精品解析：上海市西南模范中学2025-2026学年七年级下学期5月阶段数学学情自测

初一数学 一、选择题 1. 已知，下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过不等式性质或举反例判断各选项正误． 【详解】解：A、已知，当，，满足，此时，不等式不成立，故A错误； B、已知，不等式两边同时乘正数，不等号方向不变，可得，不等式一定成立，故B正确； C、已知，当，时，满足，此时，不等式不成立，故C错误； D、已知，不等式两边同时乘负数，不等号方向改变，可得，不等式不成立，故D错误． 2. 如图，已知四边形，点在延长线上，连接，则下列条件中，能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】依据平行线的判定方法进行判断，即可得出结论． 【详解】解：若，则，故A选项不合题意； 若，则，故B选项符合题意； 若，则，故C选项不合题意； 若，则，故D选项不合题意． 3. 如图，已知和的顶点、、、在同一直线上，已知，，下列哪个条件不能判定≌（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件结合各选项提供的条件，利用全等三角形的判定定理（、、、和）进行判断即可，注意“、”不能判定三角形全等． 【详解】解：已知， 对于A，添加，根据可判定，故不符合题意； 对于B，添加，，即，根据可判定，故不符合题意； 对于C，添加，，根据可判定，故不符合题意； 对于D，添加，此时为两边及其中一边的对角对应相等（），不能判定，故符合题意． 4. 如图，是中边的垂直平分线，若，，，则的周长是（ ） A. 15 B. 16 C. 17 D. 18 【答案】D 【解析】 【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到，根据三角形的周长公式计算即可． 【详解】解：是中边的垂直平分线， ， 又，， 的周长， 故选：D． 【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 5. 下列命题： ①线段垂直平分线上的任意一点到线段两个端点的距离相等； ②全等三角形的周长相等； ③在同一个三角形中，大边对大角； ④同旁内角互补，两直线平行； 其逆命题为真命题的是（ ） A. ①③④ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③ 【答案】A 【解析】 【分析】先写出每个命题的逆命题，再根据初中几何定理判断逆命题的真假，即可得到结果． 【详解】解：①原命题：线段垂直平分线上的任意一点到线段两个端点的距离相等；逆命题：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；该逆命题为真命题； ②原命题：全等三角形的周长相等；逆命题：周长相等的三角形是全等三角形；举例：边长为，，的三角形和边长为，，的三角形周长都是，但二者不全等，因此该逆命题为假命题； ③原命题：在同一个三角形中，大边对大角；逆命题：在同一个三角形中，大角对大边；该逆命题为真命题； ④原命题：同旁内角互补，两直线平行；逆命题：两直线平行，同旁内角互补；该逆命题为真命题； 综上，逆命题为真命题的是①③④， 故选：A． 6. 如图，在中，，点在边上，，并与边交于点．如果，，那么等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，先证明是等边三角形，得到，，则可求出，进而得到，则． 【详解】解：∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 二、填空题 7. 不等式的解集为___________． 【答案】 【解析】 【详解】解： ， ， 故答案为：． 8. 在中，若，则，其依据是___________． 【答案】 在同一个三角形中，大角对大边 【解析】 【详解】解：在中，边所对的内角为，边所对的内角为，由可推出，其依据是三角形的边角基本性质，即在同一个三角形中，大角对大边， 故答案为：在同一个三角形中，大角对大边． 9. 一个等腰三角形的两边长分别为4cm和9cm，则它的周长为__cm． 【答案】22 【解析】 【分析】底边可能是4，也可能是9，分类讨论，去掉不合条件的，然后可求周长． 【详解】解：①当腰是4cm，底边是9cm时：不满足三角形的三边关系，因此舍去． ②当底边是4cm，腰长是9cm时，能构成三角形，则其周长=4+9+9=22cm． 故填22． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答． 10. 如图，已知，，，则___________度． 【答案】 【解析】 【分析】设与交于点，根据平行线的性质得 ，再根据外角的性质即可求解． 【详解】解：如图，设与交于点， ∵， ． ， ． 11. 如图，已知，，若，则___________度． 【答案】 【解析】 【分析】由平行线的性质得到，由，得到，最后根据三角形的内角和即可求解． 【详解】解：，， ， ， ， ． 12. 如图，在中，，是等边三角形，则___________度． 【答案】 【解析】 【分析】根据等边三角形的性质可得，根据三角形的外角性质得到，，结合，推出，在中，根据三角形的内角和定理求出，即可求解． 【详解】解：是等边三角形， ， ，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 13. 中，与这两条边上的高所在直线的夹角为50度，那么___________度． 【答案】 或 【解析】 【分析】本题需要分为锐角和钝角两种情况讨论，结合直角三角形两锐角互余的性质，四边形的内角和，求解角度． 【详解】解：①当为锐角时，设边上的高为，边上的高为，与交于点， 由题意得，两条高所在直线的夹角， ，， ， ． ②当为钝角时，设边上的高与边上的高交于点， 由题意得， ，， ， ， ． 综上，的度数为或． 14. 如图，在中，按以下步骤作图： ①分别以、为圆心，大于的同样长为半径画弧，两弧相交于两点、． ②作直线交于点，连接． 若，，则的度数为___________度． 【答案】 【解析】 【分析】由作图可得，垂直平分，推出，，进而得到，再根据三角形的内角和定理求出，由三角形的外角性质求出，即可求解． 【详解】解：由作图可得，垂直平分， ， ， ， ， ， ， ，， ， ． 15. 在中，，，将绕点旋转，使点落在上的点、点落在点，若、交于点，则___________度． 【答案】 75 【解析】 【分析】根据直角三角形两锐角互余得，由旋转的性质得，， ，由等边对等角得 ，再根据外角的性质即可求解． 【详解】解：在中，，， ， 由旋转的性质得，， ， ， ， ， ． 16. 如图，和均为等腰直角三角形，，，连接、，那么以、、的长度为三边长的三角形的面积的最大值等于___________． 【答案】 【解析】 【分析】延长到点，使，连接，作于点H，可得，进而得出，从而得到是以、、的长度为三边长，然后根据当时，最大求解即可． 【详解】解：延长到点，使，连接，作于点H， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴是以、、的长度为三边长． ∴ ． ∵， ∴当时，最大为：， ∴以、、的长度为三边长的三角形的面积的最大值等于6． 三、解答题 17. 解不等式：． 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 18. 为了建设美好家园，提高垃圾分类意识，某社区决定购买、两种型号的新型垃圾桶．已知型号的新型垃圾桶的单价比型号的新型垃圾桶单价贵元，购买2个型号的新型垃圾桶和购买个型号的新型垃圾桶共元．社区需要购买、两种型号的新型垃圾桶共个，且总费用不超过元． （1）求、两种型号的新型垃圾桶的单价； （2）社区最多能买几个型号的新型垃圾桶？ 【答案】（1）型号的新型垃圾桶单价为元，型号的新型垃圾桶单价为元 （2）社区最多能买个型号的新型垃圾桶 【解析】 【分析】（1）设型号的新型垃圾桶单价为元，则型号的新型垃圾桶单价为元，根据题意可列方程，求解即可． （2）设购买型号的新型垃圾桶个，则购买型号的新型垃圾桶个，再根据总费用不超过4000元的条件列不等式，结合数量为非负整数的实际要求，求出型号的新型垃圾桶的最大购买数量． 【小问1详解】 解：设型号的新型垃圾桶单价为元，则型号的新型垃圾桶单价为元， 根据题意可得 ，  展开整理得 ， 解得 ， 则， 答：型号的新型垃圾桶单价为元，型号的新型垃圾桶单价为元． 【小问2详解】 解：设购买型号的新型垃圾桶个，则购买型号的新型垃圾桶个， 根据题意，总费用不超过元，可得 ， 展开整理得 ， 解得 ， ∵是非负整数 ， ∴的最大值为， 答：社区最多能买个型号的新型垃圾桶． 19. 在长和宽分别为7和4的长方形中作等腰三角形，使等腰三角形的一条边是长方形的长或宽，等腰三角形的第三个顶点在长方形的边上．用尺规作图的方法作出所有可能的情形，并直接写出所作三角形的面积．（注：形状相同的三角形按一种计算） ____________ ____________ ____________ ____________ 【答案】见解析 【解析】 【详解】解：是等腰三角形， ； 是等腰三角形， ； 是等腰三角形， ； 是等腰三角形， ． 20. 如图，在中，点、是边上两点，且． （1）求证：； （2）如果且，试判断的形状，并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）是等边三角形．理由见解析 【解析】 【分析】（1）由得到，再由即可得到； （2）由得到，根据等角的余角相等求得，得到，，可得到是等边三角形． 【小问1详解】 证明：∵（已知）， ∴，即， 在和中， ， ∴； 【小问2详解】 解：是等边三角形． 理由：∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形． 21. 如图，在中，已知，为的中点，于点，于点，连接、． （1）求证：； （2）求证：垂直平分． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据三线合一定理得到，利用三角形内角和定理求得，再证明，得到，求得，得到，即可证明； （2）由得到，，即可得到垂直平分． 【小问1详解】 证明：∵，为的中点， ∴，， ∵于，于， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：由（1）得， ∴，， ∴垂直平分． 22. 在中，，在的外部作等边三角形，为的中点，连接并延长交于点，连接． （1）如果，求的度数； （2）连接，交于点，如果是等腰三角形，求的度数．（直接写出度数） （3）在图中画出的平分线，交于点，交于点，连接．如果，求证：． 【答案】（1） （2）或 （3）见解析 【解析】 【分析】（1）分别求出，根据计算即可； （2）设，根据三角形内角和求出，根据垂直平分线的性质得到，根据等边对等角求出，根据三角形内角和求出，根据三角形外角的性质得到，同（1）求出，则，根据三角形外角的性质得到，根据等腰三角形的定义分三种情况作答即可； （3）根据要求画出图形即可；设，由推出，可得，，证明，推出，，，在中，根据，构建方程求出a，再证明，即可解答． 【小问1详解】 解：∵是等边三角形， ∴，， ∵E为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图1， 设，则， 由垂直平分得， 则， ∴，， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∵是等腰三角形，分三种情况： 当时，，解得，不成立； 当时，，解得，此时； 当时，，解得，此时； 【小问3详解】 解：如图2，是的平分线； 证明：连接， ∵平分， 设， ∵， ∴． ∵是等边三角形，E为的中点， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初一数学 一、选择题 1. 已知，下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，已知四边形，点在延长线上，连接，则下列条件中，能判定的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，已知和的顶点、、、在同一直线上，已知，，下列哪个条件不能判定≌（ ） A. B. C. D. 4. 如图，是中边的垂直平分线，若，，，则的周长是（ ） A. 15 B. 16 C. 17 D. 18 5. 下列命题： ①线段垂直平分线上的任意一点到线段两个端点的距离相等； ②全等三角形的周长相等； ③在同一个三角形中，大边对大角； ④同旁内角互补，两直线平行； 其逆命题为真命题的是（ ） A. ①③④ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③ 6. 如图，在中，，点在边上，，并与边交于点．如果，，那么等于（ ） A. B. C. D. 二、填空题 7. 不等式 的解集为___________． 8. 在中，若，则，其依据是___________． 9. 一个等腰三角形的两边长分别为4cm和9cm，则它的周长为__cm． 10. 如图，已知， ， ，则___________度． 11. 如图，已知，，若，则___________度． 12. 如图，在中，，是等边三角形，则___________度． 13. 中，与这两条边上的高所在直线的夹角为50度，那么___________度． 14. 如图，在中，按以下步骤作图： ①分别以、为圆心，大于的同样长为半径画弧，两弧相交于两点、． ②作直线交于点，连接． 若，，则的度数为___________度． 15. 在中，，，将绕点旋转，使点落在上的点、点落在点，若、交于点，则___________度． 16. 如图，和均为等腰直角三角形，， ，连接、，那么以、、的长度为三边长的三角形的面积的最大值等于___________． 三、解答题 17. 解不等式：． 18. 为了建设美好家园，提高垃圾分类意识，某社区决定购买、两种型号的新型垃圾桶．已知型号的新型垃圾桶的单价比型号的新型垃圾桶单价贵元，购买2个型号的新型垃圾桶和购买个型号的新型垃圾桶共元．社区需要购买、两种型号的新型垃圾桶共个，且总费用不超过元． （1）求、两种型号的新型垃圾桶的单价； （2）社区最多能买几个型号的新型垃圾桶？ 19. 在长和宽分别为7和4的长方形中作等腰三角形，使等腰三角形的一条边是长方形的长或宽，等腰三角形的第三个顶点在长方形的边上．用尺规作图的方法作出所有可能的情形，并直接写出所作三角形的面积．（注：形状相同的三角形按一种计算） ____________ ____________ ____________ ____________ 20. 如图，在中，点、是边上两点，且． （1）求证：； （2）如果且，试判断的形状，并说明理由． 21. 如图，在中，已知，为的中点，于点，于点，连接、． （1）求证：； （2）求证：垂直平分． 22. 在中，，在的外部作等边三角形，为的中点，连接并延长交于点，连接． （1）如果，求的度数； （2）连接，交于点，如果是等腰三角形，求的度数．（直接写出度数） （3）在图中画出的平分线，交于点，交于点，连接．如果，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $