精品解析：黑龙江哈尔滨市德强高级中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试题（Ⅱ卷）

哈尔滨德强高级中学2025-2026学年度下学期期中考试 高一年级数学试题（Ⅱ卷） 时间：120分钟 满分：150分 一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知为虚数单位，则复数（ ） A. B. C. D. 2. 已知直线直线b，直线c，平面，则（ ） A. B. C. a与相交 D. 或 3. 如图，已知分别是正方体所在棱的中点，则下列直线中与直线EF异面的是（　） A. B. C. D. 4. 如图，四边形ABCD的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，，则四边形ABCD的面积是（ ） A. B. C. 8 D. 16 5. 已知，，且，夹角为，则（ ） A. 3 B. 6 C. D. 6. 如图，P为平行四边形所在平面外一点，E为的中点，F为上一点，当平面时，（ ） A. B. C. 2 D. 7. 记的内角的对边分别为，，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，正方体的棱长为2，E是的中点，F是侧面内的一个动点（含边界），且平面，则的最小值为（ ）. A. B. C. D. 二、多选题（共4小题，每小题5分，共20分） 9. 已知向量，，其中，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若与的夹角为钝角，则 D. 若，向量在方向上的投影向量为 10. 已知圆锥的底面半径为1，高为，为顶点，，为底面圆周上两个动点，则（　　） A. 圆锥的体积为 B. 圆锥的侧面展开图的圆心角大小为 C. 圆锥截面的面积的最大值为 D. 从点出发绕圆锥侧面一周回到点的无弹性细绳的最短长度为 11. 如图，在正方体中，、、分别是棱、、的中点，则（ ） A. 平面 B. 平面 C. 点在平面内 D. 点在平面内 12. 如图，在四边形中，已知，，，，，则以下说法正确的有（ ） A. B. C. 四边形的面积为 D. 三、填空题（共4小题，每小题5分，共20分） 13. 设复数，则___________． 14. 攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构样式.如图所示的亭子模型带有攒尖，其屋顶可近似看作一个圆锥，若此圆锥底的面积为4π，体积为 则将此圆锥展开，所得扇形的圆心角为_____________. 15. 在中，角的对边分别是，已知，，则的面积为___________． 16. 已知中，，，，点为边上的动点，则的最小值为_________. 四、解答题（共6小题，共70分） 17. 已知i为虚数单位，复数z满足，其中． （1）若z为纯虚数，求m的值； （2）若z在复平面内对应的点位于第二象限，求m的取值范围． 18. 已知向量与是平面内的两个向量，，与的夹角为. （1）求； （2）在平面直角坐标系下，若，求在方向上的投影向量的坐标. 19. 如图，在棱长为2的正方体中，截去三棱锥. （1）求截去的三棱锥的表面积与剩余的几何体的体积； （2）在剩余的几何体中连接，求四棱锥的体积. 20. 在中，角，，所对的边分别为，，，且. （1）求角的大小； （2）若，的面积为，求的角平分线的长度. 21. 如图，正方体中，M，N分别为AB，BC中点． （1）当点P在棱上运动时，是否都有平面，证明你的结论． （2）若P是的中点，若Q是的四等分点，且，求证：平面平面. 22. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）求角A的大小； （2）若，的面积为，求的周长； （3）若，D是边上的点，且平分，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 哈尔滨德强高级中学2025-2026学年度下学期期中考试 高一年级数学试题（Ⅱ卷） 时间：120分钟 满分：150分 一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知为虚数单位，则复数（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】. 2. 已知直线直线b，直线c，平面，则（ ） A. B. C. a与相交 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】由平行公理得，再由直线和平面的位置关系即可判断. 【详解】，，， ，或． 故选：D. 3. 如图，已知分别是正方体所在棱的中点，则下列直线中与直线EF异面的是（　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用异面直线的定义依次判断选项即可. 【详解】如图取正方体底边的中点，和正方体的顶点M，N，P，Q， 连接， 在正方体中有， 所以，所以点四点共面；同理可知点四点共面，点四点共面，点四点共面，所以六点共面, 所以直线与直线、直线与直线共面、直线与直线共面， 直线平面AFG， 直线平面，所以直线与直线是异面直线. 综上可知ABC错误D正确. 故选：D. 4. 如图，四边形ABCD的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，，则四边形ABCD的面积是（ ） A. B. C. 8 D. 16 【答案】A 【解析】 【分析】根据斜二测画法的规则，由直观图的特征推出原平面图形的形状及相关边长，再利用梯形面积公式计算原平面图形的面积． 【详解】在直观图中作，垂足分别为E，F， 则，所以， 由斜二测画法可知原平面图形如下： 将原平面图形上底，下底，高代入公式， 可得四边形ABCD的面积． 5. 已知，，且，夹角为，则（ ） A. 3 B. 6 C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为，夹角为，且，， 所以，解得：. 6. 如图，P为平行四边形所在平面外一点，E为的中点，F为上一点，当平面时，（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接交于 ，连接，由线面平行的性质可得，再利用平行线分线段成比例定理列式求解． 【详解】 连接交于 ，连接， 因为平面，平面，平面平面， 所以，所以， 因为四边形为平行四边形，所以， 所以， 因为为的中点，所以， 所以，所以. 故选：A 7. 记的内角的对边分别为，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用余弦定理与正弦定理解三角形即可. 【详解】由余弦定理，得： ， ， 所以 ， 再利用正弦定理：， 代入已知值：， 整理得：. 故选：A 8. 如图，正方体的棱长为2，E是的中点，F是侧面内的一个动点（含边界），且平面，则的最小值为（ ）. A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先判断点的轨迹，然后根据最小距离的求法求得正确答案. 【详解】设分别是的中点，连接， 根据正方体的性质可知， 由于平面，平面，所以平面， 同理可证得平面，由于平面， 所以平面平面. 由于平面，所以点的轨迹是线段， 设是的中点，连接， 由于都是等腰三角形，则， 所以此时最小，， 同理可得，所以的最小值为. 故选：D 二、多选题（共4小题，每小题5分，共20分） 9. 已知向量，，其中，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若与的夹角为钝角，则 D. 若，向量在方向上的投影向量为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据向量平行、垂直的坐标判定，向量夹角与数量积的关系，投影向量的计算，结合向量相关公式逐个分析选项即可. 【详解】对于A，若，则有 ，化简得 ，解得，故A正确； 对于B，若 ，则有 ，因此，故B正确； 对于C，若与夹角为钝角，则有 ，解得； 由于与共线反向时，需排除，因此的取值范围是且，并非，故C错误； 对于D，当时， ，在方向上的投影数值为 ，方向的单位向量为， 因此投影向量为 ，故D正确. 10. 已知圆锥的底面半径为1，高为，为顶点，，为底面圆周上两个动点，则（　　） A. 圆锥的体积为 B. 圆锥的侧面展开图的圆心角大小为 C. 圆锥截面的面积的最大值为 D. 从点出发绕圆锥侧面一周回到点的无弹性细绳的最短长度为 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A：直接求出圆锥的体积即可判断；对于B：直接求出圆锥的侧面展开图的圆心角即可判断；对于C：先判断出圆锥截面为轴截面时，其面积最大，然后可判断；对于D：利用圆锥的侧面展开图可求解判断. 【详解】对于A：因为圆锥的底面半径为1，高为，所以体积，故A正确； 对于B：设圆锥的母线为l，则， 设圆锥的侧面展开图的圆心角为，由弧长公式得：，即，解得：，故B错误； 对于C：显然当圆锥截面为轴截面时，其面积最大，此时，故C正确； 对于D：由B可得该圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆， 所以从点出发绕圆锥侧面一周回到点的无弹性细绳的最短长度为4，故D错误； 故选：AC 11. 如图，在正方体中，、、分别是棱、、的中点，则（ ） A. 平面 B. 平面 C. 点在平面内 D. 点在平面内 【答案】AD 【解析】 【分析】利用线面平行的判定定理可判断A选项；推导出，可判断D选项；结合图形可判断B选项；结合A选项可判断D选项. 【详解】对于A选项，在正方体中，，， 所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面，故平面，A对； 对于D选项，连接、，如下图所示： 因为、分别为、的中点，所以， 又因为，所以，故、、、共面，D对； 对于B选项，根据已有分析可知点在平面内，所以与平面有交点，因此B错； 对于C选项，由A选项可知，点在平面外，C错. 故选：AD. 12. 如图，在四边形中，已知，，，，，则以下说法正确的有（ ） A. B. C. 四边形的面积为 D. 【答案】AB 【解析】 【分析】分别在、中，利用余弦定理求得，即可判断A；利用勾股定理判断B；结合面积公式求四边形的面积，即可判断C；对于D：利用两角和差公式求，结合角的关系分析判断. 【详解】连接， 对于AB，在中，由余弦定理可得， 即， 在中，由余弦定理可得， 即， 整理可得，解得，故A正确； 可知，则，故B正确； 对于CD，可得，所以四边形的面积为，故C错误； 在中，可得， 在中，可得， 则， 若，注意到， 则，可得， 即，故D错误； 故选：AB. 三、填空题（共4小题，每小题5分，共20分） 13. 设复数，则___________． 【答案】 【解析】 【详解】由题意得， 由模长公式得. 14. 攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构样式.如图所示的亭子模型带有攒尖，其屋顶可近似看作一个圆锥，若此圆锥底的面积为4π，体积为 则将此圆锥展开，所得扇形的圆心角为_____________. 【答案】#### 【解析】 【分析】根据底面圆面积求出底面圆半径，从而求出底面圆周长，得侧面展开图扇形的弧长，再由圆锥体积求圆锥的高，勾股定理求圆锥母线长，得侧面展开图扇形半径，可求侧面展开图的圆心角. 【详解】圆锥的底面圆的面积为，设底面圆的半径为，则，解得， 所以底面圆周长为，即圆锥侧面展开图扇形的弧长， 又屋顶的体积为 ，设圆锥的高为，则，所以，   所以圆锥母线长，即侧面展开图扇形的半径， 所以侧面展开图扇形的圆心角为. 故答案为：. 15. 在中，角的对边分别是，已知，，则的面积为___________． 【答案】8 【解析】 【分析】利用两角和的正弦展开式得，由正弦定理得，再利用三角形面积公式可得答案. 【详解】在中，， 由正弦定理得，所以 ， ， 所以， 则的面积为. 故答案为：8. 16. 已知中，，，，点为边上的动点，则的最小值为_________. 【答案】 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，由向量数量积的坐标运算求解即可. 【详解】 过作，垂足为，以为原点，直线，分别为轴，轴，建立平面直角坐标系，如图， 在中，，， ∴，，， 由题意，设，，则，， ∴， ∴当时，的最小值为. 故答案为：. 四、解答题（共6小题，共70分） 17. 已知i为虚数单位，复数z满足，其中． （1）若z为纯虚数，求m的值； （2）若z在复平面内对应的点位于第二象限，求m的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先利用复数的除法和乘法运算得到，再根据纯虚数的定义求解即可； （2）根据复数的实部小于零，虚部大于零求解即可. 【小问1详解】 因为， 所以， 所以， 若z为纯虚数，则，解得； 【小问2详解】 由（1）知，， 若z在复平面内对应的点位于第二象限，则，解得， 所以m的取值范围为. 18. 已知向量与是平面内的两个向量，，与的夹角为. （1）求； （2）在平面直角坐标系下，若，求在方向上的投影向量的坐标. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量的模的公式计算求解即可； （2）根据投影向量公式计算即可. 【小问1详解】 解：因为，与的夹角为， 所以 【小问2详解】 解：因为，与的夹角为， 所以， 所以，在方向上的投影向量. 19. 如图，在棱长为2的正方体中，截去三棱锥. （1）求截去的三棱锥的表面积与剩余的几何体的体积； （2）在剩余的几何体中连接，求四棱锥的体积. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，利用三角形面积公式，求得各个面的面积，即可求解；根据题意，结合割补法，利用柱体和锥体的体积公式，即可求解； （2）根据（1）中结果结合结合割补法即可求解． 【小问1详解】 在正方体中，因为棱长为，可得， 所以截去的三棱锥的表面积为： . 在正方体中，因为棱长为，可得正方体的体积为， 又因为平面，即为三棱锥的高， 可得， 所以几何体的体积为. 【小问2详解】 由（1）可得：四棱锥的体积. 20. 在中，角，，所对的边分别为，，，且. （1）求角的大小； （2）若，的面积为，求的角平分线的长度. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据正弦定理将已知等式的角化为边，再结合余弦定理求出角； （2）先根据三角形面积公式求出 的值，再利用角平分线的性质和三角形面积公式求出角平分线的长度. 【小问1详解】 由正弦定理可得：，即 ，化简可得， 由余弦定理 . 因为 ，所以 . 【小问2详解】 根据三角形面积公式 ，可得：， 即 ，化简可得 ，解得 . 因为 是角平分线，所以 . 由 得：. ， 解得 . 21. 如图，正方体中，M，N分别为AB，BC中点． （1）当点P在棱上运动时，是否都有平面，证明你的结论． （2）若P是的中点，若Q是的四等分点，且，求证：平面平面. 【答案】（1）当点P在棱上运动时，都有平面，证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）连接AC，运用中位线定理和平行公理，证得，再由线面平行的判定定理即可得证； （2）取的中点F，连接PF，，取的中点E，连接AE，运用中位线定理和平行四边形的判定和性质，证得，再由线面平行的判定定理可得平面，结合平面，再由面面平行的判定定理即可得证． 【小问1详解】 证明： （1）当点P在棱上运动时，都有平面. 证明如下：连接AC，在正方形ABCD中，MN为的中位线， 可得， 由正方体的截面性质可得四边形为矩形，则，可得， 平面，平面，则平面. 【小问2详解】 证明：取的中点F，连接PF，，取的中点E，连接AE， 由，，可得， 即四边形为平行四边形，可得， 由E为的中点，且，可得Q为BE的中点，且， 四边形为平行四边形，可得，即有， 平面，平面，则平面， 又平面，，则平面平面. 22. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）求角A的大小； （2）若，的面积为，求的周长； （3）若，D是边上的点，且平分，求的最大值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将已知边角关系式化为边的关系，再用余弦定理求出角的余弦值，结合三角形内角范围确定的大小； （2）由三角形面积公式求出的值，再用余弦定理结合完全平方公式求出，进而得到三角形周长； （3）利用面积分割法建立与的关系式，再用余弦定理结合基本不等式求的最大值. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理得，所以， 由余弦定理，， 且A为三角形内角，所以. 【小问2详解】 ， 由余弦定理，， 所以，，所以， 所以的周长为. 【小问3详解】 因为， 所以，可得. 由余弦定理可知，即， 整理得，即， 于是，当且仅当时等号成立， 因为，当且仅当时等号成立， 所以的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $