专题08 空间几何体的结构、表面积和体积15大题型（期末复习专项训练）高一数学下学期人教A版

**基本信息** 聚焦空间几何体结构、表面积与体积，通过15类分层题型（含易错/重点/难点标注）构建从概念认知到综合应用的完整训练体系，强化空间观念与几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |结构特征|9题|多面体/正多面体结构辨析（易错）、圆锥轴截面最值（难点）|从几何体构成要素到空间形态分析，建立概念认知框架| |直观图与展开图|13题|斜二测还原计算（常考）、旋转体展开图应用（如葛藤缠绕）|平面与空间转化，培养空间想象与转化思想| |表面积体积|15题|多面体/旋转体公式应用（重点）、组合体体积计算（如灯笼模型）|从基本公式到复杂场景，强化运算能力与模型意识| |球的相关问题|25题|截面计算、柱锥台外接/内切球（重点难点）|球与几何体的位置关系，提升逻辑推理与空间建模能力| |综合应用|12题|距离最短（展开法）、正方体截面（空间分析）|跨知识点整合，发展创新意识与综合解题能力|

专题08 空间几何体的结构、表面积和体积 题型1 多面体的结构特征（易错点） 题型9 球的截面的相关计算 题型2 正多面体的有关计算 题型10 柱体的外接球和内切球（重点） 题型3 圆锥轴截面的最值 题型11 椎体的外接球和内切球（难点） 题型4 旋转体的展开图（常考点） 题型12 台体的外接球和内切球（难点） 题型5 旋转体的有关计算 题型13 多面体的外接球 题型6 直观图的还原与计算（常考点） 题型14 空间几何体距离最短问题（难点） 题型7 多面体的表面积和体积（重点） 题型15 正方体的截面问题 题型8 旋转体的表面积和体积（重点） 题型一 多面体的结构特征（共4小题） 1．（25-26高一下·青海西宁·期中）如图所示，在三棱台中，截去三棱锥，则剩余部分是（   ） A．三棱锥 B．四棱锥 C．三棱柱 D．四棱柱 2．（多选）（25-26高一下·四川绵阳·期中）下列说法正确的是（   ） A．平行六面体的各个面都是平行四边形 B．圆柱的侧面展开图是一个正方形 C．将棱台的侧棱延长后必交于一点 D．将直角三角形绕其一边所在的直线旋转一周形成的旋转体是圆锥 3．（多选）（25-26高一下·四川成都·期中）下列命题中，正确的有（    ） A．有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体不一定是棱柱 B．有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥 C．平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形 D．有两个面互相平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台 4．（多选）（25-26高一下·河南郑州·期中）（多选）下列说法错误的是（   ） A．有两个面相互平行，其余各面都是平行四边形，由这些面围成的多面体是棱柱 B．如果棱柱有一侧面是矩形，则其余各侧面也都是矩形 C．有两个面相互平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是四棱台 D．有一个面是多边形，其余各面都是三角形，由这些面围成的多面体不一定是棱锥 题型二 正多面体的有关计算（共5小题） 5．（24-25高一下·北京延庆·期末）已知一个正六棱锥的底面边长是1，侧棱长是2，则它的高为（    ） A．1 B． C． D．2 6．（2025·湖北武汉·模拟预测）已知正四棱台的体积为，且，则正四棱台的高为（    ） A． B． C．2 D． 7．（25-26高二上·内蒙古巴彦淖尔·期末）如图，在边长为4的等边中，分别是的中点，分别为的中点，将分别沿折起，使得三点重合，此时（    ） A． B． C． D． 8．（多选）（25-26高一下·广东惠州·期中）如图，正三棱台的上、下底面边长分别为1和3，侧棱长为2，则下列说法正确的是（   ）. A．该三棱台的侧面积为 B．该三棱台的高为 C．该三棱台的体积为 D．若点在棱上，则的最小值为 9．（25-26高一下·广东江门·期中）已知一个正六棱柱的底面是边长为2的正六边形，且所有棱长之和为48，则该正六棱柱的侧棱长为__________. 题型三 圆锥截面最值（共4小题） 10.（24-25高一下·安徽·月考）已知圆锥母线长为，底面半径为2，则经过两条母线的平面截此圆锥所得截面的面积最大值为（    ） A．3 B．2 C． D． 11．（25-26高三上·安徽·期中）已知某圆锥的轴截面是钝角三角形，记该钝角三角形的腰长为，若过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为8，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 12．（24-25高一下·福建南平·期末）已知圆锥的母线长为，过圆锥的顶点作圆锥的截面，若截面面积的最大值为，则该圆锥底面半径的取值范围是（   ） A． B． C． D． 13．（25-26高三·全国·二轮复习）一个圆锥轴截面的顶角为，母线为2，过顶点作圆锥的截面中，最大截面面积为______． 题型四 旋转体的展开图（共7小题） 14．（25-26高三上·湖南长沙·阶段检测）如图所示，在正方形铁皮上剪下一个扇形和一个直径为 2 的圆，使之恰好围成一个圆锥， 则圆锥的高为 （     ）    A． B． C．4 D． 15．（25-26高一下·江苏盐城·阶段检测）一个圆锥的侧面展开图是圆心角为，弧长为的扇形，则该圆锥轴截面的面积（    ） A． B． C． D． 16．（25-26高一下·广东深圳·期中）已知一个圆锥的表面积为，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 17．（25-26高一下·安徽·阶段检测）为筹备校园文化节，同学们需装饰操场边的圆柱形灯柱.已知灯柱的高为3.2米，底面周长为0.8米.现计划从灯柱底部开始缠绕一条彩色装饰带，要求绕柱恰好三周后到达柱顶并与顶面齐平.若装饰带绷紧无松动，则装饰带的长度为（   ） A．3.6米 B．4米 C．4.4米 D．4.8米 18．（25-26高一下·湖北武汉·期中）我国古代数学名著《数书九章》中有云：“今有木长一丈六尺，围之六尺.葛生其下，缠木两周，上与木齐，问葛长几何？”其意思为“圆木长1丈6尺，圆周为6尺，葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木两周，刚好顶部与圆木平齐，问葛藤最少长_________尺”.（注：丈等于尺） 19．（25-26高一下·安徽安庆·期中）折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”，它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征．现有一把折扇，其结构如图.完全展开后扇环的圆心角为，上板长为12cm，若把该扇环围成一个圆台，则圆台的高为（   ） A．6cm B． C．8cm D． 20．（24-25高一下·浙江·月考）圆台的上下底面半径分别为、，、为圆台的两条母线，且，则四边形的面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 题型五 直观图的还原与计算（共6小题） 21．（25-26高一下·湖南益阳·期中）一个水平放置的平面图形，用斜二测画法画出了它的直观图，如图所示，，，则原平面图形的面积为（     ） A． B． C． D．6 22．（25-26高一下·江苏扬州·阶段检测）如图，是水平放置的用斜二测画法画出的直观图，其中，，则（     ） A．1 B． C．2 D． 23．（25-26高三上·青海西宁·阶段检测）已知的直观图是直角三角形，如图所示，其中，则的长度为（   ） A．8 B． C． D．4 24．（25-26高一下·贵州黔西南·期中）如图，是用斜二测画法得到的直观图，其中，，则的值为（    ） A． B． C． D． 25．（25-26高一下·福建厦门·期中）已知直四棱柱的高为2，其底面四边形水平放置时的斜二测直观图为矩形如图所示.若则该直四棱柱的表面积为（） A． B． C． D． 26．（25-26高一下·山东济南·期中）如图，四边形的斜二测画法的直观图为等腰梯形.已知，，则四边形的面积是__________. 题型七 多面体的表面积和体积（共11小题） 27．（25-26高一下·吉林长春·期中）已知圆锥和圆台的高相等，圆锥的底面半径与圆台的上底面半径相等，圆台的下底面半径等于圆台的上底面半径的2倍，则该圆锥与该圆台的体积之比为（   ） A． B． C． D． 28．（25-26高一下·广东茂名·期中）已知圆台的母线所在的直线和底面所成的角为，且该圆台的上、下底面的面积分别为和，则圆台的体积为（    ） A． B． C． D． 29．（25-26高一下·贵州安顺·阶段检测）如图，在正方体的八个顶点中，，，，四个顶点恰好是正三棱锥的顶点，则正三棱锥的体积与正方体的体积之比为（   ） A． B． C． D． 30．（25-26高一下·贵州毕节·期中）2026年4月24日是第十一个中国航天日，在本届航天日的前沿成果发布会上，我国科研团队展示了对嫦娥六号带回的月球背面月壤的最新研究：发现了一种完美的正四棱锥状钛铁矿纳米晶，其结构可抽象为正四棱锥．已知该正四棱锥底面对角线和侧棱长都为4，则该正四棱锥的体积为（    ） A． B． C．32 D．64 31．（25-26高一下·河南·期中）已知正四棱台的上、下底面边长分别为2和4，侧棱长为，则该正四棱台的体积为（ ） A． B． C． D． 32．（25-26高一下·山东济南·阶段检测）某广场内设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的四面体得到的，如图所示，若被截正方体的棱长是，则石凳的表面积为（    ） A． B． C． D． 33．（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·期中）正三棱柱的底面边长为，高为，为上的点，，平面将该棱柱截成两个几何体，那么小的几何体与大的几何体的体积比值为（   ） A． B． C． D． 34．（25-26高一下·河南许昌·期中）已知长方体中，，，用平面截去长方体的一个角后得到如图所示的几何体． (1)求被截去的几何体的体积； (2)求几何体的表面积． 35．（25-26高一下·重庆·期中）如图，在正四棱锥中，，，M为的中点. (1)求正四棱锥的表面积； (2)求三棱锥的体积. 36．（25-26高一下·吉林长春·阶段检测）在中国传统文化中，灯笼作为节日和庆典的象征，常常蕴含着丰富的美学与数学设计；灯笼不仅要考虑美观，还要具备结构上的合理性和稳定性；现在有一盏独特的国风灯笼，它的外形结构包括多个几何体，具体设计如下： 顶部装饰：灯笼的顶部是一个正四棱台，上底边长为2分米，下底边长为4分米，高为2分米； 核心结构：灯笼的核心部分是一个正四棱柱，底面边长为3分米，高为6分米. (1)求灯笼总体积；（单位：分米） (2)已知灯笼上下底不糊纸，所以正四棱台侧面积与正四棱柱侧面积的和就是灯笼所需纸张的总面积，求灯笼所需纸张的总面积.（单位：分米） 37．（25-26高一下·广东惠州·期中）如图，正四面体棱长为4，E为的中点，，. (1)求四面体的表面积和体积； (2)求四面体的体积. 题型八 旋转体的表面积和体积（共4小题） 38．（25-26高一下·山东临沂·期中）圆台的上、下底面半径分别为10和20，它的侧面展开所得的扇环所对的圆心角为180°，则圆台的体积为(　　) A． B． C． D． 39．（25-26高一下·安徽芜湖·期中）冰激凌一直被众多青少年视为夏日解暑神器，图中冰激凌可近似地看作圆锥和半球的组合体若半球部分的体积为，圆锥部分的侧面展开图是半圆形，且用塑料外壳将该冰激凌密封固定，则所用塑料的面积至少为（    ） A． B． C． D． 40．（25-26高一下·北京·期中）“端午节”为我国传统节日之一，已被列入世界非物质文化遗产名录，吃粽子也是端午节食俗之一．全国各地的粽子包法各有不同，如图，粽子可包成棱长为6cm的正四面体状的三角粽，也可做成底面半径为，高为6cm（不含外壳）的圆柱状竹筒粽．现有一个装满（不冒尖）馅料的米斗，其形状可近似看作为上底面圆半径为8cm，下底面圆半径为6cm，高为3cm的圆台，则这些馅料最多可包三角粽或最多可包竹筒粽的个数为（    ）（参考数据：） A．18，10 B．18，11 C．19，10 D．19，11 41．（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，正三棱柱内接于一个圆柱，圆柱的体积是54π，且底面直径与母线长相等. (1)求圆柱的底面半径； (2)求三棱柱的体积与表面积. 题型九 球的截面的相关计算（共5小题） 42．（25-26高二上·四川内江·阶段检测）球的半径为10，若它的截面面积是，则球心到截面的距离是（ ） A．9 B．8 C．6 D．4 44．（25-26高一下·重庆渝北·期中）已知，，三点在球的球面上，，，，球心到平面的距离等于球半径的一半，则该球的表面积是______． 45．（25-26高一下·全国·课堂例题）在半径为13的球面上有A、B、C三点，其中，，，则球心到经过这三个点的截面的距离为____________． 46．（2015·浙江台州·三模）如图，求是棱长为1的正方体的内切球，则平面截球所得截面面积为__________. 题型十 柱体的外接球与内切球（共4小题） 47．（24-25高一下·四川成都·期末）棱长为2的正方体的8个顶点都在球O的表面上，则球O的半径为（   ） A．1 B． C． D．2 48.（24-25高一下·四川资阳·期中）若高为1的正三棱柱的顶点都在半径为1的球面上，则该正三棱柱的体积为（    ） A． B． C． D． 49．（25-26高一下·湖北荆州·阶段检测）一个正六棱柱的底面边长为，侧棱长为，其所有顶点都在一个球面上，则此球的体积为（    ） A． B． C． D． 50．（2025·浙江台州·二模）已知某个正三棱台的上、下底面面积分别为和，高为6，则该正三棱台的外接球半径为（   ） A．4 B． C．3 D． 题型十一 锥体的外接球与内切球（共9小题） 51．（25-26高一下·新疆·阶段检测）已知三棱锥中，平面，，，，则三棱锥外接球球的表面积等于（     ） A． B． C． D． 52．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）已知圆锥的底面半径为2，其体积为，则该圆锥内切球（球与圆锥的底面与侧面均相切）的表面积为（   ） A． B． C． D． 53．（25-26高一下·天津武清·期中）如图，在正四面体ABCD中，放置1大、4小共5个球，其中，大球为正四面体ABCD的内切球，小球与大球及正四面体三个面均相切，若正四面体ABCD的体积为，则5个球的表面积之和为（   ） A． B． C． D． 54．（25-26高一下·河北石家庄·期中）某圆锥的底面半径为6，其内切球半径为3，则该圆锥的表面积为________． 55．（24-25高一下·浙江杭州·期中）在四面体ABCD中，，则四面体ABCD的外接球的体积为______. 56．（25-26高一下·重庆·期中）已知圆锥的侧面展开图为一个半圆，且轴截面面积为为底面圆的一条直径，为圆上的一个动点（不与重合），则三棱锥的外接球体积为__________. 57．（25-26高一下·天津·期中）古代数学名著《九章算术·商功》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑.若四棱锥为阳马，平面，，，则此“阳马”外接球的体积为______. 58．（25-26高一下·福建莆田·期中）如图，正四棱锥中，点和分别为棱和的中点．若过A，E，F三点的平面与侧面的交线线段长为，则该四棱锥的外接球的体积为__________． 59．（25-26高一下·山东济宁·期中）已知棱锥的底面为正六边形，其顶点在底面的射影为底面中心，若该棱锥的外接球球心在其内切球球面上，则外接球和内切球的半径比为___________ 题型十二 台体的外接球与内切球（共5小题） 60．（25-26高一下·吉林延边·期中）已知圆台上底面的半径为1，下底面的半径为3，高为2，圆台上、下底面的圆周都在同一个球面上，则该球的体积是（    ） A． B． C． D． 61．（25-26高一下·浙江杭州·期中）如图，圆台的上、下底面半径分别为，且，半径为的球与圆台的上、下底面及每条母线均相切，则圆台的侧面积为（        ） A． B． C． D． 62．（25-26高一下·湖南邵阳·期中）已知一个圆台的上底面半径为2，下底面的半径为5，其侧面积为，则该圆台的外接球表面积为__________． 63．（25-26高一下·黑龙江佳木斯·期中）已知圆台的上底面半径为2，下底面半径为4，球与该圆台的上、下底面及其侧面都相切，则球的表面积为________. 64．（25-26高一下·湖北武汉·阶段检测）在正三棱台中，，侧棱与底面所成角的余弦值为．若此三棱台存在内切球（球与棱台各面均相切），则此棱台的表面积是（   ） A． B． C． D． 题型十三 组合体的外接球和内切球（共2小题） 65．（24-25高一下·贵州毕节·期末）如图，八面体的每一个面都是正三角形，且四个顶点，，，在同一个平面内，四边形为正方形，如果八面体的表面积为，那么这个八面体的外接球的体积为______. 66．（25-26高一下·重庆·期中）图1勖艾亭是巴蜀中学校园内的标志性建筑，勖艾亭中的“勖”取自首任校长周勖成之名，“艾”则取自首任教务主任孙伯才（字未艾）之字，合称“勖艾”，寓意纪念两位创校元勋.它的主体部分可以看作是一个正六棱柱和一个正六棱锥拼接而成的组合体，如图2所示.已知正六棱柱和正六棱锥的底面边长为2，高之比为3：1，且该几何体的所有顶点都在球的表面上，则球的体积为（    ） A． B． C． D． 题型十四 空间几何体距离最短问题（共7小题） 67．（25-26高二上·浙江杭州·期末）已知正四棱锥的侧棱长，M为SA中点，从点M出发沿着棱锥的侧面绕一圈回到点M，其最短路径的长度为（   ） A． B． C． D． 68．（25-26高一下·重庆渝北·期中）直四棱柱的所有棱长均为1，为棱上的动点，，则的最小值为（    ） A． B． C． D．3 69．（25-26高一下·重庆·阶段检测）如图几何体是圆锥的一部分，其中．从点出发沿曲面运动到的最短路线的距离是（   ） A． B． C． D． 70．（25-26高一下·江苏淮安·期中）在正方体中，，点在线段上，则的最小值是（    ） A．6 B． C． D．8 71．（25-26高一下·福建厦门·期中）如图，已知正方体中，，点P为线段上的动点，Q为平面内的动点，则的最小值是（ ） A． B． C． D． 72．（25-26高三上·青海西宁·阶段检测）斗笠起源于汉代，兴盛于明清．斗笠用竹篾、箭竹叶为原料，编织而成，有尖顶和圆顶两种形制，主要用于遮阳和遮雨，其中尖顶斗笠示意图如图所示，大致呈圆锥形．某款尖顶斗笠底部圆的半径为，母线长为，点是斗笠底部圆周上一点．为了装饰这个斗笠，现要镶嵌一条从点出发绕斗笠外部一周后回到点处的金属条，则这个金属条的最短长度为（　　） A． B． C． D． 73．（多选）（25-26高一下·广东深圳·期中）已知圆锥顶点为S，高为1，底面圆O的直径AB长为，若C为底面圆周上不同于A，B的任意一点，则下列说法中正确的是（    ） A．圆锥SO的侧面积为 B．过顶点S作圆锥的截面，截面面积的最大值为 C．若P为SB的中点，过P作平面与底面圆周交于M、N，且，则△PMN的周长的最大值为 D．若，E为线段AC上的动点，则的最小值为 题型十五 正方体的截面问题（共5小题） 74．（25-26高一下·河北邢台·期中）一个正方体被一个平面所截，其截面图形不可能为（    ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．梯形 D．邻边不垂直的菱形 75．（22-23高一下·江苏盐城·期中）在正方体中，若的中点为，则过点三点的截面是（    ） A．三角形 B．梯形 C．菱形 D．矩形 76．（24-25高一下·广西南宁·期末）如图，已知正方体的棱长为4，是棱的中点，则平面截正方体所得截面图形的面积为（    ）    A． B．18 C． D．36 77．（25-26高一下·黑龙江鸡西·期中）在棱长为2的正方体中，E，F分别是棱，的中点，过B，E，F三点的平面记为，则截该正方体所得截面的面积为（     ） A． B． C． D． 78．（25-26高一下·云南昆明·期中）在正方体中，为的中点，为的中点，为线段上一点且．过点，，作该正方体的截面，记为，则截面为（   ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 1 / 54 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 空间几何体的结构、表面积和体积 题型1 多面体的结构特征（易错点） 题型9 球的截面的相关计算 题型2 正多面体的有关计算 题型10 柱体的外接球和内切球（重点） 题型3 圆锥轴截面的最值 题型11 椎体的外接球和内切球（难点） 题型5 旋转体的有关计算 题型13 多面体的外接球 题型6 直观图的还原与计算（常考点） 题型14 空间几何体距离最短问题（难点） 题型7 多面体的表面积和体积（重点） 题型15 正方体的截面问题 题型8 旋转体的表面积和体积（重点） 题型一 多面体的结构特征（共4小题） 1．（25-26高一下·青海西宁·期中）如图所示，在三棱台中，截去三棱锥，则剩余部分是（   ） A．三棱锥 B．四棱锥 C．三棱柱 D．四棱柱 【答案】B 【详解】剩余的部分是以为顶点，四边形为底面的四棱锥. 2．（多选）（25-26高一下·四川绵阳·期中）下列说法正确的是（   ） A．平行六面体的各个面都是平行四边形 B．圆柱的侧面展开图是一个正方形 C．将棱台的侧棱延长后必交于一点 D．将直角三角形绕其一边所在的直线旋转一周形成的旋转体是圆锥 【答案】AC 【详解】平行六面体是底面为平行四边形的四棱柱，各个面都是平行四边形，A正确； 圆柱的侧面展开图是一个矩形，只有当底面周长和高相等时才是正方形，B错误； 棱锥被平行于底面的平面所截，截面与底面间的几何体是棱台，因此延长棱台所有侧棱，它们会交于一点，C正确； 将直角三角形绕斜边所在直线旋转一周形成的几何体不是圆锥，是两个共底面的圆锥，D错误. 3．（多选）（25-26高一下·四川成都·期中）下列命题中，正确的有（    ） A．有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体不一定是棱柱 B．有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥 C．平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形 D．有两个面互相平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台 【答案】ABC 【详解】对于A，将两个全等棱柱沿底面拼接，所得多面体存在一组互相平行的面， 其余各面均为平行四边形，但不满足棱柱侧棱全部平行的核心要求， 故该多面体不一定是棱柱，A正确. 对于B，棱锥仅有底面为多边形，其余面均为三角形，若存在平行四边形面， 则该面必为四边形底面，对应棱锥为四棱锥，B正确. 对于C，平行六面体的所有面均为平行四边形，由平行四边形对边平行且相等的性质， 可推得相对两个面的边长完全对应相等，即为全等的平行四边形，C正确. 对于D，棱台的必要条件是各侧棱延长后交于同一点， 仅上下底面平行相似、侧面为梯形，无法保证侧棱共顶点， 因此该多面体不一定为棱台，D错误. 4．（多选）（25-26高一下·河南郑州·期中）（多选）下列说法错误的是（   ） A．有两个面相互平行，其余各面都是平行四边形，由这些面围成的多面体是棱柱 B．如果棱柱有一侧面是矩形，则其余各侧面也都是矩形 C．有两个面相互平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是四棱台 D．有一个面是多边形，其余各面都是三角形，由这些面围成的多面体不一定是棱锥 【答案】ABC 【详解】选项A：棱柱的定义要求“有两个面互相平行，其余各面每相邻两个四边形的公共边互相平行”. 举反例：将两个相同的斜棱柱沿底面重合拼接， 满足“两个面平行、其余各面都是平行四边形”，但不符合棱柱定义，故A错误； 选项B：斜棱柱中，若侧棱仅与底面的某一条边垂直， 则对应侧面为矩形，其余侧面仍为平行四边形，无需所有侧面都是矩形，故B错误； 选项C：棱台要求所有侧棱延长后交于同一点. 若将互相平行的上下两个相似四边形错位放置， 连接对应顶点可得到四个面为等腰梯形的六面体， 但侧棱延长后不交于同一点，不属于四棱台，故C错误； 选项D：棱锥要求其余各面的三角形有公共顶点. 将两个同底棱锥的底面重合拼接，其所有面都是三角形. 任选一个面作为“多边形”，其余各面都是三角形， 满足“有一个面是多边形、其余各面都是三角形”，但不属于棱锥， 因此“不一定是棱锥”的说法正确，故D正确. 题型二 正多面体的有关计算（共5小题） 5．（24-25高一下·北京延庆·期末）已知一个正六棱锥的底面边长是1，侧棱长是2，则它的高为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【详解】 如图，因为正六棱锥的底面边长为1， 由正六边形的结构特征可得，， 因为正六棱锥的侧棱长是2，所以， 在中，. 所以正六棱锥的高为. 故选：C. 6．（2025·湖北武汉·模拟预测）已知正四棱台的体积为，且，则正四棱台的高为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【详解】已知，，因为正四棱台的底面为正方形，可得下底面积，上底面积. 已知正四棱台体积，将，代入正四棱台体积公式，可得. 解得. 即正四棱台的高为. 故选：A. 7．（25-26高二上·内蒙古巴彦淖尔·期末）如图，在边长为4的等边中，分别是的中点，分别为的中点，将分别沿折起，使得三点重合，此时（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】在边长为4的等边中，分别是的中点，分别为的中点， 将分别沿折起，使得三点重合记为，如图所示， 因为，所以，因为，所以， 所以是等腰三角形， 因为是中点，所以，所以，所以. 故选：B. 8．（多选）（25-26高一下·广东惠州·期中）如图，正三棱台的上、下底面边长分别为1和3，侧棱长为2，则下列说法正确的是（   ）. A．该三棱台的侧面积为 B．该三棱台的高为 C．该三棱台的体积为 D．若点在棱上，则的最小值为 【答案】ACD 【详解】对于A，在等腰梯形中，过向作垂线，垂足为E， 在中， ， 所以等腰梯形的面积为， 所以，所以A正确； 对于B，正三棱台中，取上、下底面的中心，， 连接，，， 则，，高， 所以B错误； 对于C，因为，， 所以三棱台的体积，所以C正确； 对于D，把等腰梯形与展开置于同一平面，连结， 易知，，， 而边的中点到点的距离， 因此当点为线段与的交点时， 的最小值为，所以D正确. 9．（25-26高一下·广东江门·期中）已知一个正六棱柱的底面是边长为2的正六边形，且所有棱长之和为48，则该正六棱柱的侧棱长为__________. 【答案】4 【详解】正六棱柱上下底面均为正六边形，每个正六边形有 6 条边， 所以上下底面的棱共有 条，且每条棱的长度都为 2 ， 正六棱柱有 6 条侧棱，设侧棱长为 ，已知所有棱长之和为 48 ， 则 ，解得 . 综上，该正六棱柱的侧棱长为 4. 题型三 圆锥截面最值（共4小题） 10.（24-25高一下·安徽·月考）已知圆锥母线长为，底面半径为2，则经过两条母线的平面截此圆锥所得截面的面积最大值为（    ） A．3 B．2 C． D． 【答案】A 【详解】设轴截面为，则， 所以，所以截面三角形面积的最大值为. 故选：A. 11．（25-26高三上·安徽·期中）已知某圆锥的轴截面是钝角三角形，记该钝角三角形的腰长为，若过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为8，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【详解】如图，是圆锥的轴截面，依题意可得， 过该圆锥顶点的任意截面的面积可表示为， 易知当时，截面面积取得最大值，所以，解得．    故选：B 12．（24-25高一下·福建南平·期末）已知圆锥的母线长为，过圆锥的顶点作圆锥的截面，若截面面积的最大值为，则该圆锥底面半径的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图，设轴截面顶角为，两个母线的夹角为， 底面半径为，且， 由三角形面积公式得截面面积为， 若截面面积的最大值为，则，解得， 则，即，由轴截面的性质可得， 即，解得，故C正确. 故选：C 13．（25-26高三·全国·二轮复习）一个圆锥轴截面的顶角为，母线为2，过顶点作圆锥的截面中，最大截面面积为______． 【答案】 【详解】设过顶点作圆锥的截面顶角为， 则截面面积为 所有过顶点的截面中，轴截面的顶角最大，即 ， 因为函数 在 上单调递增， 所以当 时，截面面积取得最大值，最大值为 . 故答案为：. 题型四 旋转体的展开图（共7小题） 14．（25-26高三上·湖南长沙·阶段检测）如图所示，在正方形铁皮上剪下一个扇形和一个直径为 2 的圆，使之恰好围成一个圆锥， 则圆锥的高为 （     ）    A． B． C．4 D． 【答案】B 【详解】由题意知，圆锥底面圆的半径为， 设扇形半径为，因为扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，可得， 即，解得，所以圆锥的母线长为， 所以圆锥的高为. 故选：B. 15．（25-26高一下·江苏盐城·阶段检测）一个圆锥的侧面展开图是圆心角为，弧长为的扇形，则该圆锥轴截面的面积（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设圆锥的母线长为l，底面半径为r， 则，解得， 又，解得， 所以圆锥的高为， 所以圆锥的轴截面的面积是. 16．（25-26高一下·广东深圳·期中）已知一个圆锥的表面积为，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为， 则圆锥的表面积为， 又，解得， 所以圆锥的高为：， 所以该圆锥的体积为： 17．（25-26高一下·安徽·阶段检测）为筹备校园文化节，同学们需装饰操场边的圆柱形灯柱.已知灯柱的高为3.2米，底面周长为0.8米.现计划从灯柱底部开始缠绕一条彩色装饰带，要求绕柱恰好三周后到达柱顶并与顶面齐平.若装饰带绷紧无松动，则装饰带的长度为（   ） A．3.6米 B．4米 C．4.4米 D．4.8米 【答案】B 【详解】如图，将灯柱侧面沿母线剪开并展开成为长方形，长方形的宽灯柱的高米， 长方形的长三个圆柱的底面周长（米）， 装饰带的长度即为该长方形的对角线长，即为（米）. 18．（25-26高一下·湖北武汉·期中）我国古代数学名著《数书九章》中有云：“今有木长一丈六尺，围之六尺.葛生其下，缠木两周，上与木齐，问葛长几何？”其意思为“圆木长1丈6尺，圆周为6尺，葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木两周，刚好顶部与圆木平齐，问葛藤最少长_________尺”.（注：丈等于尺） 【答案】20 【详解】 由题意，圆柱的侧面展开图是矩形，且为圆木的高且为16尺， 因为葛藤绕圆木两周，故将圆柱侧面展开两次， 则长为圆木底面周长的两倍即为12尺， 所以，，即葛藤最少长为20尺. 19．（25-26高一下·安徽安庆·期中）折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”，它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征．现有一把折扇，其结构如图.完全展开后扇环的圆心角为，上板长为12cm，若把该扇环围成一个圆台，则圆台的高为（   ） A．6cm B． C．8cm D． 【答案】D 【详解】设扇环围成的圆台，上底面圆半径，下底面圆半径，分别为，扇环内弧半径为，外弧半径为， 由题可知：，也即圆台的母线长为； 则，解得，，解得，则； 设圆台的高为cm，则. 故选：D. 20．（24-25高一下·浙江·月考）圆台的上下底面半径分别为、，、为圆台的两条母线，且，则四边形的面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】延长、交于点，将圆台补成的圆锥的母线长为， 则，解得， 则，故， 设轴截面的顶角为，由余弦定理可得， 故为钝角，则， 故当时，取最大值，且其最大值为， 因此，梯形面积的最大值为， 故选：C． 题型五 直观图的还原与计算（共6小题） 21．（25-26高一下·湖南益阳·期中）一个水平放置的平面图形，用斜二测画法画出了它的直观图，如图所示，，，则原平面图形的面积为（     ） A． B． C． D．6 【答案】D 【详解】将直观图还原为，如下图所示， 其中，，，则 . 22．（25-26高一下·江苏扬州·阶段检测）如图，是水平放置的用斜二测画法画出的直观图，其中，，则（     ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【详解】斜二测画法画出的直观图中，已知中，，， 则， 还原直观图，则， ． 23．（25-26高三上·青海西宁·阶段检测）已知的直观图是直角三角形，如图所示，其中，则的长度为（   ） A．8 B． C． D．4 【答案】C 【详解】根据题意，的直观图是直角三角形，且，所以，还原，如图所示， 原图中，，，所以. 24．（25-26高一下·贵州黔西南·期中）如图，是用斜二测画法得到的直观图，其中，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为是用斜二测画法得到的直观图， 且其中， ， 所以 ， 所以中，， ， 所以． 25．（25-26高一下·福建厦门·期中）已知直四棱柱的高为2，其底面四边形水平放置时的斜二测直观图为矩形如图所示.若则该直四棱柱的表面积为（） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由直观图可得底面四边形的平面图形如下，由， 则，所以， 则， 所以直棱柱的底面周长，又直棱柱的高， 所以棱柱的侧面积， 所以棱柱的表面积. 26．（25-26高一下·山东济南·期中）如图，四边形的斜二测画法的直观图为等腰梯形.已知，，则四边形的面积是__________. 【答案】 【详解】 过点作，则， 在等腰中，. 所以原图形中， 所以. 题型七 多面体的表面积和体积（共11小题） 27．（25-26高一下·吉林长春·期中）已知圆锥和圆台的高相等，圆锥的底面半径与圆台的上底面半径相等，圆台的下底面半径等于圆台的上底面半径的2倍，则该圆锥与该圆台的体积之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可设圆锥和圆台的高为，圆锥的底面半径与圆台的上底面半径为， 则圆台的下底面半径为. . . 所以. 28．（25-26高一下·广东茂名·期中）已知圆台的母线所在的直线和底面所成的角为，且该圆台的上、下底面的面积分别为和，则圆台的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】已知上底面积，下底面积， 对上底：； 对下底：. 圆台轴截面中，母线与底面所成角为，高与半径差构成直角三角形的两条直角边，满足. 由于，，因此 . 则圆台体积为. 29．（25-26高一下·贵州安顺·阶段检测）如图，在正方体的八个顶点中，，，，四个顶点恰好是正三棱锥的顶点，则正三棱锥的体积与正方体的体积之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设正方体的棱长为，可得该正方体的体积是， 由三棱锥的体积为 正三棱锥的体积为， 所以正三棱锥的体积与正方体的体积之比为. 30．（25-26高一下·贵州毕节·期中）2026年4月24日是第十一个中国航天日，在本届航天日的前沿成果发布会上，我国科研团队展示了对嫦娥六号带回的月球背面月壤的最新研究：发现了一种完美的正四棱锥状钛铁矿纳米晶，其结构可抽象为正四棱锥．已知该正四棱锥底面对角线和侧棱长都为4，则该正四棱锥的体积为（    ） A． B． C．32 D．64 【答案】A 【详解】由于该正四棱锥底面对角线和侧棱长都为4， 如图所示将该正四棱锥补形为长方体， 正四棱锥， 则， 顶点在底面的投影为正方形的中心， 那么， ， 所以A选项正确. 31．（25-26高一下·河南·期中）已知正四棱台的上、下底面边长分别为2和4，侧棱长为，则该正四棱台的体积为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】将正四棱台补形为正四棱锥，求出棱锥的高，即可得到棱台的高，再根据台体的体积公式计算可得. 【分析】依题意将正四棱台补全为正四棱锥，如下图所示： 因为，所以为边长为的等边三角形， 又，且，所以是的中位线， 设，则平面，且， 所以正四棱台的高， 所以正四棱台的体积. 32．（25-26高一下·山东济南·阶段检测）某广场内设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的四面体得到的，如图所示，若被截正方体的棱长是，则石凳的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】该几何体的棱长为，该几何体有6个面为正方形，8个面为等边三角形， 所以该几何体的表面积为， 33．（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·期中）正三棱柱的底面边长为，高为，为上的点，，平面将该棱柱截成两个几何体，那么小的几何体与大的几何体的体积比值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图：设平面与棱交于点， 由棱柱的性质知，平面，平面， 所以平面，且平面，平面平面， 所以，因此，所以几何体是三棱台， ， ， ，， 所以，小的几何体与大的几何体的体积比值为. 34．（25-26高一下·河南许昌·期中）已知长方体中，，，用平面截去长方体的一个角后得到如图所示的几何体． (1)求被截去的几何体的体积； (2)求几何体的表面积． 【答案】(1)2；(2) 【详解】（1）解：被截去的几何体为三棱锥，体积为． （2）解：因为，， 所以，，， ． ，， 在中，由余弦定理得， 则， 所以， 所以． 35．（25-26高一下·重庆·期中）如图，在正四棱锥中，，，M为的中点. (1)求正四棱锥的表面积； (2)求三棱锥的体积. 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）由四棱锥是正四棱锥知， 四棱锥的侧面是全等的等腰三角形，底面是正方形， 因为，，所以， ，， 所以表面积为. （2）因为棱锥是正四棱锥，所以点在底面的投影是正方形的中心， 设底面的中心为，连接，则底面， ，，， 因为M为的中点，所以到底面的距离是的一半， 所以三棱锥的体积是三棱锥体积的一半， ，， 所以. 36．（25-26高一下·吉林长春·阶段检测）在中国传统文化中，灯笼作为节日和庆典的象征，常常蕴含着丰富的美学与数学设计；灯笼不仅要考虑美观，还要具备结构上的合理性和稳定性；现在有一盏独特的国风灯笼，它的外形结构包括多个几何体，具体设计如下： 顶部装饰：灯笼的顶部是一个正四棱台，上底边长为2分米，下底边长为4分米，高为2分米； 核心结构：灯笼的核心部分是一个正四棱柱，底面边长为3分米，高为6分米. (1)求灯笼总体积；（单位：分米） (2)已知灯笼上下底不糊纸，所以正四棱台侧面积与正四棱柱侧面积的和就是灯笼所需纸张的总面积，求灯笼所需纸张的总面积.（单位：分米） 【答案】(1)分米3；(2)分米2 【详解】（1）已知正四棱台上底边长，下底边长，高，则，， 所以（分米3）， 已知正四棱柱底面边长，高，则（分米3）， 总体积：（分米3）. （2）正四棱柱侧面为4个矩形，侧面积（分米2）， 正四棱台侧面为4个全等等腰梯形，先求斜高： 正四棱台高为，等腰梯形上下底差的一半为， 由勾股定理得斜高，单个等腰梯形面积为， 因此正四棱台侧面积， 总面积（分米2）. 37．（25-26高一下·广东惠州·期中）如图，正四面体棱长为4，E为的中点，，. (1)求四面体的表面积和体积； (2)求四面体的体积. 【答案】(1)表面积为；；(2) 【详解】（1）因为四面体为正四面体， 所以四面体的每个面都是棱长为4的正三角形， 且， 所以四面体的表面积为； 设正四面体的高为h，三角形的重心为O， 则， ∴. （2）因为是的中点， ∴. 因为，即点为的四等分点， ∴. 因为，即点为的三等分点 ∴ 所以， ∴. 综上所述，. 题型八 旋转体的表面积和体积（共4小题） 38．（25-26高一下·山东临沂·期中）圆台的上、下底面半径分别为10和20，它的侧面展开所得的扇环所对的圆心角为180°，则圆台的体积为(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图所示，设圆台的上底面周长为，下底面周长为， 因为扇环所对的圆心角为180°，所以，解得， ，解得，故圆台的母线， 高， 故圆台的体积， 39．（25-26高一下·安徽芜湖·期中）冰激凌一直被众多青少年视为夏日解暑神器，图中冰激凌可近似地看作圆锥和半球的组合体若半球部分的体积为，圆锥部分的侧面展开图是半圆形，且用塑料外壳将该冰激凌密封固定，则所用塑料的面积至少为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设半球半径为，圆锥母线长为，由 ，得， 又 ，故， 所以所用塑料的面积至少为 40．（25-26高一下·北京·期中）“端午节”为我国传统节日之一，已被列入世界非物质文化遗产名录，吃粽子也是端午节食俗之一．全国各地的粽子包法各有不同，如图，粽子可包成棱长为6cm的正四面体状的三角粽，也可做成底面半径为，高为6cm（不含外壳）的圆柱状竹筒粽．现有一个装满（不冒尖）馅料的米斗，其形状可近似看作为上底面圆半径为8cm，下底面圆半径为6cm，高为3cm的圆台，则这些馅料最多可包三角粽或最多可包竹筒粽的个数为（    ）（参考数据：） A．18，10 B．18，11 C．19，10 D．19，11 【答案】A 【详解】因为 ， 其中 ， ， ，代入得： , ，其中棱长 ，代入得： ， 所以可包个数： =18, 因为 ，其中 ， ，代入得： , 所以可包个数： , 综上，最多可包三角粽 个，竹筒粽 个. 41．（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，正三棱柱内接于一个圆柱，圆柱的体积是54π，且底面直径与母线长相等. (1)求圆柱的底面半径； (2)求三棱柱的体积与表面积. 【答案】(1)3；(2)， 【详解】（1）设圆柱的底面半径为，则圆柱的高为. 由题意. 即圆柱的底面半径为3. （2）因为为等边三角形，且其外接圆半径为3， 由正弦定理。，解得，则， 又三棱柱的高即圆柱的高为6，所以； 则三棱柱的表面积为. 题型九 球的截面的相关计算（共5小题） 42．（25-26高二上·四川内江·阶段检测）球的半径为10，若它的截面面积是，则球心到截面的距离是（ ） A．9 B．8 C．6 D．4 【答案】C 【详解】因为球的截面面积是，故截面圆的半径， 设球心到截面的距离是，则解得. 故选：C 43．（24-25高一下·浙江·期中）已知正四面体内接于球，球半径为3，为的中点，过点作球的截面，求截面圆半径的最小值（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【详解】如下图示，，令正四面体的棱长为，则底面半径， 所以， 所以，则， 所以，则，可得， 要使截面圆半径最小，只需垂直于截面圆，而， 所以截面圆半径为. 故选：D 44．（25-26高一下·重庆渝北·期中）已知，，三点在球的球面上，，，，球心到平面的距离等于球半径的一半，则该球的表面积是______． 【答案】 【详解】因为，则，可知的外接圆半径， 设该球的半径为，则，即，解得， 所以该球的表面积是. 45．（25-26高一下·全国·课堂例题）在半径为13的球面上有A、B、C三点，其中，，，则球心到经过这三个点的截面的距离为____________． 【答案】12 【详解】由线段的长度知是以为斜边的直角三角形， 所以其外接圆的半径，设球的半径为， 所以． 故答案为：12. 46．（2015·浙江台州·三模）如图，求是棱长为1的正方体的内切球，则平面截球所得截面面积为__________. 【答案】 【详解】是边长为的等边三角形， 球与平面、、分别相切于的各边的中点， 平面截球所得的截面为的内切圆， 的内切圆半径， 则所求的截面圆的面积是． 故答案为：． 题型十 柱体的外接球与内切球（共4小题） 47．（24-25高一下·四川成都·期末）棱长为2的正方体的8个顶点都在球O的表面上，则球O的半径为（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【详解】因正方体的对角线长， 所以正方体的外接球的直径， 则. 故选：C． 48.（24-25高一下·四川资阳·期中）若高为1的正三棱柱的顶点都在半径为1的球面上，则该正三棱柱的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可知球的半径， 因为正三棱柱的高为，则球心到三棱柱底面的距离， 根据球的截面圆的性质，可得，即，解得， 棱柱底面与球的截面圆的半径， 三棱柱的底面三角形为截面圆内接正三角形，可得三角形的边长为， 所以三角形的面积为， 该棱柱的体积为. 49．（25-26高一下·湖北荆州·阶段检测）一个正六棱柱的底面边长为，侧棱长为，其所有顶点都在一个球面上，则此球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】作出六棱柱的最大对角面与外接球的截面，如下图， 则该截面矩形分别以底面外接圆直径和六棱柱高为两边， 设球心为，正六棱柱的上下底面中心分别为， 则球心是的中点， 由正六棱柱底面边长为，侧棱长为， 所以中，， 可得， 因此，该球的体积为. 50．（2025·浙江台州·二模）已知某个正三棱台的上、下底面面积分别为和，高为6，则该正三棱台的外接球半径为（   ） A．4 B． C．3 D． 【答案】B 【详解】如图所示，分别为上下底面的外心，则外接球球心在线段上， 连接并延长交于，连接并延长交AB于D， 设等边三角形的边长为，根据正三角形面积公式， ∴，， 设等边三角形的边长为，根据正三角形面积公式， ∴，C=CD=，则， 设正三棱台的外接球的半径, 得，解得，即. 故选：B.    题型十一 锥体的外接球与内切球（共9小题） 51．（25-26高一下·新疆·阶段检测）已知三棱锥中，平面，，，，则三棱锥外接球球的表面积等于（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为平面，， 可将三棱锥补形为长方体， 则长方体的外接球即为三棱锥的外接球， 则长方体的体对角线即为外接球的直径. 又， 故外接球的表面积为. 52．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）已知圆锥的底面半径为2，其体积为，则该圆锥内切球（球与圆锥的底面与侧面均相切）的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】已知圆锥底面半径，体积为，设圆锥的高为，则 ，解得， 设圆锥母线长为，则， 设圆锥内切球半径为，则截面图如下： 则，，， ，即， ， 该内切球的表面积为． 53．（25-26高一下·天津武清·期中）如图，在正四面体ABCD中，放置1大、4小共5个球，其中，大球为正四面体ABCD的内切球，小球与大球及正四面体三个面均相切，若正四面体ABCD的体积为，则5个球的表面积之和为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图所示，在正四面体中，设棱长为，高为， 为正四面体内切球的球心， 延长交底面于，是等边三角形 的中心，延长线交于， 连接，则点是的中点，为正四面体内切球的半径， ，，，， 由正四面体的体积为，得 ，解得 ， 正四面体的高，内切球半径满足，代入： ，则. 正四面体顶点到大球球心的距离为， 顶点到小球球心（小球和三个面切，满足顶点到小球球心距离为），两球外切，球心距为， 因此：，整理得，得. 由总表面积为大球表面积加4个小球表面积可得： . 54．（25-26高一下·河北石家庄·期中）某圆锥的底面半径为6，其内切球半径为3，则该圆锥的表面积为________． 【答案】 【详解】如图所示，设球与圆锥底面相切于点，与母线相切于点， 所以，设，所以， 又，所以，即， 化简得：，解得或（舍去）， 所以圆锥的表面积为：. 55．（24-25高一下·浙江杭州·期中）在四面体ABCD中，，则四面体ABCD的外接球的体积为______. 【答案】 【详解】将四面体放入长方体中，如图所示： 设长方体的长，宽，高分别为，则，所以， 设长方体的外接球半径为，则，解得， 又长方体的处接球即为四面体的外接球， 所以四面体的外接球的体积为. 56．（25-26高一下·重庆·期中）已知圆锥的侧面展开图为一个半圆，且轴截面面积为为底面圆的一条直径，为圆上的一个动点（不与重合），则三棱锥的外接球体积为__________. 【答案】 【详解】设圆锥底面圆半径为r，母线长为l，则圆锥的高为 因为侧面展开图为一个半圆，所以，解得， 又轴截面面积为，所以， 解得，则，圆锥的高为， 由题意三棱锥的外接球的球心在SO上，且设为，外接球半径设为R， 连接，则，所以， 在中，，即， 则，解得， 则三棱锥的外接球的体积. 57．（25-26高一下·天津·期中）古代数学名著《九章算术·商功》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑.若四棱锥为阳马，平面，，，则此“阳马”外接球的体积为______. 【答案】 【详解】由于平面，，平面，所以，， 由于四边形是矩形，所以，所以，，两两相互垂直， 所以四棱锥可补形为长方体，且长方体的体对角线为， 所以外接球的半径， 所以外接球的体积为. 58．（25-26高一下·福建莆田·期中）如图，正四棱锥中，点和分别为棱和的中点．若过A，E，F三点的平面与侧面的交线线段长为，则该四棱锥的外接球的体积为__________． 【答案】 【详解】如图，连接并延长交的延长线于H，连接交于G， 因为E为的中点，所以C为的中点， 在平面中，过C作，交于K，则， 所以， 由已知可得，四棱锥为正四棱锥， 在等腰三角形中，由，得， 设，则，，， ， 在中，由余弦定理可得，，解得， 所以正四棱锥的底面边长为，侧棱长为6， 连接，相交于M，连接，则为正四棱锥的高，则， 设四棱锥外接球的球心为O，连接，则，解得， 所以该四棱锥的外接球的体积为． 59．（25-26高一下·山东济宁·期中）已知棱锥的底面为正六边形，其顶点在底面的射影为底面中心，若该棱锥的外接球球心在其内切球球面上，则外接球和内切球的半径比为___________ 【答案】 【详解】设底面边长为a，高为h，外接球半径，内切球半径r， 因为正六棱锥及球的对称性，球心在正六棱锥的高上， 若球心在M处，则，则 ，所以，则， 设棱锥的斜高为，所以侧面积为， 棱锥的表面积为， 所以正六棱锥的体积等于， 所以内切球半径， 令，则，代入， 消去得出，即得， 化简得，所以， 则外接球和内切球的半径比； 若外接球球心在内切球与底面的交点O处，则外接球半径， 设棱锥的斜高为 ，所以侧面积为， 棱锥的表面积为， 所以正六棱锥的体积等于， 所以内切球半径， 则外接球和内切球的半径比. 综上， 题型十二 台体的外接球与内切球（共5小题） 60．（25-26高一下·吉林延边·期中）已知圆台上底面的半径为1，下底面的半径为3，高为2，圆台上、下底面的圆周都在同一个球面上，则该球的体积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图，圆台的轴截面为球的大圆的内接梯形， 易知球心落在梯形上下底中点连线上，设球半径为． 在直角三角形中，，在直角三角形中，， 故或， 所以或， 两边平方整理得或，得， 所以（负值舍去）． 故球的体积．    61．（25-26高一下·浙江杭州·期中）如图，圆台的上、下底面半径分别为，且，半径为的球与圆台的上、下底面及每条母线均相切，则圆台的侧面积为（        ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】作圆台及球的轴截面，圆台的轴截面是等腰梯形且与球的截面的圆相切，如图： 所以圆台的母线长. 由勾股定理得：，化简得①. 又，代入①得：，，解得或. 若时，则，，所以圆台的侧面积； 若时，则，此时几何体是圆柱不是圆台，不符合题意，舍去. 因此，圆台的侧面积为. 62．（25-26高一下·湖南邵阳·期中）已知一个圆台的上底面半径为2，下底面的半径为5，其侧面积为，则该圆台的外接球表面积为__________． 【答案】/ 【详解】由圆台的上底面半径为，下底面的半径为，其侧面积为， 设该圆台的母线为，高为， 则，解得， 则， 设外接球的半径为，外接球的球心到圆台下底的距离为，则球心到圆台上底的距离为，（若球心在下底的上方，则为正值，反之为负值） 所以，解得， 所以该圆台的外接球表面积为．    63．（25-26高一下·黑龙江佳木斯·期中）已知圆台的上底面半径为2，下底面半径为4，球与该圆台的上、下底面及其侧面都相切，则球的表面积为________. 【答案】 【点睛】如图所示，作出圆台和内切球的组合体的轴截面，圆台的母线与圆的切点为， 因为圆台的上底面半径为，下底面半径为， 根据圆的切线的性质，可得， 设圆台的内切球的半径为，可得 可得圆台的母线长为， 又由，可得，即， 所以圆台的内切球的表面积为. 64．（25-26高一下·湖北武汉·阶段检测）在正三棱台中，，侧棱与底面所成角的余弦值为．若此三棱台存在内切球（球与棱台各面均相切），则此棱台的表面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】取和的中点分别为，上、下底面的中心分别为， 设，内切球半径为，因为，棱台的高为， ， ，同理， 内切球与平面相切，切点在上， ①， 在等腰梯形中，②， ， 在梯形中，③， 由②③得，代入得，则， 此棱台的表面积是： ． 题型十三 组合体的外接球和内切球（共2小题） 65．（24-25高一下·贵州毕节·期末）如图，八面体的每一个面都是正三角形，且四个顶点，，，在同一个平面内，四边形为正方形，如果八面体的表面积为，那么这个八面体的外接球的体积为______. 【答案】 【详解】 由已知八面体表面积，即， 又为等边三角形，所以， 则， 即八面体各棱长均为， 又四边形为正方形，即， 所以， 所以中点为八面体的外接球球心， 且外接球半径为， 即外接球体积。 66．（25-26高一下·重庆·期中）图1勖艾亭是巴蜀中学校园内的标志性建筑，勖艾亭中的“勖”取自首任校长周勖成之名，“艾”则取自首任教务主任孙伯才（字未艾）之字，合称“勖艾”，寓意纪念两位创校元勋.它的主体部分可以看作是一个正六棱柱和一个正六棱锥拼接而成的组合体，如图2所示.已知正六棱柱和正六棱锥的底面边长为2，高之比为3：1，且该几何体的所有顶点都在球的表面上，则球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设正六棱锥的高为，则正六棱柱的高为， 设正六棱锥的上顶点为,正六棱柱底面的中心为, 连接，则,正六棱柱底面 该几何体的所有顶点都在球的表面上，该几何体的外接球也是正六棱柱的外接球，所以球心在上， 且, 设该几何体外接球的半径为,则,解得：, 所以球的体积为 题型十四 空间几何体距离最短问题（共7小题） 67．（25-26高二上·浙江杭州·期末）已知正四棱锥的侧棱长，M为SA中点，从点M出发沿着棱锥的侧面绕一圈回到点M，其最短路径的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图所示，将正四棱锥沿展开，由可知， 由，为中点，为中点,可知， 所以为等边三角形，即， 故从点M出发沿着棱锥的侧面绕一圈回到点M，其最短路径的长度为， 故选：A. 68．（25-26高一下·重庆渝北·期中）直四棱柱的所有棱长均为1，为棱上的动点，，则的最小值为（    ） A． B． C． D．3 【答案】C 【详解】 将所在平面与所在平面展平至同一平面内，如右图 在左图中，由于，，得是等边三角形，故． 在右图中，． 两点之间线段最短，连接，最小为． 69．（25-26高一下·重庆·阶段检测）如图几何体是圆锥的一部分，其中．从点出发沿曲面运动到的最短路线的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】圆锥高底面，已知，， 由勾股定理得母线长 ， 底面中劣弧的长度为，占底面圆周的， 圆的周长为，则几何体所在的圆锥的侧面展开图中扇形的圆心角为， 所以侧面展开图中的弧的长为， 设圆心角，由弧长公式得 ， 由余弦定理， 得，则从点出发沿曲面运动到点的最短路线的距离是. 70．（25-26高一下·江苏淮安·期中）在正方体中，，点在线段上，则的最小值是（    ） A．6 B． C． D．8 【答案】C 【详解】 如图1，连接，， 将平面和平面展开到同一平面， 如图2，连接，交于点， 则， 因为，所以， 所以四边形为菱形，， 则， 所以.重合时，取等号. 则的最小值是. 71．（25-26高一下·福建厦门·期中）如图，已知正方体中，，点P为线段上的动点，Q为平面内的动点，则的最小值是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 当，即可得平面，此时是最小距离， 然后把平面与平面展开成共面， 如第二个图：即可得过作的垂线，垂足为 此时，即此时取到最小值， 因为在正方体中，， 所以 ， 所以， 即的最小值是 72．（25-26高三上·青海西宁·阶段检测）斗笠起源于汉代，兴盛于明清．斗笠用竹篾、箭竹叶为原料，编织而成，有尖顶和圆顶两种形制，主要用于遮阳和遮雨，其中尖顶斗笠示意图如图所示，大致呈圆锥形．某款尖顶斗笠底部圆的半径为，母线长为，点是斗笠底部圆周上一点．为了装饰这个斗笠，现要镶嵌一条从点出发绕斗笠外部一周后回到点处的金属条，则这个金属条的最短长度为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】作出该斗笠的侧面展开图如图所示，由图可知金属条的最短长度为线段之长. 由题意知，圆弧的长即圆锥的底面圆周长，则， 由余弦定理，得， 即． 故选：C． 73．（多选）（25-26高一下·广东深圳·期中）已知圆锥顶点为S，高为1，底面圆O的直径AB长为，若C为底面圆周上不同于A，B的任意一点，则下列说法中正确的是（    ） A．圆锥SO的侧面积为 B．过顶点S作圆锥的截面，截面面积的最大值为 C．若P为SB的中点，过P作平面与底面圆周交于M、N，且，则△PMN的周长的最大值为 D．若，E为线段AC上的动点，则的最小值为 【答案】ACD 【详解】对于A，由勾股定理得，由侧面积公式得，故A正确； 对于B，如图截面为，， 设，的高为，则， 可得，当且仅当时取等号，故B错误； 对于C，如图，设， 而， 即，即， 又，所以可化为， 而 ，当且仅当时取得等号. 故的周长为， 即的周长的最大值为，故C正确， 对于D，将翻折到平面上，如图，的最小值即为， 如图，另作出平面图形如下， 易得，， 且， 由两角和的余弦公式得， 在中， . 可得的最小值即为，故D正确. 题型十五 正方体的截面问题（共5小题） 74．（25-26高一下·河北邢台·期中）一个正方体被一个平面所截，其截面图形不可能为（    ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．梯形 D．邻边不垂直的菱形 【答案】B 【详解】如图，其截面可能为梯形、邻边不垂直的菱形、等边三角形，不可能为直角三角形．        75．（22-23高一下·江苏盐城·期中）在正方体中，若的中点为，则过点三点的截面是（    ） A．三角形 B．梯形 C．菱形 D．矩形 【答案】B 【详解】 如图所示：取的中点，连接和， 因为分别是的中点，所以且， 又，故且， 故四点共面，且四边形是过三点的截面， 又因为四边形是梯形，故选B. 故选：B 76．（24-25高一下·广西南宁·期末）如图，已知正方体的棱长为4，是棱的中点，则平面截正方体所得截面图形的面积为（    ）    A． B．18 C． D．36 【答案】B 【详解】取的中点，连接，易知，所以平面与交点为， 则平面为平面截正方体的截面，四边形为等腰梯形， 过做，由，， 所以,， ，, 所以其面积为. 故选：B.    77．（25-26高一下·黑龙江鸡西·期中）在棱长为2的正方体中，E，F分别是棱，的中点，过B，E，F三点的平面记为，则截该正方体所得截面的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】连接，，， 因为E，F分别是棱，的中点，所以， 又，故，，则四点共面， 故截该正方体所得截面为四边形， ，， ，四边形为等腰梯形， 过点分别作，交于点， 则，故， 故，所以截面面积为. 78．（25-26高一下·云南昆明·期中）在正方体中，为的中点，为的中点，为线段上一点且．过点，，作该正方体的截面，记为，则截面为（   ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【答案】C 【详解】如图所示，在正方体中， 由于平面平面，且平面与平面的交线为， 故平面与平面的交线必过点，且与平行， 不妨设正方体的棱长为1，在矩形中，由题可知，； 在矩形中，，； ， 又， ，故， 平面与平面的交线就是， 平面平面，且平面与平面的交线为， 平面与平面的交线必过点，且平行于， 设，平面，平面平面，平面， 平面， ，则与的交点位于的延长线上， 位于上，连接， 则平面与平面的交线为， ，，，，五点共面， 截面为五边形，故C正确． 1 / 54 学科网（北京）股份有限公司 $