专题4.3 立体几何中线面关系的判断与证明7大题型（期末复习讲义）高一数学下学期人教A版

命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题4.3立体几何中线面关系的判断与证明（期末复习讲义） 内容导航 明。期末考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破。重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01线面关系辨析 题型02判断线面、面面关系 题型03证明线面、面面平行 题型04由平行关系确定存在性问题 题型05证明线面、面面垂直 题型06由垂直关系确定存在性问题 题型07由平行、垂直关系确定动点轨迹 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 明·期末考情 核心考点 复习目标 考情规律 线面关系辨析 准确理解线线、线面、面面的平行与 基础题型，常以选择题出现，考查对定 垂直判定及性质；能判断命题真假并 理的准确记忆和反向理解，易错点在符 举例说明 号语言与图形语言的转换 判断线面、面面关 能根据几何条件快速判断空间中的 高频考点，常在选择题或填空题中出现， 系 平行与垂直关系：掌握常用几何模型 考查空间想象和逻辑推理能力，需注意 (如正方体、长方体)中的位置关系特殊情形（如线在面内） 证明线面、面面平 熟练掌握线面平行的判定（找面内平 每年必考，常在解答题第一问出现，辅 行 行线)和面面平行的判定（一平面内 助线的添加是难点，需善于利用中点、 两相交线平行于另一平面)；能规范 中位线或平行四边形找平行关系 写出证明步骤 由平行关系确定 能根据平行条件设出未知点或参 综合题型，常在解答题第二问出现，需 存在性问题 数，利用线面平行、面面平行的性质 结合几何特征与代数运算，先假设存在 建立方程，求解是否存在满足条件的 再列方程，最后验证范围 点或直线 1/23 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 证明线面、面面垂 掌握线面垂直的判定（垂直于面内两 核心必考，常在解答题中出现，线面垂 直 相交线)和面面垂直的判定（一平面 直是证明面面垂直的基础，需注意“两 内一线垂直于另一平面)；能灵活运 条相交直线”的条件不可遗漏 用勾股逆定理、等腰三角形中线等几 何性质 由垂直关系确定 掌握利用垂直关系（线线垂直、线面垂 综合题型，常在解答题第二问或第三问出 存在性问题 直、面面垂直)设出未知点坐标或比例， 现，需综合运用垂直判定定理与代数运算， 建立垂直方程求参数；能结合几何特征 考查分类讨论与逻辑推理能力。 判断是否存在满足条件的点，并说明理 由 由平行、垂直关系 能将平行或垂直条件转化为距离、方 拓展内容，多在压轴题中出现，考查从 确定动点轨迹 向或数量积的约束，识别轨迹形状 动态几何中抽象出轨迹模型的能力，需 (直线、平面、圆、球面等)；会用 结合常见轨迹模型（如中垂面、等距面） 几何分析法求轨迹方程或判断形状 记·必备知识 昼知识点01证明线线平行 平面几何常用方法： 1、利用平行公理及推论：平行于同一直线的两直线平行（平行线的传递性）。 2、利用角的关系：同位角相等，则两直线平行；内错角相等，则两直线平行；同旁内角互 补，则两直线平行。 3、利用中位线性质：三角形的中位线平行于第三边；梯形的中位线平行于上下底。 4、利用平行四边形的性质：平行四边形的对边互相平行。 5、利用比例线段：如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平 行于三角形的第三边。 立体几何中常用方法： 1、利用线面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平 面的交线与该直线平行。 2、利用面面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线 平行。 3、利用直线与平面垂直的性质：垂直于同一平面的两条直线互相平行。 4、利用空间向量：证明两条直线的方向向量共线（即存在非零实数入使得一个方向向量等 于另一个方向向量的入倍)。也可转化为计算向量夹角或证明向量共面且无交点。 昼知识点2线面平行的性质与判定 2/23 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 一、 判定定理（如何证明线面平行） 核心判定定理：如果平面外一条直线与平面内一条直线平行，那么这条直线与该平面平行。（符号语言：若 ata,bc&,且a//b,则a//a) 其他判定方法： 1、利用面面平行的性质：如果两个平面互相平行，则其中一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面。 2、利用向量法（空间解析几何）：证明直线的方向向量与平面的法向量垂直（即点积为零）。 3、利用定义（反证法思路）：证明直线与平面没有公共点，通常通过反证法推出矛盾。 4、利用空间几何性质： 若一条直线平行于两个相交平面，则它平行于这两个平面的交线（此时该直线平行于交线所在的平面，若 直线不在该平面内)。 若一条直线垂直于平面的垂线，且不在该平面内，则该直线平行于该平面。 二、性质定理（己知线面平行能推出什么) 核心性质定理：如果一条直线与一个平面平行，那么过这条直线的任意平面与该平面的交线与该直线平行。 (符号语言：若a//c,acB,anB=b,则a//b) 其他性质： 1、线面平行得到线线平行：一条直线与一个平面平行，则该直线与平面内无数条直线平行（但并非与平面 内所有直线都平行，只与过其平行投影的直线平行)。 2、传递性相关：若一条直线平行于一个平面，则该直线平行于与该平面平行的所有平面（或说该直线与这 些平面无公共点，但未必在同一个平面内平行于它们内的所有直线)。 3、与距离的关系：若一条直线与一个平面平行，则直线上任意一点到平面的距离相等，这个距离称为直线 到平面的距离。 4、面面平行的基础：如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，则这两个平面平行（这是面 面平行的判定定理之一，源自线面平行的性质)。 图知识点3面面平行的性质与判定 一、 判定定理（如何证明两个平面平行) 核心判定定理： ①线面平行法：如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，则这两个平面平行。 (若aco,bca,anb=P,且a∥B,b∥B,则a∥B) ②线线平行法（推论）：如果一个平面内的两条相交直线分别与另一个平面内的两条直线平行，则这两个平 面平行。 3/23 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (条件略严格，需注意对应关系) 1、平行平面的传递性：平行于同一个平面的两个平面互相平行。（若ā∥Y,B∥Y,则a∥B) 2、垂直于同一直线：如果两个平面都垂直于同一条直线，则这两个平面平行。 3、向量法（空间解析几何）：证明两个平面的法向量平行 二、性质定理（已知两个平面平行能推出什么） 核心性质定理： ①面面平行→线线平行：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线互相平行。 （若&lB,Yna=a,YnF=b,则alb) ②面面平行→线面平行：两个平面平行，则其中一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面。 (若xlB,ac,则a‖B) 1、平行平面间的距离处处相等：两个平行平面间任意一点到另一个平面的距离都相等，这个距离称为两平 行平面间的距离。 2、平行平面截线段成比例：如果两条直线被三个平行平面所截，那么截得的对应线段成比例。 3、与角的关系：两个平行平面与同一个平面相交，所成的二面角相等。 知识点4证明线线垂直的方法 平面几何常用方法： ①等腰三角形底边上的中线是高； ②勾股定理逆定理； ③菱形对角线互相垂直； ④直径所对的圆周角是直角： ⑤向量的数量积为零； ⑥线面垂直的性质(a1&,bcx→a1b): ⑦平行线垂直直线的传递性（a1c,a//b→b上c). 立体几何常用方法： ①利用线面垂直的性质：如果一条直线与一个平面垂直，那么这条直线垂直于该平面内的任意一条直线。 ②利用三垂线定理及其逆定理 三垂线定理：平面内的一条直线，如果与一条斜线在平面内的射影垂直，那么它也与这条斜线垂直。 三垂线逆定理：平面内的一条直线，如果与一条斜线垂直，那么它也与这条斜线在平面内的射影垂直。 ③利用面面垂直的性质：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。 ④利用异面直线垂直的定义：两条异面直线所成的角是90°，则这两条异面直线垂直。 ⑤利用空间向量：若两条直线的方向向量的数量积为零，则这两条直线垂直（适用于相交、平行、异面直 线)。 4/23 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 同知识点05线面垂直的性质与判定 一、 判定定理（如何证明线面垂直） 核心判定定理： 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线与该平面垂直。 其他判定方法： 利用面面垂直的性质：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。 利用平行线的传递性：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于该平面。 利用平面的法向量（向量法）：证明直线的方向向量与平面的法向量平行；证明直线与平面内两个不共线的 向量都垂直。 二、 性质定理（己知线面垂直能推出什么） 核心性质定理：如果一条直线与一个平面垂直，那么这条直线垂直于该平面内的任意一条直线。 其他性质： 线面垂直→线线垂直：垂直于同一平面的两条直线互相平行。 与距离的关系 点到平面的距离：过点作平面的垂线，垂线段的长即点到平面的距离。 直线到平面的距离（当直线平行于平面时）：直线上任意一点到平面的距离。 平行平面间的距离：可转化为一个平面内一点到另一个平面的距离。 三垂线定理的基础：线面垂直是应用三垂线定理的前提条件（斜线在平面内的射影由垂足决定）。 确定唯一性：过一点有且只有一条直线与己知平面垂直。过一点有且只有一个平面与已知直线垂直。 局知识点06面面垂直的性质与判定 一、判定定理（如何证明两个平面垂直） 核心判定定理： 如果一个平面过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。 其他判定方法： 利用二面角定义：如果两个平面相交所成的二面角是直二面角（平面角为90°），则这两个平面垂直。 利用线面垂直性质：如果一个平面内的任意一条直线都垂直于另一个平面，则这两个平面垂直。（实际上这 是核心定理的推论，但需注意“任意一条”的条件较强) 利用平行关系：如果两个平行平面中的一个与第三个平面垂直，那么另一个也与第三个平面垂直。 向量法（空间解析几何）：证明两个平面的法向量互相垂直（即它们法向量的点积为零）。 利用几何特征：在某些特殊几何体（如正方体、长方体）中，利用其面与面之间的垂直关系。 二、性质定理（已知两个平面垂直能推出什么） 核心性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。 其他性质： 5/23 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 面面垂直→线面垂直：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面（同 核心性质定理)。 传递性相关： 如果两个平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面。 如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面（同上）。 与线线垂直的关系：如果两个平面垂直，那么在一个平面内任意一点向另一个平面作垂线，该垂线在第一 个平面内。 与距离的关系：如果两个平面垂直，那么在一个平面内到交线的距离等于到另一个平面的距离的线段，其 端点连线垂直于另一个平面。 唯一性： 过平面外一点有且只有一个平面与已知平面垂直。 过一条直线有无数个平面与己知平面垂直（只要平面包含该直线且垂直于已知平面）。 破·重难题型 题型一 线面关系辨析 解引题|技巧 :1、了解线线平行、线面平行、面面平行三者之间的关系；了解线线垂直、线面垂直、面面垂直三者之 间的关系。 :2、了解平行与垂直的传递性 1 【典例1】(2026海南儋州二模)己知直线m,n与平面α，B,Y,则下列命题中正确的是() A.若a1y,B⊥y,则aB B.若m⊥a,n⊥a,则mlln C.若m/la,nca,则mlln D.若m/1a，,m/1B,则a/B 【典例2】(25-26高一下·北京期中)已知a,阝是两个不同的平面，m,n是两条不同的直线，则下列命 题一定正确的是() A.若m∥a,m∥阝，则a∥B B.若m∥a,n∥a,则m∥n C.若⊥B,mca,nc阝，则m⊥nD.若m∥a,m⊥B,则a⊥B 【变式1】(25-26高一下·广西南宁.期中)（多选）已知m、n是空间中两条不同的直线，、阝是两个不 同的平面，则下列说法正确的() A.若m⊥B,a/1B,则m⊥a B.若n⊥a,n⊥阝，则/1β C.若m/1a,n/1a,则m∥n D.若a/1B,mca,ncB,则m∥n 【变式2】(25-26高一下·山西晋中.阶段检测)己知三条互不相同的直线1，m,n和三个互不相同的平面a 6/23 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ,阝，y,现给出下列三个命题： (I)若l与m为异面直线，1ca,mcB,则a11B; (2)若a11B,1ca,mcB,则111m: (3)若a∩B=1,y∩B=m,ya=n,111y,则m/1n. 其中真命题的个数为() A.3 B.2 C.1 D.0 题型二 判断线面、面面关系 答|题模|板 线面平行：需在平面内找到一条直线与已知直线平行；或借助面面平行性质（若两平面平行，则一平面内 的直线平行于另一平面)。 线面垂直：需证明直线垂直于平面内两条相交直线；常用等腰三角形中线、勾股定理逆定理、菱形对角线 等几何性质找垂直关系。 面面平行：需证明一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面；或通过线面垂直转化（垂直于同一直 线的两平面平行)。 面面垂直：需证明一个平面内有一条直线垂直于另一个平面；或通过计算二面角为直角判定。 【典例1】(25-26高二·全国·暑假作业)己知1是过正方体ABCD-A,B,C,D的顶点的平面AB,D,与下底面 ABCD所在平面的交线，下列结论错误的是() A.D,B,I/平面ABCD B.BDI/平面ADB, C.11/平面AB,C,D, D.I⊥BC 【典例2】(25-26高二·全国·暑假作业)如图，在多面体ABC-DEFG中，平面ABC1∥平面DEFG, AD∥BE,AC∥DG∥EF,且AB=DE,DG=2EF,则下列说法中正确的是 .(填序号) A F ①BF∥平面ACGD: ②CF∥平面ABED; 7/23 画学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ③BC∥FG; ④平面ABED∥平面CGF. 【变式1】(25-26高二上·北京·期中)如图，在四棱台ABCD-AB,CD,中，底面ABCD是平行四边形，过 点A的平面与棱BB,CC,DD,分别交于E,F,G(三点均不在棱的端点处)，则直线AE与平面 CDDC的位置关系一定是() G A.AE与平面CDD,C相交 B.AE⊥平面CDD,C C.AEc平面CDD,C D.AE/I平面CDD,C 【变式2】(25-26高二上·北京期中)如图，AC为圆0的直径，PA垂直于圆0所在的平面，B为圆周上 不与点A、C重合的点，AS⊥PC于S,AN⊥PB于N,则下列结论不正确的是(). B A.BC⊥平面PAB B.平面ABC⊥平面PAC C.AS1平面PBC D.平面ANS⊥平面PBC 立题型三证明线面、面面平行 答|题模板 证明线面平行 1、根据线面平行的判定定理：如果平面外一条直线与平面内一条直线平行，那么这条直线与该平面平行。 可以通过构造中位线来在平面上找这条与己知直线平行的直线。这类题中，通常会有中点的出现： 2、根据线面平行的判定定理：如果平面外一条直线与平面内一条直线平行，那么这条直线与该平面平行。 可以通过构造平行四边形与平面上交线，则这条交线与已知直线平行。这类题中，通常会从平行线着手。 3、根据直线与平面平行的性质有，过直线的平面与平行平面的交线，直线与交线是平行的，从而找 到与直线平行的直线。 8/23 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 4、要证线面平行时，我们的目标可以从两方面出发，若能从平面里找到与己知直线平行的直线，则 可以通过线线平行证明线面平行，若这条直线不太好找，则可以通过已知直线构造一个与已知平面 平行的平面。方法为从己知直线出发，构造两条与已知平面平行的直线，从而构造一个平行平面。 证明面面平行 1、核心判定定理： ①线面平行法：如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，则这两个平面平行。 (若ac,bc,anb=P,且alB,blB,则axlB) ②线线平行法（推论）：如果一个平面内的两条相交直线分别与另一个平面内的两条直线平行，则这两个平 面平行。（条件略严格，需注意对应关系） 2、平行平面的传递性：平行于同一个平面的两个平面互相平行。（若《‖Y,B‖Y,则《‖B) 3、垂直于同一直线：如果两个平面都垂直于同一条直线，则这两个平面平行。 【典例1】(25-26高一下·江苏南京期中)如图所示，在四棱锥P-ABCD中，BC/平面PAD, 2BC=AD,E是PD的中点 ‘A (1)求证：BC/1AD; (2)求证：CE/1平面PAB 【典例2】(25-26高一下·山东济宁期中)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为梯形，且 AD∥BC,AD=2BC,且E为PD的中点， (I)求证：CE∥平面PAB; (②)设平面PAB与平面PCD的交线为1，试判断直线I与平面ACE的位置关系，并证明. 【变式1】(25-26高一下·北京朝阳·阶段检测)如图，在正方体ABCD-AB,C,D,中，点G,E,F,P分别 9/23 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 为棱AB,DC,BC,AA的中点，点M是棱AD上的一点，且DM=3A,M. D D G (I)求证：D,G/平面DBFE; (2)己知点N是棱AB,上的一点，且B,N=3A,N,求证：平面PMN/平面DBFE. 【变式2】(25-26高一下·广西南宁·期中)如图，一个圆锥的顶点是P,O是底面的圆心，AB是底面的一 条直径，AB=2. B D π ()若∠P40=了，求该圆锥的体积： Q若Q是PA中点，C、D是底面图上两点，∠A0C-号，CD∥4B,求证：平面QC0/平面PBD 它题型四由平行关系确定存在性问题 答|题模|板 将“存在动点使平行关系成立”转化为： 1、轨迹是直线或平面，找交点或交线 2、平行具有传递性，过定点作已知平行线/面 【典例1】(25-26高一下·福建泉州期中)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，M, N,Q分别为BC,PA,PB的中点， 10/23 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B M (I)求证：点Q,N,C,D四点共面 (2)求证：平面MNQ//平面PCD ③)在线段PD上是否存在一点E,使得MN11平面ACE?若存在，求出PE的值：若不存在，请说明理由. PD 【典例2】(25-26高一下·山西阳泉·期中)如图所示，在四棱锥P-ABCD中，在底面ABCD中， BC=2AD,E在棱PD上且PE=2ED 3 (I)求证：BC∥平面PAD; (2)线段AD上是否存在点N,使得平面CEN∥平面PAB?若存在，写出八的值，并以此为已知条件，证 AD 明平面CEN∥平面PAB;若不存在，请说明理由 【变式1】(25-26高一下山东济南期中)如图1，设半圆的半径为2，点B,C三等分半圆，P,M,N分 别是OA,OB,OC的中点，将此半圆以OA为母线卷成一个圆锥（如图2）.在图2中完成下列各题 图1 图2 (I)求在圆锥中的线段MN的长； (2)求四面体ACMN的体积； (3)若D是AN的中点，在线段OB上是否存在一点E,使得DE∥平面ABC?若存在，求O 的值，并证明你 EB 11/23 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 的结论；若不存在，说明理由。 【变式2】(25-26高一下·福建泉州期中)如图，在正方体ABCD-A,B,CD,中，点G,E,F,P分别为棱 B,DC,BC,M的中点，点M是棱A0上的-点，且M0=4D D A (I)求证：D,G/I平面DBFE: ②棱48上是否存在一点N使平面PMN11平面DBFE?若存在，求4 B -的值；若不存在，请说明理由 立题型五证明线面、面面垂直 答|题模板 证明线面垂直 1、如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线与该平面垂直。 2、如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。 3、如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于该平面。 4、在建系中使用，证明直线的方向向量与平面的法向量平行；证明直线与平面内两个不共线的向量都垂直。 证明面面垂直 :1、如果一个平面过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。 2、如果两个平面相交所成的二面角是直二面角（平面角为90°），则这两个平面垂直。 3、如果一个平面内的任意一条直线都垂直于另一个平面，则这两个平面垂直。（实际上这是核心定理的推 论，但需注意“任意一条”的条件较强) 4、如果两个平行平面中的一个与第三个平面垂直，那么另一个也与第三个平面垂直。 利用几何特征：在某些特殊几何体（如正方体、长方体）中，利用其面与面之间的垂直关系。 【典例1】(25-26高一下·浙江杭州期中)在正六棱柱ABCDEF-AB,C,D,E,E中，AB=1,AA,=√5，O为 下底面ABCDEF的中心，M为侧棱DD,的中点 12/23 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 E B (1)求证：M0O/1平面ABDE: (2)证明：B,D⊥平面ABD,E, 【典例2】(25-26高一·全国假期作业)如图，在圆锥PO中，AB为底面圆O的直径，C,D为圆O上不 与A,B重合的点，且PO=AB=2,BD=3,AB⊥CD.求证：BD⊥平面POC; 二===-B D 【变式1】(25-26高一下陕西西安·期中)如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，PA⊥底面ABCD，M ，N分别为CD,PD的中点，AC与BM交于点E,AB=6V2,AD=6,K为PA上一点，PK=PA. 3 D (1)证明：KE/MN; (2)求证：平面PAC⊥平面BMNK: 【变式2】(25-26高二下·上海浦东新期中)己知三棱柱ABC-A,B,C,棱长均为1. 13/23 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B (1)若AA,⊥平面ABC,求三棱柱ABC-AB,C的表面积； ②者若AC-6 BC1,求证：平面ABCL平面8CCB 它题型六由垂直关系确定存在性问题 答|题模板 一、垂直的唯一性： 过一点有且只有一条直线与已知平面垂直 过一条直线有且只有一个平面与己知平面垂直（当直线不垂直于已知平面时） 二、线面垂直类问题 动点在面上使线面垂直：在平面上找两条相交直线与已知直线垂直 动点在线上使线面垂直：使直线垂直于平面内两条相交直线 三、 面面垂直类问题 动点在面上使面面垂直：在月标平面上找一条直线垂直于另一平面，该直线需经过动点（常转化为 线面垂直问题) 动点在线上使面面垂直：在直线上取点，使该点与另一平面能确定垂线，通常有无数解（需其他条 件约束) 【典例1】(25-26高一下·黑龙江哈尔滨期中)如图，长方体ABCD-A,B,C,D,中，AB=AD=1,AA,=3, 点P为DD的中点. D B P B 14/23 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (I)求证：平面PAC⊥平面BDD,B,; (2)求直线A,B与平面BDD,B,所成的角的正弦值； 6)在直线BB,上是香存在点Q使得P四1平面4CP,若有在，则此时B2为多少：若不存在，请说明理由 BO 【典例2】(25-26高一下·北京·期中)如图，在直三棱柱ABC-A,B,C,中，D是棱AC的中点，且AC=4, A4 =22. B C B D (I)求证：B,C/1平面ABD; (②)从条件①、②、③这三个条件中选择一个作为已知，求解下列问题： (I)求证：AC,⊥平面ABD: (II)在棱B,上是否存在点N,使得平面4C,NL平面ACC,4?如果存在，求出BB BN 的值；如果不存在， 请说明理由 条件①：AB=BC; 条件②：BD⊥A4D; 条件③：BD⊥AC1 注：如果选择条件①、条件②或条件③分别解答，按第一个解答计分， 【变式1】(24-25高一下，湖南岳阳·期末)几何体ABCDEF是从边长为2的正方体ABCD-A,B,C,D,中截取 所得，其中E,F分别为CC,AA,的中点，点M在线段EF上. E 多B 15/23 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (I)若M为EF的中点，求证：AM∥平面BDE; (2)求二面角A-DF-B的正切值： (3)证明：存在点M,使得AM⊥平面BDF,并求EX的值. EF 【变式2】(24-25高一下·江西南昌期末)如图，斜三棱柱ABC-A,B,C,中，AB⊥BC,四边形ABB,A,是 菱形，D为AB的中点，A,D⊥平面ABC,BB,=2BC=2. B B B (1)求证：四边形CBB,C为矩形； ②在4G上是否存在点0，使得BQ1平面4DC,若存在，求出 的值，若不存在，请说明理由； OC (3)若E,F分别为AA,AC的中点，求此斜三棱柱被平面B,EF所截的截面面积. 它题型七由平行、垂直关系确定动点轨迹 答|题模板 平行关系轨迹：动点与定直线（或平面）保持平行，则轨迹为过某定点且方向固定的直线（或平面）；若 动点到定直线的距离为定值，则轨迹为圆柱面或与其平行的直线族。 垂直关系轨迹：动点满足与定直线垂直，则轨迹为过垂足且垂直于该直线的平面：动点满足与两定点连线 垂直，则轨迹为以两点为直径端点的球面（或圆）。 【典例1】(2026湖北黄冈·二模)如图，在棱长为1的正方体ABCD-A,B,CD,中，P为棱BB,的中点，Q 为正方体ABCD-A,B,C,D,表面上的一动点（含边界），则下列说法中正确的是() 16/23 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 0 A B D C B A.三棱锥P-AD,D外接球的表面积为41m 16 B.若DQ11平面APD,则动点Q的轨迹是一条线段 C.若POL平面4PD,则动点Q的轨迹的长度为 2 D.若D,2=√2，则动点Q的轨迹长度为元 【典例2】（多选）(2026高三·全国.专题练习)（多选）设正方体ABCD-A,B,C,D,的棱长为1，点E是棱 AB的中点，点M在正方体的表面上运动，则下列命题正确的是() D ·M A1 IB, D B A.如果AM上BD,则点M的轨迹所围成图形的面积为V尽 B.如果B,M/平面AEC,则点M的轨迹所围成图形的周长为35 C.如果EM/平面D,B,BD,则点M的轨迹所围成图形的周长为2十√2 D.如果EM1BD,则点M的轨迹所围成图形的面积为35 4 【变式1】(25-26高二上·黑龙江大庆·开学考试)己知正三棱锥A-BCD的底面△BCD的边长为4，直线 4C与平面8CD所成角的余弦值为V ,动点M在以BC为直径的球面上，且直线CD⊥平面MAB,则点 M的轨迹长为() A.2π B.3π C.4V3元 D.23元 【变式2】（多选）（2026宁夏银川三模)（多选）如图，在棱长为1的正方体ABCD-A,B,C,D,中，P为 棱BB,的中点，Q为正方体ABCD-A,B,C,D,表面上的一动点（含边界），则下列说法中错误的是() 17/23 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D B P C B A.三棱锥P-AD,D外接球的表面积为41m 16 B.若D,Q∥平面APD,则动点Q的轨迹是一条线段 C.若POL平面4PD,则动点Q的轨迹的长度为 2 D.若D,0=V2,则动点Q的轨迹长度为 过·分层验收 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1.(25-26高一下·浙江·期中)如图，在正方体ABCD-AB,C,D,中，点E是DD的中点，则下列直线中与平 面EAC平行的是() D B E ! D C A.直线BA B.直线BB C.直线BC, D.直线BD 2.(25-26高一下·湖北武汉·阶段检测)（多选）下图是正方体的平面展开图，在原正方体中，下列命题正确 的是() 18/23 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 F A.BM与平面ADE不平行 B.CNII平面AFB C.平面BDMI/平面AFN D.平面BDE//平面NCF 3.(25-26高一下·黑龙江佳木斯期中)（多选)在正方体ABCD-A,B,CD,中，E,F,G分别是棱 A,B,B,C,BB的中点，则() D B A.FG∥平面AA,D,D B.EF/IAC C.FG∥平面BC,D, D.平面EFG∥平面BC,D, 4.(2026高三全国专题练习)如图，在正方形SGG,G中，E,F分别是GG2,G2G3的中点，D是EF的 中点，现在沿SE,SF及EF把这个正方形折成一个四面体，使G,G,G,三点重合，重合后的点记为G, 则在四面体S-EFG中必有() G3 A D G, 19/23 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.SG⊥△EFG所在平面 B.SD⊥△EFG所在平面 C.GF⊥△SEF所在平面 D.GD⊥aSEF所在平面 5.(25-26高一下·福建福州期中)（多选)下列四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P 分别为其所在棱的中点，能得出AB/1平面MNP的图形的序号是() ① ② ③ ④ A.① B.② C.③ D.④ 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1.(25-26高一下·贵州毕节期中)如图，在正方体ABCD-AB,CD,中，S是B,D,的中点，E,F,G分别 是BC,CD,SC的中点，求证： E A B (1)平面EFG I平面BDD,B,; (2)A,S⊥平面EFG. 2.(25-26高一下河北沧州·期中)如图，已知圆锥的顶点为P,底面圆心为O,AB为底面直径，点C在底 面圆周上，点D为BC的中点 D (1)证明：OD1/平面PAC; 20/23 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)证明：平面POD⊥平面PBC. 3.(25-26高一下山东泰安期中)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,AD⊥CD,AD/BC ，PA=AD=CD=2,BC=3.E为PD的中点，点F在PC上，且S={ PC 3 E G D (I)求证：CD⊥平面PAD; 2改点G在B上，且沿-子，证到：4G1平面D: 4.(25-26高一·全国假期作业)如图1，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，,E为AD边上一点，且 AB=AE=BE=CD=2,BC=ED=4,O为BE中点，F为BC中点将△ABE沿BE折起到△ABE的位置， 如图2.证明：CD⊥平面AOF; A'(A) D E F F 图1 图2 5.(25-26高一下山西运城期中)如图，在正方体ABCD-AB,CD,中，E为棱DD,的中点，F为棱BB,的 中点 M D B D B (I)连接C,F并延长，交平面ABCD于点P,求证：C,B,P三点共线： Q点M在棱AA的延长线上，且4M=4,求证：平面MBD,1/平面EFC, 2 21/23 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1.(25-26高一下·北京朝阳期中)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,底面ABCD为矩形， PA=AB=2,AD=2V5;点E在线段PD上，且PE=1. B (1)设平面PBC∩平面PAD=1,证明：BC/1l; (2)证明：AE⊥PC; (3)线段CA上是否存在点M,使得EM/1平面PBC?若存在，请证明，并求出AM的长；若不存在，请说明 理由. 2.(25-26高一下·广西南宁.期中)如图，已知点P是正方形ABCD所在平面外一点，M,N分别是AB,PC的 中点. P D以 A M B (I)求证：MN/平面PAD; (②)若线段PB上存在一点Q使得平面MNQ/平面PAD,求的值. PB 3.(多选)(25-26高一下·重庆渝北·期中)（多选）在棱长为2的正方体ABCD-A,B,C,D,中，点P是棱BC的 中点，点Q在正方形AABB内部（不含边界）运动，若PQ∥平面ACCA,则() A D B C 22/23 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.点Q的轨迹经过线段AB,的中点 B.点Q的轨迹长度为√2 C.直线PQ与直线AC为异面直线 D.三棱锥O-ACC的体积为定值 4.(25-26高一下.北京期中)己知正方体ABCD-AB,C,D棱长为4，F是BC的中点，点E是DC1上一点， H是AA,上一点，且平面EFH//平面DAC, D B B (1)求证：点E是DC的中点. (2)求证：EF⊥DB, (3)棱CD上是否存在点G使得平面EFG⊥平面EFH,若存在，求出三棱锥E-FGH的体积，若不存在，说 明理由. 5.(25-26高一下·广东珠海期中)如图所示，正四棱锥S-ABCD中，P为侧棱SD上靠近D点的四等分点， 即SP=3PD,Q为侧棱SD的中点，平面SAB∩平面SCD=1. S B ()证明：BQM平面PAC; (2)证明：AB/1; (3)侧棱SC上是否存在一点E,使得BE∥平面P4C?若存在，求 迟的值：若不存在，试说明理由 23/23 专题4.3 立体几何中线面关系的判断与证明（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 线面关系辨析 题型02判断线面、面面关系 题型03证明线面、面面平行 题型04由平行关系确定存在性问题 题型05证明线面、面面垂直 题型06由垂直关系确定存在性问题 题型07由平行、垂直关系确定动点轨迹 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 线面关系辨析 准确理解线线、线面、面面的平行与垂直判定及性质；能判断命题真假并举例说明 基础题型，常以选择题出现，考查对定理的准确记忆和反向理解，易错点在符号语言与图形语言的转换 判断线面、面面关系 能根据几何条件快速判断空间中的平行与垂直关系；掌握常用几何模型（如正方体、长方体）中的位置关系 高频考点，常在选择题或填空题中出现，考查空间想象和逻辑推理能力，需注意特殊情形（如线在面内） 证明线面、面面平行 熟练掌握线面平行的判定（找面内平行线）和面面平行的判定（一平面内两相交线平行于另一平面）；能规范写出证明步骤 每年必考，常在解答题第一问出现，辅助线的添加是难点，需善于利用中点、中位线或平行四边形找平行关系 由平行关系确定存在性问题 能根据平行条件设出未知点或参数，利用线面平行、面面平行的性质建立方程，求解是否存在满足条件的点或直线 综合题型，常在解答题第二问出现，需结合几何特征与代数运算，先假设存在再列方程，最后验证范围 证明线面、面面垂直 掌握线面垂直的判定（垂直于面内两相交线）和面面垂直的判定（一平面内一线垂直于另一平面）；能灵活运用勾股逆定理、等腰三角形中线等几何性质 核心必考，常在解答题中出现，线面垂直是证明面面垂直的基础，需注意“两条相交直线”的条件不可遗漏 由垂直关系确定存在性问题 掌握利用垂直关系（线线垂直、线面垂直、面面垂直）设出未知点坐标或比例，建立垂直方程求参数；能结合几何特征判断是否存在满足条件的点，并说明理由 综合题型，常在解答题第二问或第三问出现，需综合运用垂直判定定理与代数运算，考查分类讨论与逻辑推理能力。 由平行、垂直关系确定动点轨迹 能将平行或垂直条件转化为距离、方向或数量积的约束，识别轨迹形状（直线、平面、圆、球面等）；会用几何分析法求轨迹方程或判断形状 拓展内容，多在压轴题中出现，考查从动态几何中抽象出轨迹模型的能力，需结合常见轨迹模型（如中垂面、等距面） 知识点01 证明线线平行 平面几何常用方法： 1、利用平行公理及推论：平行于同一直线的两直线平行（平行线的传递性）。 2、利用角的关系：同位角相等，则两直线平行；内错角相等，则两直线平行；同旁内角互补，则两直线平行。 3、利用中位线性质：三角形的中位线平行于第三边；梯形的中位线平行于上下底。 4、利用平行四边形的性质：平行四边形的对边互相平行。 5、利用比例线段：如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。 立体几何中常用方法： 1、利用线面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。 2、利用面面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。 3、利用直线与平面垂直的性质：垂直于同一平面的两条直线互相平行。 4、利用空间向量：证明两条直线的方向向量共线（即存在非零实数λ使得一个方向向量等于另一个方向向量的λ倍）。也可转化为计算向量夹角或证明向量共面且无交点。 知识点02 线面平行的性质与判定 一、 判定定理（如何证明线面平行） 核心判定定理：如果平面外一条直线与平面内一条直线平行，那么这条直线与该平面平行。（符号语言：若 ） 其他判定方法： 1、利用面面平行的性质：如果两个平面互相平行，则其中一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面。 2、利用向量法（空间解析几何）：证明直线的方向向量与平面的法向量垂直（即点积为零）。 3、利用定义（反证法思路）：证明直线与平面没有公共点，通常通过反证法推出矛盾。 4、利用空间几何性质： 若一条直线平行于两个相交平面，则它平行于这两个平面的交线（此时该直线平行于交线所在的平面，若直线不在该平面内）。 若一条直线垂直于平面的垂线，且不在该平面内，则该直线平行于该平面。 二、 性质定理（已知线面平行能推出什么） 核心性质定理：如果一条直线与一个平面平行，那么过这条直线的任意平面与该平面的交线与该直线平行。（符号语言：） 其他性质： 1、线面平行得到线线平行：一条直线与一个平面平行，则该直线与平面内无数条直线平行（但并非与平面内所有直线都平行，只与过其平行投影的直线平行）。 2、传递性相关：若一条直线平行于一个平面，则该直线平行于与该平面平行的所有平面（或说该直线与这些平面无公共点，但未必在同一个平面内平行于它们内的所有直线）。 3、与距离的关系：若一条直线与一个平面平行，则直线上任意一点到平面的距离相等，这个距离称为直线到平面的距离。 4、面面平行的基础：如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，则这两个平面平行（这是面面平行的判定定理之一，源自线面平行的性质）。 知识点03 面面平行的性质与判定 一、 判定定理（如何证明两个平面平行） 核心判定定理： ①线面平行法：如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，则这两个平面平行。 （若 a⊂α,b⊂α,a∩b=P，且 a∥β,b∥β，则 α∥β） ②线线平行法（推论）：如果一个平面内的两条相交直线分别与另一个平面内的两条直线平行，则这两个平面平行。 （条件略严格，需注意对应关系） 1、平行平面的传递性：平行于同一个平面的两个平面互相平行。（若 α∥γ,β∥γ，则 α∥β） 2、垂直于同一直线：如果两个平面都垂直于同一条直线，则这两个平面平行。 3、向量法（空间解析几何）：证明两个平面的法向量平行 二、 性质定理（已知两个平面平行能推出什么） 核心性质定理： ①面面平行 ⇒ 线线平行：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线互相平行。（） ②面面平行 ⇒ 线面平行：两个平面平行，则其中一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面。（） 1、平行平面间的距离处处相等：两个平行平面间任意一点到另一个平面的距离都相等，这个距离称为两平行平面间的距离。 2、平行平面截线段成比例：如果两条直线被三个平行平面所截，那么截得的对应线段成比例。 3、与角的关系：两个平行平面与同一个平面相交，所成的二面角相等。 知识点04 证明线线垂直的方法 平面几何常用方法： ①等腰三角形底边上的中线是高； ②勾股定理逆定理； ③菱形对角线互相垂直； ④直径所对的圆周角是直角； ⑤向量的数量积为零； ⑥线面垂直的性质； ⑦平行线垂直直线的传递性（）． 立体几何常用方法： ①利用线面垂直的性质：如果一条直线与一个平面垂直，那么这条直线垂直于该平面内的任意一条直线。 ②利用三垂线定理及其逆定理 三垂线定理：平面内的一条直线，如果与一条斜线在平面内的射影垂直，那么它也与这条斜线垂直。 三垂线逆定理：平面内的一条直线，如果与一条斜线垂直，那么它也与这条斜线在平面内的射影垂直。 ③利用面面垂直的性质：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。 ④利用异面直线垂直的定义：两条异面直线所成的角是90°，则这两条异面直线垂直。 ⑤利用空间向量：若两条直线的方向向量的数量积为零，则这两条直线垂直（适用于相交、平行、异面直线）。 知识点05 线面垂直的性质与判定 一、 判定定理（如何证明线面垂直） 核心判定定理： 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线与该平面垂直。 其他判定方法： 利用面面垂直的性质：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。 利用平行线的传递性：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于该平面。 利用平面的法向量（向量法）：证明直线的方向向量与平面的法向量平行；证明直线与平面内两个不共线的向量都垂直。 二、 性质定理（已知线面垂直能推出什么） 核心性质定理：如果一条直线与一个平面垂直，那么这条直线垂直于该平面内的任意一条直线。 其他性质： 线面垂直 ⇒ 线线垂直：垂直于同一平面的两条直线互相平行。 与距离的关系 点到平面的距离：过点作平面的垂线，垂线段的长即点到平面的距离。 直线到平面的距离（当直线平行于平面时）：直线上任意一点到平面的距离。 平行平面间的距离：可转化为一个平面内一点到另一个平面的距离。 三垂线定理的基础：线面垂直是应用三垂线定理的前提条件（斜线在平面内的射影由垂足决定）。 确定唯一性：过一点有且只有一条直线与已知平面垂直。过一点有且只有一个平面与已知直线垂直。 知识点06 面面垂直的性质与判定 一、 判定定理（如何证明两个平面垂直） 核心判定定理： 如果一个平面过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。 其他判定方法： 利用二面角定义：如果两个平面相交所成的二面角是直二面角（平面角为90°），则这两个平面垂直。 利用线面垂直性质：如果一个平面内的任意一条直线都垂直于另一个平面，则这两个平面垂直。（实际上这是核心定理的推论，但需注意“任意一条”的条件较强） 利用平行关系：如果两个平行平面中的一个与第三个平面垂直，那么另一个也与第三个平面垂直。 向量法（空间解析几何）：证明两个平面的法向量互相垂直（即它们法向量的点积为零）。 利用几何特征：在某些特殊几何体（如正方体、长方体）中，利用其面与面之间的垂直关系。 二、 性质定理（已知两个平面垂直能推出什么） 核心性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。 其他性质： 面面垂直 ⇒ 线面垂直：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面（同核心性质定理）。 传递性相关： 如果两个平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面。 如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面（同上）。 与线线垂直的关系：如果两个平面垂直，那么在一个平面内任意一点向另一个平面作垂线，该垂线在第一个平面内。 与距离的关系：如果两个平面垂直，那么在一个平面内到交线的距离等于到另一个平面的距离的线段，其端点连线垂直于另一个平面。 唯一性： 过平面外一点有且只有一个平面与已知平面垂直。 过一条直线有无数个平面与已知平面垂直（只要平面包含该直线且垂直于已知平面）。 题型一 线面关系辨析 解｜题｜技｜巧 1、了解线线平行、线面平行、面面平行三者之间的关系；了解线线垂直、线面垂直、面面垂直三者之间的关系。 2、了解平行与垂直的传递性 【典例1】（2026·海南儋州·二模）已知直线，与平面，，，则下列命题中正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】B 【详解】若，，则或相交（墙角模型），故A错误； 若，，则，故B正确； 若，，则或异面，故C错误； 若，，则或相交，故D错误. 【典例2】（25-26高一下·北京·期中）已知，是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列命题一定正确的是（   ） A．若，，则. B．若，，则. C．若，，，则 D．若，，则 【答案】D 【分析】由直线与平面、平面与平面的位置关系进行判断． 【详解】对于A，若，，则与可以平行或相交，故A项错误； 对于B，若，，则与可以平行，异面，相交，故B项错误； 对于C，若，，，则与可以平行，异面，相交，故C项错误； 对于D，若，由线面平行的定义，存在，使得， 由得，而，得，故D项正确． 【变式1】（25-26高一下·广西南宁·期中）（多选）已知m、n是空间中两条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列说法正确的（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，，则 【答案】AB 【详解】A选项，由于，，由面面平行的性质，可得，故A正确； B选项，若，，由面面平行的判定定理可得，故B正确； C选项，若，，则，可能平行、相交或异面，故C错误； D选项：若，，，则或异面，故D错误. 【变式2】（25-26高一下·山西晋中·阶段检测）已知三条互不相同的直线，m，n和三个互不相同的平面α，β，γ，现给出下列三个命题： (1)若与m为异面直线，，则； (2)若，，则； (3)若，，，，则． 其中真命题的个数为（  ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】C 【分析】结合反例可判断（1）（2），利用线面平行的性质可证明（3）. 【详解】对于（1），如图，正方体中，与为异面直线， 平面，平面， 但是平面与平面不平行，（1）不正确； 对于（2），如图，正方体中，平面与平面平行，但是直线与直线不平行，（2）不正确； 对于（3），因为，，且，所以，同理可得，所以，（3）正确. 题型二 判断线面、面面关系 答｜题｜模｜板 线面平行：需在平面内找到一条直线与已知直线平行；或借助面面平行性质（若两平面平行，则一平面内的直线平行于另一平面）。 线面垂直：需证明直线垂直于平面内两条相交直线；常用等腰三角形中线、勾股定理逆定理、菱形对角线等几何性质找垂直关系。 面面平行：需证明一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面；或通过线面垂直转化（垂直于同一直线的两平面平行）。 面面垂直：需证明一个平面内有一条直线垂直于另一个平面；或通过计算二面角为直角判定。 【典例1】（25-26高二·全国·暑假作业）已知是过正方体的顶点的平面与下底面所在平面的交线，下列结论错误的是（    ） A．平面 B．平面 C．平面 D． 【答案】D 【详解】 平面，平面， 平面，故A正确； 平面，平面， 平面，故B正确； 因为平面，平面，平面平面， 平面，平面， 平面，故C正确； ∵，，∴， ，正方体中与的夹角为， 与夹角为，不垂直，故D错误． 【典例2】（25-26高二·全国·暑假作业）如图，在多面体中，平面平面，，，且，，则下列说法中正确的是_________．（填序号） ①平面； ②平面； ③； ④平面平面． 【答案】① 【分析】根据线面平行、线线平行、面面平行有关定理对四个说法进行分析，从而确定正确答案. 【详解】因为，平面，平面， 所以平面. 因为，平面，平面， 所以平面. 因为，，平面， 所以平面平面． 因为平面， 所以平面，故①正确； 由于， 则四边形是梯形， 的延长线必与直线相交，故④错误； 由于的长度不确定，所以与平面的位置关系不确定，②错误. 由于的长度不确定，所以与的位置关系不确定，③错误. 【变式1】（25-26高二上·北京·期中）如图，在四棱台中，底面是平行四边形，过点的平面与棱，，分别交于，，（三点均不在棱的端点处），则直线与平面的位置关系一定是（    ） A．与平面相交 B．平面 C．平面 D．平面 【答案】A 【分析】利用线面平行的性质定理并结合点、线、面基本性质即可判断. 【详解】因为四棱台侧棱交于一点，可设平面与平面交线为， 因为底面是平行四边形，所以，因为平面， 所以平面，又因为平面，平面平面，所以. 在梯形中，显然直线与直线既不垂直也不平行，因为平面，且， 则直线与既不平行也不垂直，则直线与有交点， 因为平面，则直线不垂直平面，故B错误； 因为直线与有交点，平面，所以直线与平面有公共点， 又因为点平面，所以与平面相交，故A正确； 则平面，不平行平面，故CD错误. 故选：A. 【变式2】（25-26高二上·北京·期中）如图，为圆的直径，垂直于圆所在的平面，为圆周上不与点、重合的点，于，于，则下列结论不正确的是（    ）．    A．平面 B．平面平面 C．平面 D．平面平面 【答案】C 【分析】证明出，，利用线面垂直的判定定理可判断A选项；证明出平面，可判断C选项；利用面面垂直的判定定理可判断BD选项. 【详解】对于A选项，因为为圆的直径，为圆周上不与点、重合的点，所以， 因为平面，平面，所以， 因为，、平面，所以平面，A对； 对于B选项，因为平面，平面，所以平面平面，B对； 对于C选项，因为平面，平面，所以， 又因为，，、平面，所以平面， 因为过点作平面的垂线有且只有一条，故与平面不垂直， C错； 对于D选项，因为平面，平面，所以平面平面，D对. 故选：C. 题型三 证明线面、面面平行 答｜题｜模｜板 证明线面平行 1、根据线面平行的判定定理：如果平面外一条直线与平面内一条直线平行，那么这条直线与该平面平行。可以通过构造中位线来在平面上找这条与已知直线平行的直线。这类题中，通常会有中点的出现。 2、根据线面平行的判定定理：如果平面外一条直线与平面内一条直线平行，那么这条直线与该平面平行。可以通过构造平行四边形与平面上交线，则这条交线与已知直线平行。这类题中，通常会从平行线着手。 3、根据直线与平面平行的性质有，过直线的平面与平行平面的交线，直线与交线是平行的，从而找到与直线平行的直线。 4、要证线面平行时，我们的目标可以从两方面出发，若能从平面里找到与已知直线平行的直线，则可以通过线线平行证明线面平行，若这条直线不太好找，则可以通过已知直线构造一个与已知平面平行的平面。方法为从已知直线出发，构造两条与已知平面平行的直线，从而构造一个平行平面。 证明面面平行 1、核心判定定理： ①线面平行法：如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，则这两个平面平行。 （若 ，且 ，则 ） ②线线平行法（推论）：如果一个平面内的两条相交直线分别与另一个平面内的两条直线平行，则这两个平面平行。（条件略严格，需注意对应关系） 2、平行平面的传递性：平行于同一个平面的两个平面互相平行。（若 ，则 ） 3、垂直于同一直线：如果两个平面都垂直于同一条直线，则这两个平面平行。 【典例1】（25-26高一下·江苏南京·期中）如图所示，在四棱锥中，平面， ，是的中点. (1)求证：； (2)求证：平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据给定条件，利用线面平行的性质推理得证. （2）取的中点，利用平行公理及线面平行的判定推理得证. 【详解】（1）在四棱锥中，平面，平面，平面平面， 所以. （2）在四棱锥中，取的中点，连接， 由是的中点，得，由（1）知，而， 因此，四边形是平行四边形，则， 而平面，平面，所以平面. 【典例2】（25-26高一下·山东济宁·期中）如图，在四棱锥中，底面为梯形，且，且为的中点． (1)求证：平面； (2)设平面与平面的交线为，试判断直线与平面的位置关系，并证明． 【答案】(1)证明见解析 (2)平面，证明见解析 【分析】（1）取线段中点，利用中位线及已知平行关系构造平行四边形，从而证得，进而推出线面平行； （2）由已证的线面平行及线在另一平面内，得两平面交线与该线平行，从而该交线平行于目标平面. 【详解】（1）证明：设为的中点，连接，． 又因为为的中点，所以，， 又因为，，所以，， 所以四边形为平行四边形，所以， 又因为平面，平面， 所以平面 （2）直线与平面平行，证明如下： 因为平面，平面，平面平面，所以， 又因为平面，平面，所以平面. 【变式1】（25-26高一下·北京朝阳·阶段检测）如图，在正方体中，点分别为棱的中点，点是棱上的一点，且． (1)求证：平面； (2)已知点是棱上的一点，且，求证：平面平面． 【答案】(1)证明见详解 (2)证明见详解 【分析】（1）作辅助线，利用三角形相似得到比例关系，进而可得线线平行，结合判定定理可证结论. （2）作辅助线，根据题意可证平面，平面，进而可得面面垂直. 【详解】（1）连接、分别交于点H、O，连接， 在正方体中，且， 所以，则， 同理可得，所以，所以， 又平面，平面，所以平面. （2）连接，因为点分别为棱的中点，则， 因为，，则， 可得，则， 且平面，平面，则平面， 取的中点，连接， 因为分别为的中点，则， 又因为分别为的中点，则，， 且，，则，， 可知为平行四边形，则，可得， 且平面，平面，则平面， 又因为，平面，所以平面平面. 【变式2】（25-26高一下·广西南宁·期中）如图，一个圆锥的顶点是P，O是底面的圆心，是底面的一条直径，．    (1)若，求该圆锥的体积； (2)若Q是中点，C、D是底面圆上两点，，，求证：平面平面． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）连接，由题可得， 又，所以是等边三角形，因为，所以， 在中，， 所以圆锥的体积为    （2）因为Q，O分别为，的中点，所以， 又因为平面，平面，所以平面， 因为， 所以由得：， 又，所以为等边三角形， 又所以， 所以,，所以四边形为平行四边形， 所以， 又因为平面，平面， 所以平面， 又因为，，平面， 所以平面平面,即平面平面. 题型四 由平行关系确定存在性问题 答｜题｜模｜板 将“存在动点使平行关系成立”转化为： 1、轨迹是直线或平面，找交点或交线 2、平行具有传递性，过定点作已知平行线/面 【典例1】（25-26高一下·福建泉州·期中）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，，分别为，，的中点. (1)求证：点，，，四点共面 (2)求证：平面平面. (3)在线段上是否存在一点，使得平面?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)存在，. 【分析】（1）易得，进而可得，再由平面公理即可证明； （2）先利用线线平行证明线面平行，再根据线面平行证明面面平行即可； （3）取中点，连接，，，利用中位线定理，结合平行四边形性质证明四边形是平行四边形，即证，再根据线面平行的判定定理即证结果. 【详解】（1）证明：，分别为，的中点，， 底面是平行四边形，. ，所以点，，，四点共面. （2）由（1）知，因为平面，平面，平面. ，分别为，的中点，， 因为平面，平面，平面. 又，，平面，所以平面平面. （3）线段上存在一点，使得平面，且. 证明如下：取的中点，连接，，， 因为，，分别是，，的中点，，， 所以，，所以四边形是平行四边形， 所以，因为平面，平面， 所以平面，此时． 【典例2】（25-26高一下·山西阳泉·期中）如图所示，在四棱锥中，在底面中，，E在棱PD上且. (1)求证：平面； (2)线段上是否存在点N，使得平面平面？若存在，写出的值，并以此为已知条件，证明平面平面；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，，证明见解析 【分析】（1）由线面平行判定定理可以得证； （2）存在，点为上靠近的三等分点时，即时， 分别证得平面和平面，由面面平行判定定理可证得结论. 【详解】（1）因为，所以，所以， 因为平面，平面， 所以平面. （2） 存在，且当点为上靠近点三等分点时，即时，平面平面. 下面给出证明： 因为，所以，， 又因为点为上靠近点的三等分点，所以， 所以， 所以四边形为平行四边形， 所以， 又因为平面，平面， 所以平面， 因为在棱上且，即， 又因为， 所以， 所以， 又平面，平面， 所以平面， 又因为平面，平面，， 所以平面平面. 【变式1】（25-26高一下·山东济南·期中）如图1，设半圆的半径为2，点三等分半圆，，，分别是，，的中点，将此半圆以为母线卷成一个圆锥如图在图2中完成下列各题. (1)求在圆锥中的线段的长； (2)求四面体的体积； (3)若是的中点，在线段上是否存在一点，使得平面若存在，求的值，并证明你的结论；若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2) (3)在线段OB上存在点E，且=3，证明见解析 【分析】 （1）将此半圆以为母线卷成一个圆锥后，点、为圆锥的底面圆周的三等分点，为等边三角形，通过外接圆半径计算边长，再由计算中位线的长度； （2）将此半圆以为母线卷成一个圆锥后，母线长为原半圆半径，底面圆周长为原半圆弧长，计算出半径后可以计算出圆锥高，体积即可求解； （3）通过中位线、平行四边形来构造出线面平行，从而找到点. 【详解】（1）在图中，设圆锥的底面圆半径为， 则，解得， 因为在图1中，点、三等分半圆， 所以在图中，点、为圆锥的底面圆周的三等分点， 所以为等边三角形，所以，所以， 又因为点、分别是、的中点， 所以； （2）， 圆锥的高， 所以， 所以， 即四面体的体积为； （3）在线段OB上存在点E，且，使得平面ABC， 理由如下：如图，取AC的中点F，且D是AN的中点，连接DF， 所以， 取CB的四等分点G，使，连接GE， 因为，所以，， 所以，， 所以四边形DFGE是平行四边形，所以 又平面ABC，平面ABC，所以平面 【变式2】（25-26高一下·福建泉州·期中）如图，在正方体中，点分别为棱的中点，点是棱上的一点，且. (1)求证：平面； (2)棱上是否存在一点使平面平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【分析】（1）法一：连接，首先证明四边形是平行四边形，再根据已知及线面平行的判定即可证；法二：连接分别交于点，连接，利用等比例的性质得，再根据线面平行的判定即可证； （2）根据给定条件证明平面，法一：取中点P，连接，根据已知证明，再由线面平行、面面平行的判定证明结论，即可得；法二：延长交于，延长交于，连接，利用相似关系、平行四边形的性质及线面平行的判定证明平面，最后由面面平行的判定证明结论，即可得； 【详解】（1）法一：连接，在正方体中，分别是中点， 且，则四边形是平行四边形， ∴，平面平面，所以平面， 法二：连接分别交于点，连接， 如图在正方体中，且， 所以，则，同理得， 所以，则，而平面平面， 所以平面； （2）存在，且，理由如下： 因为，所以， ，而 ， 由平面平面， 所以平面， 法一：取中点P，连接，如图 ，是中点， 是的中位线，则， ∵F为中点，则且， ∴四边形是平行四边形， ， 综上，，平面平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面； 法二：延长交于，延长交于，连接，如图： 为中点，易得， ， 分别为的中点，易得， ，又，即， ∴四边形为平行四边形， 平面平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面， 所以时，平面平面. 题型五 证明线面、面面垂直 答｜题｜模｜板 证明线面垂直 1、如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线与该平面垂直。 2、如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。 3、如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于该平面。 4、在建系中使用，证明直线的方向向量与平面的法向量平行；证明直线与平面内两个不共线的向量都垂直。 证明面面垂直 1、如果一个平面过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。 2、如果两个平面相交所成的二面角是直二面角（平面角为90°），则这两个平面垂直。 3、如果一个平面内的任意一条直线都垂直于另一个平面，则这两个平面垂直。（实际上这是核心定理的推论，但需注意“任意一条”的条件较强） 4、如果两个平行平面中的一个与第三个平面垂直，那么另一个也与第三个平面垂直。 利用几何特征：在某些特殊几何体（如正方体、长方体）中，利用其面与面之间的垂直关系。 【典例1】（25-26高一下·浙江杭州·期中）在正六棱柱中，，，O为下底面ABCDEF的中心，M为侧棱的中点. (1)求证：平面； (2)证明：平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由是底面正六边形的中心，是的中点，通过构造中位线，找到平面内与平行的直线，利用线面平行的判定定理进行证明； （2）利用线面垂直的判定定理，证明垂直于平面的两条相交线。 【详解】（1）连接，，，如图所示， 为底面正六边形的中心，是的中点； 是的中点，为的中位线，则； 平面，平面，平面. （2）连接，，，如图所示， 为底面正六边形的中心，； ,，，即; 六棱柱是正六棱柱，底面； 底面，； ，平面； 平面，； 底面是正六边形，，，； 底面，底面，； ，； ，，，，四边形为正方形； ，为正方形的对角线，； ，，平面，平面，且， 平面. 【典例2】（25-26高一·全国·假期作业）如图，在圆锥PO中，AB为底面圆O的直径，C，D为圆O上不与A，B重合的点，且，，.求证：平面POC； 【答案】证明见解析 【分析】利用线面垂直的性质判定推理得证. 【详解】连接，延长交于点，由为底面圆的直径，得， 由，得，， 又，则平分，， 又，则为正三角形，是其中心， 于是是中点，， 而平面，平面，则， 又,且,平面，所以平面. 【变式1】（25-26高一下·陕西西安·期中）如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，分别为，的中点，与交于点，，为上一点，． (1)证明：； (2)求证：平面平面； 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用平行关系得出三角形相似，利用相似比相等得出线线平行，进而证明结论； （2）利用勾股定理得出线线垂直，进而利用线面垂直判定定理，由线面垂直证明面面垂直； 【详解】（1）已知底面是矩形，底面，，分别为，的中点， 则， 在和中，，则三个内角均对应相等，故， 相似比为， ，即， 已知，则， 由平行线分线段成比例定理可得， 又分别为的中点， ，． （2）在矩形中，， ，则， ，则， ， ，即， 底面，底面，故， ，且平面， 平面， 又平面， 平面平面． 【变式2】（25-26高二下·上海浦东新·期中）已知三棱柱棱长均为1. (1)若平面，求三棱柱的表面积； (2)若，求证：平面平面 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据题意判断三棱柱是正三棱柱，再根据底面正三角形和侧面正方形的面积和，求解棱柱表面积即可； （2）作出辅助线，结合题干和勾股定理可得线面垂直，再根据面面垂直的判定定理证明即可. 【详解】（1）平面，三棱柱为正三棱柱，且侧面均为正方形， 则 （2）如图所示，取中点，连接， 因为 所以， 因为 所以，所以， 因为，平面， 所以平面， 因为平面， 所以平面平面. 题型六 由垂直关系确定存在性问题 答｜题｜模｜板 一、垂直的唯一性： 过一点有且只有一条直线与已知平面垂直 过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直（当直线不垂直于已知平面时） 二、 线面垂直类问题 动点在面上使线面垂直：在平面上找两条相交直线与已知直线垂直 动点在线上使线面垂直：使直线垂直于平面内两条相交直线 三、 面面垂直类问题 动点在面上使面面垂直：在目标平面上找一条直线垂直于另一平面，该直线需经过动点（常转化为线面垂直问题） 动点在线上使面面垂直：在直线上取点，使该点与另一平面能确定垂线，通常有无数解（需其他条件约束） 【典例1】（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，长方体中，，，点P为的中点. (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成的角的正弦值； (3)在直线上是否存在点Q使得平面，若存在，则此时为多少；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在，且 【分析】（1）利用正方形对角线互相垂直及侧棱垂直底面证明线面垂直，进而利用面面垂直判定定理得证； （2）利用平行线转化线面角，结合线面垂直定义找出线面角，在直角三角形中计算正弦值； （3）假设在直线上存在点使得平面，利用线面垂直的性质转化为平面几何中的垂直关系，设，利用平面向量求解出，再求解出. 【详解】（1）在矩形中， ， 底面为正方形，， 又在长方体 中， 平面， 平面， ， 又 ，平面， 平面，又平面， 平面 平面； （2）在长方体 中， 且， 四边形为平行四边形，故， 直线与平面所成的角等于直线与平面所成的角， 设，连接， 由 （1）知 平面即 平面， 为直线与平面所成的角， 在正方形中，，则， 在中，，则， ， 直线 与平面所成的角的正弦值为； （3）假设存在点使得平面，由（1）知平面， 又平面，所以， 平面，平面，， 设，则由， 即， 又点为的中点， 所以， 即， 又， 所以，解得， 所以，，故    【典例2】（25-26高一下·北京·期中）如图，在直三棱柱中，D是棱AC的中点，且，．    (1)求证：平面； (2)从条件①、②、③这三个条件中选择一个作为已知，求解下列问题： （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）在棱上是否存在点N，使得平面平面？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由． 条件①：； 条件②：； 条件③：. 注：如果选择条件①、条件②或条件③分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1)证明见解析 (2)（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）存在； 【分析】（1）根据线面平行的判定定理，在平面内找到与平行的直线即可； （2）（Ⅰ）先通过线面垂直证，再由三角形内角和定理证，进而可证线面垂直； （Ⅱ）取N为的中点，的中点为M，通过，平面即可证明N满足题意. 【详解】（1）如图，连接，与交于点O，连接OD，    因为四边形是平行四边形，所以O为的中点. 又D是棱AC的中点，所以． 因为平面，平面，所以平面． （2）（Ⅰ）选择条件①，. 由D是棱AC的中点，得. 在直三棱柱中，平面ABC，平面ABC，所以. 又，，平面，所以平面，所以. 因为，所以，又， 在和中，， 所以，而， 则，所以， 又，BD，平面，所以平面. 选择条件②：． 因为底面ABC，平面ABC，所以， 又，，，平面， 所以平面，又平面，所以，下同条件①. 选择条件③：，下同条件①. （Ⅱ）当点N为的中点，即时，平面平面． 证明如下：如图，取的中点为M，连接DM、MN，    因为M、D分别为、AC的中点， 所以且， 又N为的中点，所以且， 所以四边形BDMN为平行四边形，故. 由（Ⅰ）知平面，所以平面， 又平面，所以平面平面． 【变式1】（24-25高一下·湖南岳阳·期末）几何体是从边长为2的正方体中截取所得，其中E，F分别为CC1，AA1的中点，点在线段上．    (1)若为的中点，求证：平面； (2)求二面角的正切值； (3)证明：存在点，使得平面，并求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析， 【分析】（1）设，连接，即可证明为平行四边形，从而得到，即可得证； （2）在平面中，过作于，连接，说明是二面角的平面角，再由锐角三角函数计算可得； （3）连接交于点，由面面垂直的性质得到平面，即可得到，当时可证平面，从而求出此时的值. 【详解】（1）设，连接，    因为正方形，所以为中点，又矩形中，为的中点， 所以且，所以为平行四边形， 所以， 又平面，平面， 所以平面； （2）在平面中，过作于，连接，    因为几何体是从边长为2的正方体中截取所得， 平面，平面， 所以，又，平面，所以平面， 又平面，所以， 是二面角的平面角， 因为，，所以， 所以， 在中，，， 二面角的正切值为； （3）连接交于点，因为是正方形，所以，      且，所以平面，平面，所以， 当时，，平面， 所以平面， 此时，，，则， 又，所以，则，则， 所以，又，所以，则， 所以，所以． 【变式2】（24-25高一下·江西南昌·期末）如图，斜三棱柱中，，四边形是菱形，为的中点，平面，． (1)求证：四边形为矩形； (2)在上是否存在点，使得平面，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由； (3)若分别为，的中点，求此斜三棱柱被平面所截的截面面积． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， (3) 【分析】（1）根据线面垂直的性质定理和判定定理求解即可； （2）过点作的垂线交于点，由线面垂直的性质定理和判定定理可知平面，过点作的平行线交于点，所以平面，再在平面中以为原点，为轴建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标表示求解即可； （3）延长，交于点，连接交于点，连接，，则四边形即为所得截面，利用线面垂直的判断定理和性质定理，结合余弦定理求该截面面积即可. 【详解】（1）斜三棱柱中，侧面是平行四边形， 因为平面，平面，所以， 因为，，所以平面， 又因为平面，所以，所以四边形为矩形. （2）如图，过点作的垂线交于点， 因为平面，平面，所以， 又因为，，，所以平面， 过点作的平行线交于点，连接，所以平面， 由斜三棱柱的性质易知， 在平面中以为原点，为轴建立平面直角坐标系， 所以，，，，， 设，则，所以，， 因为，所以， 即，解得， 在上是存在点，当时，平面. （3）延长，交于点，连接交于点，连接，， 则四边形即为所得截面， 因为四边形是菱形，为的中点，平面，平面， 所以，是等边三角形，则， 因为，所以， 过作交于， 因为，，，平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以，， 在中，因为， 由余弦定理可知， 因为分别为，的中点，，易知与全等， 所以，，， 在直角三角形中，由可得， 在中，由余弦定理可知， 所以， 所以， 设截面面积为，由于，， 所以 . 即所求截面面积为. 题型七 由平行、垂直关系确定动点轨迹 答｜题｜模｜板 平行关系轨迹：动点与定直线（或平面）保持平行，则轨迹为过某定点且方向固定的直线（或平面）；若动点到定直线的距离为定值，则轨迹为圆柱面或与其平行的直线族。 垂直关系轨迹：动点满足与定直线垂直，则轨迹为过垂足且垂直于该直线的平面；动点满足与两定点连线垂直，则轨迹为以两点为直径端点的球面（或圆）。 【典例1】（2026·湖北黄冈·二模）如图，在棱长为1的正方体中，为棱的中点，为正方体表面上的一动点（含边界），则下列说法中正确的是（   ） A．三棱锥外接球的表面积为 B．若平面，则动点的轨迹是一条线段 C．若平面，则动点的轨迹的长度为 D．若，则动点的轨迹长度为 【答案】A 【分析】三棱锥的外接球即为三棱锥的外接球，利用正弦定理可得的外接圆半径，再利用外接球性质可求出外接球半径，再利用表面积公式计算即可得A；取与中点、，利用面面平行性质定理可得平面平面，则可得B；取靠近点的四等分点，利用线面垂直判定定理可得平面，则可得动点的轨迹为线段，计算出即可得C；由对称性，可假设平面，利用线面垂直性质定理与勾股定理可得，即可得在平面内轨迹，同理可得点所有轨迹，即可得D. 【详解】对于A：由四边形为正方形， 故三棱锥的外接球即为三棱锥的外接球， 设三棱锥的外接球半径为R，的外接圆半径为， ， 故， 又，则， 故，，因为平面， 故三棱锥的外接球球心在过的外接圆圆心和平行的直线上， 则，即， 故三棱锥的外接球的表面积为，故A正确， 对于B：取与中点、，连接、、， 由正方体性质可得，， 又平面，平面，故平面， 平面，平面，故平面， 又，、平面，故平面平面， 由平面，则点的轨迹是除去点，故B错误； 对于C：取靠近点的四等分点，连接， 由正方体性质可得平面，又平面，故， 由，，故与相似， 则，故 ， 故，又，、平面， 故平面，又平面，故动点的轨迹为线段， ，故C错误； 对D：若平面，因为平面，平面， 故，由，则， 即点的轨迹为以为圆心，在平面内半径为的四分之一圆， 同理可得，点也可为以为圆心，在平面内半径为的四分之一圆， 点也可为以为圆心，在平面内半径为的四分之一圆， 故其轨迹长度为，故D错误. 【典例2】（多选）（2026高三·全国·专题练习）（多选）设正方体的棱长为1，点是棱的中点，点M在正方体的表面上运动，则下列命题正确的是（    ） A．如果，则点M的轨迹所围成图形的面积为 B．如果平面，则点M的轨迹所围成图形的周长为 C．如果平面，则点M的轨迹所围成图形的周长为2＋ D．如果，则点M的轨迹所围成图形的面积为 【答案】ACD 【分析】对于A，点M的轨迹为过且与垂直的平面与正方体表面的交线，据此可判断选项正误；对于B，点M的轨迹为过且与平面平行的平面与正方体表面的交线，据此可判断选项正误；对于C，点M的轨迹为过E点且与平面平行的平面与正方体表面的交线，据此可判断选项正误；对于D，结合A分析，点M的轨迹为过过且与平面平行的平面与正方体表面的交线，据此可判断选项正误. 【详解】对于A，点M的轨迹为过且与垂直的平面与正方体表面的交线， 下证平面垂直于，如图连接，由题可得， 又平面，平面，则， 因平面，，则平面， 因平面，则.同理，可证得：， 又平面，，则平面， 从而点M的轨迹所围成图形为正三角形，由题可得， 则所围成图形的面积为，故A正确； 对于B，如图，取中点为F，连接，易得， 则四点共面，点M的轨迹为过且与平面平行的平面与正方体表面的交线，取中点为G，连接，下证平面平面. 由题易得：，又， 平面，平面，则平面平面. 则点M的轨迹所围成图形为三角形，由题可得， ，则轨迹所围成图形的周长为，故B错误； 对于C，如图取，，，中点为，则点M的轨迹为过E点且与平面平行的平面与正方体表面的交线，下证平面平面. 由题易得，，又，， 平面，平面，则平面平面. 则点M的轨迹所围成图形为四边形.由题可得，， 则轨迹所围成图形的周长为，故C正确； 对于D，点M的轨迹为过且与垂直的平面与正方体表面的交线，由A分析， 即为过且与平面平行的平面与正方体表面的交线. 取中点为： ， 连接，易得， 则六点共面，下证平面平面. 由题可得，，又平面， 平面，，， 则平面平面.则点M的轨迹所围成图形为正六边形， 注意到，又正六边形由六个全等的等边三角形组成，则，故D正确. 故选：ACD 【变式1】（25-26高二上·黑龙江大庆·开学考试）已知正三棱锥的底面的边长为4，直线与平面所成角的余弦值为，动点在以为直径的球面上，且直线平面，则点的轨迹长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用线面角的定义作出线面角，然后利用条件求出的长.取CD的中点E，连接AE，BE，则平面，取BC的中点F，BE的中点G，通过线面垂直的性质定理得所以平面ABE.再利用球的性质求得截面圆的半径，即可求得截面圆的周长，即点的轨迹长. 【详解】解：正三棱锥中，设点在底面上的投影为， 则为的中心，且平面. 连接，则为直线与平面所成的角.如图：    因为正三棱锥的底面的边长为4， 所以边上的高(中线)的长为，所以. 由题可知，所以，所以. 所以三棱锥为正四面体，其各个面均为正三角形. 因为动点在以为直径的球面上，且直线平面， 所以点的轨迹为过直线且垂直于的平面截以为直径的球面所得的截面圆. 如图所示，取的中点，连接AE，BE. 因为和均为正三角形，所以， 又平面ABE，故平面ABE. 所以平面, 平面即为平面. 取BC的中点F，BE的中点G，连接FG，则FG∥CD，所以平面MAB且. 因为F是BC的中点，所以F为以BC为直径的球的球心，所以FG是球心F到平面MAB的距离. 因为所以该球半径为2， 则点M的轨迹所形成的圆的半径为， 则其轨迹长为 故选：D． 【变式2】（多选）（2026·宁夏银川·三模）（多选）如图，在棱长为1的正方体中，为棱的中点，为正方体表面上的一动点（含边界），则下列说法中错误的是（    ） A．三棱锥外接球的表面积为 B．若平面，则动点的轨迹是一条线段 C．若平面，则动点的轨迹的长度为 D．若，则动点的轨迹长度为 【答案】BCD 【分析】三棱锥的外接球即为三棱锥的外接球，利用正弦定理可得的外接圆半径，再利用外接球性质可求出外接球半径，再利用表面积公式计算即可得A；取与中点，利用面面平行性质定理可得平面平面，则可得B；取靠近点的四等分点，利用线面垂直判定定理可得平面，则可得动点的轨迹为线段，计算出即可得C；由对称性，可假设平面，利用线面垂直性质定理与勾股定理可得，即可得在平面内轨迹，同理可得点所有轨迹，即可得D. 【详解】对于A，由四边形为正方形，故三棱锥的外接球即为三棱锥的外接球， 设三棱锥的外接球半径为，的外接圆半径为， ，，故， 又，则，故，解得， 因为平面，故三棱锥的外接球球心在过的外接圆圆心和平行的直线上， 则，，即， 故三棱锥的外接球的表面积为，故A正确， 对于B，取与中点、，连接、、， 由正方体性质可得，，又平面，平面， 故平面，平面，平面，故平面， 又，、平面，故平面平面， 由平面，则点的轨迹是除去点，故B错误； 对于C，取靠近点的四等分点，连接， 由正方体性质可得平面，又平面，故， 由，，故与相似， 则，故， 故，又，、平面，故平面， 又平面，故动点的轨迹为线段，，故C错误； 对于D，若平面，因为平面，平面， 故，由，则，即点的轨迹为以为圆心，在平面内半径为1的四分之一圆，同理可得，点也可为以为圆心，在平面内半径为1的四分之一圆， 点也可为以为圆心，在平面内半径为1的四分之一圆， 故其轨迹长度为，故D错误. 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（25-26高一下·浙江·期中）如图，在正方体中，点是的中点，则下列直线中与平面平行的是（    ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】D 【详解】由，而平面，故A错误； 由，而平面，故B错误； 因为且， 所以四边形是平行四边形，所以， 又平面，故C错误； 如图所示，连接交于，连接， 所以点是的中点，又点是的中点， 所以，而平面，平面， 所以平面，故D正确. 2．（25-26高一下·湖北武汉·阶段检测）（多选）下图是正方体的平面展开图，在原正方体中，下列命题正确的是（   ） A．与平面不平行 B．平面 C．平面平面 D．平面平面 【答案】BCD 【分析】将正方体的平面展开图还原为立体图形，确定各顶点在正方体中的相对位置，利用线面平行、面面平行的判定定理逐一判断选项。 【详解】展开图可以折成如图①所示的正方体． 因为在正方体中平面平面，因为平面， 所以平面，故A不正确； 同理可得：平面，故B正确； 如图②所示，连接， 由于平面，平面，所以平面， 同理可得平面，平面， 则平面平面， 同理可证平面平面，所以CD正确． 3．（25-26高一下·黑龙江佳木斯·期中）（多选）在正方体中，分别是棱的中点，则（    ） A．平面 B． C．平面 D．平面平面 【答案】ABC 【分析】根据线线平行、线面平行、面面平行的有关定理对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，根据正方体的性质可知：平面平面， 由于平面，所以平面，A选项正确. B选项，连接，根据正方体的性质可知， 所以四边形是平行四边形，所以, 因为分别是的中点，所以， 所以，所以B选项正确. C选项，由于分别是的中点，所以， 由于平面,平面， 所以平面，C选项正确. D选项，由于，，， 所以与相交，所以面与平面相交，D选项错误. 4．（2026高三·全国·专题练习）如图，在正方形中，，分别是，的中点，是的中点，现在沿，及把这个正方形折成一个四面体，使，，三点重合，重合后的点记为，则在四面体中必有（    ） A．所在平面 B．所在平面 C．所在平面 D．所在平面 【答案】A 【分析】注意翻折前后的角度的变与不变，根据线面垂直的判定定理得到平面，A正确； 假设平面，推出，矛盾，B错误； 由平面得到，结合证明出平面，假设平面，则平面平面，推出矛盾，C错误； 由面得到，假设平面，则，结合三线在同一平面可推出，矛盾，D错误. 【详解】对于A，在正方形中，，， 所以在四面体中，，， 又平面，，所以平面，故选项A正确； 对于B，若平面，结合选项A，则，显然矛盾，故选项B错误； 对于C，因为面，面，所以， 又，平面，，所以平面， 假设平面，则平面平面，显然矛盾，故选项C错误； 对于D，因为面，面，所以， 若平面，平面，则， 平面，故，显然矛盾，故D错误. 5．（25-26高一下·福建福州·期中）（多选）下列四个正方体图形中，为正方体的两个顶点，分别为其所在棱的中点，能得出平面的图形的序号是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】AD 【分析】利用线面平行、面面平行的判定性质推理判断①④；作出图形说明判断②③. 【详解】对于①，由分别为其所在棱的中点，得，由面， 面，得面，同理面，而， 平面，则平面平面，又面，因此平面，①能； 对于②，连接，显然不是的中点，由是的中点， 则在平面内与相交，直线与平面相交，②不能； 对于③，连接，则，而与相交，则与平面相交， 因此与平面相交，③不能； 对于④，由且，得四边形是平行四边形，则， 而，则，又平面，平面，因此平面，④能. 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（25-26高一下·贵州毕节·期中）如图，在正方体中，是的中点，，，分别是，，的中点，求证： (1)平面∥平面； (2)平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）先证，再由线面平行的判定即可证平面，同理可证平面，再由面面平行的判定证明即可； （2）根据题意可证平面，再结合平面∥平面，即可得到平面． 【详解】（1）证明：连接， ∵分别是 的中点， ∴，又∵平面，平面， ∴平面， 同理可证平面， 且平面，平面，， ∴平面平面； （2）证明：在正方体中，是的中点， ，平面，平面， ，又平面， 平面，又平面平面， 平面． 2．（25-26高一下·河北沧州·期中）如图，已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，点C在底面圆周上，点D为BC的中点． (1)证明：平面PAC； (2)证明：平面平面PBC． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由题设易得，进而根据线面平行的判定定理求证即可； （2）由题设可得，，结合可得，进而得到平面POD，再根据面面垂直的判定定理求证即可. 【详解】（1）因为O为底面圆心，AB为底面直径，所以点O为AB的中点， 又因为点D为BC的中点，所以， 因为平面PAC，平面PAC，所以平面PAC； （2）因为点C在底面圆周上，所以， 又因为点D为BC的中点，所以， 因为AB为底面直径，所以， 又因为，所以， 而，PD，平面POD，所以平面POD， 因为平面PBC，所以平面平面PBC． 3．（25-26高一下·山东泰安·期中）如图，在四棱锥中，平面，，，，.为的中点，点在上，且. (1)求证：平面； (2)设点在上，且，证明：平面； 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由线面垂直的性质可得，再结合线面垂直的判定即可证明； （2）通过证明四边形为平行四边形，得到，再由线面平行的判定即可证明． 【详解】（1）证明：因为平面，平面，所以， 又，平面， 所以平面； （2）取的中点，则， 因为，所以，则且， 又，且，所以，且， 所以四边形为平行四边形，从而， 又平面，平面，所以平面． 4．（25-26高一·全国·假期作业）如图，等腰梯形中，，为边上一点，且，，为中点，为中点将沿折起到的位置，如图．证明：平面； 【答案】证明见解析 【分析】根据垂直关系的转化，结合平行线的性质，转化为证明，，即可证明线面垂直. 【详解】在等腰梯形中，，， 则四边形是平行四边形，则， 因为，所以为等边三角形，则 因为为中点，所以， 在等腰梯形中，可得 连接，在中， 由余弦定理可得：， 则，所以，则． 因为、分别是、中点，所以，所以， 从而可得，， 因为，、平面，所以平面. 5．（25-26高一下·山西运城·期中）如图，在正方体中，为棱的中点，为棱的中点. (1)连接并延长，交平面于点，求证：三点共线； (2)点在棱的延长线上，且，求证：平面平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）点直线，直线平面，所以点平面. 又因为点平面，所以点为平面与平面的公共点， 又因为平面平面，故点在直线上. 故三点共线. （2）取的中点，连接， 因为为棱的中点，所以， 又因为，所以. 又，所以四边形为平行四边形， 所以. 因为， 所以四边形为平行四边形， 所以，所以， 又因为平面平面，所以平面. 因为， 所以四边形为平行四边形，所以， 又因为平面平面，所以平面. 又因为平面，平面， 所以平面平面. 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（25-26高一下·北京朝阳·期中）如图，在四棱锥中，平面，底面为矩形，，；点E在线段上，且． (1)设平面平面，证明：； (2)证明：； (3)线段上是否存在点M，使得平面?若存在，请证明，并求出的长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)点M为线段上靠近C的四等分点， 【分析】（1）根据线面平行的性质定理证明线线平行. （2）通过证明线面垂直得平面，进而利用线面垂直的性质定理可证线线垂直. （3）根据面面平行的判定定理作出平面平面.，再结合平行线分线段成比例定理求的长. 【详解】（1）因为四边形为矩形，所以， 因为平面，平面，所以平面. 又平面，平面平面，所以. （2）因为平面，又平面，所以. 又底面为矩形，所以. 平面，，所以平面. 平面，所以. 在中，，，， 所以，所以. 平面，，所以平面. 又平面，所以. （3）如图： 过作，交于点，过作交于点. 因为，平面，平面，所以平面. 同理平面. 又平面，，所以平面平面. 由（1）知，，又，则， 则， 因为，. 所以， 所以点M为线段上靠近C的四等分点，. 2．（25-26高一下·广西南宁·期中）如图，已知点是正方形所在平面外一点，分别是的中点． (1)求证：平面； (2)若线段上存在一点使得平面平面，求的值． 【答案】(1) 证明见解析 (2) 【分析】（1）依据线面平行的判定定理，构造三角形中位线得到平行于平面内的直线，即可推出线面平行； （2）依据面面平行的性质，平面平面可得对应交线平行，据此确定为中点，即可算出的值. 【详解】（1） 取的中点，连接、. 因为是的中点，所以是的中位线， 故，且. 又正方形中，是中点，且， 因此 ，，即且. 所以四边形是平行四边形，得. 又平面，平面，根据线面平行判定定理，得 平面. （2）已知平面平面，平面平面，平面平面， 根据面面平行的性质定理，得. 在中，是中点，， 因此是的中点， 可得. 3．（多选）（25-26高一下·重庆渝北·期中）（多选）在棱长为2的正方体中，点是棱的中点，点在正方形内部（不含边界）运动，若平面，则（    ） A．点的轨迹经过线段的中点 B．点的轨迹长度为 C．直线与直线为异面直线 D．三棱锥的体积为定值 【答案】ACD 【分析】取的中点，连接，根据条件可得点的轨迹为线段（不含端点），即可判断出A和B的正误；对C：根据异面直线的判定定理分析判断；对D，利用等体积法，即可求解. 【详解】如图，取的中点，连接，，则， 且平面，平面，所以平面. 又因为是中点，则， 且平面，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面. 又平面，则平面，又点在正方形内部（不含边界）运动，且平面平面， 所以点的轨迹为线段（不含端点）. 对于A，连接，由正方体的性质易知与相交，且交点为的中点，所以A正确； 对于B，因为，所以点的轨迹长度为，故B错误； 对于C，因为平面，平面，， 所以直线与直线为异面直线，故C正确； 对于D，因为平面，点是棱的中点， 则，所以D正确； 4．（25-26高一下·北京·期中）已知正方体棱长为4，是的中点，点是上一点，是上一点，且平面平面， (1)求证：点是的中点． (2)求证： (3)棱上是否存在点使得平面平面，若存在，求出三棱锥的体积，若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3)存在，. 【分析】（1）先应用面面平行性质定理得出点是的中点，再应用平面平面性质定理，得出，即可证明； （2）连接，通过证明平面得出，同理进而证明平面，即可证明线线垂直. （3）结合（2）应用线面垂直性质定理证明判断，再应用三棱柱及棱锥体积公式计算求解. 【详解】（1）设平面与直线交于. 因为平面平面，设平面平面， 连接，平面平面，所以， 又因为平面平面，平面平面， 平面平面，所以，所以， ∵在正方体中，,所以， 在正方形中，是的中点，所以点是的中点， 又因为平面平面，平面平面， 平面平面，所以，且点是的中点， 所以点是的中点． （2）连接，因为在正方形中，，，，平面， ∴平面，平面，， 同理可证，又，平面， ∴平面，且平面平面， 所以平面，平面，所以； （3）取中点，连接， 因为平面平面，平面平面， 设平面平面，所以， 而,所以,又因为是中点，所以是中点， 连接，设，则是中点， 而G为中点，所以， 又由（2）知平面，所以平面， 而平面，使得平面平面， 又过且与平面垂直的平面存在且唯一， 故当且仅当G为中点时，平面平面. 连接， 又因为 ， 所以. 5．（25-26高一下·广东珠海·期中）如图所示，正四棱锥中，为侧棱上靠近点的四等分点，即，为侧棱的中点，平面平面. (1)证明：平面； (2)证明：； (3)侧棱上是否存在一点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，试说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)存在， 【分析】（1）连接交于点，连接，证明即可得证； （2）证明平面，利用线面平行的性质即可证明； （3）过作的平行线交于，求出，证明平面，再根据平面即可得到平面平面，即可得到平面. 【详解】（1）连接交于点，连接， ∵四边形为正方形， ∴点为的中点，又为的中点， ， 平面PAC，平面， 平面. （2），平面，平面， 平面， 又平面，平面平面， . （3）在侧棱上存在一点，使平面，满足. 理由如下： 由，为中点得， 过作的平行线交于，连接，， 由于，则， ，平面，平面， 平面， 由（1）知平面， 又，平面， ∴平面平面， 又平面， 平面， 所以侧棱上存在一点，使得平面，且. 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $