专题01 导数及其应用19大题型（期末真题汇编，天津专用）高二数学下学期人教A版

**基本信息** 导数及其应用专题试题汇编，覆盖19个考点，精选河西区等多区期末真题，基础巩固到创新应用梯度分布，适配期末复习需求。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择|约30题|基础（平均变化率、导数定义等考点01-04）|基础题如平均变化率计算（题1-4），紧扣概念理解| |填空|约20题|中档（导函数图象、单调性应用等考点05-14）|中档题如由图象判极值（题42-43），注重直观想象| |解答|约15题|综合（含参单调性、极值偏移等考点15-19）|综合题如极值偏移证明（题89-91），适配高考命题趋势|

专题01 导数及其应用 高频考点概览 考点01 平均变化率和瞬时变化率 考点02 导数定义的计算 考点03 导数的几何意义 考点04 导数的运算 考点05 原函数与导函数的图象 考点06 不含参函数的单调性 考点07 含参函数的单调性 考点08 单调性的应用 考点09 由图象确定函数的极值 考点10 求函数的极值 考点11 已知极值或极值点求参 考点12 求函数的最值 考点13 已知函数的最值求参 考点14 函数性质综合 考点15 利用导数证明不等式 考点16 利用导数研究不等式恒成立问题 考点17 利用导数研究函数的零点 考点18 利用导数研究双变量问题 考点19 导数中的极值偏移问题 考点01 平均变化率和瞬时变化率 1．（2025秋•河西区期末）函数在区间，上的平均变化率为（　　） A． B．0.21 C． D．2.1 2．（2022秋•河东区校级期末）已知函数，则该函数在区间，上的平均变化率为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 3．（2020秋•河西区期末）设函数，当自变量由1变到1.1时，函数的平均变化率是（　　） A．2.1 B．0.21 C．1.21 D．12.1 4．（2021春•滨海新区期末）某种型号的飞机从着陆到停止，滑行路程（米与着陆时间（秒之间的函数关系为，则此飞机着陆后滑行5秒时的瞬时速度是 　　米秒． 考点02 导数定义的计算 5．（2021春•海淀区校级期末）如图，函数的图象是折线段，其中，，的坐标分别为，，，则　　；　　．（用数字作答） 6．（2024春•天津期末）设函数在点，（1）处的切线方程为，则（　　） A．4 B．2 C．1 D． 7．（2022秋•滨海新区校级期末）设函数在处的导数为2，则　　． 8．（2021春•武清区期末）已知函数在处可导，则等于（　　） A． B． C． D．0 9．（2025秋•红桥区校级期末）曲线在处的切线斜率为 ． 考点03 导数的几何意义 10．（2020秋•河东区期末）已知函数，则函数的图象在点，（e）处的切线斜率为　　． 11．（2025春•和平区校级期末）曲线在点处的切线方程为 　　 ． 12．（2025秋•红桥区校级期末）若曲线有两条过点的切线，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D．，， 13．（2025秋•河西区期末）已知函数． （1）若，求及（e）的值为自然对数的底数）； （2）若在，（1）处的切线与直线垂直，求实数的值． 考点04 导数的运算 14．（2025秋•红桥区校级期末）下列求导运算正确的是（　　） A． B． C． D． 15．（2025秋•河西区期末）函数的导数为（　　） A． B． C． D． 16．（2023秋•滨海新区校级期末）若函数，则 ． 17．（2025秋•红桥区校级期末）若，则 ． 18．（2024秋•天津期末）下列导数运算正确的是（　　） A． B． C． D． 19．（2025春•西青区期末）函数，则等于（　　） A． B． C． D． 20．（2025春•南开区期末）下列求导正确的是（　　） A． B． C． D． 考点05 原函数与导函数的图象 21．（2023秋•滨海新区校级期末）设是函数的导函数，的图象如图所示，则的图象最有可能的是 A． B． C． D． 22．（2025秋•红桥区校级期末）已知函数的导函数的图象如图所示，则该函数的图象可能是（　　） A． B． C． D． 23．（2020秋•河西区期末）已知函数，其导函数的图象如图，则对于函数的描述正确的是 A．在上为减函数 B．在处取得最大值 C．在上为减函数 D．在处取得最小值 考点06 不含参函数的单调性 24．（2023秋•滨海新区校级期末）函数的单调递增区间为 ． 25．（2021秋•红桥区期末）函数的单调递减区间是 　　． 26．（2021秋•红桥区期末）函数的单调递减区间是　　． 考点07 含参函数的单调性 27．（2025春•西青区期末）已知函数． （1）求当时，函数在点，（1）处的切线方程； （2）求函数的单调区间； （3）已知函数在，上的最大值为13，求的值． 28．（2024春•西青区期末）已知函数． （Ⅰ）讨论函数的单调性； （Ⅱ）当时，证明不等式：； （Ⅲ）当时，不等式对任意，恒成立，求实数的取值范围． 29．（2025春•和平区期末）已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）设，，是的两个极值点． ①求的取值范围； ②证明：． 30．（2023秋•河北区期末）已知函数． （Ⅰ）当时，求曲线在点，处的切线方程； （Ⅱ）当时，求函数的单调区间； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，当，时，，求实数的取值范围． 考点08 单调性的应用 31．（2025春•天津期末）若函数在区间上是单调减函数，则实数的取值范围是 　　 ． 32．（2024春•和平区期末）若函数在上单调递增，则实数的最大值为 　　 ． 33．（2023秋•红桥区期末）已知函数在区间，上单调递增，则实数的取值范围是 ． 34．（2023春•和平区校级期末）已知函数存在减区间，则实数的取值范围为 　　． 35．（2024春•河西区校级期末）如图所示为函数的图象，则不等式的解集为 　　 ． 36．（2024春•和平区校级期末）已知函数，则关于的不等式的解集为 　　． 37．（2024春•河西区期末）已知，，且，则实数的取值范围是 　　． 38．（2025春•天津期末）已知偶函数的定义域是，，，其导函数为，对任意，都有成立，则不等式（2）的解集为 　　． 39．（2024春•西青区期末）已知函数定义域为，，（1），则的解集为 　　． 40．（2021春•武清区校级期末）若为定义在上的连续不断的函数，满足，且当时，．若，则的取值范围 　　． 41．（2021春•天津期末）已知是函数的导函数，，其中是自对数的底数，对任意，恒有，则不等式的解集为　　． 考点09 由图象确定函数的极值 42．（2025秋•红桥区校级期末）已知函数的定义域为，导函数在区间上的图象如图所示，函数在上极大值点的个数为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 43．（2022春•天津期末）如图是的导函数的图象，则下列说法正确的个数是　　 ①在区间，上是增函数； ②是的极小值点； ③在区间，上是增函数，在区间，上是减函数； ④是的极大值点． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 考点10 求函数的极值 44．（2025春•和平区校级期末）已知函数． （1）时，求在处的切线． （2）求函数的极值； （3）若函数在区间，上恰有两个零点，求的取值范围． 45．（2023秋•河东区期末）已知函数，． （1）若，求函数的极值； （2）设函数，求函数的单调区间； （3）若存在，，使得成立，求的取值范围． 46．（2024春•天津期末）已知函数． （1）求曲线在处的切线方程； （2）求的单调区间和极值． 47．（2024春•河西区期末）已知函数在处取得极值． （1）求函数的解析式； （2）求函数的极值． 考点11 已知极值或极值点求参 48．（2025春•天津期末）若在上有两个极值点，则的取值范围是 ． 49．（2021春•武清区期末）若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围是 ． 50．（2024春•西青区期末）已知函数在处有极值，则　． 51．（2024春•滨海新区期末）若函数，只有一个极值点，则的取值范围是　 ． 52．（2024春•和平区期末）已知的两个极值点分别是，． （Ⅰ）求实数，的值； （Ⅱ）求函数的单调区间． 53．（2023春•和平区校级期末）已知为函数的极小值点，则的极大值为（　　） A． B．16 C．4 D． 54．（2021秋•红桥区期末）函数在处有极值为4，则的值为（　　） A．3 B． C．6 D． 55．（2022春•和平区校级期末）若函数在处取得极小值，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 56．（2025春•宝坻区校级期末）若函数无极值点，则实数的取值范围是　　． 考点12 求函数的最值 57．（2025春•和平区期末）已知，，，且． （Ⅰ）求，的值； （Ⅱ）若函数在，上的最大值为4，求函数在上的最小值． 58．（2025秋•和平区校级期末）已知函数，． （1）求函数在，（1）处的切线方程； （2）若， 当时，求函数的最小值； 若有两个实根，，且，证明：． 59．（2024春•河西区校级期末）函数在区间，上的最大值是 　　． 60．（2024春•西青区期末）函数． （Ⅰ）求在处的切线方程； （Ⅱ）求在区间，上的最值． 考点13 已知函数的最值求参 61．（2021春•武清区期末）若函数在区间内有最大值，则实数的取值范围是　　． 62．（2021春•武清区校级期末）若函数在区间内存在最大值，则实数的取值范围是　　． 63．（2025春•和平区期末）已知，，，且． （Ⅰ）求，的值； （Ⅱ）若函数在，上的最大值为4，求函数在上的最小值． 考点14 函数性质综合 64．（2024春•西青区期末）给定函数，则 ①当时，有极大值； ②当时，的解的个数为2个； ③若方程有一个零点，则； ④函数是上的单调递减函数，则实数的取值范围为，．其中正确的结论个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 65．（2022春•和平区校级期末）关于函数，下列判断正确的是（　　） ①是的极大值点； ②函数有且只有1个零点； ③存在正实数，使得恒成立． A．① B．② C．①③ D．②③ 66．（2021春•天津期末）已知函数且，则下列结论中正确的是（　　） ①； ②； ③； ④当时，． A．①②③ B．②④ C．①③④ D．①④ 67．（2020秋•西青区期末）设函数，则（　　） A．在区间，内均有零点 B．在区间，内均无零点 C．在区间上有零点，在内无零点 D．在区间上无零点，在内有零点 考点15 利用导数证明不等式 68．（2025秋•红桥区校级期末）已知函数． （1）求曲线在点，（2）处的切线方程； （2）当时，求证：． 69．（2024秋•滨海新区期末）已知二次函数，． （Ⅰ）若时，求不等式的解集； （Ⅱ）若函数在区间，上具有单调性，求实数的取值范围； （Ⅲ）解关于的不等式． 70．（2025秋•河北区期末）已知函数． （Ⅰ）当时，求曲线在，（2）处的切线方程； （Ⅱ）当，时，恒成立，求的取值范围； （Ⅲ）求证：． 71．（2024秋•天津期末）已知函数，． （Ⅰ）求函数的极值； （Ⅱ）若对任意的，恒成立，求实数的取值范围； （Ⅲ）求证：时，． 72．（2024春•天津期末）已知函数． （1）若曲线在点，（2）处的切线斜率为4，求的值； （2）讨论函数的单调性； （3）已知的导函数在区间上存在零点，求证：当时，． 考点16 利用导数研究不等式恒成立问题 73．（2025春•天津期末）已知函数，．若在，上恒成立，则实数的取值范围是（　　） A． B． C．， D．， 74．（2025秋•和平区校级期末）已知函数，． （1）若函数为奇函数，求的值； （2）若在上恒成立，求的取值范围； （3）设，讨论方程的根的个数． 75．（2025春•南开区期末）已知函数，． （1）讨论的单调性； （2）若有两个零点，求实数的取值范围； （3）若对任意的恒成立，求实数的取值范围． 76．（2024秋•河东区期末）已知函数与为函数的极值点． （1）求的值； （2）求在点，（1）处的切线方程； （3）若恒成立，求实数的取值范围． 77．（2023秋•红桥区期末）已知函数，，，是自然对数的底数． （Ⅰ）求曲线在点，（1）处的切线方程； （Ⅱ）设函数． ①讨论函数的单调性； ②若，为整数，且当时，恒成立，求的最大值． 考点17 利用导数研究函数的零点 78．（2024秋•天津期末）已知函数．若函数恰有三个零点，则实数的取值范围是 　　． 79．（2025春•西青区期末）已知函数的极值为． （1）求实数的值； （2）当时，讨论函数的单调性； （3）当时，若在，有两个零点，求的取值范围． 80．（2025春•河西区期末）已知函数． 求在，（1）处的切线方程； （Ⅱ）求函数的单调区间； （Ⅲ）在区间，上有两个零点，求的取值范围． 81．（2025春•河北区期末）已知函数． （Ⅰ）当时，求的零点个数； （Ⅱ）当时，求证：对，； （Ⅲ）求证：，． 82．（2024秋•西青区期末）已知函数． （Ⅰ）当时，求曲线在点，（1）处的切线方程； （Ⅱ）求证：有唯一极值点； （Ⅲ）若有唯一零点，求证：． 83．（2024春•和平区期末）已知函数，，若在区间上有且仅有1个零点，则实数的取值范围为 　　． 84．（2023春•南开区期末）已知是函数的一个极值点． （1）求； （2）求函数的单调区间； （3）若函数有3个零点，求的取值范围． 考点18 利用导数研究双变量问题 85．（2021秋•天津期末）已知函数，． （Ⅰ）求曲线在，（1）处的切线方程； （Ⅱ）若在区间上单调递减，求的取值范围： （Ⅲ）若，存在两个极值点，，证明：． 86．（2025秋•河西区期末）已知函数． （1）求函数在点，（e）处的切线方程； （2）求证：； （3）若，，且，求的取值范围． 87．（2025秋•红桥区期末）已知函数． （1）若，求函数的单调区间； （2）对任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围； （3）若，是的两个不同的极值点，且，求实数的取值范围． 88．（2023秋•宁河区期末）已知函数，． （Ⅰ）当时，求曲线在，（1）处的切线方程； （Ⅱ）求的单调区间； （Ⅲ）设，是函数的两个极值点，证明：． 考点19 导数中的极值偏移问题 89．（2021秋•河西区期末）已知函数，为自然对数的底数）． （Ⅰ）当时，求的极值； （Ⅱ）设函数，若在其定义域内恒成立，求实数的最小值； （Ⅲ）若关于的方程恰有两个相异的实根，，求实数的取值范围，并证明． 90．（2022秋•北辰区校级期末）已知函数，． （Ⅰ）已知为的极值点，求曲线在点，（1）处的切线方程； （Ⅱ）讨论函数的单调性； （Ⅲ）当时，若对于任意，，，都存在，，使得，证明；． 91．（2024春•河西区期末）已知函数． （1）若的图象恒在轴上方，求的取值范围； （2）若存在正数，，满足，证明：． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 导数及其应用 高频考点概览 考点01 平均变化率和瞬时变化率 考点02 导数定义的计算 考点03 导数的几何意义 考点04 导数的运算 考点05 原函数与导函数的图象 考点06 不含参函数的单调性 考点07 含参函数的单调性 考点08 单调性的应用 考点09 由图象确定函数的极值 考点10 求函数的极值 考点11 已知极值或极值点求参 考点12 求函数的最值 考点13 已知函数的最值求参 考点14 函数性质综合 考点15 利用导数证明不等式 考点16 利用导数研究不等式恒成立问题 考点17 利用导数研究函数的零点 考点18 利用导数研究双变量问题 考点19 导数中的极值偏移问题 ( 考点01 平均变化率和瞬时变化率 ) 1．（2025秋•河西区期末）函数在区间，上的平均变化率为（　　） A． B．0.21 C． D．2.1 【解答】解：函数在区间，上平均变化率：． 故选：． 2．（2022秋•河东区校级期末）已知函数，则该函数在区间，上的平均变化率为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【解答】解：（3），（1） 该函数在区间，上的平均变化率为 故选：． 3．（2020秋•河西区期末）设函数，当自变量由1变到1.1时，函数的平均变化率是（　　） A．2.1 B．0.21 C．1.21 D．12.1 【解答】解：△， △． 所以函数的平均变化率为． 故选：． 4．（2021春•滨海新区期末）某种型号的飞机从着陆到停止，滑行路程（米与着陆时间（秒之间的函数关系为，则此飞机着陆后滑行5秒时的瞬时速度是 　　米秒． 【解答】解：根据题意，，则，即， 当时，， 即飞机着陆后滑行5秒时的瞬时速度是45米秒； 故答案为：45． ( 考点0 2 导数定义的计算 ) 5．（2021春•海淀区校级期末）如图，函数的图象是折线段，其中，，的坐标分别为，，，则　　；　　．（用数字作答） 【解答】解：，（4），（2）， 由函数的图象可知， ， 由导数的几何意义知（1）． 答案：2；． 6．（2024春•天津期末）设函数在点，（1）处的切线方程为，则（　　） A．4 B．2 C．1 D． 【解答】解：由导数值的定义，，根据导数的几何意义，（1），即． 故选：． 7．（2022秋•滨海新区校级期末）设函数在处的导数为2，则　　． 【解答】解：函数在处的导数为2， 则（1）． 故答案为：2． 8．（2021春•武清区期末）已知函数在处可导，则等于（　　） A． B． C． D．0 【解答】解：函数在处可导， ， 故选：． ( 考点0 3 导数的几何意义 ) 9．（2025秋•红桥区校级期末）曲线在处的切线斜率为 ． 【解答】解：因为， 所以， 所以曲线在处的切线斜率为． 故答案为：． 10．（2020秋•河东区期末）已知函数，则函数的图象在点，（e）处的切线斜率为　　． 【解答】解：， ， 的图象在点，（e）处的切线斜率为：． 故答案为：． 11．（2025春•和平区校级期末）曲线在点处的切线方程为 　　 ． 【解答】解：由题意可得， 则，又当时，， 所以曲线在点处的切线方程为． 故答案为：． 12．（2025秋•红桥区校级期末）若曲线有两条过点的切线，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D．，， 【解答】解：因为，所以， 设过点的切线与曲线切于点， 则切线方程为，又其过， 所以， 所以，，令， 则，， 所以，， 根据题意可得与，，有两个不同交点， 所以根据对勾函数的性质可得，，， 所以，，． 故选：． 13．（2025秋•河西区期末）已知函数． （1）若，求及（e）的值为自然对数的底数）； （2）若在，（1）处的切线与直线垂直，求实数的值． 【解答】解：函数， 可得， （1）当时，，所以， ． （2）（1）， 由题意，，解得或， 因为，所以． ( 考点0 4 导数的运算 ) 14．（2025秋•红桥区校级期末）下列求导运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：对于选项，故选项错误； 对于选项，故选项错误； 对于选项，故选项错误； 对于选项，故选项正确． 故选：． 15．（2025秋•河西区期末）函数的导数为（　　） A． B． C． D． 【解答】解： ． 故选：． 16．（2023秋•滨海新区校级期末）若函数，则 ． 【解答】解：因为， 所以， 所以． 故答案为：． 17．（2025秋•红桥区校级期末）若，则 ． 【解答】解：因为，所以， 则． 故答案为：． 18．（2024秋•天津期末）下列导数运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：根据导数的运算法则可得：，，，． 故选：． 19．（2025春•西青区期末）函数，则等于（　　） A． B． C． D． 【解答】解：由题意可知，． 故选：． 20．（2025春•南开区期末）下列求导正确的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：，故错误； ，故错误； ，故错误； ，故正确． 故选：． ( 考点0 5 原函数与导函数的图象 ) 21．（2023秋•滨海新区校级期末）设是函数的导函数，的图象如图所示，则的图象最有可能的是 A． B． C． D． 【解答】解：由的图象易得当或时，， 故函数在区间和上单调递增； 当时，，故函数在区间上单调递减； 故选：． 22．（2025秋•红桥区校级期末）已知函数的导函数的图象如图所示，则该函数的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：由导函数的图象可知：当和时，， 当和时，， 故在，单调递减，在，单调递增， 结合选项可知正确． 故选：． 23．（2020秋•河西区期末）已知函数，其导函数的图象如图，则对于函数的描述正确的是 A．在上为减函数 B．在处取得最大值 C．在上为减函数 D．在处取得最小值 【解答】解：当或时，，故函数在和上单调递减， 当或时，，故函数在和上单调递增， 当或或时函数取的极大值， 函数最大值为，，（4），（2）只是极小值，不一定是最小值， 无法判断是否有最小值， 故选：． ( 考点0 6 不含参函数的单调性 ) 24．（2023秋•滨海新区校级期末）函数的单调递增区间为 ． 【解答】解：由于导函数， 由于，根据，可得：， 所以（舍去）或． 因此的单调递增区间为． 故答案为：． 25．（2021秋•红桥区期末）函数的单调递减区间是 　　． 【解答】解：的定义域是，，， ， 令，解得：， 故在，递减， 故答案为：，． 26．（2021秋•红桥区期末）函数的单调递减区间是　　． 【解答】解：， ， 令，解得：， 故在递减， 故答案为：． ( 考点0 7 含参函数的单调性 ) 27．（2025春•西青区期末）已知函数． （1）求当时，函数在点，（1）处的切线方程； （2）求函数的单调区间； （3）已知函数在，上的最大值为13，求的值． 【解答】解：（1）由得：， 所以， 可得（1），切点坐标为， 且（1）， 则切线方程为， 即； （2）因为函数的定义域为，且， 令或； 令； 函数的增区间为，，减区间为， （3）因为，， 由（1）可知函数在，内单调递增，在，内单调递减， 则函数在，上的最大值为， 解得． 28．（2024春•西青区期末）已知函数． （Ⅰ）讨论函数的单调性； （Ⅱ）当时，证明不等式：； （Ⅲ）当时，不等式对任意，恒成立，求实数的取值范围． 【解答】解：由，可得 当时，，在上单调递减； 当时，由，得，由，得， 在上单调递减，在，上单调递增； 综上，当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在，上单调递增； 令，当时，由（1）可知在上单调递减，在上单调递增， 故（1），即，不等式得证； 当时，可化为， 令，则， 令，解得，令，解得， 在上单调递增，在，上单调递减， 在，上单调递增， 故， ． 29．（2025春•和平区期末）已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）设，，是的两个极值点． ①求的取值范围； ②证明：． 【解答】（1）解：，． 若，则，此时函数在上单调递增； 若，令，得；令，得， 函数在上单调递增，在上单调递减． 综上所述，当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减． （2）①解：由题知，则． 令，则，函数存在两个零点， 令，得；令，得， 在上单调递减；在上单调递增， ，解得． 由，令，求导可得， 令，得；令，得， 在上单调递减；在上单调递增， ，则． 由，则当时，函数存在两个零点， 的取值范围为． ②证明：由①可得，易知方程存在两个不相等的实数根为，，由①不妨设， 令， ，由，当且仅当时取等号，则， 函数在上单调递增，由，则当时，可得， 由，且函数在上单调递减，得，即； 由当时，，则函数在，上单调递减， 由，则，， 要证，只需证， 由，则令， ，令，则， 函数在上单调递增，则当时，，即， 函数在上单调递增，则当时，， 不等式在上恒成立，可得． 综上所述，． 30．（2023秋•河北区期末）已知函数． （Ⅰ）当时，求曲线在点，处的切线方程； （Ⅱ）当时，求函数的单调区间； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，当，时，，求实数的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）时，，，，， 曲线在点，处的切线方程为，整理得． （Ⅱ），， 令， ，解得或， 当变化时，，的变化情况如下表： 2 0 0 极小值 极大值 函数单调递减区间是，单调递增区间是． （Ⅲ）由（Ⅱ）可知，函数在区间，单调递增，在区间，单调递减， ， 解得 ， 实数的取值范围为． ( 考点0 8 单调性的应用 ) 31．（2025春•天津期末）若函数在区间上是单调减函数，则实数的取值范围是 　　 ． 【解答】解：，，， 当时，，所以的单调递减区间为， 若在上单调递减，则，即， 即，． 故答案为：，． 32．（2024春•和平区期末）若函数在上单调递增，则实数的最大值为 　　 ． 【解答】解：依题意，，且在上恒成立， 即且在上恒成立， 由在上恒成立， 可得； 由在上恒成立， 设，，， 由，可得，又， 可得，即在上递增， 可得，则； 当时，， 令，在上恒成立， 所以， 则在上恒成立， 所以在上恒成立． 综上，实数的最大值为1． 故答案为：1． 33．（2023秋•红桥区期末）已知函数在区间，上单调递增，则实数的取值范围是 ． 【解答】解：因为在区间，上单调递增， 所以在，上恒成立， 若，， 由于，，则，， 所以恒成立，符合题意， 若，设，，， 则， 所以在，上单调递增， 即在，上单调递增， 要使得，只需（1）， 所以， 所以， 综上所述，的取值范围为，． 故答案为：，． 34．（2023春•和平区校级期末）已知函数存在减区间，则实数的取值范围为 　　． 【解答】解：由题意得函数定义域为，且， 函数存在减区间， 在上有解，即有解， 令，则， 由得，由得，由得， 在上单调递减，在，上单调递增， 当时，取得极小值也是最小值，即， 有解， ，解得， 故实数的取值范围为，． 故答案为：，． 35．（2024春•河西区校级期末）如图所示为函数的图象，则不等式的解集为 　　 ． 【解答】解：由的图象可得在，上单调递增，在上单调递减， 所以当时，，当时，， 因为，所以或， 即或或，解得或， 所以原不等式的解集为． 故答案为：． 36．（2024春•和平区校级期末）已知函数，则关于的不等式的解集为 　　． 【解答】解：，因为，所以为奇函数， ，当且仅当等号成立， 所以在上单调递减， 由得， 可得，解得，或， 所以不等式的解集为，或． 故答案为：或． 37．（2024春•河西区期末）已知，，且，则实数的取值范围是 　　． 【解答】解：根据题意，，其导数， 又由，则必有， 即函数在上为减函数， 若，必有， 解可得，即的取值范围； 故答案为： 38．（2025春•天津期末）已知偶函数的定义域是，，，其导函数为，对任意，都有成立，则不等式（2）的解集为 　　． 【解答】解：当时，由， 得，即． 令，则在，，上也为偶函数， 且当时，总成立，在上是增函数． 不等式（2）可化为（2）， 则，又，，，解得，，． 故答案为：，，． 39．（2024春•西青区期末）已知函数定义域为，，（1），则的解集为 　　． 【解答】解：令，则， 在上单调递增，又（1），（1）， 当时，，即． 故答案为：． 40．（2021春•武清区校级期末）若为定义在上的连续不断的函数，满足，且当时，．若，则的取值范围 　　． 【解答】解：， 设，则， 为奇函数，又， 在上是减函数，从而在上是减函数， 又， 等价于， 即， ，解得， 故答案为：，． 41．（2021春•天津期末）已知是函数的导函数，，其中是自对数的底数，对任意，恒有，则不等式的解集为　　． 【解答】解：设， ， 在上单调递增， 由， 即，，． 故答案为：． ( 考点0 9 由图象确定函数的极值 ) 42．（2025秋•红桥区校级期末）已知函数的定义域为，导函数在区间上的图象如图所示，函数在上极大值点的个数为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【解答】解：由图可知，当时，；当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极大值，是的唯一极大值点． 故选：． 43．（2022春•天津期末）如图是的导函数的图象，则下列说法正确的个数是　　 ①在区间，上是增函数； ②是的极小值点； ③在区间，上是增函数，在区间，上是减函数； ④是的极大值点． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【解答】解：由图象可知，当，，时，，当，，时，， 在，上是减函数，是的极小值点，在区间，上是增函数，在，上是减函数，不是极值点． 故②③正确，①④错误． 故选：． ( 考点 10 求函数的极值 ) 44．（2025春•和平区校级期末）已知函数． （1）时，求在处的切线． （2）求函数的极值； （3）若函数在区间，上恰有两个零点，求的取值范围． 【解答】解：（1），则， 所以，，则在处的切线方程为，可得； （2）由题意可得，， 当时，恒成立，此时在上单调递增，无极值， 当时，， 由得：，由得：， 此时在单调递增，在单调递减， 的极大值为，无极小值， 综上，当时，无极值， 当时，的极大值为，无极小值； （3）由（2）可知，当时，在单调递增， 所以在，单调递增，不可能有两个零点， 当时，的极大值为， 因为，所以是的一个零点， 若函数在区间，上恰有两个零点，则， 即，可得：， 所以的取值范围为． 45．（2023秋•河东区期末）已知函数，． （1）若，求函数的极值； （2）设函数，求函数的单调区间； （3）若存在，，使得成立，求的取值范围． 【解答】解：（1）当时，，定义域为，， 令得：，当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 故是函数的极小值点，的极小值为（1），无极大值． （2），定义域为，， 因为，所以， 令，得：， 令，得：， 所以在单调递增，在单调递减． 综上：单调递增区间为，单调递减区间为． （3）存在，，使得成立，等价于存在，，使得， 即在，上有， 由（2）知，单调递增区间为，单调递减区间为， 所以当，即时，在，上单调递减， 故在处取得最小值， 由， 得：，因为，故． 当，即时，由（2）知：在上单调递减，在上单调递增， 在，上的最小值为， 因为，所以， 则，即，不满足题意，舍去， 综上所述：的取值范围为． 46．（2024春•天津期末）已知函数． （1）求曲线在处的切线方程； （2）求的单调区间和极值． 【解答】解：（1）易知的定义域为， 可得， 此时（2）， 又（2）， 所以曲线在处的切线方程为； （2）由（1）知， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以当时，取得极大值，极大值； 当时，取得极小值，极小值（2）． 47．（2024春•河西区期末）已知函数在处取得极值． （1）求函数的解析式； （2）求函数的极值． 【解答】解：（1），当时，取得极值， 则（1），即，得．故． （2）， 令，得或1． ，，的变化情况如下表： 1 0 0 极大值 极小值 因此，的极大值为，极小值为（1）． ( 考点 11 已知极值或极值点求参 ) 48．（2025春•天津期末）若在上有两个极值点，则的取值范围是 ． 【解答】解：， 因为函数在，上有两个极值点， 所以在，上有两个根， 所以在，上有两个根， 即函数与在，上有两个交点， 令，，， 所以，， 所以函数在上单调递减，在，上单调递增， 又当时，；当时，；时，， 由于每一个对应两个值， 可得，或， 所以或， 所以的取值范围为，． 故答案为：，． 49．（2021春•武清区期末）若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围是 ． 【解答】解：因为有两个不同的极值点， 所以在有2个不同的零点， 所以在有2个不同的零点， 所以， 解可得，． 故答案为：． 50．（2024春•西青区期末）已知函数在处有极值，则　． 【解答】解：， 因为函数在处有极值， 所以（2），即，解得． 故答案为：4． 51．（2024春•滨海新区期末）若函数，只有一个极值点，则的取值范围是　 ． 【解答】解：由题意可得 ， 当时，， 令，则当只有一个极值点时，只需无变号零点， 又当时，， 令，则， 当时，，函数单调递减； 当时，．函数单调递增； （2），且， 的图象如图所示： 此时； 当时，在左右两侧的值恒大于零，不为的极值点， 极值点的个数也是一个，满足题意，此时（3）； 故答案为：，． 52．（2024春•和平区期末）已知的两个极值点分别是，． （Ⅰ）求实数，的值； （Ⅱ）求函数的单调区间． 【解答】解：（Ⅰ）， ， 函数的两个极值点分别是，， ，2是方程的两个实数根， ， 解得； （Ⅱ）由可得：， ， 令，解得或；令，解得． 函数的单调递增区间为，；单调递减区间为． 53．（2023春•和平区校级期末）已知为函数的极小值点，则的极大值为（　　） A． B．16 C．4 D． 【解答】解：函数的导数， 由题意得，（2），即，． ，， 由，得或；，得， 故取极小值，取极大值，且为． 故选：． 54．（2021秋•红桥区期末）函数在处有极值为4，则的值为（　　） A．3 B． C．6 D． 【解答】解：由，得， 由于在1处有极值4， 则（1）和（1）， 故， 解得，， 故． 故选：． 55．（2022春•和平区校级期末）若函数在处取得极小值，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：， 则， 由题意得：（2），即，（2）恒为0， （2）是极小值，时，在的左侧局部，函数单调递减， 时，在的右侧局部，函数单调递增， 结合二次函数的性质的对称轴在的左侧， 即，故，又△， 故， 故选：． 56．（2025春•宝坻区校级期末）若函数无极值点，则实数的取值范围是　　． 【解答】解：， ， 若函数在上无极值点， 即最多1个实数根， 故△，解得：， 故答案为：，． ( 考点 12 求函数的最值 ) 57．（2025春•和平区期末）已知，，，且． （Ⅰ）求，的值； （Ⅱ）若函数在，上的最大值为4，求函数在上的最小值． 【解答】解：（Ⅰ）由题可知，，因为， 所以 解得，，经检验符合题意． （Ⅱ）由（Ⅰ）可得， 令，解得，令，解得， 所以函数在上单调递减，在上单调递减，在上单调递增， 因为，（2），，， 因此在，上的最大值为，即，即，所以， 因为函数在上单调递减，在上单调递增，， 所以函数在上的最小值为1． 58．（2025秋•和平区校级期末）已知函数，． （1）求函数在，（1）处的切线方程； （2）若， 当时，求函数的最小值； 若有两个实根，，且，证明：． 【解答】解：（1）由于，因此导函数， 因此，又因为（1）， 因此在，（1）处的切线方程为：，所以． （2）当时，函数，定义域为， 导函数， 令函数，， 那么导函数， 因此函数在上单调递增， 又由于，（1）， 因此使得，即，① 因此当，时，，即，此时在，上单调递增； 当时，，即，此时在上单调递减， 因此当时，有最小值， 根据①可得，所以， 因此的最小值为． 证明：根据题意，函数，， 根据题意函数有两个不相等的实数根， 令，那么导函数， 因此函数在上递增，因此， 令函数， 因此函数有两个不相等的正的零点，，且， 所以，两式分别相加减得， ，， 因此② 要证，那么只需证， 所以证，即需证， 根据②知，， 因此只需证， 设，令， 那么只需证，所以， 故只需证， 令 则， 所以在上单调递增， 所以（1）， 即当时，成立． 所以，即，故． 59．（2024春•河西区校级期末）函数在区间，上的最大值是 　1　． 【解答】解：， 则当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 故． 故答案为：1． 60．（2024春•西青区期末）函数． （Ⅰ）求在处的切线方程； （Ⅱ）求在区间，上的最值． 【解答】解：（Ⅰ）， 则（1），故切点是， 由得（1）， 故切线方程是：，即． （Ⅱ），令，解得或2， 则，随的变化情况如下： 2 3 0 0 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 故函数的最大值是，最小值是． ( 考点 13 已知函数的最值求参 ) 61．（2021春•武清区期末）若函数在区间内有最大值，则实数的取值范围是　　． 【解答】解：， ， 令，解得：或， 令，解得：， 在递增，在递减，在，递增， 故函数的极大值是， 故在开区间内的最大值是， 又（1）， 故且，故的取值范围是，， 故答案为：，． 62．（2021春•武清区校级期末）若函数在区间内存在最大值，则实数的取值范围是　　． 【解答】解：， 令，解得或， 令，解得， 故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 故函数的极大值为， 令，解得或， 若函数在区间上存在最大值， 则解得， 则实数的取值范围是，． 63．（2025春•和平区期末）已知，，，且． （Ⅰ）求，的值； （Ⅱ）若函数在，上的最大值为4，求函数在上的最小值． 【解答】解：（Ⅰ）由题可知，，因为， 所以 解得，，经检验符合题意． （Ⅱ）由（Ⅰ）可得， 令，解得，令，解得， 所以函数在上单调递减，在上单调递减，在上单调递增， 因为，（2），，， 因此在，上的最大值为，即，即，所以， 因为函数在上单调递减，在上单调递增，， 所以函数在上的最小值为1． ( 考点 14 函数性质综合 ) 64．（2024春•西青区期末）给定函数，则 ①当时，有极大值； ②当时，的解的个数为2个； ③若方程有一个零点，则； ④函数是上的单调递减函数，则实数的取值范围为，．其中正确的结论个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【解答】解：易知的定义域为， 可得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以当时，取得极小值，极小值，故①错误； 易知， 当时，；当时，， 作出曲线与直线的图象如下所示： 要使曲线与直线的图象有两个交点， 即当时，方程有两个不同的解，故②正确； 若方程有一个零点， 此时或，故③错误； 易知，函数定义域为， 可得， 因为在上单调递减， 所以在上恒成立， 即恒成立， 设，函数定义域为， 可得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以， 则实数的取值范围为，，故④正确， 综上所述，结论正确的有②④． 故选：． 65．（2022春•和平区校级期末）关于函数，下列判断正确的是（　　） ①是的极大值点； ②函数有且只有1个零点； ③存在正实数，使得恒成立． A．① B．② C．①③ D．②③ 【解答】解：对于①：由题意得， 令，解得， 当时，，为单调递减函数， 当时，，为单调递增函数， 所以是的极小值点，故①错误， 对于②：， 则 所以在上为单调递减函数， 又当时，， 当时，， 根据零点存在的定理可得有且仅有1个零点，故②正确； 对于③：由，可得， 令，则， 令，则， 当时，，则为单调递增函数， 当时，，则为单调递减函数， 所以（1）， 所以恒成立， 所以在上为单调递减函数，无最小值， 所以不存在正实数，使得恒成立，故③错误． 故选：． 66．（2021春•天津期末）已知函数且，则下列结论中正确的是（　　） ①； ②； ③； ④当时，． A．①②③ B．②④ C．①③④ D．①④ 【解答】解：对于①，令，则在上单调递增， 由，可得，即，即，故①正确； 对于②，令，，由可得，由可得， 所以在上单调递减，在，上单调递增， 当时，，即，故②错误； 对于③，，在上，，单调递减，在，上，， 单调递增，故当时，，，故③错误； 对于④，因为时，，所以单调递增， 由①可知，， 即，故④正确． 故选：． 67．（2020秋•西青区期末）设函数，则（　　） A．在区间，内均有零点 B．在区间，内均无零点 C．在区间上有零点，在内无零点 D．在区间上无零点，在内有零点 【解答】解：由，得， 令，解得， 当时，，此时单调递减； 当时，，此时单调递增， 所以当时，幂函数取得极小值（3）， 则函数的图象如图所示： 因为（1），（e）， 所以结合函数的图象，可知在区间上无零点，在内有零点， 故选：． ( 考点 15 利用导数证明不等式 ) 68．（2025秋•红桥区校级期末）已知函数． （1）求曲线在点，（2）处的切线方程； （2）当时，求证：． 【解答】解：（1）， 所以（2）， 因为切点为， 所以切线方程为，即； （2）证明：令． 由得． 当时，所以在上单调递减， 当时，所以在上单调递增， 所以当时，有最小值（1）， 所以，即． 69．（2024秋•滨海新区期末）已知二次函数，． （Ⅰ）若时，求不等式的解集； （Ⅱ）若函数在区间，上具有单调性，求实数的取值范围； （Ⅲ）解关于的不等式． 【解答】解：（Ⅰ）当时，， 解得， 故不等式的解集为； （Ⅱ）若函数在区间，上具有单调性，则或， 解得或， 故的范围为或； （Ⅲ）由可得， 当时，解得， 当时，解得或， 当时，解得或， 故时，解集为， 当时，解集为或， 当时，解集为或． 70．（2025秋•河北区期末）已知函数． （Ⅰ）当时，求曲线在，（2）处的切线方程； （Ⅱ）当，时，恒成立，求的取值范围； （Ⅲ）求证：． 【解答】解：当时，，， （2），（2），， 整理，得， 所以曲线在，（2）处的切线方程为； （Ⅱ）， 可得， 令，得或， 因为，，， 当时，， 所以时，，单调递减； 时，，单调递增； 又因为（1），所以时，（1）， 所以，时，不恒成立，不符合题意， 当时，，当，时，，单调递增； 所以，时，（1），恒成立， 综上，的取值范围是，； （Ⅲ）证明：由（Ⅱ）可知，当时，恒成立， 取，得，， 令，得， 即， ， ， 分别令，2，，， ， ， ， 分别相加，得，命题得证． 71．（2024秋•天津期末）已知函数，． （Ⅰ）求函数的极值； （Ⅱ）若对任意的，恒成立，求实数的取值范围； （Ⅲ）求证：时，． 【解答】解：（Ⅰ）函数的定义域为，求导得， ①当时，恒成立，无极值； ②当时，由，得；由，得， 函数在，上单调递减，在，上单调递增， 因此函数极小值为，无极大值， 所以当时，无极值； 当时，极小值为，无极大值． （Ⅱ）对任意的，，不等式， 设，且，求导得， 令，，求导得， 函数，在0，上单调递增， 则在，上单调递增，， 函数在，上单调递增，而， 当时，恒成立，函数在，上单调递增，恒成立； 当，则，又， 则在，内存在，使得，当时，， 函数在上单调递减，当时，，不合题意， 所以实数的取值范围是，． （Ⅲ）证明：令函数，，求导得， 令，，求导得，函数在上单调递增， 则，函数在上单调递增，， 即， 令函数，，求导得， 函数在上单调递增，，即， 因此当时，，即， 所以成立． 72．（2024春•天津期末）已知函数． （1）若曲线在点，（2）处的切线斜率为4，求的值； （2）讨论函数的单调性； （3）已知的导函数在区间上存在零点，求证：当时，． 【解答】解：（1），则， 由题意可得，解得； （2）由（1）可得：， 当时，则恒成立， 令，解得；令，解得； 故在上单调递减，在上单调递增； 当时，令，解得或， ①当，即时，令，解得或；令，解得； 故在上单调递增，在上单调递减； ②当，即时，则在定义域内恒成立， 故在上单调递增； ③当，即时，令，解得或；令，解得； 故在上单调递增，在上单调递减； 综上所述：当时，在上单调递减，在上单调递增； 当，在上单调递增，在上单调递减； 当，在上单调递增； 当，在上单调递增，在上单调递减； 证明：（3）由（2）知：若在区间上存在零点，则，解得． 由（2）知：在上单调递增，在上单调递减， 则， 构建，则， 令（a）（a），则当时恒成立， 故（a）在上单调递减，则（a）（3）， 即（a）当时恒成立， 则（a）在上单调递减，则， 故． ( 考点 16 利用导数研究不等式恒成立问题 ) 73．（2025春•天津期末）已知函数，．若在，上恒成立，则实数的取值范围是（　　） A． B． C．， D．， 【解答】解：因为在，上恒成立， 即在，上恒成立， 即在，上恒成立， 令，，， 则有， 因为， 令，， 则， 所以在，上单调递减， 又（1）， 所以存在，，使得， 所以，， 且当，时，， 从而有，单调递增； 当，时，， 从而有，单调递减； 所以， 所以， 即实数的取值范围为，． 故选：． 74．（2025秋•和平区校级期末）已知函数，． （1）若函数为奇函数，求的值； （2）若在上恒成立，求的取值范围； （3）设，讨论方程的根的个数． 【解答】解：（1）为奇函数，且定义域为， ， ， ， ． （2）恒成立， 恒成立， 恒成立， 又，， 在上恒成立， 又，，即的取值范围是，． （3）， 设， 令，则，当且仅当取到等号， ， 设且，， 令，得， 令， 又在，上单调递减， ，， 当或时，与无交点，无零点，无零点，方程无根； 当时，，或（舍， 只有一个解， 只有一个零点，方程有一个根； 当时，在，上有零点， 先证在，上单调递增， 任取，，且， ， ， ， ，在，上单调递增， 又为偶函数， 在上单调递减， 有两个互为相反数的根， 此时有2个零点，方程有两个根． 综上，或时，方程无根； 当时，方程有一个根； 当时，方程有两个根． 75．（2025春•南开区期末）已知函数，． （1）讨论的单调性； （2）若有两个零点，求实数的取值范围； （3）若对任意的恒成立，求实数的取值范围． 【解答】解：（1），， 当时，，所以在上单调递增． 当时，令，则， 若△，即时，恒成立， 所以在上单调递增． 若△，即时，方程的根为， 当时，或， 所以在和上单调递增； 当时，， 所以在上单调递减． 综上所述，当时，在上单调递增， 当时，在和上单调递增，在上单调递减． （2）令，则， 令，则， 所以当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 又当时，，且（1）， 当时，（e）， 所以当时，先减后增，且在处有最小值， 此时直线与有两个交点， 所以实数的取值范围为． （3）因为，即， 即，对，恒成立， 当时，上式显然成立， 当时，上式转化为， 令，， ， 所以函数在上单调递增， （1）， ， 综上所述，实数的取值范围为，． 76．（2024秋•河东区期末）已知函数与为函数的极值点． （1）求的值； （2）求在点，（1）处的切线方程； （3）若恒成立，求实数的取值范围． 【解答】解：（1）函数的定义域为 在处取得极值，（1），解得， 此时， 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 经检验，符合题意， ． （2），（1），（1）， 切线方程为， ． （3）若恒成立，则， 由， ，， 令，则， 令，则， 在区间上单调递增， （1），， 存在唯一，使得， 即，即， 令，则， 函数在上单调递增， ，则，，由， 则，， 当时，，，单调递减， 当时，，单调递增， ， 则， 实数的取值范围为，． 77．（2023秋•红桥区期末）已知函数，，，是自然对数的底数． （Ⅰ）求曲线在点，（1）处的切线方程； （Ⅱ）设函数． ①讨论函数的单调性； ②若，为整数，且当时，恒成立，求的最大值． 【解答】解：（Ⅰ）由，得， 则切线的斜率（1），又（1）， 所以曲线得切线方程为，即． ①由题意，得，则． 当时，恒成立，则在上单调递增； 当时，则在上单调递减，在单调递增． ②由，且，可得， 设，则， 设，，则成立， 所以在上单调递增，且（1），（2）， 则在上存在唯一，使， 当时，；当，时，， 故，且， 所以，． 所以，的最大值为2． ( 考点 17 利用导数研究函数的零点 ) 78．（2024秋•天津期末）已知函数．若函数恰有三个零点，则实数的取值范围是 　　． 【解答】解：设，则，，得， 当，，单调递增，当，，单调递减，当时，函数取得最大值2， 如图，画出函数的图象， 由，即，则，，如图，画出函数的图象， 设过点的切线与相切于点则得，即切点，所以切线方程为， 如图，则与有2个交点，， 如图可知，若函数恰有三个零点， 则，，则，所以． 综上，． 故答案为：． 79．（2025春•西青区期末）已知函数的极值为． （1）求实数的值； （2）当时，讨论函数的单调性； （3）当时，若在，有两个零点，求的取值范围． 【解答】解：（1）由，得， 由，得，由，得， 则在上单调递增，在，上单调递减． 则在处取得极大值，解得； （2）由，得， 若，则，由，得或，由，得， 则在，上单调递增，在上单调递减； 若，，则在上单调递增； 若，则，由，得或，由，得， 则在，上单调递增，在上单调递减； （3）由（1），结合，可得，． 因为在，有两个零点，则在，上有2个零点． 令，，得1不是其零点， 令，得， 则原题等价于函数与直线在，上有2个交点． 令，， 则， 由，得，由，得， 则在上单调递减，在上单调递增． 从而， 当，，当，． 则可得大致图象如下：则，解得， 所以的取值范围是，． 80．（2025春•河西区期末）已知函数． 求在，（1）处的切线方程； （Ⅱ）求函数的单调区间； （Ⅲ）在区间，上有两个零点，求的取值范围． 【解答】解：因为， 所以， 所以（1）．又（1）． 所以切线方程为即． （Ⅱ）因为， 由，得，由，得或， 所以的单调递增区间为，，单调递减区间为． （Ⅲ）由（Ⅱ）可知，函数在，上单调递减，在上单调递增， 且，，（2）， 所以在区间，上有两个零点，即在，上有两个解， 可得， 即的取值范围为：，． 81．（2025春•河北区期末）已知函数． （Ⅰ）当时，求的零点个数； （Ⅱ）当时，求证：对，； （Ⅲ）求证：，． 【解答】解：（Ⅰ）当时，函数定义域为，求导得， 令，求导得，函数在上单调递增， 而，则当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，， 而（2），则存在，，使得，所以函数有2个零点． （Ⅱ）证明：当时，的定义域为， 求导得，令，求导得， 函数在上单调递减，而，则当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减， ，所以对，． （Ⅲ）证明：由（2）得，当且仅当时取等号，则， 因此， 而当时，， 则当时，， 当时，，因此，， 即， 所以，． 82．（2024秋•西青区期末）已知函数． （Ⅰ）当时，求曲线在点，（1）处的切线方程； （Ⅱ）求证：有唯一极值点； （Ⅲ）若有唯一零点，求证：． 【解答】解：（Ⅰ）由题意可得，函数的定义域为， 因为，所以， 则， 又（1），（1）， 所以切线方程为，即． （Ⅱ）证明：因为，所以， 令， 所以在上单调递增， 构造函数，则， 当时，，所以在上单调递增， 当时，，所以在上单调递减， 所以，所以，即， 所以， 又（1），所以存在唯一的，使得， 当时，，单调递减； ，，，单调递增， 所以函数有唯一极值点． （Ⅲ）证明：由（Ⅱ）得， 因为函数有唯一零点，所以，所以， 即，所以， 设，所以， 所以在单调递减， 因为（1），，所以． 83．（2024春•和平区期末）已知函数，，若在区间上有且仅有1个零点，则实数的取值范围为 　　． 【解答】解：由可得，， 令，， 则， 当，，单调递减，当时，，单调递增，当时，，单调递减， 因为，（1），，，，， 结合函数图象可知，或． 故答案为：或． 84．（2023春•南开区期末）已知是函数的一个极值点． （1）求； （2）求函数的单调区间； （3）若函数有3个零点，求的取值范围． 【解答】解：（1）， 因为是函数的一个极值点， 所以，解得． （2）由（1）得，， ， 令，得，． 和随的变化情况如下： 1 3 0 0 极大值 极小值 的增区间是和；减区间是． （3）由（2）知，的极大值为（1），极小值为（3）． 因为，， 所以． 因为（7），（7）（1）， 所以（7）（1）． 函数图像如图所示， 当直线与函数的图像有3个交点时，函数有3个零点， 的值在函数的极小值和极大值之间，所以的取值范围为． ( 考点 18 利用导数研究双变量问题 ) 85．（2021秋•天津期末）已知函数，． （Ⅰ）求曲线在，（1）处的切线方程； （Ⅱ）若在区间上单调递减，求的取值范围： （Ⅲ）若，存在两个极值点，，证明：． 【解答】解：（Ⅰ）由题意知：定义域为， （1），又（1）， 曲线在，（1）处的切线方程为； （Ⅱ），又在区间上单调递减， 在上恒成立，即在上恒成立， 在上恒成立， 设，则， 当时，，单调递增，， ，即实数的取值范围是； 证明：（Ⅲ）由（Ⅱ）知：，满足，， 不妨设，则， ， 则要证，即证， 即证，也即证成立， 设函数，则， 在单调递减，又（1）， 当时，， ，即． 86．（2025秋•河西区期末）已知函数． （1）求函数在点，（e）处的切线方程； （2）求证：； （3）若，，且，求的取值范围． 【解答】解：（1）由题意函数， 对函数求导可得，所以切线斜率（e）， 因为（e），所以切点为， 所以切线方程为，即； （2）证明：由， 设，则时，， 当时，，所以函数在上单调递增， 当时，，所以函数在上单调递减， 所以（1），即，所以； （3）由题意若，，且， 结合0的非正数次幂没有意义， 可得， 若，取，， ， 与已知矛盾，所以， 因为，时显然成立 不妨设，令，由得， ， 设，， 所以， 所以在上单调递减， 所以， 因为， 设，，所以， 当时，， 所以在，上单调递增，在上单调递减， 因为，所以时，， 所以，即，即， 若，则，易证， 所以 ， 令，所以， 令，， ， 令，，得不成立， 所以的取值范围为，． 87．（2025秋•红桥区期末）已知函数． （1）若，求函数的单调区间； （2）对任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围； （3）若，是的两个不同的极值点，且，求实数的取值范围． 【解答】解：（1）当时，，则， 由可得或，由可得． 故函数的单调递增区间为，，单调递减区间为． （2）即， 设， 由题意知（a），对任意的恒成立． 则（a） ， 因为时，恒成立， 故当时，（a），当时，（a）， 则函数（a）在上单调递增，在上单调递减， 故（a），则有，故的取值范围为． （3）由，可得， 因，是的两个不同的极值点，则方程有两异根， 则有，，，故． 而， 即， 也即，即， 将代入上式，可得，解得． 综上，的取值范围为，． 88．（2023秋•宁河区期末）已知函数，． （Ⅰ）当时，求曲线在，（1）处的切线方程； （Ⅱ）求的单调区间； （Ⅲ）设，是函数的两个极值点，证明：． 【解答】解：（Ⅰ）当时，， 则，所以， 所以切线方程为； （Ⅱ）由，得， 当时，恒成立，在上单调递增； 当时，令，则单调递增； 令，则单调递减， 综上，当时，的单调递增区间为； 当时，的单调递增区间为的单调递减区间为． （Ⅲ）证明：，则， 因为，是函数的两个极值点， 所以，是方程的两不等正根， 所以 令，则， 所以， 则， 所以 ， 则， 令，，则， 所以在上单调递增， 所以（1）， 所以， 所以． ( 考点 19 导数中的极值偏移问题 ) 89．（2021秋•河西区期末）已知函数，为自然对数的底数）． （Ⅰ）当时，求的极值； （Ⅱ）设函数，若在其定义域内恒成立，求实数的最小值； （Ⅲ）若关于的方程恰有两个相异的实根，，求实数的取值范围，并证明． 【解答】解：（Ⅰ）当时，，， 所以， 令，解得， 2 0 单调递增 单调递减 所以的极大值为，无极小值． （Ⅱ）由题意得在上恒成立， 因为，所以在上恒成立． 设，则， 令，解得， 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减． 因此（1），所以，即． 所以实数的最小值． （Ⅲ）证明：由即得， 令，则， 设，则， 因为，所以恒成立，函数在单调递减， 而（1），故在上，，单调递增， 在上，，单调递减， 所以（1）． 故方程恰有两个相异的实根只需． 所以实数的取值范围是． 下证：，不妨设，则，， 所以． 因为， 所以 ， 令，则， 所以在上单调递增， 所以当时，（1），即， 所以，所以． 90．（2022秋•北辰区校级期末）已知函数，． （Ⅰ）已知为的极值点，求曲线在点，（1）处的切线方程； （Ⅱ）讨论函数的单调性； （Ⅲ）当时，若对于任意，，，都存在，，使得，证明；． 【解答】解：（Ⅰ）， 由为的极值点， 所以（1），解得， ， 由，得， 由，得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以（1）， （1）， 所以过点的切线的方程为． （Ⅱ）， 则， 当时，， 所以在上单调递增， 令， △，，对称轴方程为， 当时，开口向下，对称轴为， 所以在上单调递减， 所以， 所以， 所以在上单调递增， 当时，△， 有两个不等实数根， ，， 所以得出， 所以得出， 所以在上单调递增，在，上单调递减， 综上所述，当时，在上单调递增， 当时，在上单调递增，在，上单调递减． （Ⅲ）证明： ， 所以， 又， 所以， 即， 则 由，则，设， 设， 则， 所以在上单调递减， 所以（1）， 所以恒成立， 即 由， 则， 由，则在上单调递增， 所以，可得成立． 91．（2024春•河西区期末）已知函数． （1）若的图象恒在轴上方，求的取值范围； （2）若存在正数，，满足，证明：． 【解答】（1）解：的定义域为， ， 当时，，则单调递减， 当时，，则单调递增， 因此，当时，（1）， 因为的图象恒在轴上方， 所以恒成立 则，即，解得， 所以的取值范围为； （2）证明：由（1）及的单调性可知，， 构造函数，， 则， 当时，，，即， 所以在区间上单调递减， 因为，所以（1），即， 由题意，所以， 因为在，且单调递增，，， 所以，即． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $