培优06 拓展专题之二：巧用极化恒等式解决平面向量问题5大题型（期末复习讲义）高一数学下学期人教A版

培优06 拓展专题之二 巧用极化恒等式解决平面向量问题（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 求向量数量积的定值 题型02 求向量数量积的最值范围--两向量共同的起点为动点 题型03 求向量数量积的最值范围--两向量终点均为动点 题型04 求向量数量积的最值范围--两向量的起点和终点均为动点 题型05 求参问题以及其它问题 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 极化恒等式求数量积 熟练掌握极化恒等式公式、几何意义，能将共起点向量的数量积转化为中线长与底边半长的关系 中等难度，是解决共起点数量积的利器，常与三角形中线结合考查，简化计算明显 极化恒等式求数量积的最值（范围） 用于数量积、模长、中点问题，快速将转化为模平方差，尤其适合三角形中线、向量数量积定值、最值题型. 最值与范围问题是平面向量的难点，常在期中期末压轴题中出现，综合考查代数变形与几何直观能力 知识点01 极化恒等式 1、平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和： 证明： ①， ②， 1 ②两式相加得： 从几何角度理解与记忆， 2、极化恒等式： ①②两式相减得极化恒等式： 从三角形的几何意义理解与记忆：极化恒等式表明，向量的数量积可以由向量的模来表示，可以建立起向量与几何长度之间的等量关系． 知识点02 极化恒等式中的转化思想 1、化动为定，破不定之惑 一般地，使用极化恒等式化解平面向量数量积问题具有较好的效果，但有些极化恒等式问题因涉及动点问题或运动变化等因素，使得问题的化解增加了难度，有时甚至会使极化恒等式的功效发挥不了，使解题者陷入困境．但若能将动态问题定态化处理，那么问题便可柳暗花明又一村． 【典例】已知的斜边的长为4，设是以为圆心，1为半径的圆上的任意一点，则的取值范围是（ ）． A．B．C．D． 【解析】如图所示，在上，不妨取的中点，则． 设圆的半径为，而，则： ． 因此的取值范围是． 2、化动为静，破多动点之惑 极化恒等式使用的难点是动点问题，而其中涉及多个动点问题则是难上加难，让许多学生束手无策，使平面向量问题的难度增加，因此寻求破解的方法和策略显得尤其重要．一般地，可以通过将动态问题静态化来处理，这样的策略可以使得多动点问题转化为少动点问题，通过这样类似的转化直至降到一个动点问题或定点问题，然后再采用“化动为定”的策略，问题便迎刃而解． 3、化曲为直，破最值之惑 极化恒等式问题的破解之中，有些问题涉及动点的运动状态是一个曲线状态或曲折状态，如果直接运用极化恒等式往往使学生无从下手，一筹莫展，而对这类问题突破的基本原则或策略应是“化曲为直”，主要是借助有关平面几何性质将“曲折问题”得以化解． 【典例】在中，，若点A、B分别在直角坐标系的两坐标轴上运动时，的最大值是_____________． 【解析】如图所示，不妨取的中点为M，的中点为N，则由极化恒等式可得，结合三角形边长关系（两边之和大于第三边），对于，答案为18． 4、化普通为特殊，破极限之惑 平面向量极化恒等式应用问题，如果涉及的几何图形具有一般性，那么这类问题就更有“拦路虎”功能．解题的一个重要策略是取问题极限状态或特殊位置法进行，极限状态问题的化解是解决一般性问题的特殊情况，当然也要验证特殊状态位置是运动状态的两个极限，否则就不一定成立． 【典例】在锐角中，已知，则的取值范围是____________． 【解析】如图，取的中点M，可得，应长度变化的极限位置是为直角三角形时的状态，而成为直角的可能有两种情况，即为直角和为直角．下面分两种情况进行分析：过点C作，垂足为，此时；过点C作，垂足为C，此时，， 因此，故取值范围是． 知识点03 极化恒等式的作用和使用范围 1、极化恒等式的作用： 建立了向量的数量积与几何长度(数量)之间的桥梁，实现向量与几何、代数之间的互相转化。 2、极化恒等式的适用范围： （1）共起点或共终点的两向量的数量积问题可直接进行转化； （2）不共起点和不共终点的数量积问题可通过向量的平移， 等价转化为共起点或共终点的两向量的数量积问题。 知识点04 极化恒等式使用方法 在确定求数量积的两个向量共起点或共终点的情况下，极化恒等式的一般步骤如下： 第一步：取第三边的中点，连接向量的起点与中点； 第二步：利用极化恒等式公式，将数量积转化为中线长与第三边长的一半的平方差； 第三步：利用平面几何方法或用正余弦定理求中线及第三边的长度，从而求出数量积， 如需进一步求数量积范围，可以用点到直线的距离最小 或用三角形两边之和大于等于第三边，两边之差小于第三边 或用基本不等式等求得中线长的最值(范围). 题型一 极化恒等式求数量积 答｜题｜模｜板 从极化恒等式的几何意义可知，向量的数量积可以由向量的模来表示，它等于中线的平方减去第三边一半的平方。 【典例1-1】（25-26高三上·山东潍坊·开学考试）如图，在中，，为中点，点在上，，，，则（    ）   A． B． C． D． 【典例1-2】（24-25高一下·吉林·期末）已知在边长为2的等边所在平面内，有一点满足，则等于（    ）． A．1 B． C． D． 【变式1-1】（25-26高三·湖南长沙·阶段练习）已知在中，是中点，，，则（    ） A． B．16 C． D．8 【变式1-2在中，是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点（其中点E靠近点)，且，，则的值是 ． 题型二 求向量数量积的最值范围--两向量共同的起点为动点 答｜题｜模｜板 1.找出两个定点A、B，算出|AB| 2.取AB的中点M，化 3.根据动点P的轨迹求|PM|的最值 4.代入公式算出数量积的范围 【典例2-1】（2025·天津津南·模拟预测）如图，在四边形ABCD中，M为AB的中点，且，．若点N在线段CD（端点除外）上运动，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典例2-2】（24-25高一下·广东深圳·期中）如图，已知正方形的边长为4，若动点在以为直径的半圆上（正方形内部，含边界），则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】已知是长为2的等边三角形,为平面内一点,则的最小值是_____ 【变式2-2】（2025高一·全国·专题练习）如图，在边长为1的正方形中，是以为圆心，为半径的圆弧（在正方形内，包括边界点）上的任意一点，则的取值范围是______． 题型三 求向量数量积的最值范围--两向量终点均为动点 答｜题｜模｜板 1. 锁定固定起点，设出两动点向量. 2. 代入极化恒等式变形为中点距离-线段长度的形式. 3. 根据动点轨迹确定中点、两点间的距离的取值范围. 4. 平方和代入公式算出数量积的取值范围。 【典例3-1】（25-26高三上·全国·月考）已知圆与圆的半径分别为3和1，圆与圆内切沿着圆周滚动如图所示，是圆的任意直径，则（    ）   A．1 B．3 C．5 D．8 【典例3-2】（24-25高一下·重庆沙坪坝·期中）边长为1的正六边形内有一内切圆，是内切圆的直径，点为正六边形六条边上的动点，则的取值范围为（    ） A． B．C． D． 【变式3-1】如图直角梯形中，是边上长为的可移动的线段，，，，则的最小值为，最大值为.___   【变式3-2】如图，在边长为2的正方形ABCD中，其对称中心O平分线段MN，且，点E为DC的中点，则（ ） A． B． C． D． 题型四 求向量数量积的最值范围--两向量的起点和终点均为动点 答｜题｜模｜板 1. 设出动点对应向量，将所求数量积列式. 2. 运用极化恒等式转化为和向量、差向量模长的形式. 3. 根据动点轨迹确定模长的上下限. 4. 求出数量积的取值范围。 【典例4】窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一．每年新春佳节，我国许多地区的人们都有贴窗花的习俗，以此达到装点环境、渲染气氛的目的，并寄托着辞旧迎新、接福纳祥的愿望．图一是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，已知图二中正六边形的边长为，圆的圆心为正六边形的中心，半径为，若点在正六边形的边上运动，为圆的直径，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式4】边长为的正方形内有一内切圆，是内切圆的一条弦，点为正方形四条边上的动点，当弦的长度最大时，的取值范围是 . 题型五 求参问题以及其它问题 答｜题｜模｜板 1. 找点定中点 找出数量积对应的两个定点，作出线段中点，计算定线段长度。 2. 套极化公式 将向量数量积转化为动点到中点距离平方减去定值。 3. 分析距离最值 根据动点轨迹（圆/直线/线段），用圆心距、点到直线距离写出距离的最值。 4. 结合题干条件列式 根据已知最值、恒成立、存在性、具体数值列方程或不等式。 5. 求解参数 解方程/不等式，舍去不合理解，写出最终答案。 【典例5-1】在中，，为钝角，M，N是边AB上的两个动点，且，若的最小值为3，则_________． 【典例5-2】已知正方形的边长为4，点，分别为，的中点，如果对于常数，在正方形的四条边上，有且只有8个不同的点，使得成立，那么的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式5-1】设三角形ABC，P0是边AB上的一定点，满足P0B=AB，且对于边AB上任一点P，恒有，则三角形ABC形状为___________. 【变式5-2】设点P为正三角形△ABC的边BC上的一个动点，当取得最小值时，的值为 . 期末基础通关练（测试时间：15分钟） 1．（24-25高一下江苏宿迁期中）图中正方形的边长为2，圆的半径为5，正方形的中心与圆的圆心重合，动点在圆上，则的值为（   ） A．23 B．29 C．21 D．24 2.（2026高三·全国·专题练习）已知AB为圆O的直径，M为圆O的弦CD上一动点，，则的取值可以是（   ） A． B． C．0 D．4 3．（25-26高一下·全国·课堂例题）已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 4.如图，在平行四边形中，，点分别是边上的中点，则 A． B． C． D． 5．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期中）《哪吒》的玉虚宫，形态由九宫八卦阵演变而来，设计灵感来源于汉代，内饰充满了中国文化符号．我校高一数学实践小组将玉虚宫轮廓抽象为正八边形，结合向量知识进行主题探究活动．如图，正八边形，边长为，点为线段上的动点，则的最大值为________ ． 期末重难突破练（测试时间：15分钟） 1.（2025高一·全国·专题练习）已知正内接于半径为2的圆，为线段上一动点，延长，交圆于点，则的取值范围为 ． 2.（25-26高一下·湖南长沙·开学考试）设Q是线段的中点，P是直线外一点.A，B为线段上的两点，，且， ，，则（    ） A． B． C． D． 3.（2026高一全国专题练习）设是所在平面内的一点，若，则的最小值为________． 4.（25-26高三上·辽宁大连·期中）已知在中，，若的最小值是，则对于内的任意一点，的最小值是___________． 5.如图,在中,已知,点分別在边上, 且,若为的中点,则的值为________ 期末综合拓展练（测试时间：30分钟） 1.向量的数量积可以表示为：以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的四分之一.即如图所示：，我们称为极化恒等式.在△中，是中点，，，则（    ） A．32 B．-32 C．16 D．-16 2.已知正三角形的边长为2，动点满足，则的最小值为（） A．B．C．D． 3.圆的直径弦，点在弦上，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 4.四边形为菱形，，，是菱形所在平面的任意一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 5.如图，在中，点是线段上一动点.若以为圆心､半径为1的圆与线段交于两点，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6.如图,已知是圆的直径,长为是圆上异于的一点,是圆所在平面上的任意一点,则的最小值为 . 7.已知是长为2的等边三角形,为平面内一点,则的最小值是____ 8.在面积为2的平行四边形中，点P为直线上的动点，则的最小值是_______． 9.四边形为菱形，，，是菱形所在平面的任意一点，则的最小值为________. 10.设锐角的面积为1,边的中点分别为为线段上的动点,则的最小值为_______ 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 培优06 拓展专题02 巧用极化恒等式解决平面向量问题（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 求向量数量积的定值 题型02 求向量数量积的最值范围--两向量共同的起点为动点 题型03 求向量数量积的最值范围--两向量终点均为动点 题型04 求向量数量积的最值范围--两向量的起点和终点均为动点 题型05 求参问题以及其它问题 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 极化恒等式求数量积 熟练掌握极化恒等式公式、几何意义，能将共起点向量的数量积转化为中线长与底边半长的关系 中等难度，是解决共起点数量积的利器，常与三角形中线结合考查，简化计算明显 极化恒等式求数量积的最值（范围） 用于数量积、模长、中点问题，快速将转化为模平方差，尤其适合三角形中线、向量数量积定值、最值题型. 最值与范围问题是平面向量的难点，常在期中期末压轴题中出现，综合考查代数变形与几何直观能力 知识点01 极化恒等式 1、平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和： 证明： ①， ②， 1 ②两式相加得： 从几何角度理解与记忆， 2、极化恒等式： ①②两式相减得极化恒等式： 从三角形的几何意义理解与记忆：极化恒等式表明，向量的数量积可以由向量的模来表示，可以建立起向量与几何长度之间的等量关系． 知识点02 极化恒等式中的转化思想 1、化动为定，破不定之惑 一般地，使用极化恒等式化解平面向量数量积问题具有较好的效果，但有些极化恒等式问题因涉及动点问题或运动变化等因素，使得问题的化解增加了难度，有时甚至会使极化恒等式的功效发挥不了，使解题者陷入困境．但若能将动态问题定态化处理，那么问题便可柳暗花明又一村． 【典例】已知的斜边的长为4，设是以为圆心，1为半径的圆上的任意一点，则的取值范围是（ ）． A．B．C．D． 【解析】如图所示，在上，不妨取的中点，则． 设圆的半径为，而，则： ． 因此的取值范围是． 2、化动为静，破多动点之惑 极化恒等式使用的难点是动点问题，而其中涉及多个动点问题则是难上加难，让许多学生束手无策，使平面向量问题的难度增加，因此寻求破解的方法和策略显得尤其重要．一般地，可以通过将动态问题静态化来处理，这样的策略可以使得多动点问题转化为少动点问题，通过这样类似的转化直至降到一个动点问题或定点问题，然后再采用“化动为定”的策略，问题便迎刃而解． 3、化曲为直，破最值之惑 极化恒等式问题的破解之中，有些问题涉及动点的运动状态是一个曲线状态或曲折状态，如果直接运用极化恒等式往往使学生无从下手，一筹莫展，而对这类问题突破的基本原则或策略应是“化曲为直”，主要是借助有关平面几何性质将“曲折问题”得以化解． 【典例】在中，，若点A、B分别在直角坐标系的两坐标轴上运动时，的最大值是_____________． 【解析】如图所示，不妨取的中点为M，的中点为N，则由极化恒等式可得，结合三角形边长关系（两边之和大于第三边），对于，答案为18． 4、化普通为特殊，破极限之惑 平面向量极化恒等式应用问题，如果涉及的几何图形具有一般性，那么这类问题就更有“拦路虎”功能．解题的一个重要策略是取问题极限状态或特殊位置法进行，极限状态问题的化解是解决一般性问题的特殊情况，当然也要验证特殊状态位置是运动状态的两个极限，否则就不一定成立． 【典例】在锐角中，已知，则的取值范围是____________． 【解析】如图，取的中点M，可得，应长度变化的极限位置是为直角三角形时的状态，而成为直角的可能有两种情况，即为直角和为直角．下面分两种情况进行分析：过点C作，垂足为，此时；过点C作，垂足为C，此时，， 因此，故取值范围是． 知识点03 极化恒等式的作用和使用范围 1、极化恒等式的作用： 建立了向量的数量积与几何长度(数量)之间的桥梁，实现向量与几何、代数之间的互相转化。 2、极化恒等式的适用范围： （1）共起点或共终点的两向量的数量积问题可直接进行转化； （2）不共起点和不共终点的数量积问题可通过向量的平移， 等价转化为共起点或共终点的两向量的数量积问题。 知识点04 极化恒等式使用方法 在确定求数量积的两个向量共起点或共终点的情况下，极化恒等式的一般步骤如下： 第一步：取第三边的中点，连接向量的起点与中点； 第二步：利用极化恒等式公式，将数量积转化为中线长与第三边长的一半的平方差； 第三步：利用平面几何方法或用正余弦定理求中线及第三边的长度，从而求出数量积， 如需进一步求数量积范围，可以用点到直线的距离最小 或用三角形两边之和大于等于第三边，两边之差小于第三边 或用基本不等式等求得中线长的最值(范围). 题型一 极化恒等式求数量积 答｜题｜模｜板 从极化恒等式的几何意义可知，向量的数量积可以由向量的模来表示，它等于中线的平方减去第三边一半的平方。 【典例1-1】（25-26高三上·山东潍坊·开学考试）如图，在中，，为中点，点在上，，，，则（    ）   A． B． C． D． 【答案】B 【解法：】在中，，，， 所以，则, 因为，又，由极化恒等式可得， . 故选：B. 【典例1-2】（24-25高一下·吉林·期末）已知在边长为2的等边所在平面内，有一点满足，则等于（    ）． A．1 B． C． D． 【答案】B 【解析】解：设的中点为D，则． 因为， 所以． 因为等边的边长为2， 则，所以． 所以． 故选：B. 【变式1-1】（25-26高三·湖南长沙·阶段练习）已知在中，是中点，，，则（    ） A． B．16 C． D．8 【答案】A 【分析】可以把三角形补形为平行四边形，,利用已知条件求解即可. 【解答】由题设，可以补形为平行四边形， 由已知得 ． 故选：A． 【变式1-2】在中，是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点（其中点E靠近点)，且，，则的值是 ． 【答案】 【解析】由题意，在中，是BC的中点， ， ∴ ∵，是AD上的两个三等分点（其中点E靠近点)， ∴，， ∴解得∴． 故答案为：. 题型二 求向量数量积的最值范围--两向量共同的起点为动点 【典例2-1】（2025·天津津南·模拟预测）如图，在四边形ABCD中，M为AB的中点，且，．若点N在线段CD（端点除外）上运动，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，求出的范围，再利用向量线性运算及数量积运算律求解作答. 【解答】连接，如图，点N在线段CD（端点除外）上运动，    因为，即是正三角形，于是，而M为AB的中点，且， 所以. 故选：A. 【典例2-2】（24-25高一下·广东深圳·期中）如图，已知正方形的边长为4，若动点在以为直径的半圆上（正方形内部，含边界），则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】取的中点，连接，如图所示， 所以的取值范围是，即， 又由，所以. 故选：B. 【变式2-1】已知是长为2的等边三角形,为平面内一点,则的最小值是 【解析】设点为中点,则, 设中点为,连接, 则, 由极化恒等式得, 在中,, 可得, 所以当时,的最小值为, 因此的最小值为.故选B. 【变式2-2】（2025高一·全国·专题练习）如图，在边长为1的正方形中，是以为圆心，为半径的圆弧（在正方形内，包括边界点）上的任意一点，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】如图，取的中点，， 而，所以． 故答案为： 题型三 求向量数量积的最值范围--两向量终点均为动点 【典例3-1】（25-26高三上·全国·月考）已知圆与圆的半径分别为3和1，圆与圆内切沿着圆周滚动如图所示，是圆的任意直径，则（    ）   A．1 B．3 C．5 D．8 【答案】B 【解析】. 故选：. 【典例3-2】（24-25高一下·重庆沙坪坝·期中）边长为1的正六边形内有一内切圆，是内切圆的直径，点为正六边形六条边上的动点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设正六边形内切圆圆心为， 由题意可知内切圆半径为，， 又因为，所以的取值范围为． 故选：C． 【变式3-1】如图直角梯形中，是边上长为的可移动的线段，，，，则的最小值为，最大值为.  【答案】99；148 【解析】在上取一点，使得，取的中点，连接,，如图所示： 则,，，，即， ， 当时，取得最小值，此时，所以. 当与重合时，，，则， 当与重合时，，，则， 所以， 故答案为：99；148. 【变式3-2】如图，在边长为2的正方形ABCD中，其对称中心O平分线段MN，且，点E为DC的中点，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】.由极化恒等式可得：.故选：A 题型四 求向量数量积的最值范围--两向量的起点和终点均为动点 【典例4】窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一．每年新春佳节，我国许多地区的人们都有贴窗花的习俗，以此达到装点环境、渲染气氛的目的，并寄托着辞旧迎新、接福纳祥的愿望．图一是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，已知图二中正六边形的边长为，圆的圆心为正六边形的中心，半径为，若点在正六边形的边上运动，为圆的直径，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如下图所示，由正六边形的几何性质可知，、、、、、均为边长为的等边三角形， 当点位于正六边形的顶点时，取最大值， 当点为正六边形各边的中点时，取最小值，即， 所以，. 所以，. 故答案为：. 【变式4】边长为的正方形内有一内切圆，是内切圆的一条弦，点为正方形四条边上的动点，当弦的长度最大时，的取值范围是 . 【答案】 【解析】如下图所示： 设正方形的内切圆为圆，当弦的长度最大时，为圆的一条直径， ， 当为正方形的某边的中点时，， 当与正方形的顶点重合时，，即， 因此，. 故答案为：. 题型五 求参问题以及其它问题 【典例5-1】在中，，为钝角，M，N是边AB上的两个动点，且，若的最小值为3，则_________． 【答案】 【解析】取线段MN的中点P，连接CP，过C作于O，如图，， 依题意，， 因的最小值为3，则的最小值为2，因此， 在中，，，在中，，， 所以. 故答案为： 【典例5-2】已知正方形的边长为4，点，分别为，的中点，如果对于常数，在正方形的四条边上，有且只有8个不同的点，使得成立，那么的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图所示,设的中点为,则,两式平方相减，所以（可由计划恒等是直接得出）， 即，所以,由对称性可知每个边上存在两个点，所以点在边的中点和顶点之间，故,解得，故选:D 【变式5-1】设三角形ABC，P0是边AB上的一定点，满足P0B=AB，且对于边AB上任一点P，恒有，则三角形ABC形状为___________. 【答案】C为顶角的等腰三角形 【解析】取BC的中点D，连接PD，P0D，如图所示： ，同理，， ，设O为AB的中点， 即三角形ABC为以C为顶角的等腰三角形. 故答案为：C为顶角的等腰三角形． 【变式5-2】设点P为正三角形△ABC的边BC上的一个动点，当取得最小值时，的值为 . 【答案】 【解析】取边的中点为，连接线段，设正三角形的边长为 则， 则当取最小值时，也取最小值， 又，此时，点在上靠近的四等分点， 在中，由余弦定理， 可得， 由正弦定理可得：. 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25高一下江苏宿迁期中）图中正方形的边长为2，圆的半径为5，正方形的中心与圆的圆心重合，动点在圆上，则的值为（   ） A．23 B．29 C．21 D．24 【答案】A 【解析】因为正方形的中心与圆的圆心重合，所以是的中点， 又正方形的边长为2，所以，所以， 所以 . 故选：A. 2.（2026高三·全国·专题练习）已知AB为圆O的直径，M为圆O的弦CD上一动点，，则的取值可以是（   ） A． B． C．0 D．4 【答案】ABC 【解答】如图，则， 设弦的中点为，则， 由圆的性质知，则， 的取值范围是． 故选：ABC    3．（25-26高一下·全国·课堂例题）已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】（为的中点）， 则，要使最小， 则，的方向相反，即点在线段上， 则，即求的最大值， 因为， 所以， 当且仅当，即是的中点时，取等号． 故． 故选：B． 4.如图，在平行四边形中，，点分别是边上的中点，则 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】取HF中点O，则,，因此，选A. 5．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期中）《哪吒》的玉虚宫，形态由九宫八卦阵演变而来，设计灵感来源于汉代，内饰充满了中国文化符号．我校高一数学实践小组将玉虚宫轮廓抽象为正八边形，结合向量知识进行主题探究活动．如图，正八边形，边长为，点为线段上的动点，则的最大值为________ ． 【答案】1 【解析】（极化恒等式）取中点，连接， 由极化恒等式知，， 因为为定长，所以当最小，即点为中的时，取的最大值， 此时. 所以当时，的最大值为1. 故答案为：1 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1.（2025高一·全国·专题练习）已知正内接于半径为2的圆，为线段上一动点，延长，交圆于点，则的取值范围为 ． 【答案】 【解析】如图，取中点为，连结． 由条件可知， ． 因为点在劣弧上，当点在点处时取最小值，当点在点处时取最大值， 所以，所以． 故答案为： 2.（25-26高一下·湖南长沙·开学考试）设Q是线段的中点，P是直线外一点.A，B为线段上的两点，，且， ，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 ； ； 联立可得. 设，. 则. 因为，所以，解得. 所以，点是上靠近点的三等分点， 所以； 3.（2026高一全国专题练习）设是所在平面内的一点，若，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 因为 如图所示设中点为，则， 所以； 设中点为, 当且仅当，即点与点重合时，有最小值. 故答案为：. 4.（25-26高三上·辽宁大连·期中）已知在中，，若的最小值是，则对于内的任意一点，的最小值是___________． 【答案】. 【解析】， ，的最小值为， 的最小值为到的距离，到的距离为， 取的中点，连接， ，，，   ，，， 取中点，则，，，， ， 是内的任意一点，，，的最小值为. 故答案为：. 5.如图,在中,已知,点分別在边上, 且,若为的中点,则的值为________ 【答案】4 【解析】取的中点,连接,则, 在中,, 期末综合拓展练（测试时间：30分钟） 1.向量的数量积可以表示为：以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的四分之一.即如图所示：，我们称为极化恒等式.在△中，是中点，，，则（    ） A．32 B．-32 C．16 D．-16 【答案】D 【解析】由题设，，， . 故选：D 2.已知正三角形的边长为2，动点满足，则的最小值为（） A．B．C．D． 【答案】C 【解析】因为动点满足， 所以点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，如下图所示： 设为的中点， 则； 所以当取最小值时，取得最小值； ， 所以.故选：C 3.圆的直径弦，点在弦上，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意可得， ， 为使最小，只需，根据圆的性质可得，此时为中点时， 又，因此， 所以的最小值为. 故选：D. 4.四边形为菱形，，，是菱形所在平面的任意一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意，四边形为菱形，，可得， 在中，由余弦定理得到， 连接和交于点，则点为的中点， 连接，，，则，， 所以． 故选：B. 5.如图，在中，点是线段上一动点.若以为圆心､半径为1的圆与线段交于两点，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】由题意，，且，， 所以，， 所以， 易知，当时，最小， 所以，即，解得， 故的最小值为． 故选：B． 6.如图,已知是圆的直径,长为是圆上异于的一点,是圆所在平面上的任意一点,则的最小值为. 【答案】 【解析】由题意可知, 则, 取中点,连接, 由极化恒等式得, 又,可得的最小值为. 7.已知是长为2的等边三角形,为平面内一点,则的最小值是____ 【答案】 【解析】设点为中点,则, 设中点为,连接, 则, 由极化恒等式得, 在中,, 可得, 所以当时,的最小值为, 因此的最小值为. 8.在面积为2的平行四边形中，点P为直线上的动点，则的最小值是_______． 【解析】取的中点O，作交于点H 则． 如图所示，当点P运动到点H且使与时，等号成立，故有最小值为． 9.四边形为菱形，，，是菱形所在平面的任意一点，则的最小值为________. 【答案】 【解析】由题设，，取的中点，连接，，， 则，， 所以. 10.设锐角的面积为1,边的中点分别为为线段上的动点,则的最小值为_______ 解：如图所示,取的中点为点到的距离, 由极化恒等式,, , 则 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $