专题07 数列全章20大题型（期末复习专项训练）高一数学下学期沪教版

**基本信息** 聚焦数列核心知识，以等差、等比为主线，覆盖概念、公式、性质及综合应用，题型分层递进，典例精选上海本地考题，强化逻辑推理与数学运算素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |等差数列|7题型（含单调性、中项、通项、求和及性质）|基础概念到公式应用，突出易错点（如单调性条件）|从定义出发，通过中项性质推导通项与求和公式，结合性质深化应用| |等比数列|7题型（含判定、中项、通项、求和及性质）|强调概念辨析与公式应用，关注公比分类讨论|类比等差数列，构建定义-中项-通项-求和的逻辑链，突出与等差数列的异同| |综合应用|6题型（含递推式、函数/不等式/三角综合）|多知识交汇，侧重复杂问题解决，体现建模思想|以等差等比为基础，拓展至递推关系及跨学科综合，培养数学表达与创新意识|

专题07 数列 题型一．数列的单调性 题型二．等差中项及其性质 题型三．由等差数列中若干项求通项公式或其中的项 题型四．等差数列通项公式的应用（难点） 题型五．求等差数列的前n项和（重点） 题型六．由等差数列的前n项和求解数列 题型七．等差数列前n项和的性质 题型八．等比数列的概念与判定 题型九．等比中项及其性质 题型十．由等比数列中若干项求通项公式或其中的项 题型十一．等比数列通项公式的应用（难点） 题型十二．求等比数列的前n项和（重点） 题型十三．由等比数列的前n项和求解数列 题型十四．等比数列前n项和的性质 题型十五．数列的应用 题型十六．数列递推式 题型十七．数列与函数的综合（难点） 题型十八．数列与不等式的综合（难点） 题型十九．等差数列与等比数列的综合（难点） 题型二十．数列与三角函数的综合（难点） 题型一．数列的单调性 1．（25-26•上海•浦东新区期中）已知等比数列的首项为，公比为，则“”是“数列为递增数列”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】 【分析】取，可判断充分性；由是递增数列，结合等比数列通项公式可得，，或，，从而得成立，即可判断必要性． 【详解】解：在等比数列中，，取，， 此时，为摆动数列，故充分性不成立； 若等比数列的公比为，且是递增数列， 又，则，，或，， 当，时，成立， 当，时，成立， 所以，数列为递增数列时，有成立，故必要性成立． 所以，“”是“数列为递增数列”的必要不充分条件． 故选：． 2．（25-26•上海•浦东新区月考）已知通项公式为的数列为严格增数列，则实数的取值范围是 　 　． 【答案】． 【分析】依题意有，解得，求出即可得的取值范围． 【详解】解：通项公式为的数列为严格增数列， ， 即，整理得， 则， 为减函数， 时，取得最大值，是， ，即的取值范围为． 故答案为：． 3．（23-24•上海•浦东新区期末）若严格递增数列满足，则首项的取值范围是（　　） A． B． C．，， D． 【答案】 【分析】由已知求得，再由求解的范围，验证时不合题意，再结合选项得答案． 【详解】解：， ． 由，得，解得或． 若，不妨取，得，，此时，不合题意； 结合选项及可知，首项的取值范围是． 故选：． 题型二．等差中项及其性质 4．（25-26•上海•浦东新区期中）已知为等差数列，，，则　 　 ． 【答案】6． 【分析】根据等差数列的性质求解即可． 【详解】解：由题可得：， 即，解得， 故． 故答案为：6． 5．（24-25•上海•宝山区期末）若等差数列的前三项依次为1，，，则实数的值为 　 　． 【答案】2． 【分析】根据等差中项的性质计算可得． 【详解】解：因为1，，为等差数列的前三项， 所以，解得． 故答案为：2． 6．（24-25•上海•虹口区期末）若与的等差中项为18，则实数的值为 　 　． 【答案】． 【分析】利用等差中项的性质直接求解． 【详解】解：与的等差中项为18， ， 解得实数． 故答案为：． 题型三．由等差数列中若干项求通项公式或其中的项 7．（2025•浦东新区模拟）记等差数列的前项和为，，，则 　 　． 【答案】160． 【分析】根据等差数列下标和的性质与等差数列前项求和公式计算即可求解． 【详解】解：由题意知，，得， ， ． 故答案为：160． 8．（25-26•上海•浦东新区期末）若等差数列满足，，则_______ ． 【分析】根据已知条件，结合等差数列的性质，即可求解． 【详解】解：设等差数列的公差为， ， 则，解得， ， 则， ， 故． 故答案为：． 9．（24-25•上海•普陀区期末）已知等差数列满足，则的值为 　 　． 【答案】4． 【分析】利用等差数列的通项公式求解． 【详解】解：等差数列满足， ， ． 故答案为：4． 题型四．等差数列通项公式的应用 10．（25-26•上海•浦东新区期末）已知等差数列满足，且，则首项 　 　 ． 【答案】故答案为：1． 【分析】根据等差数列通项计算基本量即可求解． 【详解】解：因为等差数列满足， 设公差为， 则，即得， 又因为， 所以， 则首项． 故答案为：1． 11．（25-26•上海•松江区月考）在等差数列中，，，则（　　） A．11 B．13 C．15 D．17 【答案】 【分析】根据等差数列的性质求解即可． 【详解】解：因为等差数列中，，， 所以公差， 所以． 故选：． 12．（2025•青浦区模拟）已知数列的前项和为，若，则不可能是（　　） A．公差大于0的等差数列 B．公差小于0的等差数列 C．公比大于0的等比数列 D．公比小于0的等比数列 【答案】 【分析】若，则，然后结合等差数列与等比数列的求和公式检验各选项即可判断． 【详解】解：若，则， 所以保证即可， 若为等差数列，取前2024项分别为，，，，1，3，，2023即可， 反之，取2023，，3，1，，，，也可，故、均可能； 若为等比数列，取即可，故有可能，若公比大于0，则或均不为0，故不可能． 故选：． 题型五．求等差数列的前n项和 13．（2026•浦东新区模拟）已知等差数列的前项和为，且，，则　 　 ． 【答案】14． 【分析】利用基本量法，求出等差数列的首项与公差，可得结论． 【详解】解：设等差数列的首项为，公差为． 因为，， 所以， 解得，， 所以． 故答案为：14． 14．（25-26•上海•静安区期末）记为等差数列的前项和，若，，则　 　 ． 【答案】27． 【分析】结合等差数列的通项公式及求和公式即可求解． 【详解】解：设等差数列的公差为，首项为， 依题意可得，，即， 又，解得，， 所以． 故答案为：27． 15．（25-26•上海•浦东新区期中）已知等差数列的前项和为，且，． （1）求数列的通项公式； （2）求． 【答案】（1）； （2）． 【分析】（1）根据题意，先求出，即可得的值，分析可得答案； （2）根据题意，由等差数列前项和公式计算可得答案． 【详解】解：（1）根据题意，设等差数列的公差为， 若，，则， 故， 所以． （2）根据题意，由（1）知，， 则． 题型六．由等差数列的前n项和求解数列 16．（24-25•上海•虹口区期末）已知等差数列，，，，若，则　 　． 【答案】14． 【分析】依题意可得数列首项为，公差为，根据等差数列求和公式得到方程，即可解出． 【详解】解：依题意，等差数列的首项为，公差为， 由前项和，解得或（舍去）． 故答案为：14． 17．（24-25•上海•浦东新区月考）已知数列是等差数列，其公差为，前项和为，若，，则　 　． 【答案】． 【分析】根据等差数列的前项和公式及下标和性质可求得，进而根据等差数列定义求公差． 【详解】解：，即， ，，， 又，则． 故答案为：． 18．（24-25•上海•嘉定区期中）记为等差数列的前项和．若，，则　 　． 【答案】4． 【分析】根据等差数列的性质可得，即可根据等差求和公式，代入化简即可求解． 【详解】解：根据等差数列的性质，设等差数列的公差为，则由，可得，， 所以 ． 故答案为：4． 题型七．等差数列前n项和的性质 19．（25-26•上海•闵行区期末）设数列是以为公差的等差数列，是其前项和，，且，则下列结论错误的是（　　） A． B． C． D．或为的最大值 【答案】 【分析】结合等差数列的性质检验各选项即可求解． 【详解】解：因为数列是以为公差的等差数列，，且， 则，即，正确； 所以，正确； ，即，错误； 由，可得，，， 所以或为的最大值，正确． 故选：． 20．（25-26•上海•浦东新区期末）设两个等差数列、的前项和分别为、，若对任意正整数都有，则的值为 ． 【答案】． 【分析】根据等差数列的性质和求和公式计算即可． 【详解】解：因为，为等差数列，， 由等差数列的性质可得， ． 故答案为：． 21．（23-24•上海•徐汇区期末）已知等差数列，是数列的前项和，且，． （1）求数列的通项公式； （2）求的最大值，并求取最大值时的值． 【答案】（1）； （2）时， 取最大值为8． 【分析】（1）由已知结合等差数列的通项公式先求出首项及公差，进而可求； （2）由已知结合等差数列的求和公式及二次函数的性质可求． 【详解】解：（1）由题意得， 解得，， 所以； （2）， 当时， 取最大值为8． 题型八．等比数列的概念与判定 22．（24-25•上海•浦东新区期中）已知数列是等比数列，则下列数列一定是等比数列的是（　　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】对于：根据等比数列的定义分析判断；对于：举例说明即可． 【详解】解：对于选项：因为不是定值，故不是等比数列，故错误； 对于选项：例如，则， 所以，均不是等比数列，故，错误； 对于选项：因为， 且， 所以是等比数列，故正确． 故选：． 23．（24-25•上海•静安区月考）对于数列，以下命题正确的个数有（　　） ①若，则为等比数列； ②若，则为等比数列； ③若，则为等比数列． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】 【分析】根据题意，根据等比数列的定义和判定方法依次分析3个命题，综合可得答案． 【详解】解：根据题意，依次分析3个命题： 对于①，若，变形可得，有， 即后一项与前一项的比不一定为常数，故①错误． 对于②，当时，满足，但数列不是等比数列，故②错误． 对于③，，则，，所以， 则数列为2为公比的等比数列，故③正确． 故选：． 24．（25-26•上海•嘉定区期中）已知数列满足，且． （1）求证：数列是等比数列； （2）求数列的通项公式及数列的前项和． 【答案】（1）由已知，变形得． 因为，所以，故，故． 又因为，所以， 因此数列是以2为首项，2为公比的等比数列； （2）． 【分析】（1）将题目的条件变形，然后结合等比数列的定义证明即可； （2）利用等比数列的通项公式结合分组求和即可． 【详解】（1）证明：由已知，变形得． 因为，所以，故，故． 又因为，所以， 因此数列是以2为首项，2为公比的等比数列； （2）解：由（1）知数列是以2为首项，2为公比的等比数列， 所以， 因此数列的通项公式为， 数列前项和：． 题型九．等比中项及其性质 25．（25-26•上海•宝山区期中）已知等比数列的各项均为正数，若，则_________ ． 【答案】． 【分析】结合等比数列的性质即可求解． 【详解】解：等比数列的各项均为正数，， 则． 故答案为：． 26．（25-26•上海•普陀区月考）在等比数列中，，，则公比_________ ． 【答案】． 【分析】由已知结合等比数列的性质即可求解． 【详解】解：等比数列中，若，可得或， 又，且和同号， 所以，， 所以． 故答案为：． 27．（25-26•上海•金山区月考）在等比数列中，， 则　 　 ． 【答案】20． 【分析】根据等比数列的性质求解即可． 【详解】解：等比数列中，， 设公比为， 可得，即，解得， 故． 故答案为：20． 题型十．由等比数列中若干项求通项公式或其中的项 28．（25-26•上海•长宁区期末）在等比数列中，，，则________ ． 【答案】． 【分析】根据等比数列的性质求解即可． 【详解】解：等比数列中，，， 则， 故． 故答案为：． 29．（2026•黄浦区二模）在公比为正数的等比数列中，，，则的值为_______ ． 【答案】． 【分析】利用等比数列的性质求解即可． 【详解】解：因为，， 所以， 即， 因为， 所以． 故答案为：． 30．（25-26•上海•杨浦区期末）已知等比数列满足：，，则公比________ ． 【答案】． 【分析】根据等比数列的性质求解即可． 【详解】解：等比数列满足：，， 可得， 可得或， 当时，可得，故， 当时，可得，故不存在． 故答案为：． 题型十一．等比数列通项公式的应用 31．（25-26•上海•杨浦区期末）在等比数列中，若，，则（　　） A． B． C． D．2 【答案】 【分析】结合等比数列的性质即可求解． 【详解】解：等比数列中，若，， 则， 则． 故选：． 32．（25-26•上海•闵行区期末）已知等比数列满足，，，则数列的通项公式 　 　 ． 【答案】． 【分析】根据等比数列通项公式即可得到方程组，解出即可． 【详解】解：等比数列满足，，， 由题意得，结合，解得， 则． 故答案为：． 33．（25-26•上海•静安区期末）2021年年初正式发布本市将加快推进“五个新城”建设，某公司积极响应，将总部迁入其中一个新城．该公司2021年第一季度的营业收入为1.1亿元，利润为0.16亿元．预测显示：在以2021年为第一年的未来十年（每年春夏秋冬4个季度，共40个季度）内，该公司每一季度的营业收入比上一季度增加0.05亿元，瑞联万象存档库供学科网商用，其他均为盗用由于投入成本的连续不断降低，每一季度的利润比上一季度增长．据此预测，解答以下问题： （1）求今年年）冬季，该公司第20个季度营业收入多少亿元？ （2）该公司在哪年哪个季度的利润将首次超过该季度的营业收入的？ 【答案】（1）2.05；（2）第7年第1个季度． 【分析】（1）直接计算即可； （2）设第个季度的营业收入为，第个季度的利润为，，，计算即可求得结论． 【详解】解：（1）这是求首项为1.1，公差为0.05的等差数列第20项的通项问题， 直接计算得（亿元）， 答：该公司今年冬季，第20个季度营业收入2.05亿元． （2）设第个季度的营业收入为，第个季度的利润为， 则，， ，， 设第个季度的利润将首次超过该季度的营业收入的， 根据题意得不等式：， 由于每季度的利润和该季度的营业收入都是增加的， 用计算器的列表功能，可得第21季度营业收入的为0.378亿元，利润为0.351元仍小于0.378； 第25季度营业收入的为0.414亿元，利润为0.41013元仍小于0.414； 第26季度营业收入的为0.423亿元，利润为0.42653元首次超过0.423； 答：该公司在第7年第1个季度（即2026年春季）的利润将首次超过该季度的营业收入的． 题型十二．求等比数列的前n项和 34．（25-26•上海•浦东新区月考）已知首项为的等差数列从第11项起为正数，则公差的范围是 　 　 ． 【答案】，． 【分析】由已知可得，求解得答案． 【详解】解：设等差数列的公差为， 由，可得， 从第11项起为正数， ，解得． 故答案为：，． 35．（25-26•上海•浦东新区期末）计算 　 　 ． 【答案】． 【分析】根据无穷等比数列的求和公式计算． 【详解】解：由无穷等比数列的求和公式可得． 故答案为：． 36．（25-26•上海•黄浦区月考）循环小数化为分数： 　 　 ． 【答案】． 【分析】根据题意，分析可得 ， 结合等比数列前项和公式计算可得答案． 【详解】解：根据题意， ， 又由， 故． 故答案为：． 题型十三．由等比数列的前n项和求解数列 37．（24-25•上海•浦东新区月考）已知数列是等比数列，其公比为，前项和为，则“”是“”的　　条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】 【分析】根据题意，利用充分条件与必要条件的定义以及等比数列的前项和公式分析“”和“”的关系，综合可得答案． 【详解】解：根据题意，数列是等比数列，当时，有， 所以“”是“”的充分条件； 反之，当时，若，成立； 若，，解得， 所以，当时，或，因此“”是“”的不必要条件； 所以“”是“”的充分不必要条件． 故选：． 38．（25-26•上海•金山区月考）已知等比数列的前项和为，若公比，，则 　 　 ． 【答案】1． 【分析】根据等比数列的前项和公式，结合已知条件列出关于的方程，进而求解的值． 【详解】解：因为公比，， ，解得：． 故答案为：1． 39．（23-24•上海•闵行区期中）设等比数列的公比为，且前项和为，若，，则正整数的值为　 　 ． 【答案】3． 【分析】根据题意，由等比数列通项公式求出的值，结合等比数列的前项和公式可得，变形可得答案． 【详解】解：根据题意，等比数列中， 若，则有，即， 解可得：或（舍， 若，即， 变形可得，必有． 故答案为：3． 题型十四．等比数列前n项和的性质 40．（25-26•上海•浦东新区期末）已知等比数列的前5项和为10，前10项和为50，则　 　 ． 【答案】210． 【分析】由等比数列的前项和性质可得，，，成等比数列，根据等比中项的性质即可求解． 【详解】解：等比数列的前5项和为10，前10项和为50， 则，，成等比数列， 即10，，成等比数列， 所以． 故答案为：210． 41．（25-26•上海•浦东新区月考）已知正项等比数列的前项的积为，，，是互不相等的正整数，给出下列命题：①若，则；②若，则．则而列判断正确的是（　　） A．①②均为真命题 B．①是真命题，②是假命题 C．①是假命题，②是真命题 D．①②均为假命题 【答案】 【分析】当等比数列公比为1时判断①；根据条件和等比数列下标和性质得出，推出，即可判断②． 【详解】解：对于①：当时，等比数列各项均相等，恒成立，但是不一定成立，故①错误； 对于②：由题意得，，不妨设， ， ， ， ，即， ， ， ， ， ，故②正确． 故选：． 42．（25-26•上海•上海月考）我国某西部地区进行沙漠治理，该地区有土地1万平方千米，其中是沙漠，从今年起，该地区进行绿化改造，每年把原有沙漠的改造为绿洲，同时原有绿洲的被沙漠所侵蚀又变成沙漠．设从今年起第年绿洲面积为万平方千米． （1）求第年绿洲面积与上一年绿洲面积的关系； （2）至少经过几年，绿洲面积可超过？ 【答案】（1）； （2）6年． 【分析】（1）根据已知条件直接列式计算即可求解； （2）构造等比数列得到，结合题意列出不等式即可求解． 【详解】解：（1）由题意得 ， 所以． （2）由（1）得， ． 又，所以，所以是以为首项，为公比的等比数列， ， 即． 令，即， 两边取常用对数得， 所以 ， ， 至少经过6年，绿洲面积可超过． 题型十五．数列的应用 43．（25-26•上海•上海期末）已知各项均为正实数的数列，若对任意的正整数，都存在唯一的正整数，使得为的前项和），那么称为数列，记，称为的“和数列”，则下列命题中真命题的序号为（　　） ①存在等差数列为数列 ②存在等比数列为数列 ③若数列为严格增数列，则其“和数列” 为严格增数列 ④若数列的“和数列” 为严格增数列，则为增数列 A．①②③ B．①③④ C．①③ D．②③ 【答案】 【分析】根据给定定义，举例说明判断命题①④；按公比，分类判断命题②；结合单调性推理判断命题③． 【详解】解：对于①，当，时，， 对于任意的正整数， 令， 所以对于每一个，都存在唯一的正整数使得， 因此存在等差数列为数列，①正确； 对于②，设等比数列的首项为，公比为， 若，则，，由，得，当时，此方程无解； 若，令，即， 当变化时，很难保证对于任意的正整数，都存在唯一的正整数使得等式成立， 例如，当，时，，方程无正整数解， 因此不存在等比数列为数列，②错误； 对于③，，对任意，知存在， 使得， 则，即，且数列为严格增数列，， 因此其“和数列” 为严格增数列，③正确； 对于④，例如2，1，3，4，5，，显然是所有正整数的排列， 且数列的“和数列” 为严格增数列，但不是递增数列，④错误． 故选：． 44．（25-26•上海•杨浦区期末）已知常数，有穷数列共有7项，其通项公式为，对于任意满足的正整数，记为，，，中正数的个数，则下列情形不可能成立的是（　　） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】 【分析】对应开口向下、对称轴为的二次函数，故前2项递增，从第3项起递减，、、：通过调整入，可使对应满足条件，可能成立，是前3项正数个数，最多为3，不可能是4，不可能成立． 【详解】解：，对应二次函数，开口向下，对 称轴，故数列前2项递增，从第3项开始递减， 选项：且，可通过调整入使前4项仅1个正数、第5项非正，可能成立； 选项：且可调整入使前4项3个正数、第5项为正，可能成立； 选项：表示前3项中正数个数，最多为3，不可能是4，不可能成立； 选项：且，可调整入使前5项5个正数、第6项为正，可能成立． 故选：． 45．（25-26•上海•杨浦区期末）血药浓度检测可使给药方案个体化，从而达到临床用药的安全、有效、合理．某医学研究所研制的某种新药进入了临床试验阶段，经检测，当患者给药3小时的时候血药浓度达到峰值，此后每经过2小时检测一次，每次检测血药浓度降低到上一次检测血药浓度的，当血药浓度为峰值的时，给药时间（即从患者服药时开始到此刻的时间）为 　 　 小时． 【答案】13． 【分析】设检测第次时，给药时间为，根据等差数列的定义得，设当给药时间为小时的时候，患者血药浓度为，血药浓度峰值为，根据等比数列的定义得，进而求得，即可求给药时间． 【详解】解：根据题意，设检测第次时，给药时间为， 由于当患者给药3小时的时候血药浓度达到峰值，此后每经过2小时检测一次， 则数列是以3为首项，2为公差的等差数列，即， 设当给药时间为小时，患者血药浓度为，血药浓度峰值为， 则数列是首项为，公比为0.4的等比数列，所以， 令，即，解得， 当血药浓度为峰值的时，给药时间为． 故答案为：13． 题型十六．数列递推式 46．（25-26•上海•嘉定区期末）设是一个无穷数列的前项和，若一个数列满足对任意的正整数，不等式恒成立，则称数列为和谐数列．给出下列命题： （1）若对任意的正整数均有，则数列为和谐数列； （2）若等差数列为和谐数列，则一定存在最大值， 以下说法正确的是（　　） A．（1）错（2）对 B．（1）对（2）错 C．（1）（2）都对 D．（1）（2）都错 【答案】 【分析】由条件，得，然后再进行判断． 【详解】解：对于（1），不等式，即， 也就是， 若，则，故（1）正确； 对于（2），设等差数列的公差为， 则，所以， 即数列是公差为的等差数列， 若为和谐数列，即，则， 关于的二次函数开口向上， 在上一定存在最小值，无最大值，故（2）错误． 故选：． 47．（25-26•上海•上海期中）已知数列满足：为正整数），则　 　 ． 【答案】． 【分析】由条件式可得，两式相减即可求得，注意验证是否成立． 【详解】解：因为，① 所以当时，， 当时，，② ①②得：，所以， 当时，，所以时不满足上式， 所以． 故答案为：． 48．（25-26•上海•静安区期中）已知数列的前项和，则数列的通项公式　 　 ． 【答案】． 【分析】根据时，，当时，即可求解结论． 【详解】解：数列的前项和， 时，， 当时，， 也适合上式． 故数列的通项公式． 故答案为：． 题型十七．数列与函数的综合 49．（25-26•上海•闵行区期末）高斯被认为是历史上最重要的数学家之一．在求1到100这100个自然数的和时，10岁的高斯是这样算的：，，，，共有50组，所以，这就是著名的高斯算法，教材中推导等差数列前项和的方法正是借助了高斯算法．已知等比数列的各项均为正数，且公比不等于1，，试根据提示探究：若，则　 　 ． 【答案】1012． 【分析】首先根据函数解析式得到，再根据等比数列的性质，即可求解． 【详解】解：因为， 所以， 所以， 又因为等比数列的各项均为正数，且公比不等于1，， 所以， 所以，，，，， 所以， 由等比数列的性质可知所以上式． 故答案为：1012． 50．（25-26•上海•闵行区月考）设函数，（其中常数，，无穷数列满足：首项，，，． （1）判断函数的奇偶性，并说明理由； （2）已知对任意的，，，求证：当时，数列不是等差数列； （3）当时，数列是否可能为无穷等比数列？若可能，求出所有可能的公比组成的集合；若不可能，请说明理由． 【答案】（1）奇函数，理由见解析． （2）证明见解析 （3）可能，，． 【分析】（1）利用函数奇偶性的定义可得出结论； （2）利用反证法进行证明； （3）先设定存在要求的无穷等比数列，转化为对所有成立，然后对，，，分别讨论研究求解． 【详解】解：（1）函数的定义域是，关于原点对称． ． 所以是奇函数． 证明：（2）假设数列是等差数列，设公差为． 因为，所以． 由，且，可得： ，即． 若是等差数列，则的值恒定（为． 而，那么． 根据正弦函数性质，时，或， 若恒为常数，则需满足特定周期条件，可推出是4的正整数倍． 当且时，，但正弦函数的值域是，，方程无解，与矛盾． 所以假设不成立，当时，数列不是等差数列． （3）设数列为无穷等比数列，公比为， 根据递推关系，即：，即：． 若， 由于，是正整数，因此，，4，6，， 此时数列是常数数列，公比． 由于，有：， 因此，常数数列满足，公比． 若，研究等式成立的条件． 当时，当为偶数时，，当为奇数时，， 所以，设，则， 又，， 因为，是函数在轴右侧的第一个最底点，直线的斜率， 过原点的直线的斜率为负值且大于直线的斜率， 由于直线与正弦函数在轴右侧有交点， 直线与正弦函数在轴右侧有交点（如图所示）， 方程有正实数解，对应有解， 所以当时，有符合题意无穷等比数列． 当时，当时式中趋近于，而，不可能恒成立； 当时，当时， 当时， 如上图，做出单位元中的角正弦线和正切线，，连接， 则，即， ，， 所以，所以， 所以，所以， ， 由，，与矛盾． 对于，无法构造出满足所有的等比数列． 因此，所有可能的公比组成的集合为，． 51．（25-26•上海•浦东新区期中）已知定义在上的函数，数列满足，且． （1）若，，求的值； （2）若，且数列为严格增数列，求的取值范围； （3）若，且数列满足，其中，求和的值． 【答案】（1）； （2）； （3），． 【分析】（1）根据递推公式结合可求得的值； （2）分析函数在上为增函数，结合数列为严格增数列，可得出解得，由此得出，然后结合递推公式逐项推导可知， 综合可得出的取值范围； （3）由题意可知对任意的恒成立，讨论，结合以及推出矛盾，从而得出，，即可得解． 【详解】解：（1）因为，则，因为，则， 由，可得，由，解得． （2）因为，则， 因为函数、在上均为增函数，故函数在上为增函数， 因为数列为严格增数列，则， 可得，解得，所以，且当时，， 且，当时，， 且，， 以此类推可知，对任意的，，，合乎题意， 因此，的取值范围是； （3）由题意可知，， 即对任意的恒成立，若， 则，即对任意的恒成立， 令，可得， 因为，当时，与题意矛盾． 所以，必有，从而可得，进而有．故，． 题型十八．数列与不等式的综合 52．（25-26•上海•徐汇区期中）已知是数列的前项和，若是等差数列，且，． （1）求的值； （2）为何值时，的值最小？ 【答案】（1）； （2）当或5时，取得最小值20． 【分析】（1）设出的公差，根据题目条件得到方程组，求出公差，得到，得到答案； （2）在（1）的基础上得到，进而得到，求出答案． 【详解】解：（1）根据题意，数列是等差数列，不妨设的公差为， 又由，则， ，则，， 又，故，解得， 所以， 故； （2）由题意得， 故， 所以， 因为，所以当或5时，取得最小值，最小值为． 53．（25-26•上海•闵行区期末）已知数列的前项和为，且，数列满足． （1）证明：为等差数列； （2）求数列的前项和； （3）若不等式对都成立，求的最大值． 【答案】（1）证明见解析； （2）； （3）． 【分析】（1）根据给定的递推公式，利用变形推理得证． （2）由（1）求出，再利用错位相减法求和即得． （3）求出，分离参数并构造新数列，探讨数列单调性求出最小值即可得解． 【详解】解：（1）证明：因为， 当时，，则， 当时，，则， 即，又， 因此是以2为首项，公差为1的等差数列． （2）由（1）得，， 则， ①， 则②， ①②得 ， 所以； （3），不等式， 即对任意正整数都成立， 令， 则， 则，数列是递增数列， 因此，即，所以实数的最大值为． 54．（24-25•上海•黄浦区月考）已知数列满足，．又数列满足． （1）求证：数列是等比数列； （2）若数列是严格增数列，求的取值范围． 【答案】（1）证明见解析； （2）． 【分析】（1）根据给定的递推公式，裂项变形，再利用等比数列定义判断即得． （2）由（1）求出数列的通项，再由单调性列出不等式，分离参数，借助单调性求解即得． 【详解】解：（1）证明：根据题意，当时，，即， 又由，即， 又，即，所以数列是等比数列． （2）由（1），，即，， 依题意，对任意的正整数成立， 即对任意的正整数成立， 而数列严格增，且对任意的正整数成立， 因此，又，解得， 所以的取值范围是． 题型十九．等差数列与等比数列的综合 55．（25-26•上海•静安区期中）设等差数列的公差为且，记数列、的前项和分别为、． （1）若，，求的值； （2）若，证明：对任意，数列都不是等比数列； （3）若数列是等差数列，且，求的值． 【答案】（1）3． （2）因为， 所以， 所以， 假设数列是等比数列，则对任意正整数，都满足为公比）， 代入得，， 所以， 即恒成立， 所以，该方程组无解，即假设不成立， 所以对任意，数列都不是等比数列． （3）． 【分析】（1）根据等差数列通项公式和前项和公式进行计算即可； （2）先写出的通项公式，进而得，再利用反证法，结合等比数列的定义进行证明即可； （3）先结合已知条件与等差数列中项，推出或，再利用等差数列前项和性质与等差数列的通项公式，分类讨论求解即可． 【详解】（1）解：因为， 所以， 所以． （2）证明：因为， 所以， 所以， 假设数列是等比数列，则对任意正整数，都满足为公比）， 代入得，， 所以， 即恒成立， 所以，该方程组无解，即假设不成立， 所以对任意，数列都不是等比数列． （3）解：若为等差数列，则，即， 所以， 所以， 整理得，解得或， 因为，所以， 因为， 所以，即， 所以，即，解得或（舍， 当时，，解得，与矛盾，舍去； 当时，，解得，符合题意， 综上，． 56．（25-26•上海•长宁区期末）已知等比数列的前项和为，前项积为，则下列选项中正确的是（　　） A．若，则数列严格增 B．若，则数列严格增 C．若数列严格增，则 D．若数列严格增，则 【答案】 【分析】项、项、项可通过举反例判断，由数列是单调递增可证得，，进而可判断项． 【详解】解：对于，由，得，即， 当，时，，但不是单调递增，故错误； 对于，由，得，则， 所以当时， ， 满足，但不是单调递增，故错误； 对于，当时，由，， 满足数列单调递增，但，故错误； 对于，由是单调递增，则，，所以，故， 即，所以，且， 又因为，所以，即，故正确． 故选：． 57．（25-26•上海•黄浦区月考）在各项均不相等的等差数列中，，且，，成等比数列，数列的前项和． （1）求数列，的通项公式； （2）设，数列的前项和为，若不等式对任意的正整数恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）；； （2）． 【分析】（1）设等差数列的公差为，由，，成等比数列，可求得，可得通项公式，由及可得通项公式； （2）由等差数列的求和公式可得，再用二次函数的性质求出其最大值，然后结合对数的单调性可得． 【详解】解：（1）设等差数列的公差为， 由，，成等比数列，得，即，解得， 数列的通项公式为； 当时，， 由，得， 当时，有， 验证当时，满足上式， 数列的通项公式为； （2）由（1）可得， ， 由，得对任意的正整数恒成立， ，当时最大值为16， ，可得，则， 且，即，取交集得，． 实数的取值范围为． 题型二十．数列与三角函数的综合 58．（25-26•上海•黄浦区月考）数列满足，，，若不等式恒成立，则正整数的最大值为　 　 ． 【答案】8． 【分析】将递推式两边同时平方可得的通项公式，从而求出的通项公式，利用累乘对不等式进行化简，得到不等关系，再结合恒成立问题求出正整数的最大值． 【详解】解：由题得， 两边平方得， 则是以1为首项，1为公差的等差数列，即， 由，得， ． 因为，所以，则， 可得，则正整数的最大值为8． 故答案为：8． 59．（25-26•上海•徐汇区期中）（理设函数，其中、，2，，，，为已知实常数，． 下列关于函数的性质判断正确的命题的序号是　 　 ． ①若，则对任意实数恒成立； ②若，则函数为奇函数； ③若，则函数为偶函数； ④当时，若，则． 【分析】对于②，先由，得出，要判断函数为奇函数，只需验证； 对于③，先由，得出，要判断函数为偶函数，只需验证； 对于①：由①知函数为奇函数，由②知函数为偶函数，从而； 对于④：当时，由， 得，故可得结论． 【详解】解：对于②：若，则， ， 函数为奇函数； 对于③：若， 则，， 函数为偶函数； 对于①：若，则函数为奇函数，也为偶函数，对任意实数恒成立； 对于④：当时，若， 则， ， 可得． 故答案为：①②③④． 60．（25-26•上海•闵行区月考）在数列中，若以相邻三项、、为线段长度能构成一个三角形，则记这个三角形为△且这三边所对的角分别为、、． （1）在△中，以、、为线段长度，能否构成一个三角形？并说明理由； （2）在△中，、、成等差数列，且是等比数列，判断△的形状，并证明； （3）若是等差数列，，公差，且存在正整数，使得△的一个内角为，求公差的值． 【答案】（1）能，理由见解析； （2）△是等边三角形，证明见解析； （3）的值为或2． 【分析】（1）利用正弦定理可得出结论； （2）由三角形的内角和定理以及等差数列的定义求出的值，然后利用余弦定理得出，即可得出结论； （3）由题意得出，，，，结合余弦定理得出，利用等差数列的基本量法得出，对的取值进行分类讨论，可得出的值． 【详解】解：（1）根据题意，在△中，以、、为线段长度，能构成一个三角形， 理由如下：由正弦定理，，变形可得：， 因为、、是△的三边， 所以、、为边长的三角形与△相似． 故以、、为线段长度，能构成一个三角形． （2）根据题意，△是等边三角形， 证明如下：由题意可得，又，所以， 又因为是等比数列，所以． 由余弦定理，可得， 即，即，所以． 又因为，所以△是等边三角形． （3）因为，，，， 由余弦定理得， 即， 变形可得：． 因为，，故解得， 当时，；当时，；当时，，舍去． 验证：当时，三边为1、、，符合题意； 当时，三边为3、5、7，符合题意． 综上，的值为或2． 试卷第1页，共3页 1 / 66 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 数列 题型一．数列的单调性 题型二．等差中项及其性质 题型三．由等差数列中若干项求通项公式或其中的项 题型四．等差数列通项公式的应用（难点） 题型五．求等差数列的前n项和（重点） 题型六．由等差数列的前n项和求解数列 题型七．等差数列前n项和的性质 题型八．等比数列的概念与判定 题型九．等比中项及其性质 题型十．由等比数列中若干项求通项公式或其中的项 题型十一．等比数列通项公式的应用（难点） 题型十二．求等比数列的前n项和（重点） 题型十三．由等比数列的前n项和求解数列 题型十四．等比数列前n项和的性质 题型十五．数列的应用 题型十六．数列递推式 题型十七．数列与函数的综合（难点） 题型十八．数列与不等式的综合（难点） 题型十九．等差数列与等比数列的综合（难点） 题型二十．数列与三角函数的综合（难点） 题型一．数列的单调性 1．（25-26•上海•浦东新区期中）已知等比数列的首项为，公比为，则“”是“数列为递增数列”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（25-26•上海•浦东新区月考）已知通项公式为的数列为严格增数列，则实数的取值范围是 　 　． 3．（23-24•上海•浦东新区期末）若严格递增数列满足，则首项的取值范围是（　　） A． B． C．，， D． 题型二．等差中项及其性质 4．（25-26•上海•浦东新区期中）已知为等差数列，，，则　 　 ． 5．（24-25•上海•宝山区期末）若等差数列的前三项依次为1，，，则实数的值为 　 　． 6．（24-25•上海•虹口区期末）若与的等差中项为18，则实数的值为 　 　． 题型三．由等差数列中若干项求通项公式或其中的项 7．（2025•浦东新区模拟）记等差数列的前项和为，，，则 　 　． 8．（25-26•上海•浦东新区期末）若等差数列满足，，则_______ ． 9．（24-25•上海•普陀区期末）已知等差数列满足，则的值为 　 　． 题型四．等差数列通项公式的应用 10．（25-26•上海•浦东新区期末）已知等差数列满足，且，则首项 　 　 ． 11．（25-26•上海•松江区月考）在等差数列中，，，则（　　） A．11 B．13 C．15 D．17 12．（2025•青浦区模拟）已知数列的前项和为，若，则不可能是（　　） A．公差大于0的等差数列 B．公差小于0的等差数列 C．公比大于0的等比数列 D．公比小于0的等比数列 题型五．求等差数列的前n项和 13．（2026•浦东新区模拟）已知等差数列的前项和为，且，，则　 　 ． 14．（25-26•上海•静安区期末）记为等差数列的前项和，若，，则　 　 ． 15．（25-26•上海•浦东新区期中）已知等差数列的前项和为，且，． （1）求数列的通项公式； （2）求． 题型六．由等差数列的前n项和求解数列 16．（24-25•上海•虹口区期末）已知等差数列，，，，若，则　 　． 17．（24-25•上海•浦东新区月考）已知数列是等差数列，其公差为，前项和为，若，，则　 　． 18．（24-25•上海•嘉定区期中）记为等差数列的前项和．若，，则　 　． 题型七．等差数列前n项和的性质 19．（25-26•上海•闵行区期末）设数列是以为公差的等差数列，是其前项和，，且，则下列结论错误的是（　　） A． B． C． D．或为的最大值 20．（25-26•上海•浦东新区期末）设两个等差数列、的前项和分别为、，若对任意正整数都有，则的值为 ． 21．（23-24•上海•徐汇区期末）已知等差数列，是数列的前项和，且，． （1）求数列的通项公式； （2）求的最大值，并求取最大值时的值． 题型八．等比数列的概念与判定 22．（24-25•上海•浦东新区期中）已知数列是等比数列，则下列数列一定是等比数列的是（　　） A． B． C． D． 23．（24-25•上海•静安区月考）对于数列，以下命题正确的个数有（　　） ①若，则为等比数列； ②若，则为等比数列； ③若，则为等比数列． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 24．（25-26•上海•嘉定区期中）已知数列满足，且． （1）求证：数列是等比数列； （2）求数列的通项公式及数列的前项和． 题型九．等比中项及其性质 25．（25-26•上海•宝山区期中）已知等比数列的各项均为正数，若，则_________ ． 26．（25-26•上海•普陀区月考）在等比数列中，，，则公比_________ ． 27．（25-26•上海•金山区月考）在等比数列中，， 则　 　 ． 题型十．由等比数列中若干项求通项公式或其中的项 28．（25-26•上海•长宁区期末）在等比数列中，，，则________ ． 29．（2026•黄浦区二模）在公比为正数的等比数列中，，，则的值为_______ ． 30．（25-26•上海•杨浦区期末）已知等比数列满足：，，则公比________ ． 题型十一．等比数列通项公式的应用 31．（25-26•上海•杨浦区期末）在等比数列中，若，，则（　　） A． B． C． D．2 32．（25-26•上海•闵行区期末）已知等比数列满足，，，则数列的通项公式 　 　 ． 33．（25-26•上海•静安区期末）2021年年初正式发布本市将加快推进“五个新城”建设，某公司积极响应，将总部迁入其中一个新城．该公司2021年第一季度的营业收入为1.1亿元，利润为0.16亿元．预测显示：在以2021年为第一年的未来十年（每年春夏秋冬4个季度，共40个季度）内，该公司每一季度的营业收入比上一季度增加0.05亿元，瑞联万象存档库供学科网商用，其他均为盗用由于投入成本的连续不断降低，每一季度的利润比上一季度增长．据此预测，解答以下问题： （1）求今年年）冬季，该公司第20个季度营业收入多少亿元？ （2）该公司在哪年哪个季度的利润将首次超过该季度的营业收入的？ 题型十二．求等比数列的前n项和 34．（25-26•上海•浦东新区月考）已知首项为的等差数列从第11项起为正数，则公差的范围是 　 　 ． 35．（25-26•上海•浦东新区期末）计算 　 　 ． 36．（25-26•上海•黄浦区月考）循环小数化为分数： 　 　 ． 题型十三．由等比数列的前n项和求解数列 37．（24-25•上海•浦东新区月考）已知数列是等比数列，其公比为，前项和为，则“”是“”的　　条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 38．（25-26•上海•金山区月考）已知等比数列的前项和为，若公比，，则 　 　 ． 39．（23-24•上海•闵行区期中）设等比数列的公比为，且前项和为，若，，则正整数的值为　 　 ． 题型十四．等比数列前n项和的性质 40．（25-26•上海•浦东新区期末）已知等比数列的前5项和为10，前10项和为50，则　 　 ． 41．（25-26•上海•浦东新区月考）已知正项等比数列的前项的积为，，，是互不相等的正整数，给出下列命题：①若，则；②若，则．则而列判断正确的是（　　） A．①②均为真命题 B．①是真命题，②是假命题 C．①是假命题，②是真命题 D．①②均为假命题 42．（25-26•上海•上海月考）我国某西部地区进行沙漠治理，该地区有土地1万平方千米，其中是沙漠，从今年起，该地区进行绿化改造，每年把原有沙漠的改造为绿洲，同时原有绿洲的被沙漠所侵蚀又变成沙漠．设从今年起第年绿洲面积为万平方千米． （1）求第年绿洲面积与上一年绿洲面积的关系； （2）至少经过几年，绿洲面积可超过？ 题型十五．数列的应用 43．（25-26•上海•上海期末）已知各项均为正实数的数列，若对任意的正整数，都存在唯一的正整数，使得为的前项和），那么称为数列，记，称为的“和数列”，则下列命题中真命题的序号为（　　） ①存在等差数列为数列 ②存在等比数列为数列 ③若数列为严格增数列，则其“和数列” 为严格增数列 ④若数列的“和数列” 为严格增数列，则为增数列 A．①②③ B．①③④ C．①③ D．②③ 44．（25-26•上海•杨浦区期末）已知常数，有穷数列共有7项，其通项公式为，对于任意满足的正整数，记为，，，中正数的个数，则下列情形不可能成立的是（　　） A．且 B．且 C．且 D．且 45．（25-26•上海•杨浦区期末）血药浓度检测可使给药方案个体化，从而达到临床用药的安全、有效、合理．某医学研究所研制的某种新药进入了临床试验阶段，经检测，当患者给药3小时的时候血药浓度达到峰值，此后每经过2小时检测一次，每次检测血药浓度降低到上一次检测血药浓度的，当血药浓度为峰值的时，给药时间（即从患者服药时开始到此刻的时间）为 　 　 小时． 题型十六．数列递推式 46．（25-26•上海•嘉定区期末）设是一个无穷数列的前项和，若一个数列满足对任意的正整数，不等式恒成立，则称数列为和谐数列．给出下列命题： （1）若对任意的正整数均有，则数列为和谐数列； （2）若等差数列为和谐数列，则一定存在最大值， 以下说法正确的是（　　） A．（1）错（2）对 B．（1）对（2）错 C．（1）（2）都对 D．（1）（2）都错 47．（25-26•上海•上海期中）已知数列满足：为正整数），则　 　 ． 48．（25-26•上海•静安区期中）已知数列的前项和，则数列的通项公式　 　 ． 题型十七．数列与函数的综合 49．（25-26•上海•闵行区期末）高斯被认为是历史上最重要的数学家之一．在求1到100这100个自然数的和时，10岁的高斯是这样算的：，，，，共有50组，所以，这就是著名的高斯算法，教材中推导等差数列前项和的方法正是借助了高斯算法．已知等比数列的各项均为正数，且公比不等于1，，试根据提示探究：若，则　 　 ． 50．（25-26•上海•闵行区月考）设函数，（其中常数，，无穷数列满足：首项，，，． （1）判断函数的奇偶性，并说明理由； （2）已知对任意的，，，求证：当时，数列不是等差数列； （3）当时，数列是否可能为无穷等比数列？若可能，求出所有可能的公比组成的集合；若不可能，请说明理由． 51．（25-26•上海•浦东新区期中）已知定义在上的函数，数列满足，且． （1）若，，求的值； （2）若，且数列为严格增数列，求的取值范围； （3）若，且数列满足，其中，求和的值． 题型十八．数列与不等式的综合 52．（25-26•上海•徐汇区期中）已知是数列的前项和，若是等差数列，且，． （1）求的值； （2）为何值时，的值最小？ 53．（25-26•上海•闵行区期末）已知数列的前项和为，且，数列满足． （1）证明：为等差数列； （2）求数列的前项和； （3）若不等式对都成立，求的最大值． 54．（24-25•上海•黄浦区月考）已知数列满足， ．又数列满足． （1）求证：数列是等比数列； （2）若数列是严格增数列，求的取值范围． 题型十九．等差数列与等比数列的综合 55．（25-26•上海•静安区期中）设等差数列的公差为且，记数列、的前项和分别为、． （1）若，，求的值； （2）若，证明：对任意，数列都不是等比数列； （3）若数列是等差数列，且，求的值． 56．（25-26•上海•长宁区期末）已知等比数列的前项和为，前项积为，则下列选项中正确的是（　　） A．若，则数列严格增 B．若，则数列严格增 C．若数列严格增，则 D．若数列严格增，则 57．（25-26•上海•黄浦区月考）在各项均不相等的等差数列中，，且，，成等比数列，数列的前项和． （1）求数列，的通项公式； （2）设，数列的前项和为，若不等式对任意的正整数恒成立，求实数的取值范围． 题型二十．数列与三角函数的综合 58．（25-26•上海•黄浦区月考）数列满足，，，若不等式恒成立，则正整数的最大值为　 　 ． 59．（25-26•上海•徐汇区期中）（理设函数，其中、，2，，，，为已知实常数，． 下列关于函数的性质判断正确的命题的序号是　 　 ． ①若，则对任意实数恒成立； ②若，则函数为奇函数； ③若，则函数为偶函数； ④当时，若，则． 60．（25-26•上海•闵行区月考）在数列中，若以相邻三项、、为线段长度能构成一个三角形，则记这个三角形为△且这三边所对的角分别为、、． （1）在△中，以、、为线段长度，能否构成一个三角形？并说明理由； （2）在△中，、、成等差数列，且是等比数列，判断△的形状，并证明； （3）若是等差数列，，公差，且存在正整数，使得△的一个内角为，求公差的值． 试卷第1页，共3页 1 / 66 学科网（北京）股份有限公司 $