精品解析：2026年北京市西城区九年级中考二模数学试题

北京市西城区九年级模拟测试试卷 数学 考 生 须 知 1．本试卷共7页，共两部分，28道题．满分100分．考试时间120分钟． 2．在试卷和草稿纸上准确填写姓名、准考证号、考场号和座位号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回． 第一部分 选择题 一、选择题（共16分，每题2分） 第1－8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. “鼓之舞之”是“鼓舞”一词的重要源头和雏形．如图是喜庆集会时所击的鼓的立体图形，则这个图形的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵该几何体是中间粗、两头细的鼓， ∴从正面看，其轮廓上下为水平线段，左右为向外凸出的曲线， 观察选项，只有A选项符合题意． 2. 2025年中国科研团队成功研制出全球首款“破晓”半导体电荷存储器，把存储速度推向了新高度．已知传统存储器每秒最多可以擦写1000次，“破晓”半导体电荷存储器的擦写速度约为传统存储器擦写速度的倍，则“破晓”半导体电荷存储器的擦写速度每秒最多约为（ ） A. 次 B. 次 C. 次 D. 次 【答案】C 【解析】 【分析】先将传统存储器的擦写次数转化为科学记数法形式，再列式即可计算出“破晓”存储器的擦写速度． 【详解】解：依题意，． 3. 如图，直线与直线相交于点，，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先结合对顶角相等得，再结合，得，最后把数值代入计算，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 4. 在一个不透明的袋子里有1个红球，2个黄球，1个白球，这些球除颜色外无其他差别．从这个袋子中随机摸出两个球，那么摸出的两个球恰好都是黄球的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】列表得出所有等可能的结果数以及摸出的两个球恰好都是黄球的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：列表如下： 红 白 黄 黄 红 （红，白） （红，黄） （红，黄） 白 （白，红） （白，黄） （白，黄） 黄 （黄，红） （黄，白） （黄，黄） 黄 （黄，红） （黄，白） （黄，黄） 共有12种等可能的结果，其中摸出的两个球恰好都是黄球的结果有2种， ∴摸出的两个球恰好都是黄球的概率是． 5. 若一个正多边形的内角和为，则这个正多边形的一个外角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据多边形内角和公式求出边数，再根据外角和定理求出一个外角的度数即可；本题主要考查了多边形的内角和公式与外角和定理，熟练掌握多边形内角和公式和外角和定理是解题的关键． 【详解】解：设正多边形的边数为， ∴， 解得， 又∵多边形的外角和为， ∴一个外角的度数为． 故选：B． 6. 实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先理解题意，结合数轴得出，且，再得出，，，最后与每个选项的式子进行分析，即可作答． 【详解】解：观察数轴的信息，得出，且， ∴，， ∴ ∴A选项中的是错误的，不符合题意； ∴B选项中的是错误的，不符合题意； ∴C选项中的是错误的，不符合题意； ∴D选项中的是正确的，符合题意； 7. 如图，点C，D，E在线段上，且．分别以点A，B为圆心，长为半径画弧，两弧在线段的上方交于点，则点与的距离是（ ） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】先理解题意，补充图形，得结合等腰三角形的性质，得，再运用勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】解：依题意，如图所示： 依题意， ∴ 依题意，， ∴， ∵ ∴（等腰三角形的三线合一）， ∴． 8. 如图，在平面直角坐标系中，正六边形是以点为中心的正六边形，点在正六边形的边上，且点在第一象限．若，给出下面四个结论：（ ） ①线段的最大值为2； ②若点关于原点的对称点为，则当时，的面积取得最小值； ③若点在反比例函数的图象上，则； ④若在该六边形的边上，且，则与之间的数量关系是． 上述结论中，所有正确结论的序号是（） A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④ 【答案】B 【解析】 【分析】根据正六边形的性质求出各顶点坐标，结合图形性质逐一判断：①结合顶点坐标与外接圆特征，判断的最大值；②利用三角形面积公式和平行线性质，分析面积取最小值的条件；③结合反比例函数k的几何意义与点B的坐标，确定k的取值范围；④借助等腰三角形性质与轴对称性，推导a、c的数量关系． 【详解】①∵正六边形以原点为中心，外接圆半径为， 正六边形边上任意一点到中心的距离，最大值等于外接圆半径． ∴点在顶点处时，，即线段的最大值为． 故此结论正确． ②∵点、关于原点对称， ∴为线段的中点，可得． 由已知得，直线解析式为， 直线解析式为，故． 根据平行线性质，上所有点到直线的距离为定值，因此在上时，大小不变． 当点在边上时，到直线的距离可以不断减小，当与点重合时，距离为，此时取得最小值． 当时，点落在边中点，此时三角形面积为定值，并非最小值． 故此结论错误． ③∵点在反比例函数的图象上， 由反比例函数性质可得． 点在正六边形第一象限的边上，当与顶点重合时， ，即可以取到． 因此的取值范围是，与题干不符． 故此结论错误． 综上所述：正确结论的序号是①④． 第二部分 非选择题 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 若代数式有意义，则实数的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式有意义的条件，即分母不能为零，熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键；因此此题可根据分式有意义的条件进行求解即可． 【详解】解：因为代数式有意义，所以分母，解得； 故答案为． 10. 分解因式：____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解．先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 11. 方程的解为________． 【答案】 【解析】 【分析】将分式方程去分母转化为一元一次方程，求解后检验得到原方程的解． 【详解】解：∵， ∴去分母得 ， 移项，合并同类项，得 ， 解得 ， 检验：当时， ， ∴原分式方程的解是． 12. 若是一个大于2且小于3的无理数，则的值可以是________．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】先计算2和3的平方，再找出被开方数介于两个平方数之间的开方开不尽的数，即可得到符合要求的无理数． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵是无理数，且， ∴的值可以是（答案不唯一）． 13. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值是________． 【答案】 【解析】 【详解】解：方程 是关于的一元二次方程，且有两个相等的实数根， ∴且， 解得． 14. 北京的生活垃圾分类已进入全面实施、常态化运行的阶段．某社区共有1200户居民，为了解该社区居民对垃圾分类的了解程度，社区居委会从中选取100户居民进行问卷调查，结果整理如下： 了解程度 非常了解 了解 一般了解 不了解 完全不了解 户数/户 60 30 6 3 1 根据以上信息，估计该社区1200户居民对垃圾分类“非常了解”的户数是________户． 【答案】 【解析】 【分析】先求出样本中“非常了解”的居民户数占样本的频率，再用总体总户数乘以该频率，得到总体中“非常了解”户数的估计值． 【详解】解：由题意得，样本中“非常了解”的频率为：， 估计该社区1200户居民中“非常了解”的户数为：． 15. 如图，在矩形中，过点作对角线的垂线交于点，交于点．若，，则的面积为________． 【答案】## 【解析】 【分析】首先根据矩形性质和垂直定义证明，求出的长，然后在中利用勾股定理求出，再利用相似三角形性质求出的长，最后在中，利用勾股定理求出，利用三角形面积公式求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中， ， .∵，， ∴， ∴， ∴， 在中， ， ∴． 16. 某商店共有种不同型号的口罩，每种型号的口罩都有红、白、蓝三种颜色，每种型号的红色口罩价格均为每包50元，白色口罩价格均为每包元，蓝色口罩价格均为每包元（，且，均为整数）．甲、乙、丙三家公司各买一包每种型号的口罩，且对于同种型号的口罩，三家公司选择的颜色各不相同．结账时，甲、乙各自花费了1200元，丙花费了1400元． （1）若，，则的值为________； （2）若丙购买的口罩包含三种颜色，则丙用于购买白色和蓝色的口罩最多一共花费________元． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据题意，三家总花费等于所有口罩的总价，可得核心等式 ，结合的取值范围分析求解，第一问直接代入计算即可，第二问根据丙包含三种颜色的条件，将所求目标转化为找最小的正整数，结合整数性质验证得到最大值． 【详解】解：由题意，每个型号的三种颜色被甲、乙、丙各购买一包，因此所有口罩总售价等于三家总花费，即． （1）将，代入等式得：， 解得． （2）由，且为整数，可得：， ∵是正整数， ∴，即，， 设丙购买红色口罩包，白色口罩包，蓝色口罩包， 由题意得：，且，均为正整数， ∴， ∴要使最大，需取最小的，即， 当时，，即， 将，代入得， 将代入得， ∴， ∵为正整数， ∴须为偶数， ∴须是奇数， ∴，或， ∵， ∴， ∴， 当时，，此时，则，均为正整数，满足条件，此时（元）； ∴丙用于购买白色和蓝色的口罩最多一共花费1350元． 三、解答题（共68分，第17-19题每题5分，第20-21题每题6分，第22-23题每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题每题7分） 解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 18. 解不等式组： 【答案】 【解析】 【分析】先分别解出每个不等式的解集，再得出不等式组的解集，即可作答． 【详解】解：∵， ∴由得， ∴由得， ∴不等式组的解集为． 19. 已知且，求代数式的值． 【答案】 【解析】 【分析】首先把分式化简，可得：原式，根据，可得：，把代入化简后的代数式求值即可． 【详解】解： ， ， ， 原式． 20. 如图，在中，，是的中点，连接，过点作交的平行线于点． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）首先根据，再结合、，可推出，依据平行四边形判定定理即可证明． （2）首先利用平行四边形的性质，得到，结合是中点的条件，求出；再根据，在中利用正切的定义求出，得。由勾股定理求得 ，最后用勾股定理计算的长． 【小问1详解】 证明：∵ ，， ∴ ， ∴ ， 即 ． 又 ， ∴四边形是平行四边形． 【小问2详解】 解：∵ 四边形是平行四边形， ．  ∵D是中点， ． ∵在中，， 即 ， ∴ ． ∵在中， ， 代入，， 得  ， 解得 （边长为正，舍去负根）， ∴ 在中，由勾股定理： ． 21. 某研学小组计划在暑假期间参加“非遗传承，研学之旅”活动．已知该活动有画糖人和剪纸两个体验项目，据了解体验2次画糖人的费用比1次剪纸的费用多10元，体验4次画糖人的费用和3次剪纸的费用相同．若体验画糖人的总次数是5人次，剪纸总次数是4人次，且用于这次活动的总预算为150元，请判断这个费用是否够用，并说明理由． 【答案】这个费用不够用 【解析】 【分析】先设体验1次画糖人的费用为元，体验1次剪纸的费用为元，根据题干给出的等量关系列出二元一次方程组，求解得到单次费用后，计算本次活动所需总费用，再与总预算150元比较大小，即可得出结论． 【详解】解：设体验1次画糖人的费用为元，体验1次剪纸的费用为元， 根据题意可得方程组， 解得， ∴所需总费用：（元）， 用于这次活动的总预算为150元，且 这个费用不够用． 22. 在平面直角坐标系中，函数的图象是由函数的图象平移得到，且经过点． （1）求，的值； （2）当时，对于的每一个值，函数的值小于函数的值，且大于函数的值，直接写出的取值范围． 【答案】（1）， （2）且 【解析】 【分析】（1）根据平移的性质可知，把点的坐标代入，即可求出； （2）由（1）可知函数的解析式为，由当时，可得：；当时，可得：，所以的取值范围为. 【小问1详解】 解：函数的图象是由函数的图象平移得到， ， 一次函数的解析式是， 把点的坐标代入， 可得：， 解得：； 【小问2详解】 解：由（1）可知函数的解析式为， ， ， 当时，， 可得：， 时，函数的值小于函数的值恒成立， 当时，函数的关系式为， 当时，恒成立， 当时，， 可得：， 不成立， 函数的值小于函数时，； 当时， 整理可得：， 当，即时， 可得：， ， ， 解得：， 当，即时， 可得：， 时，成立， 当时， 可得：， 不成立； 综上所述，且． 23. 某学校为了调查该校学生早上从家到校所需的时长，从中随机抽查了100名学生，记录了他们早上从家到校的时长（单位：分钟）（整数），并对这100个数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．100个数据频数分布直方图（数据分成5组：，，，，） b．时长在这一组的是： 20 20 21 21 23 23 23 24 24 24 25 25 25 26 26 26 26 27 27 27 27 27 28 28 28 29 29 29 29 29 （1）的值为________，100个数据的中位数是________，平均数约为________（用各组的组中值代表各组的数据）； （2）从中随机选取15个数据分成A，B，C三组，每组5个数据，信息如下： A组 15 15 15 17 B组 14 15 16 16 18 C组 13 17 18 18 19 已知A组与B组的平均数相等． ①的值为________； ②学校从A，B，C三组中选出一组到校从事晨检工作，要求：先比较平均数，平均数较小的组排序靠前；若平均数相等，再比较方差，方差较小的组排序靠前．在A，B，C三组的排序中，排序最靠前的是________组． 【答案】（1）14；22；； （2）①17；②A． 【解析】 【分析】（1）用100减去各组数据即可求得m，根据中位数的定义和平均数的定义求解即可； （2）根据平均数和方差的计算公式计算后再比较即可． 【小问1详解】 解： 100个数据的中位数为第和位的平均数， ∵，， ∴100个数据的中位数为， ； 【小问2详解】 解：①， ， ， 解得； ②， ， ∴排序最靠前的是A组． 24. 如图，是的直径，点C，D在上，过点作直线分别交和的延长线于点E，F，且．连接，． （1）求证：是的切线； （2）过点作于点，交延长线于点，若，，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，，先由圆周角定理得，由得，由得，即可得，可证，进而得即，结合是的半径即可证明； （2）先的半径是2，设，则，，在中利用勾股定理列方程求解可得、，通过“三个角是直角的四边形是矩形”证得四边形是矩形求出，进而得，设，用含的式子表示、，由得，利用相似比列方程求解即可． 【小问1详解】 解：如图，连接，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵是的半径， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：如图，过点作于点，交延长线于点， ∵是的直径，， ∴半径， 设，则，， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得或（舍去）， ∴，， ∵，， ∴， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 设，则，， ∵， ∴， ∴，即， 解得，即． 25. 某芯片公司设计了两个方案用以提升某类芯片的产量和性能．将第批次芯片按方案一和方案二生产、优化后的成品率（合格芯片占比）分别记为和，对于给定的方案，可以认为是的函数．部分数据如下： 1 2 3 4 5 6 7 8 … 70 78 84 88 90 91 92 93 … 74 81 87 91 95 97 98 … 对于方案二，从第二批次起，每一批次比前一批次增加的成品率逐渐减少或保持不变．对于给定的方案，在平面直角坐标系中描出各数对所对应的点，并根据变化趋势用平滑曲线连接，得到曲线和，曲线如图所示． （1）当整数的值为________时，按方案一优化后的成品率首次超过； （2）写出表中的值（为整数），并在给出的平面直角坐标系中画出曲线； （3）按方案一和方案二生产、优化每个批次的芯片用时分别是2天和3天，且每批次芯片只按一种方案生产、优化，将成品率不低于的批次称为合格批次． ①根据上述函数关系，该公司最早在第________天（整数）开始生产合格批次的芯片； ②公司采用方案二对此类芯片生产、优化了18天时，接到客户订单，预定20个合格批次的芯片，并要求按一种方案生产，则它接到通知后最快经过________天（整数）完成这个订单． 【答案】（1）4 （2）93，图见解析 （3）①10；②48 【解析】 【分析】（1）直接根据表格中的数据进行作答即可； （2）根据从第二批次起，每一批次比前一批次增加的成品率逐渐减少或保持不变，求出的值，描点，连线画出函数图象即可； （3）①根据按方案一和方案二生产、优化每个批次的芯片用时分别是2天和3天，结合表格数据，求出两个方案最早开始生产合格批次的芯片的天数，比较大小即可；②分别求出两种方案所需天数，比较大小即可. 【小问1详解】 解：由表格可知：当时，；当时，； 故当整数的值为4时，按方案一优化后的成品率首次超过； 【小问2详解】 解：∵对于方案二，从第二批次起，每一批次比前一批次增加的成品率逐渐减少或保持不变， ∴， ∴， 描点，连线，画出函数图象如图： 【小问3详解】 解：①按照方案一，由表格数据可知，当时，， 按照方案二，由表格数据可知，当时，， 又∵按方案一和方案二生产、优化每个批次的芯片用时分别是2天和3天， ∴按照方案一最早在第天（整数）开始生产合格批次的芯片； 按照方案二，最早在第天（整数）开始生产合格批次的芯片； ∵， 故该公司最早在第10天（整数）开始生产合格批次的芯片； ②若选方案一：前4个批次不合格，共需要生产个批次，总用时天； 若选方案二：公司采用方案二对此类芯片生产、优化了18天时，此时，， 已经可以生产合格的批次，故总用时天；  ∵， ∴最快经过天（整数）完成这个订单． 26. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点（点在点的左边），与轴交于点． （1）当时，求的长； （2）过点作轴的垂线交该抛物线于点，交直线于点．当点从点出发沿轴的某个方向运动时，若的长度逐渐增大，且点与点的距离随长度的增大先变小后变大，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将代入A、B的横坐标表达式，得到两点具体坐标，根据x轴上两点距离公式计算长度； （2）先求抛物线与y轴交点D的坐标，再结合点B坐标，用待定系数法得到直线的表达式，根据点E的横坐标t，分别代入抛物线和直线解析式得到M、N的纵坐标，作差得到关于t的函数表达式，结合点B的坐标，确定当长度逐渐增大时t的取值范围，关于t的函数为二次函数，进而求解a的取值范围． 【小问1详解】 解：由题意可得，， 令，， 解得，， ∵， ∴， ∴，， ∴． 【小问2详解】 抛物线与轴交点， 且由（1）得，，， ∴解析式为， ∵， ∴，， ∴， ∴， ①当时，即， 此时点在左侧， ∵点从出发，沿某个方向运动时，逐渐增大， ∴点向右侧运动时，满足逐渐增大， ∴， 且关于的函数图像如图所示： ∴当时，随的增大而增大，不合题意，舍去； ②当时，即， 此时点在右侧， ∵点从出发，沿某个方向运动时，逐渐增大， ∴点向左侧运动时，满足逐渐增大， ∴， 且关于的函数图像如图所示： ∴对称轴为， ∵随的增大先变小后增大， ∴， 解得， 综上所述，的取值范围是． 27. 在中，，，为延长线上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段． （1）如图1，当点在上时，求证：点是的中点； （2）如图2，当点在下方时，点在上，若，用等式表示，与之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据等边对等角得到，根据三角形外角的性质得到，根据旋转的性质得到，，根据等边对等角得到，进而得到，可知，即可证明点是的中点； （2）延长至G，使得，连接，，证明，得到，进而求出，根据三角形外角的性质得到，根据三角形内角和得到，可知，即，可知，则． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴， ∴ ∵将线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即点是的中点； 【小问2详解】 解：，证明如下： 如图，延长至G，使得，连接，， ∵将线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∵， ∴， ∴． 28. 在平面直角坐标系中，对于半径为1的和它的一条弦，若点满足是以为腰的等腰三角形，且劣弧上的所有点均在上及其内部，则称点为弦的关联点． （1）已知点，，，则在的弦，，中，存在关联点的弦是________； （2）直线：与轴，轴交于点，，若线段上存在的某条长度为的弦的关联点，直接写出的取值范围； （3）是的一条弦，，点是的中点，若直线上有且仅有两个弦的关联点，直接写出点的纵坐标的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）首先明确“关联点”P需满足两个条件：① 是以()为腰的等腰三角形；② 劣弧上的所有点都在上或内部（即劣弧AB被包含在内）．条件②实际上限制了∠AOB（圆心角）的大小，当圆心角小于等于，即弦长小于等于时，的弦存在关联点．再根据坐标计算、、即可判断； （2）确定轨迹：由（1）可知，长度为的弦，其关联点P到圆心距离的最大值和最小值，根据圆旋转不变性得出长度为的弦的关联点在以为圆心，以、为半径的圆环上，再根据直线与圆的位置关系寻找b的取值范围，需考虑线段与轨迹圆相切或过端点的临界状态．最小值：当线段经过轨迹区域的最低点时，最大值：当直线与圆环相切时，利用圆心到直线的距离等于半径求解． （3）根据“关联点”的存在性，可得当到直线的距离小于1时，直线存在两个点满足，但满足关联点在位于过点的切线上或与圆不同侧，故以的等腰三角形在的关联点若存在，则只有一个，再分情况讨论，根据临界位置确定得出点的纵坐标的取值范围． 【小问1详解】 解：如图解，设以为腰的等腰中，， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， ∵劣弧上的所有点均在上及其内部， ∴，， ∵， ∴，， ∴，即， ∴， ∴， 当，，则， ∴当圆心角小于等于，即弦长小于等于时，的弦存在关联点， ∵点，，， ∴，故存在关联点， ，故存在关联点， ，故弦不存在关联点； 综上：存在关联点的弦为． 【小问2详解】 解：如图解，是长为的弦，过、作的切线，分别以、为圆心，为半径画弧，分别交两条切线于、、、， ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵是切线， ∴，， 结合（1）和辅助线作法可知：的关联点在、， 当在位置时，，此时取最大值， ∴， ∴， ∴， ∴的最大值为， 当时，取最小值，最小值为， 根据圆的旋转不变性可知，长度为的弦的关联点在以为圆心，以、为半径的圆环上，如图解图所示 ∵直线， 令，得；令，得，解得：； ∴，， ∴， 当直线经过内环与轴的交点时，取最小值，此时，得； 当直线与外环（外环半径）相切时， 取最大值， 设切点坐标为，切点到的距离为． 整理得， ∴方程有相等的实数根，即， 整理得：，解得；(负值不合题意已经舍去) 综上：． 【小问3详解】 解：∵与相切，设切点为，弦在直线上的关联点为， ∴，， 连接、， ∵， ∴为等边三角形， 结合（1）可知：当到直线的距离小于1时，直线存在两个点满足，但满足关联点在位于过点的切线上或与圆不同侧，故以的等腰三角形在的关联点若存在，则只有一个，或在轴下方时，即到直线距离大于1，直线上不存在关联点， 同理，以的等腰三角形在的关联点若存在也只有一个， ①当、位于轴两侧时，在不存在关联点， ②当在时，即与点重合时，直线上有且仅有两个弦的关联点，如解所示： 又∵是等边三角形， ∴点横坐标为，点纵坐标为， ∴此时点， ∴此时， ∴点的纵坐标为， ③当向下移动，到达时，此时到直线距离为1，此时到直线距离小于1，直线上有且仅有两个弦的关联点，如解所示： ∵是等边三角形，此时 ∴点的横坐标为，点的纵坐标为， ∴点，的中点， ∴此时点的纵坐标为， ④当向下移动过程中是等边三角形时，即， 此时以为腰，以或为顶点的等腰三角形的关联点点重合，即此时只有一个关联点；如解所示： ∵， ∴四边形是菱形， ∴此时点为的中点， ∴点到直线的距离为， ∴点的纵坐标为，即此时只有一个关联点； ⑤当在第二象限时，纵坐标变化同第一象限． 综上：或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市西城区九年级模拟测试试卷 数学 考 生 须 知 1．本试卷共7页，共两部分，28道题．满分100分．考试时间120分钟． 2．在试卷和草稿纸上准确填写姓名、准考证号、考场号和座位号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回． 第一部分 选择题 一、选择题（共16分，每题2分） 第1－8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. “鼓之舞之”是“鼓舞”一词的重要源头和雏形．如图是喜庆集会时所击的鼓的立体图形，则这个图形的主视图是（ ） A. B. C. D. 2. 2025年中国科研团队成功研制出全球首款“破晓”半导体电荷存储器，把存储速度推向了新高度．已知传统存储器每秒最多可以擦写1000次，“破晓”半导体电荷存储器的擦写速度约为传统存储器擦写速度的倍，则“破晓”半导体电荷存储器的擦写速度每秒最多约为（ ） A. 次 B. 次 C. 次 D. 次 3. 如图，直线与直线相交于点，，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 4. 在一个不透明的袋子里有1个红球，2个黄球，1个白球，这些球除颜色外无其他差别．从这个袋子中随机摸出两个球，那么摸出的两个球恰好都是黄球的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 若一个正多边形的内角和为，则这个正多边形的一个外角为（ ） A. B. C. D. 6. 实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，点C，D，E在线段上，且．分别以点A，B为圆心，长为半径画弧，两弧在线段的上方交于点，则点与的距离是（ ） A. B. C. D. 2 8. 如图，在平面直角坐标系中，正六边形是以点为中心的正六边形，点在正六边形的边上，且点在第一象限．若，给出下面四个结论：（ ） ①线段的最大值为2； ②若点关于原点的对称点为，则当时，的面积取得最小值； ③若点在反比例函数的图象上，则； ④若在该六边形的边上，且，则与之间的数量关系是． 上述结论中，所有正确结论的序号是（） A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④ 第二部分 非选择题 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 若代数式有意义，则实数的取值范围是___________． 10. 分解因式：____． 11. 方程的解为________． 12. 若是一个大于2且小于3的无理数，则的值可以是________．（写出一个即可） 13. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值是________． 14. 北京的生活垃圾分类已进入全面实施、常态化运行的阶段．某社区共有1200户居民，为了解该社区居民对垃圾分类的了解程度，社区居委会从中选取100户居民进行问卷调查，结果整理如下： 了解程度 非常了解 了解 一般了解 不了解 完全不了解 户数/户 60 30 6 3 1 根据以上信息，估计该社区1200户居民对垃圾分类“非常了解”的户数是________户． 15. 如图，在矩形中，过点作对角线的垂线交于点，交于点．若，，则的面积为________． 16. 某商店共有种不同型号的口罩，每种型号的口罩都有红、白、蓝三种颜色，每种型号的红色口罩价格均为每包50元，白色口罩价格均为每包元，蓝色口罩价格均为每包元（，且，均为整数）．甲、乙、丙三家公司各买一包每种型号的口罩，且对于同种型号的口罩，三家公司选择的颜色各不相同．结账时，甲、乙各自花费了1200元，丙花费了1400元． （1）若，，则的值为________； （2）若丙购买的口罩包含三种颜色，则丙用于购买白色和蓝色的口罩最多一共花费________元． 三、解答题（共68分，第17-19题每题5分，第20-21题每题6分，第22-23题每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题每题7分） 解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 计算：． 18. 解不等式组： 19. 已知且，求代数式的值． 20. 如图，在中，，是的中点，连接，过点作交的平行线于点． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，求的长． 21. 某研学小组计划在暑假期间参加“非遗传承，研学之旅”活动．已知该活动有画糖人和剪纸两个体验项目，据了解体验2次画糖人的费用比1次剪纸的费用多10元，体验4次画糖人的费用和3次剪纸的费用相同．若体验画糖人的总次数是5人次，剪纸总次数是4人次，且用于这次活动的总预算为150元，请判断这个费用是否够用，并说明理由． 22. 在平面直角坐标系中，函数的图象是由函数的图象平移得到，且经过点． （1）求，的值； （2）当时，对于的每一个值，函数的值小于函数的值，且大于函数的值，直接写出的取值范围． 23. 某学校为了调查该校学生早上从家到校所需的时长，从中随机抽查了100名学生，记录了他们早上从家到校的时长（单位：分钟）（整数），并对这100个数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．100个数据频数分布直方图（数据分成5组：，，，，） b．时长在这一组的是： 20 20 21 21 23 23 23 24 24 24 25 25 25 26 26 26 26 27 27 27 27 27 28 28 28 29 29 29 29 29 （1）的值为________，100个数据的中位数是________，平均数约为________（用各组的组中值代表各组的数据）； （2）从中随机选取15个数据分成A，B，C三组，每组5个数据，信息如下： A组 15 15 15 17 B组 14 15 16 16 18 C组 13 17 18 18 19 已知A组与B组的平均数相等． ①的值为________； ②学校从A，B，C三组中选出一组到校从事晨检工作，要求：先比较平均数，平均数较小的组排序靠前；若平均数相等，再比较方差，方差较小的组排序靠前．在A，B，C三组的排序中，排序最靠前的是________组． 24. 如图，是的直径，点C，D在上，过点作直线分别交和的延长线于点E，F，且．连接，． （1）求证：是的切线； （2）过点作于点，交延长线于点，若，，求的长． 25. 某芯片公司设计了两个方案用以提升某类芯片的产量和性能．将第批次芯片按方案一和方案二生产、优化后的成品率（合格芯片占比）分别记为和，对于给定的方案，可以认为是的函数．部分数据如下： 1 2 3 4 5 6 7 8 … 70 78 84 88 90 91 92 93 … 74 81 87 91 95 97 98 … 对于方案二，从第二批次起，每一批次比前一批次增加的成品率逐渐减少或保持不变．对于给定的方案，在平面直角坐标系中描出各数对所对应的点，并根据变化趋势用平滑曲线连接，得到曲线和，曲线如图所示． （1）当整数的值为________时，按方案一优化后的成品率首次超过； （2）写出表中的值（为整数），并在给出的平面直角坐标系中画出曲线； （3）按方案一和方案二生产、优化每个批次的芯片用时分别是2天和3天，且每批次芯片只按一种方案生产、优化，将成品率不低于的批次称为合格批次． ①根据上述函数关系，该公司最早在第________天（整数）开始生产合格批次的芯片； ②公司采用方案二对此类芯片生产、优化了18天时，接到客户订单，预定20个合格批次的芯片，并要求按一种方案生产，则它接到通知后最快经过________天（整数）完成这个订单． 26. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点（点在点的左边），与轴交于点． （1）当时，求的长； （2）过点作轴的垂线交该抛物线于点，交直线于点．当点从点出发沿轴的某个方向运动时，若的长度逐渐增大，且点与点的距离随长度的增大先变小后变大，求的取值范围． 27. 在中，，，为延长线上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段． （1）如图1，当点在上时，求证：点是的中点； （2）如图2，当点在下方时，点在上，若，用等式表示，与之间的数量关系，并证明． 28. 在平面直角坐标系中，对于半径为1的和它的一条弦，若点满足是以为腰的等腰三角形，且劣弧上的所有点均在上及其内部，则称点为弦的关联点． （1）已知点，，，则在的弦，，中，存在关联点的弦是________； （2）直线：与轴，轴交于点，，若线段上存在的某条长度为的弦的关联点，直接写出的取值范围； （3）是的一条弦，，点是的中点，若直线上有且仅有两个弦的关联点，直接写出点的纵坐标的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $