精品解析：海南省海南华侨中学2026届高三年级第二学期第二次考试数学试题

海南侨中2023级高三年级第二学期第二次考试数学试题 2023级高三年级第二学期第二次考试数学试题 命题人：吕晓平 审题人：林五虚 成早秀 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，只需将答题卡交回. (第Ⅰ卷) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则中元素的个数为（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 2. 已知复数，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 函数 的最小正周期是（ ） A. B. C. π D. 2π 4. 已知随机变量，则（ ） A. 0.4 B. 0.3 C. 0.2 D. 0.1 5. 记等差数列的前项和为，若，，则（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 6. 有四对双胞胎共8人，从中随机选出4人，则其中恰有一对双胞胎的选法种数为（ ） A. 40 B. 48 C. 52 D. 60 7. 一个圆锥的底面圆和顶点都恰好在同一个球面上，且该球的半径为1，当圆锥的体积取最大值时，圆锥的底面半径为（ ） A. B. C. D. 8. 已知为坐标原点，过抛物线焦点的直线与该抛物线交于，两点，若，若面积为，则（ ） A. 4 B. 3 C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某批产品检验后的评分，由统计结果制成如图所示的频率分布直方图，下列说法中正确的是（ ） A. a=0.005 B. 评分的众数估值为 70 C. 评分的第25百分位数估值为 67.5 D. 评分的平均数估值为76 10. 已知圆，直线（其中为参数），则下列选项正确的是（ ） A. 圆的半径 B. 直线与圆相交 C. 直线不可能将圆的周长平分 D. 直线被圆截得的最短弦长为 11. 已知函数在上单调递增，在上单调递减，且方程有3个不等实根，它们分别为，，2，则（ ） A. 实数为0 B. 为定值 C. D. (第Ⅱ卷) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若指数函数满足，则_____． 13. 直线经过椭圆的两个顶点，则该椭圆的离心率为________． 14. 设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 的周长为20，面积为10 ，D为边BC的中点，则BC边中线AD=________ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 根据社会人口调查一万个家庭研究发现，一个家庭有个孩子的分布列为： 0 1 2 3 P (其中)每个孩子的性别是男孩还是女孩的概率均为 ，且相互独立，事件表示一个家庭有 个孩子()，事件B表示一个家庭中男孩比女孩多(若一个家庭只有一个孩子并且恰好是一个男孩，则表示该家庭男孩比女孩多). （1）求的值及随机变量X的数学期望； （2）分别求的值; （3）求. 16. 已知等比数列满足，且成等差数列. （1）求数列的通项公式： （2）求. 17. 已知函数. （1）若在处的切线为，求的值； （2）当时，确定在上的零点个数. 18. 如图，在直三棱柱中，是四边形（不含边界）内的动点且． （1）求证：平面； （2）求平面与平面所成角的余弦值的取值范围． 19. 已知椭圆 （>）的离心率为 A，B分别为椭圆C的上、下顶点，O为坐标原点，直线与椭圆C交于不同的两点P，Q. （1）设点M 为线段PQ的中点，证明：直线OM 与直线PQ的斜率之积为定值； （2）若时， ①求椭圆C的方程； ②证明：直线BP与直线AQ的交点D在定直线上. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 海南侨中2023级高三年级第二学期第二次考试数学试题 2023级高三年级第二学期第二次考试数学试题 命题人：吕晓平 审题人：林五虚 成早秀 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，只需将答题卡交回. (第Ⅰ卷) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则中元素的个数为（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，联立方程组，求得交点的坐标，确定集合，即可求解. 【详解】由题意，集合， 联立方程组，整理得，解得或， 当时，可得；当时，可得， 所以，即中元素的个数为2个. 故选：B. 2. 已知复数，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】利用模长定义计算后利用充分条件与必要条件定义即可得. 【详解】若，则，解得或， 故“”是“”的必要不充分条件. 3. 函数 的最小正周期是（ ） A. B. C. π D. 2π 【答案】A 【解析】 【详解】， 所以最小正周期. 4. 已知随机变量，则（ ） A. 0.4 B. 0.3 C. 0.2 D. 0.1 【答案】B 【解析】 【分析】利用正态分布的对称性得到，进而建立方程，求解出，再利用正态分布的性质求解即可. 【详解】因为正态分布曲线关于对称，所以， 因为，， 所以，即，解得或（舍去）， 由正态分布的性质得，故B正确. 故选：B. 5. 记等差数列的前项和为，若，，则（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】设出公差，利用等差数列前项和公式，结合已知列出方程求解. 【详解】设等差数列的公差为，由，得，解得， 由，得，则，所以. 故选：A 6. 有四对双胞胎共8人，从中随机选出4人，则其中恰有一对双胞胎的选法种数为（ ） A. 40 B. 48 C. 52 D. 60 【答案】B 【解析】 【分析】由题意，根据分步乘法原理，可得答案. 【详解】先从四对双胞胎中选出一对，有种选择； 然后从剩下的六个人中选出两个人，且不能是同一对双胞胎， 这相当于从三对双胞胎中选出两对，再从每对中选出一个人，共有种选择. 根据乘法原理，总共有种选法. 故选：B. 7. 一个圆锥的底面圆和顶点都恰好在同一个球面上，且该球的半径为1，当圆锥的体积取最大值时，圆锥的底面半径为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用球的截面圆性质及圆锥的体积公式列出函数关系，再利用导数求解. 【详解】 如图，根据题意，圆锥高为，底面圆半径，外接球球心为，半径， 则球心到圆锥底面圆心距离， 由，得，圆锥的体积， 求导得， 当时，，函数在上递增， 当时，，函数在上递减， 则当时，圆锥的体积最大，此时底面圆半径. 故选：B 8. 已知为坐标原点，过抛物线焦点的直线与该抛物线交于，两点，若，若面积为，则（ ） A. 4 B. 3 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出抛物线的焦点坐标，设出直线方程并与抛物线方程联立，利用韦达定理，结合抛物线的定义及三角形面积公式列式求出 【详解】抛物线的焦点，设直线，点， 由消去得，则， ，即， ， ，则，因此， 所以. 故选：A 【点睛】易错点睛：有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式，若不过焦点，则必须用一般弦长公式． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某批产品检验后的评分，由统计结果制成如图所示的频率分布直方图，下列说法中正确的是（ ） A. a=0.005 B. 评分的众数估值为 70 C. 评分的第25百分位数估值为 67.5 D. 评分的平均数估值为76 【答案】AC 【解析】 【详解】对于A，由频率之和为，得，故A正确； 对于B，评分的众数约为，故B错误； 对于C，因为，所以第百分位数在内，第百分位数约为，故C正确； 对于D，评分的平均数约为，故D错误. 10. 已知圆，直线（其中为参数），则下列选项正确的是（ ） A. 圆的半径 B. 直线与圆相交 C. 直线不可能将圆的周长平分 D. 直线被圆截得的最短弦长为 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A，根据条件得到圆心为，半径为，即可求解；对于B，根据条件可得直线过定点，且定点在圆内，即可求解；对于C，当直线过圆心时，直线平分圆，即可求解；对于D，当时，直线被圆截得的弦长最短，由弦长公式，即可求解. 【详解】对于选项A，由，得到， 所以圆圆心为，半径为，所以选项A错误， 对于选项B，由，得到， 由，得到，所以直线过点， 又，所以点在圆内，故直线与圆相交，则选项B正确， 对于选项C，当直线过点，即时，直线平分圆的周长，所以选项C错误， 对于选项D，当时，圆心到直线的距离最大，直线被圆截得的弦长最短， 此时弦长为，所以选项D正确， 故选：BD. 11. 已知函数在上单调递增，在上单调递减，且方程有3个不等实根，它们分别为，，2，则（ ） A. 实数为0 B. 为定值 C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】先根据函数的单调性，可判断出有两个解，一个是0，另一个大于2，可求的值及的取值范围；再根据方程有三个不同实根，可得，处理可得与的关系，接下来可逐项判断选项的准确性. 【详解】因为，所以. 因为函数在上单调递增，在上单调递减， 所以方程有两个解：故A正确； 其中一个根为0，即， 另一根：. 所以，又方程有3个不等实根，它们分别为，，2. 所以. 由为定值，故B正确. 又. 由. 当时，，此时， 所以只有两个根，与有3个不等实根矛盾，所以. 因为， 因为，所以，无法确定，故C错误； 因为， 因为，所以，所以，故D正确. 故选：ABD (第Ⅱ卷) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若指数函数满足，则_____． 【答案】27 【解析】 【分析】令且，根据题设得，即可求解. 【详解】令且，因为， 则，即，解得或（舍）， 所以，则， 故答案为：. 13. 直线经过椭圆的两个顶点，则该椭圆的离心率为________． 【答案】## 【解析】 【分析】由直线方程求得其在坐标轴上截距，可得椭圆的的值，根据离心率的公式，可得答案. 【详解】当时，由，则；当时，由，则， 由题意可得为椭圆的顶点， 则椭圆的方程为，所以， 可得，所以离心率. 故答案为：. 14. 设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 的周长为20，面积为10 ，D为边BC的中点，则BC边中线AD=________ 【答案】 【解析】 【详解】已知在中，，结合正弦定理，得，整理得， 由射影定理可得，因为的周长为，即，代入，可得， 又因为的面积为，由面积公式，结合余弦定理， 联立可得， 再利用半角公式，则，解得，， 进而得，则或， 则根据中线定理可得， 因此. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 根据社会人口调查一万个家庭研究发现，一个家庭有个孩子的分布列为： 0 1 2 3 P (其中)每个孩子的性别是男孩还是女孩的概率均为 ，且相互独立，事件表示一个家庭有 个孩子()，事件B表示一个家庭中男孩比女孩多(若一个家庭只有一个孩子并且恰好是一个男孩，则表示该家庭男孩比女孩多). （1）求的值及随机变量X的数学期望； （2）分别求的值; （3）求. 【答案】（1）， （2），， （3） 【解析】 【分析】（1）根据分布列中所有概率之和等于1，求出的值，继而可求得； （2）利用条件概率公式计算即得； （3）利用全概率公式计算即可. 【小问1详解】 由题意，得，解得； ∴X的分布列为 x 0 1 2 3 P ∴X的数学期望 ； 【小问2详解】 由题意，得，， 【小问3详解】 因，则由全概率公式，得 . 16. 已知等比数列满足，且成等差数列. （1）求数列的通项公式： （2）求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）依题意列方程即可求出公比，进而得到数列的通项； （2）利用等比数列的前n项和求解即可. 【小问1详解】 设等比数列的公比为， 成等差数列， ， 即， 即， 解得或（舍）， 【小问2详解】 . 17. 已知函数. （1）若在处的切线为，求的值； （2）当时，确定在上的零点个数. 【答案】（1）， （2）存在个零点 【解析】 【分析】（1）借助导数的几何意义计算即可得； （2）求导后利用零点存在性定理可虚设零点，结合其单调性得到最小值小于，再利用零点存在性定理判断零点个数即可得解. 【小问1详解】 ，， 由在处的切线为，则， 故，； 【小问2详解】 当时，，， 当时，， 当时，由与都单调递增， 故单调递增， 又， ，故存在，使得成立，即有， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以当时取得最小值，即， 则， 令，则， 所以， 则在上单调递减， 故， 又， 故在上存在一个零点， 又， 故在上存在2个零点. 18. 如图，在直三棱柱中，是四边形（不含边界）内的动点且． （1）求证：平面； （2）求平面与平面所成角的余弦值的取值范围． 【答案】（1） 因为所以， 所以，所以， 由三棱柱是直三棱柱，得平面，又平面，所以， 因为，平面， 所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知结合余弦定理得出，再由线面垂直的性质有、，进而有平面.； （2）根据已知构建合适的空间直角坐标系，设，应用向量法求面面角的余弦值结合函数单调性即可求出范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由于，且平面， 以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，且是四边形（不含边界）内的动点,． 所以，即， 设， 所以． 设平面的法向量为， 则，令，则， 所以平面的法向量为． 设平面的法向量为， 则，令，则， 所以平面的法向量为． 设平面与平面所成角为 则， 令，则， 因为在上单调递减，所以，所以. 所以平面与平面所成角的余弦值的取值范围. 19. 已知椭圆 （>）的离心率为 A，B分别为椭圆C的上、下顶点，O为坐标原点，直线与椭圆C交于不同的两点P，Q. （1）设点M 为线段PQ的中点，证明：直线OM 与直线PQ的斜率之积为定值； （2）若时， ①求椭圆C的方程； ②证明：直线BP与直线AQ的交点D在定直线上. 【答案】（1）证明见解析 （2）①；②证明见解析 【解析】 【分析】（1）设，利用点差法求得，再化简计算即得； （2）①利用条件建立关于的方程，求解即得椭圆方程；②将直线与椭圆方程联立，写出韦达定理，分别列出直线BP与直线AQ的方程，设，联立求得，回代入方程，利用韦达定理化简推出，即得结论. 【小问1详解】 设则 则由 两式相减可得，即 ， 所以 为定值. 【小问2详解】 ①由题意可得， 解得，故椭圆方程为 . ②联立方程，消去，可得， 由，解得，则， 因直线BP的方程为，即 ， 直线AQ的方程为，即， 设直线BP与直线AQ的交点为，则联立， 由，解得 ， 将其代入①，可得 即. 故直线BP与直线AQ的交点在定直线上. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $