7.3.2离散型随机变量的方差课件-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

人教A版 选择性必修 第三册 7.3.2离散型随机变量的方差 第七章 随机变量及其分布 1. 离散型随机变量的均值： 2. 均值的性质： 3. 随机变量X服从两点分布，则 知识回顾 4. 样本方差： 1.理解离散型随机变量的方差及标准差的概念； 2.掌握方差的性质,会利用公式求离散型随机变量的方差； 3.会计算离散型随机变量的方差,并能解决一些实际问题. 学习目标 自学指导 阅读课本67--69页，完成以下问题： 问题1 离散型随机变量的方差。 问题2 离散型随机变量的方差的性质。 问题 从两名同学中挑出一名代表班级参加射击比赛. 根据以往的成绩记录，甲、乙两名同学击中目标靶的环数X和Y的分布列如下表所示. 如何评价这两名同学的射击水平? X 6 7 8 9 10 P 0.09 0.24 0.32 0.28 0.07 Y 6 7 8 9 10 P 0.07 0.22 0.38 0.30 0.03 评价射击水平，除了要了解击中环数的均值外，还要考虑稳定性，即击中环数的离散程度. 思考 怎样定量刻画离散型随机变量取值的离散程度? 一般地，若离散型随机变量X的分布列如下表所示. X x1 x2 ‧‧‧ xn P p1 p2 ‧‧‧ pn 则称 为随机变量X的方差， 有时也记为Var(X)，并称 为随机变量X的标准差，记为σ(X). 随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的离散程度. 方差或标准差越小，随机变量的取值越集中；方差或标准差越大，随机变量的取值越分散. 教师点拨 离散型随机变量的方差 问题 从两名同学中挑出一名代表班级参加射击比赛. 根据以往的成绩记录，甲、乙两名同学击中目标靶的环数X和Y的分布列如下表所示. 分别计算这两名同学的方差，并用此评价他们的射击水平. X 6 7 8 9 10 P 0.09 0.24 0.32 0.28 0.07 Y 6 7 8 9 10 P 0.07 0.22 0.38 0.30 0.03 ∴随机变量Y的取值相对更集中，即乙同学的射击成绩相对更稳定. 练习 已知随机变量X的分布列为下图，则D(X)等于(　　) A.0.7 B.0.61 C.-0.3 D.0 X -1 0 1 P 0.5 0.3 0.2 B 小组互助 思考：离散型随机变量的方差和样本方差之间有何关系? 离散型随机变量的方差即为总体的方差,它是一个常数,不随样本的变化而变化;样本方差则是随机变量,它是随样本不同而变化的. 在方差的计算中，为了使运算简化，还可以用下面的结论. 例1 抛掷一枚质地均匀的骰子， 求掷出的点数X的方差. 小组互助 变式1 已知离散型随机变量X1的分布列为 离散型随机变量X2的分布列为 求这两个随机变量的均值、方差与标准差. 小组互助 变式2 已知随机变量X的分布列为 C 小组互助 小组互助 例2　篮球比赛中每次罚球命中得1分，不中得0分．已知某运动员罚球命中的概率为0.7，求他一次罚球得分的方差． D(X)=p(1-p) 一般地，如果随机变量X服从两点分布，那么 0.6 0.24 小组互助 探究 如果X是一个离散型随机变量，则D(X＋b)和D(aX)(其中a, b为常数)分别与D(X)有怎样的关系? D(X＋b)=D(X). D(aX)=a²D(X). D(aX+b)=a²D(X). 练习 若D(Y)=3,则D(2Y-1)=　　　　　.  12 小组互助 例3 已知随机变量X的分布列为 (1)求方差及标准差; (2)若Y=2X+1,求D(Y). 小组互助 变式3 已知随机变量X的分布列为 小组互助 1. 已知随机变量X的分布列为 X 1 2 3 4 P 0.2 0.3 0.4 0.1 求D(X)和(2X+7). 2.若随机变量X满足P(X=c)=1，其中c为常数，求D(X). 例4 投资A，B两种股票，每股收益的分布列分别如下表所示. 股票A收益的分布列 股票B收益的分布列 收益X /元 －1 0 2 概率 0.1 0.3 0.6 收益Y /元 0 1 2 概率 0.3 0.4 0.3 (1) 投资哪种股票的期望收益大? (2) 投资哪种股票的风险较高? ∵E(X)>E(Y)，∴ 投资股票A的期望收益较大. ∵D(X)>D(Y)，∴ 投资股票A的风险较高. 小组互助 变式4 已知甲、乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量X,Y, 甲、乙两名射手在每次射击中击中的环数均大于6环,且甲射中10,9,8,7环的概率分别为0.5,3a,a,0.1, 乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2. (1)求X,Y的分布列; (2)求X,Y的均值与方差,并以此比较甲、乙的射击技术并从中选拔一人. X 10 9 8 7 P 0.5 0.3 0.1 0.1 Y 10 9 8 7 P 0.3 0.3 0.2 0.2 小组互助 X －2 －1 0 1 2 P 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 先直观判断X和Y的分布哪一个离散程度大，再分别计算X和Y的方差，验证你的判断. Y －2 －1 0 1 2 P 0.05 0.15 0.6 0.15 0.05 3.甲、乙两个班级同学分别目测数学教科书的长度，其误差X和Y(单位: cm)的分布列如下: ∵D(X)>D(Y)，∴ X的分布离散程度较大. 1. 离散型随机变量的方差： 2. 方差的性质： 3. 随机变量X服从两点分布，则 课后反思 D(aX+b)=a²D(X). D(X)=p(1-p) X1 1 2 3 4 5 6 7 P X2 3.7 3.8 3.9 4 4.1 4.2 4.3 P X -1 0 1 P 则下列式子:①E(X)=-;②D(X)=;③P(X=0)=.其中正确的个数是(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 1.若随机变量X的分布列如下表所示： X 0 1 P 0.4 0.6 则E(X)＝________，D(X)＝________. X 0 10 20 50 60 P X 0 1 x P p 若E(X)=, (1)求D(X)的值; (2)若Y=3X-2,求的值. $