第22讲互斥事件和独立事件（知识清单+6题型讲解举一反三+强化训练）【满分全攻略备考系列】-2025-2026学年高一下学期数学苏教版必修第二册重难点讲义与测

第22讲 互斥事件和独立事件 知识清单 知识点01：互斥事件 知识点02：对立事件 知识点03：随机事件概率的常用性质 知识点04：相互独立事件 知识点05：互斥事件、对立事件、相互独立事件的判断 知识点06：求复杂事件的概率 题型讲解 （举一反三） 题型1：判断所给事件是否是互斥关系 题型2：互斥事件的概率加法公式 题型3：利用互斥事件的概率公式求概率 题型4：利用对立事件的概率公式求概率 题型5：独立事件的判断 题型6：独立事件的乘法公式 强化训练 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 知识点1、互斥事件 1. 互斥事件的定义 在一次随机试验中，事件A与B不可能同时发生，这时，我们称A，B为互斥事件. 2. 概率的加法公式 如果事件A，B互斥，那么事件A+B发生的概率，等于事件A，B分别发生的概率的和，即P(A+B)=P(A)+P(B). 这是概率满足的第三个基本性质(亦称概率的加法公式). 3. 概率加法公式的推广 　　如果事件A1，A2，…，An(n∈N，n>2)中任何两个事件都是互斥事件，那么称事件 A1，A2，…，An两两互斥. 如果事件A1，A2，…，An两两互斥，那么P(A1+A2+…+An)=P(A1)+ P(A2)+…+P(An). 知识点2、对立事件 若互斥事件A，C中必有一个发生，这时，我们称A，C为对立事件，记作C=或A=. 对立事件A与必有一个发生，故A+是必然事件. 知识点3、随机事件概率的常用性质 1. P()=1-P(A)； 2. 当A⊆B时，P(A)≤P(B)； 3. 当A，B不互斥时，P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB). 知识点4、相互独立事件 1. 相互独立事件的定义 　　一般地，对于两个随机事件A，B，如果P(AB)=P(A) P(B)，那么称A，B为相互独立事件. 2. 重要结论 (1)若A，B相互独立，则)，B相互独立. (2)独立事件可以推广到n个事件的情形(n∈N，n>2). 一般地，如果事件A1，A2，…，An相互独立，那么P(A1A2…An)=P(A1)·P(A2)…P(An). 知识点5、互斥事件、对立事件、相互独立事件的判断 1. 互斥事件与对立事件 (1)从公式的角度看 ①互斥事件是不可能同时发生的两个事件，如果事件A，B互斥， 那么P(A∪B)=P(A)+P(B). ②对立事件是必有一个发生的互斥事件，事件A的对立事件通常记作， 有P(A)+P()=P(A∪)=1. (2)从发生的角度看 ①在一次试验中，两个互斥事件有可能都不发生，也可能仅有一个发生，但不可能 同时发生. ②两个对立事件必有一个发生，但不可能同时发生. ③两事件对立必定互斥，但互斥未必对立，对立事件是互斥事件的一个特例. (3)从事件个数的角度看 互斥的概念适用于两个或多个事件，对立的概念只适用于两个事件. (4)从集合的角度看 设事件A与B所含的结果组成的集合分别是X，Y，I为全集. 事件A与B互斥，即集合X∩Y=⌀；事件A与B对立，即集合X∩Y=⌀，且X∪Y=I，也即X=∁IY或Y=∁IX. (5)从应用的角度看 ①互斥事件可以解决的问题比较广泛，一般只要事件A，B满足A∩B=⌀，就可以用互斥事件的性质加以解决. ②对立事件解决的问题主要有两类：一是含有否定意义或含有“至多”“至少”等词语的问题；二是直接求解困难的问题. 2. 判断相互独立事件的方法 (1)直接法：直接判断一个事件发生与否是不是影响另一个事件发生的概率. (2)定义法：判断P(AB)=P(A)P(B)是否成立. (3)转化法：由判断事件A与事件B是否相互独立，转化为判断A与或与B或与 是否相互独立. 知识点6、求复杂事件的概率 1. 已知简单事件的概率求复杂事件的概率的一般步骤 (1)事件表示：将已知概率的事件、要求概率的事件用适当的字母表示； (2)事件运算：将已知概率的事件进行适当的运算得到要求概率的事件； (3)求概率：利用互斥事件、对立事件、相互独立事件的概率公式求相关概率. 当将一个较复杂的事件转化为几个互斥事件的和事件分类较多，而其对立面的分类较少时，考虑利用对立事件的概率公式，即“正难则反”的思想来求解. 它常用来求“至少”“至多”等事件的概率. 2. 事件A，B发生的概率分别为P(A)，P(B)，我们有如下结论： 事件 表示 概率(A，B互斥) 概率(A，B相互独立) A，B中至少有一个发生 P(A∪B) P(A)+P(B) 1-P()P()或 P(A)+P(B)-P(AB) A，B都发生 P(AB) 0 P(A)P(B) A，B都不发生 P() 1-[P(A)+P(B)] P()P() A，B恰有一个发生 P(A ∪B) P(A)+P(B) P(A)P()+P()P(B) A，B中至多有一个发生 P( ∪A∪B) 1 1-P(A)P(B) 题型1：判断所给事件是否是互斥关系 【例1-1】（25-26高一下·全国·单元测试）至少3个人站成一排，其中为互斥事件的是（   ） A．“甲站排头”与“乙站排头” B．“甲站排头”与“乙不站排尾” C．“甲站排头”与“乙站排尾” D．“甲不站排头”与“乙不站排尾” 【答案】A 【分析】根据互斥事件的定义判断. 【详解】由互斥事件的定义知，“甲站排头”与“乙站排头”不能同时发生，是互斥事件． 其他选项对应的事件均可同时发生， 故选：A 【变式1-1】（24-25高一下·吉林长春·期末）从装有除颜色外其他完全相同的个红球（编号为、）和个白球（编号为、）的口袋内任取个球，则互斥且不对立的两个随机事件是（   ） A．至少有个白球，都是白球 B．至少有个白球，至少有个红球 C．恰有个白球，恰有个白球 D．至少有个白球，都是红球 【答案】C 【分析】利用互斥事件和对立事件的定义逐项判断即可. 【详解】从口袋中任取个球，所有的情况有：个红球、个红球个白球、个白球， 对于A选项，至少有个白球包含：个红球个白球、个白球， A选项中的两个事件不是互斥事件； 对于B选项，至少有个红球包含：个红球、个红球个白球， B选项中的两个事件的交事件为：个红球个白球， 故B选项中的两个事件不是互斥事件； 对于C选项，恰有个白球，恰有个白球，这两个事件是互斥且不对立； 对于D选项，至少有个白球，都是红球，这两个事件为对立事件. 故选：C. 【变式1-2】（24-25高一下·河北邯郸·期末）某学校实验室培育红豆与绿豆种子各三颗，若每颗种子是否发芽是随机的，则下列各组事件中，是互斥事件的是（   ） A．“恰有一颗红豆种子不发芽”与“至多两颗红豆种子不发芽” B．“恰有四颗种子发芽”与“至少两颗红豆种子、两颗绿豆种子发芽” C．“至少五颗种子发芽”与“至多一颗绿豆种子发芽” D．“恰有两颗红豆种子发芽”与“恰有一颗绿豆种子发芽” 【答案】C 【分析】根据互斥事件的概念逐一判断即可. 【详解】对A，可以同时发生“有一颗红豆种子不发芽”，故不是互斥事件； 对B，可以同时发生“两颗红豆种子、两颗绿豆种子发芽” ，故不是互斥事件； 对C，“至少五颗种子发芽”，则至少有2颗绿豆种子发芽，“至多一颗绿豆种子发芽”不会同时发生，则是互斥事件； 对D，可以同时发生，“两颗红豆种子发芽，一颗绿豆种子发芽”，故不是互斥事件. 故选：C 【变式1-3】已知事件与互斥．判断与的关系，以及与的关系． 【答案】， 【分析】根据互斥事件的定义得解. 【详解】因为事件与互斥， 所以，. 题型2：互斥事件的概率加法公式 【例2-1】（25-26高一上·江西赣州·期末）设、两个随机事件为互斥事件，发生的概率均不等于，若，，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据概率的性质以及互斥事件的概率公式可得出关于实数的不等式组，由此可解得的取值范围. 【详解】因为、两个随机事件为互斥事件，发生的概率均不等于，若，， 由题意可得，解得， 由互斥事件的概率公式可得， 由题意可得，解得， 故的取值范围是. 故选：A. 【变式2-1】（25-26高一上·辽宁锦州·期末）某社区为了更好地开展便民服务，对一周内居民办理业务所需要的时间进行统计，结果如下表.假设居民办理业务所需要的时间相互独立，且都是整数分钟.在某一天，第三位居民来到社区时第一位居民恰好开始办理业务，则他等待4分钟才开始办理业务的概率为（   ） 办理业务所需要的时间（分） 1 2 3 4 5 频率 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 A．0.04 B．0.08 C．0.12 D．0.16 【答案】C 【分析】根据互斥事件的概率性质可求等待4分钟才开始办理业务的概率. 【详解】若第一位居民办理业务需分钟，第二位居民办理业务需分钟， 则概率为； 若第一位居民办理业务需分钟，第二位居民办理业务需分钟， 则概率为； 若第一位居民办理业务需分钟，第二位居民办理业务需分钟， 则概率为； 故第三位居民办理业务等待4分钟的概率为. 故选：C. 【变式2-2】（24-25高一下·江苏无锡·期末）已知，，，则___________． 【答案】0.6/ 【分析】由，可得的概率，然后用和事件的概率公式计算即可. 【详解】由，可得，所以， 所以. 故答案为：0.6 【变式2-3】一名射击运动员在一次射击中射中10环、9环、8环、7环，7环以下的概率分别为.求射中环数小于8环的概率． 【答案】0.29 【分析】根据互斥事件的知识求得正确答案. 【详解】事件“射中环数小于8环”包含事件D“射中7环”与事件E“射中7环以下”两个事件， 则P(射中环数小于8环). 题型3：利用互斥事件的概率公式求概率 【例3-1】（24-25高一下·江苏淮安·期末）已知，，若，互斥，则（    ） A．0.36 B．0.54 C．0.6 D．0.9 【答案】D 【分析】根据，互斥，，求解即可. 【详解】因为，互斥，所以，， 故， 故选：D. 【变式3-1】已知事件，互斥，若，.则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由互斥事件并事件概率的加法公式求解. 【详解】由于事件，互斥， 则， 所以，选项A正确. 故选：A 【变式3-2】已知事件两两互斥，若，，，则（ ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据互斥事件定义、并事件概率公式直接求解即可. 【详解】两两互斥，， ，， . 故选：B. 【变式3-3】（24-25高一下·江苏无锡·月考）某商场开展20周年店庆购物抽奖活动（100%中奖），凡购物满500元的顾客均可参加该活动，活动方式是在电脑上设置一个包含1，2，3，4，5，6的6个数字编号的滚动盘，随机按下启动键后，滚动盘上的数字开始滚动，当停止时滚动盘上出现一个数字，若该数字是大于5的数，则获得一等奖，奖金为150元；若该数字是小于4的奇数，则获得二等奖，奖金为100元；若该数字出现其它情况，则获得三等奖，奖金为50元.现某顾客依次操作两次，则该顾客奖金之和为200元的概率为___________. 【答案】 【分析】根据古典概型，分情况计算求解. 【详解】由题意得，抽奖两次滚动盘上出现两个数字的情况为，，共36种情况， 两次抽奖奖金之和为200元包括三种情况： ①第一次与第二次都中二等奖，其包含的情况为，概率为； ②第一次中一等奖，第二次中三等奖，其包含的情况为，概率为； ③第一次中三等奖，第二次中一等奖，其包含的情况为，概率为， 所以该顾客两次抽奖后获得奖金之和为200元的概率为. 故答案为：. 题型4：利用对立事件的概率公式求概率 【例4-1】（24-25高一下·江苏常州·期末）已知事件互斥，它们都不发生的概率为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据互斥事件，对立事件的概率关系即可计算求解. 【详解】由事件互斥，且都不发生为，则， 又，所以，解得，， 所以. 故选：C. 【变式4-1】从m名男生和n名女生中任选3人去参加演讲比赛，所选3人中至少有1名女生的概率为，那么所选3人都是男生的概率为______. 【答案】/0.2 【分析】利用对立事件的概率公式计算即可得出结论. 【详解】解析　设事件A表示“所选3人中至少有1名女生”，事件B表示“所选3人都为男生”，则A，B互为对立事件，所以. 故答案为：. 【变式4-2】若事件A、B是对立事件，则______. 【答案】1 【分析】利用对立事件的概率公式即可得解. 【详解】因为事件A、B是对立事件， 所以. 故答案为：. 【变式4-3】（24-25高一下·江苏镇江·期末）甲、乙两人组成小队参加数学趣味谜题竞猜活动，每轮活动由甲、乙各猜一个谜题，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为．在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也相互不影响，该小队共参加了两轮活动． (1)求小队猜对3个谜题的概率； (2)求甲猜对谜题数量大于乙猜对谜题数量的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】分类讨论，根据互斥事件以及对立事件的概率公式，即可求解（1）（2）． 【详解】（1）小队猜对3个谜题共有2种情况，①甲队猜对2个，乙队猜对1个；②甲队猜对1个，乙队猜对2个， 所以小队猜对3个谜题的概率为． （2）甲猜对谜题数量大于乙猜对谜题数量的情况有： ①甲猜对1个，乙猜对0个；②甲猜对2个，乙猜对1个；③甲猜对2个，乙猜对0个； 所以甲猜对谜题数量大于乙猜对谜题数量的概率为 题型5： 独立事件的判断 【例5-1】（24-25高一上·江苏·暑假作业）若，，，则事件与的关系是（    ） A．事件与互斥但不对立 B．事件与对立 C．事件与相互独立 D．事件与既互斥又相互独立 【答案】C 【分析】利用互斥事件、对立事件、相互独立事件的知识，求出，得到，从而得到事件与是相互独立事件． 【详解】，， ， 事件与是相互独立事件． 故选：C． 【变式5-1】（24-25高一下·江苏徐州·期末）已知一个古典概型的样本空间Ω和事件A，B，满足，，，，则（    ） A．A，B相互独立 B．A，B互斥 C． D． 【答案】C 【分析】根据古典概型的概率计算，由互斥事件、独立事件以及对立事件的概率公式，可得答案. 【详解】由题意可得，，， 由，则，故C正确，B错误； 由，则事件不是相互独立的，故A错误； 由，则D错误. 故选：C. 【变式5-2】（24-25高一下·江苏泰州·期末）连续抛掷一颗质地均匀的正方体骰子两次（正方体六个面上的点数分别为），记录抛掷结果向上的点数.设事件：第一次点数为1，事件：两次点数之和为，若事件与事件互斥，则的最小值为__________；若事件与事件相互独立，则的值为__________. 【答案】 8 7 【分析】根据互斥事件和独立事件的概念可解. 【详解】因为事件与事件互斥，所以它们不能同时发生， 所以两次点数之和为至少为8，才能保证第一次点数不为1， 所以的最小值为8； 因为事件与事件相互独立，所以， 当时，第一次点数不可能为1，此时， 当时，，又，所以， 又时，对应概率分别为， 所以的值为7. 故答案为：8，7. 【变式5-3】（25-26高一上·内蒙古呼和浩特·期末）掷红色和蓝色两枚均匀的骰子，观察朝上的面的点数 (1)求两枚骰子点数相同的概率； (2)记事件：红骰子的点数为1；事件：两枚骰子的点数和为5；事件：两枚骰子的点数和为7 （ⅰ）判断事件与是否相互独立； （ⅱ）判断事件与是否相互独立． 【答案】(1) (2)（ⅰ）事件与不相互独立 （ⅱ）事件与相互独立 【分析】（1）列出样本空间由古典概型公式计算即可； （2）由相互独立的定义进行判断即可. 【详解】（1）用表示红色和蓝色两枚均匀的骰子朝上的面的点数， 则样本空间， 记事件为两枚骰子点数相同， 则. （2）（ⅰ）,， , 所以, , , 故事件与不相互独立， （ⅱ）因为, ,所以, , 故事件与相互独立. 题型6： 独立事件的乘法公式 【例6-1】（24-25高一下·江苏宿迁·期末）已知事件相互独立，若，则的值为（    ） A．0.36 B．0.4 C．0.6 D．0.76 【答案】B 【分析】利用相互独立事件的概率乘法公式和对立事件的概率公式求解即可. 【详解】由题意，， 则，即. 故选：B. 【变式6-1】（24-25高一下·江苏南通·期末）如图，用三种不同元件连接成系统，每个元件是否正常工作不受其它元件的影响．当元件都正常工作或正常工作时，系统正常工作．已知元件正常工作的概率分别为，则系统正常工作的概率为（   ） A．0.504 B．0.846 C．0.902 D．0.956 【答案】D 【分析】利用对立事件的概率公式将目标事件合理转化，再结合独立事件的概率公式求解即可. 【详解】由题意得，，， 且系统正常工作的对立事件为系统不都正常工作且也不正常工作， 而每个元件是否正常工作不受其它元件的影响，则相互独立， 可得不都正常工作的概率为， 故系统不正常工作的概率为， 由对立事件的概率公式得系统正常工作的概率为，故D正确. 故选：D 【变式6-2】（25-26高一下·江苏扬州·期中）已知甲、乙、丙三人各自独立解决某一问题的概率分别是0.5，0.4，0.3，则甲、乙、丙至少有一人解决该问题的概率是_____. 【答案】0.79/ 【分析】根据给定条件，利用相互独立事件及对立事件的概率公式求解. 【详解】依题意，甲、乙、丙没有人解决问题的概率为， 所以甲、乙、丙至少有一人解决该问题的概率是. 【变式6-3】（2026高一上·江苏南通·专题练习）树人中学为了了解两个校区高一年级学生期中考试的物理成绩（百分制），从两个校区各随机抽取了100名学生的物理成绩，将收集到的数据按照分组，绘制成绩频率分布直方图如图： (1)从A校区全体高一学生中随机选取一名，估计这名学生的成绩不低于60分的概率； (2)如果把频率视为概率，从A校区全体高一学生中随机选取一名，从B校区全体高一学生中随机选取两名，求这三名学生中至少有一名学生的成绩不低于80分的概率； (3)根据频率分布直方图，求A校区的中位数和B校区的平均成绩． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】（1）根据频率直方图，求出成绩不低于60分的区域的面积即可. （2）根据对立事件的概念，把目标事件转化为所有学生成绩都低于80分的概率，进而根据独立事件概率的乘法公式，求出结果即可. （3）根据频率分布直方图中的中位数和平均数的算法，求出结果即可. 【详解】（1）从 A 校区抽取的100名学生中随机选取一名，这名学生的成绩不低于60分的频率为， 利用样本估计总体，频率估计概率，所以从 A 校区全体高一学生中随机选取一名，估计这名学生的成绩不低于60分的概率为 . （2）由频率分布直方图可得 A 校区随机选取一名学生，物理成绩不低于80分的概率约为， B 校区随机选取一名学生，物理成绩不低于80分的概率约为， 则这三名学生物理成绩都低于 80 分的概率约为， 这三名学生中至少有一名学生成绩不低于80分的概率为． （3）从A 校区频率直方图易知， 前四个小矩形的面积依次为， 所以中位数位于，A 校区的中位数是， B 校区成绩平均数为. 一、单选题 1．（25-26高一下·江西宜春·月考）甲、乙两名同学做同一道数学题，甲做对的概率为，乙做对的概率为，两人做题互不影响，下列说法错误的是（ ） A．两人都做对的概率是 B．恰好有一人做对的概率是 C．两人都做错的概率是 D．至少有一人做对的概率是 【答案】C 【分析】根据独立事件的乘法公式可判断A；根据对立事件的概率计算结合独立事件的概率公式可判断B，C，D. 【详解】设事件A表示“甲做对”，事件B表示“乙做对”，则，. 对于A，两人都做对的概率为，故A正确； 对于B，恰好有一人做对的概率为，故B正确； 对于C，两人都做错的概率为，故C错误； 对于D，至少有一人做对的概率为，故D正确． 2．（24-25高一下·江苏泰州·期末）已知事件和事件独立，若，则（    ） A．0.21 B．0.51 C．0.79 D．0.91 【答案】C 【分析】根据独立事件的概率公式计算，再利用概率的加法公式即可. 【详解】由题意可得，， 则. 故选：C 3．（24-25高一下·江苏南京·期末）已知事件A，B发生的概率分别为，，则下列结论错误的是（    ） A．若A与B互斥，则 B．若，则 C．若，则A与B相互独立 D．若A与B相互独立，则 【答案】B 【分析】由互斥的独立事件的性质和概率逐项判断可得. 【详解】对于A，由互斥事件的加法公式可得，故A正确； 对于B，若，则，故B错误； 对于C，，即， 所以A与B相互独立，故C正确； 对于D，若A与B相互独立，则，故D正确. 故选：B. 4．（24-25高一下·江苏无锡·期末）《史记》中讲述了田忌与齐王赛马的故事：“田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马．”若双方各自拥有上、中、下等马各1匹，从中随机选1匹进行1场比赛，则田忌的马获胜的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用古典概型可计算田忌选中什么马的获胜概率，再利用全概率公式可计算结果. 【详解】若田忌的选中上等马且获胜的概率为，若田忌的选中中等马且获胜的概率为， 若田忌的选中下等马且获胜的概率为， 根据全概率公式可知田忌的马获胜的概率为， 故选：B. 5．端午节是我国传统节日，甲，乙2人端午节期间来无锡旅游的概率分别是，假定2人的行动相互之间没有影响，那么甲，乙2人端午节期间至少有1人来无锡旅游的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】用间接法，求出两人都不来的概率后可得． 【详解】因为甲，乙2人端午节期间来无锡旅游的概率分别是， 所以甲，乙2人端午节期间至少有1人来无锡旅游的概率为为． 故选：C． 6．（25-26高一上·山西忻州·期末）一个不透明的袋子中装有大小和质地相同的6个球，其中有2个红球，2个绿球，2个蓝球，从袋中一次性随机取出2个球，设事件“2个球颜色相同”，事件“2个球中至少有一个红球”，事件“2个球中至多有一个红球”，事件“2个都不是红球”，则（    ） A．与互斥 B．与对立 C．与相互独立 D． 【答案】D 【分析】由和互斥事件、对立事件定义即可判断AB；由即可判断C；由交事件定义计算即可判断D. 【详解】将2个红球、2个绿球和2个蓝球分别记为， 则从袋中一次性随机取出2个球的样本空间为共15个样本点， 由题意共3个样本点，共9个样本点， 共14个样本点，共6个样本点， 所以，故A与D不互斥，故A错误； ，故B与C不互斥，故B错误； 因为，一个样本点， 所以，即，故C错误； ，故D正确. 故选：D 7．（25-26高一上·江西南昌·期末）把标号为1，2，3的三张卡片分发给甲，乙，丙三个人，事件A表示“甲分得1号卡片”，事件B表示“乙分得1号卡片”，事件C表示“丙分得1号卡片”，则下列说法错误的是（   ） A．是不可能事件 B．A，B是互斥事件 C．是必然事件 D．B，C是对立事件 【答案】D 【分析】1 号卡片只能分给甲、乙、丙中的一个人，因此事件 A、B、C 之间存在明确的互斥关系，我们可以据此逐一判断每个选项的正误. 【详解】A选项：事件A（甲得1号）和事件B（乙得1号）不可能同时发生，因此 是不可能事件，A正确. B选项：事件A和B不能同时发生，因此是互斥事件，B正确. C选项： 表示“1号卡片分给甲、乙或丙”，这在分卡片时必然发生，因此是必然事件，C正确. D选项：事件B（乙得1号）和C（丙得1号）是互斥事件，但不是对立事件，因为还存在“甲得1号”的情况（事件A），两者的并集不是必然事件，故D错误. 故选：D 8．（24-25高一下·江苏无锡·期末）已知事件A，B满足，则 （     ） A．若B⊆A，则 B．若A与B互斥，则 C．若A与B相互独立，则 D．若，则C与B相互对立 【答案】B 【分析】选项A：利用事件的关系结合概率求解即可. 选项B：利用概率的加法公式，求解即可， 选项C：若A与B相互独立，则 A与相互独立，利用独立事件的公式求解即可. 选项D:利用对立事件求解即可. 【详解】选项A：若B⊆A，则 选项B：若A与B互斥，则.故选项B正确. 选项C：若A与B相互独立，则 A与相互独立,故选项C错误. 选项D:若，则由于不确定C与B是否互斥，所以无法确定两事件是否对立,故D错误. 故选：B. 二、多选题 9．（24-25高一下·江苏常州·期末）抛掷一枚质地均匀的骰子，观察向上的点数.若连续抛掷两次，则（    ） A．事件“两次点数均为偶数”与“至少有一次点数为偶数”为互斥事件 B．事件“两次点数均为偶数”与“至少有一次点数为奇数”互为对立事件 C．事件“两次点数之和大于6”与“两次点数之和小于6”互为对立事件 D．事件“第一次点数为偶数”与“第二次点数为奇数”相互独立 【答案】BD 【分析】利用互斥事件、对立事件、独立事件的定义逐项判断即可. 【详解】对于A，因为“至少有一次点数为偶数”包含恰有一次点数为偶数和恰有两次点数为偶数， 故事件“两次点数均为偶数”与“至少有一次点数为偶数”可能同时发生， 所以事件“两次点数均为偶数”与“至少有一次点数为偶数”不为互斥事件，故A错误； 对于B，因为“至少有一次点数为奇数” 包含恰有一次点数为奇数和恰有两次点数为奇数， 所以事件“两次点数均为偶数”与“至少有一次点数为奇数”不会同时发生， 因为在一次实验中“两次点数均为偶数”与“至少有一次点数为奇数”必然有一个事件会发生， 所以事件“两次点数均为偶数”与“至少有一次点数为奇数”互为对立事件，故B正确； 对于C，因为事件“两次点数之和等于6”发生时，事件“两次点数之和大于6”与“两次点数之和小于6”均不会发生， 所以事件“两次点数之和大于6”与“两次点数之和小于6”不互为对立事件，故C错误； 对于D，连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次共有种不同的结果， 记“第一次点数为偶数” 为事件，则事件包含种结果，故， 记“第二次点数为奇数”为事件，则事件包含种结果，故， 事件同时发生包含种不同的结果，故， 所以事件“第一次点数为偶数”与“第二次点数为奇数”相互独立，故D正确. 故选：BD. 10．（24-25高一下·江苏常州·期末）一个质地均匀的正四面体个表面上分别标有数字，抛掷该正四面体两次，记事件“第一次向下的数字为或”，事件“两次向下的数字之和为偶数”，则下列说法正确的是（   ） A．事件与事件互斥 B．事件与事件相互独立 C．事件发生的概率为 D．事件发生的概率为 【答案】BC 【分析】A应用互斥事件进行判断；B根据事件独立性的定义，结合题设描述判断；C根据事件独立性计算交事件的概率；D应用事件的概率性质求发生的概率即可判断. 【详解】对于A，由“第一次向下的数字为或”，事件“两次向下的数字之和为偶数”，而发生同时也有可能发生，故不是互斥事件，A错误; 对于B，因为，而， 故，即事件与事件相互独立，B正确； 对于C，因为事件与事件相互独立所以事件与事件相互独立，，C正确； 对于D，事件发生的概率，D错误； 故选：BC. 11．（25-26高一下·江苏扬州·期中）在一个密闭的盒子中放有大小和形状都相同，编号分别为1，2，3，4的4张卡牌，现从中依次不放回摸出两张卡牌，记事件“第一次摸出的卡牌的编号为奇数”，事件“摸出的两张卡牌的编号之和为5”，事件“摸出的两张卡牌中有编号为2的卡牌”，则下列说法正确的是（   ） A． B．事件A与事件B相互独立 C． D．事件B与事件C为互斥事件 【答案】ABC 【分析】根据给定条件，利用古典概率公式，结合相互独立事件、互斥事件及概率的基本性质逐项求解判断. 【详解】依次不放回摸出两张卡牌的样本空间， 事件，，， 对于A，，A正确； 对于B，，，，则， 因此事件与事件相互独立，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，当摸出的两张卡牌编号为2，3时，事件与事件同时发生， 因此事件B与事件C不为互斥事件，D错误. 三、填空题 12．（24-25高一上·江苏·暑假作业）已知，且与互相独立，则______. 【答案】/ 【分析】根据题意，结合，结合相互独立事件概率乘法公式，即可求解. 【详解】因为，且与相互独立， 由. 故答案为：. 13．（23-24高一下·江苏无锡·月考）若随机事件，互斥，，发生的概率均不等于0，且，则实数的取值范围为 __． 【答案】 【分析】由随机事件互斥, 发生的概率均不等0 ,且,由此能求出实数的取值范围. 【详解】∵随机事件互斥，且 发生的概率均不等0 ,且, 所以，即 解得： 故答案为：. 14．（24-25高一上·江苏·暑假作业）甲、乙两名选手参加一项射击比赛，射击一次命中目标得2分，未命中目标不得分.若甲、乙两人每次射击命中率分别为和，甲、乙两人各射击一次，且甲得分不超过乙得分的概率为.则的值为____，两人各射击三次得分之和不超过8分的概率为_____. 【答案】 /0.75 【分析】根据题意，列出关于的方程，解方程求出的值，得到随机变量的可能取值，求出和的值，结合对立事件的概率关系，即可求解. 【详解】设“甲射击一次，击中目标”为事件，“乙射击一次，击中目标”为事件， 则，， 因为甲、乙两人各射击一次，且甲得分不超过乙得分的概率为， 所以， 可得，解得， 记两人各射击三次得分之和为，可得的可能取值是0，2，4，6，8，10，12， ， ， 所以两人各射击三次得分之和不超过8分的概率为． 故答案为：；． 四、解答题 15．（24-25高一下·江苏南京·期末）为了选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生，教育部启动了“强基计划”的招生改革工作.某校强基招生面试有两道题，两道题都答对者才能通过强基招生面试.假设两题作答相互独立，现有甲､乙､丙三名学生通过考核进入面试环节，他们答对第一题的概率分别是，答对第二题的概率分别是. (1)求甲考生通过某校强基招生面试的概率； (2)求甲､乙两位考生中有且只有一位考生通过强基招生面试的概率； (3)求甲､乙､丙三人中至少有一人通过强基招生面试的概率. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用独立事件概率乘法公式计算出答案； （2）求出乙考生通过某校强基招生面试的概率，从而分两种情况，求出甲､乙两位考生中有且只有一位考生通过强基招生面试的概率； （3）求出丙考生通过某校强基招生面试的概率，先求出无人通过强基招生面试的概率，利用对立事件求概率公式得到答案. 【详解】（1）甲通过考核进入面试环节，答对第一题的概率分别是，答对第二题的概率分别是， 甲考生通过某校强基招生面试的概率为. （2）乙考生通过某校强基招生面试的概率为， 甲､乙两位考生中有且只有一位考生通过强基招生面试的概率为： . （3）丙考生通过某校强基招生面试的概率为， 甲､乙､丙三人中至少有一人通过强基招生面试的概率为： . 16．（25-26高一上·山西忻州·期末）甲、乙两人进行4场投篮比赛，规定若有一人连续获胜2场，则比赛提前结束.根据以往的经验，在每场比赛中甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，假设每场比赛没有平局，且各场比赛结果相互独立. (1)求打完两场比赛结束的概率； (2)求比赛结束时，甲获胜的次数大于乙的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）打完两场比赛结束有两种情况，即甲连胜两场或乙连胜两场，分别计算这两种情况的概率，再根据互斥事件概率加法公式求解。 （2）比赛结束时甲获胜的次数大于乙，2场结束即甲连胜两场结束比赛、3场结束即前两场为 “乙胜、甲胜”，第三场甲胜，4 场结束即前 3场为 “甲胜、乙胜、甲胜”，第四场甲胜，分别计算这些情况的概率，再根据互斥事件概率加法公式求解. 【详解】（1）设第i场比赛甲获胜为事件（i=1，2，3，4），乙获胜为事件（Ai​的对立事件）， 由题意，各场比赛相互独立，且 打完两场比赛结束则甲连胜两场或乙连胜两场，概率为 . （2）设 “比赛结束时甲获胜的次数大于乙” 为事件C， 分2 场结束、3 场结束、4 场结束三种符合条件的情况，对应子事件为 2场结束且甲胜次数>乙胜次数，， 3场结束且甲胜次数>乙胜次数，即前两场为 “乙胜、甲胜”，第三场甲胜 ； 4 场结束且甲胜次数 > 乙胜次数，即前 3 场为 “甲胜、乙胜、甲胜”，第四场甲胜， . 比赛结束时，甲获胜的次数大于乙的概率为. 17．（24-25高一下·江苏无锡·期末）2024年5月底，各省教育厅陆续召开了2024年高中数学联赛的相关工作.若某市经过初次选拔后有甲､乙､丙三名同学成功进入决赛，在决赛环节中这三名同学同时解答一道有关组合数论的试题．已知甲同学成功解出这道题的概率是，甲､丙两名同学都解答错误的概率是，乙､丙两名同学都成功解出的概率是，且这三名同学能否成功解出该题相互独立. (1)求乙､丙两名同学各自成功解出这道题的概率； (2)求这三名同学中不少于两名同学成功解出这道题的概率． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据独立事件的概率乘法公式列方程组求解即可； （2）根据互斥事件的概率加法公式和独立事件的概率乘法公式直接计算可得. 【详解】（1）记甲成功解出这道题为事件，乙成功解出这道题为事件，丙成功解出这道题为事件， 则由题知，，解得， 即乙､丙两名同学各自成功解出这道题的概率分别为. （2）记这三名同学中不少于两名同学成功解出这道题为事件， 则 ， 即这三名同学中不少于两名同学成功解出这道题的概率为. 18．（24-25高一下·江苏无锡·期末）甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，共进行两轮活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语．已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为，在每轮活动中，甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响． (1)求“星队”在两轮活动中共猜对3个成语的概率； (2)求两轮活动结束后，甲恰好比乙多猜对一个成语的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意转化为事件“甲猜对1个，乙猜对2个”，事件“甲猜对2个，乙猜对1个”的和事件发生，根据独立事件概率公式，即可求解； （2）根据题意转化为事件“甲猜对1个，乙猜对0个”，事件“甲猜对2个，乙猜对1个”的和事件发生，根据独立事件概率公式，即可求解； 【详解】（1）设，分别表示甲两轮猜对1个，2个成语的事件，，分别表示乙两轮猜对1个，2个成语的事件，根据独立事件的性质，可得 ，，，， 设“两轮活动星对猜对3个成语”，则， 所以， ， 因此“星队”在两轮活动中共猜对3个成语的概率为. （2）设表示乙两轮都没猜对的事件，， 设事件“两轮活动结束后，甲恰好比乙多猜对一个成语”则 ， . 19．（24-25高一下·江苏南京·期末）2025年六五环境日主题为“美丽中国我先行”，南京市某社区举办“环保我参与”有奖问答比赛活动.某场比赛中，甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关环保知识的问题.已知甲家庭回答这道题正确的概率是，甲、乙两个家庭都回答正确的概率是，乙、丙两个家庭至少一家回答正确的概率是.各家庭回答是否正确相互独立. (1)求乙、丙两个家庭各自回答这道题正确的概率； (2)求甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答这道题正确的概率. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用相互独立事件概率乘法公式来进行计算即可； （2）利用间接法来求三个家庭只有1个家庭或0个家庭回答正确的概率,即可求对立事件概率. 【详解】（1）记“甲家庭回答正确这道题”“乙家庭回答正确这道题”“丙家庭回答正确这道题”分别为事件， 由甲家庭回答这道题正确的概率是，甲、乙两个家庭都回答正确的概率是， 则， 解得， 由乙、丙两个家庭至少一家回答正确的概率是， 则 即. 所以乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率为和. （2）有0个家庭回答正确的概率， 有1个家庭回答正确的概率为 所以不少于2个家庭回答正确这道题的概率. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第22讲 互斥事件和独立事件 知识清单 知识点01：互斥事件 知识点02：对立事件 知识点03：随机事件概率的常用性质 知识点04：相互独立事件 知识点05：互斥事件、对立事件、相互独立事件的判断 知识点06：求复杂事件的概率 题型讲解 （举一反三） 题型1：判断所给事件是否是互斥关系 题型2：互斥事件的概率加法公式 题型3：利用互斥事件的概率公式求概率 题型4：利用对立事件的概率公式求概率 题型5：独立事件的判断 题型6：独立事件的乘法公式 强化训练 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 知识点1、互斥事件 1. 互斥事件的定义 在一次随机试验中，事件A与B不可能同时发生，这时，我们称A，B为互斥事件. 2. 概率的加法公式 如果事件A，B互斥，那么事件A+B发生的概率，等于事件A，B分别发生的概率的和，即P(A+B)=P(A)+P(B). 这是概率满足的第三个基本性质(亦称概率的加法公式). 3. 概率加法公式的推广 　　如果事件A1，A2，…，An(n∈N，n>2)中任何两个事件都是互斥事件，那么称事件 A1，A2，…，An两两互斥. 如果事件A1，A2，…，An两两互斥，那么P(A1+A2+…+An)=P(A1)+ P(A2)+…+P(An). 知识点2、对立事件 若互斥事件A，C中必有一个发生，这时，我们称A，C为对立事件，记作C=或A=. 对立事件A与必有一个发生，故A+是必然事件. 知识点3、随机事件概率的常用性质 1. P()=1-P(A)； 2. 当A⊆B时，P(A)≤P(B)； 3. 当A，B不互斥时，P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB). 知识点4、相互独立事件 1. 相互独立事件的定义 　　一般地，对于两个随机事件A，B，如果P(AB)=P(A) P(B)，那么称A，B为相互独立事件. 2. 重要结论 (1)若A，B相互独立，则)，B相互独立. (2)独立事件可以推广到n个事件的情形(n∈N，n>2). 一般地，如果事件A1，A2，…，An相互独立，那么P(A1A2…An)=P(A1)·P(A2)…P(An). 知识点5、互斥事件、对立事件、相互独立事件的判断 1. 互斥事件与对立事件 (1)从公式的角度看 ①互斥事件是不可能同时发生的两个事件，如果事件A，B互斥， 那么P(A∪B)=P(A)+P(B). ②对立事件是必有一个发生的互斥事件，事件A的对立事件通常记作， 有P(A)+P()=P(A∪)=1. (2)从发生的角度看 ①在一次试验中，两个互斥事件有可能都不发生，也可能仅有一个发生，但不可能 同时发生. ②两个对立事件必有一个发生，但不可能同时发生. ③两事件对立必定互斥，但互斥未必对立，对立事件是互斥事件的一个特例. (3)从事件个数的角度看 互斥的概念适用于两个或多个事件，对立的概念只适用于两个事件. (4)从集合的角度看 设事件A与B所含的结果组成的集合分别是X，Y，I为全集. 事件A与B互斥，即集合X∩Y=⌀；事件A与B对立，即集合X∩Y=⌀，且X∪Y=I，也即X=∁IY或Y=∁IX. (5)从应用的角度看 ①互斥事件可以解决的问题比较广泛，一般只要事件A，B满足A∩B=⌀，就可以用互斥事件的性质加以解决. ②对立事件解决的问题主要有两类：一是含有否定意义或含有“至多”“至少”等词语的问题；二是直接求解困难的问题. 2. 判断相互独立事件的方法 (1)直接法：直接判断一个事件发生与否是不是影响另一个事件发生的概率. (2)定义法：判断P(AB)=P(A)P(B)是否成立. (3)转化法：由判断事件A与事件B是否相互独立，转化为判断A与或与B或与 是否相互独立. 知识点6、求复杂事件的概率 1. 已知简单事件的概率求复杂事件的概率的一般步骤 (1)事件表示：将已知概率的事件、要求概率的事件用适当的字母表示； (2)事件运算：将已知概率的事件进行适当的运算得到要求概率的事件； (3)求概率：利用互斥事件、对立事件、相互独立事件的概率公式求相关概率. 当将一个较复杂的事件转化为几个互斥事件的和事件分类较多，而其对立面的分类较少时，考虑利用对立事件的概率公式，即“正难则反”的思想来求解. 它常用来求“至少”“至多”等事件的概率. 2. 事件A，B发生的概率分别为P(A)，P(B)，我们有如下结论： 事件 表示 概率(A，B互斥) 概率(A，B相互独立) A，B中至少有一个发生 P(A∪B) P(A)+P(B) 1-P()P()或 P(A)+P(B)-P(AB) A，B都发生 P(AB) 0 P(A)P(B) A，B都不发生 P() 1-[P(A)+P(B)] P()P() A，B恰有一个发生 P(A ∪B) P(A)+P(B) P(A)P()+P()P(B) A，B中至多有一个发生 P( ∪A∪B) 1 1-P(A)P(B) 题型1：判断所给事件是否是互斥关系 【例1-1】（25-26高一下·全国·单元测试）至少3个人站成一排，其中为互斥事件的是（   ） A．“甲站排头”与“乙站排头” B．“甲站排头”与“乙不站排尾” C．“甲站排头”与“乙站排尾” D．“甲不站排头”与“乙不站排尾” 【变式1-1】（24-25高一下·吉林长春·期末）从装有除颜色外其他完全相同的个红球（编号为、）和个白球（编号为、）的口袋内任取个球，则互斥且不对立的两个随机事件是（   ） A．至少有个白球，都是白球 B．至少有个白球，至少有个红球 C．恰有个白球，恰有个白球 D．至少有个白球，都是红球 【变式1-2】（24-25高一下·河北邯郸·期末）某学校实验室培育红豆与绿豆种子各三颗，若每颗种子是否发芽是随机的，则下列各组事件中，是互斥事件的是（   ） A．“恰有一颗红豆种子不发芽”与“至多两颗红豆种子不发芽” B．“恰有四颗种子发芽”与“至少两颗红豆种子、两颗绿豆种子发芽” C．“至少五颗种子发芽”与“至多一颗绿豆种子发芽” D．“恰有两颗红豆种子发芽”与“恰有一颗绿豆种子发芽” 【变式1-3】已知事件与互斥．判断与的关系，以及与的关系． 题型2：互斥事件的概率加法公式 【例2-1】（25-26高一上·江西赣州·期末）设、两个随机事件为互斥事件，发生的概率均不等于，若，，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26高一上·辽宁锦州·期末）某社区为了更好地开展便民服务，对一周内居民办理业务所需要的时间进行统计，结果如下表.假设居民办理业务所需要的时间相互独立，且都是整数分钟.在某一天，第三位居民来到社区时第一位居民恰好开始办理业务，则他等待4分钟才开始办理业务的概率为（   ） 办理业务所需要的时间（分） 1 2 3 4 5 频率 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 A．0.04 B．0.08 C．0.12 D．0.16 【变式2-2】（24-25高一下·江苏无锡·期末）已知，，，则___________． 【变式2-3】一名射击运动员在一次射击中射中10环、9环、8环、7环，7环以下的概率分别为.求射中环数小于8环的概率． 题型3：利用互斥事件的概率公式求概率 【例3-1】（24-25高一下·江苏淮安·期末）已知，，若，互斥，则（    ） A．0.36 B．0.54 C．0.6 D．0.9 【变式3-1】已知事件，互斥，若，.则（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】已知事件两两互斥，若，，，则（ ）． A． B． C． D． 【变式3-3】（24-25高一下·江苏无锡·月考）某商场开展20周年店庆购物抽奖活动（100%中奖），凡购物满500元的顾客均可参加该活动，活动方式是在电脑上设置一个包含1，2，3，4，5，6的6个数字编号的滚动盘，随机按下启动键后，滚动盘上的数字开始滚动，当停止时滚动盘上出现一个数字，若该数字是大于5的数，则获得一等奖，奖金为150元；若该数字是小于4的奇数，则获得二等奖，奖金为100元；若该数字出现其它情况，则获得三等奖，奖金为50元.现某顾客依次操作两次，则该顾客奖金之和为200元的概率为___________. 题型4：利用对立事件的概率公式求概率 【例4-1】（24-25高一下·江苏常州·期末）已知事件互斥，它们都不发生的概率为，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】从m名男生和n名女生中任选3人去参加演讲比赛，所选3人中至少有1名女生的概率为，那么所选3人都是男生的概率为______. 【变式4-2】若事件A、B是对立事件，则______. 【变式4-3】（24-25高一下·江苏镇江·期末）甲、乙两人组成小队参加数学趣味谜题竞猜活动，每轮活动由甲、乙各猜一个谜题，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为．在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也相互不影响，该小队共参加了两轮活动． (1)求小队猜对3个谜题的概率； (2)求甲猜对谜题数量大于乙猜对谜题数量的概率． 题型5： 独立事件的判断 【例5-1】（24-25高一上·江苏·暑假作业）若，，，则事件与的关系是（    ） A．事件与互斥但不对立 B．事件与对立 C．事件与相互独立 D．事件与既互斥又相互独立 【变式5-1】（24-25高一下·江苏徐州·期末）已知一个古典概型的样本空间Ω和事件A，B，满足，，，，则（    ） A．A，B相互独立 B．A，B互斥 C． D． 【变式5-2】（24-25高一下·江苏泰州·期末）连续抛掷一颗质地均匀的正方体骰子两次（正方体六个面上的点数分别为），记录抛掷结果向上的点数.设事件：第一次点数为1，事件：两次点数之和为，若事件与事件互斥，则的最小值为__________；若事件与事件相互独立，则的值为__________. 【变式5-3】（25-26高一上·内蒙古呼和浩特·期末）掷红色和蓝色两枚均匀的骰子，观察朝上的面的点数 (1)求两枚骰子点数相同的概率； (2)记事件：红骰子的点数为1；事件：两枚骰子的点数和为5；事件：两枚骰子的点数和为7 （ⅰ）判断事件与是否相互独立； （ⅱ）判断事件与是否相互独立． 题型6： 独立事件的乘法公式 【例6-1】（24-25高一下·江苏宿迁·期末）已知事件相互独立，若，则的值为（    ） A．0.36 B．0.4 C．0.6 D．0.76 【变式6-1】（24-25高一下·江苏南通·期末）如图，用三种不同元件连接成系统，每个元件是否正常工作不受其它元件的影响．当元件都正常工作或正常工作时，系统正常工作．已知元件正常工作的概率分别为，则系统正常工作的概率为（   ） A．0.504 B．0.846 C．0.902 D．0.956 【变式6-2】（25-26高一下·江苏扬州·期中）已知甲、乙、丙三人各自独立解决某一问题的概率分别是0.5，0.4，0.3，则甲、乙、丙至少有一人解决该问题的概率是_____. 【变式6-3】（2026高一上·江苏南通·专题练习）树人中学为了了解两个校区高一年级学生期中考试的物理成绩（百分制），从两个校区各随机抽取了100名学生的物理成绩，将收集到的数据按照分组，绘制成绩频率分布直方图如图： (1)从A校区全体高一学生中随机选取一名，估计这名学生的成绩不低于60分的概率； (2)如果把频率视为概率，从A校区全体高一学生中随机选取一名，从B校区全体高一学生中随机选取两名，求这三名学生中至少有一名学生的成绩不低于80分的概率； (3)根据频率分布直方图，求A校区的中位数和B校区的平均成绩． 一、单选题 1．（25-26高一下·江西宜春·月考）甲、乙两名同学做同一道数学题，甲做对的概率为，乙做对的概率为，两人做题互不影响，下列说法错误的是（ ） A．两人都做对的概率是 B．恰好有一人做对的概率是 C．两人都做错的概率是 D．至少有一人做对的概率是 2．（24-25高一下·江苏泰州·期末）已知事件和事件独立，若，则（    ） A．0.21 B．0.51 C．0.79 D．0.91 3．（24-25高一下·江苏南京·期末）已知事件A，B发生的概率分别为，，则下列结论错误的是（    ） A．若A与B互斥，则 B．若，则 C．若，则A与B相互独立 D．若A与B相互独立，则 4．（24-25高一下·江苏无锡·期末）《史记》中讲述了田忌与齐王赛马的故事：“田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马．”若双方各自拥有上、中、下等马各1匹，从中随机选1匹进行1场比赛，则田忌的马获胜的概率为（   ） A． B． C． D． 5．端午节是我国传统节日，甲，乙2人端午节期间来无锡旅游的概率分别是，假定2人的行动相互之间没有影响，那么甲，乙2人端午节期间至少有1人来无锡旅游的概率为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·山西忻州·期末）一个不透明的袋子中装有大小和质地相同的6个球，其中有2个红球，2个绿球，2个蓝球，从袋中一次性随机取出2个球，设事件“2个球颜色相同”，事件“2个球中至少有一个红球”，事件“2个球中至多有一个红球”，事件“2个都不是红球”，则（    ） A．与互斥 B．与对立 C．与相互独立 D． 7．（25-26高一上·江西南昌·期末）把标号为1，2，3的三张卡片分发给甲，乙，丙三个人，事件A表示“甲分得1号卡片”，事件B表示“乙分得1号卡片”，事件C表示“丙分得1号卡片”，则下列说法错误的是（   ） A．是不可能事件 B．A，B是互斥事件 C．是必然事件 D．B，C是对立事件 8．（24-25高一下·江苏无锡·期末）已知事件A，B满足，则 （     ） A．若B⊆A，则 B．若A与B互斥，则 C．若A与B相互独立，则 D．若，则C与B相互对立 二、多选题 9．（24-25高一下·江苏常州·期末）抛掷一枚质地均匀的骰子，观察向上的点数.若连续抛掷两次，则（    ） A．事件“两次点数均为偶数”与“至少有一次点数为偶数”为互斥事件 B．事件“两次点数均为偶数”与“至少有一次点数为奇数”互为对立事件 C．事件“两次点数之和大于6”与“两次点数之和小于6”互为对立事件 D．事件“第一次点数为偶数”与“第二次点数为奇数”相互独立 10．（24-25高一下·江苏常州·期末）一个质地均匀的正四面体个表面上分别标有数字，抛掷该正四面体两次，记事件“第一次向下的数字为或”，事件“两次向下的数字之和为偶数”，则下列说法正确的是（   ） A．事件与事件互斥 B．事件与事件相互独立 C．事件发生的概率为 D．事件发生的概率为 11．（25-26高一下·江苏扬州·期中）在一个密闭的盒子中放有大小和形状都相同，编号分别为1，2，3，4的4张卡牌，现从中依次不放回摸出两张卡牌，记事件“第一次摸出的卡牌的编号为奇数”，事件“摸出的两张卡牌的编号之和为5”，事件“摸出的两张卡牌中有编号为2的卡牌”，则下列说法正确的是（   ） A． B．事件A与事件B相互独立 C． D．事件B与事件C为互斥事件 三、填空题 12．（24-25高一上·江苏·暑假作业）已知，且与互相独立，则______. 13．（23-24高一下·江苏无锡·月考）若随机事件，互斥，，发生的概率均不等于0，且，则实数的取值范围为 __． 14．（24-25高一上·江苏·暑假作业）甲、乙两名选手参加一项射击比赛，射击一次命中目标得2分，未命中目标不得分.若甲、乙两人每次射击命中率分别为和，甲、乙两人各射击一次，且甲得分不超过乙得分的概率为.则的值为____，两人各射击三次得分之和不超过8分的概率为_____. 四、解答题 15．（24-25高一下·江苏南京·期末）为了选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生，教育部启动了“强基计划”的招生改革工作.某校强基招生面试有两道题，两道题都答对者才能通过强基招生面试.假设两题作答相互独立，现有甲､乙､丙三名学生通过考核进入面试环节，他们答对第一题的概率分别是，答对第二题的概率分别是. (1)求甲考生通过某校强基招生面试的概率； (2)求甲､乙两位考生中有且只有一位考生通过强基招生面试的概率； (3)求甲､乙､丙三人中至少有一人通过强基招生面试的概率. 16．（25-26高一上·山西忻州·期末）甲、乙两人进行4场投篮比赛，规定若有一人连续获胜2场，则比赛提前结束.根据以往的经验，在每场比赛中甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，假设每场比赛没有平局，且各场比赛结果相互独立. (1)求打完两场比赛结束的概率； (2)求比赛结束时，甲获胜的次数大于乙的概率. 17．（24-25高一下·江苏无锡·期末）2024年5月底，各省教育厅陆续召开了2024年高中数学联赛的相关工作.若某市经过初次选拔后有甲､乙､丙三名同学成功进入决赛，在决赛环节中这三名同学同时解答一道有关组合数论的试题．已知甲同学成功解出这道题的概率是，甲､丙两名同学都解答错误的概率是，乙､丙两名同学都成功解出的概率是，且这三名同学能否成功解出该题相互独立. (1)求乙､丙两名同学各自成功解出这道题的概率； (2)求这三名同学中不少于两名同学成功解出这道题的概率． 18．（24-25高一下·江苏无锡·期末）甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，共进行两轮活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语．已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为，在每轮活动中，甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响． (1)求“星队”在两轮活动中共猜对3个成语的概率； (2)求两轮活动结束后，甲恰好比乙多猜对一个成语的概率． 19．（24-25高一下·江苏南京·期末）2025年六五环境日主题为“美丽中国我先行”，南京市某社区举办“环保我参与”有奖问答比赛活动.某场比赛中，甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关环保知识的问题.已知甲家庭回答这道题正确的概率是，甲、乙两个家庭都回答正确的概率是，乙、丙两个家庭至少一家回答正确的概率是.各家庭回答是否正确相互独立. (1)求乙、丙两个家庭各自回答这道题正确的概率； (2)求甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答这道题正确的概率. 1 学科网（北京）股份有限公司 $