专题06 二项分布、超几何分布和正态分布10大考点（期末真题汇编，广东专用）高二数学下学期人教A版

**基本信息** 专题聚焦二项分布、超几何分布和正态分布三大概率模型，涵盖10个高频考点，汇编广东多地期末真题，注重基础巩固与实际应用结合。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择/填空|41题|二项分布概率（考点02）、超几何分布均值（考点06）、正态分布性质（考点07）|基础题覆盖公式应用，如二项分布均值计算（11题）| |解答题|15题|分布列与期望（15题抽奖）、实际应用（16题AI培训比赛）|综合题融合生活情境，如即时配送调研（18题）、教育评估（51题），体现概率模型在决策中的应用|

专题06 二项分布、超几何分布和正态分布 高频考点概览 考点 01 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率 考点 02 二项分布的概率 考点 03 二项分布的均值和方差 考点 04 二项分布的最值 考点 05 超几何分布的概率 考点 06 超几何分布的均值和方差 考点 07 正态曲线的性质 考点 08 正态分布的概率计算 考点 09 根据正态分布的对称性求参 考点 10 正态分布的实际应用 ( 考点01 n次独立重复试验中恰好发生k次的概率 ) 1．（2022春•潮州期末）某人共有三发子弹，他射击一次命中目标的概率是，击中目标后射击停止，射击次数为随机变量，则　　． 【解答】解：表示前两次都没有击中，故． 故答案为：． 2．（2021春•南海区期末）有一批谷类种子，如果每1粒种子发芽的概率为，那么插下3粒种子恰有2粒发芽的概率是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：3粒种子中发芽的粒数服从二项分布，所以恰有2粒发芽的概率为． 故选：． 3．（2020春•潮州期末）在比赛中运动员甲获胜的概率是，假设每次比赛互不影响，那么在五次比赛中运动员甲恰有三次获胜的概率是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：由次独立重复试验的概率计算公式，得． 故选：． 4．（2023春•潮州期末）在3重伯努利试验中事件出现的概率相同，若事件至少出现1次的概率为，则事件在1次试验中出现的概率为 　　． 【解答】解：记“至少发生1次”为事件，则表示其对立事件“发生0次”， 事件的发生符合二项分布，设事件在1次试验中出现的概率为， ， 所以， 所以，解得． 故答案为：． 5．（2020春•珠海期末）已知某人每次投篮投中的概率均为，计划投中3次则结束投篮，则此人恰好在第5次结束投篮的概率是　　 【解答】解：依题意，恰好在第五次结束投篮，则前四次有两次投中，且第五次投中， 所以概率为：． 故填：． ( 考点02 二项分布的概率 ) 6．（2020春•禅城区校级期末）已知随机变量，则等于 　　． 【解答】解：因为随机变量， 所以． 故答案为：． 7．（2023春•天河区期末）已知随机变量，则的值为（　　） A． B． C． D． 【解答】解：随机变量， 则的可能取值为0，1，2，3，4， ， 则． 故选：． 8．（2021春•中山市期末）设随机变量服从二项分布，则等于（　　） A． B． C． D． 【解答】解：因为随机变量服从二项分布， 所以 ． 故选：． ( 考点0 3 二项分布的均值和方差 ) 9．（2023春•肇庆期末）某次数学测验共有10道单选题（四个选项中只有一项是正确的），某同学全都不会做，记该同学做对的题目数为，且服从二项分布，则以下说法错误的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：因为，所以，故正确； ，故正确； ，故正确； ，故错误． 故选：． 10．（2022春•清远期末）已知随机变量，若，则（　　） A． B． C． D． 【解答】解：因为， 所以，故， 因为，所以． 故， 故， 故选：． 11．（2021春•番禺区期末）已知随机变量服从二项分布，即，且，，则二项分布的参数，的值为（　　） A．， B．， C．， D．， 【解答】解：随机变量服从二项分布，即，且，， 可得，，解得，， 故选：． 12．（2021春•阳江期末）已知随机变量，且，若，则　　． 【解答】解：随机变量，且，若， 可得，解得， 所以． 故答案为：1.6． 13．（2025春•广东期末）设随机变量，若，则（　　） A． B． C． D． 【解答】解：由题意知，， 解得， 所以． 故选：． 14．（2020春•广东期末）已知随机变量，若，，则（　　） A．54 B．9 C．18 D．27 【解答】解：随机变量，，， ，解得，， ． 故选：． 15．（2024秋•湛江期末）蛇年来临之际，某商场计划安排新春抽奖活动，方案如下：1号不透明的盒子中装有标有“吉”“安”“和”字样的小球，2号不透明的盒子中装有标有“祥”“康”“顺”字样的小球，顾客先从1号不透明的盒子中取出1个小球，再从2号不透明的盒子取出1个小球，若这2个球上的字组成“吉祥”“安康”“和顺”中的一个词语，则这位顾客中奖，反之没有中奖，每位顾客只能进行一轮抽奖．已知顾客从不透明的盒子取出标有“吉”“安”“和”“祥”“康”“顺”字样小球的概率均为，且顾客取出小球的结果相互独立． （1）求顾客中奖的概率； （2）若小明一家三口参加这个抽奖活动，求小明全家中奖次数的分布列及数学期望． 【解答】解：（1）易知顾客取出的2个小球的字样组成“吉祥”的概率为， 顾客取出的2个小球的字样组成“安康”的概率为， 顾客取出的2个小球的字样组成“和顺”的概率为， 综上，顾客中奖的概率； （2）设小明全家中奖的次数为， 易知的所有可能取值为0，1，2，3， 此时，， ，， 则的分布列为： 0 1 2 3 故． 16．（2025春•深圳校级期末）是由中国杭州的公司开发的人工智能模型，其技术在多领域有着普惠应用，为提高的应用能力，某公司组织全体员工参加培训，培训结束之后，公司举行了一次专业知识比赛，比赛分为预赛与决赛，预赛通过后才能参加决赛，预赛从8道题中随机抽取4道作答，答对3道及以上则进入决赛，否则被淘汰． （1）若这8道题中甲能答对其中5道，计算甲进入决赛的概率； （2）已知甲进入了决赛，决赛需要回答3道题目，若全部答对则获得一等奖，奖励300元；若答对2道题目则获得二等奖，奖励150元；若答对1道题目则获得三等奖，奖励50元；若全部答错则没有奖励．若甲答对每道题目的概率均为，且每次答题相互独立，设甲获得奖金为，求的分布列及数学期望． 【解答】解：（1）记为甲在预赛答对的题数，则的取值为1，2，3，4， 所以，， 记甲进入决赛为事件，则甲进入决赛的概率为（A）； （2）由题可知的取值为0，50，150，300， 所以，，，， 所以的分布列如下： 5 0 50 150 300 （元， 即甲获得奖金的数学期望为元． 17．（2025春•新会区校级期末）从2016年1月1日起全国统一实施全面两孩政策，为了解适龄民众对放开生二孩政策的态度，某市选取80后作为调查对象，随机调查了10人，其中打算生二胎的有4人，不打算生二胎的有6人． （1）从这10人中随机抽取3人，记打算生二胎的人数为，求随机变量的分布列和数学期望； （2）若以这10人的样本数据估计该市的总体数据，且以频率作为概率，从该市80后中随机抽取3人，记打算生二胎的人数为，求随机变量的分布列和数学期望，方差． 【解答】解：（1）由题意知，的值为0，1，2，3， ， ， ， ， 所以的分布列为： 0 1 2 3 ； （2）由题意可知，全市70后打算生二胎的概率为，，1，2，3，且， ， 的分布列为： 0 1 2 3 ． 18．（2024秋•汕头期末）某校为了解高三学生每天的作业完成时长，在该校高三学生中随机选取了100人，对他们每天完成各科作业的总时长进行了调研，结果如下表所示： 时长（小时） ， ， ， ， ， 人数（人 3 4 33 42 18 用表格中的频率估计概率，且每个学生完成各科作业时互不影响． （1）从该校高三学生中随机选取1人，估计该生可以在3小时内完成各科作业的概率； （2）从样本“完成各科作业的总时长在2.5小时内”的学生中随机选取3人，其中共有人可以在2小时内完成各科作业，求的分布列和数学期望； （3）从该校高三学生（学生人数较多）中随机选取3人，其中共有人可以在3小时内完成各科作业，求． 【解答】解：（1）设“从该校高三学生中随机选取1人，这个学生可以在3小时内完成各科作业”为事件， 则（A）； （2）样本中“完成各科作业的总时长在2.5小时内”的学生有（人，其中可以在2小时内完成的有3人， 所以的所有可能取值为0，1，2，3， 则，，，， 所以的分布列为： 0 1 2 3 所以； （3）由题意得，， 所以． 19．（2025春•广东校级期末）某工厂员工每天选择坐班车或开私家车去上班．统计可知，该工厂员工若前一天坐班车，则第二天仍坐班车的概率为，第二天改开私家车的概率为；若前一天开私家车，则第二天仍开私家车的概率为，第二天改坐班车的概率为．若该工厂员工上班第一天坐班车和开私家车的概率均为，该工厂某员工第天坐班车的概率为． （Ⅰ）设该工厂某3位员工中第二天坐班车的人数为，求的分布列与数学期望； （Ⅱ）求； （Ⅲ）为缓解交通压力，工厂决定每天抽调10人到班车停车场和私家车停车场参加安保工作，请合理分配每天去班车停车场和私家车停车场参加安保工作的人数，并说明理由． 【解答】解：（1）由题可知，该工厂员工第二天坐班车的概率， 所以 的所有可能取值为0，1，2，3， ， ， ， ， 所以的分布列为： 0 1 2 3 ； （2）， 则 又， 所以是首项为，公比为的等比数列， 所以； （3）由（2）可知，当趋向于正无穷大时，趋向于， 所以工厂每天抽调的10人中，去班车停车场参加安保工作的应有人，去私家车停车场参加安保工作的应有人． ( 考点0 4 二项分布的最值 ) 20．（2023春•中山市期末）某人投篮命中的概率为0.3，投篮15次，最有可能命中 　　次． 【解答】解：投篮命中次数，， 设最有可能命中次，即命中次的概率最大， 则， 解得，，． 故答案为：4． 21．（2025春•广州期末）某学校组织“一带一路”知识竞赛，每位参加比赛的同学均可参加多轮答题活动，每轮答题结果互不影响．每轮比赛共有，两组题，每组都随机抽取两道题，先进行组答题，只有组的两道题均答对，方可进行组答题，否则本轮答题结束．已知甲同学组每道题答对的概率均为，组每道题答对的概率均为两组题至少答对3题才可获得一张奖券． （1）设甲同学在一轮比赛中答对的题目数量为，求的分布列与数学期望； （2）若甲同学进行了8轮答题，试问甲同学获得多少张奖券的概率最大？并说明理由． 【解答】解：（1）甲同学一轮比赛中答对题目数的可能取值为 0，1，2，3，4， ，， ，， ， 的分布列为： 0 1 2 3 4 ； （2）每轮得奖券条件为答对至少3题（即， 对应概率， 8轮中获奖券数服从二项分布， 可得获得奖券数的概率为：， 假设甲同学获得张奖券的概率最大，则有： ， 化简得到：， 解得：， 又因为，所以， 故获得5张奖券的概率最大． ( 考点0 5 超几何分布的概率 ) 22．（2021春•中山市期末）在医学生物学试验中，经常以果蝇作为试验对象，一个关有6只果蝇的笼子里，不慎混入了两只苍蝇（此时笼内共有8只蝇子：6只果蝇和2只苍蝇），只好把笼子打开一个小孔，让蝇子一只一只地往外飞，直到两只苍蝇都飞出，再关闭小孔．以表示笼内还剩下的果蝇的只数，则　　． 【解答】解：由题意可知，记“笼中还剩下只果蝇”为事件，1，2，3，， 当事件发生时，共飞走只蝇，第只飞出的是苍蝇，且在前只飞出的蝇中有1只是苍蝇， 所以， 故． 故答案为：． ( 考点0 6 超几何分布的均值和方差 ) 23．（2024秋•深圳期末）年末某商场举办购物有奖活动：若购物金额超过1000元，则可以抽奖一次，奖池中有9张卡片，“福”“迎”“春”卡各2张，“蛇”卡3张，每次抽奖者从中随机抽取4张卡片，抽到“蛇”卡获得2分，抽到其他卡均获得1分，最终得7分的人可得120元奖金，最终得4分的人可得60元奖金，其他最终得分的人可得20元奖金．已知小钟获得一次抽奖机会． （1）求小钟抽到“福”“迎”“春”“蛇”卡各1张的概率； （2）记小钟的中奖金额为，求的分布列及数学期望． 【解答】解：（1）易知小华抽到“福”“迎”“春”“蛇”卡各1张的概率； （2）易知的所有可能取值为20，60，120， 所以，，， 则的分布列为： 20 50 100 故． 24．（2025春•东莞市期末）某校航模社团共有10名学生，研究“战斗机航模”的有6人，其中男生4人女生2人，另外4人研究“无人机航模”． （1）从研究“战斗机航模”的6人中任意选出2人宣传该社团，已知其中一位是女生，求另一位也是女生的概率； （2）从航模社团中任意选出3人参加航模设计大赛，设表示来自研究“无人机航模”的人数，求的数学期望． 【解答】解：（1）记事件：选出的2人中至少有一个是女生， 事件：选出的2人都是女生，所以，， 由条件概率公式可得； （2）由题意可知，随机变量的可能取值有0、1、2、3， ， ， ， 所以随机变量的分布列如下表所示： 0 1 2 3 所以． 25．（2025春•广州期末）一批笔记本电脑共有10台，其中品牌3台，品牌7台． （1）若每次从中随机抽取1台，抽取后不再放回，则在第一次抽到品牌的条件下，第二次抽到品牌的概率； （2）若从中随机抽取2台，求这2台电脑中品牌台数的分布列和期望． 【解答】解：（1）由题意得，设事件：第一次抽到品牌，设事件：第二次抽到品牌， ，， 每次不放回抽取，则在第一次抽到品牌的条件下，第二次抽到品牌的概率； （2）设挑选2台电脑中品牌的台数为，则的可能取值为0，1，2， ， 的分布列： 0 1 2 ． 26．（2024春•清远期末）在端午节吃“粽子”是我国的一个传统习俗，现在有一些形状、颜色和大小一致的“粽子”，其中甲同学有4个蛋黄馅的“粽子”和3个绿豆馅的“粽子”，乙同学有3个蛋黄馅的“粽子”和2个绿豆馅的“粽子”． （1）若从甲同学的“粽子”中有放回依次随机抽取3次，每次任取1个“粽子”，记抽取到绿豆馅的“粽子”个数为，求的分布列及数学期望； （2）若先从甲同学的“粽子”中任取2个送给乙同学，然后再从乙同学的“粽子”中任取1个，求取出的这个“粽子”是绿豆馅的概率． 【解答】解：（1）依题意，抽取到绿豆馅的“粽子”的概率， 且，的可能取值是0，1，2，3， 则，， ，， 所以的分布列为： 0 1 2 3 则； （2）记甲同学取出的“粽子”是2个蛋黄馅的“粽子”的事件为， 蛋黄馅的和绿豆馅的“粽子”各1个的事件为， 2个绿豆馅的“粽子”的事件为， 乙同学取出1个绿豆馅的“粽子”的事件为， 则，，， ，，， 因此（B） ， 所以取出的这个“粽子”是绿豆馅的概率． 27．（2024春•番禺区期末）人工智能研究实验室发布了一款全新聊天机器人模型，它能够通过学习和理解人类的语言来进行对话．在测试聊天机器人模型时，如果输入的问题没有语法错误，则聊天机器人模型的回答被采纳的概率为；如果输入的问题出现语法错误，则聊天机器人模型的回答被采纳的概率为． （1）在某次测试中输入了8个问题，聊天机器人模型的回答有5个被采纳．现从这8个问题中抽取3个．以表示抽取的问题中回答被采纳的问题个数，求的分布列和数学期望； （2）已知输入的问题出现语法错误的概率为． 求聊天机器人模型的回答被采纳的概率； 若已知聊天机器人模型的回答被采纳，求该输入的问题没有语法错误的概率． 【解答】解：（1）易知的所有可能取值为0，1，2，3， ， ， ， ， 所以的分布列为： 0 1 2 3 ． （2）记“输入的问题没有语法错误”为事件， 记“输入的问题有语法错误”为事件， 记“的回答被采纳”为事件， 则（A），（B），，， （C）（B）（A）． 若的回答被采纳，则该问题的输入没有语法错误的概率为． 28．（2024春•东莞市期末）随着互联网的普及、大数据的驱动，线上线下相结合的新零售时代已全面开启，新零售背景下，即时配送行业稳定快速增长．某即时配送公司为更好地了解客户需求，优化自身服务，提高客户满意度，在其，两个分公司的客户中各随机抽取10位客户进行了满意度评分调查（满分100分），评分结果如下： 分公司，80，72，79，80，78，87，86，91，91． 分公司，77，82，70，73，86，85，94，92，89． （1）求抽取的这20位客户评分的第一四分位数； （2）规定评分在75分以下的为不满意，从上述不满意的客户中随机抽取3人继续沟通不满意的原因及改进建议，设被抽到的3人中分公司的客户人数为，求的分布列和数学期望． 【解答】解：（1）将抽取的这20位客户的评分从小到大排列为：62，66，70，72，73，77，78，79，80，80，82，85，86，86，87，89，91，91，92，94， 因为， 所以第一四分位数为（分； （2）由已知得分公司中75分以下的有66分，72分；分公司中75分以下的有62分，70分，73分， 所以上述不满意的客户共5人，其中分公司中2人，分公司中3人， 的所有可能取值为1，2，3， 则，，， 所以的分布列为： 1 2 3 所以． ( 考点0 7 正态曲线的性质 ) 29．（2013春•湛江期末）设两个正态分布，和，的密度曲线如图所示，则有　　 A．， B．， C．， D．， 【解答】解：从正态曲线的对称轴的位置看，显然， 正态曲线越“瘦高”，表示取值越集中，越小， 故选：． 30．（2024春•梅州期末）（多选）某地生产的甲、乙两类水果的质量（单位：分别服从正态分布，，它们的正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法中正确的是　　 A． B． C． D． 【解答】解：由图可知，，，故正确；错误； 由图可知，，，故错误，正确． 故选：． 31．（2025春•深圳期末）已知随机变量，，这两个正态密度曲线如图所示，下列结论中正确的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：对称轴：正态曲线对称轴为，由图可知，的对称轴在左，的对称轴在右，故，错误； 越小，曲线越瘦高，的曲线更瘦高，说明，错误； ，对，因，， 由于在均值左侧，，故，因此，正确； ，与相等，故，错误． 故选：． 32．（2025春•广州期末）（多选）李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到，假设坐公交车用时和骑自行车用时都服从正态分布，，．和的分布密度曲线如图所示．则下列正确的是　　 （参考数据：，， A． B． C． D．为了保证的概率不迟到，李明不管选择哪种交通工具都需至少预留36分钟时间 【解答】解：坐公交车用时和骑自行车用时都服从正态分布，，， 对于中，根据给定的正态分布密度曲线图像，可得随机变量，，所以，所以错误； 对于中，根据正态分布密度曲线图像，可得时， 随机变量对应的曲线与围成的面积小于时随机变量对应的曲线与围成的面积， 所以，所以正确； 对于中，根据正态分布密度曲线图像， 可得， ， 即，所以错误； 对于中，因为，， 所以， 为了保证的概率不迟到，李明不管选择哪种交通工具都需至少预留36分钟时间，所以正确． 故选：． 33．（2025春•佛山期末）（多选）设随机变量，，随机变量，，其正态密度曲线如图所示，则　　 A． B． C． D． 【解答】解：显然，正确； 所以， 所以，正确； 的正态曲线相对的正态曲线瘦高，所以，错误； 所以，正确． 故选：． ( 考点0 8 正态分布的概率计算 ) 34．（2025春•清远期末）某班女生的身高（单位：近似服从正态分布，从中随机选取一人，则　　 ．（精确到0.0001，参考数据：若，则，， 【解答】解：根据题意可知，某班女生的身高（单位：近似服从正态分布， 则，，则． 故答案为：0.3414． 35．（2025春•东莞市期末）已知随机变量，且，则（　　） A．0.3 B．0.4 C．0.5 D．0.6 【解答】解：因为随机变量，且， 所以， 所以． 故选：． 36．（2025春•广东期末）已知随机变量，，那么的值为（　　） A．0.2 B．0.32 C．0.4 D．0.8 【解答】解：由题可得：，， 根据正态分布曲线的对称性得出． 故选：． 37．（2025春•汕尾期末）已知随机变量服从正态分布，且，则（　　） A．0.21 B．0.2 C．0.31 D．0.3 【解答】解：根据题意可知，． 故选：． 38．（2025春•肇庆期末）已知随机变量服从正态分布，且，则（　　） A．0.6 B．0.2 C．0.1 D．0.4 【解答】解：根据题意可知，随机变量服从正态分布，且，则， 所以，故正确． 故选：． 39．（2025春•广州期末）对某地区数学考试成绩的数据分析，学生成绩服从正态分布，，则（　　） A．0.98 B．0.96 C．0.52 D．0.48 【解答】解：已知，正态分布对称轴为， 由于60和120关于90对称，根据正态分布的对称性，， 又因为总概率为1，所以：． 故选：． 40．（2025春•揭阳期末）已知随机变量，若，则　　 ． 【解答】解：已知随机变量，其中均值， 因为，根据对称性，， ， ，， 因此：． 故答案为：0.24． 41．（2025春•江门校级期末）已知随机变量服从正态分布，且，，则（　　） A．0.2 B．0.3 C．0.7 D．0.8 【解答】解：， ， ， ． 故选：． 42．（2025春•顺德区校级期末）已知随机变量，且，则（　　） A．0.4 B．0.2 C．0.8 D．0.1 【解答】解：，且， ， 解得， ． 故选：． 43．（2024春•广州期末）已知随机变量服从正态分布，且，则等于（　　） A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 【解答】解：因为随机变量服从正态分布，且， 所以． 故选：． ( 考点0 9 根据正态分布的对称性求参 ) 44．（2021春•东莞市期末）设随机变量服从正态分布，若，则（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【解答】解：因为， 所以，解得． 故选：． 45．（2021春•天河区期末）已知随机变量服从正态分布，若，则（　　） A． B．1 C． D．2 【解答】解：随机变量服从正态分布，， 又， ， ， 故选：． 46．（2020春•广东期末）已知随机变量服从正态分布，且，则（　　） A． B．0 C．1 D．3 【解答】解：随机变量服从正态分布， 正态分布曲线的对称轴为， 又，，即． 故选：． ( 考点 10 正态分布的实际应用 ) 47．（2024春•广州期末）某市共10000人参加一次物理测试，满分100分，学生的抽测成绩服从正态分布，，则抽测成绩在，的学生人数大约为（若，则， A．1359 B．2718 C．3414 D．4773 【解答】解：学生的抽测成绩服从正态分布，， 则， 由于总人数为10000， 则抽测成绩在，的学生人数大约为． 故选：． 48．（2024春•佛山期末）某厂家生产的产品质量指标服从正态分布．质量指标介于162至180之间的产品为良品，为使这种产品的良品率达到，则需调整生产工艺，使得至多为 　　． （若，则 【解答】解：某厂家生产的产品质量指标服从正态分布，为使这种产品的良品率达到， 则，，解得， 故需调整生产工艺，使得至多为3． 故答案为：3． 49．（2024春•清远期末）某市高二数学统考，满分为150分．假设学生考试成绩，，如果从高到低按照，，，的比例将考试成绩分为，，，四个等级，则等级分数线大概为（参考数据：若，则，，（　　） A．134 B．120 C．116 D．110 【解答】解：因为，，所以，， 所以， 所以， 所以等级分数线大概为110分． 故选：． 50．（2024春•江门期末）某校高二级学生参加期末调研考试的数学成绩服从正态分布，，将考试成绩从高到低，按照，，，的比例分为，，，四个等级．若小明的数学成绩为105分，则属于等级（附，，（　　） A． B． C． D． 【解答】解：数学成绩服从正态分布，， 则， 所以等级为103分以上， 所以小明的数学成绩为105分，属于等级． 故选：． 51．（2024春•广东期末）某校高二年级下学期期中考试数学试卷满分为150分，90分以上为及格．阅卷结果显示，全年级800名学生的数学成绩近似服从正态分布，试卷的难度系数平均分为0.49，标准差为22，则该次数学考试及格的人数约为（　　） 附：若，记，则，（1）． A．127人 B．181人 C．254人 D．362人 【解答】解：依题意可知平均分为，又标准差为22， 所以学生的数学成绩，， 即，，又， 所以， 所以， 又因为， 所以该次数学考试及格的人数约为181人． 故选：． 52．（2025春•深圳期末）小张上班有四种方式，有步行，骑自行车，乘坐公汽，自己开车．他记录了100次用这四种方式上班所花费的时间，分别用随机变量，，，来表示用这四种方式上班所用时间（分钟）．经数据分析，，，，，，，，，如果某天有70分钟可用，他该选择哪种方式上班不迟到的概率最大（　　） ，， A．步行 B．骑自行车 C．乘坐公汽 D．自己开车 【解答】解：根据题意可知，①当小张步行方式上班时，由知，，， 所以他上班不迟到的概率为： ， ②当小张骑自行车上班时，由知，，， 所以他上班不迟到的概率为： ， ③当小张乘坐公汽上班时，由知，，， 所以他上班不迟到的概率为： ， ④当小张自己开车上班时，由知，，， 所以他上班不迟到的概率为： ， 由， 所以小张骑自行车上班时不迟到的概率最大． 故选：． 53．（2024春•番禺区期末）某中学1600名学生参加一分钟跳绳测试，经统计，成绩近似服从正态分布，已知成绩小于130的有300人，则可估计该校一分钟跳绳成绩在次之间的人数约为 　　． 【解答】解：因为成绩服从正态分布，即正态曲线关于对称， 因为成绩小于130的有300人， 所以， 所以， 即可估计该校一分钟跳绳成绩在次之间的人数约． 故答案为：500． 54．（2024春•汕尾期末）某地区有20000名考生参加了高三第二次调研考试．经过数据分析，数学成绩近似服从正态分布，，则数学成绩位于，的人数约为（　　） 参考数据：，，． A．455 B．2718 C．6346 D．9545 【解答】解：， 则数学成绩位于，的人数约为． 故选：． 55．（2023春•番禺区期末）某校1000名学生参加数学文化知识竞赛，每名学生的成绩，，成绩不低于90分为优秀，依此估计优秀的学生人数为 　　（结果填整数）．附：若，则，． 【解答】解：由每名学生的成绩，，得，， 则， 则优秀的学生人数为． 故答案为：也可以）． 56．（2025春•潮州期末）已知某种机器的电源电压（单位：服从正态分布，．其电压通常有3种状态：①不超过；②在之间；③超过．在上述三种状态下，该机器生产的零件为不合格品的概率分别为0.15，0.05，0.2． （1）求该机器生产的零件为不合格品的概率； （2）从该机器生产的零件中随机抽取件，记其中恰有2件不合格品的概率为，求取得最大值时的值． 附：若取，． 【解答】解：（1）记电压“不超过”、“在之间”、“超过”分别为事件，，， “该机器生产的零件为不合格品”为事件． 因为，，所以， （B）， ， 所以（D）（A）（B）（C）， 该机器生产的零件为不合格品的概率为0.09； （2）从该机器生产的零件中随机抽取件，设不合格品件数为，则， 所以， 由， 解得，所以当时，； 当时，，所以最大，因此当时，最大． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 二项分布、超几何分布和正态分布 高频考点概览 考点 01 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率 考点 02 二项分布的概率 考点 03 二项分布的均值和方差 考点 04 二项分布的最值 考点 05 超几何分布的概率 考点 06 超几何分布的均值和方差 考点 07 正态曲线的性质 考点 08 正态分布的概率计算 考点 09 根据正态分布的对称性求参 考点 10 正态分布的实际应用 考点01 n次独立重复试验中恰好发生k次的概率 1．（2022春•潮州期末）某人共有三发子弹，他射击一次命中目标的概率是，击中目标后射击停止，射击次数为随机变量，则　　． 2．（2021春•南海区期末）有一批谷类种子，如果每1粒种子发芽的概率为，那么插下3粒种子恰有2粒发芽的概率是（　　） A． B． C． D． 3．（2020春•潮州期末）在比赛中运动员甲获胜的概率是，假设每次比赛互不影响，那么在五次比赛中运动员甲恰有三次获胜的概率是（　　） A． B． C． D． 4．（2023春•潮州期末）在3重伯努利试验中事件出现的概率相同，若事件至少出现1次的概率为，则事件在1次试验中出现的概率为 　　． 5．（2020春•珠海期末）已知某人每次投篮投中的概率均为，计划投中3次则结束投篮，则此人恰好在第5次结束投篮的概率是　　 6．（2020春•禅城区校级期末）已知随机变量，则等于 　　． 考点02 二项分布的概率 7．（2023春•天河区期末）已知随机变量，则的值为（　　） A． B． C． D． 8．（2021春•中山市期末）设随机变量服从二项分布，则等于（　　） A． B． C． D． 9．（2023春•肇庆期末）某次数学测验共有10道单选题（四个选项中只有一项是正确的），某同学全都不会做，记该同学做对的题目数为，且服从二项分布，则以下说法错误的是（　　） 考点03 二项分布的均值和方差 A． B． C． D． 10．（2022春•清远期末）已知随机变量，若，则（　　） A． B． C． D． 11．（2021春•番禺区期末）已知随机变量服从二项分布，即，且，，则二项分布的参数，的值为（　　） A．， B．， C．， D．， 12．（2021春•阳江期末）已知随机变量，且，若，则　　． 13．（2025春•广东期末）设随机变量，若，则（　　） A． B． C． D． 14．（2020春•广东期末）已知随机变量，若，，则（　　） A．54 B．9 C．18 D．27 15．（2024秋•湛江期末）蛇年来临之际，某商场计划安排新春抽奖活动，方案如下：1号不透明的盒子中装有标有“吉”“安”“和”字样的小球，2号不透明的盒子中装有标有“祥”“康”“顺”字样的小球，顾客先从1号不透明的盒子中取出1个小球，再从2号不透明的盒子取出1个小球，若这2个球上的字组成“吉祥”“安康”“和顺”中的一个词语，则这位顾客中奖，反之没有中奖，每位顾客只能进行一轮抽奖．已知顾客从不透明的盒子取出标有“吉”“安”“和”“祥”“康”“顺”字样小球的概率均为，且顾客取出小球的结果相互独立． （1）求顾客中奖的概率； （2）若小明一家三口参加这个抽奖活动，求小明全家中奖次数的分布列及数学期望． 16．（2025春•深圳校级期末）是由中国杭州的公司开发的人工智能模型，其技术在多领域有着普惠应用，为提高的应用能力，某公司组织全体员工参加培训，培训结束之后，公司举行了一次专业知识比赛，比赛分为预赛与决赛，预赛通过后才能参加决赛，预赛从8道题中随机抽取4道作答，答对3道及以上则进入决赛，否则被淘汰． （1）若这8道题中甲能答对其中5道，计算甲进入决赛的概率； （2）已知甲进入了决赛，决赛需要回答3道题目，若全部答对则获得一等奖，奖励300元；若答对2道题目则获得二等奖，奖励150元；若答对1道题目则获得三等奖，奖励50元；若全部答错则没有奖励．若甲答对每道题目的概率均为，且每次答题相互独立，设甲获得奖金为，求的分布列及数学期望． 17．（2025春•新会区校级期末）从2016年1月1日起全国统一实施全面两孩政策，为了解适龄民众对放开生二孩政策的态度，某市选取80后作为调查对象，随机调查了10人，其中打算生二胎的有4人，不打算生二胎的有6人． （1）从这10人中随机抽取3人，记打算生二胎的人数为，求随机变量的分布列和数学期望； （2）若以这10人的样本数据估计该市的总体数据，且以频率作为概率，从该市80后中随机抽取3人，记打算生二胎的人数为，求随机变量的分布列和数学期望，方差． 18．（2024秋•汕头期末）某校为了解高三学生每天的作业完成时长，在该校高三学生中随机选取了100人，对他们每天完成各科作业的总时长进行了调研，结果如下表所示： 时长（小时） ， ， ， ， ， 人数（人 3 4 33 42 18 用表格中的频率估计概率，且每个学生完成各科作业时互不影响． （1）从该校高三学生中随机选取1人，估计该生可以在3小时内完成各科作业的概率； （2）从样本“完成各科作业的总时长在2.5小时内”的学生中随机选取3人，其中共有人可以在2小时内完成各科作业，求的分布列和数学期望； （3）从该校高三学生（学生人数较多）中随机选取3人，其中共有人可以在3小时内完成各科作业，求． 19．（2025春•广东校级期末）某工厂员工每天选择坐班车或开私家车去上班．统计可知，该工厂员工若前一天坐班车，则第二天仍坐班车的概率为，第二天改开私家车的概率为；若前一天开私家车，则第二天仍开私家车的概率为，第二天改坐班车的概率为．若该工厂员工上班第一天坐班车和开私家车的概率均为，该工厂某员工第天坐班车的概率为． （Ⅰ）设该工厂某3位员工中第二天坐班车的人数为，求的分布列与数学期望； （Ⅱ）求； （Ⅲ）为缓解交通压力，工厂决定每天抽调10人到班车停车场和私家车停车场参加安保工作，请合理分配每天去班车停车场和私家车停车场参加安保工作的人数，并说明理由． 考点04 二项分布的最值 20．（2023春•中山市期末）某人投篮命中的概率为0.3，投篮15次，最有可能命中 　　次． 21．（2025春•广州期末）某学校组织“一带一路”知识竞赛，每位参加比赛的同学均可参加多轮答题活动，每轮答题结果互不影响．每轮比赛共有，两组题，每组都随机抽取两道题，先进行组答题，只有组的两道题均答对，方可进行组答题，否则本轮答题结束．已知甲同学组每道题答对的概率均为，组每道题答对的概率均为两组题至少答对3题才可获得一张奖券． （1）设甲同学在一轮比赛中答对的题目数量为，求的分布列与数学期望； （2）若甲同学进行了8轮答题，试问甲同学获得多少张奖券的概率最大？并说明理由． 考点05 超几何分布的概率 22．（2021春•中山市期末）在医学生物学试验中，经常以果蝇作为试验对象，一个关有6只果蝇的笼子里，不慎混入了两只苍蝇（此时笼内共有8只蝇子：6只果蝇和2只苍蝇），只好把笼子打开一个小孔，让蝇子一只一只地往外飞，直到两只苍蝇都飞出，再关闭小孔．以表示笼内还剩下的果蝇的只数，则　　． 考点06 超几何分布的均值和方差 23．（2024秋•深圳期末）年末某商场举办购物有奖活动：若购物金额超过1000元，则可以抽奖一次，奖池中有9张卡片，“福”“迎”“春”卡各2张，“蛇”卡3张，每次抽奖者从中随机抽取4张卡片，抽到“蛇”卡获得2分，抽到其他卡均获得1分，最终得7分的人可得120元奖金，最终得4分的人可得60元奖金，其他最终得分的人可得20元奖金．已知小钟获得一次抽奖机会． （1）求小钟抽到“福”“迎”“春”“蛇”卡各1张的概率； （2）记小钟的中奖金额为，求的分布列及数学期望． 24．（2025春•东莞市期末）某校航模社团共有10名学生，研究“战斗机航模”的有6人，其中男生4人女生2人，另外4人研究“无人机航模”． （1）从研究“战斗机航模”的6人中任意选出2人宣传该社团，已知其中一位是女生，求另一位也是女生的概率； （2）从航模社团中任意选出3人参加航模设计大赛，设表示来自研究“无人机航模”的人数，求的数学期望． 25．（2025春•广州期末）一批笔记本电脑共有10台，其中品牌3台，品牌7台． （1）若每次从中随机抽取1台，抽取后不再放回，则在第一次抽到品牌的条件下，第二次抽到品牌的概率； （2）若从中随机抽取2台，求这2台电脑中品牌台数的分布列和期望． 26．（2024春•清远期末）在端午节吃“粽子”是我国的一个传统习俗，现在有一些形状、颜色和大小一致的“粽子”，其中甲同学有4个蛋黄馅的“粽子”和3个绿豆馅的“粽子”，乙同学有3个蛋黄馅的“粽子”和2个绿豆馅的“粽子”． （1）若从甲同学的“粽子”中有放回依次随机抽取3次，每次任取1个“粽子”，记抽取到绿豆馅的“粽子”个数为，求的分布列及数学期望； （2）若先从甲同学的“粽子”中任取2个送给乙同学，然后再从乙同学的“粽子”中任取1个，求取出的这个“粽子”是绿豆馅的概率． 27．（2024春•番禺区期末）人工智能研究实验室发布了一款全新聊天机器人模型，它能够通过学习和理解人类的语言来进行对话．在测试聊天机器人模型时，如果输入的问题没有语法错误，则聊天机器人模型的回答被采纳的概率为；如果输入的问题出现语法错误，则聊天机器人模型的回答被采纳的概率为． （1）在某次测试中输入了8个问题，聊天机器人模型的回答有5个被采纳．现从这8个问题中抽取3个．以表示抽取的问题中回答被采纳的问题个数，求的分布列和数学期望； （2）已知输入的问题出现语法错误的概率为． 求聊天机器人模型的回答被采纳的概率； 若已知聊天机器人模型的回答被采纳，求该输入的问题没有语法错误的概率． 28．（2024春•东莞市期末）随着互联网的普及、大数据的驱动，线上线下相结合的新零售时代已全面开启，新零售背景下，即时配送行业稳定快速增长．某即时配送公司为更好地了解客户需求，优化自身服务，提高客户满意度，在其，两个分公司的客户中各随机抽取10位客户进行了满意度评分调查（满分100分），评分结果如下： 分公司，80，72，79，80，78，87，86，91，91． 分公司，77，82，70，73，86，85，94，92，89． （1）求抽取的这20位客户评分的第一四分位数； （2）规定评分在75分以下的为不满意，从上述不满意的客户中随机抽取3人继续沟通不满意的原因及改进建议，设被抽到的3人中分公司的客户人数为，求的分布列和数学期望． 考点07 正态曲线的性质 29．（2013春•湛江期末）设两个正态分布，和，的密度曲线如图所示，则有　　 A．， B．， C．， D．， 30．（2024春•梅州期末）（多选）某地生产的甲、乙两类水果的质量（单位：分别服从正态分布，，它们的正态分布的密度曲线如图所示，则下列说法中正确的是　　 A． B． C． D． 31．（2025春•深圳期末）已知随机变量，，这两个正态密度曲线如图所示，下列结论中正确的是（　　） A． B． C． D． 32．（2025春•广州期末）（多选）李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到，假设坐公交车用时和骑自行车用时都服从正态分布，，．和的分布密度曲线如图所示．则下列正确的是　　 （参考数据：，， A． B． C． D．为了保证的概率不迟到，李明不管选择哪种交通工具都需至少预留36分钟时间 33．（2025春•佛山期末）（多选）设随机变量，，随机变量，，其正态密度曲线如图所示，则　　 A． B． C． D． 考点08 正态分布的概率计算 34．（2025春•清远期末）某班女生的身高（单位：近似服从正态分布，从中随机选取一人，则　　 ．（精确到0.0001，参考数据：若，则，， 35．（2025春•东莞市期末）已知随机变量，且，则（　　） A．0.3 B．0.4 C．0.5 D．0.6 36．（2025春•广东期末）已知随机变量，，那么的值为（　　） A．0.2 B．0.32 C．0.4 D．0.8 37．（2025春•汕尾期末）已知随机变量服从正态分布，且，则（　　） A．0.21 B．0.2 C．0.31 D．0.3 38．（2025春•肇庆期末）已知随机变量服从正态分布，且，则（　　） A．0.6 B．0.2 C．0.1 D．0.4 39．（2025春•广州期末）对某地区数学考试成绩的数据分析，学生成绩服从正态分布，，则（　　） A．0.98 B．0.96 C．0.52 D．0.48 40．（2025春•揭阳期末）已知随机变量，若，则　　 ． 41．（2025春•江门校级期末）已知随机变量服从正态分布，且，，则（　　） A．0.2 B．0.3 C．0.7 D．0.8 42．（2025春•顺德区校级期末）已知随机变量，且，则（　　） A．0.4 B．0.2 C．0.8 D．0.1 43．（2024春•广州期末）已知随机变量服从正态分布，且，则等于（　　） A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 考点09 根据正态分布的对称性求参 44．（2021春•东莞市期末）设随机变量服从正态分布，若，则（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 45．（2021春•天河区期末）已知随机变量服从正态分布，若，则（　　） A． B．1 C． D．2 46．（2020春•广东期末）已知随机变量服从正态分布，且，则（　　） A． B．0 C．1 D．3 考点10 正态分布的实际应用 47．（2024春•广州期末）某市共10000人参加一次物理测试，满分100分，学生的抽测成绩服从正态分布，，则抽测成绩在，的学生人数大约为（若，则， A．1359 B．2718 C．3414 D．4773 48．（2024春•佛山期末）某厂家生产的产品质量指标服从正态分布．质量指标介于162至180之间的产品为良品，为使这种产品的良品率达到，则需调整生产工艺，使得至多为 　　． （若，则 故答案为：3． 49．（2024春•清远期末）某市高二数学统考，满分为150分．假设学生考试成绩，，如果从高到低按照，，，的比例将考试成绩分为，，，四个等级，则等级分数线大概为（参考数据：若，则，，（　　） A．134 B．120 C．116 D．110 50．（2024春•江门期末）某校高二级学生参加期末调研考试的数学成绩服从正态分布，，将考试成绩从高到低，按照，，，的比例分为，，，四个等级．若小明的数学成绩为105分，则属于等级（附，，（　　） A． B． C． D． 51．（2024春•广东期末）某校高二年级下学期期中考试数学试卷满分为150分，90分以上为及格．阅卷结果显示，全年级800名学生的数学成绩近似服从正态分布，试卷的难度系数平均分为0.49，标准差为22，则该次数学考试及格的人数约为（　　） 附：若，记，则，（1）． A．127人 B．181人 C．254人 D．362人 52．（2025春•深圳期末）小张上班有四种方式，有步行，骑自行车，乘坐公汽，自己开车．他记录了100次用这四种方式上班所花费的时间，分别用随机变量，，，来表示用这四种方式上班所用时间（分钟）．经数据分析，，，，，，，，，如果某天有70分钟可用，他该选择哪种方式上班不迟到的概率最大（　　） ，， A．步行 B．骑自行车 C．乘坐公汽 D．自己开车 53．（2024春•番禺区期末）某中学1600名学生参加一分钟跳绳测试，经统计，成绩近似服从正态分布，已知成绩小于130的有300人，则可估计该校一分钟跳绳成绩在次之间的人数约为 　　． 54．（2024春•汕尾期末）某地区有20000名考生参加了高三第二次调研考试．经过数据分析，数学成绩近似服从正态分布，，则数学成绩位于，的人数约为（　　） 参考数据：，，． A．455 B．2718 C．6346 D．9545 55．（2023春•番禺区期末）某校1000名学生参加数学文化知识竞赛，每名学生的成绩，，成绩不低于90分为优秀，依此估计优秀的学生人数为 　　（结果填整数）．附：若，则，． 56．（2025春•潮州期末）已知某种机器的电源电压（单位：服从正态分布，．其电压通常有3种状态：①不超过；②在之间；③超过．在上述三种状态下，该机器生产的零件为不合格品的概率分别为0.15，0.05，0.2． （1）求该机器生产的零件为不合格品的概率； （2）从该机器生产的零件中随机抽取件，记其中恰有2件不合格品的概率为，求取得最大值时的值． 附：若取，． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $