5. 实验：用单摆测量重力加速度（同步讲义）物理人教版选择性必修第一册

本讲义聚焦“用单摆测量重力加速度”实验，系统梳理实验原理（基于单摆周期公式T=2π√(l/g)推导g=4π²l/T²）、器材（铁架台、金属小球、细线等）及数据处理（公式法求平均值、图像法作T²-l图线算斜率），构建从原理到应用的完整学习支架。 资料通过重难探究（如摆长测量的直接与分段法、周期测量的多次全振动计时）深化科学思维，结合误差分析（系统与偶然误差）培养科学探究能力，典例与分层练习（基础练、提升练含高考真题）助力课中教学实施与课后查漏补缺，强化严谨科学态度。

5. 【知识梳理】 1 一、 实验原理 1 二、 实验器材 1 三、 实验数据处理 2 【重难探究】 3 探究1 　探究测摆长和周期 3 探究2 探究实数据处理和误差分析 4 【课堂自测·基础练】 9 【素养进阶·提升练】 18 【知识梳理】 知识点1 实验原理 当摆角很小时，单摆做简谐运动，其运动周期为T＝2π，它与偏角的大小及摆球的质量无关，由此得到g＝。因此，只要测出摆长l和振动周期T，就可以求出当地的重力加速度g的1.机械振动：物体或物体的一部分在一个位置附近的往复运动，简称振动。 知识点2 实验器材 带有铁夹的铁架台、中心有小孔的金属小球、不易伸长的细线(约1米)、停表、毫米刻度尺和游标卡尺。 知识点3 实验数据处理 1.公式法 将测得的几次的周期T和摆长l的对应值分别代入公式g＝中算出重力加速度g的值，再算出g的平均值，即为当地重力加速度的值。 2.图像法 由单摆的周期公式T＝2π可得T2＝l，因此以摆长l为横轴、以T2为纵轴作出的T2－l图像是一条过原点的直线，如图所示，求出斜率k，即可求出g值。k＝＝，所以g＝。 【重难探究】 探究1 测量摆长和周期 【探究导入】 1.如何测量摆长 方案一：直接测量法 1. 待小球静止后，用刻度尺测量悬挂点到小球最低点的距离 2. 用游标卡尺测量小球直径，计算半径 3. 摆长 方案二：分段测量法 1. 用游标卡尺测量小球直径，计算半径 2. 测量悬挂点到小球上端的距离 摆长 2.如何测量周期 1. 将小球拉开一个小角度（），用直尺辅助确认 2. 释放小球同时启动停表，记录完成30次全振动的时间 3. 周期 改变摆长（每次增减约10cm），重复测量5次 【典例赏析】 [例1]同学用单摆测重力加速度大小，在实验过程中有如下说法，其中正确的是（　　） A．把单摆从平衡位置拉开30°的摆角，并在释放摆球到最低点时开始计时 B．实验中选用密度较大的小钢球作为摆球，测得的重力加速度值误差较小 C．测量摆球通过最低点100次的时间t，则单摆周期为 D．用悬线的长度加摆球的直径作为摆长，代入单摆周期公式计算得到的重力加速度值偏小 【针对训练】 1如图所示，某同学利用单摆装置来测定当地的重力加速度，下列说法正确的是（　　）    A．小球应该选用质量小体积小的塑料球 B．应在小球摆到最高点时开始计时 C．在小偏角下，不同高度释放，小球的摆动周期不同 D．若将n次全振动误记为n−1次，重力加速度的测量值将偏小 2.某同学利用双线摆和光电计数器测量当地的重力加速度。实验装置如图（甲）所示，测得每根悬线长为L，两悬点间距为s，小球两侧为光电计数器。实验步骤如下，请回答下列问题： (1)用游标卡尺测量小球的直径如图（乙），则小球的直径D是 mm。 (2)现将小球垂直于纸面向外拉动，使悬线偏离竖直方向的角度 5°（选填“大于”或“小于”）。 (3)启动光电计数器，悬线偏离竖直方向后，由静止释放小球，当小球经过平衡位置O时，计时器开始计时，并计为第1次。当光电计数器上显示的计数次数刚好为n时，测得所用的时间为t，由此可知，单摆的振动周期T为__________。 A． B． C． D． (4)根据上述实验方法测量得到的物理量，可得到当地重力加速度 （用字母L、s、D、T表示）。 探究2 探究实验数据处理和误差分析 【探究导入】 1.数据处理 （1）公式法：每改变一次摆长，将相应的l和T代入公式g＝中求出g值，最后求出g的平均值． 设计如下所示实验表格 实验次数 摆长l/m 周期T/s 重力加速g/(m·s－2) 重力加速度g的平均值/(m·s－2) 1 g＝ 2 3 （2）图像法：由T＝2π得T2＝l，以T2为纵坐标，以l为横坐标作出T2－l图像(如图所示)．其斜率k＝，由图像的斜率即可求出重力加速度g. 2.误差分析 （1）系统误差：主要来自于单摆模型本身是否符合要求，即悬点是否固定，摆球和摆长是否符合要求，最大摆角是否不超过5°，是否在同一竖直平面内摆动等。 （2）偶然误差 ①主要来自于时间测量，测量时间时要求从摆球通过平衡位置开始计时，在记次数时不能漏记或多记。同时应多次测量，再对多次测量结果求平均值。 ②测长度和摆球直径时，读数也容易产生误差。秒表读数读到秒的十分位即 【例2】某同学利用单摆测量当地的重力加速度，测得的重力加速度数值大于当地的重力加速度的实际值，造成这一情况的原因可能是（　　） A．开始摆动时振幅较小 B．开始计时时，过早按下秒表 C．测量周期时，误将摆球（）次全振动的时间记为n次全振动的时间 D．测量摆长时，摆线长度没有加上摆球的半径 【例3】（多选）某同学在“利用单摆测定重力加速度”实验中，用实心金属小球和不可伸长的细线组装成单摆，改变细线的长度l，测出单摆的周期T，实验过程中忘了测量小球直径，其他操作规范，画出的图像如图，取，则（　　） A．小球直径为1cm B．小球直径为2cm C．当地重力加速度 D．当地重力加速度 【针对训练】 3.某同学做用单摆测定重力加速度的实验，为减小实验误差，多次改变摆长L，测量对应的单摆周期T，用多组实验数据绘制图像如图所示。由图可知，当地重力加速度大小为（　　） A． B． C． D． 4.（多选）用单摆测量重力加速度的实验步骤如下，某同学对操作进行了改正，正确的是（　　） ①先把单摆悬挂起来，测出悬挂点到小球重心的距离，得到摆长L ②把小球拉开一个很小的角度，然后由静止释放 ③当摆球到达最高位置时，启动秒表，并记为第一次，当摆球第（n+1）次到达最高位置时按停秒表，若秒表读数为t，则单摆周期为 ④不必改变摆线的长度，只要重复前三步的操作，实验多次，求g的平均值即可 ⑤作出T2-L图线，求出图线的斜率k ⑥根据，求出g A．①测量摆长时，要测出悬点到摆球上端的悬线的长度，再测出小球的直径，悬线的长度加上小球的半径才是摆长 B．不需做T2-L图线，直接根据公式计算，求g的平均值即可 C．④要改变摆长，重复前三步的操作，实验多次 D．③当摆球到达平衡位置时开始计时，并计为第一次，并且每次到达平衡位置且与第一次计数时的运动方向相同，计一次数；当摆球第（n+1）到达平衡位置且与第一次计数时的运动方向相同时按停秒表，则秒表的读数为n个周期 【课堂自测·基础练】 1．在“用单摆测定重力加速度”实验中，某同学发现测得的值偏大。其原因可能是（    ） A．摆球的质量过大 B．测定周期时，振动次数多计了一次 C．计算摆长时，只考虑悬线的长度，没有加上摆球的半径 D．摆线上端未系牢固，在振动中出现松动，使摆线长度增加了 2．在用单摆测量重力加速度的实验中，下面叙述正确的是（　　） A．摆线要选择细些的、伸缩性小些的，并且适当长一些 B．如果有两个大小相等且都带孔的铜球和木球，应选用木球作摆球 C．为了使单摆摆动的时间长一些，以方便测量，开始时拉开摆球，使摆角较大 D．用刻度尺测量出摆线的长度就是单摆的摆长 3．某同学利用单摆测得的重力加速度数值大于当地的重力加速度的实际值，造成这一情况的原因可能是（    ） A．开始摆动时振幅较小 B．开始计时时，过早按下停表 C．测量周期时，误将摆球（）次全振动的时间记为n次全振动的时间 D．测量摆长时从悬点到小球上端边缘的距离为摆长 4．小明同学用单摆测量学校的重力加速度。他改变摆长L，测出几组对应的周期T，并作出图像如图所示。下列说法错误的是（　　）    A．他应选用质量大、体积小的钢球做实验 B．他应从摆球经过平衡位置开始计时 C．图像不过坐标原点的原因可能是摆长测量值偏大 D．他通过作出图像处理数据来求得重力加速度，可消除因摆球质量分布不均匀而导致的系统误差 5．某同学利用单摆测定当地的重力加速度。 (1)实验室已经提供的器材有：铁架台、夹子、秒表、游标卡尺。除此之外，还需要的器材有__________。 A．长度约为1 m的细线 B．长度约为30 cm的细线 C．直径约为2 cm的钢球 D．直径约为2 cm的木球 E．最小刻度为1 cm的直尺 F．最小刻度为1 mm的直尺 (2)该同学在测量单摆的周期时，他用秒表记下了单摆做50次全振动的时间，如图甲所示，秒表的读数为________ s。 (3)下表是该同学记录的3组实验数据，并做了部分计算处理。 组次 1 2 3 摆长l/cm 80.00 90.00 100.00 50次全振动时间t/s 90.0 95.5 100.5 振动周期T/s 1.80 1.91 重力加速度g/(m·s－2) 9.74 9.73 请计算出第3组实验中的T＝______ s，g＝______m/s2。 (4)该同学经测量得到多组摆长l和对应的周期T，画出，l­T2图线，然后在图线上选取A、B两个点，坐标如图乙所示。则当地重力加速度的表达式g＝________。 6．在“用单摆测定重力加速度”的实验中： （1）若完成n次全振动的时间为t，用毫米刻度尺测得的摆线长（悬点到摆球上端的距离）为L0，用刻度尺测得摆球的直径为d、用上述物理量的符号写出测重力加速度的一般表达式g=___________。 （2）实验中某同学发现测得的重力加速度的值总是偏大，下列原因中可能的是___________。 A．实验室处在高山上，距离海面太高 B．单摆所用的摆球质量太大了 C．实际测出n次全振动的时间t，误作为（n+1）次全振动的时间 D．以摆线长作为摆长来计算 （3）甲同学测量出几组不同摆长L和周期T的数值，画出如图T2-L图像中的实线OM，并算出图线的斜率为k，则当地的重力加速度g=___________。 （4）乙同学也进行了与甲同学同样的实验，但实验后他发现测量摆长时忘了加上摆球的半径，则该同学做出的T2-L图像为___________（选填：①②③④） （5）丙同学将单摆固定在力传感器上，得到了拉力随时间的变化曲线，已知摆长L1=0.99m根据图中的信息可得，重力加速度g=___________m/s2（取π2≈9.87，结果保留三位有效数字） 7．用单摆测重力加速度实验中： （1）实验操作中的注意事项正确的是（______） A．小球摆动时，摆角应不大于5°，且应在同一竖直面内摆动； B．计算单摆的全振动次数时，应以摆球到达最高点开始计时，到到达同一侧最高点时记为一次全振动； C．测摆长应测出摆球球心到悬点的距离，要用游标卡尺测摆球直径d，摆长l等于悬线长加d D．应改变摆长，重做几次实验，取多次测出的重力加速度的平均值作为最终结果 （2）在做“用单摆测量重力加速度”的实验时，用摆长l和周期T计算重力加速度的公式是______。让刻度尺的零点对准摆线的悬点，摆线竖直下垂，如图甲所示，则单摆摆长是______m。若测定了24次全振动的时间如图乙中停表所示，则停表读数是______s，单摆摆动周期是______s。 （3）为了提高测量精度，需多次改变l值，并测得相应的T值。现将测得的六组数据标示在以l为横坐标、以为纵坐标的坐标系上，即图丙中用“·”表示的点，则 ①试根据图丙中给出的数据点作出和l的关系图线______， ②根据图线得出直线斜率______。（结果取两位有效数字） （4）请写出此实验引起误差的主要因素（写出两条即可）______。 8．如图所示，某同学利用双线摆和光电计数器测量当地的重力加速度。已知每根悬线长为d，两悬点间相距s，金属小球半径为r，AB为光电计数器。现将小球垂直于纸面向外拉动，使悬线偏离竖直方向一个较小的角度并由静止释放，同时，启动光电计数器，当小球第一次经过图中虚线（光束）位置O时，由A射向B的光束被挡住，计数器计数一次，显示为“1”，同时计时器开始计时．然后每当小球经过点O时，计数器都计数一次。当计数器上显示的计数次数刚好为n时，所用的时间为t，由此可知： （1）双线摆的振动周期______，双线摆的等效摆长______。 （2）依据公式______代入周期T和等效摆长L的值，即可求出重力加速度。 （3）该同学在实验中，测量5种不同摆长情况下单摆的振动周期，记录数据见表。 如图表 实验次数 1 2 3 4 5 L/m 0.50 0.80 0.90 1.00 1.20 T/s 1.41 1.79 1.90 2.01 2.19 1.99 3.20 3.61 4.00 4.80 以L为横坐标，为纵坐标，在图中作出图像_______，并利用此图像求得重力加速度______。（保留三位有效数字） 9．某研究性学习小组在进行“用单摆测定重力加速度”的实验中（实验装置如图甲所示），已知单摆在摆动过程中的摆角小于5°；在测量单摆的周期时，从单摆运动到最低点开始计时且记数为1，到第n次经过最低点所用的时间为t；在测量单摆的摆长时，先用毫米刻度尺测得摆球悬挂后的摆线长（从悬点到摆球的最上端）为L，再用螺旋测微器测得摆球的直径为d（读数如图乙所示）。 （1）从图可知，摆球的直径为d=_________ mm； （2）用上述物理量的符号写出求重力加速度的一般表达式g=________； （3）实验结束后，同学们在讨论如何能够提高测量结果的精确度时，提出了以下建议，其中可行的是：___________。 A．实验中适当加长摆线 B．当单摆经过最大位置时开始计时 C．质量相同、体积不同的摆球，应选用体积较大的 D．测量多组周期T和摆长L，作L-T2关系图像来处理数据 10．在一次“用单摆测定重力加速度”的实验中，图甲中的O点是摆线的悬挂点，a、b点分别是球的上沿和球心，摆长L=___________m。图乙为测量周期用的秒表，长针转一圈的时间为30s，表盘上部的小圆共15大格，每一大格表示1min。在测量周期时，当摆球摆动稳定后，计时起点应选在小球摆至___________（选填“最高点”或“最低点”）时，测得单摆摆动n=50次时，长、短针位置如图乙所示，所用时间t=___________s，则周期T=___________s（结果保留两位有效数字）。用以上直接测量的物理量的符号表示重力加速度的计算式为g=___________（不必代入数据计算）。 11．某实验小组利用图装置测量重力加速度。摆线上端固定在点，下端悬挂一小钢球，通过光电门传感器采集摆动周期。 （1）关于本实验，下列说法正确的是 。（多选） A．小钢球摆动平面应与光电门形平面垂直     B．应在小钢球自然下垂时测量摆线长度 C．小钢球可以换成较轻的橡胶球                D．应无初速度、小摆角释放小钢球 （2）组装好装置，用毫米刻度尺测量摆线长度，用螺旋测微器测量小钢球直径。螺旋测微器示数如图，小钢球直径 ，记摆长。    （3）多次改变摆线长度，在小摆角下测得不同摆长对应的小钢球摆动周期，并作出图像，如图。 根据图线斜率可计算重力加速度 （保留3位有效数字，取9.87）。 （4）若将摆线长度误认为摆长，仍用上述图像法处理数据，得到的重力加速度值将 （填“偏大”“偏小”或“不变”）。 12.某实验小组用单摆测量重力加速度。所用实验器材有摆球、长度可调的轻质摆线、刻度尺、50分度的游标卡尺、摄像装置等。    （1）用游标卡尺测量摆球直径d。当量爪并拢时，游标尺和主尺的零刻度线对齐。放置摆球后游标卡尺示数如图甲所示，则摆球的直径d为 mm。 （2）用摆线和摆球组成单摆，如图乙所示。当摆线长度l＝990.1mm时，记录并分析单摆的振动视频，得到单摆的振动周期T＝2.00 s，由此算得重力加速度g为 m/s2（保留3位有效数字）。 （3）改变摆线长度l，记录并分析单摆的振动视频，得到相应的振动周期。他们发现，分别用l和作为摆长，这两种计算方法得到的重力加速度数值的差异大小Δg随摆线长度l的变化曲线如图所示。由图可知，该实验中，随着摆线长度l的增加，Δg的变化特点是 ，原因是 。   。 13．一学生小组做“用单摆测量重力加速度的大小”实验。    （1）用实验室提供的螺旋测微器测量摆球直径。首先，调节螺旋测微器，拧动微调旋钮使测微螺杆和测砧相触时，发现固定刻度的横线与可动刻度上的零刻度线未对齐，如图（a）所示，该示数为 mm；螺旋测微器在夹有摆球时示数如图（b）所示，该示数为 mm，则摆球的直径为 mm。 （2）单摆实验的装置示意图如图（c）所示，其中角度盘需要固定在杆上的确定点O处，摆线在角度盘上所指的示数为摆角的大小。若将角度盘固定在O点上方，则摆线在角度盘上所指的示数为5°时，实际摆角 5°（填“大于”或“小于”）。 （3）某次实验所用单摆的摆线长度为81.50cm，则摆长为 cm。实验中观测到从摆球第1次经过最低点到第61次经过最低点的时间间隔为54.60s，则此单摆周期为 s，该小组测得的重力加速度大小为 m/s2.（结果均保留3位有效数字，π2取9.870） 【素养进阶·提升练】 1．（2025·山西大同·三模）某同学用双线摆测当地的重力加速度，装置如图所示．用长为L的不可伸长的细线穿过球上过球心的V型小孔，细线两端固定在水平杆上的A、B两点．球的直径远小于细线长． (1)使小球在垂直于的竖直平面内做小幅度摆动，小球经过最低点时开始计时并记为1，第n次经过最低点时停止计时，总时长为t，则该双线摆的周期 ； (2)改变细线的长度，细线的两端分别固定在A、B两点不变，多次重复实验，记录每次细线的长L及相应的周期T，若A、B间距离为d，则等效摆长为 ，为了能直观地看出物理量之间的关系，根据测得的多组L、T，应作出 图像； A．    B．    C．    D． (3)若作出的图像为直线且斜率为k，则可求得当地的重力加速度 ． 2．（2024·广西·高考真题）单摆可作为研究简谐运动的理想模型。 (1)制作单摆时，在图甲、图乙两种单摆的悬挂方式中，选择图甲方式的目的是要保持摆动中 不变； (2)用游标卡尺测量摆球直径，测得读数如图丙，则摆球直径为 ； (3)若将一个周期为T的单摆，从平衡位置拉开的角度释放，忽略空气阻力，摆球的振动可看为简谐运动。当地重力加速度为g，以释放时刻作为计时起点，则摆球偏离平衡位置的位移x与时间t的关系为 。 3．（2025·海南·高考真题）小组用如图所示单摆测量当地重力加速度 (1)用游标卡尺测得小球直径，刻度尺测得摆线长，则单摆摆长 （保留四位有效数字）； (2)拉动小球，使摆线伸直且与竖直方向的夹角为（），无初速度的释放小球，小球经过 点（选填：“最高”或“最低”）时，开始计时，记录小球做了次全振动用时，则单摆周期 ，由此可得当地重力加速度 （）。 4．（2023·河北·高考真题）某实验小组利用图装置测量重力加速度。摆线上端固定在点，下端悬挂一小钢球，通过光电门传感器采集摆动周期。 （1）关于本实验，下列说法正确的是 。（多选） A．小钢球摆动平面应与光电门形平面垂直    B．应在小钢球自然下垂时测量摆线长度 C．小钢球可以换成较轻的橡胶球               D．应无初速度、小摆角释放小钢球 （2）组装好装置，用毫米刻度尺测量摆线长度，用螺旋测微器测量小钢球直径。螺旋测微器示数如图，小钢球直径 ，记摆长。    （3）多次改变摆线长度，在小摆角下测得不同摆长对应的小钢球摆动周期，并作出图像，如图。 根据图线斜率可计算重力加速度 （保留3位有效数字，取9.87）。 （4）若将摆线长度误认为摆长，仍用上述图像法处理数据，得到的重力加速度值将 （填“偏大”“偏小”或“不变”）。 5．（2024·辽宁·高考真题）图（a）为一套半圆拱形七色彩虹积木示意图，不同颜色的积木直径不同。某同学通过实验探究这套积木小幅摆动时周期T与外径D之间的关系。 (1)用刻度尺测量不同颜色积木的外径D，其中对蓝色积木的某次测量如图（b）所示，从图中读出 。 (2)将一块积木静置于硬质水平桌面上，设置积木左端平衡位置的参考点O，将积木的右端按下后释放，如图（c）所示。当积木左端某次与O点等高时记为第0次并开始计时，第20次时停止计时，这一过程中积木摆动了 个周期。 (3)换用其他积木重复上述操作，测得多组数据。为了探究T与D之间的函数关系，可用它们的自然对数作为横、纵坐标绘制图像进行研究，数据如下表所示： 颜色 红 橙 黄 绿 青 蓝 紫 2.9392 2.7881 2.5953 2.4849 2.197 1.792 根据表中数据绘制出图像如图（d）所示，则T与D的近似关系为______。 A． B． C． D． (4)请写出一条提高该实验精度的改进措施： 。 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 5. 【知识梳理】 1 一、 实验原理 1 二、 实验器材 1 三、 实验数据处理 2 【重难探究】 3 探究1 　探究测摆长和周期 3 探究2 探究实数据处理和误差分析 4 【课堂自测·基础练】 9 【素养进阶·提升练】 18 【知识梳理】 知识点1 实验原理 当摆角很小时，单摆做简谐运动，其运动周期为T＝2π，它与偏角的大小及摆球的质量无关，由此得到g＝。因此，只要测出摆长l和振动周期T，就可以求出当地的重力加速度g的1.机械振动：物体或物体的一部分在一个位置附近的往复运动，简称振动。 知识点2 实验器材 带有铁夹的铁架台、中心有小孔的金属小球、不易伸长的细线(约1米)、停表、毫米刻度尺和游标卡尺。 知识点3 实验数据处理 1.公式法 将测得的几次的周期T和摆长l的对应值分别代入公式g＝中算出重力加速度g的值，再算出g的平均值，即为当地重力加速度的值。 2.图像法 由单摆的周期公式T＝2π可得T2＝l，因此以摆长l为横轴、以T2为纵轴作出的T2－l图像是一条过原点的直线，如图所示，求出斜率k，即可求出g值。k＝＝，所以g＝。 【重难探究】 探究1 测量摆长和周期 【探究导入】 1.如何测量摆长 方案一：直接测量法 1. 待小球静止后，用刻度尺测量悬挂点到小球最低点的距离 2. 用游标卡尺测量小球直径，计算半径 3. 摆长 方案二：分段测量法 1. 用游标卡尺测量小球直径，计算半径 2. 测量悬挂点到小球上端的距离 摆长 2.如何测量周期 1. 将小球拉开一个小角度（），用直尺辅助确认 2. 释放小球同时启动停表，记录完成30次全振动的时间 3. 周期 改变摆长（每次增减约10cm），重复测量5次 【典例赏析】 [例1]同学用单摆测重力加速度大小，在实验过程中有如下说法，其中正确的是（　　） A．把单摆从平衡位置拉开30°的摆角，并在释放摆球到最低点时开始计时 B．实验中选用密度较大的小钢球作为摆球，测得的重力加速度值误差较小 C．测量摆球通过最低点100次的时间t，则单摆周期为 D．用悬线的长度加摆球的直径作为摆长，代入单摆周期公式计算得到的重力加速度值偏小 【答案】B 【详解】A．单摆在摆角很小的情况下才做简谐运动，则单摆偏离平衡位置的角度不能太大，一般不超过5°，故A错误； B．单摆在运动过程中要受到空气阻力作用，为减小实验误差实验中选用密度较大的小钢球作为摆球，测得的重力加速度值误差较小，故B正确； C．测量摆球通过最低点100次的时间t，则单摆周期为 故C错误； D．根据单摆周期公式 若用悬线的长度加摆球的直径作为摆长，则单摆摆长偏大，所测重力加速度偏大，故D错误。 故选B。 【针对训练】 1如图所示，某同学利用单摆装置来测定当地的重力加速度，下列说法正确的是（　　）    A．小球应该选用质量小体积小的塑料球 B．应在小球摆到最高点时开始计时 C．在小偏角下，不同高度释放，小球的摆动周期不同 D．若将n次全振动误记为n−1次，重力加速度的测量值将偏小 【答案】D 【详解】A．单摆实验中，小球应选质量大、体积小的（减小空气阻力影响），塑料球质量小，空气阻力影响大，故A错误； B．小球在最高点速度为0，计时误差大，应在小球通过最低点时计时（速度最大，计时误差小），故B错误； C．小偏角（θ<5°）下，单摆周期，与振幅（释放高度）无关，故C错误； D．由、，若将n次全振动误记为n−1次，n值减小，重力加速度的测量值将偏小，故D正确。 故选D。 2.某同学利用双线摆和光电计数器测量当地的重力加速度。实验装置如图（甲）所示，测得每根悬线长为L，两悬点间距为s，小球两侧为光电计数器。实验步骤如下，请回答下列问题： (1)用游标卡尺测量小球的直径如图（乙），则小球的直径D是 mm。 (2)现将小球垂直于纸面向外拉动，使悬线偏离竖直方向的角度 5°（选填“大于”或“小于”）。 (3)启动光电计数器，悬线偏离竖直方向后，由静止释放小球，当小球经过平衡位置O时，计时器开始计时，并计为第1次。当光电计数器上显示的计数次数刚好为n时，测得所用的时间为t，由此可知，单摆的振动周期T为__________。 A． B． C． D． (4)根据上述实验方法测量得到的物理量，可得到当地重力加速度 （用字母L、s、D、T表示）。 【答案】(1) (2)小于 (3)D (4) 【详解】（1）小球的直径为 （2）现将小球垂直于纸面向外拉动，小球做简谐运动，则应使悬线偏离竖直方向的角度小于。 （3）当光电计数器显示数为“1”时是0时刻，故计数次数刚好为n时，周期次数为 故单摆的振动周期 故选D。 （4）摆长等于摆线的有效长度与小球的半径之和，即等效摆长为 根据单摆的周期公式 可得 代入数据得 所在位置的有向线段，根据题意可判断C、D错误 探究2 探究实验数据处理和误差分析 【探究导入】 1.数据处理 （1）公式法：每改变一次摆长，将相应的l和T代入公式g＝中求出g值，最后求出g的平均值． 设计如下所示实验表格 实验次数 摆长l/m 周期T/s 重力加速g/(m·s－2) 重力加速度g的平均值/(m·s－2) 1 g＝ 2 3 （2）图像法：由T＝2π得T2＝l，以T2为纵坐标，以l为横坐标作出T2－l图像(如图所示)．其斜率k＝，由图像的斜率即可求出重力加速度g. 2.误差分析 （1）系统误差：主要来自于单摆模型本身是否符合要求，即悬点是否固定，摆球和摆长是否符合要求，最大摆角是否不超过5°，是否在同一竖直平面内摆动等。 （2）偶然误差 ①主要来自于时间测量，测量时间时要求从摆球通过平衡位置开始计时，在记次数时不能漏记或多记。同时应多次测量，再对多次测量结果求平均值。 ②测长度和摆球直径时，读数也容易产生误差。秒表读数读到秒的十分位即 【例2】某同学利用单摆测量当地的重力加速度，测得的重力加速度数值大于当地的重力加速度的实际值，造成这一情况的原因可能是（　　） A．开始摆动时振幅较小 B．开始计时时，过早按下秒表 C．测量周期时，误将摆球（）次全振动的时间记为n次全振动的时间 D．测量摆长时，摆线长度没有加上摆球的半径 【答案】C 【详解】根据 可知 A．开始摆动时振幅较小，振幅不影响周期，故A错误； B．开始计时时，过早按下停表，导致周期测量偏大，则重力加速度偏小，故B错误； C．测量周期时，误将摆球（）次全振动的时间记为n次全振动的时间，周期测量值偏小，重力加速度偏大，故C正确； D．测量摆长时，摆线长度没有加上摆球的半径，摆长偏小，重力加速度偏小，故D错误。 故选C。 【例3】（多选）某同学在“利用单摆测定重力加速度”实验中，用实心金属小球和不可伸长的细线组装成单摆，改变细线的长度l，测出单摆的周期T，实验过程中忘了测量小球直径，其他操作规范，画出的图像如图，取，则（　　） A．小球直径为1cm B．小球直径为2cm C．当地重力加速度 D．当地重力加速度 【答案】BC 【详解】单摆的摆长应是摆线长度与小球半径之和，根据单摆的周期公式可得 结合图像可知，小球的半径为1cm，直径为2cm。其斜率 解得 故选BC。 【针对训练】 3.某同学做用单摆测定重力加速度的实验，为减小实验误差，多次改变摆长L，测量对应的单摆周期T，用多组实验数据绘制图像如图所示。由图可知，当地重力加速度大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】用多组实验数据绘制图像的斜率为 单摆周期公式 得 所以 变形得重力加速度大小为 故选B。 4.（多选）用单摆测量重力加速度的实验步骤如下，某同学对操作进行了改正，正确的是（　　） ①先把单摆悬挂起来，测出悬挂点到小球重心的距离，得到摆长L ②把小球拉开一个很小的角度，然后由静止释放 ③当摆球到达最高位置时，启动秒表，并记为第一次，当摆球第（n+1）次到达最高位置时按停秒表，若秒表读数为t，则单摆周期为 ④不必改变摆线的长度，只要重复前三步的操作，实验多次，求g的平均值即可 ⑤作出T2-L图线，求出图线的斜率k ⑥根据，求出g A．①测量摆长时，要测出悬点到摆球上端的悬线的长度，再测出小球的直径，悬线的长度加上小球的半径才是摆长 B．不需做T2-L图线，直接根据公式计算，求g的平均值即可 C．④要改变摆长，重复前三步的操作，实验多次 D．③当摆球到达平衡位置时开始计时，并计为第一次，并且每次到达平衡位置且与第一次计数时的运动方向相同，计一次数；当摆球第（n+1）到达平衡位置且与第一次计数时的运动方向相同时按停秒表，则秒表的读数为n个周期 【答案】ACD 【详解】A．测量摆长时，要测出悬点到摆球上端的悬线的长度，再测出小球的直径，悬线的长度加上小球的半径才是摆长，故A正确； B．做T2-L图线，利用斜率计算重力加速度，可有效减小偶然误差，故B错误； C．要改变摆长，重复前三步的操作，实验多次。如果不改变摆场，则无法得到不同摆长和周期的关系，故C正确； D．摆球到达平衡位置时开始计时，并计为第一次，并且每次到达平衡位置且与第一次计数时的运动方向相同，计一次数；则每增加一次用时一个周期。所以当摆球第（n+1）到达平衡位置且与第一次计数时的运动方向相同时按停秒表，则秒表的读数为n个周期，故D正确。 故选ACD 【课堂自测·基础练】 1．在“用单摆测定重力加速度”实验中，某同学发现测得的值偏大。其原因可能是（    ） A．摆球的质量过大 B．测定周期时，振动次数多计了一次 C．计算摆长时，只考虑悬线的长度，没有加上摆球的半径 D．摆线上端未系牢固，在振动中出现松动，使摆线长度增加了 【答案】B 【详解】A．根据单摆周期公式整理得可知摆球的质量对重力加速度测定无影响，故A错误；B．测定周期时，振动次数多计了一次，则周期的测量值偏小，重力加速度测量值偏大，故B正确； C．计算摆长时，只考虑悬线的长度，没有加上摆球的半径，摆长偏小，重力加速度测量值偏小，故C错误； D．摆线上端未系牢固，在振动中出现松动，使摆线长度增加了，摆长的实际值大于摆长的测量值，摆长偏小，重力加速度测量值偏小，故D错误。故选B。 2．在用单摆测量重力加速度的实验中，下面叙述正确的是（　　） A．摆线要选择细些的、伸缩性小些的，并且适当长一些 B．如果有两个大小相等且都带孔的铜球和木球，应选用木球作摆球 C．为了使单摆摆动的时间长一些，以方便测量，开始时拉开摆球，使摆角较大 D．用刻度尺测量出摆线的长度就是单摆的摆长 【答案】A 【详解】A．为减小实验误差，摆线要选择细些的、伸缩性小些的，并且适当长一些，A正确；B．选用木球作摆球，空气阻力影响较大，实验误差大，B错误；C．若摆角过大，不能看成简谐运动，应小于，C错误；D．摆线的长度与摆球的半径之和等于摆长，D错误。故选A。 3．某同学利用单摆测得的重力加速度数值大于当地的重力加速度的实际值，造成这一情况的原因可能是（    ） A．开始摆动时振幅较小 B．开始计时时，过早按下停表 C．测量周期时，误将摆球（）次全振动的时间记为n次全振动的时间 D．测量摆长时从悬点到小球上端边缘的距离为摆长 【答案】C 【详解】根据可知A．开始摆动时振幅较小，振幅不影响周期，故A错误；B．开始计时时，过早按下停表，导致周期测量偏大，则重力加速度偏小，故B错误；C．测量周期时，误将摆球（）次全振动的时间记为n次全振动的时间，周期测量值偏小，重力加速度偏大，故C正确；D．测量摆长时从悬点到小球上端边缘的距离为摆长，摆长偏小，重力加速度偏小，故D错误。故选C。 4．小明同学用单摆测量学校的重力加速度。他改变摆长L，测出几组对应的周期T，并作出图像如图所示。下列说法错误的是（　　）    A．他应选用质量大、体积小的钢球做实验 B．他应从摆球经过平衡位置开始计时 C．图像不过坐标原点的原因可能是摆长测量值偏大 D．他通过作出图像处理数据来求得重力加速度，可消除因摆球质量分布不均匀而导致的系统误差 【答案】C 【详解】A．为了减小空气阻力的影响，应选用质量大、体积小的钢球做实验，故A正确，不满足题意要求； B．为了减小误差，应从摆球经过平衡位置开始计时，故B正确，不满足题意要求；CD．设摆线长度为，小球半径为，根据单摆公式可得可得，可知图像不过坐标原点的原因可能是测量摆长时，忘记加上小球的半径；可知图像的斜率为，通过作出图像处理数据来求得重力加速度，可消除因摆球质量分布不均匀而导致的系统误差，故C错误，满足题意要求，D正确，不满足题意要求。 故选C。 5．某同学利用单摆测定当地的重力加速度。 (1)实验室已经提供的器材有：铁架台、夹子、秒表、游标卡尺。除此之外，还需要的器材有__________。 A．长度约为1 m的细线 B．长度约为30 cm的细线 C．直径约为2 cm的钢球 D．直径约为2 cm的木球 E．最小刻度为1 cm的直尺 F．最小刻度为1 mm的直尺 (2)该同学在测量单摆的周期时，他用秒表记下了单摆做50次全振动的时间，如图甲所示，秒表的读数为________ s。 (3)下表是该同学记录的3组实验数据，并做了部分计算处理。 组次 1 2 3 摆长l/cm 80.00 90.00 100.00 50次全振动时间t/s 90.0 95.5 100.5 振动周期T/s 1.80 1.91 重力加速度g/(m·s－2) 9.74 9.73 请计算出第3组实验中的T＝______ s，g＝______m/s2。 (4)该同学经测量得到多组摆长l和对应的周期T，画出，l­T2图线，然后在图线上选取A、B两个点，坐标如图乙所示。则当地重力加速度的表达式g＝________。 【答案】(1)ACF　(2)95.1　(3)2.01　9.76 (4)4π2 【详解】(1)细线长度要远大于小球直径；小球需要体积小、质量大，所以选钢球；为了提高测量的精确度，选择毫米刻度尺。故选A、C、F。 (2)秒表的读数为95.1 s。 (3)周期为T＝＝ s＝2.01 s，根据周期公式得g＝，代入数据得g＝9.76 m/s2。 (4)根据周期公式得l＝，所以图像的斜率为＝，解得g＝4π2。 6．在“用单摆测定重力加速度”的实验中： （1）若完成n次全振动的时间为t，用毫米刻度尺测得的摆线长（悬点到摆球上端的距离）为L0，用刻度尺测得摆球的直径为d、用上述物理量的符号写出测重力加速度的一般表达式g=___________。 （2）实验中某同学发现测得的重力加速度的值总是偏大，下列原因中可能的是___________。 A．实验室处在高山上，距离海面太高 B．单摆所用的摆球质量太大了 C．实际测出n次全振动的时间t，误作为（n+1）次全振动的时间 D．以摆线长作为摆长来计算 （3）甲同学测量出几组不同摆长L和周期T的数值，画出如图T2-L图像中的实线OM，并算出图线的斜率为k，则当地的重力加速度g=___________。 （4）乙同学也进行了与甲同学同样的实验，但实验后他发现测量摆长时忘了加上摆球的半径，则该同学做出的T2-L图像为___________（选填：①②③④） （5）丙同学将单摆固定在力传感器上，得到了拉力随时间的变化曲线，已知摆长L1=0.99m根据图中的信息可得，重力加速度g=___________m/s2（取π2≈9.87，结果保留三位有效数字） 【答案】 C ② 9.77 【详解】（1）[1]根据；可得 （2）[2]测得的重力加速度偏大，根据； A.实验室处在高山上，距离海面太高，则重力加速度会偏小，选项A错误； B.单摆所用的摆球质量大小与周期无关，选项B错误； C.实际测出n次全振动的时间t，误作为（n+1）次全振动的时间，则周期测量值偏小，计算出的重力加速度偏大，选项C正确； D.以摆线长作为摆长来计算，则摆长计算偏小，测得的重力加速度偏小，选项D错误。 故选C。 （3）[4]根据；可得 可知；解得 根据单摆的周期公式；得；实验后他发现测量摆长时忘了加上摆球的半径，摆长L=0时，纵轴截距不为零，加上摆球半径后图像应该到正确位置，即M位置，由于重力加速度不变，则图线的斜率不变，故图像应该为②。 （4）[5]由图像可知，单摆的周期为T=2s，则根据；可得 7．用单摆测重力加速度实验中： （1）实验操作中的注意事项正确的是（______） A．小球摆动时，摆角应不大于5°，且应在同一竖直面内摆动； B．计算单摆的全振动次数时，应以摆球到达最高点开始计时，到到达同一侧最高点时记为一次全振动； C．测摆长应测出摆球球心到悬点的距离，要用游标卡尺测摆球直径d，摆长l等于悬线长加d D．应改变摆长，重做几次实验，取多次测出的重力加速度的平均值作为最终结果 （2）在做“用单摆测量重力加速度”的实验时，用摆长l和周期T计算重力加速度的公式是______。让刻度尺的零点对准摆线的悬点，摆线竖直下垂，如图甲所示，则单摆摆长是______m。若测定了24次全振动的时间如图乙中停表所示，则停表读数是______s，单摆摆动周期是______s。 （3）为了提高测量精度，需多次改变l值，并测得相应的T值。现将测得的六组数据标示在以l为横坐标、以为纵坐标的坐标系上，即图丙中用“·”表示的点，则 ①试根据图丙中给出的数据点作出和l的关系图线______， ②根据图线得出直线斜率______。（结果取两位有效数字） （4）请写出此实验引起误差的主要因素（写出两条即可）______。 【答案】AD 0.8900 45.6 1.9 见解析 4.0 存在空气阻力、测量数据时存在读数误差 【详解】（1）[1] A．小球摆动时，摆角应不大于5°以保证做简谐运动，且应在同一竖直面内摆动，故A正确； B．计算单摆的全振动次数时，应以摆球到达最低点开始计时，故B错误； C．测摆长应测出摆球球心到悬点的距离，要用游标卡尺测摆球直径d，摆长l等于悬线长加，故C错误； D．为提高准确度，应改变摆长，重做几次实验，取多次测出的重力加速度的平均值作为最终结果，故D正确。 故选AD。 （2）[2] 根据简谐运动周期公式 用摆长l和周期T计算重力加速度的公式是 [3]摆长为悬点到球心的距离，由图知，摆长为0.8900m。 [4]由图知，停表读数为45.6s。 [5]单摆振动的周期为 （3）[6]使数据点尽量落在线上或平均分布在线两侧，偏离较远的点舍去，绘图如下 [7]根据图线，得出斜率 [8] 此实验引起误差的主要因素：存在空气阻力、测量数据时存在读数误差等。 8．如图所示，某同学利用双线摆和光电计数器测量当地的重力加速度。已知每根悬线长为d，两悬点间相距s，金属小球半径为r，AB为光电计数器。现将小球垂直于纸面向外拉动，使悬线偏离竖直方向一个较小的角度并由静止释放，同时，启动光电计数器，当小球第一次经过图中虚线（光束）位置O时，由A射向B的光束被挡住，计数器计数一次，显示为“1”，同时计时器开始计时．然后每当小球经过点O时，计数器都计数一次。当计数器上显示的计数次数刚好为n时，所用的时间为t，由此可知： （1）双线摆的振动周期______，双线摆的等效摆长______。 （2）依据公式______代入周期T和等效摆长L的值，即可求出重力加速度。 （3）该同学在实验中，测量5种不同摆长情况下单摆的振动周期，记录数据见表。 如图表 实验次数 1 2 3 4 5 L/m 0.50 0.80 0.90 1.00 1.20 T/s 1.41 1.79 1.90 2.01 2.19 1.99 3.20 3.61 4.00 4.80 以L为横坐标，为纵坐标，在图中作出图像_______，并利用此图像求得重力加速度______。（保留三位有效数字） 【答案】 见解析 9.86m/s2 【详解】(1)[1]由题意可知，时间t内，单摆完成全振动的次数为，单摆的周期 [2]双线摆的等效摆长为 (2)[3]由单摆周期公式；可得 (3)[4][5]由单摆周期公式；变形得；则L与T2成正比，为方便实验数据处理，L-T2是一条直线，探究T、L的关系应作出L-T2图象，如图所示 斜率；解得g=9.86m/s2 9．某研究性学习小组在进行“用单摆测定重力加速度”的实验中（实验装置如图甲所示），已知单摆在摆动过程中的摆角小于5°；在测量单摆的周期时，从单摆运动到最低点开始计时且记数为1，到第n次经过最低点所用的时间为t；在测量单摆的摆长时，先用毫米刻度尺测得摆球悬挂后的摆线长（从悬点到摆球的最上端）为L，再用螺旋测微器测得摆球的直径为d（读数如图乙所示）。 （1）从图可知，摆球的直径为d=_________ mm； （2）用上述物理量的符号写出求重力加速度的一般表达式g=________； （3）实验结束后，同学们在讨论如何能够提高测量结果的精确度时，提出了以下建议，其中可行的是：___________。 A．实验中适当加长摆线 B．当单摆经过最大位置时开始计时 C．质量相同、体积不同的摆球，应选用体积较大的 D．测量多组周期T和摆长L，作L-T2关系图像来处理数据 【解析】5.980 AD 【详解】(1)[1]螺旋测微器的主尺读数为5.5mm，可动刻度读数为0.01×48.0mm=0.480mm，则最终读数为5.980mm。 (2)[2]由题，从单摆运动到最低点开始计时且记数为1，到第n次经过最低点所用的时间内为t，则单摆全振动的次数为；周期为 单摆的摆长为；由单摆的周期公式；解得 (3)[3] A．实验中适当加长摆线，可以减小摆线的测量误差，故A正确； B．为了减小误差，需要当单摆经过平衡位置时开始计时。故B错误； C．为了减小误差，质量相同、体积不同的摆球，应选用体积较小的。故C错误； D．应用图象法处理实验数据可以减小实验误差，测量多组周期T和摆长L，作L-T2关系图象来处理数据，故D正确。 故选AD。 10．在一次“用单摆测定重力加速度”的实验中，图甲中的O点是摆线的悬挂点，a、b点分别是球的上沿和球心，摆长L=___________m。图乙为测量周期用的秒表，长针转一圈的时间为30s，表盘上部的小圆共15大格，每一大格表示1min。在测量周期时，当摆球摆动稳定后，计时起点应选在小球摆至___________（选填“最高点”或“最低点”）时，测得单摆摆动n=50次时，长、短针位置如图乙所示，所用时间t=___________s，则周期T=___________s（结果保留两位有效数字）。用以上直接测量的物理量的符号表示重力加速度的计算式为g=___________（不必代入数据计算）。 【答案】0.9950 最低点 100.2 2.0 【详解】[1]由图甲可知，摆长为 [2]由于摆球经过最低点时速度最大，引起的周期测量误差最小，故在测量周期时，当摆球摆动稳定后，计时起点应选在小球摆至最低点； [3]由图乙可知，单摆摆动n=50次时所用时间为 [4]根据周期公式，可得单摆的周期为 [5]由单摆的周期公式；又故可得重力加速度的计算式为 11．某实验小组利用图装置测量重力加速度。摆线上端固定在点，下端悬挂一小钢球，通过光电门传感器采集摆动周期。 （1）关于本实验，下列说法正确的是 。（多选） A．小钢球摆动平面应与光电门形平面垂直     B．应在小钢球自然下垂时测量摆线长度 C．小钢球可以换成较轻的橡胶球                D．应无初速度、小摆角释放小钢球 （2）组装好装置，用毫米刻度尺测量摆线长度，用螺旋测微器测量小钢球直径。螺旋测微器示数如图，小钢球直径 ，记摆长。    （3）多次改变摆线长度，在小摆角下测得不同摆长对应的小钢球摆动周期，并作出图像，如图。 根据图线斜率可计算重力加速度 （保留3位有效数字，取9.87）。 （4）若将摆线长度误认为摆长，仍用上述图像法处理数据，得到的重力加速度值将 （填“偏大”“偏小”或“不变”）。 【答案】ABD 20.035 9.87 不变 【详解】（1）[1]A．使用光电门测量时，光电门形平面与被测物体的运动方向垂直是光电门使用的基本要求，故A正确； B．测量摆线长度时，要保证绳子处于伸直状态，故B正确； C．单摆是一个理想化模型，若采用质量较轻的橡胶球，空气阻力对摆球运动的影响较大，故C错误； D．无初速度、小摆角释放的目的是保持摆球在竖直平面内运动，不形成圆锥摆，且单摆只有在摆角很小的情况下才可视为简谐运动，使用计算单摆的周期，故D正确。 故选ABD。 （2）[2]小钢球直径为 （3）[3]单摆周期公式；整理得 由图像知图线的斜率解得 （4）[4]若将摆线长度误认为摆长，有；则得到的图线为 仍用上述图像法处理数据，图线斜率不变，仍为，故得到的重力加速度值不变。 12.某实验小组用单摆测量重力加速度。所用实验器材有摆球、长度可调的轻质摆线、刻度尺、50分度的游标卡尺、摄像装置等。    （1）用游标卡尺测量摆球直径d。当量爪并拢时，游标尺和主尺的零刻度线对齐。放置摆球后游标卡尺示数如图甲所示，则摆球的直径d为 mm。 （2）用摆线和摆球组成单摆，如图乙所示。当摆线长度l＝990.1mm时，记录并分析单摆的振动视频，得到单摆的振动周期T＝2.00 s，由此算得重力加速度g为 m/s2（保留3位有效数字）。 （3）改变摆线长度l，记录并分析单摆的振动视频，得到相应的振动周期。他们发现，分别用l和作为摆长，这两种计算方法得到的重力加速度数值的差异大小Δg随摆线长度l的变化曲线如图所示。由图可知，该实验中，随着摆线长度l的增加，Δg的变化特点是 ，原因是 。    【答案】19.20 9.86 随着摆线长度l的增加，Δg逐渐减小 随着摆线长度l的增加，则越接近于l，此时计算得到的g的差值越小 【详解】（1）[1]用游标卡尺测量摆球直径d=19mm+0.02mm×10=19.20mm （2）[2]单摆的摆长为L=990.1mm+×19.20mm=999.7mm 根据；可得；带入数据 （3）[3][4]由图可知，随着摆线长度l的增加，Δg逐渐减小，原因是随着摆线长度l的增加，则越接近于l，此时计算得到的g的差值越小。 13．一学生小组做“用单摆测量重力加速度的大小”实验。    （1）用实验室提供的螺旋测微器测量摆球直径。首先，调节螺旋测微器，拧动微调旋钮使测微螺杆和测砧相触时，发现固定刻度的横线与可动刻度上的零刻度线未对齐，如图（a）所示，该示数为 mm；螺旋测微器在夹有摆球时示数如图（b）所示，该示数为 mm，则摆球的直径为 mm。 （2）单摆实验的装置示意图如图（c）所示，其中角度盘需要固定在杆上的确定点O处，摆线在角度盘上所指的示数为摆角的大小。若将角度盘固定在O点上方，则摆线在角度盘上所指的示数为5°时，实际摆角 5°（填“大于”或“小于”）。 （3）某次实验所用单摆的摆线长度为81.50cm，则摆长为 cm。实验中观测到从摆球第1次经过最低点到第61次经过最低点的时间间隔为54.60s，则此单摆周期为 s，该小组测得的重力加速度大小为 m/s2.（结果均保留3位有效数字，π2取9.870） 【答案】 0.006/0.007/0.008 20.034/20.033/20.035/20.032 20.027/20.028/20.029 大于 82.5 1.82 9.83 【详解】（1）[1]测量前测微螺杆与和测砧相触时，图（a）的示数为 [2]螺旋测微器读数是固定刻度读数(0.5mm的整数倍)加可动刻度（0.5mm以下的小数）读数，图中读数为 [3]则摆球的直径为 （2）[4]角度盘的大小一定，即在规定的位置安装角度盘，测量的摆角准确，但将角度盘固定在规定位置上方，即角度盘到悬挂点的距离变短，同样的角度，摆线在刻度盘上扫过的弧长变短，故摆线在角度盘上所指的示数为5°时，实际摆角大于5°； （3）[5]单摆的摆线长度为81.50 cm，则摆长为 结果保留三位有效数字，得摆长为82.5cm； [6]一次全振动单摆经过最低点两次，故此单摆的周期为 [7]由单摆的周期表达式得，重力加速度 【素养进阶·提升练】 1．（2025·山西大同·三模）某同学用双线摆测当地的重力加速度，装置如图所示．用长为L的不可伸长的细线穿过球上过球心的V型小孔，细线两端固定在水平杆上的A、B两点．球的直径远小于细线长． (1)使小球在垂直于的竖直平面内做小幅度摆动，小球经过最低点时开始计时并记为1，第n次经过最低点时停止计时，总时长为t，则该双线摆的周期 ； (2)改变细线的长度，细线的两端分别固定在A、B两点不变，多次重复实验，记录每次细线的长L及相应的周期T，若A、B间距离为d，则等效摆长为 ，为了能直观地看出物理量之间的关系，根据测得的多组L、T，应作出 图像； A．    B．    C．    D． (3)若作出的图像为直线且斜率为k，则可求得当地的重力加速度 ． 【答案】(1) (2) D (3) 【详解】（1）根据题意有 解得 （2）[1]根据几何关系，可得等效摆长 [2]根据 解得 可见，和是线性关系，因此为了能直观地看出物理量之间关系，根据测得的多组L、T数据，应作出的图像。 故选D。 （3）若图像的斜率为k，则有 解得 2．（2024·广西·高考真题）单摆可作为研究简谐运动的理想模型。 (1)制作单摆时，在图甲、图乙两种单摆的悬挂方式中，选择图甲方式的目的是要保持摆动中 不变； (2)用游标卡尺测量摆球直径，测得读数如图丙，则摆球直径为 ； (3)若将一个周期为T的单摆，从平衡位置拉开的角度释放，忽略空气阻力，摆球的振动可看为简谐运动。当地重力加速度为g，以释放时刻作为计时起点，则摆球偏离平衡位置的位移x与时间t的关系为 。 【答案】(1)摆长 (2)1.06 (3) 【详解】（1）选择图甲方式的目的是要保持摆动中摆长不变； （2）摆球直径为 （3）根据单摆的周期公式可得单摆的摆长为 从平衡位置拉开的角度处释放，角度很小，有，则可得振幅为 以该位置为计时起点，根据简谐运动规律可得摆球偏离平衡位置的位移x与时间t的关系为 3．（2025·海南·高考真题）小组用如图所示单摆测量当地重力加速度 (1)用游标卡尺测得小球直径，刻度尺测得摆线长，则单摆摆长 （保留四位有效数字）； (2)拉动小球，使摆线伸直且与竖直方向的夹角为（），无初速度的释放小球，小球经过 点（选填：“最高”或“最低”）时，开始计时，记录小球做了次全振动用时，则单摆周期 ，由此可得当地重力加速度 （）。 【答案】(1) (2)最低 【详解】（1）单摆的摆长为 （2）[1]为减小实验计时误差，需小球经过最低点时开始计时； [2]单摆周期 [3]根据单摆周期公式 可得 代入数值得 4．（2023·河北·高考真题）某实验小组利用图装置测量重力加速度。摆线上端固定在点，下端悬挂一小钢球，通过光电门传感器采集摆动周期。 （1）关于本实验，下列说法正确的是 。（多选） A．小钢球摆动平面应与光电门形平面垂直    B．应在小钢球自然下垂时测量摆线长度 C．小钢球可以换成较轻的橡胶球               D．应无初速度、小摆角释放小钢球 （2）组装好装置，用毫米刻度尺测量摆线长度，用螺旋测微器测量小钢球直径。螺旋测微器示数如图，小钢球直径 ，记摆长。    （3）多次改变摆线长度，在小摆角下测得不同摆长对应的小钢球摆动周期，并作出图像，如图。 根据图线斜率可计算重力加速度 （保留3位有效数字，取9.87）。 （4）若将摆线长度误认为摆长，仍用上述图像法处理数据，得到的重力加速度值将 （填“偏大”“偏小”或“不变”）。 【答案】ABD 20.035/20.036/20.034 9.87 不变 【详解】（1）[1]A．使用光电门测量时，光电门形平面与被测物体的运动方向垂直是光电门使用的基本要求，故A正确； B．测量摆线长度时，要保证绳子处于伸直状态，故B正确； C．单摆是一个理想化模型，若采用质量较轻的橡胶球，空气阻力对摆球运动的影响较大，故C错误； D．无初速度、小摆角释放的目的是保持摆球在竖直平面内运动，不形成圆锥摆，且单摆只有在摆角很小的情况下才可视为简谐运动，使用计算单摆的周期，故D正确。 故选ABD。 （2）[2]小钢球直径为 （3）[3]单摆周期公式 整理得 由图像知图线的斜率 解得 （4）[4]若将摆线长度误认为摆长，有 则得到的图线为 仍用上述图像法处理数据，图线斜率不变，仍为，故得到的重力加速度值不变。 5．（2024·辽宁·高考真题）图（a）为一套半圆拱形七色彩虹积木示意图，不同颜色的积木直径不同。某同学通过实验探究这套积木小幅摆动时周期T与外径D之间的关系。 (1)用刻度尺测量不同颜色积木的外径D，其中对蓝色积木的某次测量如图（b）所示，从图中读出 。 (2)将一块积木静置于硬质水平桌面上，设置积木左端平衡位置的参考点O，将积木的右端按下后释放，如图（c）所示。当积木左端某次与O点等高时记为第0次并开始计时，第20次时停止计时，这一过程中积木摆动了 个周期。 (3)换用其他积木重复上述操作，测得多组数据。为了探究T与D之间的函数关系，可用它们的自然对数作为横、纵坐标绘制图像进行研究，数据如下表所示： 颜色 红 橙 黄 绿 青 蓝 紫 2.9392 2.7881 2.5953 2.4849 2.197 1.792 根据表中数据绘制出图像如图（d）所示，则T与D的近似关系为______。 A． B． C． D． (4)请写出一条提高该实验精度的改进措施： 。 【答案】(1)7.54/7.55/7.56 (2)10 (3)A (4)见解析 【详解】（1）刻度尺的分度值为0.1cm，需要估读到分度值下一位，读数为 （2）积木左端两次经过参考点O为一个周期，当积木左端某次与O点等高时记为第0次并开始计时，之后每计数一次，经历半个周期，可知，第20次时停止计时，这一过程中积木摆动了10个周期。 （3）由图（d）可知，与成线性关系，根据图像可知，直线经过与，则有 解得 则有 解得 可知 故选A。 （4）为了减小实验误差，提高该实验精度的改进措施：用游标卡尺测量外径D、通过测量40次或60次左端与O点等高所用时间来求周期、适当减小摆动的幅度。 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $