12.4定理（第1课时三角形内角和定理及其推论）（教学课件）数学新教材苏科版七年级下册

该初中数学课件聚焦三角形内角和定理及其推论，衔接小学“撕角”经验，通过拼图启发作辅助线，以两种方法证明定理，进而推导外角性质及直角三角形的性质与判定，构建完整知识支架。 其亮点在于以数学眼光观察拼图发现辅助线思路，用数学思维严谨推导定理及推论，通过符号语言规范表达。典例涵盖角度计算与证明，课堂小结系统梳理知识，助力学生培养推理能力，教师可高效开展教学。

第十二章 定义 命题 证明 12.4.1 三角形内角和定理 及其推论 学 习 目 标 1 通过具体实例，了解定理、推论的意义 2 3 探索并证明三角形的内角和定理；掌握它的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和 探索并掌握直角三角形的性质定理：直角三角形的两个锐角互余；掌握有两个角互余的三角形是直角三角形 三角形内角和定理及其推论 新知探究 在小学里，我们已经知道“三角形的内角和等于180°”，当时是用“撕角”的办法来说明的。下面，我们来证明这个命题： 已知：∠A，∠B，∠C是△ABC的三个内角。 求证：∠A + ∠B + ∠C = 180°。 新知探究 证明：作边BC的延长线CD，过点C作CE // AB ( 如图 )。 ∵CE // AB， ∴∠1 = ∠A ( 两直线平行，内错角相等 )， ∠2 = ∠B ( 两直线平行，同位角相等 )。 ∵∠1 + ∠2 + ∠ACB = 180° ( 平角的定义 )， ∴∠A + ∠B + ∠ACB = 180° ( 等量代换 )。 这样添辅助线是从“拼图”得到的启发。 你还能用其他 方法证明吗？ 新知探究 方法二：证明：过点A作AD // BC ( 如图 )。 ∵AD ∥BC ( 已知 )， ∴∠CAD = ∠C ( 两直线平行，内错角相等 )， ∠BAD + ∠B = 180° ( 两直线平行，同旁内角互补 )， ∵∠BAD = ∠BAC + ∠CAD ( 已知 )， ∴∠BAC + ∠CAD + ∠B = 180° ( 等量代换 )， ∴∠BAC + ∠C + ∠B = 180° ( 等量代换 )。 A B C D 新知探究 知识要点 三角形内角和定理： 经过证明之后，就可以把这个命题叫作三角形内角和定理： 三角形三个内角的和等于180°。 符号语言：如图，∠A + ∠B + ∠C = 180°。 A B C 新知探究 知识要点 定理： 一般情况下，数学中把一些基本的、重要的真命题叫作定理。 定理可以作为证明后续命题的依据。 典例分析 典例1 证明：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。 已知：如图，∠ACD是△ABC的一个外角，∠A,∠B是与它不相邻的两个内角。 求证：∠ACD = ∠A + ∠B。 证明：∵∠ACD + ∠ACB = 180° ( 平角的定义 )， ∠A + ∠B + ∠ACB = 180° ( 三角形内角和定理 )， ∴∠ACD = 180° - ∠ACB， ∠A + ∠B = 180°- ∠ACB ( 等式的性质 )。 ∴∠ACD = ∠A + ∠B ( 等量代换 )。 新知探究 知识要点 三角形内角和定理的推论——三角形的外角性质： 由例1，我们根据三角形内角和定理推出了一个新结论。 像这样，由一个定理直接推出的重要结论，一般叫作这个定理的推论。 它和定理一样，也可以作为后续证明的依据。 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。 符号语言：如图，∠ = ∠2 + ∠3，∠ = ∠1 + ∠3，∠ = ∠1 + ∠2。 新知探究 知识要点 三角形内角和定理的推论——直角三角形的性质定理与判定： 类似地，还可以得到三角形内角和定理的另一个推论： 直角三角形的两个锐角互余；有两个角互余的三角形是直角三角形。 新知探究 练 习 1. 直角三角形的两个锐角互余。 已知：如图，△ABC是直角三角形，∠A = 90°。 求证：∠B + ∠C = 90°。 A B C 证明：∵∠A = 90° ( 已知 )， ∠A + ∠B + ∠C = 180° ( 三角形内角和定理 )， ∴∠B + ∠C = 180° - ∠A = 90° ( 等式的性质 )。 新知探究 练 习 2. 有两个角互余的三角形是直角三角形。 已知：如图，在△ABC中，∠B + ∠C = 90°。 求证：△ABC是直角三角形。 A B C 证明：∵∠B + ∠C = 90° ( 已知 )， ∠A + ∠B + ∠C = 180° ( 三角形内角和定理 )， ∴∠A = 180° - ( ∠B + ∠C ) = 90° ( 等式的性质 )， ∴△ABC是直角三角形 ( 直角三角形的定义 )。 题型探究 根据三角形内角和定理求角度 题型一 【例1】在△ABC中，若∠C = 40°，∠A：∠B = 1：6，则∠A等于（　　） A．20° B．120° C．40° D．100° 解：∵∠C = 40° ( 已知 )， ∠A + ∠B + ∠C = 180° ( 三角形内角和定理 )， ∴∠A + ∠B = 180° - ∠C = 140° ( 等式的性质 )， ∵∠A：∠B = 1：6 ( 已知 )， ∴∠B = 6∠A ( 比例的性质 )， ∴∠A + 6∠A = 140° ( 等量代换 )，解得：∠A = 20°。 A 题型探究 根据三角形的外角性质求角度 题型二 【例2】如图，有一个角为30°的直角三角板放置在一个长方形直尺上， 若∠1 = 18°，则∠2的度数为（　　） A．162° B．142° C．138° D．135° 解：由题意可得：∠E = 90°，∠A = 30°，DF ∥ BC， ∵∠1 = 18° ( 已知 )，∠A = 30° ( 已知 )， ∴∠ECB = ∠A + ∠1 = 48° ( 三角形的外角性质 )， ∵DF ∥ BC ( 已知 )，∴∠EDF = ∠ECB = 48° ( 两直线平行，同位角相等 )， ∵∠E = 90° ( 已知 )， ∴∠2 = ∠E + ∠EDF = 138° ( 三角形的外角性质 )。 C 题型探究 根据直角三角形的性质定理求角度 题型三 【例3】如图，是由一副三角板拼凑得到的，∠D = ∠ACB = 90°，∠A = 30°，∠F = 45°，A、E、B、D四点同线，E、F过点C，则∠ECB的度数为________。 解：∵∠ACB = 90°，∠A = 30° ( 已知 )， ∴∠ABC = 90° - ∠A = 60° ( 直角三角形的性质定理 )； ∵∠D = 90°，∠F= 45° ( 已知 )， ∴∠DEF = 90° - ∠F = 45° ( 直角三角形的性质定理 )； ∵∠B + ∠C = 90° ( 已知 )， ∵∠ECB + ∠BEC + ∠EBC = 180° ( 三角形内角和定理 )， ∴∠ECB = 180° - ∠BEC - ∠EBC = 75° ( 等式的性质 )。 75° 题型探究 根据三角形的内角和定理进行证明 题型四 【例4】已知：如图，AB ∥ CD，∠BAC的平分线与∠ACD的平分线交于点E。求证：AE ⊥ CE。 证明：∵AB ∥ CD ( 已知 )， ∴∠BAC + ∠ACD = 180° ( 两直线平行，同旁内角互补 )， ∵AE平分∠BAC，CE平分∠ACD ( 已知 )， ∴∠1 = ∠BAC，∠2 = ∠ACD ( 角平分线的定义 )， ∴∠1 + ∠2 = ∠BAC + ∠ACD = 90° ( 等量代换 )， ∵∠E + ∠1 + ∠2 = 180° ( 三角形内角和定理 )， ∴∠E = 180°﹣∠1﹣∠2 = 90° ( 等式的性质 )，∴AE ⊥ CE ( 垂直的定义 )。 题型探究 根据三角形的外角性质进行证明 题型五 【例5】如图，△ABC中，D，E，F三点分别在AB，AC，BC三边上， 过点D的直线与线段EF的交点为点H，请从以下给出三个条件 ① ∠1 + ∠2 = 180°；② ∠3 = ∠C；③ DE ∥ BC 再选取两个为条件，剩下的一个作为结论，并请完成证明。 条件 ( 已知 ) __________；结论 ( 求证 ) __________。 ①② ③ 题型探究 根据三角形的外角性质进行证明 题型五 已知：① ∠1 + ∠2 = 180°，② ∠3 = ∠C，求证：③ DE ∥ BC。 证明：∵∠1 + ∠2 = 180° ( 已知 )， ∠1 = ∠3 + ∠4 ( 三角形的外角性质 )， ∴∠3 + ∠4 + ∠2 = 180° ( 等量代换 )； ∵∠3 = ∠C ( 已知 )， ∴∠C + ∠4 + ∠2 = 180° ( 等量代换 )， 即∠DEC + ∠C = 180°， ∴DE ∥ BC ( 同旁内角互补，两直线平行 )。 课堂小结 定理： 一般情况下，数学中把一些基本的、重要的真命题叫作定理。 定理可以作为证明后续命题的依据。 三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°。 符号语言：如图，∠A + ∠B + ∠C = 180°。 三角形内角和定理的推论——直角三角形的性质定理与判定： 直角三角形的两个锐角互余；有两个角互余的三角形是直角三角形。 三角形内角和定理的推论——三角形的外角性质： 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。 如图，∠ = ∠2 + ∠3，∠ = ∠1 + ∠3，∠ = ∠1 + ∠2。 感谢聆听! $