培优16 拓展专题之七：8个大招轻松搞定空间距离问题（期末复习讲义）高一数学下学期人教A版

培优16 拓展专题之七：8个大招轻松搞定空间距离问题（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 垂线法求点到直线的距离 题型02 直接法求点到平面的距离 题型03 等体积法求点到平面的距离 题型04 垂面法求点到平面的距离 题型05 等距转化法求点到平面的距离 题型06 转化法求直线到平面的距离 题型07 转化法求平行平面间的距离 题型08 展平法破解距离的最值问题 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 两点间的距离 掌握空间两点间距离公式，能求两点间的距离 常与几何体结合，多作为解答题的基础小问考查 点到直线的距离 理解点线距离定义，熟练掌握几何法求解点面距离 常见考点，多与其他知识综合在一起考查 点到平面的距离 理解点面距离定义，熟练掌握几何法求解点面距离 立体几何高频考点，常作为解答题的核心设问之一 直线到平面的距离 理解线面平行时线面距离的定义，掌握其求法 考查频率较低，常转化为点面距离问题求解 平面到平面的距离 理解平行平面间距离的定义，会求面面距离 考查频率低，多转化为点面距离或线面距离求解 知识点 空间距离 1.两点间的距离 连接两点间线段的长度称为两点间的距离. 2.点到直线的距离 过点向直线作垂线，这点和垂足间的线段的长度叫作这点到直线的距离. 3.点到平面的距离 一点到它在一个平面内的正射影的距离叫做这一点到这个平面的距离.也可以说成这一点到平面的垂线段的长度. 4.直线到与它平行平面的距离： 一条直线上的任一点到与它平行的平面的距离，叫做这条直线与平面的距离. 从定义可知，求直线到与它平行平面的距离就是转化到直线上的点到平面的距 离.可选择直线上的端点、中点等. 5.两个平行平面的距离 若两个平面平行，则其中一个平面上的任一点到另一个平面的距离，叫作两平行平面间的距离. 题型一 求点到直线的距离 解｜题｜技｜巧 求点到直线的距离一般要作出表示这个距离的垂线段，然后利用直角三角形求解，或利用等面积法求解. 【典例1-1】（25-26高二下·江苏盐城·阶段检测）在棱长为1的正方体中，点到直线的距离为（    ） A． B．1 C． D． 【变式1-1】如图，在四棱锥P-ABCD中，PB⊥平面ABCD，PB＝AB＝2BC＝4，AB⊥BC，则点C到直线PA的距离为（　　） A.2　 B.2　　 C.　 D.4 【变式1-2】（25-26高二上·天津·期末）如图，直三棱柱中，，，，点D是中点，则点到直线的距离是_______.    题型二 直接法求点到平面的距离 解｜题｜技｜巧 所谓直接法，就是直接作出表示点到平面的距离的垂线段，再通过解三角形等策略求得该垂线段的长，即得户得点到平面的距离. 【典例2】（25-26高一下·江西·期末）在棱长为3的正方体中，点D到平面的距离为（   ） A． B．3 C． D． 【变式2-1】（2025·北京·三模）某建筑物的部分建筑结构可以抽象为三棱锥，，底面是等腰直角三角形，且，顶点P到底面的距离为6，则点B到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 题型三 等体积法求点到平面的距离 解｜题｜技｜巧 所谓等体积法，就是将所求点到面的距离对应的线段视为一个三棱锥的高，再通过转换三棱锥的顶点和底面，利用其体积不变求出相对应的点到平面的距离. 【典例3】（25-26高一下·吉林·期末）如图，在直三棱柱中，，，，M为的中点． (1)证明：平面； (2)求直线到平面的距离． 【变式3-1】（2026·山东泰安·三模）如图，在四棱锥P-ABCD中，，O，M分别是AD，AP中点，底面ABCD为菱形，平面平面ABCD，． (1)证明：； (2)求D到平面MOB的距离． 【变式3-2】（25-26高一下·安徽阜阳·期中）如图，在四棱台中，平面，两底面均为正方形，，，，点E在线段上，且. (1)证明：平面. (2)求点到平面的距离. 题型四 垂面法求点到平面的距离 解｜题｜技｜巧 当点到平面的垂线不易作出时，可寻找过该点且与平面平行的直线，将所求距离转化为与已知平面等距离的点作垂线，然后计算. 【典例4】（25-26高一下·广东深圳·期中）如图，为圆锥顶点，为底面圆心，，，均在底面圆周上，且为等边三角形． (1)求证：平面平面； (2)若圆锥的底面半径为，高为，求点到平面的距离． (3)在（2）的条件下，该圆锥是否存在外接球，若有求出其外接球表面积；如果没有请说明理由． 【变式4-1】（2025·河南·二模）在三棱锥P-ABC中，底面ABC为正三角形，平面ABC，，，若P，A，B，C四点都在球O的表面上，则球心O到平面PBC的距离为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（25-26高一下·浙江·期中）如图，在正方形中，为的中点，将沿直线折起至处，使得点在平面上的射影在上.若三棱锥的外接球表面积为，则到平面的距离为（   ） A． B． C． D．1 题型五 等距转化法求点到平面的距离 技｜巧｜点｜拨 当点到平面的垂线不易作出时，可寻找过该点且与平面平行的直线，将所求距离转化为与已知平面等距离的点作垂线，然后计算. 【典例5】（25-26高一下·河南鹤壁·阶段检测）如图，正方体的棱长为．截面将正方体分成两部分，其体积分别为，且． (1)求以及； (2)求点到平面的距离. 【变式5-1】（多选）（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，正方体的棱长为1，且M，N分别为，的中点，则下列说法正确的是（   ） A．平面 B．与所成角为45° C．三棱锥的体积为 D．点到平面的距离为 【变式5-2】（25-26高一下·北京·期中）如图所示，在底面是菱形的四棱锥中，，，，点在上，且. (1)证明：； (2)求点到平面的距离； (3)是棱的中点，证明：平面 题型六 转化法求直线到平面的距离 解｜题｜技｜巧 一般利用转化法求直线到平面的距离，即将所求距离转化为直线上的某点到平面的距离. 【典例6】（24-25高一下·黑龙江黑河·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧棱底面，，是的中点.    (1)求证：直线平面； (2)求直线到平面的距离. 【变式6-1】（25-26高二上·山东潍坊·期中）正四棱柱的底面边长为2，点E，F分别为，的中点，且已知与BF所成角的大小为60°，则直线与平面BCF之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（24-25高二上·上海·阶段检测）如图，已知三棱锥中，平面为中点，为中点，为中点. (1)证明:平面平面 (2)求直线到平面的距离. 题型七 转化法求两平行平面间的距离 解｜题｜技｜巧 两平行平面间的距离一般转化为求其中一个平面上某点到另一个平面的距离. 【典例7】（25-26高一下·广东揭阳·期中）如图在直三棱柱中，，，，E是上的一点，且，D、F、G分别是、、的中点，与相交于． (1)求证：平面； (2)求平面与平面的距离． 【变式7-1】（2026·福建龙岩·二模）棱长均为的四面体的顶点分别在四个互相平行的平面上．若相邻两平行平面的距离都为，则的值为______． 【变式7-2】（2026·河南·高一下联考）如图所示，正六棱柱的底面边长为1，高为.    (1)证明：平面平面； (2)求平面与平面间的距离. 题型八 展平法破解距离的最值问题 解｜题｜技｜巧 将立体图形的曲面、多面体表面沿母线或棱剪开，展开为同一平面。依据 “平面内两点之间线段最短”，连接两点得到线段，此线段长即为空间最短距离。求解时先确定展开方式，画出展开图，再结合几何边长、角度，用勾股定理或余弦定理计算线段长度. 【典例8-1】（多选）（24-25高三下·广东·开学考试）如图，圆锥SO底面圆的圆心为O，AB是圆O的一条直径，SA与底面所成角的正弦值为，，P是母线SA的中点，C是母线SB上一动点，则下列说法正确的是（   ）    A．圆锥SO的母线长为12 B．圆锥SO的表面积为 C．一只蚂蚁沿圆锥SO的侧面上的曲线从点A爬到点P处，在蚂蚁所爬的最短路径中，这只蚂蚁离圆锥SO的顶点S的最短距离是 D．在圆锥SO内放置一个可以绕着中心任意旋转的正方体，则该正方体的体积的最大值是 【变式8-1】（2026高一·全国·专题练习）已知在圆锥SO中，底面圆O的直径，圆锥SO的体积为，点M在母线SB上，且，一只蚂蚁若从A点出发，沿圆锥侧面爬行到达M点，则它爬行的最短距离为_______. 【变式8-2】（25-26高一上·上海·期末）如图，是底面半径为的圆柱侧面上两点，它们在底面上的射影分别为，若，弧，则沿圆柱侧面从到的最短距离是___________.    【变式8-3】（25-26高一下·广东清远·期中）如图，在三棱柱中，，．点E，F分别为棱，的中点. (1)记三棱柱的体积为，三棱锥的体积为，求； (2)若，且三棱柱是直棱柱. （ⅰ）求点E到平面ABF的距离； （ⅱ）求一只蚂蚁沿三棱柱表面从点B爬行到点E的最短路程. 期末基础通关练（测试时间：25分钟） 1．（24-25高一下·河北邢台·阶段检测）已知正方体棱长为2，则点C到平面的距离为（    ） A．1 B． C． D． 2．（25-26高一下·河北邯郸·阶段检测）如图，在三棱锥中，平面平面，平面平面，则点A到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·四川成都·开学考试）如图，长方形的高为，底面长为 ，宽为，蚂蚁沿长方体表面，从点到（点 见图中黑圆点）的最短距离是（    ） A．cm B．cm C．cm D．cm 4．（25-26高一下·四川凉山·联考）在正方体中，点，分别是，上的点，，，，则点到直线的距离为__________. 5．（25-26高一下·重庆江北·期中）如图，正三棱锥中，底面边长是，棱锥的侧面积等于底面积的倍，是的中点.求： (1)的值； (2)点到面的距离. 期末重难突破练（测试时间：20分钟） 1．（2025·安徽·模拟预测）在三棱锥中，是边长为1的正三角形，，，，则点B到平面的距离为（   ） A． B． C． D．    4．（24-25高二上·上海·阶段检测）如图，设为正方形所在平面外一点，平面 则点到直线的距离为_______. 5.（25-265高一下·广东河源·质检）如图，在四棱锥中，平面平面，点是的中点.点到平面的距离为. (1)证明：平面； (2)若，平面平面，且交面于，求； (3)若与平面所成角为，求直线到平面的距离的最小值. 期末综合拓展练（测试时间：25分钟） 1．（25-26高一下·浙江宁波·期中）已知三棱锥的外接球的球心为平面，则球心到平面的距离为（    ） A． B． C． D．3 2．(多选题)（24-25高三下·广东·开学考试）如图，圆锥SO底面圆的圆心为O，AB是圆O的一条直径，SA与底面所成角的正弦值为，，P是母线SA的中点，C是母线SB上一动点，则下列说法正确的是（   ）    A．圆锥SO的母线长为12 B．圆锥SO的表面积为 C．一只蚂蚁沿圆锥SO的侧面上的曲线从点A爬到点P处，在蚂蚁所爬的最短路径中，这只蚂蚁离圆锥SO的顶点S的最短距离是 D．在圆锥SO内放置一个可以绕着中心任意旋转的正方体，则该正方体的体积的最大值是 3．（2026高一·全国·专题练习）如图1，某广场上放置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的正三棱锥得到的，它的所有棱长均相同，数学上我们称之为半正多面体（semiregular solid），亦称为阿基米德多面体，如图2，设，则平面与平面之间的距离是____. 4．（25-26高一下·安徽·阶段检测）如图，将边长为2的正六边形沿对角线折起，记二面角的大小为，连接，构成多面体. (1)求证：平面； (2)问当为何值时，直线到平面的距离等于？ (3)在（2）的条件下，求多面体的表面积. 5．（25-26高一下·浙江温州·期中）如图（1），已知平面五边形中，是边长为的正三角形，，，将和分别沿AC，AD向上翻折至，使得在面ACD的同侧，且二面角的平面角和二面角的平面角的大小都为． (1)如图（2），当时，求证：平面ACD； (2)设该五面体外接球的球心为，半径为． （i）当时，求到平面的距离； （ii）求的最小值． 17 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 培优16 拓展专题之七：8个大招轻松搞定空间距离问题（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 垂线法求点到直线的距离 题型02 直接法求点到平面的距离 题型03 等体积法求点到平面的距离 题型04 垂面法求点到平面的距离 题型05 等距转化法求点到平面的距离 题型06 转化法求直线到平面的距离 题型07 转化法求平行平面间的距离 题型08 展平法破解距离的最值问题 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 两点间的距离 掌握空间两点间距离公式，能求两点间的距离 常与几何体结合，多作为解答题的基础小问考查 点到直线的距离 理解点线距离定义，熟练掌握几何法求解点面距离 常见考点，多与其他知识综合在一起考查 点到平面的距离 理解点面距离定义，熟练掌握几何法求解点面距离 立体几何高频考点，常作为解答题的核心设问之一 直线到平面的距离 理解线面平行时线面距离的定义，掌握其求法 考查频率较低，常转化为点面距离问题求解 平面到平面的距离 理解平行平面间距离的定义，会求面面距离 考查频率低，多转化为点面距离或线面距离求解 知识点 空间距离 1.两点间的距离 连接两点间线段的长度称为两点间的距离. 2.点到直线的距离 过点向直线作垂线，这点和垂足间的线段的长度叫作这点到直线的距离. 3.点到平面的距离 一点到它在一个平面内的正射影的距离叫做这一点到这个平面的距离.也可以说成这一点到平面的垂线段的长度. 4.直线到与它平行平面的距离： 一条直线上的任一点到与它平行的平面的距离，叫做这条直线与平面的距离. 从定义可知，求直线到与它平行平面的距离就是转化到直线上的点到平面的距 离.可选择直线上的端点、中点等. 5.两个平行平面的距离 若两个平面平行，则其中一个平面上的任一点到另一个平面的距离，叫作两平行平面间的距离. 题型一 求点到直线的距离 解｜题｜技｜巧 求点到直线的距离一般要作出表示这个距离的垂线段，然后利用直角三角形求解，或利用等面积法求解. 【典例1-1】（25-26高二下·江苏盐城·阶段检测）在棱长为1的正方体中，点到直线的距离为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，求出正边上的高即可得解. 【详解】在棱长为1的正方体中，连接，则， 所以到直线的距离即为正边上的高. 故选：A 【变式1-1】如图，在四棱锥P-ABCD中，PB⊥平面ABCD，PB＝AB＝2BC＝4，AB⊥BC，则点C到直线PA的距离为（　　） A.2　 B.2　　 C.　 D.4 【答案】B 【解析】如图，取PA的中点M，连接BM，CM，因为PB⊥平面ABCD，又BC⊂平面ABCD，所以PB⊥BC，又因为AB⊥BC，PB∩AB＝B，PB，AB⊂平面PAB，所以BC⊥平面PAB，又PA⊂平面PAB，所以BC⊥PA，BC⊥PB，因为M是PA的中点，PB＝AB，所以BM⊥PA，又BC⊥PA， BM∩BC＝B，BM，BC⊂平面BCM，所以PA⊥平面BCM，又CM⊂平面BCM，所以CM⊥PA，即CM为点C到直线PA的距离.在等腰Rt△PAB中，BM＝PB＝2，在Rt△BCM中，CM＝＝＝2，故点C到直线PA的距离为2. 【变式1-2】（25-26高二上·天津·期末）如图，直三棱柱中，，，，点D是中点，则点到直线的距离是_______.    【答案】/ 【详解】连接,    因为，，点D是中点，， 所以，, 又因为,, 所以是边长为的等边三角形， 取的中点，连接, 则, 所以的长即为点到直线的距离， 又因为是边长为的等边三角形， 所以. 题型二 直接法求点到平面的距离 解｜题｜技｜巧 所谓直接法，就是直接作出表示点到平面的距离的垂线段，再通过解三角形等策略求得该垂线段的长，即得户得点到平面的距离. 【典例2】（25-26高一下·江西·期末）在棱长为3的正方体中，点D到平面的距离为（   ） A． B．3 C． D． 【答案】A 【分析】明确点到平面的距离，利用正方体的线面关系求距离. 【详解】如图： 连接交AC于点，则为BD中点， 因为为正方体，所以平面，又平面，所以； 又底面为正方体，所以. 因为，平面, 所以平面. 故点到平面的距离为． 故选：A． 【变式2-1】（2025·北京·三模）某建筑物的部分建筑结构可以抽象为三棱锥，，底面是等腰直角三角形，且，顶点P到底面的距离为6，则点B到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三棱锥的几何性质，和空间中点线面的垂直关系，做出点到面的距离，求出结果即可. 【详解】 如图所示，作中点为，连接， 因为，所以，又因为是等腰直角三角形，且，所以， 因为，，是公共边，所以， 所以 , 所以，，面，面，所以面. 所以为点P到底面的距离，即. 在中，根据勾股定理，. 因为，，，面，面，所以面， 所以为点到面的距离， 在等腰直角三角形中，. 故选：C. 题型三 等体积法求点到平面的距离 解｜题｜技｜巧 所谓等体积法，就是将所求点到面的距离对应的线段视为一个三棱锥的高，再通过转换三棱锥的顶点和底面，利用其体积不变求出相对应的点到平面的距离. 【典例3】（25-26高一下·吉林·期末）如图，在直三棱柱中，，，，M为的中点． (1)证明：平面； (2)求直线到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析；(2)． 【分析】（1）连接，利用线面平行的判定推理得证. （2）将线面距离转化为点面距离，再利用等体积法求解. 【详解】（1）在直三棱柱中，连接，交于点N，连接，如图： 则N为的中点，而M为的中点，则，又平面，平面， 所以平面． （2）连接，由，得，又平面，平面， 则，又平面，因此平面， 又平面，则，又，则是等腰直角三角形， ，，， ，设点A到平面的距离为d， 由，得，解得， 由平面，得直线到平面的距离即为点A到平面的距离， 所以直线到平面的距离为． 【变式3-1】（2026·山东泰安·三模）如图，在四棱锥P-ABCD中，，O，M分别是AD，AP中点，底面ABCD为菱形，平面平面ABCD，． (1)证明：； (2)求D到平面MOB的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）通过面面垂直得到，继而通过平面PAD，最终完成证明 （2）建系利用向量法求解或利用等体积法求解 【详解】（1）连接PO，BD，如图一所示， ，，∵平面平面ABCD， 平面平面，平面，平面ABCD， 平面ABCD，， 又平面PAD，平面PAD， 又平面PAD，. （2）由（1）得,又∵O为AD的中点,， ,是正三角形，,. 连接MD，设点D到平面MOB的距离为h， ， ，M到平面ABCD的距离为P到平面ABCD距离的， 即，，， ，∴点D到平面MOB的距离为. 【变式3-2】（25-26高一下·安徽阜阳·期中）如图，在四棱台中，平面，两底面均为正方形，，，，点E在线段上，且. (1)证明：平面. (2)求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析;(2) 【分析】（1）连接，与交于点F，连接BF，根据已知证明，再由线面平行的判定证明结论； （2）根据已知求出相关线段长，再由等体积法求点面距离. 【详解】（1）如图，连接，与交于点F，连接BF， 因为四边形是正方形，， 所以，， 因为四边形是正方形，，所以. 因为，所以， 所以，又， 所以四边形为平行四边形， 所以， 因为平面，平面， 所以平面. （2）因为在四棱台中，两底面均为正方形， 所以，所以， 所以， 所以， 又， 设点到平面的距离为h， 由等体积法得，即，解得， 所以点到平面的距离为. 题型四 垂面法求点到平面的距离 解｜题｜技｜巧 当点到平面的垂线不易作出时，可寻找过该点且与平面平行的直线，将所求距离转化为与已知平面等距离的点作垂线，然后计算. 【典例4】（25-26高一下·广东深圳·期中）如图，为圆锥顶点，为底面圆心，，，均在底面圆周上，且为等边三角形． (1)求证：平面平面； (2)若圆锥的底面半径为，高为，求点到平面的距离． (3)在（2）的条件下，该圆锥是否存在外接球，若有求出其外接球表面积；如果没有请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在， 【分析】（1）延长，交于点，根据给定条件，利用线面垂直的性质判定、面面垂直的判定推理即得； （2）连接，作于，证明平面，再计算即得； （3）设球心为，由对称性可知球心在直线上，由球心定义可知是直线和线段中垂线交点，进而结合勾股定理列方程求出外接球半径，进而求解即可. 【详解】（1）证明：延长，交于点， 由为等边三角形，得是的中心， 则，易知平面， 因为平面，所以， 又，，平面， 所以平面， 又平面，所以平面平面． （2）连接，作于，由（1）知平面， 因为平面，所以， 因为，，平面， 所以平面， 故到平面的距离为的长． 易知，， 又，所以， 所以， 又，所以， 故， 所以点到平面的距离为. （3）存在外接球，设球心为，由对称性可知球心在直线上， 由球心定义可知是直线和线段中垂线交点，下面为截面示意图： 设球半径为，在直角三角形中，由勾股定理知， 则，解得， 所以球表面积. 【变式4-1】（2025·河南·二模）在三棱锥P-ABC中，底面ABC为正三角形，平面ABC，，，若P，A，B，C四点都在球O的表面上，则球心O到平面PBC的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，确定球心O的位置，再利用几何法求出点到平面的距离. 【详解】设底面中心为D，取BC的中点E，连接AE，则A，D，E三点共线，连接PE，过点D作底面的垂线， 取棱PA的中点Q，在平面PAE中，过Q作PA的垂线，则与的交点即为球心O， 在正中，，，得， 又，则，， ，由余弦定理得， 则，过O作PE的垂线，垂足为G，由，， ，PA，平面，得平面，又平面PBC， 于是平面平面，又平面平面，平面， 因此平面PBC，在中，， 所以球心O到平面PBC的距离为. 故选：B 【变式4-2】（25-26高一下·浙江·期中）如图，在正方形中，为的中点，将沿直线折起至处，使得点在平面上的射影在上.若三棱锥的外接球表面积为，则到平面的距离为（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】根据折叠的特点，根据外接球以及球的表面积求解正方形的边长，结合勾股定理求解即可. 【详解】连接，交于，交于点，连接，，设正方形的边长为， 因为为正方形，所以沿对角线折叠的过程中， 点（即点）在底面上的射影一直在直线上， 又点在平面上的射影在直线上，所以点即为点在平面上的射影， 即平面， 则即为点到平面的距离. 因为平面，所以. 正方形中，，即， 所以为三棱锥外接球的球心，则三棱锥外接球的半径， 又三棱锥的外接球表面积为，则，解得， 所以. 因为为的中点，为的中点，所以为的重心， 则. 在中，. 所以点到平面的距离为. 题型五 等距转化法求点到平面的距离 技｜巧｜点｜拨 当点到平面的垂线不易作出时，可寻找过该点且与平面平行的直线，将所求距离转化为与已知平面等距离的点作垂线，然后计算. 【典例5】（25-26高一下·河南鹤壁·阶段检测）如图，正方体的棱长为．截面将正方体分成两部分，其体积分别为，且． (1)求以及； (2)求点到平面的距离. 【答案】(1)，， (2) 【详解】（1）截面将正方体分为两个几何体，其中较小部分是三棱锥， 其中底面是腰长为的等腰直角三角形，其面积． 三棱锥的高为．所以其体积. 又正方体的体积，所以. 所以． （2）三棱锥与三棱锥是同一个几何体． 在中，，其面积． 因为，即，所以， 解得，即点到平面的距离为． 【变式5-1】（多选）（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，正方体的棱长为1，且M，N分别为，的中点，则下列说法正确的是（   ） A．平面 B．与所成角为45° C．三棱锥的体积为 D．点到平面的距离为 【答案】ABD 【分析】由线面平行的判定定理判断A；由异面直线所成角定义计算判断B；由三棱锥体积计算公式计算判断C；根据等体积法计算判断D. 【详解】对A选项，如图，连接，则为中点，    又为的中点，所以， 又平面平面， 平面，故A选项正确； 对B选项，由A可知，为与所成角或其补角， 由正方体性质可知，，故B选项正确； 对C选项，三棱锥的体积为 ，故C选项错误； 对D选项，设点到平面的距离为，则， ，，故D选项正确. 【变式5-2】（25-26高一下·北京·期中）如图所示，在底面是菱形的四棱锥中，，，，点在上，且. (1)证明：； (2)求点到平面的距离； (3)是棱的中点，证明：平面 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】(1)利用等腰三角形的几何特征，得到，再利用菱形的几何特征得到，再结合直线垂直于平面的判定定理，证明出平面,再利用直线与平面的性质定理得到.（2）利用等体积法求解点到平面的距离即可.(3)先利用题目的条件证平面，再证 平面，再用平面与平面平行的判定定理证明平面平面，再用平面与平面的性质定理证明平面即可. 【详解】（1）设与的交点为，则是的中点， 因为.所以. 因为菱形，所以. 又 ,平面，所以平面. 又平面，所以. （2）在菱形中，因为. 所以菱形的边长为，且， 所以， 在中，. 所以， 即由（1）知平面. 因为平面所以又所以平面 所以. 设点到平面的距离为 . 因为 所以即. 故点到平面的距离为. （3）证明:取的中点，连接，则 因为平面. 平面，所以平面 由,知是的中点, 因为是的中点，所以 因为平面，平面AEC， 所以 平面 又，平面 所以平面平面， 又平面 所以 平面 题型六 转化法求直线到平面的距离 解｜题｜技｜巧 一般利用转化法求直线到平面的距离，即将所求距离转化为直线上的某点到平面的距离. 【典例6】（24-25高一下·黑龙江黑河·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧棱底面，，是的中点.    (1)求证：直线平面； (2)求直线到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接交于点，利用中位线的性质易知，结合线面平行的判定定理可证得结论成立； （2）因为平面，直线到平面的距离即点到平面的距离，取的中点，连接，分析可知平面，结合等体积法可求出点到平面的距离. 【详解】（1）连接，并交于点， 因为四边形为正方形，则为的中点， 又因为为的中点，所以， 因为平面，平面，因此平面. （2）因为平面，直线到平面的距离即点到平面的距离， 取的中点，连接，如下图所示：    因为、分别为、的中点，所以，， ， 因为平面，所以平面， 所以. 因为平面，平面，所以， 因为四边形为正方形，则， 因为，、平面，故平面， 因为平面，所以， 因为，为的中点，所以， 因为，、平面，故平面， 因为平面，所以， 因为平面，平面，所以， 所以，， 因为平面，平面，所以， 故， 所以， 设点到平面的距离为，则，解得， 因此，直线与平面的距离为. 【变式6-1】（25-26高二上·山东潍坊·期中）正四棱柱的底面边长为2，点E，F分别为，的中点，且已知与BF所成角的大小为60°，则直线与平面BCF之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，可得，结合题干条件在中求解可得，由可得直线与平面BCF之间的距离即为点与平面BCF之间的距离， 作可证明为点与平面BCF之间的距离，求解即可. 【详解】 取为中点，连接不妨令相交于， 由于点E为的中点，故， 即四边形为平行四边形，故，故与BF所成角的大小与与所成角的大小相等，即， 不妨设，故， 由平面，平面，故，点为中点， 故，又，故为等边三角形，即， 解得，即， 连接，作于， 由于，平面BCF，平面BCF，故 平面BCF， 则直线与平面BCF之间的距离即为点与平面BCF之间的距离， 由平面，平面，故，又平面BCF， 故平面BCF，即为点与平面BCF之间的距离， ， 故，即直线与平面BCF之间的距离为. 故选：C 【变式6-2】（24-25高二上·上海·阶段检测）如图，已知三棱锥中，平面为中点，为中点，为中点. (1)证明:平面平面 (2)求直线到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】(1)利用面面平行的判定定理直接证明即可； (2)根据线面间的距离转化为点面距离，即可得出答案. 【详解】（1）因为为中点，为中点，为中点. 所以，平面，平面， 所以平面，同理可证平面， 因为，平面 所以平面平面 （2）平面平面， 平面平面 所以，因为平面， 所以平面，由（1）可知平面 所以为直线到平面的距离， 因为为中点，则， 直线到平面的距离为. 题型七 转化法求两平行平面间的距离 解｜题｜技｜巧 两平行平面间的距离一般转化为求其中一个平面上某点到另一个平面的距离. 【典例7】（25-26高一下·广东揭阳·期中）如图在直三棱柱中，，，，E是上的一点，且，D、F、G分别是、、的中点，与相交于． (1)求证：平面； (2)求平面与平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由已知条件得平面，从而，又，由此能证明平面． （2）由已知条件推导出平面，平面，由此能证明平面平面．由已知条件推导出为平行平面与之间的距离，由此能求出结果． 【详解】（1）证明：由直三棱柱的性质得平面平面， 又，平面平面，平面， 平面， 又平面， ， ， 在和中，， ，即， 又，平面 平面． （2）解：由题意知， 在中，， 又，， 平面，平面， 平面， 、分别为、的中点， ，又， ， 平面，平面， 平面， 平面，平面，， 平面平面． 平面，平面平面， 平面， 为平行平面与之间的距离， ， 即平面与之间的距离为． 【变式7-1】（2026·福建龙岩·二模）棱长均为的四面体的顶点分别在四个互相平行的平面上．若相邻两平行平面的距离都为，则的值为______． 【答案】/ 【分析】在正方体中作出正四面体，作其中过，，三个顶点的互相平行的平面，由于相邻平面间距离都相等，根据几何关系求解即可． 【详解】在正方体中作出正四面体， 作其中过，，三个顶点的互相平行的平面，如图: 由于相邻两平行平面间距离都相等，不妨求平面与平面间的距离， 其中，，，为正方体棱上的中点， 过作于，则即为两平行平面间的距离， 因为， 所以，所以， 即相邻平行平面间的距离为. 【变式7-2】（2026·河南·高一下联考）如图所示，正六棱柱的底面边长为1，高为.    (1)证明：平面平面； (2)求平面与平面间的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用面面平行的判定定理证明; （2）将面面距转化为点面距，再由等体积法求出距离即可. 【详解】（1）在正六棱柱中， 因为底面为正六边形，所以， 因为平面，平面，所以平面. 因为，，所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以平面， 又，所以平面平面. （2）平面与平面间的距离等价于点到平面的距离，设为. 连接，则四面体的体积. 因为， ，， 所以，从而， 所以， 所以，即平面与平面间的距离为.    题型八 展平法破解距离的最值问题 解｜题｜技｜巧 将立体图形的曲面、多面体表面沿母线或棱剪开，展开为同一平面。依据 “平面内两点之间线段最短”，连接两点得到线段，此线段长即为空间最短距离。求解时先确定展开方式，画出展开图，再结合几何边长、角度，用勾股定理或余弦定理计算线段长度. 【典例8-1】（多选）（24-25高三下·广东·开学考试）如图，圆锥SO底面圆的圆心为O，AB是圆O的一条直径，SA与底面所成角的正弦值为，，P是母线SA的中点，C是母线SB上一动点，则下列说法正确的是（   ）    A．圆锥SO的母线长为12 B．圆锥SO的表面积为 C．一只蚂蚁沿圆锥SO的侧面上的曲线从点A爬到点P处，在蚂蚁所爬的最短路径中，这只蚂蚁离圆锥SO的顶点S的最短距离是 D．在圆锥SO内放置一个可以绕着中心任意旋转的正方体，则该正方体的体积的最大值是 【答案】BCD 【分析】A选项，根据与底面所成角的正弦值得到，然后利用勾股定理列方程，解方程即可；B选项，根据弧长公式得到，然后求面积；C选项，利用余弦定理得到，然后利用等面积的思路求；D选项，利用相似求圆锥内切球的半径，然后求正方体的体积即可. 【详解】    如图1，圆锥的轴截面为等腰三角形，则. 因为与底面所成角的正弦值为，所以， 所以，解得，故错误； 如图2，在圆锥的侧面展开图中，， 则圆锥的侧面积为， 所以圆锥的表面积为，故B正确； 如图2，过点作，垂足为. 在中，， 由余弦定理可得， 则，即，解得，故C正确； 如图1，设圆锥内切球的球心为，过点作，垂足分别为， 由题意可知，则，所以. 因为，所以，所以，解得. 设该正方体棱长的最大值为， 则，解得， 所以该正方体的体积的最大值是，故D正确. 故选：BCD. 【变式8-1】（2026高一·全国·专题练习）已知在圆锥SO中，底面圆O的直径，圆锥SO的体积为，点M在母线SB上，且，一只蚂蚁若从A点出发，沿圆锥侧面爬行到达M点，则它爬行的最短距离为_______. 【答案】 【分析】先根据体积公式得出，将圆锥沿母线展开，结合圆心角的大小，利用余弦定理求解即可. 【详解】设圆锥的母线长为，底面的半径为， 圆锥SO的体积为，解得. 由勾股定理，可得母线， 如图，圆锥的侧面展开图为扇形，在该扇形展开图中的计算如下， 因为扇形的弧长为，所以扇形的圆心角，则， 在中，由余弦定理可得，所以， 因为，所以蚂蚁爬行的最短距离为的长度，即蚂蚁爬行的最短距离为. 【变式8-2】（25-26高一上·上海·期末）如图，是底面半径为的圆柱侧面上两点，它们在底面上的射影分别为，若，弧，则沿圆柱侧面从到的最短距离是_________.    【答案】 【分析】画出侧面展开图，运用两点间线段最短.结合勾股定理计算长度即可. 【详解】画出侧面展开图，如下，已知，则，弧， 侧面从到的最短距离是.根据勾股定理知道. 故答案为：.    【变式8-3】（25-26高一下·广东清远·期中）如图，在三棱柱中，，．点E，F分别为棱，的中点. (1)记三棱柱的体积为，三棱锥的体积为，求； (2)若，且三棱柱是直棱柱. （i）求点E到平面ABF的距离； （ii）求一只蚂蚁沿三棱柱表面从点B爬行到点E的最短路程. 【答案】(1)； (2)（ⅰ）（ⅱ） 【分析】（1）利用中点性质及几何分割，得出三棱锥体积与三棱柱体积的固定比例； （2）（ⅰ）先用勾股定理证明三角形为直角三角形并计算面积，再通过等体积法，由已知体积反推高； （ⅱ）将三棱柱的侧面展开为平面，考虑三种不同的展开方式，分别计算两点间的直线距离，取最小值即为最短路径, 【详解】（1）因为，点，分别为棱，中点， 所以，，所以， 所以，,所以， 所以， 所以． （2）（ⅰ）如图1，因为三棱柱是直棱柱，所以， 因为，所以三棱柱的体积， 由（1）知三棱锥的体积为， 在中，， ，， 所以，的面积， 设点到平面的距离为，则，即， 所以． （ⅱ）沿三棱柱表面从点到点有三种路径： （1）经过平面与平面，如图2沿棱翻转平面，使得平面与平面在同一平面内，此时最短路程为． （2）经过平面与平面，如图3沿棱翻转平面，使得平面与平面在同一平面内，此时最短路程为． （3）经过平面与平面，如图4沿棱翻转平面，使得平面与平面在同一平面内，此时最短路程为． 因为， 所以蚂蚁沿三棱柱表面从点爬行到点的最短路程为． 期末基础通关练（测试时间：25分钟） 1．（24-25高一下·河北邢台·阶段检测）已知正方体棱长为2，则点C到平面的距离为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】作出辅助线，证明出平面，找到点到平面的距离即的长，求出答案. 【详解】连接交于点E，    因为四边形为正方形，所以，且为中点， 因为⊥底面，平面，所以⊥， 因为，平面，所以平面， 所以CE的长即为点到平面的距离， 因为正方体棱长为2，所以由勾股定理可得， 所以. 故选：B 2．（25-26高一下·河北邯郸·阶段检测）如图，在三棱锥中，平面平面，平面平面，则点A到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据面面垂直性质可得平面，再利用线面垂直判定定理可得平面，即，根据等体积法计算可求得结果. 【详解】由平面平面，平面平面，且平面平面， 所以可得平面； 又平面，所以， 又，所以， 因为，平面，所以平面； 又平面，可得； 又因为，因此； 设点A到平面的距离为， 所以三棱锥的体积， 即，解得. 故选：D 3．（24-25高一上·四川成都·开学考试）如图，长方形的高为，底面长为 ，宽为，蚂蚁沿长方体表面，从点到（点 见图中黑圆点）的最短距离是（    ） A．cm B．cm C．cm D．cm 【答案】D 【分析】要求蚂蚁爬行的最短距离，需将长方体的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果． 【详解】根据题意可能的最短路线有6条，重复的不算，可以通过三条来计算比较.（见图示） 根据他们相应的展开图分别计算比较： 图①:； 图②:； 图③:. ∵. 故选：D. 4．（25-26高一下·四川凉山·联考）在正方体中，点，分别是，上的点，，，，则点到直线的距离为__________. 【答案】6 【分析】如图，利用勾股定理求出，结合勾股定理的逆定理计算可得，即可求解. 【详解】如图，连接，则， 所以， 在中，， 所以， 即到直线的距离为，长度为6. 故答案为：6 5．（25-26高一下·重庆江北·期中）如图，正三棱锥中，底面边长是，棱锥的侧面积等于底面积的倍，是的中点.求： (1)的值； (2)点到面的距离. 【答案】(1);;(2) 【分析】（1）根据正三棱锥的特征和棱锥的侧面积等于底面积的倍列式即可求解； （2）根据等体积法求解即可. 【详解】（1）因为是正三棱锥，所以是等边三角形，即， 而是的中点，所以. 因为是正三棱锥，所以， 而是的中点，所以. 因为棱锥的侧面积等于底面积的倍，所以， 所以. （2）设顶点在底面的投影为，分的比为， 因此. 在中，三棱锥的高. 三棱锥的体积， 因此. 设点到平面的距离为，， 由体积公式， 解得. 期末重难突破练（测试时间：20分钟） 1．（2025·安徽·模拟预测）在三棱锥中，是边长为1的正三角形，，，，则点B到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图，作 平面 于点 ， 平面 ，则， 又因为， ，平面 ， 所以 平面 ， 因为平面 ， 所以， 因为为等边三角形，所以， 所以 . 连接 . 设 ，则， 因为 ， 所以 ，解得 . 在 中， ，所以 所以 . 由 ， 可得点 到平面 的距离为 . 故选：C    4．（24-25高二上·上海·阶段检测）如图，设为正方形所在平面外一点，平面 则点到直线的距离为_______. 【答案】 【分析】要求点到直线的距离，需要作出，然后计算即可. 【详解】 作于， 因为平面平面 所以， 因为 所以， 因为正方形边长为，所以， 因为，，所以， 所以， 所以点到直线的距离为. 故答案为：. 5.（25-265高一下·广东河源·质检）如图，在四棱锥中，平面平面，点是的中点.点到平面的距离为. (1)证明：平面； (2)若，平面平面，且交面于，求； (3)若与平面所成角为，求直线到平面的距离的最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)1 【分析】（1）取PA的中点，证明，再由线面平行的判定即可证得平面. （2）由（1）所得结论，利用线面平行的性质可得，由题意可知平面，从而，利用中点结合平面几何知识可求，进而求得. （3）过点作的垂线，垂足为，连接，由题意为与平面所成角.由平面，所以直线到平面的距离等于点到平面的距离， 由得，即得直线到平面的距离的最小值. 【详解】（1）设点为的中点，连接. 因为为中点，所以，且 根据题意可知，且. 从而可得，且. 即可得四边形为平行四边形. 即可得平面平面. 所以平面； （2）由第（1）问可知平面平面，平面平面. 所以，因为交面于，所以直线与直线重合，即可得. 在中，点是的中点，所以. 由第（1）问可知. 又点到平面的距离为，且，所以平面， 而平面，所以. 在中，，根据勾股定理可得. 从而可得. （3）过点作的垂线，垂足为，连接. 因为平面平面，平面平面，所以平面， 所以为与平面所成角. 由题意可得.在中，，所以. 从而可得.点到平面的距离为. 所以，从而可得的最小值为1，即点到平面的距离的最小值为1. 由第（1）问可知平面，所以直线到平面的距离等于点到平面的距离， 故直线到平面的距离的最小值为1. 期末综合拓展练（测试时间：25分钟） 1．（25-26高一下·浙江宁波·期中）已知三棱锥的外接球的球心为平面，则球心到平面的距离为（    ） A． B． C． D．3 【答案】B 【分析】将棱锥补全为长方体，进而确定球心的位置并求出半径，若为的中点，连接，证明平面平面，得到是与平面的夹角，结合已知求点面距即可. 【详解】由平面，平面，则，， 由，可将三棱锥补全为一个长方体，如下图示， 则球心为该长方体体对角线的中点，则球的半径， 易知中，，若为的中点，连接， 显然，且都在平面内，则平面， 又平面，所以平面平面，故在平面的投影在上， 所以是与平面的夹角，而， 则， 所以，则球心到平面的距离为. 故选：B 2．(多选题)（24-25高三下·广东·开学考试）如图，圆锥SO底面圆的圆心为O，AB是圆O的一条直径，SA与底面所成角的正弦值为，，P是母线SA的中点，C是母线SB上一动点，则下列说法正确的是（   ）    A．圆锥SO的母线长为12 B．圆锥SO的表面积为 C．一只蚂蚁沿圆锥SO的侧面上的曲线从点A爬到点P处，在蚂蚁所爬的最短路径中，这只蚂蚁离圆锥SO的顶点S的最短距离是 D．在圆锥SO内放置一个可以绕着中心任意旋转的正方体，则该正方体的体积的最大值是 【答案】BCD 【分析】A选项，根据与底面所成角的正弦值得到，然后利用勾股定理列方程，解方程即可；B选项，根据弧长公式得到，然后求面积；C选项，利用余弦定理得到，然后利用等面积的思路求；D选项，利用相似求圆锥内切球的半径，然后求正方体的体积即可. 【详解】    如图1，圆锥的轴截面为等腰三角形，则. 因为与底面所成角的正弦值为，所以， 所以，解得，故错误； 如图2，在圆锥的侧面展开图中，， 则圆锥的侧面积为， 所以圆锥的表面积为，故B正确； 如图2，过点作，垂足为. 在中，， 由余弦定理可得， 则，即，解得，故C正确； 如图1，设圆锥内切球的球心为，过点作，垂足分别为， 由题意可知，则，所以. 因为，所以，所以，解得. 设该正方体棱长的最大值为， 则，解得， 所以该正方体的体积的最大值是，故D正确. 故选：BCD. 3．（2026高一·全国·专题练习）如图1，某广场上放置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的正三棱锥得到的，它的所有棱长均相同，数学上我们称之为半正多面体（semiregular solid），亦称为阿基米德多面体，如图2，设，则平面与平面之间的距离是____. 【答案】 【分析】不妨记正方体为，设对角线分别交平面和平面于点，，可推出即为平面与平面的距离，结合等体积法求得，结合对称性求得即可． 【详解】如图，不妨记正方体为，，， 故四边形是平行四边形，所以， 又，分别为，的中点， 所以，同理， 所以，又平面，平面， 所以平面，同理平面， 又，，平面， 所以平面平面， 设对角线分别交平面和平面于点，， 因为平面，平面， 所以， 连接，因为分别为的中点， 故，又，平面，， 所以平面，又平面， 所以，同理， 又，，平面， 所以平面， 又平面平面， 所以平面， 即为平面与平面的距离， 则， 由正方体棱长为得， 由题意得，为等边三角形且边长为1， 故， 根据， 得， 解得， 根据对称性知， 所以， 则平面与平面的距离为． 4．（25-26高一下·安徽·阶段检测）如图，将边长为2的正六边形沿对角线折起，记二面角的大小为，连接，构成多面体. (1)求证：平面； (2)问当为何值时，直线到平面的距离等于？ (3)在（2）的条件下，求多面体的表面积. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）由折起后，即可证得平面； （2）画出直线到平面的距离并证明，再找到与此距离之间的等量关系，即可求出； （3）根据所求的长度与角度，分别求出多面体每个面的面积即可. 【详解】（1）在正六边形中，， 折起后，在多面体中，同样也有， 又平面，平面， 所以平面. （2）如图所示，作，垂足为G，连接， ，， ， 在中，由余弦定理得，解得， 则，所以，即， 所以是平面与平面所成的角，则， 因为，，，平面， 所以平面，又，所以平面， 如图，作垂足为H，则平面，， 因为，平面，所以平面， 所以是点G到平面的距离，也是直线到平面的距离， 即，因为，所以， ，解得，所以. 故当时，直线到平面的距离等于. （3）由（2）得，在中， 由余弦定理得，所以， 在中，由余弦定理得， 则， 因为平面，平面，所以， 又因为，所以， 又，，所以四边形是矩形， 则， ，， 故 . 5．（25-26高一下·浙江温州·期中）如图（1），已知平面五边形中，是边长为的正三角形，，，将和分别沿AC，AD向上翻折至，使得在面ACD的同侧，且二面角的平面角和二面角的平面角的大小都为． (1)如图（2），当时，求证：平面ACD； (2)设该五面体外接球的球心为，半径为． （i）当时，求到平面的距离； （ii）求的最小值． 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）；（ii） 【分析】（1）翻折前：过B，E分别作AC，AD的垂线，垂足分别为F，G，分别延长BF，EG交CD于点H，M，可得二面角的平面角和二面角的平面角分别为和，由可得，根据几何关系证明为平行四边形，结合线面平行的判定定理即可证明结论； （2）（i）取AC的中点，连接为的外心，过作交于点，设为该五面体的外接球球心，由对称性知，该五面体的外接球，即三棱锥的外接球且面，结合长度关系即可求解； （ii）由题可得面且，得到，利用化简，结合基本不等式即可求解. 【详解】（1）翻折前：过B，E分别作AC，AD的垂线，垂足分别为F，G，分别延长BF，EG交CD于点H，M 翻折后：如图所示，则二面角的平面角和二面角的平面角分别为和 因为，则平面平面ACD， 因此， 因为是边长为的正三角形，， 所以都是直角三角形， 由面积相等，得， 所以且， 所以四边形为平行四边形， 所以， 又平面平面ACD， 因此平面； （2）（i）取AC的中点，连接为的外心， 过作交于点， 因为为正三角形， 所以， 故二面角的平面角为， 设为该五面体的外接球球心，由对称性知，该五面体的外接球，即三棱锥的外接球则面， 则到平面的距离为， 由题可知， ， 所以， 因此到平面的距离为； （ii）二面角的平面角为， 面， ， 因此， 所以， 则， 故， ， 所以， 当且仅当，即时取等号， 因此的最小值为. 22 / 49 学科网（北京）股份有限公司 $