2026年中考数学复习圆专项练习

**基本信息** 聚焦阴影面积计算与圆的切线综合，通过典例提炼转化思想与逻辑推理，构建从基础到综合的解题体系。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |阴影图形的面积|4题|割补法、全等转化、扇形与多边形面积公式结合|从规则图形（菱形、正方形）到旋转/网格不规则图形，逐步提升空间观念| |圆的切线及综合|22题|连半径证垂直、切线长定理、相似与勾股综合应用|从切线性质计算到判定证明，再到与三角形、四边形综合，强化推理能力|

知识点一：阴影图形的面积 1．如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠B＝120°，点O是对角线AC的中点，以点O为圆心，OA长为半径作圆心角为60°的扇形OEF，点D在扇形OEF内，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D．无法确定 2．如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，∠ACB＝30°，AB＝2，将△ABC绕点C顺时针旋转60°得△CDE，则图中线段AB扫过的阴影部分的面积为　 　 ． 3．如图，已知正方形ABCD的边长为4，E为CD边的中点，以D为圆心，AD长为半径作圆心角为90°的扇形ADC，以CE长为直径在正方形内部作半圆，则图中阴影部分的面积是　 　 ． 4．如图，网格中每个小正方形的边长均为1，线段AC的两个端点均在格点上，将线段AC绕点C顺时针旋转到图中BC的位置，点B也在格点上，连接AB，点D是AB的中点，格点E在上，则图中阴影部分的面积为 　 　 ． 第1题 第2题 第3题 第4题 知识点二：圆的切线及综合 5． 如图，AB为⊙O的直径，AB＝4，CO⊥AB，D是⊙O上的一点，连接AD．若∠A＝30°，阴影部分的面积是　 　 ． 6．如图，AB、AC、BD是⊙O的切线，切点分别是P、C、D．若AB＝10，AC＝6，则BD的长是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 7．如图，⊙O是正五边形ABCDE的内切圆，点M，N，F分别是边AE，AB，CD与⊙O的切点，则∠MFN的度数为（　　） A．25° B．36° C．35° D．40 第5题图 第6题图 第7题图 8．如图，⊙O过△ABC的顶点A，B，交BC于点D，点E为的中点，连接AE交BD于点F，AC＝CF．（1）求证：AC是⊙O的切线． （2）连接AD，若2AB＝3AD，BD＝10． （I）求AC的长． （Ⅱ）若AF＝BF，则⊙O的半径为　 　 ． 9．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，边AC是⊙O的直径，∠ABC的平分线BD交圆O于点D，交AC于点E，连接CD，过C作CF⊥BD，垂足为F． （1）求证：△ABE∽△DBC； （2）若，⊙O半径为5，求BE的长． 10．如图，在△ABC中，BA＝BC，以AB为直径作⊙O交AC于点D，过点D作DE⊥BC，垂足为E，延长DE交AB的延长线于点F． （1）求证：DF为⊙O的切线； （2）若BE＝1，BF＝3，求DF的长． 11．如图，以△ABC的一边AB为直径作⊙O，⊙O过AC的中点D，CB的延长线交⊙O于点E，过点D作DF⊥BC于点F，连接BD． （1）求证：DF为⊙O的切线； （2）若BF＝2，DF＝4，求BE的长． 12．直线CD切半圆O于点C，AD⊥CD于点D，AD交半圆O于点E． （1）求证：AC平分∠DAB． （2）若CD＝8，DE＝4，求OA． 13．如图，以AB为直径的⊙O与△ABC的边BC相切于点B，且与AC边交于点D，点E为BC中点，连接DE、BD． （1）求证：DE是⊙O的切线； （2）若DE＝5，，求OE的长． 14．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径的⊙O交AC于点D，过点D作⊙O的切线交BC于点E． （1）求证：BE＝DE； （2）连接OE，若⊙O的半径为5，AD＝6，求OE的长． 15．在⊙O中，已知AB为直径，点E是弧AD上一点，弦DE∥AB，且DE⊥弦CD，连BE交CD于点N，点P在CD的延长线上，PN＝PE． （1）求证：PE是⊙O的切线； （2）若OF＝6，BF＝4，求PN的长． 16．如图，在△ABC中，AB＝AC，以BC为直径的⊙O交AB边于点D，点E在AC上，连接CD，DE，∠ADE＝∠BCD． （1）证明：DE是⊙O的切线； （2）若⊙O的直径为5，BD＝3，求AC的长． 17．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，连接BD，过点C作⊙O的切线交DB的延长线于点E，且∠E＝90°，连接AC． （1）求证：∠ACD＝2∠A； （2）若⊙O的半径为5，AC＝8，求EC的长． 18．如图，⊙O是四边形ABCD的外接圆，点O在AB上，过点D作⊙O的切线DF交BA延长线于点F，对角线AC，BD交于点E，CG是⊙O的直径． （1）求证：∠ADF＝∠ACD； （2）若CD＝6，，求直径CG的长． 19．如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，连接BC，点D在BA的延长线上，点E在OB上，过点E作BD的垂线分别交DC的延长线于点F．交BC于点G，且∠F＝2∠B． （1）求证：DF是⊙O的切线； （2）若AO＝8，AD＝OE＝2，求EG的长． 20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点O在边AC上，以点O为圆心，OC长为半径的⊙O交AB于点D，且DB＝BC． （1）求证：AB是⊙O的切线； （2）若AB＝15，，求⊙O的半径． 21．如图，AB是⊙O的直径，点C，E在⊙O上，连接AC，CE，EB，过点C作⊙O的切线交EB的延长线于点D，且CD⊥ED． （1）求证：∠ABE＝2∠A； （2）若，，求BE的长． 22．如图，AB为⊙O的直径，过点A作⊙O的切线AM，C是半圆AB上一点（不与点A、B重合），连结AC，过点C作CD⊥AB于点E，连接BD并延长交AM于点F． （1）求证：∠CAB＝∠AFB； （2）若⊙O的半径为，AC＝8，求DF的长． 23．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点O在AC上，以OA为半径的⊙O交AB于点D，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE． （1）求证：直线DE是⊙O的切线； （2）若AC＝6，BC＝8，OA＝2，求线段AD和DE的长． 24．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于点E，连接AD，BC，CO． （1）当∠BCO＝30°时，求∠A的度数； （2）若CD＝6，BE＝6，求⊙O的半径． 25．如图，OA是⊙O的半径，点B是⊙O外一点，连接OB，交⊙O于点C，连接AC，． （1）求证：AB是⊙O的切线； （2）过点C作AB的平行线，交⊙O于点D，交OA于点E，若OC＝5，，求CD的长． 26．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，点D、E分别在AC、BC上，且CD•BC＝AC•CE，以E为圆心，DE长为半径作圆，⊙E经过点B，与AB、BC分别交于点F、G． （1）求证：AC是⊙E的切线． （2）若AF＝4，CG＝5， ①求⊙E的半径； ②若Rt△ABC的内切圆圆心为I，则IE＝ 　 　 ． 参考答案与解析 1．【分析】过O作ON⊥AD，OM⊥CD，证明△ONH≌△OMG，故四边形HOGD面积＝2△OMD面积，再计算即可． 【解答】解：过O作ON⊥AD，OM⊥CD，连接OD． ∵∠ADC+∠HOG＝180°， ∴∠NHO+∠DGO＝180°， ∵∠DGO+∠MGO＝180°， ∴∠NHO＝∠MGO． ∵菱形ABCD， ∴DO平分∠ADC， ∴OM＝ON． 在△ONH和△OMG中， ， ∴△ONH≌△OMG（AAS）， ∴△ONH面积＝△OMG面积， ∴四边形HOGD面积＝四边形NOMD面积＝2△OMD面积， ∵∠ODC＝60°， ∴ODCD＝1，OCOD． ∴DMOD， ∴OMDM， ∴四边形HOGD面积＝2△OMD面积＝2， ∴阴影部分的面积＝扇形面积﹣四边形HOGD面积π×（）2， 故选：A． 2．【分析】作AF⊥BC于F，解直角三角形分别求出AC、BC，根据扇形面积公式、三角形面积公式计算即可． 【解答】解：作AF⊥BC于F， ∵∠ABC＝45°， ∴AF＝BFAB， 在Rt△AFC中，∠ACB＝30°， ∴AC＝2AF＝2，FC， 由旋转的性质可知，S△ABC＝S△EDC， ∴图中线段AB扫过的阴影部分的面积＝扇形DCB的面积+△EDC的面积﹣△ABC的面积﹣扇形ACE的面积 ＝扇形DCB的面积﹣扇形ACE的面积 ， 故答案为：． 3．【分析】利用扇形、三角形和圆的面积公式，根据“阴影部分的面积＝扇形ADC的面积﹣三角形ADE的面积﹣半圆的面积”计算即可． 【解答】解：∵正方形ABCD的边长为4， ∴AD＝CD＝4， ∵E为CD边的中点， ∴CE＝DECD＝2， ∴半圆的半径为1， ∴图中阴影部分的面积是2×4π×12π﹣4． 故答案为：π﹣4． 4．【分析】根据对称性可得BC的中点O在格点上，根据网格构造直角三角形，求出OC、OD、CD，进而得出扇形的圆心角的度数及半径，利用S阴影部分＝S扇形OCD+S△BOD进行计算即可． 【解答】解：如图，由题意可知BC的中点O在格点上，连接OD，CD， 由网格构造直角三角形，利用勾股定理得 OC2＝12+22＝5，即OC， OD2＝12+22＝5，即OD， DC2＝12+32＝10，即DC， ∴OC2+OD2＝CD2，OC＝OD， ∴∠COD＝90°， ∴S阴影部分＝S扇形OCD+S△BOD ， 故答案为：． 5．【分析】连接OD，过点D作DF⊥OD，垂足为F，根据∠A＝30°，得出∠DOB＝60°，然后得出∠COD＝30°，然后利用扇形的面积公式求出扇形COD的面积，再求出三角形OED的面积，从而得出阴影部分的面积． 【解答】解：∵AB＝4， ∴OA＝OB＝OC＝2， 连接OD，过点D作DF⊥OD，垂足为F，如图： ∵∠A＝30°， ∴∠DOB＝60°， ∵∠COB＝90°， ∴∠COD＝30°， ∴S扇形COD， ∵DF⊥OC， ∴DF＝OD•sin∠COD＝2×sin30°＝21， ∵∠A＝30°，AO＝2，∠AOC＝90°， ∴OE＝OA•tan∠A＝2， ∴S△OEDOE×DF1， ∴S阴影＝S扇形COD﹣S△ODE． 故答案为：． 6．【分析】由于AB、AC、BD是⊙O的切线，则AC＝AP，BP＝BD，求出BP的长即可求出BD的长． 【解答】解：∵AC、AP为⊙O的切线， ∴AC＝AP＝6， ∵BP、BD为⊙O的切线， ∴BP＝BD， ∴BD＝PB＝AB﹣AP＝10﹣6＝4． 故选：B．． 7．【分析】如图，连接OM，ON．求出∠MON，再利用圆周角定理求解即可． 【解答】解：如图，连接OM，ON． ∵M，N，F分别是AE，AB，CD与⊙O的切点， ∴OM⊥AE，ON⊥AB， ∴∠OMA＝∠ONA＝90°， ∵∠A＝108°， ∴∠MON＝180°﹣108°＝72°， ∴∠MFN∠MON＝36°， 故选：B． 8．【解答】（1）证明：连接OA，OE， ∵OA＝OE， ∴∠OAE＝∠OEA， ∵点E为的中点， ∴， ∴OE⊥BD， ∴∠BFE+∠AEO＝90°， ∵AC＝CF， ∴∠CAF＝∠CFA， ∵∠CFA＝∠EFB， ∴∠CAF＝∠EFB， ∴∠CAF+∠OAF＝90°， ∴∠OAC＝90°， ∵OA是⊙O的半径， ∴AC是⊙O的切线． （2）解：（I）如图，延长AO交⊙O于G，连接DG， ∴∠B＝∠G，∠ADG＝90°， ∴∠G+∠GAD＝∠B+∠GAD＝∠CAD+∠GAD＝90°， ∴∠B＝∠CAD， ∵∠C＝∠C， ∴△ABC∽△DAC， ∴， ∵2AB＝3AD， ∴， ∴设AC＝2x，BC＝3x， ∵， ∴， ∴x， ∵BC﹣CD＝BD， ∴3xx＝10， ∴x＝6， ∴AC＝2x＝12； （Ⅱ）解：连接OE交BD于H， 由（Ⅰ）知，OE⊥BD，CF＝AC＝12，CD＝8， ∴DF＝4，BH＝DHBD＝5， ∴FH＝1， ∵AF＝BF， ∴∠B＝∠BAE， ∴， ∴， ∴BD＝AE， ∴EF＝DF＝4， ∴HE， 连接OB， ∵OB2＝OH2+BH2， ∴OB2， ∴OB． ∴⊙O的半径为， 故答案为：． 9．【解答】（1）证明：∵BD平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠CBD， ∵∠A＝∠D， ∴△ABE∽△DBC； （2）解：过E点作EH⊥BC于H点，如图， ∵AC是⊙O的直径， ∴∠BAC＝90°， ∵CF⊥BD， ∴∠CFD＝90°， ∵∠A＝∠D， ∴∠ACB＝∠DCF， 在Rt△ABC中，∵tan∠ACBtan∠DCF， ∴设AB＝x，则BC＝2x， ∴ACx， ∴x＝10， 解得x＝2， ∴BC＝2， 在Rt△CEH中，∵tan∠HCE， ∴设EH＝a，CH＝2a， ∵BD平分∠ABC， ∴∠EBC＝45°， ∴△BEH为等腰直角三角形， ∴BH＝EH＝a，BEa， ∴a+2a＝4， 解得a， ∴BE． 10．【解答】（1）证明：连接OD，BD，如图， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∴BD⊥AC， ∵AB＝CB， ∴点D为AC的中点， ∵点O为AB的中点， ∴OD为△ABC的中位线， ∴OD∥BC， ∴∠ODE＝∠DEC， ∵DE⊥BC， ∴∠DEC＝90°， ∴∠ODE＝90°， ∴DF⊥OD， ∵OD为⊙O的半径，D为OD的外端点， ∴DF为⊙O的切线； （2）解：如上图， ∵DE⊥BC，BE＝1，BF＝3， ∴由勾股定理，得EF2， 由（1）知BE∥OD， ∴△ODF∽△BEF， ∴， ∵BE＝1，BF＝3，OB＝OD， ∴， 解得OB，DE， ∴DF＝DE+EF＝3． 11．【解答】（1）证明：连接OD， ∵OD＝OA， ∴∠A＝∠ADO， ∵AB为直径， ∴BD⊥AC， ∵点D是AC的中点， ∴AD＝CD， ∴AB＝BC， ∴∠A＝∠C， ∴∠C＝∠ADO， ∴OD∥BC， ∵DF⊥BC， ∴DF⊥OD， ∵OD是⊙O的半径， ∴DF为⊙O的切线； （2）连接AE， ∵AB为⊙O的直径， ∴AE⊥CE， ∴DF∥AE， 点D是AC的中点， ∴AD＝CD， ∴CF＝EF， ∵∠CDB＝∠DFC＝∠DFB＝90°， ∴∠C+∠CDF＝∠CDF+∠BDF＝90°， ∴∠C＝∠BDF， ∴△CDF∽△DBF， ∴， ∵BF＝2，DF＝4， ∴， ∴CF＝8， ∴EF＝CF＝8， ∴BE＝EF﹣BF＝6． 12【解答】（1）证明：∵直线CD切半圆O于点C， ∴OC⊥CD， ∵AD⊥CD， ∴AD∥OC， ∴∠DAC＝∠ACO， ∵OA＝OC， ∴∠OAC＝∠ACO， ∴∠DAC＝∠ACO，即AC平分∠DAB； （2）解：如图，作EF⊥OC于点F，连接OE， ∵OC⊥CD，AD⊥CD，EF⊥OC， ∴四边形DEFC是矩形， ∴EF＝CD＝8，CF＝DE＝4， 设OE＝r，则OF＝r﹣4， 在Rt△OEF中，EF2+OF2＝OE2，即82+（r﹣4）2＝r2， 解得：r＝10， ∴OA＝10． 13．【解答】（1）证明：如图， 连接OD， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠BDC＝∠ADB＝90°， ∵E是BC的中点， ∴DE＝BE＝ECBC， 在△DOE和△BOE中， ， ∴△DOE≌△BOE（SSS）， ∴∠ODE＝∠ABC＝90°， ∴OD⊥DE ∵点D在⊙O上， ∴DE是⊙O的切线； （2）解：∵∠ABC＝90°， ∴∠ABD+∠CBD＝90°， 由（1）知：∠BDC＝90°，BC＝2DE， ∴∠C+∠DBC＝90°，BC＝2DE＝10， ∴∠C＝∠ABD， 在Rt△ABC中，sinC， 设AB＝3k，AC＝5k， ∴BC4k＝10， ∴k， ∴AC， ∵OA＝OB，BE＝CE， ∴OEAC． 14．【解答】（1）证明：∵∠ABC＝90°， ∴BC⊥AB， ∵AB为⊙O的直径， ∴BC是⊙O的切线， ∵DE与⊙O相切于点D，BE与⊙O相切于点B， ∴BE＝DE． （2）解：连接BD，则∠ADB＝∠ABC＝90°， ∵⊙O的半径为5，AD＝6， ∴AB＝10， ∵cosA， ∴AC， ∵BE＝DE，∠OEB＝∠OED， ∴OE⊥DB， ∵AC⊥DB， ∴OE∥AC， ∵OB＝OA， ∴1， ∴EB＝EC， ∴OEAC， ∴OE的长是． 15．【解答】（1）证明：连接OE，如图1所示： ∵PN＝PE， ∴∠PEN＝∠PNE＝∠BNF， ∵OE＝OB， ∴∠OEB＝∠OBE． ∵AB⊥CD， ∴∠OBE+∠BNF＝90°， ∴∠OEB+∠PEN＝90°， 即∠OEP＝90°， ∴PE⊥OE， ∵OE是半径， ∴PE是⊙O的切线． （2）解：连接CE，如图所示： ∵DE∥AB，AB⊥CD， ∴∠EDC＝90° ∴CE为⊙O的直径． ∵AB⊥CD， ∴CF＝DF， ∴DE＝2OF＝12． ∵OF＝6，BF＝4， ∴OC＝OB＝10，CE＝20， ∴， 由（1）知PE⊥CE．设PD＝x，则PC＝x+16． 在Rt△PDE和Rt△PCE中，由勾股定理，得：PD2+DE2＝PE2＝PC2﹣CE2， 即x2+122＝（x+16）2﹣202， 解得：x＝9， ∴PD＝9． ∴， ∴PN＝PE＝15． 16．【解答】（1）证明：连接OD，则OD＝OB， ∴∠ODB＝∠B， ∵BC是⊙O的直径， ∴∠BDC＝90°， ∵∠ADE＝∠BCD， ∴∠ADE+∠ODB＝∠BCD+∠B＝90°， ∴∠ODE＝180°﹣（∠ADE+∠ODB）＝90°， ∵OD是⊙O的半径，且DE⊥OD， ∴DE是⊙O的切线． （2）解：∵⊙O的直径为5， ∴BC＝5， ∵BD＝3， ∴CD4， ∵AB＝AC， ∴AD＝AB﹣BD＝AC﹣3， ∵∠ADC＝∠BDC＝90°， ∴AD2+CD2＝AC2， ∴（AC﹣3）2+42＝AC2， 解得AC， ∴AC的长是． 17．【解答】（1）证明：连接OC，则∠BOC＝2∠A， ∵CE与⊙O相切于点C，交DB的延长线于点E， ∴CE⊥OC， ∴∠OCE＝90°， ∵∠E＝90°， ∴∠OCE+∠E＝180°， ∴DE∥OC， ∴∠ABD＝∠BOC， ∵∠ACD＝∠ABD， ∴∠ACD＝∠BOC， ∴∠ACD＝2∠A． （2）解：连接BC， ∵AB是⊙O的直径，⊙O的半径为5，AC＝8， ∴∠ACB＝∠E＝90°，AB＝2×5＝10， ∴BC6， ∵DE∥OC，OB＝OC， ∴∠CBE＝∠OCB＝∠ABC， ∴sin∠CBE＝sin∠ABC， ∴ECBC6， ∴EC的长是． 18．【解答】（1）证明：连接OD，如图1所示： ∵⊙O是四边形ABCD的外接圆，点O在AB上， ∴OB＝OD，∠ADB＝90°， ∴∠ODB＝∠ABD， 由圆周角定理得：∠ABD＝∠ACD， ∴∠ODB＝∠ACD， ∵DF是⊙O切线，点D为切点， ∴∠ODF＝90°， ∴∠ODF＝∠ADB＝90°， ∴∠ODF﹣∠ODA＝∠ADB﹣∠ODA， ∴∠ADF＝∠ODB， ∴∠ADF＝∠ACD； （2）解：过点D作DH⊥AC于点H，如图2所示： ∴∠DHC＝90°， ∴△DHE和△DHC都是直角三角形， ∵∠ADB＝90°， ∴△ADE和△ADB都是直角三角形， 在△ADE中，sin∠AED， ∴设AD，AE＝5a， 由勾股定理得：DE， 在Rt△DHE中，sin∠AED， ∴DH， 在Rt△DHC中，sin∠ACD， 在Rt△ADB中，sin∠ABD， ∵∠ABD＝∠ACD， ∴， ∴AB•DH＝AD•CD， ∵CD＝6， ∴， ∴AB， ∴直径CG的长为． 19．【解答】（1）证明：连接OC， ∵EF⊥BD于点E，交DC的延长线于点F， ∴∠DEF＝90°， ∵∠DOC＝2∠B，∠F＝2∠B， ∴∠DOC＝∠F， ∵∠D＝∠D， ∴△DCO∽△DEF， ∴∠DCO＝∠DEF＝90°， ∵OC是⊙O的半径，且DF⊥OC于点C， ∴DF是⊙O的切线． （2）解：连接AC， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠B+∠BAC＝90°， ∵OC＝OA， ∴∠OCA＝∠BAC， ∵∠DCA+∠OCA＝∠DCO＝90°， ∴∠DCA＝∠B， ∵∠D＝∠D， ∴△DCA∽△DBC， ∴， ∵AO＝8，AD＝OE＝2， ∴BO＝AO＝8，AB＝2AO＝2×8＝16， ∴BE＝BO﹣OE＝8﹣2＝6，BD＝AD+AB＝2+16＝18， ∴CD2＝AD•BD＝2×18＝36， ∴CD＝6或CD＝﹣6（不符合题意，舍去）， ∴， ∵∠GEB＝∠ACB＝90°， ∴tanB， ∴EGBE6＝2， ∴EG的长是2． 20．【解答】（1）证明：连接OD， 在△BCO与△BDO中， ， ∴△BCO≌△BDO（SSS）， ∴∠ODB＝∠ACB＝90°， ∵OD是⊙O的半径， ∴AB是⊙O的切线； （2）解：∵∠ACB＝90°， ∴sinA， ∴BC＝9， ∴AC12， ∵∠ADO＝∠ACB＝90°，∠A＝∠A， ∴△AOD∽△ABC， ∴， ∴， ∴OD， ∴⊙O的半径为． 21．【解答】（1）证明：如图，连接OC， ∵CD是⊙O的切线， ∴OC⊥CD， ∵CD⊥ED． ∴∠OCD＝∠D＝90°， ∴∠OCD+∠D＝180°， ∴OC∥BE， ∴∠ABE＝∠BOC， ∵OA＝OC， ∴∠A＝∠OCA， ∴∠BOC＝∠A+∠OCA＝2∠A， ∴∠ABE＝2∠A； （2）解：如图，连接BC， ∵∠A＝∠E， ∴， ∴， ∴AC＝2BC， ∵AB是圆的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴BC2+AC2＝AB2， ∴， ∴BC＝2（舍去负值）， ∴AC＝2BC＝4， ∵∠BCD+∠BCO＝∠ACO+∠BCO＝90°， ∴∠BCD＝∠ACO， ∵∠A＝∠ACO， ∴∠BCD＝∠A， ∵∠D＝∠ACB＝90°， ∴△CBD∽△ABC， ∴CD：AC＝BC：AB， ∴CD：4＝2：2， ∴， ∵∠BCD＝∠A，∠E＝∠A， ∴， ∴， ∴，DE， ∴． 22．【解答】（1）证明：∵AM是⊙O的切线， ∴AM⊥AB， ∵CD⊥AB， ∴CD∥AM， ∴∠BDC＝∠AFB， 由圆周角定理得：∴∠BDC＝∠CAB， ∴∠CAB＝∠AFB； （2）解：如图，连接BC， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠BCA＝90°， ∴BC4， ∵∠ACB＝∠FAB，∠CAB＝∠AFB， ∴△ABC∽△FBA， ∴，即， 解得：BF＝12， ∵AB⊥CD， ∴CE＝DE， ∴BD＝BC＝4， ∴DF＝BF﹣BD＝8． 23．【解答】（1）证明：连接OD， ∵EF垂直平分BD， ∴EB＝ED， ∴∠B＝∠EDB， ∵OA＝OD， ∴∠ODA＝∠A， ∵∠C＝90°， ∴∠A+∠B＝90°， ∴∠EDB+∠ODA＝90°， ∴∠ODE＝90°， ∴OD⊥DE， ∴DE是⊙O的切线． （2）解：连接OE，作OH⊥AD于H．则AH＝DH， ∵△AOH∽△ABC， ∴， ∴， ∴AH，AD，设DE＝BE＝x，CE＝8﹣x， ∵OE2＝DE2+OD2＝EC2+OC2， ∴42+（8﹣x）2＝22+x2， 解得x＝4.75， ∴DE＝4.75． 24．【解答】解：（1）∵OB＝OC，∠BCO＝30°， ∴∠B＝∠BCO＝30°， ∵AB⊥CD， ∴∠BEC＝90°， ∴∠BCD＝90°﹣30°＝60°， ∴∠A＝∠BCD＝60°； （2）∵AB⊥CD，CD＝6， ∴CECD＝3， ∵OC＝OB，BE＝6， ∴OE＝BE﹣OB＝6﹣OC， ∵∠OEC＝90°， ∴CE2+OE2＝OC2， ∴（3）2+（6﹣OC）2＝OC2， 解得：OC， 即⊙O的半径为． 25【解答】（1）证明：如图，过点O作OF⊥AC，垂足为F， ∵OA＝OC，OF⊥AC， ∴， ∵， ∴∠AOF＝∠BAC， ∵OF⊥AC， ∴∠AOF+∠OAF＝∠BAC+∠OAF＝90°， 即OA⊥AB， ∵OA是⊙O的半径，OA⊥AB， ∴AB是⊙O的切线． （2）解：过点C作AB的平行线，交⊙O于点D，交OA于点E， 设OE＝x， ∵CD∥AB，OA⊥AB， ∴CD⊥OA， ∵OA＝OC＝5，OE＝x， ∴AE＝5﹣x， ∴，AE＝5﹣x， ∴CE2＝AC2﹣AE2＝20﹣（5﹣x）2， ∵OC＝5，OE＝x， ∴CE2＝CO2﹣OE2＝52﹣x2， ∴20﹣（5﹣x）2＝52﹣x2， 解得：x＝3， ∵OC＝5，OE＝3， ∴CE＝4， ∵CD⊥OA， ∴CD＝2CE＝8． 26．【解答】（1）证明：∵CD•BC＝AC•CE， ∴， ∵∠DCE＝∠ACB， ∴△CDE∽△CAB， ∴∠EDC＝∠A＝90°， ∴ED⊥AC， ∵点D在⊙E上， ∴AC是⊙E的切线； （2）解：①如图1，过E作EN⊥AB于N， ∴BN＝FN， ∵∠A＝∠ANE＝∠ADE＝90°， ∴四边形ANED是矩形， ∴ED＝AN，ED∥AB， ∴∠B＝∠DEC， 设⊙E的半径为r，则EB＝ED＝EG＝r， ∴BN＝FN＝AN﹣AF＝DE﹣AF＝r﹣4， EC＝EG+CG＝r+5， 在△BNE和△EDC中， ∵∠B＝∠DEC，∠BNE＝∠EDC＝90°， ∴△BNE∽△EDC， ∴，即， ∴r＝20， ∴⊙E的半径为20； ②由①如图1得：FN＝BN＝r﹣4＝20﹣4＝16，AB＝AF+2BN＝4+2×16＝36， BC＝2r+5＝2×20+5＝45， ∴AC27， 如图2，过I作IM⊥BC于M，过I作IH⊥AB于H， ∵I是Rt△ABC的内心， ∴IM9， ∴AH＝IM＝9， ∴BH＝BM＝36﹣9＝27， ∴EM＝27﹣20＝7， 在Rt△IME中，由勾股定理得：IE， 故答案为：． 学科网（北京）股份有限公司 $