蛙的冬眠期是睡鼠的，熊的冬眠期是青蛙的，熊的冬眠期大约是( )天。 【答案】120 【分析】先把睡鼠的冬眠期看作单位“1”。根据求一个数的几分之几是多少，用200乘算出青蛙的冬眠期；再把青蛙的冬眠期看作单位“1”，用青蛙的冬眠期乘即可算出熊的冬眠期。 【详解】（天） 9．《西游记》是中国古代第一部浪漫主义章回体长篇神魔小说。小华买了一本《西游记》，共320页。第一周读了全书的，第二周读的页数是第一周的。算式的运算结果表示( )。 【答案】第二周读的页数 【分析】把《西游记》的总页数看作单位“1”，第一周读了全书的，用《西游记》的总页数×，求出第一周读的页数；再把第一周读的页数看作单位“1”，第二周读的页数是第一周的，用第一周读的页数×，求出第二周读的页数，即的运算结果表示第二周读的页数。 【详解】根据分析，《西游记》是中国古代第一部浪漫主义章回体长篇神魔小说。小华买了一本《西游记》，共320页。第一周读了全书的，第二周读的页数是第一周的。算式的运算结果表示（第二周读的页数）。 10．一本故事书共120页，小明第一天看了全书的，第二天看了第一天的。小明第二天看了________页。 【答案】30 【分析】小明第一天看了全书的，用全书的页数120页乘可得第一天看的页数，第二天看了第一天的，用第一天看的页数乘可得第二天看的页数。 【详解】 ＝30（页） 小明第二天看了30页。 11．如果蓝鲸的寿命是80年，鲨鱼的寿命是蓝鲸的，海豚的寿命是鲨鱼的，那么海豚的寿命是( )年。 【答案】45 【分析】把蓝鲸的寿命看作单位“1”，鲨鱼的寿命是蓝鲸的，鲨鱼的寿命＝蓝鲸的寿命×，再把鲨鱼的寿命看作单位“1”，海豚的寿命是鲨鱼的，海豚的寿命＝鲨鱼的寿命×，则海豚的寿命＝蓝鲸的寿命××。 【详解】80×× ＝70× ＝45（年） 12．小淘气是真淘气！他站在晒台上向下抛一个弹力球，弹力球从5m的高处自由落下。这种弹力球自由下落后每次弹起的高度都是前一次下落高度的，它第二次下落后能弹起( )m。 【答案】 【分析】求一个数的几分之几是多少用乘法。先把5米看作单位“1”，先求出第一次下落后弹起的高度；再把第一次下落后弹起的高度看作单位“1”，求出第二次下落后弹起的高度。 【详解】5×＝4（米） 4×＝（米） 13．《庄子•天下》中有这样一段话：一尺之棰，日取其半，万世不竭”。意思是说：一尺长的木棍，每天截取一半，永远也截取不完。照这样推算，第三天截取的长度，占最初木棒长度的( )。 【答案】 【分析】设最初木棒长度看作单位“1”，则根据“求一个数的几分之几是多少的问题，可以用乘法解决”，用单位“1”乘分率，再乘，再乘即可求解。 【详解】 即第三天截取的长度，占最初木棒长度的。 14．王叔叔家买了一桶12升的矿泉水，第一天喝了全部的，第二天喝的是第一天的，第二天喝了( )升。 【答案】2 【分析】根据求一个数的几分之几用乘法，先把矿泉水的总量看作“1”，用矿泉水总量×第一天喝的占总量的分率得到第一天喝的量；再把第一天喝的量看作单位“1”，用第一天喝的量乘第二天喝的占第一天的分率，得到第二天喝的量。 【详解】12×＝4（升） 4×＝2（升） 三、计算题 15．直接写出得数。                                                               【答案】 ；；4.9；10； ；0.18；；3 【解析】略 16．脱式计算，能简算的要简算。                                           【答案】；；1 ；21； 【分析】先计算分数减法，再计算分数加法； 应用减法的性质，用连续减去另两个分数； 应用加法的交换律和结合律，用减去； 先约分再计算（上下、交叉都能约），再把所有的分子相乘作为新分子，所有的分母相乘作为新分母； 应用乘法分配律用24分别与括号里的分数相乘，再将乘积相减、相加； 逆用乘法分配律，用乘。 【详解】 四、解答题 17．“传播安全文化，宣传安全知识”学校举办安全知识竞赛，获得三等奖的有42人，获得二等奖的是获得三等奖的。获得一等奖的人数是获得二等奖的，获得一等奖的有多少人？ 【答案】3人 【分析】首先把获得三等奖的人数看作单位“1”，根据“求一个数的几分之几是多少用乘法”，用三等奖人数乘求出二等奖人数；然后把获得二等奖的人数看作单位“1”，再用二等奖人数乘即可求出一等奖人数。 【详解】 （人） 答：获得一等奖的有3人。 18．清风书社去年全年接待读者120万人。上半年接待读者的人数是全年的，第一季度接待读者人数是上半年的。第一季度接待读者多少万人？ 【答案】 18万人 【分析】首先根据“上半年接待读者人数是全年的”，把去年全年接待读者人数看作单位“1”，根据分数乘法的意义，用全年人数乘，求出上半年接待读者人数；然后根据“第一季度接待读者人数是上半年的”，把上半年接待读者人数看作单位“1”，再用上半年人数乘，即可求出第一季度接待读者人数。 【详解】 （万人） 答：第一季度接待读者18万人。 19．一堆煤共有168吨，第一次运走它的，第二次运走余下的，第三次运走又余下的，……照这样运了六次后，这堆煤还剩下多少吨？ 【答案】24吨 【分析】每次运走的分率所对应的单位“1”是变化的。第一次运走总量的，是把总量看作单位“1”，剩下总量的；第二次运走余下的，是把第一次运走后剩下的量看作单位“1”，即剩下余下的；第三次又运走余下的，是把前两次运走后剩下的量看作单位“1”，即剩下余下的。以此类推，第几次运走，分母就是几加1，分子是1；剩下的分率分子比分母少1。据此可知第六次运走后，剩下的分率应为。各单位“1”已知，根据分数乘法的意义，用总吨数连续乘每次剩下的分率，求出运了六次后还剩下的吨数。 【详解】第一次运走后剩下总量的： 第二次运走后剩下余下的： 第三次运走后剩下余下的： …… 第六次运走后剩下余下的： 剩下煤的吨数为： （吨） 答：这堆煤还剩下24吨。 20．某地新建一批保障性住房，其中两居室有240套，三居室的套数是两居室的，一居室的套数是三居室的，这批保障性住房中一居室有多少套？ 【答案】64套 【分析】根据分数乘法的意义，求一个数的几分之几是多少，用乘法计算。首先把两居室的套数看作单位“1”，三居室的套数是两居室的，用两居室的套数乘求出三居室的套数；然后把三居室的套数看作单位“1”，一居室的套数是三居室的，用三居室的套数乘求出一居室的套数。 【详解】 （套） 答：这批保障性住房中一居室有64套。 21．修一条长42千米的高速公路，某公司第一周修了全长的，第二周比第一周多修了。第二周修了多少千米？ 【答案】14千米 【分析】将全长看作单位“1”，全长×第一周修的对应分率＝第一周修的长度；再将第一周修的长度看作单位“1”，第二周修的长度是第一周的，第一周修的长度×第二周修的对应分率＝第二周修的长度。 【详解】（千米） （千米） 答：第二周修了14千米。 22．五（2）班图书角有240本图书，五（1）班图书角的图书本数是五（2）班的，五（3）班图书角的图书本数是五（1）班的。这三个班的图书角共有多少本图书？ 【答案】720本 【分析】把五（2）班图书本数看作单位“1”，根据分数乘法的意义，求一个数的几分之几是多少用乘法计算，先求出五（1）班的图书本数。接着将五（1）班的图书本数看作新的单位“1”，用乘法求出五（3）班的图书本数。最后将三个班的图书本数相加，即可求出总本数。 【详解】240＋240×＋240×× ＝240＋200＋200× ＝440＋280 ＝720（本） 答：这三个班的图书角共有720本图书。 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $