专题02 两个计数原理和排列组合9大考点（期末真题汇编，天津专用）高二数学下学期人教A版

**基本信息** 聚焦排列组合核心考点，汇编2021-2025年天津地区期末真题，覆盖9大高频考点，情境融合社会热点（如碳中和、哈尔滨旅游）与文化传承（赵爽弦图），梯度设计兼顾基础与综合应用。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择/填空|48题|两个计数原理、数字排列、涂色问题等9大考点|以“亚运会志愿者分配”“化工原料投放”等真实情境考查分组分配（考点09），赵爽弦图染色题（考点03）渗透文化素养|

专题02 两个计数原理和排列组合 高频考点概览 考点 01 两个计数原理 考点 02 数字排列问题 考点 03 涂色问题 考点 04 排列数和组合数的计算 考点 05 部分位置元素有限制的排列问题 考点 06 部分元素相邻的排列问题 考点 07 部分元素不相邻的排列问题 考点 08 简单的组合问题 考点 09 分组分配问题 考点01 两个计数原理 1．（2025春•西青区期末）学校食堂的一个窗口共卖3种菜品，甲、乙、丙、丁4名同学每人从中选一种，则选法的可能方式共有（　　） A．种 B．种 C．种 D．种 2．（2024春•西青区期末）某影城有一些电影新上映，其中有2部科幻片、3部文艺片、2部喜剧片，小明从中任选1部电影观看，不同的选法种数有（　　） A． B． C． D． 3．（2024春•南开区期末）三人踢毽子，互相传递，每人每次只能踢一下，若由甲开始踢，经过4次传递后，毽子又被踢回甲，则不同的传递方式共有（　　） A．4种 B．5种 C．6种 D．12种 4．（2021春•西青区期末）从地到地要经过地，已知从地到地有三条路，从地到地有四条路，则从地到地不同的走法种数是（　　） A．7 B．9 C．12 D．16 5．（2022春•南开区期末）某化工厂生产中需依次投放2种化工原料，现已知有5种原料可用，但甲、乙两种原料不能同时使用，且依次投料时，若使用甲原料，则甲必须先投放，则不同的投放方案有（　　） A．10种 B．12种 C．15种 D．16种 6．（2023春•和平区期末）用数字1，2，3，4，5，6，7组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有 　个．（用数字作答） 考点02 数字排列问题 7．（2023春•天津期末）从1，2，3，4，5五个数字中，选出一个偶数和两个奇数，组成一个没有重复数字的三位数，这样的三位数共有（　　） A．24个 B．36个 C．48个 D．54个 8．（2015春•天津期末）由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（　　） A．48个 B．52个 C．60个 D．120个 9．（2022春•红桥区期末）已知数字1，2，3，4，5． （1）可以组成多少个没有重复数字的五位数； （2）可以组成多少个没有重复数字的五位偶数． 10．（2021春•西青区期末）从0，2，4中任取2个数字，从1，3中任取1个数字，则可以组成没有重复数字的三位数的个数为　　．（结果用数字作答） 11．（2021春•武清区期末）用0，1，2，3，4这5个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（　　） A．24个 B．30个 C．36个 D．42个 12．（2025秋•和平区校级期末）如图，用6种不同颜色对图中，，，四个区域染色，要求同一区域染同一色，相邻区域不能染同一色，允许同一颜色可以染不同区域，则不同的染色方案有 　　种． 考点03 涂色问题 13．（2023春•南开区期末）如图所示，用4种不同的颜色涂入图中的矩形，，，中，要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂法　　 A．72种 B．48种 C．24种 D．12种 14．（2021春•滨海新区期末）如图，现要用四种不同的颜色，对四边形中的四个区域进行着色，要求有公共边的两个区域不能用同一种颜色，则不同的着色方法数为　　 A．48 B．36 C．42 D．32 15．（2025春•和平区校级期末）如图，为我国数学家赵爽验证勾股定理的示意图，用五种颜色（其中一种为黄色）对图中四个区域，，，进行染色，每个区域只能用一种染色．若必须使用黄色，则四个区域中有且只有一组相邻区域同色的染色方法有 　　种；若不使用黄色，则四个区域中所有相邻区域都不同色的染色方法有 　　种． 16．（2025春•红花岗区校级期末）如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻地区不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有 　　 种．（以数字作答） 考点04 排列数和组合数的计算 17．（2022春•天津期末）已知，则的值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 18．（2023春•和平区校级期末）若，则　　． 19．（2022春•红桥区期末）计算：　　． 20．（2021春•天津期末）（　　） A．30 B．35 C．70 D．210 21．（2021春•红桥区期末）计算：　　． 考点05 部分位置的元素有限制的排列问题 22．（2025春•滨海新区期末）有3名男生和2名女生站成一排拍照，其中男生甲必须站在两端，2名女生必须站在一起，则不同的站法有（　　） A．8种 B．12种 C．20种 D．24种 23．（2020春•和平区校级期末）某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在第四位，节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有（　　） A．16种 B．18种 C．24种 D．36种 24．（2024春•西青区期末）1名老师和4名获奖同学排成一排照相留念，若老师不排在两端，则共有 　　 种排法． 25．（2023春•西青区期末）某学校社团举办一年一度的“五四”青年节展演．现从《歌唱祖国》《我的未来不是梦》《爱拼才会赢》《走进新时代》这4首独唱歌曲和《光荣啊，中国共青团》《我爱你中国》这2首合唱歌曲中共选出4首歌曲安排演出，最后一首歌曲必须是合唱歌曲，则不同的安排方法共有（　　） A．14种 B．48种 C．72种 D．120种 26．（2022春•东丽区期末）某校开展“迎奥运阳光体育”活动，共设踢毽、跳绳、拔河、推火车、多人多足五个集体比赛项目，各比赛项目逐一进行．为了增强比赛的趣味性，在安排比赛顺序时，多人多足不排在第一场，拔河排在最后一场，则不同的安排方案种数为（　　） A．3 B．18 C．21 D．24 考点06 部分元素相邻的排列问题 27．（2022春•和平区校级期末）甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同的排列方式共有（　　） A．12种 B．24种 C．36种 D．48种 28．（2022春•天津期末）5个人排成一排，其中甲、乙两人必须相邻，共有　种不同排法． 考点07 部分元素不相邻的排列问题 29．（2023秋•和平区校级期末）中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”“礼”，主要指德育；“乐”，主要指美育；“射”和“御”，就是体育和劳动；“书”，指各种历史文化知识；“数”，数学．某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“乐”不排在第一节，“射”和“御”两门课程不相邻，则“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有　　种 A．408 B．120 C．156 D．240 30．（2022春•和平区校级期末）甲、乙、丙、丁、戊5位同学站成一列，甲、乙两人必有一人站最后，且甲乙两人前后不相邻，则不同的站法有 　　种（用数字作答）． 31．（2022春•滨海新区校级期末）在8所高水平的高校代表队中，选择5所高校进行航模表演．如果、为必选的高校，并且在航模表演过程中必须按先后的次序、两高校的次序可以不相邻），则可选择的不同航模表演顺序有 　　． 32．（2021春•武清区期末）有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数． （1）选5人排成一排； （2）排成前后两排，前排3人，后排4人； （3）全体排成一排，女生必须站在一起； （4）全体排成一排，男生互不相邻； （5）全体排成一排，其中甲不站最左边，也不站最右边； （6）全体排成一排，其中甲不站最左边，乙不站最右边． 33．（2025春•天津期末）2025年1月16日在灵璧县钟灵文化广场举办了灵璧县第四届青年音乐节，节目均由青年人自导自演，展现了灵璧青年的独特风采和灵璧城市的魅力．若音乐节共6个节目，其中2个是个人歌唱表演，2个是舞蹈表演，1个大合唱，1个乐器合奏，要求第一个节目不能是大合唱，两个歌唱表演节目不相邻，现确定节目顺序，则不同的排法种数为（　　） A．280 B．336 C．360 D．408 考点08 简单的组合问题 34．（2022春•天津期末）某中学从4名男生和2名女生中推荐3人参加社会公益活动，若选出的3人中既有男生又有女生，则不同的选法共有（　　） A．12种 B．16种 C．20种 D．32种 35．（2022春•天津期末）在6件产品中，有4件合格品，2件次品，每次从中任取一件检测，取后不放回，直到2件次品全被测出为止，则第二件次品恰好在第3次被测出的所有检测方法种数有（　　） A．48 B．24 C．16 D．8 36．（2022春•红桥区校级期末）在，，，四位学生中，选出两人担任正、副班长，共有选法 　　种． 考点09 分组分配问题 37．（2023春•西青区期末）“碳中和”是指通过植树造林、节能减排等形式，以抵消自身产生的二氧化碳排放量，实现二氧化碳“零排放”，某“碳中和”研究中心计划派4名专家分别到，，三地指导“碳中和”工作，每位专家只去一个地方，且每地至少派1名专家．则分派方法的种数为 　　．（用数字作答） 38．（2025春•宝坻区校级期末）甲辰龙年春节哈尔滨火爆出圈，成为春节假期旅游城市中的“顶流”．甲、乙等6名网红主播在哈尔滨的中央大街、冰雪大世界、圣索菲亚教堂、音乐长廊4个景点中选择一个打卡游玩，若每个景点至少有一个主播去打卡游玩，每位主播都会选择一个景点打卡游玩，且甲、乙都单独1人去某一个景点打卡游玩，则不同游玩方法有（　　） A．96种 B．132种 C．168种 D．204种 39．（2023春•和平区校级期末）第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，甲、乙等4名杭州亚运会志愿者到游泳、射击、体操三个场地进行志愿服务，每名志愿者只去一个场地，每个场地至少一名志愿者，若甲不去游泳场地，则不同的安排方法共有（　　） A．12种 B．18种 C．24种 D．36种 40．（2025春•和平区校级期末）甲、乙等5位大学生分配到3所单位实习，每人只能到一所单位实习，每所单位至少接收一人，则甲、乙分到同一单位的方案有 　　 种． 41．（2019秋•滨海新区期末）世界第三届无人驾驶智能大赛在天津召开，现在要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、安保、礼仪、服务四项不同工作，若小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有　　种． 42．（2025春•南开区期末）现有4名男生和3名女生计划利用假期到某地景区旅游，由于是旅游的旺季，他们在景区附近订购了一家酒店的5间风格不同的房间，并约定每个房间都要住人，每个房间最多住2人，且男女不能混住．则不同的安排方法有　　种． A．1960 B．2160 C．2520 D．2880 43．（2024春•天津期末）某学校派出4名优秀教师去边远地区的3所中学进行教学交流，每所中学至少安排1名教师，则不同的分配方法种数为 　　．（结果用数字表示） 44．（2023春•滨海新区期末）某班要从5名学生中选出若干人在星期一至星期三这3天参加志愿活动，每天只需1人，则不同的选择方法有（　　） A．10种 B．60种 C．120种 D．125种 45．（2023春•南开区校级期末）从编号为1，2，3，4，5的5个球中任取4个，放在编号为，，，的4个盒子里，每盒一球，且2号球不能放在盒中的不同的方法数是（　　） A．24 B．48 C．54 D．96 46．（2018秋•和平区校级期末）从5名男医生．4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男．女医生都有，则不同的组队方案共有　　种（数字回答）． 47．（2022春•和平区校级期末）将4名消防队员分配到3个不同社区做宣传，每个社区至少1名，则不同的分配方案有（　　） A．24种 B．36种 C．60种 D．90种 48．（2024春•天津期末）某学校选派甲，乙，丙，丁，戊共5位优秀教师分别前往，，，四所农村小学支教，用实际行动支持农村教育，其中每所小学至少去一位教师，甲，乙，丙不去小学但能去其他三所小学，丁，戊四个小学都能去，则不同的安排方案的种数是（　　） A．72 B．78 C．126 D．240 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 两个计数原理和排列组合 高频考点概览 考点 01 两个计数原理 考点 02 数字排列问题 考点 03 涂色问题 考点 04 排列数和组合数的计算 考点 05 部分位置元素有限制的排列问题 考点 06 部分元素相邻的排列问题 考点 07 部分元素不相邻的排列问题 考点 08 简单的组合问题 考点 09 分组分配问题 ( 考点01 两个计数原理 ) 1．（2025春•西青区期末）学校食堂的一个窗口共卖3种菜品，甲、乙、丙、丁4名同学每人从中选一种，则选法的可能方式共有（　　） A．种 B．种 C．种 D．种 【解答】解：学校食堂的一个窗口共卖3种菜品，甲、乙、丙、丁4名同学每人从中选一种， 则每人均有3种菜品可供选择， 所以选法的可能方式共有种． 故选：． 2．（2024春•西青区期末）某影城有一些电影新上映，其中有2部科幻片、3部文艺片、2部喜剧片，小明从中任选1部电影观看，不同的选法种数有（　　） A． B． C． D． 【解答】解：由分类加法计数原理可知，不同的选法种数有种． 故选：． 3．（2024春•南开区期末）三人踢毽子，互相传递，每人每次只能踢一下，若由甲开始踢，经过4次传递后，毽子又被踢回甲，则不同的传递方式共有（　　） A．4种 B．5种 C．6种 D．12种 【解答】解：（1）当开始甲将球传给乙时，经过4次传球后，球正好回到甲手中的传球方式有3种： 甲乙甲丙甲， 甲乙甲乙甲， 甲乙丙乙甲； （2）当开始甲将球传给丙时，经过4次传球后，球正好回到甲手中的传球方式有3种： 甲丙乙丙甲， 甲丙甲丙甲， 甲丙甲乙甲； 所以不同的传球方式有：（种． 故选：． 4．（2021春•西青区期末）从地到地要经过地，已知从地到地有三条路，从地到地有四条路，则从地到地不同的走法种数是（　　） A．7 B．9 C．12 D．16 【解答】解：根据题意，从地到地要经过地，已知从地到地有三条路，则从到有3种不同的走法， 从地到地有四条路，则从到有4种不同的走法， 则从地到地不同的走法种数有种； 故选：． 5．（2022春•南开区期末）某化工厂生产中需依次投放2种化工原料，现已知有5种原料可用，但甲、乙两种原料不能同时使用，且依次投料时，若使用甲原料，则甲必须先投放，则不同的投放方案有（　　） A．10种 B．12种 C．15种 D．16种 【解答】解：分三类，第一类选甲，先投甲，再投除甲乙之外的三种的任一种，有3种方法， 第二类，选乙，乙有两种投法，再投除甲乙之外的三种的任一种，有3种方法，共有种， 第三类，不选甲乙，除甲乙之外的三种的任二种进行投放，有种， 根据分类计数原理，共有种， 故选：． ( 考点02 数字排列问题 ) 6．（2023春•和平区期末）用数字1，2，3，4，5，6，7组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有 　个．（用数字作答） 【解答】解：根据题意，分成两类情况： ①四位数中没有偶数，即在1，3，5，7中任选4个，共有种， ②四位数中只有一个偶数，即在1，3，5，7中任选3个，在2，4，6种选一个，共有种， 故共有． 故答案为：312． 7．（2023春•天津期末）从1，2，3，4，5五个数字中，选出一个偶数和两个奇数，组成一个没有重复数字的三位数，这样的三位数共有（　　） A．24个 B．36个 C．48个 D．54个 【解答】解：先从2个偶数中选出1个，再从3个奇数中选出2个，先选后排， 共有（个． 故选：． 8．（2015春•天津期末）由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（　　） A．48个 B．52个 C．60个 D．120个 【解答】解：根据题意，分析可得，要求的三位数的个位数字必须是2、4或0， 则分2种情况讨论： 1、三位数的个位数字是2或4时， 个位数字有2种情况，0不能在百位，则百位有4种选法，十位数字也有4种选法， 则此时有种情况， 2、三位数的个位数字是0时， 在1、2、3、4、5中任取2个数，安排在百位和十位，有种情况， 则一共可以组成个三位偶数； 故选：． 9．（2022春•红桥区期末）已知数字1，2，3，4，5． （1）可以组成多少个没有重复数字的五位数； （2）可以组成多少个没有重复数字的五位偶数． 【解答】解：（1）由题意可得：将5个数进行全排列，即个； （2）先排个位数，从2，4中选一个数排在个位有：个，其余的位置即剩下的4个数进行全排列，即个， 所以可以组成个没有重复数字的五位偶数． 10．（2021春•西青区期末）从0，2，4中任取2个数字，从1，3中任取1个数字，则可以组成没有重复数字的三位数的个数为　　．（结果用数字作答） 【解答】解：根据题意，分2种情况讨论： ①从0，2，4中任取2个数字中不含0，其取法有1种，从1，3中任取1个数字，其取法有2种， 将选出的3个数字全排列，组成三位数，有种情况， 此时有个没有重复数字的三位数， ②从0，2，4中任取2个数字中含有0，其取法有2种，从1，3中任取1个数字，其取法有2种， 用选出的3个数字组成三位数，有种情况， 此时有个没有重复数字的三位数， 故有个符合题意的三位数； 故答案为：28． 11．（2021春•武清区期末）用0，1，2，3，4这5个数字组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（　　） A．24个 B．30个 C．36个 D．42个 【解答】解：由题意知本题是一个分类计数原理， 在所给的数字中，0是一个比较特殊的数字，0在末位和0不在末位结果不同， 末位是0时，十位和百位从4个元素中选两个进行排列有种结果， 当末位不是0时，只能从2和4中选一个，百位从3个元素中选一个，十位从三个中选一个共有种结果， 根据分类计数原理知共有种结果， 故选：． ( 考点0 3 涂色问题 ) 12．（2025秋•和平区校级期末）如图，用6种不同颜色对图中，，，四个区域染色，要求同一区域染同一色，相邻区域不能染同一色，允许同一颜色可以染不同区域，则不同的染色方案有 　　种． 【解答】解：依题意，首先染区域有6种选择，再染区域有5种选择， 第三步染区域有4种选择，第四步染区域也有4种选择， 根据分步乘法计数原理可知一共有种方法． 故答案为：480． 13．（2023春•南开区期末）如图所示，用4种不同的颜色涂入图中的矩形，，，中，要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂法　　 A．72种 B．48种 C．24种 D．12种 【解答】解：根据题意，首先涂有种涂法，则涂有种涂法， 与、相邻，则有种涂法， 只与相邻，则有种涂法． 所以，共有种涂法， 故选：． 14．（2021春•滨海新区期末）如图，现要用四种不同的颜色，对四边形中的四个区域进行着色，要求有公共边的两个区域不能用同一种颜色，则不同的着色方法数为　　 A．48 B．36 C．42 D．32 【解答】解：根据题意，如图，设四个区域依次为， 分2步进行分析： ①对于区域，两两互相相邻，有种涂色方法， ②区域，与区域、相邻，有2种涂色方法， 则有种涂色方法， 故选：． 15．（2025春•和平区校级期末）如图，为我国数学家赵爽验证勾股定理的示意图，用五种颜色（其中一种为黄色）对图中四个区域，，，进行染色，每个区域只能用一种染色．若必须使用黄色，则四个区域中有且只有一组相邻区域同色的染色方法有 　　种；若不使用黄色，则四个区域中所有相邻区域都不同色的染色方法有 　　种． 【解答】解：根据题意，要求四个区域，，，中有且只有一组相邻区域同色，而同色的相邻区域共有4种，不妨假设为，同色， ①若，同时染的不是黄色，则它们的染色有4种，另外两个区域一个必须染黄色，所以这两个区域共有，因此这种情况共有种染色方法． ②若，同时染黄色，则另外两个区域共有种染色方法，因此这种情况共有种染色方法； 综上可知有且只有一组相邻区域同色的染色方法的种数为种； 根据题意，因为不用黄色，则只有四种颜色可选， 分3种情况讨论： ①、若只使用了两种颜色，则两种颜色都使用了两次，且各自染在一组相对区域，所以共有种染色方法．综上可知所有相邻区域都不同色的染色方法的种数为84种． ②、若只使用了三种颜色，则必有一种颜色使用了两次，且染在相对的区域，所以一共有种染色方法； ③、若一共使用了四种颜色，则共有种染色方法； 故答案为：144；84． 16．（2025春•红花岗区校级期末）如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻地区不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有 　　 种．（以数字作答） 【解答】解：按照使用颜色的种类分类， 第一类：使用了4种颜色，2，4同色或3，5同色，则共有种， 第二类：使用了3种颜色，2，4同色且3，5同色，则共有种， 所以共有种． 故答案为：72． ( 考点0 4 排列数和组合数的计算 ) 17．（2022春•天津期末）已知，则的值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【解答】解：，即，解得． 故选：． 18．（2023春•和平区校级期末）若，则　　． 【解答】解：， 则，解得， 故． 故答案为：6． 19．（2022春•红桥区期末）计算：　　． 【解答】解：． 故答案为：10． 20．（2021春•天津期末）（　　） A．30 B．35 C．70 D．210 【解答】解：， 故选：． 21．（2021春•红桥区期末）计算：　　． 【解答】解：． 故答案为：6． ( 考点0 5 部分位置的元素有限制的排列问题 ) 22．（2025春•滨海新区期末）有3名男生和2名女生站成一排拍照，其中男生甲必须站在两端，2名女生必须站在一起，则不同的站法有（　　） A．8种 B．12种 C．20种 D．24种 【解答】解：有3名男生和2名女生站成一排拍照，其中男生甲必须站在两端，2名女生必须站在一起， 则不同的站法有种． 故选：． 23．（2020春•和平区校级期末）某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在第四位，节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有（　　） A．16种 B．18种 C．24种 D．36种 【解答】解：由题意知，甲丙的位置固定，先排乙，再把剩余的节目全排列， 故台晚会节目演出顺序的编排方案共有有种． 故选：． 24．（2024春•西青区期末）1名老师和4名获奖同学排成一排照相留念，若老师不排在两端，则共有 　　 种排法． 【解答】解：第一步：先从4名同学中选2人排在两端，有种排法， 第二步：剩余3人（包括老师）在中间的3个位置任意排列，有种排法． 根据分步乘法计数原理，所有的排法有：种． 故答案为：72． 25．（2023春•西青区期末）某学校社团举办一年一度的“五四”青年节展演．现从《歌唱祖国》《我的未来不是梦》《爱拼才会赢》《走进新时代》这4首独唱歌曲和《光荣啊，中国共青团》《我爱你中国》这2首合唱歌曲中共选出4首歌曲安排演出，最后一首歌曲必须是合唱歌曲，则不同的安排方法共有（　　） A．14种 B．48种 C．72种 D．120种 【解答】解：先排最后一首歌有，然后从剩余5个歌曲中，选3个进行排列，则共有种． 故选：． 26．（2022春•东丽区期末）某校开展“迎奥运阳光体育”活动，共设踢毽、跳绳、拔河、推火车、多人多足五个集体比赛项目，各比赛项目逐一进行．为了增强比赛的趣味性，在安排比赛顺序时，多人多足不排在第一场，拔河排在最后一场，则不同的安排方案种数为（　　） A．3 B．18 C．21 D．24 【解答】解：根据题意，多人多足不排在第一场，拔河排在最后一场， 则“多人多足”有3种安排方法， 将踢毽、跳绳、推火车安排在剩下的3个位置，有种安排方法， 则有种安排方法； 故选：． ( 考点0 6 部分元素相邻的排列问题 ) 27．（2022春•和平区校级期末）甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同的排列方式共有（　　） A．12种 B．24种 C．36种 D．48种 【解答】解：把丙和丁捆绑在一起，4个人任意排列，有种情况， 甲站在两端的情况有种情况， 甲不站在两端，丙和丁相邻的不同排列方式有种， 故选：． 28．（2022春•天津期末）5个人排成一排，其中甲、乙两人必须相邻，共有　种不同排法． 【解答】解：根据题意，分2步进行分析： ①，将甲乙看成一个整体，考虑2人之间的顺序，有种情况， ②，将2人与其他三人全排列，有种情况， 则有种不同的排法； 故答案为：48， ( 考点0 7 部分元素不相邻的排列问题 ) 29．（2023秋•和平区校级期末）中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”“礼”，主要指德育；“乐”，主要指美育；“射”和“御”，就是体育和劳动；“书”，指各种历史文化知识；“数”，数学．某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“乐”不排在第一节，“射”和“御”两门课程不相邻，则“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有　　种 A．408 B．120 C．156 D．240 【解答】解：根据题意，将6门课程全排列，有种情况， 其中“乐”排在第一节的排法有种，“射”和“御”两门课程相邻的排法有种， “乐”排在第一节并且“射”和“御”两门课程相邻的排法有种， 则有种符合题意的排课顺序； 故选：． 30．（2022春•和平区校级期末）甲、乙、丙、丁、戊5位同学站成一列，甲、乙两人必有一人站最后，且甲乙两人前后不相邻，则不同的站法有 　　种（用数字作答）． 【解答】解：由题意，甲乙两人中有一人站最后，另一人在前三个位子中任意选一个位置． 故甲乙两人的站法有种，剩下三人再排队有种情况． 故不同的站法有种． 故答案为：36． 31．（2022春•滨海新区校级期末）在8所高水平的高校代表队中，选择5所高校进行航模表演．如果、为必选的高校，并且在航模表演过程中必须按先后的次序、两高校的次序可以不相邻），则可选择的不同航模表演顺序有 　　． 【解答】解：根据题意，先在其他6所高校中任选3所，与全排列，有种顺序， 又由先后和先后的情况一样，则有种不同航模表演顺序， 故答案为：1200． 32．（2021春•武清区期末）有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数． （1）选5人排成一排； （2）排成前后两排，前排3人，后排4人； （3）全体排成一排，女生必须站在一起； （4）全体排成一排，男生互不相邻； （5）全体排成一排，其中甲不站最左边，也不站最右边； （6）全体排成一排，其中甲不站最左边，乙不站最右边． 【解答】解：（1）根据题意，有3名男生、4名女生，共7人，从中选出5人排成一排，有种排法； （2）根据题意，前排3人，有种排法，后排4人，有种排法， 则有种排法； （3）根据题意，将4名女生看成一个整体，有种排法， 将这个整体与3名男生全排列，有种排法， 则有种排法； （4）根据题意，先排4名女生，有种排法， 排好后有5个空位，在5个人空位中任选3个，安排3名男生，有种排法， 则有种排法； （5）根据题意，甲不站排头也不站排尾，有5种情况， 将剩下的6人全排列，有种排法， 则有种排法； （6）根据题意，分2种情况讨论： ①，甲排在最右边，则乙有6个位置可选，将剩下的5人全排列，安排在其他5个位置， 此时有种排法； ②，甲不排在最右边，则乙有5个位置可选，将剩下的5人全排列，安排在其他5个位置， 此时有种排法； 则一共有种不同的排法． 33．（2025春•天津期末）2025年1月16日在灵璧县钟灵文化广场举办了灵璧县第四届青年音乐节，节目均由青年人自导自演，展现了灵璧青年的独特风采和灵璧城市的魅力．若音乐节共6个节目，其中2个是个人歌唱表演，2个是舞蹈表演，1个大合唱，1个乐器合奏，要求第一个节目不能是大合唱，两个歌唱表演节目不相邻，现确定节目顺序，则不同的排法种数为（　　） A．280 B．336 C．360 D．408 【解答】解：若音乐节共6个节目，其中2个是个人歌唱表演，2个是舞蹈表演，1个大合唱，1个乐器合奏， 要求第一个节目不能是大合唱，两个歌唱表演节目不相邻， 第一个节目不排大合唱，共有种不同的排法， 第一个节目不排大合唱且两个歌唱节目相邻共种， 所以第一个节目不排大合唱且两个歌唱节目不相邻共有种排法． 故选：． ( 考点0 8 简单的组合问题 ) 34．（2022春•天津期末）某中学从4名男生和2名女生中推荐3人参加社会公益活动，若选出的3人中既有男生又有女生，则不同的选法共有（　　） A．12种 B．16种 C．20种 D．32种 【解答】解：这3人中既有男生又有女生，包括2男1女和1男2女两种情况． 若3人中有2男1女，则不同的选法共有 种， 若3人中有1男2女，则不同的选法共有种， 根据分类计数原理，所有的不同的选法共有 种， 故选：． 35．（2022春•天津期末）在6件产品中，有4件合格品，2件次品，每次从中任取一件检测，取后不放回，直到2件次品全被测出为止，则第二件次品恰好在第3次被测出的所有检测方法种数有（　　） A．48 B．24 C．16 D．8 【解答】解：由题意可知：前面两次检测取到的是一件合格品，一件次品，第三次又是次品， 所以，第二件次品恰好在第3次被测出的所有检测方法种数为种， 故选：． 36．（2022春•红桥区校级期末）在，，，四位学生中，选出两人担任正、副班长，共有选法 　12　种． 【解答】解：先从，，，四位学生中，选出两人共种，再安排正、副班长，共2种，故共有种选法． 故答案为：12． ( 考点0 9 分组分配问题 ) 37．（2023春•西青区期末）“碳中和”是指通过植树造林、节能减排等形式，以抵消自身产生的二氧化碳排放量，实现二氧化碳“零排放”，某“碳中和”研究中心计划派4名专家分别到，，三地指导“碳中和”工作，每位专家只去一个地方，且每地至少派1名专家．则分派方法的种数为 　　．（用数字作答） 【解答】解：4人选2人1组，有种，然后进行全排列有种， 故答案为：36． 38．（2025春•宝坻区校级期末）甲辰龙年春节哈尔滨火爆出圈，成为春节假期旅游城市中的“顶流”．甲、乙等6名网红主播在哈尔滨的中央大街、冰雪大世界、圣索菲亚教堂、音乐长廊4个景点中选择一个打卡游玩，若每个景点至少有一个主播去打卡游玩，每位主播都会选择一个景点打卡游玩，且甲、乙都单独1人去某一个景点打卡游玩，则不同游玩方法有（　　） A．96种 B．132种 C．168种 D．204种 【解答】解：根据题意，甲、乙都单独1人去某一个景点打卡游玩， 则剩下的4人去其他的两个景点游玩，则其余4位主播有两种情况： ①3位主播去一个景点，1位主播去另外一个景点，有种不同游玩方法， ②分别都是2位主播去一个景点，种不同游玩方法， 则不同游玩方法种． 故选：． 39．（2023春•和平区校级期末）第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，甲、乙等4名杭州亚运会志愿者到游泳、射击、体操三个场地进行志愿服务，每名志愿者只去一个场地，每个场地至少一名志愿者，若甲不去游泳场地，则不同的安排方法共有（　　） A．12种 B．18种 C．24种 D．36种 【解答】解：①游泳场地安排2人，则不同的安排方法有种， ②游泳场地只安排1人，则不同的安排方法有种， 所以不同的安排方法有种． 故选：． 40．（2025春•和平区校级期末）甲、乙等5位大学生分配到3所单位实习，每人只能到一所单位实习，每所单位至少接收一人，则甲、乙分到同一单位的方案有 　　 种． 【解答】解：由题意可知，甲、乙分到同一单位的方案中3所单位的人数有3，1，1和2，2，1两种可能， ①在3，1，1方案中，包含甲乙在内的3人到一所学校，另外两人各到一所学校，有种方案； ②在2，2，1方案中，甲乙去一所学校，其余3人中的1人去一所学校，剩余2人去另一所学校，有种方案， 因此，所有的分配方案共有种． 故答案为：36． 41．（2019秋•滨海新区期末）世界第三届无人驾驶智能大赛在天津召开，现在要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、安保、礼仪、服务四项不同工作，若小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有　　种． 【解答】解：由题意知本题需要分类， 若小张或小赵只有一人入选，则有选法； 若小张、小赵都入选，则有选法， 根据分类计数原理知共有选法种． 故答案为：36． 42．（2025春•南开区期末）现有4名男生和3名女生计划利用假期到某地景区旅游，由于是旅游的旺季，他们在景区附近订购了一家酒店的5间风格不同的房间，并约定每个房间都要住人，每个房间最多住2人，且男女不能混住．则不同的安排方法有　　种． A．1960 B．2160 C．2520 D．2880 【解答】解：若3名女生住2个房间，则4名男生其中有两人住一个房间，则不同的方法种数为， 若3名女生住3个房间，则4名男生每两人住一个房间，则不同的方法种数为， 则不同的安排方法有种． 故选：． 43．（2024春•天津期末）某学校派出4名优秀教师去边远地区的3所中学进行教学交流，每所中学至少安排1名教师，则不同的分配方法种数为 　　．（结果用数字表示） 【解答】解：从4名优秀教师中任选两名看作一个元素，与另外两名教师构成三个元素，分配到边远地区的3所中学，共有种． 故答案为：36． 44．（2023春•滨海新区期末）某班要从5名学生中选出若干人在星期一至星期三这3天参加志愿活动，每天只需1人，则不同的选择方法有（　　） A．10种 B．60种 C．120种 D．125种 【解答】解：5名学生中选出1人在星期一至星期三这3天参加志愿活动，共有种； 5名学生中选出2人在星期一至星期三这3天参加志愿活动，共有种； 5名学生中选出3人在星期一至星期三这3天参加志愿活动，共有种； 所以，不同的选择方法有：种． 故选：． 45．（2023春•南开区校级期末）从编号为1，2，3，4，5的5个球中任取4个，放在编号为，，，的4个盒子里，每盒一球，且2号球不能放在盒中的不同的方法数是（　　） A．24 B．48 C．54 D．96 【解答】解：先在编号为1，3，4，5的4个球中任取1个放在盒中， 再将余下的3个球与2号球放在一起，从中选3个球放在编号为 ，，的3个盒子中，每盒一球，即可完成题目要求． 则符合题给要求的不同的方法数为． 故选：． 46．（2018秋•和平区校级期末）从5名男医生．4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男．女医生都有，则不同的组队方案共有　　种（数字回答）． 【解答】解：直接法：一男两女，有种， 两男一女，有种，共计70种 间接法：任意选取种，其中都是男医生有种， 都是女医生有种，于是符合条件的有种． 故答案为：70． 47．（2022春•和平区校级期末）将4名消防队员分配到3个不同社区做宣传，每个社区至少1名，则不同的分配方案有（　　） A．24种 B．36种 C．60种 D．90种 【解答】解：将4个消防员分配到三个社区，则其中一个社区分两名消防员，另外两个社区分别分一名消防员． 故先从4个消防员中选2人去其中一个小区共有种， 然后剩下两名消防员分别去一个小区共有种， 根据分步乘法原理得：种． 故选：． 48．（2024春•天津期末）某学校选派甲，乙，丙，丁，戊共5位优秀教师分别前往，，，四所农村小学支教，用实际行动支持农村教育，其中每所小学至少去一位教师，甲，乙，丙不去小学但能去其他三所小学，丁，戊四个小学都能去，则不同的安排方案的种数是（　　） A．72 B．78 C．126 D．240 【解答】解：要求每所小学至少去一位教师，则需要将5人分成4组， 则①甲，乙，丙中有2位教师去同一所学校有： 种情况， ②甲，乙，丙中有1位教师与丁或戊去同一所学校有： 种情况， ③丁，戊两人选择同一所学校有：种情况， 所以满足题意的情况为：． 故选：． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $