专题02 函数与导数（5大考点期末真题汇编，重庆专用）高二数学下学期人教A版

**基本信息** 重庆多校高二期末函数与导数专题汇编，覆盖5大高频考点，整合单选、多选、填空、解答等题型，精选名校真题，注重基础巩固与能力提升的梯度设计。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|26题|函数性质、指对幂函数、导数计算|基础概念辨析，如奇偶性判断、单调性比较| |多选题|10题|函数对称性、导数应用|情境化设计，如悬链线工程实例分析| |填空题|14题|函数解析式、切线方程|多考点融合，如奇偶性与周期性综合| |解答题|16题|导数单调性、极值、综合应用|分层设问，如导数证明不等式、零点问题探究|

专题02函数与导数 5大高频考点概览 考点01函数及其性质 考点02指对幂函数 考点03导数的计算及其几何意义 考点04利用导数研究函数的单调性 考点05导数的综合应用 地 城 考点01 函数及其性质 一、单选题 1．(24-25高二下·重庆部分区·期末)已知，则（    ） A．-2 B．-1 C．1 D．2 【答案】A 【分析】根据分段函数，代入求值. 【详解】. 故选：A 2．(24-25高二下·重庆西南大学附属中学校·期末)下列函数中奇偶性与其它三个不同的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据奇函数满足，偶函数满足，对选项进行逐一判断. 【详解】选项A：函数定义域为,关于原点对称； ，，为奇函数. 选项B：函数定义域为不等于,关于原点对称； ，，为奇函数. 选项C：函数定义域为,关于原点对称； ，为偶函数. 选项D：函数定义域为,关于原点对称； ， 所以，为奇函数. 故选：C. 3．(24-25高二下·重庆巴蜀中学教育集团·期末)下列函数在定义域内是减函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一次函数性质判断的单调性，根据反比例函数的性质判断B，根据二次函数性质判断D，根据复合函数单调性判断法则判断C. 【详解】在上单调递增； 在单调递减，单调递减， 但，，所以函数不在定义域内单调递减； 在单调递减，单调递增，不在定义域内单调递减； 函数在内为减函数，，函数在内为增函数， 所以函数在定义域内为减函数， 故选：C. 4．(24-25高二下·重庆七校联盟·期末)已知函数满足：①定义域为，②为偶函数，③为奇函数，④对任意的，，且，都有，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由②得关于对称，由③得关于对称，由④得在上单增，根据得出的信息得的周期并画出的草图，将其都转化到同一个单调区间上看图即可得结果． 【详解】∵在R上为偶函数， ∴，∴关于对称. ∵在R上为奇函数，∴， ∴关于对称，且， ∵，∴（将上式中的x换成）①， 又∵，∴②， ∴由①②得：③， ∴由③得：④（将③中的x换成）， ∴由③④得：， ∴的一个周期为，且，关于对称， 又∵对任意的，且，都有， ∴在上单调递增， ∴在一个周期内的草图为： ∴， ， ∴如图所示：， 即：， 故选：C． 5．(24-25高二下·重庆第一中学·期末)设函数定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用题设条件推出是函数的一个周期，结合求出，再利用函数的周期性即可求得的值. 【详解】因为奇函数，则，又因为偶函数，则， 则有，故得，即得， 故是函数的一个周期. 又为上的奇函数，故，解得， 则. 故选：C. 6．(24-25高二下·重庆南开中学校·期末)已知函数，，若对，不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用换元法，令，求出的范围，然后由函数单调性求解最大值与最小值，解不等式即可. 【详解】    如图所示，的对称轴为，在上单调递减，在上单调递增； 并且，，； 因为，令，则； 不等式恒成立等价于在恒成立； 当，单调递减；当，单调递增，显然满足条件， 故有，即，解得； 且有，，即， 则，解得； ，则， 解得，故； 综上，由，； 故选：B. 7．(24-25高二下·重庆南开中学校·期末)已知函数和均为定义在上的偶函数，且当时，，则当时，不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由函数的奇偶性可得，，从而推出，进而得在时的图象，利用数形结合即可求解. 【详解】由为定义在上的偶函数，所以，即； 又为定义在上的偶函数，所以，即， 所以，即， 所以是以为周期的周期函数，又当时，， 即可作出在时的图象： 由图可知：当，解得，即. 故选：A. 8．(24-25高二下·重庆南开中学校·期末)已知函数在区间的最大值为M，最小值为N，其中，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】在原函数的基础上，构造一个函数，通过构造函数的奇偶性说明最值之间的关系，进而求出原函数的最值之间的关系. 【详解】设函数，易知定义域为， 由，可知为奇函数， 所以在区间的最大值与最小值互为相反数，即， 即， 可得，解得； 故选：D. 二、多选题 9．(24-25高二下·重庆巴蜀中学教育集团·期末)定义在上的函数满足：，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D．记是不大于的最大整数，则函数满足题设条件 【答案】ABD 【分析】两式做差，得，赋值法即可判断ABC；设，当时符合题意，即可判断D． 【详解】两式做差，即得，令，则，故A正确； ，则， 由于，则， 所以，故，所以B正确； ，故C错误； 若满足，那么当时，，满足条件， 注意到：，使得成立，则D正确， 故选：ABD． 10．(24-25高二下·重庆第八中学校·期末)已知函数，的定义域均为，且，．若的图象关于点对称，，则（   ） A．函数为偶函数 B．函数关于点对称 C．函数周期为4 D． 【答案】ABC 【分析】根据的图象关于点对称，得到，结合，，通过赋值法逐项判断即可. 【详解】因为的图像关于点对称，则，因为，所以， 因为，所以，所以，所以函数为偶函数，所以A正确； 由得，因为，所以， 因为，则，所以函数关于点对称，所以B正确； 由，所以，所以， 所以，所以函数周期为4，所以C正确； 因为，所以，因为，所以， 由，可得，所以， 由知当时，，所以， 由知当时，，所以， 所以，又，，所以， 所以，所以D错误. 故选：ABC 三、填空题 11．(24-25高二下·重庆第一中学·期末)已知函数，若恒成立，其中，则的取值范围是__________． 【答案】 【分析】根据函数的图像特征，然后根据知道的图像是图像左移个单位长度，要使恒成立，通过分析图像找到相切时的情况，从而确定的取值范围. 【详解】易知函数图象如图所示，因为， 所以函数图象即为函数图象左移个单位长度，    当曲线与直线相切时， 令，即， 则，解得：， 故，恒成立时，由图像可知，. 故答案为：. 12．(24-25高二下·重庆部分区·期末)2．已知函数满足，且，则______；______． 【答案】 【分析】根据题意可得，即可求；分析可知函数的一个周期为6，结合周期性运算求解即可. 【详解】因为，则，可得， 则，所以函数的一个周期为6， 又因为，则， 且，即， 则， 可得， 所以. 故答案为：；. 13．(24-25高二下·重庆西南大学附属中学校·期末)3．已知定义在上的函数的图象经过坐标原点，，，且函数为偶函数，则________. 【答案】 【分析】首先说明是以4为一个周期的函数，然后计算得即可求解. 【详解】由，得， 则 两式相加得 又，所以 故图象关于点中心对称，且定义在上，. 由为偶函数，知图象关于直线对称， 故是以4为一个周期的函数. 因为的图象经过原点，，则. 由为偶函数得，令，得 因，令，可得 则， 则. 故答案为：. 地 城 考点02 指对幂函数 一、单选题 1．(24-25高二下·重庆第一中学·期末)已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用指数函数的性质可判断，利用对数运算性质和对数函数的性质判断的范围以及大小关系即得答案. 【详解】由题意可知，， 又，，而， 故，即， 因为，所以. 故选：A 2．(24-25高二下·重庆七校联盟·期末)设函数，其中，，若恒成立，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据不等式恒成立，分类讨论得出，利用基本不等式求最值即可. 【详解】由题意，函数的定义域为， 令，则或， 因为在上恒成立，其中，， 当时，则恒成立，即有； 当时，显然不等式恒成立； 当时，则恒成立，即有. 综上，， 又，，则，当且仅当时取等号. 所以的最小值是. 故选：A. 3．(24-25高二下·重庆第八中学校·期末)已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用指数函数的单调性可判断，利用幂函数的单调性可判断，得解. 【详解】因为是R上的减函数，又，所以，即， 因为函数在上单调递增，，所以，即， . 故选：D. 二、多选题 4．(24-25高二下·重庆七校联盟·期末)空旷的田野上两根电线杆之间的电线有相似的曲线形态．这些曲线在数学上称为悬链线，悬链线在工程上有广泛的应用．在恰当的坐标系中，这类函数的表达式可以表示为（其中a，b为非零常数），则对于函数以下结论正确的是（   ） A．若，则为奇函数 B．若，，则函数的最大值为4 C．若，则函数的最小值为2 D．为奇函数，且，使得成立，则a的最小值为 【答案】AD 【分析】由奇函数的定义即可判断A；由基本不等式即可判断BC；由奇函数得出，分离参数求解函数最值即可判断D． 【详解】对于A，若，则，，， 为奇函数，故A正确； 对于B，若，，， 当且仅当时等号成立，故B错误； 对于C，若，则，， 当时，，当且仅当，即时等号成立， 所以无最小值，故C错误； 对于D，若为奇函数，则，所以， 若，使得成立， 则， 若，则， 则，即能成立， 因为， 当且仅当，即时等号成立， 所以，即的最小值为，故D正确； 故选：AD． 三、填空题 5．(24-25高二下·重庆南开中学校·期末)已知，，若函数在单调递增，则实数的取值范围是________. 【答案】 【分析】根据复合函数单调性的判断方法，以及函数定义域，对参数分类讨论，分别求出单调性的情况，求出参数范围. 【详解】由题意知，化简得，因为且，所以， 且在上，单调递增， 所以当函数在有定义时，即， 当时，函数在定义域上单调递增，在上也单调递增，满足题意， 所以的取值范围是. 故答案为： 6．(24-25高二下·重庆长寿区·期末)______________. 【答案】3 【分析】根据对数的运算及算术平方根可求值. 【详解】根据题意. 故答案为：3. 7．(24-25高二下·重庆七校联盟·期末)已知函数，若，则实数________． 【答案】1 【分析】利用分段函数解方程即可． 【详解】若，则，无解； 若，则，解得， 故答案为：1． 四、解答题 8．(24-25高二下·重庆长寿区·期末)已知函数. (1)求不等式的解集； (2)若函数的图象经过原点，求在的值域. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出的解析式，再解对数不等式即可； （2）根据图象经过原点可求得的值，结合单调性即可求值域. 【详解】（1）由，得， 由，得，即， 所以不等式的解集为. （2）由题意得， 由，得， 即， 因为在上是增函数， 所以，即在上的值域为. 地 城 考点03 导数的计算及其几何意义 一、单选题 1．(24-25高二下·重庆巴蜀中学教育集团·期末)已知函数，则（   ） A．1 B． C．0 D．2 【答案】A 【分析】利用导数法则求出导函数，令得，求解即可. 【详解】由得，则，解得. 故选：A. 2．(24-25高二下·重庆九龙坡区·期末)已知函数，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】先对函数求导，再代值计算即可. 【详解】由求导得， 则. 故选：A. 3．(24-25高二上·重庆第一中学校·期末)过点作函数的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设切点为，利用导数几何意义求切线方程，结合所过的点求参数，进而确定切线方程. 【详解】，， 设切点为，则， 切线方程为，又切线过点， ，整理得， 切线方程为，则. 故选：C. 4．(24-25高二下·重庆（康德卷）·期末)函数在点的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求导得切线斜率，结合切点坐标写出切线方程，可得答案. 【详解】由题意可得，则， 又，所以函数在点处的切线方程为. 故选：A． 二、多选题 5．(24-25高二下·重庆南开中学校·期末)若点，分别在直线的两侧，则称点，被直线分隔.同理，若两曲线，上的所有点均在直线的两侧，则称两曲线，被直线分隔.则下列选项正确的是（    ） A．点，被直线分隔 B．任意两个幂函数均不存在分隔直线 C．函数和的图象存在分隔直线 D．若函数与的图象存在分隔直线，则 【答案】ABD 【分析】直接验证可知A正确；根据幂函数的特性可知任意不同的幂函数都有公共点，从而否定B；根据对勾函数的定义域和值域分析可得不存在直线使得函数的图像上的所有点都在其一侧，从而否定C；利用函数的导数分析函数的图像以及特殊点处的切线，可以判定D正确. 【详解】对于选项A： 计算点 ：，满足，∴在直线上方， 计算点 ：，满足，∴在直线下方， 故两点分别在直线两侧，被分隔，故选项 A 正确； 对于选项 B：由于幂函数形式：，其图像都经过点， 这一个公共点不可能同时在任何直线的两侧，∴任意两个幂函数均不存在分隔直线， 故选项 B 正确； 对于选项 C：由于函数的定义域为， ∴不存在斜率不存在的直线使得函数图像上的点都在直线的左侧或右侧. 假若图像上的所有点都在某条直线的上方， 则对于定义域内的任意实数恒成立，即， 但是，当时，，故这不可能， 所以函数图像上的所有点不可能都在某条直线的上方； 同理函数图像上的所有点不可能都在某条直线的下方. ∴更不可能存在直线使得函数和的图象被其分隔，故选项 C错误. 对于选项 D：设 ， . 曲线 定义域全体实数， 定义域 . ，. ∵，，∴曲线 在处的切线为， 令，， 当时，，；当时，，， ∴曲线 上的点除了切点在切线上，其余各点都在切线的上方， ∵，， ∴在处的切线：. 令，， ∵，∴为定义在上的单调递增函数， 由，∴在内，单调递减； 在内，单调递增；∴， ∴上的点除了切点在切线上，其余各点都在切线的下方. 若，如图所示，两函数图像必有交点，不存在分割线.        当时，如图所示，∵，直线在直线之间， 在直线上方，在直线下方，∴函数的图像上的所有点都在直线的上方， 函数的图像上的所有点都在直线的下方， 即直线将函数与的图象分隔， 即函数与的图象存在分隔直线，故D正确.    故选：ABD 三、填空题 6．(24-25高二下·重庆西南大学附属中学校·期末)已知函数，则________. 【答案】 【分析】直接求导，然后代入即可求解. 【详解】由得， 则，，解得. 故答案为：. 7．(24-25高二下·重庆部分区·期末)一质点沿直线运动，位移（单位：m）与时间（单位：s）之间的关系为则质点在时的瞬时速度为______米／秒． 【答案】6 【分析】求出质点在时的导数值即可得解. 【详解】由题可得，，故. 故质点在时的瞬时速度为6米／秒. 故答案为：6 5．(24-25高二下·重庆第八中学校·期末)若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则______． 【答案】 【分析】先利用导数来求函数在点处的切线，再利用直线与二次曲线相切，则判别式等于0，即可求出参数的取值. 【详解】求导得：，当时， ， 所以在点处的切线方程为：， 又由切线也是曲线的切线， 则消得，， 由， 故答案为：. 8．(24-25高二下·重庆长寿区·期末)已知函数的图象在点处的切线方程为，则实数的值为_________. 【答案】/ 【分析】设点，根据导数几何意义进行求解即可. 【详解】由，得， 设点，根据导数几何意义得，解得， 代入函数，得， 又点在切线上，代入得，解得. 故答案为：. 四、解答题 9．(24-25高二下·重庆第一中学·期末)已知函数， (1)若曲线与轴相切，求实数的取值； (2)讨论函数的单调区间． 【答案】(1)或 (2)答案见解析 【分析】（1）设切点为，求导得，解得，，分类讨论可求得的值； （2）先对函数求导，首先分，两种情况，令，求得方程的根，进而分，和三种情况讨论导数的正负，从而可得函数的单调区间. 【详解】（1）设切点为，则切线斜率为， 因为曲线与轴相切，则， 当时，解得，切点为，即，解得（舍去）； 当时，解得或， 当时，切点为，即，解得， 当时，切点为，即，解得， 综上，或； （2）， 当时，令，可得， 若，，所以在上单调递减， 若，，所以在上单调递增， 当时，令，得或． ①当时，恒成立，所以在上单调递增． ②当时，，由，得或； 由，得， 所以的单调递增区问为，单调递减区间为． ③当时，，由，得或； 由，得， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为． 综上所述， 当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为； 当时，在上单调递增； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为． 10．(24-25高二下·重庆部分区·期末)设函数． (1)当时，求函数在点处的切线方程； (2)当时，求函数的极值； (3)当，且和（为的导函数）的零点均在集合中，求和的值． 【答案】(1)； (2)函数有极大值，有极小值； (3)，. 【分析】（1）求出切点处的导数即切线斜率即可由点斜式得解； （2）利用导数工具研究函数的单调性即可由极值定义得解； （3）分别求出和的零点，再结合集合限制，通过枚举法一一分析即可求解. 【详解】（1）由题可得， 所以当时，，故，又， 所以所求切线方程为即. （2）当时，函数定义域为R，，令， 所以当时，若，则，若，则， 所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以函数有极大值，有极小值； （3）令或，即的零点为和， 令或，即的零点为和， 因为，所以且， 当时，若，则，不符合；若，则，不符合； 当时，若，则，不符合；若，则，不符合； 当时，若，则，符合；若，则，不符合； 综上所述，，. 11．(24-25高二下·重庆九龙坡区·期末)已知函数. (1)证明：； (2)求过点且与曲线相切的直线方程. 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】（1）求导分析函数单调性，根据单调性确定最小值即可证明； （2）设切点，求出切线方程，再利用切线过点，解出，即可得到切线方程； 【详解】（1）证明：函数定义域为R，， 所以当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 所以，即得证. （2）设切点，，， 所以切线方程为：， 即，又过， 所以， ， 所以切线方程为：. 12．(24-25高二下·重庆七校联盟·期末)2．设函数. (1)若曲线在点处的切线与x轴平行，求； (2)若在处取得极大值，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）对函数求导得，由题知，代入即可求解； （2）由（1）知，对进行分类讨论：分，，，和几种情况讨论函数的单调性，即可求解. 【详解】（1）∵， ∴，∴. ∵曲线在点处的切线与x轴平行，∴，解得. 当时，，∴， ∴的值为. （2）由（1）知. 当时，.令，解得；令，解得， ∴函数在上单调递增，在上单调递减，∴函数在处取得极大值，符合题意； 当时，令，解得；令，解得或， ∴函数在上单调递增，在和上单调递减，∴函数在处取得极大值，符合题意； 当时，令，解得或. 当，即时，令，解得或；令，解得， ∴函数在和上单调递增，在上单调递减，∴函数在处取得极大值，符合题意； 当，即时，恒成立， ∴函数在上单调递增，无极大值，不符合题意，舍去； 当，即时，令，解得或；令，解得， ∴函数在和上单调递增，在上单调递减，∴函数在处取得极小值，不符合题意，舍去. 综上，，即的取值范围为. 13．(24-25高二下·重庆南开中学校·期末)3．已知函数，. (1)若，求函数在上的最小值； (2)已知P，Q为曲线上不同两点，曲线在P，Q处切线分别为，，且，斜率互为相反数，证明：直线的斜率； (3)已知，，构造下列一组数：、、……、、……、，试判定这组数的平均数与6的大小关系并证明你的结论. 【答案】(1)0 (2)证明见解析 (3)平均数大于6，证明见解析 【分析】（1）利用函数为偶函数，只需要利用导数判断出函数在上单调性，即可求出最小值； （2）设，根据题意可得，化简可得，然后比值换元，，转化为证明，恒成立，利用导数即可证出； （3）由（1）得：，利用放缩可得，从而，再利用累加求和即可得出这组数的平均数与6的关系. 【详解】（1）已知，易知函数为偶函数，所以只需求的最小值， 则，令，则， 即在上递增，所以，即在上递增； ∴，在时，. ∴函数的最小值为0. （2），设， 由题意得：， 设，则， ， 所以， 令， 即证：对成立. 即证：，， 令，， 令，则， 在递增，， 在递增，， 所以成立，即：. （3）由（1）得：对成立，当且仅当时取等号； ， 即； 所以； ； …… ； 令这组数据和为，则， 所以平均数为. 地 城 考点04 利用导数研究函数的单调性 一、单选题 1．(24-25高二下·重庆第一中学·期末)已知函数在区间上的导函数存在，则“时，”是“在区间上单调递增”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由导数符号与区间单调性的关系及充分、必要性定义判断条件间的关系. 【详解】若时，则在区间上单调递增，充分性成立； 若在区间上单调递增，则时，且不恒成立，必要性不成立； 所以“时，”是“在区间上单调递增”的充分不必要条件. 故选：A 2．(24-25高二下·重庆西南大学附属中学校·期末)已知在上恒成立，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造函数，由导数确定单调性后，由单调性得结论． 【详解】令，则，为增函数， 故，即解集为. 故选：B． 3．(24-25高二下·重庆（康德卷）·期末)若不等式恒成立，其中，则a的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意得，构造函数，利用导数求出函数的单调性，利用单调性可得，两边取对数可得，即恒成立，继而即可求解. 【详解】由不等式有，，即， 令，则， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以，即，即恒成立， 又，所以a的最小值为. 故选：C． 4．(24-25高二下·重庆七校联盟·期末)若函数在上存在单调递减区间，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件得出存在，使成立，即存在，使成立，构造函数，，求出的最值即可解决问题. 【详解】因为函数在上存在单调递减区间， 所以存在，使成立，即存在，使成立， 令，因为，所以， 所以当，即时，，所以， 故选：B． 5．(24-25高二下·重庆第一中学·期末)已知函数，若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用求导判断函数的单调性，再判断函数的奇偶性，利用函数的这些性质求解抽象不等式即得. 【详解】由求导得：， 因，当且仅当时，等号成立， 则，故函数在上为增函数， 又，即函数为奇函数. 则由可得，进而，解得. 故选：B. 二、多选题 6．(24-25高二下·重庆部分区·期末)若自变量表示时间，在长为定值的时间周期中，函数的增长率为，当时，以下判断正确的是（    ） A．若，则为增函数 B．若，则为减函数 C．若，则为减函数 D．若，则为增函数 【答案】BC 【分析】逐项计算求解，再结合函数类型或导数工具判断函数单调性即可得解. 【详解】对于A，若，则为常数函数，不具有单调性，故A错误； 对于B，若，则， 随增大而减小，故为减函数，故B正确； 对于C，若，则， 由题意可知，则 所以为减函数，故C正确； 对于D，若，则， 均随增大而减小，所以为减函数，故D错误. 故选：BC 7．(24-25高二下·重庆（康德卷）·期末)关于函数，以下结论正确的是（    ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．若，则 D．若，则单调递增 【答案】AC 【分析】对函数求导，分析函数的单调性，结合函数解析式即可判断A；通过分析函数解析式结合函数单调性，令趋于正无穷即可判断B，根据导函数，求得时函数的单调性，求出函数的最大值，即可判断C，求求导，根据导函数求得的单调性，即可判断D. 【详解】因为， 令，即，解得或， 当时，，所以在是增函数； 当时，，所以在上是减函数； 当时，，所以在上是增函数， 因为，，且，所以， 所以的最小值为，A正确； ，的极大值为， 当趋于正无穷时，也趋于正无穷， 所以函数无最大值，B错误； 当时，根据导函数有： 当时，，所以在是增函数； 当时，，所以在上是减函数； 所以，C正确； 令，则， 令，即，解得， 当，，单调递增， 当，，单调递减，D错误. 故选：AC． 8．(24-25高二下·重庆九龙坡区·期末)已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．在上单调递减 B．的极小值为1 C．设，，，则 D．若曲线与曲线无公共点，则实数k的取值范围是 【答案】ACD 【分析】求导判断函数的单调性并求出极值，判断AB选项；利用的单调性及对应的自变量的值判断C选项；分离参数，设，通过导数求得的最值，进而得到的取值范围，判断D选项. 【详解】求导得，令得，令得， 所以在上单调递增，在上单调递减，A正确； 由的单调性知在处取得极大值，无极小值，B错误； C选项，，，， 因为，在上单调递减，所以，即，C正确； D选项，由得， 设，则， 令得，令得，所以，， 又显然当时，， 所以若曲线与曲线无公共点的充分必要条件是，D正确； 故选：ACD. 9．(24-25高二下·重庆七校联盟·期末)设函数，则下列说法正确的是（   ） A．是的极大值点 B．当时， C．当时， D．若关于x的方程恰有3个不等的实根，则m的范围是 【答案】ABD 【分析】由导数得出函数单调性即可判断ABC，作出函数图象即可判断D． 【详解】令，解得或， 当时，，则在上单调递减， 当和时，，则在和上单调递增， 对于A，是的极大值点，故A正确； 对于B，当，则， 因为在上单调递增，在上单调递减，， 所以，故B正确； 对于C，当时，且，又在上单调递增， 所以，故C错误； 对于D，由函数单调性得的极小值，极大值，作出函数图象，如图所示， 由图像可知，关于x的方程恰有3个不等的实根，则m的范围是，故D正确； 故选：ABD． 三、填空题 10．(24-25高二下·重庆七校联盟·期末)已知函数及其导函数的定义域均为，且，，则不等式的解集是________． 【答案】 【分析】根据题意可构造函数，求得的单调性，再利用函数对称性解不等式即可求得结果． 【详解】构造函数，则； 因为， 所以当时，，即，此时在上单调递增； 当时，，即，此时在上单调递减； 又，所以，即； 所以函数图像上的点关于的对称点也在函数图像上， 即函数图像关于直线对称， 不等式变形为，即； 可得， 又在上单调递增，在上单调递减， 所以，解得， 则不等式的解集为， 故答案为：． 四、解答题 11．(24-25高二下·重庆第八中学校·期末)已知函数． (1)讨论函数的单调性． (2)当时，，求a的取值范围． 【答案】(1)答案见详解 (2) 【分析】（1）求导，分和讨论导数的正负得解； （2）由题，问题转化为，当时，上式对恒成立，当时，上式转化为恒成立，令，易判断是偶函数，只需对恒成立即可，构造函数利用导数证明，即可得解. 【详解】（1）由，则，， 令， 当时，有，即，所以在R上单调递减； 当时，，， 方程的两根为，，且， 当和时，，即， 当时，，即， 所以在和上单调递增，在上单调递减； 综上，当时，在R上单调递减； 当时，在和上单调递增，在上单调递减. （2）当时，，， 所以不等式，即， 两边取对数可得， 当时，上式对恒成立， 当时，上式转化为恒成立， 令，由，知是偶函数， 所以只需对恒成立即可， 令，， 则， 令，则， ，则，故，则， 所以在上单调递减，故，即， 所以在上单调递减， 所以，则，对， 所以， 即可. 所以的取值范围为. 12．(24-25高二下·重庆（康德卷）·期末)已知函数． (1)求的最小值； (2)证明：． 【答案】(1)0 (2)证明见解析 【分析】（1）先求出导函数，再根据正负得出单调性，最后得出最值即可； （2）先应用（1）得出，再变形结合不等式性质证明即可. 【详解】（1）由，得． 当时，，单调递减． 当时，，单调递增． 所以的最小值为． （2）由（1）知，，即，从而，即①． 又由，得，从而，，，②． 由①，②得． 13．(24-25高二下·重庆巴蜀中学教育集团·期末)已知函数. (1)若，求的单调区间和极值. (2)若，关于的不等式恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)在单调递减，在单调递增，极小值为，无极大值 (2) 【分析】（1）求导，即可根据导数的正负确定函数单调性，进而可得单调性和极值， （2）对讨论，结合函数的单调性，即可求解. 【详解】（1）函数的定义域为， 因为，所以，. 令，得，令，得； 所以在单调递减，在单调递增. 因此在处取得极小值. 综上，在单调递减，在单调递增，极小值为，无极大值. （2）. 因为，令，得，令，得； 所以在单调递减，在单调递增. 所以，所以，即. ①当时，，恒成立，不符合题意； ②当时，设，则，所以在单调递减， 又因为，所以等价于，所以； 综上，的取值范围是. 14．(24-25高二下·重庆七校联盟·期末)已知函数． (1)若，判断的单调性； (2)已知有两个零点，，（） ①证明：； ②证明： 【答案】(1)在区间上单调递减，在区间上单调递增； (2)证明见解析； 【分析】（1）应用导数研究函数的区间单调性； （2）①应用导数研究的区间单调性和对应值域，结合零点个数及其最小值即可证；②由题设有，设，即有，记，，则，应用分析法将问题化为证明，构造函数并应用导数研究函数值符号，即可证. 【详解】（1）当时，，得的定义域为， 且，， 时，单调递增，时，单调递减， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增； （2）①由题设且，则， 当时，，时，， 在上单调递减，在上单调递增，则， 由趋向于或时，都趋向于，由有两个零点， 所以，即，命题得证； ②证明：由题意，即， 所以， 记，则， 要证， 记，，则， 记，则， 同（1）分析得，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增； 下证，由，由于时，显然成立， 故只需考虑时，是否成立，要证，即证， 由在区间上单调递减，即证， 即证，即证， 记，，， 记，，，所以在上单调递减， 又，所以，所以在区间上单调递减， 又，所以，故. 15．(24-25高二下·重庆（康德卷）·期末)已知函数． (1)当时，判断函数在的单调性； (2)当时，证明：不等式在恒成立； (3)若函数的最大值为0，求a的值． 【答案】(1)在是增函数 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）求导，根据导数判断即可； （2）二次求导，根据导数与单调性、最值的关系计算即可证明； （3）设最大值点为，则，，结合得，分，，根据题意讨论求解即可. 【详解】（1）当时，， 当时，因为，， 所以，所以在是增函数； （2）因为，则， 由，所以，即在是减函数， 则，即在是减函数， 所以，即不等式在恒成立; （3）因为函数的定义域为R，， 设最大值点为，则由题意， 则， 由得， 易知，所以是的一个解，当时，则， 当时，显然存在x，使得， 即不能使函数的最大值为0， 当时，由（1）知在是增函数，而当时，， 所以，即在是减函数，所以函数的最大值为， 当时，存在接近于0时，使得，即存在， 即此时存在x，使得，从而不能使函数的最大值为0， 当时，存在接近于0时，使得，即存在， 即此时存在x，使得，从而不能使函数的最大值为0， 所以综上所述有． 16．(24-25高二下·重庆第一中学·期末)已知函数， (1)若在定义域内单调递增，求实数的取值范围； (2)当时，若对任意，不等式恒成立，求实数的最小值； (3)若存在两个不同的极值点，，且，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)1 (3) 【分析】（1）在定义域内单调递增等价于恒成立，分离参数转化为最值问题求解； （2）由，构造同构函数，利用的单调性求解； （3）由极值点得双变量之间关系，将通过变量代换转化为关于的函数，利用导数判断单调性求其最值情况即可求解. 【详解】（1）由题的定义域为， 在恒成立，且的解不连续， 则， 所以的取值范围是； （2）当时，不等式可化为，变形为， 令，求导得，所以在上是增函数， 故，即，即， 所以对任意，不等式恒成立，即对任意恒成立， 令，则， 所以当时，，则单调递增； 当时，，则单调递减， 所以，即满足不等式的实数的取值范围为， 所以的最小值为1； （3）因为存在两个不同的极值点， 所以由可得是方程的两根， 所以，且，， 所以，故， 又由可得， 而， 令， 则， ∵，∴，即， 则，所以在区间上单调递减， 所以有，即， 所以实数取值范围. 地 城 考点05 导数的综合应用 一、单选题 1．(24-25高二下·重庆九龙坡区·期末)若函数（）的极小值点为2，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求导，利用求得的值，从而得到，分和两种情况讨论，当时，结合二次函数图象判断函数单调性，从而求得的取值范围. 【详解】求导得， 因为极小值点为2，所以，解得， 所以， （1）当时，，令得，令得， 所以在上单调递减，在上单调递增，极小值点为2符合题意； （2）当时，令得， ①当时，，令得，令得或， 所以在上单调递减，在 上单调递增，所以极小值点为2符合题意； ②当时，要使得极小值点为2，结合二次函数图象，则要求，解得； 综上，的取值范围为， 故选：A. 2．(24-25高二下·重庆第八中学校·期末)已知函数（，e为自然对数的底数）的图像上存在2个点、分别与的图像上2个点、关于x轴对称，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设上一点关于轴对称点坐标为，则在上，得到方程 有解，即函数与在上有交点，利用导数判断出函数的单调性和最值，可得实数的取值范围． 【详解】设是 上一点，则， 且关于轴对称点坐标为在上， 由题意得， 有两个不同的实数解， 即 有两个不同的实数解. 令 ，则，， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 所以 有两个不同的实数解等价于与有两个交点， 所以,所以 故选：A. 3．(24-25高二下·重庆南开中学校·期末)定义在上的函数满足，则方程的解个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】需分和两种情况讨论，分别求出的表达式，再代入方程求解. 【详解】当时，则有，解得， 此时方程为：，解得满足题意； 当时，则有，而，得， 得， 此时方程为， 得， 令，， 则， 函数在上单调递增，而, ，则, 由零点存在性定理知，函数在上存在唯一的零点， 故方程的解个数有2个. 故选：B 二、多选题 4．(24-25高二下·重庆（康德卷）·期末)已知关于x的方程有三个解，则的值可以是（    ） A． B． C．5 D．15 【答案】BCD 【分析】由三次函数的单调性得到，解出的取值范围. 【详解】设，则， 令得或，令得， 所以在和上单调递增，在上单调递减， 关于方程有三个解，则需满足，即， 解得， 故选：BCD． 5．(24-25高二下·重庆第一中学·期末)已知，则（   ） A．当时，既有极大值，又有极小值 B．若在处取到极大值，则实数的取值范围为 C．时，在区间内取到最大值，则实数的取值范围为 D．不存在实数，使得在区间内既有最大值又有最小值 【答案】ABD 【分析】先求导，按、、三种情况讨论的单调性，再逐一判断即可. 【详解】由题意得， 若，即时，得或；得， 则在和上单调递增，在上单调递减； 若，即时，得或；得， 在和上单调递增，在上单调递减； 若，即时，，则在上单调递增； A选项，当时，在处取极大值，在处取极小值，故A正确； B选项，若在处取到极大值，则，故B正确； C选项，当时，在和上单调递增，在上单调递减， 则在处取极大值，在处取极小值， 又，则， 又在区间内取到最大值，则且， 即，故C错误； D选项，若，则欲使在区间内既有最大值又有最小值， 则需，，， 即，， 当时，，故，故这样的不存在； 若，则欲使在区间内既有最大值又有最小值， 则需，，， 即，， 则，故，故这样的不存在； 若，则在区间内既无最大值又无最小值； 综上可知，不存在实数，使得在区间内既有最大值又有最小值，故D正确. 故选：ABD 三、填空题 6．(24-25高二下·重庆巴蜀中学教育集团·期末)已知函数（且），存在三个极值点，，（），若是极小值点，则实数的取值范围是___________. 【答案】 【分析】由函数解析式求导，根据极值点的定义，将问题转化为函数求求交点，利用指数函数图象以及切线的概念，可得答案. 【详解】易得， 设，令，得或， 由，得， 则在同一坐标系中函数的图象和直线有两个不同的公共点. （1）当时，注意到，当时，直线是曲线的一条切线， 故，此时，如图（1），由图可知，且在附近左正右负， 左正右负，是极大值点，不符合题意； （2）当时，注意到，当时，直线是曲线的一条切线，故， 此时，，从而在0附近，左正右负，0是极大值点；如图（2）， 由图可知，，且在附近左负右正，左正右负，是极大值点； ，且在附近左正右负，左负右正，是极小值点；符合题意. 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 7．(24-25高二下·重庆九龙坡区·期末)函数在上的最小值为__________. 【答案】 【分析】通过求导，推出函数在给定区间上的单调性，即可求得其最小值. 【详解】由求导得：， 因，由可得，由可得， 故函数在上单调递减，在上单调递增， 故时，函数取得极小值，也是最小值，为. 故答案为：. 8．(24-25高二下·重庆（康德卷）·期末)设且，对于一组数据，，…，，若的最大值为，则________． 【答案】N 【分析】根据导数与最值之间的关系可得，即可根据是否为0，分类讨论求解. 【详解】，由题意，即， 当时，所以有，即有， 当，． 因此 故答案为：N 四、解答题 9．(24-25高二下·重庆九龙坡区·期末)已知函数. (1)求的极值； (2)若函数有两个不同的零点，. （ⅰ）求m的取值范围； （ⅱ）设，且的最大值为，求的最大值. 【答案】(1)当时，无极值；当，有极大值，无极小值. (2)（ⅰ） （ⅱ） 【分析】（1）求导，含参讨论单调性确定极值即可； （2）（ⅰ）根据单调性及函数有两个不同的零点，可确定m的取值范围； （ⅱ）设，根据零点解得，则，，求导分析单调性确定最值即可. 【详解】（1）定义域为，， 当时，，在单调递增，无极值点， 当时，， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以，无极小值， 综上，当时，无极值；当，有极大值，无极小值. （2）（ⅰ）由（1）知当时，在单调递增至多有一个零点，所以不符合题意； 当时，在单调递增，在单调递减， 又函数有两个不同的零点，，且时，，时，， 所以，解得. （ⅱ）令，，又， 所以， 解得，即， ， 又，且的最大值为，所以， 令， ， 令，， 所以，即， 所以在单调递增， ， 所以的最大值为. 10．(24-25高二下·重庆长寿区·期末)已知函数（其中）的图象关于原点对称. (1)求的值； (2)求函数的值域. 【答案】(1) (2) 【分析】(1) 根据的图象关于原点对称得到是奇函数，利用可求得 (2) 由可得先求导后列出表格，得到值域. 【详解】（1）由题可知定义域： 因为函数为奇函数，所以，即， 解得. （2）由（1）得， 当时，因为，所以. 令，解得. ，变化情况如下表： 1 + 0 - 单调递增 极大值 单调递减 所以在(0,1)上单调递增，在上单调递减. 故当时，有极大值，并且极大值为. 当时，， 故当时,取值范围为. 又因为为奇函数，所以在上取值范围为， 当时，， 综上：的值域为. 11．(24-25高二下·重庆西南大学附属中学校·期末)1．已知A，B，C是曲线上不同的三点.若点A，B，C的横坐标成等比数列，且曲线在点B处的切线的斜率小于直线AC的斜率，则称是其定义域上的“等比左偏函数”.已知. (1)讨论的极值点个数； (2)若是上的“等比左偏函数”，求实数a的取值范围； (3)当时，数列满足，，证明：. 【答案】(1)答案见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）求出函数定义域及导数，分、两种情况进行讨论，利用导数的正负判断函数的单调性进而确定极值点个数； （2）设，，则，根据导数的几何意义求出B点的斜率k，由题意得，利用换元法及导数证明，即可求得a的范围； （3）根据题意写出的递推公式，利用导数分析的单调性进而证明，利用（2）中函数的单调性证明，即可证明，通过构造证明，最后利用等比数列的求和公式证明题中不等式. 【详解】（1）由，，， ①当时，，在上单调递减，的极值点个数为0； ②当时，令，可得，令，可得， 故在上单调递增，上单调递减. 在处取得极大值，无极小值，的极值点个数为1. 综上，当时，的极值点个数为0；当时，的极值点个数为1. （2）设，， 是上的“等比左偏函数”，，易知，不妨设， ，曲线在点B处切线的斜率， 又， . ，，令，则， 所以，（*）. 令， 则， 在上单调递增，， 结合（*）式，得，即a的取值范围为. （3）当时，，， 令，，则， 仅当时，，在上单调递增， ，，， 从而，，…，故. 由（2）知， 令，则，则 又因为，所以， ，即，从而， ，.即. ∴当时， ， 又当时，，符合上式， . 12．(24-25高二下·重庆部分区·期末)2．已知函数． (1)当时，求不等式的解集； (2)若图象恒在图象的上方，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）构造函数，利用导数求其单调性解不等式； （2）先根据两函数图象的位置关系得出解析式的不等关系，然后分离常数构造新函数，利用导数求最值得出的取值范围． 【详解】（1）当时，，所以， 令，易知，， 因为，所以，所以函数在区间上单调递增， 所以时，， 故的解集为. （2）因为图象恒在图象的上方，所以在上恒成立， 移项可得在上恒成立. 设，对其求导可得：， 令，解得， 令，即，解得； 令，即，解得； 所以在区间上单调递减；在区间上单调递增. 所以函数在处取得最小值，，所以， 所以的取值范围为. 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02函数与导数 5大高频考点概览 地 城 考点01 函数及其性质 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A C C C C B A D ABD ABC 11． 12． 13． 地 城 考点02 指对幂函数 1 2 3 4 A A D AD 5． 6．3 7．1 8．【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出的解析式，再解对数不等式即可； （2）根据图象经过原点可求得的值，结合单调性即可求值域. 【详解】（1）由，得， 由，得，即， 所以不等式的解集为. （2）由题意得， 由，得， 即， 因为在上是增函数， 所以，即在上的值域为. 地 城 考点03 导数的计算及其几何意义 1 2 3 4 5 A A C A ABD 6． 7．6 5．2 8．/ 9．【答案】(1)或 (2)答案见解析 【分析】（1）设切点为，求导得，解得，，分类讨论可求得的值； （2）先对函数求导，首先分，两种情况，令，求得方程的根，进而分，和三种情况讨论导数的正负，从而可得函数的单调区间. 【详解】（1）设切点为，则切线斜率为， 因为曲线与轴相切，则， 当时，解得，切点为，即，解得（舍去）； 当时，解得或， 当时，切点为，即，解得， 当时，切点为，即，解得， 综上，或； （2）， 当时，令，可得， 若，，所以在上单调递减， 若，，所以在上单调递增， 当时，令，得或． ①当时，恒成立，所以在上单调递增． ②当时，，由，得或； 由，得， 所以的单调递增区问为，单调递减区间为． ③当时，，由，得或； 由，得， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为． 综上所述， 当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为； 当时，在上单调递增； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为． 10．【答案】(1)； (2)函数有极大值，有极小值； (3)，. 【分析】（1）求出切点处的导数即切线斜率即可由点斜式得解； （2）利用导数工具研究函数的单调性即可由极值定义得解； （3）分别求出和的零点，再结合集合限制，通过枚举法一一分析即可求解. 【详解】（1）由题可得， 所以当时，，故，又， 所以所求切线方程为即. （2）当时，函数定义域为R，，令， 所以当时，若，则，若，则， 所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以函数有极大值，有极小值； （3）令或，即的零点为和， 令或，即的零点为和， 因为，所以且， 当时，若，则，不符合；若，则，不符合； 当时，若，则，不符合；若，则，不符合； 当时，若，则，符合；若，则，不符合； 综上所述，，. 11．【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】（1）求导分析函数单调性，根据单调性确定最小值即可证明； （2）设切点，求出切线方程，再利用切线过点，解出，即可得到切线方程； 【详解】（1）证明：函数定义域为R，， 所以当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 所以，即得证. （2）设切点，，， 所以切线方程为：， 即，又过， 所以， ， 所以切线方程为：. 12．【答案】(1) (2) 【分析】（1）对函数求导得，由题知，代入即可求解； （2）由（1）知，对进行分类讨论：分，，，和几种情况讨论函数的单调性，即可求解. 【详解】（1）∵， ∴，∴. ∵曲线在点处的切线与x轴平行，∴，解得. 当时，，∴， ∴的值为. （2）由（1）知. 当时，.令，解得；令，解得， ∴函数在上单调递增，在上单调递减，∴函数在处取得极大值，符合题意； 当时，令，解得；令，解得或， ∴函数在上单调递增，在和上单调递减，∴函数在处取得极大值，符合题意； 当时，令，解得或. 当，即时，令，解得或；令，解得， ∴函数在和上单调递增，在上单调递减，∴函数在处取得极大值，符合题意； 当，即时，恒成立， ∴函数在上单调递增，无极大值，不符合题意，舍去； 当，即时，令，解得或；令，解得， ∴函数在和上单调递增，在上单调递减，∴函数在处取得极小值，不符合题意，舍去. 综上，，即的取值范围为. 13【答案】(1)0 (2)证明见解析 (3)平均数大于6，证明见解析 【分析】（1）利用函数为偶函数，只需要利用导数判断出函数在上单调性，即可求出最小值； （2）设，根据题意可得，化简可得，然后比值换元，，转化为证明，恒成立，利用导数即可证出； （3）由（1）得：，利用放缩可得，从而，再利用累加求和即可得出这组数的平均数与6的关系. 【详解】（1）已知，易知函数为偶函数，所以只需求的最小值， 则，令，则， 即在上递增，所以，即在上递增； ∴，在时，. ∴函数的最小值为0. （2），设， 由题意得：， 设，则， ， 所以， 令， 即证：对成立. 即证：，， 令，， 令，则， 在递增，， 在递增，， 所以成立，即：. （3）由（1）得：对成立，当且仅当时取等号； ， 即； 所以； ； …… ； 令这组数据和为，则， 所以平均数为. 地 城 考点04 利用导数研究函数的单调性 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C B B BC AC ACD ABD 10． 11．【答案】(1)答案见详解 (2) 【分析】（1）求导，分和讨论导数的正负得解； （2）由题，问题转化为，当时，上式对恒成立，当时，上式转化为恒成立，令，易判断是偶函数，只需对恒成立即可，构造函数利用导数证明，即可得解. 【详解】（1）由，则，， 令， 当时，有，即，所以在R上单调递减； 当时，，， 方程的两根为，，且， 当和时，，即， 当时，，即， 所以在和上单调递增，在上单调递减； 综上，当时，在R上单调递减； 当时，在和上单调递增，在上单调递减. （2）当时，，， 所以不等式，即， 两边取对数可得， 当时，上式对恒成立， 当时，上式转化为恒成立， 令，由，知是偶函数， 所以只需对恒成立即可， 令，， 则， 令，则， ，则，故，则， 所以在上单调递减，故，即， 所以在上单调递减， 所以，则，对， 所以， 即可. 所以的取值范围为. 12．【答案】(1)0 (2)证明见解析 【分析】（1）先求出导函数，再根据正负得出单调性，最后得出最值即可； （2）先应用（1）得出，再变形结合不等式性质证明即可. 【详解】（1）由，得． 当时，，单调递减． 当时，，单调递增． 所以的最小值为． （2）由（1）知，，即，从而，即①． 又由，得，从而，，，②． 由①，②得． 13．【答案】(1)在单调递减，在单调递增，极小值为，无极大值 (2) 【分析】（1）求导，即可根据导数的正负确定函数单调性，进而可得单调性和极值， （2）对讨论，结合函数的单调性，即可求解. 【详解】（1）函数的定义域为， 因为，所以，. 令，得，令，得； 所以在单调递减，在单调递增. 因此在处取得极小值. 综上，在单调递减，在单调递增，极小值为，无极大值. （2）. 因为，令，得，令，得； 所以在单调递减，在单调递增. 所以，所以，即. ①当时，，恒成立，不符合题意； ②当时，设，则，所以在单调递减， 又因为，所以等价于，所以； 综上，的取值范围是. 14．【答案】(1)在区间上单调递减，在区间上单调递增； (2)证明见解析； 【分析】（1）应用导数研究函数的区间单调性； （2）①应用导数研究的区间单调性和对应值域，结合零点个数及其最小值即可证；②由题设有，设，即有，记，，则，应用分析法将问题化为证明，构造函数并应用导数研究函数值符号，即可证. 【详解】（1）当时，，得的定义域为， 且，， 时，单调递增，时，单调递减， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增； （2）①由题设且，则， 当时，，时，， 在上单调递减，在上单调递增，则， 由趋向于或时，都趋向于，由有两个零点， 所以，即，命题得证； ②证明：由题意，即， 所以， 记，则， 要证， 记，，则， 记，则， 同（1）分析得，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增； 下证，由，由于时，显然成立， 故只需考虑时，是否成立，要证，即证， 由在区间上单调递减，即证， 即证，即证， 记，，， 记，，，所以在上单调递减， 又，所以，所以在区间上单调递减， 又，所以，故. 15.【答案】(1)在是增函数 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）求导，根据导数判断即可； （2）二次求导，根据导数与单调性、最值的关系计算即可证明； （3）设最大值点为，则，，结合得，分，，根据题意讨论求解即可. 【详解】（1）当时，， 当时，因为，， 所以，所以在是增函数； （2）因为，则， 由，所以，即在是减函数， 则，即在是减函数， 所以，即不等式在恒成立; （3）因为函数的定义域为R，， 设最大值点为，则由题意， 则， 由得， 易知，所以是的一个解，当时，则， 当时，显然存在x，使得， 即不能使函数的最大值为0， 当时，由（1）知在是增函数，而当时，， 所以，即在是减函数，所以函数的最大值为， 当时，存在接近于0时，使得，即存在， 即此时存在x，使得，从而不能使函数的最大值为0， 当时，存在接近于0时，使得，即存在， 即此时存在x，使得，从而不能使函数的最大值为0， 所以综上所述有． 16．【答案】(1) (2)1 (3) 【分析】（1）在定义域内单调递增等价于恒成立，分离参数转化为最值问题求解； （2）由，构造同构函数，利用的单调性求解； （3）由极值点得双变量之间关系，将通过变量代换转化为关于的函数，利用导数判断单调性求其最值情况即可求解. 【详解】（1）由题的定义域为， 在恒成立，且的解不连续， 则， 所以的取值范围是； （2）当时，不等式可化为，变形为， 令，求导得，所以在上是增函数， 故，即，即， 所以对任意，不等式恒成立，即对任意恒成立， 令，则， 所以当时，，则单调递增； 当时，，则单调递减， 所以，即满足不等式的实数的取值范围为， 所以的最小值为1； （3）因为存在两个不同的极值点， 所以由可得是方程的两根， 所以，且，， 所以，故， 又由可得， 而， 令， 则， ∵，∴，即， 则，所以在区间上单调递减， 所以有，即， 所以实数取值范围. 地 城 考点05 导数的综合应用 1 2 3 4 5 A A B BCD ABD 6． 7．. 8．N 9．【答案】(1)当时，无极值；当，有极大值，无极小值. (2)（ⅰ） （ⅱ） 【分析】（1）求导，含参讨论单调性确定极值即可； （2）（ⅰ）根据单调性及函数有两个不同的零点，可确定m的取值范围； （ⅱ）设，根据零点解得，则，，求导分析单调性确定最值即可. 【详解】（1）定义域为，， 当时，，在单调递增，无极值点， 当时，， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以，无极小值， 综上，当时，无极值；当，有极大值，无极小值. （2）（ⅰ）由（1）知当时，在单调递增至多有一个零点，所以不符合题意； 当时，在单调递增，在单调递减， 又函数有两个不同的零点，，且时，，时，， 所以，解得. （ⅱ）令，，又， 所以， 解得，即， ， 又，且的最大值为，所以， 令， ， 令，， 所以，即， 所以在单调递增， ， 所以的最大值为. 10．【答案】(1) (2) 【分析】(1) 根据的图象关于原点对称得到是奇函数，利用可求得 (2) 由可得先求导后列出表格，得到值域. 【详解】（1）由题可知定义域： 因为函数为奇函数，所以，即， 解得. （2）由（1）得， 当时，因为，所以. 令，解得. ，变化情况如下表： 1 + 0 - 单调递增 极大值 单调递减 所以在(0,1)上单调递增，在上单调递减. 故当时，有极大值，并且极大值为. 当时，， 故当时,取值范围为. 又因为为奇函数，所以在上取值范围为， 当时，， 综上：的值域为. 11．【答案】(1)答案见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）求出函数定义域及导数，分、两种情况进行讨论，利用导数的正负判断函数的单调性进而确定极值点个数； （2）设，，则，根据导数的几何意义求出B点的斜率k，由题意得，利用换元法及导数证明，即可求得a的范围； （3）根据题意写出的递推公式，利用导数分析的单调性进而证明，利用（2）中函数的单调性证明，即可证明，通过构造证明，最后利用等比数列的求和公式证明题中不等式. 【详解】（1）由，，， ①当时，，在上单调递减，的极值点个数为0； ②当时，令，可得，令，可得， 故在上单调递增，上单调递减. 在处取得极大值，无极小值，的极值点个数为1. 综上，当时，的极值点个数为0；当时，的极值点个数为1. （2）设，， 是上的“等比左偏函数”，，易知，不妨设， ，曲线在点B处切线的斜率， 又， . ，，令，则， 所以，（*）. 令， 则， 在上单调递增，， 结合（*）式，得，即a的取值范围为. （3）当时，，， 令，，则， 仅当时，，在上单调递增， ，，， 从而，，…，故. 由（2）知， 令，则，则 又因为，所以， ，即，从而， ，.即. ∴当时， ， 又当时，，符合上式， . 12．【答案】(1) (2) 【分析】（1）构造函数，利用导数求其单调性解不等式； （2）先根据两函数图象的位置关系得出解析式的不等关系，然后分离常数构造新函数，利用导数求最值得出的取值范围． 【详解】（1）当时，，所以， 令，易知，， 因为，所以，所以函数在区间上单调递增， 所以时，， 故的解集为. （2）因为图象恒在图象的上方，所以在上恒成立， 移项可得在上恒成立. 设，对其求导可得：， 令，解得， 令，即，解得； 令，即，解得； 所以在区间上单调递减；在区间上单调递增. 所以函数在处取得最小值，，所以， 所以的取值范围为. 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题02函数与导数 ☆5大高领考点概览 考点01函数及其性质 考点02指对幂函数 考点03导数的计算及其几何意义 考点04利用导数研究函数的单调性 考点05导数的综合应用 目地 城差点01 函数及其性质 一、单选题 1.(24-25高二下重庆部分区·期末)已知f(x)= 2-3, x≥1， 则f(0)=（) 2f(x+1),x<1 A.-2 B.-1 C.1 D.2 2.(24-25高二下.重庆西南大学附属中学校·期末)下列函数中奇偶性与其它三个不同的是() Afw安 B.flxj= tanx C.flx)=cos 2x-sinx D.flx)=In(1+x2-x) 3.(24-25高二下·重庆巴蜀中学教育集团·期末)下列函数在定义域内是减函数的是() A.f(x=x B.flx C.fx)=1-2x D.flx)=x2 4.(24-25高二下·重庆七校联盟期末)已知函数fx满足：①定义域为R,②fx+1为偶函数，③fx+2 为方蓝，①对任意的x飞e0,1且，%标台f0则引f卧吕的大 X1-X2 小关系是() 1/13 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.fl-ff B.nrr e.nir rf 5.(24-25高二下重庆第一中学期末)设函数fx定义域为R,fx为奇函数，fx+1为偶函数，当 xel,2时fx=+ax-2则f}=（) A.-13 B.-9 C.-5 4 6.(Q4-25高二下：重庆南开中学校期已知函数fx=X+ax-aa>0:若对yx∈-a,1小不等式 -2a≤ffxs1恒成立，则实数。的取值范围为() A.0,1 B.0,2 c.13 4'2 7.(24-25高二下·重庆南开中学校·期末)已知函数fx+1和fx-1均为定义在R上的偶函数，且当 x∈-1,1时，fx=x-12,则当x∈3,7时，不等式fX<1的解集为() A.4,6 B.3,5 C.5,7 D.4,5 &.(Q4-25高二下重庆南开中学校期已知函数fx=sinx-2-1-1在区间x∈-m,m的最大值为 2+1 M,最小值为N,其中m>0,则M+N=() A.1 B.-1 C.2 D.-2 二、多选题 9.(24-25高二下·重庆巴蜀中学教育集团期末)定义在R上的函数fx满足：fx+3≤fx+3, fx+2≥fx+2,则下列说法正确的是() 2/13 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.f3-f2≤1 B.f(x+1)-f(x)=1 c.f2025-f1=2025 D.记x是不大于x的最大整数，则函数fx=2x-x满足题设条件 10.(24-25高二下·重庆第八中学校期末)已知函数fx,gx的定义域均为R,且fx+g2+x=0, gx-fx-4=2.若y=gx的图象关于点3,1对称，g2=-1,则() A.函数y=fx为偶函数 B.函数y=fx关于点-1，-1对称 C.函数y=fx周期为4 “r-6 三、填空题 1,2425商=下重庆第-中学期利已知西数rX=2-X≤2若fX-m≥fx恒成立，其中 x-22,x>2 m<0,则m的取值范围是 12.(24-25高二下.重庆部分区·期末)2.已知函数f(x)满足f(x+2)=f(x+1)-f(x),且 f1=1,f5)=5则f(4)一∑ofx= 1001 1=1 13.(24-25高二下·重庆西南大学附属中学校期末)3.已知定义在R上的函数fx的图象经过坐标原点， f1+X+f1-X=-2f=gX-2x且函数g1x+2为偶函数，则2f) 目地城诗点02 指对幂函数 一、单选题 1.24-25高=下重庆第-中学期已知x=10g,2,y=10g2,2=e,则() A.Z>x>y B.z>y>x C.x>y>Z D.x>z>y 2.(24-25高二下.重庆七校联盟期末)设函数fx=x-a-b川lnx-2,其中a>0,b>0,若fx≥0恒成 3/13 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 立，则a+62的最小值是（） B.e C.e4 4 D.2e4 3。(24-25高二下：重庆第八中学校期)已知a= A.a<b<c B.c<b<a C.c<a<b D.b<c<a 二、多选题 4.(24-25高二下·重庆七校联盟期末)空旷的田野上两根电线杆之间的电线有相似的曲线形态.这些曲线在 数学上称为悬链线，悬链线在工程上有广泛的应用.在恰当的坐标系中，这类函数的表达式可以表示为 f=ae+be(共中a6为非零常数)，则对于函数y=fX以下结论正确的是（) A.若a+b=0,则y=fx为奇函数 B.若a=1,b=4,则函数y=fx的最大值为4 C.若ab=1,则函数y=fx的最小值为2 D.y=fx为奇函数，且x∈-o,0使得。2“+e2x+fxs0成立，则a的最小值为22 三、填空题 5.2425高三下重庆南开中学粒期)已a>0a≠1若函数fx=l1og,}aX-x在x∈1，+四单 调递增，则实数a的取值范围是 6.(24-25高二下.重庆长寿区·期末9/-2乎+g10= 7.24-25高二下重庆七校联盟期末)已知函数fx=X,x≤0，若fa=2则实数a= 2*,x>0 4/13 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 四、解答题 8.(24-25高二下.重庆长寿区期末)已知函数fx+1=1gx+3 (1)求不等式0<fx<1的解集： (2)若函数gx)=f(x)-f-x+a+1)的图象经过原点，求gx在x∈[0,1]的值域 目地 城诗点03 导数的计算及其几何意义 一、单选题 1.(Q4-25高二下：重庆巴蜀中学教育集团：期已知函数fx=f01e2-s5inx则f0=（） A.1 B.-1 C.0 D.2 2.(24-25高=下重庆九龙坡区：期末已知函数fx=2sinx+c0sx,则f(号)=() A.-1 B.0 C.1 D.2 3.(24-25高二上·重庆第一中学校期末)过点0，-e作函数fx=xnx的切线方程为() A.x-y-e=0 B.x+y+e=0 C.2x-y-e=0 D.x+2y+2e=0 4.(Q4-25商二下重庆（康德卷）·期函数fx=X+x在点0，f0)的切线方程为（） A.y=x B.y=2x C.y=7x D.y=3x 二、多选题 5.(24-25高二下.重庆南开中学校期末)若点P1,P2分别在直线的两侧，则称点P1,P2被直线l分隔.同理， 若两曲线C1,C2上的所有点均在直线的两侧，则称两曲线C1,C2被直线分隔.则下列选项正确的是 () A.点A-2,2,B1,-1被直线y=x+1分隔 B.任意两个幂函数均不存在分隔直线 C.函数y=X+2和y=nx+2的图象存在分隔直线 X 5/13 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D,若函数y。与y=nm-x的图象存在分隔直线，则m∈oo, 三、填空题 6.(Q4-,25高二下重庆西南大学附属中学校：期利已知函数fx=f码cosx+sinx 则 6 6 7.(24-25高二下，重庆部分区·期末)一质点A沿直线运动，位移y(单位：m)与时间t(单位：s)之间的 关系为yt)=3?-1则质点A在t=1时的瞬时速度为米/秒. 5.(24-25高二下·重庆第八中学校期末)若曲线y=e+x在点0,1处的切线也是曲线y=x2+ax+1的切线， 则a= 8.(Q4-25高二下重庆长寿区：期末)已知函数f(X)=e-1的图象在点p处的切线方程为y=2x+b则实数 b的值为 四、解答题 9.24-25高二下重庆第一中学：期)已知函数fx=xe-a (1)若曲线y=fx与x轴相切，求实数a的取值； (2)讨论函数fx的单调区间. 10.(2425高二下重庆部分区：期设函数f(x)=(x-mP(x-n,m,n∈R (1)当m=n=0时，求函数f(x)在点(1,1)处的切线方程： (2)当m<0,n=0时，求函数f(x)的极值： 3)当m≠n且f(x)利f(x)f(x为f(x)的导函数)的零点均在集合[2,1，-1中，求m和n的值. 1.24-25高二下重庆九龙坡区期已知函数fx=e-x-1 (1)证明：fx≥0： 6/13 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)求过点0，-1且与曲线y=fx相切的直线方程 12.(2425高二下重庆七校联盟：期末2.设函数fx=|aX2-4a+1x+4a+3e ①)若曲线y=fx在点3，f3到处的切线与x轴平行，求a: (2)若fx在x=2处取得极大值，求Q的取值范围。 13.(4-25高二下重庆南开中学校期3.已知函数fx=e+mX2-x-1'm∈R 国若m=一子求函数y=f+f-x在R上的最小值： (2)已知P,为曲线fx上不同两点，曲线fx在P,Q处切线分别为l1,L2,且l1,2斜率互为相反数，证 明：直线PQ的斜率kPo<O; ⑨已ge0,引1,23，…，2025将益下列-组藏e+ee+ee esinesin)cosecosenesin)ecosecos (en9匹+en0as)eos0:+ems,试判定这组数的平均数与6的大小关系并证明你的结论 目地城诗点04 利用导数研究函数的单调性 一、单选题 1.(Q24-25高二下重庆第一中学期已知函数fx在区间A上的导函数fx存在，则“x∈A时， fx>0”是“fx在区间A上单调递增”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要 条件 2.(24-25高二下重庆西南大学附属中学校期已知fX-fX>0在R上恒成立，且f0)=1:则不等式 efx小>1的解集为() 7/13 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.-0∞，0 B.(0,+∞ c.-o,0U0,1 D.-1,0U0,+0 3.Q4-25高二下重庆（康德卷）期末利若不等式ae2m≥血2恒成立，其中n∈N,则a的最小值为 n () 么吃 B.In 2 2 C.InV2 D.In2 42425商二下重状七校联盟期利若函数hx=nX-aX-12,4上存在单调道减区间，则实数a 的取值范围为() A. 1 +00 B. c.11 D 1 4 16'4 -00,16 5.(24-25高二下重庆第一中学：期已知函数fx=e-e-2x若fa2+f-3a+2<0:则实数。的 取值范围为() A.-00,1U2,+0∞ B.1,2 C.-00,-2U-1,+∞ D.-2,-1 二、多选题 6.(24-25高二下重庆部分区期末)若自变量x表示时间，在长为定值T(T>0)的时间周期[u,u+T]中，函 数y=f(x)的增长率为g(uj=fu+T）-fu 当x∈(1，+∞)时，以下判断正确的是() f(u) A若fx)=2则gu为增函数 B.若fx)=2x则gu为减函数 C.若f(x)=lnx则g(u为减函数 D.若f(x)=2X2,则g(u)为增函数 7.4-25高二下重庆（康德卷）期关于函数fX=Xe,以下结论正确的是（） 4 A.fx的最小值为0 B.fx刘的最大值为 8/13 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 c.若x<0:则fx<f1 D.若x<-2则fx单调递增 8.24-25高二下重庆九龙坡区期末)已知函数fx=1+血x,则下列说法正确的是() A.fx在1，+∞上单调递减 B.fx的极小值为1 c.设a=2b=,3, 2于12四b D.若曲线y=fx与自线y=x无公共点，则庆数的取位范时是|侣+ 9.(24-25高二下重庆校联盟期设函数fx=X-1川x+2P,则下列说法正确的是(） A.X=-2是fx的极大值点 B.当-2<x<-2时，f2x+1>-4 C.当0<x<1时，fx<fx2 D.若关于x的方程fx-m=0恰有3个不等的实根，则m的范围是-4,0) 三、填空题 10.(425高二下重庆七校联盟：期已知函数fx及其导函数fx的定义域均为R'且 x-2fx-fx0'f4-x=fxe4-2,则不等式efnx<X对4的解集是 四、解答题 11.(24-25高二下重庆第八中学校：期末已知函数fx=mx2+m+1e (1)讨论函数fx的单调性. ②)当m=0时，fX+f-x≤2e求a的取值范国. 9/13 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 12.(2425高二下重庆（康德卷）期末)已知函数fx=1nx+1-1. X (1)求fx的最小值： (2)证明：xlnx-x2e-x+1≥0. 13.2425高二下重庆巴蜀中学教育集团期已知函数fx=X-2alnX-2aa∈R (1)若a=1,求fx的单调区间和极值， ②)若a>0'关于x的不等式fx>-2alna+e疽成立，求。的取值范国 14.(24-25高二下·重庆七校联盟期末)已知函数fx=x-alnx-xlna+b. (1)若a=1,判断fx的单调性 (2)已知fx有两个零点X1,X2,(X1<X2) ①证明：b<ana; ②证明： +>2 aa 15.(24-25高二下-重庆（康德卷）期已知函数fx=x-X2--sin(axa∈R (1)当a=1时，判断函数fx在x∈-oo,0的单调性： (2)当1<a</2时，证明：不等式fx<0在x∈0，+o恒成立： (3)若函数fx的最大值为0，求a的值 16.(2425高二下重庆第一中学期末已知函数fx=X-1+aln1+x (1)若fx在定义域内单调递增，求实数a的取值范围： ②)当a=1时，若对任意x∈-1，+o0,不等式fx-X+2≤be+1nb恒成立，求实数b的最小值： (3)若fx存在两个不同的极值点x,X'X<x,且fX小<mX'求实数m的取值范围. 目地 城考点05 导数的综合应用 一、单选题 10/13 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 1.4-25高二下重庆九龙坡区期未若函数fx=aX-3x+b（a,b∈R)的极小值点为2，则。的取值 e 范围是() A. -00 3-2 B.0,+o 0, D. 0 32 1 2.(24-25高二下重庆第八中学校期末)已知函数gx=a-x2(二≤x≤e,e为自然对数的底数)的图像上 e 存在2个点A1、A2分别与hx=2lnx的图像上2个点B1、B2关于x轴对称，则实数a的取值范围是() A. B.1,e2-2 1 +2,e2-2 D.e2-2,+o 3.(24-25高二下重庆南开中学校：期定义在R上的函数fx满足fx=2fx+e-x则方程 fx-x+2=0的解个数为() A.1 B.2 C.3 D.4 二、多选题 4.(24-25高二下·重庆（康德卷）·期末)已知关于x的方程2x+3x-12x-m=0有三个解，则m的值可 以是() A.-7 B.-1 C.5 D.15 5.(24-25高二下重庆第一中学期末)已知fx=x2+gx2+2,则() A.当a=1时，fx既有极大值，又有极小值 B.若fx在x=0处取到极大值，则实数a的取值范围为-∞，0 C.a=3时，fx在区间lm,m+2内取到最大值，则实数m的取值范围为-3，-1 D.不存在实数a,使得fx在区间-1,1内既有最大值又有最小值 11/13 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 三、填空题 6.245府二下至庆巴蜀中学教有集团期已知两效fxa a-号ex（a>0且a≠1)，存 3 在三个极值点X1,X2,X3(X1<X2<X3),若X2是极小值点，则实数a的取值范围是 7.24,23高=下原庆九龙坡区期末函数fx=弓×-9x0,4上的最小值为 8.(24-25高二下·重庆（康德卷）·期末)设N≥2且N∈N,对于一组数据X1,X2,…,Xw,若 fa=∑1nx+1的最大值为fa,则2,1 1入0x+1 四、解答题 9.(24-25高二下·重庆九龙坡区期末)已知函数fx=lnx-mx. (1)求fx的极值： (2)若函数fx有两个不同的零点X1,X2: (i)求m的取值范围； （i)设x<x'且的最大值为g3,求inx+lnx,的最大值 10,425商二下重庆长寿区期村已如医数fX-心品〈其中a∈R)的图象关于傲点对称 (1)求a的值： (2)求函数fx的值域。 11.(2425高二下·重庆西南大学附属中学校·期末)1.已知A,B,C是曲线y=fx上不同的三点.若点A, B,C的横坐标成等比数列，且曲线y=fx在点B处的切线的斜率小于直线AC的斜率，则称fx是其定 义域上的“等比左偏函数”.已知fx=anX-2x (1)讨论fx的极值点个数； (2)若fx是0，+o∞上的“等比左偏函数”，求实数a的取值范围： 12/13 可学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 3)当a=1时，数列a,满足an1=fa+2a,+20 t1ra证明：a<2nt i=1 12.(2425高二下·重庆部分区期末2.已知函数f(x)=lnx,g(x)=a-1(x>0,a∈R). X (1)当a=1时，求不等式f(x)-gx)>0的解集： (2)若f(x)图象恒在g(x)图象的上方，求a的取值范围. 13/13