精品解析：海南华侨中学2026届高三下学期考前自测数学试题

2023级高三年级第二学期第四次考试数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． （第Ⅰ卷） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求解集合中不等式的解集，得到集合，再根据补集的定义求出. 【详解】因为对数函数的定义域为，所以， 又因为，而对数函数在上单调递增，所以由可得， 结合，可得集合， 所以或， 即用区间表示为：. 2. 已知复数，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据完全平方和公式、复数乘方的运算法则，结合复数虚部定义进行求解即可. 【详解】因为复数，所以， 因此， 所以的虚部为. 3. 如图，圆柱体被一个不平行底面的平面截去一部分，尺寸如图则该几何体的体积和侧面积分别是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】通过两个该几何体拼成一个完整圆柱，即可求解. 【详解】由图可知，圆柱底面直径为，因此底面半径，几何体左右侧高分别为和， 两个完全相同的该几何体，可以拼接成一个高为，底面半径为1的完整圆柱， 完整圆柱的体积， 因此原几何体体积为完整圆柱体积的一半：， 完整圆柱的侧面积， 原几何体的侧面积为完整圆柱侧面积的一半：. 4. 双曲线的顶点到一条渐近线的距离等实半轴长的倍，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据双曲线求出顶点以及渐近线，再根据题意列出方程求出关系进而求出离心率. 【详解】双曲线右顶点为，渐近线. 顶点到渐近线的距离. 因为双曲线的顶点到一条渐近线的距离等实半轴长的倍， 所以，即，化简得，进而. 已知，则，因为，所以. 5. 已知，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用平方关系求得，然后由二倍角公式计算. 【详解】因为，所以，， 又， 所以， 所以， 又 . 6. 已知圆：，定点，是圆上的一动点，线段的垂直平分线交于点，则点的轨迹的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据定义可判断点的轨迹是以为焦点的椭圆，即可求出轨迹方程. 【详解】由题可得圆心，半径为6， 是垂直平分线上的点，， ， 点的轨迹是以为焦点的椭圆，且，， ，故点的轨迹方程为. 故选：B. 7. 已知数列满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由已知变形得到，利用等差数列求通项公式得到，进而得，即可得答案. 【详解】由可变形为， 故为公差为的等差数列， 所以，所以，所以． 8. 已知函数为偶函数，且，则的解集为（ ） A. B. 或 C. 或 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由奇偶性结合单调性求得函数解析式，然后解不等式. 【详解】因为是偶函数， 所以，即，所以， 因为，，所以，因此在上是减函数， 所以， 由，得，所以， 所以时，，解得， 即的解集为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某地7月份记录高温天气有10天，温度（单位：）由低到高的排列分别如下：33，34，35，36，36，37，37，37，37，38，这10个数的平均数为m，中位数为n，极差为t，方差为．则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【详解】，选项A错误. 个数据的中位数是排序后第个和第个数的平均值，第个数是，第个数是，因此，B正确. 最大值为，最小值为，因此，C正确. ，D错误. 10. 已知等比数列的前n项和为，且，，则（ ） A. 公比 B. 数列是单调递减数列 C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】利用等比数列的前项和公式列出方程组，能求出首项和公比，结合等比数列的通项公式以及前n项和公式一一判断各选项，即得答案． 【详解】若等比数列的公比为1，则，；，矛盾， 故， 由于，，，解得，，A正确； 故，数列是单调递增数列，B错误，C正确； ，D错误. 11. 已知函数两相邻对称中心的距离为4，，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的对称中心为 C. 若有两个零点，，则 D. 当其中一个零点时，最小值为 【答案】CD 【解析】 【详解】对A：因为函数两相邻对称中心的距离为4， 所以函数的最小正周期为8，所以， 所以或，故A错误； 对B：对函数，由或， 所以函数的定义域为，所以函数的定义域不关于点对称， 所以函数的图象也不关于点中心对称，故B错误； 对C：因为，. 所以. 因为函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当即时，方程有两解，和各有1个.故C正确； 对D：由， 代入得：. 令，因为，所以， 则. 令，. 则. 因为，所以，所以在上单调递减. 所以当，对应时，最小，且，所以的最小值为，故D正确. （第Ⅱ卷） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 如图由4条水平方向的平行线和5条竖直方向的平行线围成的图形中共有______个不同的平行四边形； 【答案】 【解析】 【详解】从 4 条水平方向的平行线中选 2 条，有种选法， 从 5 条竖直方向的平行线中选 2 条，有种选法， 根据分步乘法计数原理得总平行四边形个数为. 13. 已知平面上三个不共线向量，，两两夹角均为，且满足：，，，______； 【答案】 【解析】 【分析】利用平方法，结合平面向量数量积的运算性质和定义进行求解即可. 【详解】因为平面上三个不共线向量，，两两夹角均为，且满足：，，， 所以 . 14. 在三棱锥中，直线平面，，．设直线与平面所成的角为，则的最小值为______； 【答案】## 【解析】 【分析】先根据线面角的定义找出直线 与平面 所成的角 ，再结合线面垂直的性质将 转化为线段比的形式，接着在 中利用正弦定理建立线段间的关系，最后结合三角函数的有界性求出 的最小值. 【详解】 因为 平面 ，所以 是斜线 在平面 内的射影； 因为直线 与平面 所成的角 ，且， 在 中，， 设 ，则 ，其中 ， 在 中，由正弦定理，，即， 所以， 所以， 因为，则当 时，取得最大值1，此时 取得最小值. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知． （1）求角A； （2）是的角平分线，且．当取最小值时，求此时的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）替换得到，即可求出； （2）由利用三角形面积公式可得，根据基本不等式解出的最小值，应用取等条件求出三角形面积. 【小问1详解】 得到 得到，，， 又，. 【小问2详解】 由得， 得， 化简得，即， 所以， 当且仅当时等号成立，取得最小值， 此时，面积为． 16. 已知函数． （1）若直线与曲线相切，求的值； （2）求的单调区间； （3）若在定义域内恒成立，求的取值范围． 【答案】（1）； （2）在上单调递增，在上单调递减； （3）. 【解析】 【分析】（1）由导数的几何意义可得出切点的横坐标，结合切线方程可得出切点的坐标，将切点代入函数的解析式，即可得出实数的值； （2）利用函数的单调性与导数的关系可求出函数的增区间和减区间； （3）解不等式，即可解得实数的取值范围. 【小问1详解】 因为，所以的定义域为． 由 ，可得，所以直线与曲线的切点坐标为， 故 ，解得． 【小问2详解】 由 ，可得；由 ，可得． 故在上单调递增，在上单调递减. 【小问3详解】 要在定义域内恒成立，则 由（2）知 ，解得． 17. 已知抛物线的焦点为F，过F的直线交抛物线于A，B两点，当直线倾斜角为时， （1）求抛物线C的标准方程； （2）O为坐标原点，直线，分别交抛物线的准线于P，Q两点．证明：以线段为直径的圆过焦点F． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）设，，根据已知得直线，代入抛物线并应用韦达定理得，根据抛物线焦点弦公式列方程求参数值，即可得； （2）设直线的方程为，联立抛物线，应用韦达定理有，，且直线的方程为、直线的方程为，再联立准线方程求P，Q两点，最后应用向量数量积的坐标表示得，结合韦达公式得，即可证. 【小问1详解】 抛物线的焦点坐标为，直线倾斜角为， 则直线斜率，直线方程为， 将直线方程代入抛物线方程可得，整理得， 设，，由韦达定理得， 由抛物线的焦点弦长公式，解得， 所以抛物线C的标准方程为； 【小问2详解】 设直线的方程为，代入可得， 易知，由韦达定理可得，， 直线的方程为，抛物线的准线方程为，所以点为， 同理，点为，所以，， 所以， 因为、都在抛物线上，所以， 所以， 所以，所以以为直径的圆必过焦点. 18. 如图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形，点分别在棱上，且. （1）在图中作出平面与平面的交线，并写出作图过程； （2）证明：平面； （3）若，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1） 作图过程：①延长，交的延长线于点； ②延长，交的延长线于点； ③连接. 则直线即平面与平面的交线. 如图： （2） 由题意，，因此， 设，则， 所以，. 又因为， 而，， 因此，即，而向量不共线， 所以向量与向量共面，且平面，故平面. （3） 【解析】 【分析】（1）先作直线与平面的公共点，同理作出直线与平面的公共点，进而可得两平面的交线； （2）以为基底向量，通过向量的加减法运算可得，所以向量与向量共面，再由平面可得线面平行. （3）建立空间直角坐标系，用向量的方法求平面与平面的夹角余弦值可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为， 所以点在底面的投影为菱形的外接圆圆心，且， 所以底面为边长为的正方形，，. 故分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图： 则， 所以， ， . 设平面的法向量为， 则，得， 令，得，. 设平面的法向量为，， 则，得，令，则，. 设平面与平面夹角为， . 故平面与平面夹角的余弦值为. 19. 某高校机器人甲队和乙队进行练习赛，比赛规则为：每局比赛胜者得1分．负者得0分，没有平局，总共进行奇数局比赛，全部比完后，分数高者获胜．假设每局比赛甲队获胜的概率都是（），各局比赛之间的结果互不影响． （1）当时，若两队共进行3局比赛，设甲队得分减去乙队得分的差为．求． （2）若两队共进行局比赛，．当，且时，记事件“在前局比赛中甲队赢了（，，，，）局”，事件“甲队最终获胜”，求，的值． （3）若甲队在进行局比赛时获胜的概率记为，，在进行局比赛时获胜的概率记为，在进行局比赛时获胜的概率记为．已知．证明：． 【答案】（1）； （2），； （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）应用独立重复试验的概率求法及互斥加法公式求概率； （2）由题设前局后剩余2局比赛，设前局甲队赢局，则剩余2局的赢局数，总分满足，应用二项分布的概率及对立事件概率求法求，； （3）由全概率公式得，即，再应用作商、基本不等式得，即可得结论. 【小问1详解】 依题意 【小问2详解】 由题设，前局后剩余2局比赛，设前局甲队赢局， 则剩余2局的赢局数，总分满足， 所以对应，即，又， 故， 对于对应，即，又， 所以； 【小问3详解】 由全概率公式得     ， ∴， 当时，， ， ∵， ∴， ∴. 故成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023级高三年级第二学期第四次考试数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． （第Ⅰ卷） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. ，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，圆柱体被一个不平行底面的平面截去一部分，尺寸如图则该几何体的体积和侧面积分别是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 双曲线的顶点到一条渐近线的距离等实半轴长的倍，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 2 5. 已知，，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知圆：，定点，是圆上的一动点，线段的垂直平分线交于点，则点的轨迹的方程是（ ） A. B. C. D. 7. 已知数列满足，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数为偶函数，且，则的解集为（ ） A. B. 或 C. 或 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某地7月份记录高温天气有10天，温度（单位：）由低到高的排列分别如下：33，34，35，36，36，37，37，37，37，38，这10个数的平均数为m，中位数为n，极差为t，方差为．则（ ） A. B. C. D. 10. 已知等比数列的前n项和为，且，，则（ ） A. 公比 B. 数列是单调递减数列 C. D. 11. 已知函数两相邻对称中心的距离为4，，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的对称中心为 C. 若有两个零点，，则 D. 当其中一个零点时，最小值为 （第Ⅱ卷） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 如图由4条水平方向的平行线和5条竖直方向的平行线围成的图形中共有______个不同的平行四边形； 13. 已知平面上三个不共线向量，，两两夹角均为，且满足：，，，______； 14. 在三棱锥中，直线平面，，．设直线与平面所成的角为，则的最小值为______； 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知． （1）求角A； （2）是的角平分线，且．当取最小值时，求此时的面积． 16. 已知函数． （1）若直线与曲线相切，求的值； （2）求的单调区间； （3）若在定义域内恒成立，求的取值范围． 17. 已知抛物线的焦点为F，过F的直线交抛物线于A，B两点，当直线倾斜角为时， （1）求抛物线C的标准方程； （2）O为坐标原点，直线，分别交抛物线的准线于P，Q两点．证明：以线段为直径的圆过焦点F． 18. 如图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形，点分别在棱上，且. （1）在图中作出平面与平面的交线，并写出作图过程； （2）证明：平面； （3）若，求平面与平面夹角的余弦值. 19. 某高校机器人甲队和乙队进行练习赛，比赛规则为：每局比赛胜者得1分．负者得0分，没有平局，总共进行奇数局比赛，全部比完后，分数高者获胜．假设每局比赛甲队获胜的概率都是（），各局比赛之间的结果互不影响． （1）当时，若两队共进行3局比赛，设甲队得分减去乙队得分的差为．求． （2）若两队共进行局比赛，．当，且时，记事件“在前局比赛中甲队赢了（，，，，）局”，事件“甲队最终获胜”，求，的值． （3）若甲队在进行局比赛时获胜的概率记为，，在进行局比赛时获胜的概率记为，在进行局比赛时获胜的概率记为．已知．证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $