精品解析：吉林长春市 东北师范大学附属中学2025-2026学年下学期5月中考模拟九年级数学

初三年级数学学科综合练习 （时长：120分钟 分值：120分） 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 在数轴上，下列实数所表示的点在原点的左边的是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查数轴与实数的对应关系，根据数轴的性质，原点左边的点对应的数是负数，只需判断选项中的数的正负性即可得到答案． 【详解】解：数轴上原点左边的点对应的数是负数，原点对应，原点右边的点对应正数． 对各选项判断如下： A选项，是负数，对应点在原点左边； B选项，对应点在原点，不在原点左边； C选项，是正数，对应点在原点右边； D选项，是正数，对应点在原点右边． 2. “月壤砖”是我国科学家模拟月壤成分烧制而成的，拟用于未来建造月球基地．如图是一种“月壤砖”的示意图，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案． 【详解】解：从上面看得到的图形是 3. 下列计算中，结果等于的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】·本题运用合并同类项法则和幂的相关运算法则，分别计算每个选项的结果即可判断． 【详解】解：A、，选项不符合题意； B、，选项符合题意； C、，选项不符合题意； D、，选项不符合题意． 4. 如图，已知线段，是的中点，直线经过点．在直线绕点自由旋转的过程中，点到直线的最大距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据线段中点的定义，由的长度求出的长度，再过点作直线的垂线，得到点到直线的距离，然后在中，利用直角三角形中直角边小于等于斜边的性质，得出，最后判断出当直线与垂直时，与重合，此时取得最大值，最大值等于的长度． 【详解】解：∵是的中点，， ∴， 如图，过点作于点，则的长即为点到直线的距离， 在中，为直角边，为斜边， 根据直角三角形的性质，直角边的长度小于等于斜边的长度， ∴， 当且仅当直线时，与重合，此时取得最大值，最大值等于的长度， ∴点到直线的最大距离为． 5. 如图是一次函数的图像，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式，由函数表达式可得，其实就是一次函数的函数值，结合图像可以看出答案． 【详解】解：由图像可知，当时，，即， ∴的解集为． 故选：A． 6. 如图，一架长为的梯子斜靠在竖直的墙上，梯子顶端位于墙面的点A处，底端位于地面的点B处，梯子与地面的夹角为，则梯子顶端到地面的距离的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：由题意得，在中，， ∴． 7. 如图，点O为正方形的中心，点E、F分别为边、的中点，若经过一次变换后会得到，下列变换方式中能实现的是（ ） A. 沿直线翻折 B. 沿直线翻折 C. 向右平移2个单位 D. 绕点O逆时针旋转 【答案】D 【解析】 【分析】根据旋转变换，翻折变换，平移变换的性质即可求解． 【详解】解：由题可知, ∴点与，点与,点与,一一对应， 沿直线翻折，得： ， 则该选项错误； B.沿直线翻折 则该选项错误； C. 向右平移2个单位， ∵平移不改变方向， 则该选项错误； D. 绕点O逆时针旋转 则该选项正确． 8. 如图，一次函数的图象交反比例函数的图象于A、B两点，交坐标轴于C、D两点．若，则的面积为（ ） A. 1 B. C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】先分别表示出，，故，，根据得，再联立方程组得，运用根与系数的关系得，整理得 ，然后表示 再运用勾股定理列式计算，得，建立方程，解得，最后把数值代入的面积公式计算，即可作答． 【详解】解：∵一次函数的图象交反比例函数的图象于A、B两点， ∴令，则， 则， ∴ 令，则，解得， 则； ∴ ∴ ∵ ∴ 联立， 整理得， 设A、B两点的横坐标分别是， ∴ ∴ 则 ∵点A、B在一次函数上 ∴， 即 则 ∵ ∴ ∵ ∴ 整理得， ∴ 的面积． 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 9. 计算：______． 【答案】 【解析】 【详解】解：. 10. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件；因此此题可根据二次根式有意义的条件“被开方数为非负数”求解． 【详解】解：由题意得：， ∴； 故答案为：． 11. 如图，平行四边形的两条对角线长分别是4和6，且一条边长为整数，则这条边的长度可以是________．（写一个即可） 【答案】2 【解析】 【分析】先理解题意，根据平行四边形的对角线互相平分得，又结合三角形三边关系得，又因为一条边长为整数，得出（答案不唯一）． 【详解】解：依题意，平行四边形如图所示： ∵平行四边形的两条对角线长分别是4和6， ∴， ∵， ∴， 即， ∵一条边长为整数， 这条边的长度可以是（答案不唯一）． 12. 小丽进行投掷标枪训练，总共投掷10次，前9次标枪的落点如图所示，记录成绩（单位：m），此时这组成绩的平均数是，方差是．若第10次投掷标枪的落点恰好在线上，且投掷结束后这组成绩的方差是，则________（填“”、“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查方差，熟练掌握方差的意义是解题的关键．根据方差的意义即可得到答案． 【详解】解：设这组数据为前9个数分别为， 由题意可知，， ； 根据方差越小越稳定，即前九次波动较大， ， 故答案为：． 13. 将抛物线平移到抛物线的位置，则抛物线顶点平移的最短距离为________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题先将原抛物线整理为顶点式，得到原抛物线顶点坐标，再得到平移后抛物线的顶点坐标，利用两点间距离公式即可求出顶点平移的最短距离． 【详解】解：原抛物线化为顶点式：， 故顶点坐标为， 平移后抛物线 的顶点坐标为：， 由两点间距离公式得： ． 14. 如图，在正方形中，点E为对角线上的一点，连接并延长，交的延长线于点F，连结．给出下面四个结论：； ； ；若，则．上述结论中，正确结论的序号有________． 【答案】 【解析】 【分析】先证，可证，故正确；由和，则，故正确；当时，可证等于，点E为对角线上的一点，未说，则不一定等于，故不一定正确；证明，得．证，得．由，得．可得，故正确． 【详解】解：四边形是正方形， ，，． 在和中 ． ，故正确； ， ． ， ． ，故正确； 当时，． ，即． ， ． ． 点E为对角线上的一点，未说， 不一定等于，故不一定正确； 四边形是正方形， ，． ，． ． ． ， ，，． ． ． ． ，， ． 在和中 ． ． ，故正确． 三、解答题（本题共10小题，共78分．） 15. 先化简，再求值： ，其中． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，分母有理化，先把小括号内的式子通分，再把除法变成乘法后约分化简，最后代值计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 16. 学校组织学生到研学基地参加研学，学生可自由体验基地的三个项目（A：泥塑、B：机器人编程、C：航空航天VR体验），小红和小丽两位同学准备各自随机选择一个项目进行体验．用画树状图（或列表）的方法求小红和小丽选择不同体验项目的概率． 【答案】 【解析】 【分析】画树状图得出所有等可能的结果数以及小红和小丽选择不同体验项目的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：画树图如下： 共有9种等可能结果，其中小红和小丽选择不同体验项目，有6种， ∴小红和小丽选择不同体验项目的概率为：． 17. 图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，点A、B均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按要求画一个以为对角线的四边形，所画图形的顶点均在格点上． （1）在图①中，使四边形是中心对称图形，且面积为6； （2）在图②中，使四边形既是中心对称图形又是轴对称图形，且面积为5． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据面积可知四边形是底边为2，高为3的平行四边形； （2）根据是中心对称又是轴对称图形可知，四边形为正方形即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意可得 【小问2详解】 解：根据题意可得 18. 某学校推行“健康第一的理念”，组织学生参加体育锻炼活动．已知男生和女生分开进行训练，男生组每小时消耗能量千卡，女生组每小时消耗能量千卡．若某次活动男生组训练时间比女生组长小时，且两组消耗的总能量为千卡．问女生组和男生组训练时间分别是多少小时？ 【答案】 女生组训练时间为小时，男生组训练时间为小时． 【解析】 【分析】设女生组的训练时间为小时，男生组的训练时间为小时，根据题意列出二元一次方程组并求解即可． 【详解】解：设女生组的训练时间为小时，男生组的训练时间为小时， 则根据题意得， 解得， 答：女生组的训练时间为小时，男生组的训练时间为小时． 19. 2026年政府工作报告明确提出，要培育发展具身智能、脑机接口等未来产业，其中，人形机器人作为典型代表，正从“会表演”加速向“能干活”的实用阶段迈进．某校举行了以人形机器人为主题的知识竞赛，每人5道题，参加竞赛的每位学生至少答对1道题，校团委随机抽查了50名学生答对题数的情况，绘制出如下不完整的统计图．根据图中提供的信息，解决下列问题： （1）补全条形统计图并填空：所抽取学生答对题数的中位数为________道，所抽取学生答对题数的众数为________道； （2）学校决定对本次竞赛答对5道题的学生进行奖励，若该校共有1200名学生参加此次知识竞赛，估计获得奖励的学生人数． 【答案】（1）图见解析，， 4； （2）估计获得奖励的学生人数人 【解析】 【分析】（1）根据校团委随机抽查了50名学生进行调查以及条形统计图的信息进行列式计算得出答对题的人数，再补全条形统计图，然后根据中位数的定义，众数的定义进行分析，即可作答． （2）运用样本估计总体进行列式计算，即可作答． 【小问1详解】 解：（人）． 补全条形统计图如下： 依题意，所抽取学生答对题数按从小到大排列，排在第的数为道和道， ∴所抽取学生答对题数的中位数为道， 依题意，， 即所抽取学生答对题数出现最多是4道， ∴所抽取学生答对题数的众数为4道； 【小问2详解】 解：依题意，（人）． ∴估计获得奖励的学生人数人． 20. 如图，在中，，，点分别为边、、的中点，连结、． （1）求证：四边形为矩形； （2）用无刻度的直尺和圆规在线段上作点，连结，使的周长与四边形的周长相等．（简要说明点找法，保留作图痕迹，作图确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑） 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）利用三角形中位线定理，先证明四边形是平行四边形，再结合证明其为矩形． （2）周长：；四边形周长：；由点是中点，得，若两个周长相等，则，点作图本质是将周长条件转化为线段长度关系，再用尺规作线段和差与中点实现． 【小问1详解】 证明：∵点分别为边、、的中点， ，． ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形是矩形． 【小问2详解】 解：做法一： 以点为圆心，长为半径作弧，交于点，连结，则即为所求． 做法二： 作的平分线，交于点，连结，则即为所求． 做法三： 如图，以点为圆心，长为半径作弧，交于点，作线段的垂直平分线交于点，连结，则即为所求． 21. 节日期间某草莓采摘园推出优惠促销方案：游客进园不需购买门票，采摘的草莓达到一定重量后，超过部分按照优惠价格计算．设游客在该采摘园采摘的草莓重量为千克，所花的费用为元，与之间的函数关系如图所示． （1）优惠前草莓的销售价格为每千克________元； （2）当时，求与之间的函数关系式； （3）节日过后，该采摘园将会调整优惠方案：游客进园需购买90元门票，采摘的草莓按（1）中求得的优惠前价格的六折计费．若某游客采摘的草莓重量超过了10千克，且发现节前、节后两种方案的花费恰好相同，则该游客采摘的草莓重量是________千克． 【答案】（1）30 （2） （3）15 【解析】 【分析】（1）根据函数图象，用即可求解； （2）根据待定系数法求解析式即可求解； （3）先理解题意，再分别算出节后的费用，结合由（2）得节前费用是以及节前、节后两种方案的花费恰好相同，列式计算，即可作答． 【小问1详解】 解：依题意，， ∴优惠前草莓的销售价格为每千克元； 【小问2详解】 解：设时与的函数解析式为， 将点代入，得， ， 解得：， ∴， 【小问3详解】 解：设该游客采摘的草莓重量是千克， ∵节日过后，该采摘园将会调整优惠方案：游客进园需购买90元门票，采摘的草莓按（1）中求得的优惠前价格的六折计费， ∴费用是， 由（2）得节前费用是， ∵节前、节后两种方案的花费恰好相同， ∴， 解得， ∴该游客采摘的草莓重量是15千克． 22. 【概念呈现】 在钝角三角形中，若钝角的度数恰好比其中一个锐角大，则称这个钝角三角形为差角三角形，这个锐角称为差角．例如：在中，，，则是差角三角形，是差角． 【概念理解】 （1）若一个差角三角形恰好是等腰三角形，则它的差角的大小为________． 【性质探究】 （2）如图①，是差角三角形，是钝角，是差角．求证：． 小慧同学的证明思路是：过点作交于点，通过构造直角三角形和相似三角形来证明． 证明：如图②，作交于点． … 请你帮助小慧完成上述证明过程． 【拓展应用】 （3）如图③，在中，，．点在边上．若是差角三角形，且是差角，则________． 【答案】（1）30 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）设等腰三角形的底角为，则顶角为，根据三角形内角和为列方程求解即可； （2）根据差角三角形可得，证明，即可得出结论； （3）过点作于点，根据，设，则，由勾股定理得，则，由（2）得，由勾股定理得，即可求解． 【小问1详解】 解：设等腰三角形的底角为，则顶角为， ，解得， ∴它的差角的大小为． 【小问2详解】 证明：如图②，作交于点， ∵是差角三角形，是钝角，是差角， ， ， ， 又， ， ， ． 【小问3详解】 解：如图，过点作于点， ， 设，则， ， ， ， ∵是差角三角形，且是差角， 由（2）得，， 又， ， ， ， 在中，， ， ，， ． 23. 如图，在中，，，，点是边上的动点（点不与点、重合），过点作，交边于点，以为直径作，与边的另一个交点为点，连接． （1）________； （2）当与直线相切时． ①求的长； ②连接，线段交于点，则的长为________； （3）若与边有两个交点，设这两个交点为、．当时，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2）①；② （3） 【解析】 【分析】（1）由直径所对的圆周角为直角可得； （2）①由圆与直线相切得圆心到直线距离等于半径，结合矩形性质、相似三角形表示线段长，列方程即可求出；②通过正方形判定得到圆心角度数，利用弧长公式计算弧长即可； （3）先根据圆与线段有两个交点，得出圆心到线段距离小于半径，求出的下限；再利用相似三角形表示，垂径定理结合勾股定理表示弦长，令 求出的上限，结合不等关系确定最终取值范围即可． 【小问1详解】 解：； ∵是的直径， ∴； 【小问2详解】 解：①如图，当与直线相切时，设切点为，连接，设， ∴， ， 又∵，， ∴ ， ∴四边形 是矩形， ∴ ，， ∴， ∴，即， ∴ ， ∵， ∴ ， 解得，即； ②如图，连接，线段交于点， ∵四边形 是矩形，， ∴四边形 是正方形， ∴， ∵的直径， ∴的半径为， ∴的长为 ； 【小问3详解】 解：的取值范围为． 与边有两个交点，这两个交点为、，连接，， 过点作，垂足为， 设，则 ， ∵，，， 同上可证明四边形 是矩形， ∴ ，， ∴，， ∴，即， ∴ ， ∵， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 圆与线段有个交点，需圆心到距离半径，即 ， ∴ ， 解得，即； 在中，， ∵，∴ ，， ∴， ∵ ， ∴ ， ∴，即， ∴ ， 当 时， ， ∵， ∴ ， 在 中， ， ∴ ， 解得或（ ，超出范围舍去）， 即当 时，， 当时， ，故 时； 综上，的取值范围为． 24. 如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，点在抛物线上，点的横坐标为，且，点在直线上，点的横坐标为，连接、、． （1）当轴时，求线段的长； （2）当点在线段上时，求点的坐标； （3）当线段与抛物线有交点时，设交点为，设线段与轴的交点为． ①________； ②连接，当线段将分成两部分图形的面积比为时，直接写出的值． 【答案】（1）； （2）点的坐标为； （3）①；②的值为或． 【解析】 【分析】（1）由题意得，得到，据此求解即可； （2）证明，求得，得到，据此求解即可； （3）①作于点，根据平行线分线段成比例求解即可； ②分两种情况讨论求解即可． 【小问1详解】 解：， 当轴时，， ∴， 解得，（舍去）， ∵点的横坐标为，且，点的横坐标为， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图，作轴于点，直线交轴于点， 由题意得，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得，（舍去）， ∴点的坐标为； 【小问3详解】 解：①作于点， ∴，由题意得，， ∵， ∴； ②由题意得：点到的距离为，点到的距离为，， ∴，即， 设，则，， 当即时， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， 将代入得， ， 解得，（舍去）， ∴； 当即时， 同理，即， ∴， ∴， 解得，（舍去）， ∴； 综上，的值为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初三年级数学学科综合练习 （时长：120分钟 分值：120分） 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 在数轴上，下列实数所表示的点在原点的左边的是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 2. “月壤砖”是我国科学家模拟月壤成分烧制而成的，拟用于未来建造月球基地．如图是一种“月壤砖”的示意图，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算中，结果等于的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，已知线段，是的中点，直线经过点．在直线绕点自由旋转的过程中，点到直线的最大距离为（ ） A. B. C. D. 5. 如图是一次函数的图像，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，一架长为的梯子斜靠在竖直的墙上，梯子顶端位于墙面的点A处，底端位于地面的点B处，梯子与地面的夹角为，则梯子顶端到地面的距离的长为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，点O为正方形的中心，点E、F分别为边、的中点，若经过一次变换后会得到，下列变换方式中能实现的是（ ） A. 沿直线翻折 B. 沿直线翻折 C. 向右平移2个单位 D. 绕点O逆时针旋转 8. 如图，一次函数的图象交反比例函数的图象于A、B两点，交坐标轴于C、D两点．若，则的面积为（ ） A. 1 B. C. D. 4 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 9. 计算：______． 10. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围为___________． 11. 如图，平行四边形的两条对角线长分别是4和6，且一条边长为整数，则这条边的长度可以是________．（写一个即可） 12. 小丽进行投掷标枪训练，总共投掷10次，前9次标枪的落点如图所示，记录成绩（单位：m），此时这组成绩的平均数是，方差是．若第10次投掷标枪的落点恰好在线上，且投掷结束后这组成绩的方差是，则________（填“”、“”或“”）． 13. 将抛物线平移到抛物线的位置，则抛物线顶点平移的最短距离为________． 14. 如图，在正方形中，点E为对角线上的一点，连接并延长，交的延长线于点F，连结．给出下面四个结论：； ； ；若，则．上述结论中，正确结论的序号有________． 三、解答题（本题共10小题，共78分．） 15. 先化简，再求值： ，其中． 16. 学校组织学生到研学基地参加研学，学生可自由体验基地的三个项目（A：泥塑、B：机器人编程、C：航空航天VR体验），小红和小丽两位同学准备各自随机选择一个项目进行体验．用画树状图（或列表）的方法求小红和小丽选择不同体验项目的概率． 17. 图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，点A、B均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按要求画一个以为对角线的四边形，所画图形的顶点均在格点上． （1）在图①中，使四边形是中心对称图形，且面积为6； （2）在图②中，使四边形既是中心对称图形又是轴对称图形，且面积为5． 18. 某学校推行“健康第一的理念”，组织学生参加体育锻炼活动．已知男生和女生分开进行训练，男生组每小时消耗能量千卡，女生组每小时消耗能量千卡．若某次活动男生组训练时间比女生组长小时，且两组消耗的总能量为千卡．问女生组和男生组训练时间分别是多少小时？ 19. 2026年政府工作报告明确提出，要培育发展具身智能、脑机接口等未来产业，其中，人形机器人作为典型代表，正从“会表演”加速向“能干活”的实用阶段迈进．某校举行了以人形机器人为主题的知识竞赛，每人5道题，参加竞赛的每位学生至少答对1道题，校团委随机抽查了50名学生答对题数的情况，绘制出如下不完整的统计图．根据图中提供的信息，解决下列问题： （1）补全条形统计图并填空：所抽取学生答对题数的中位数为________道，所抽取学生答对题数的众数为________道； （2）学校决定对本次竞赛答对5道题的学生进行奖励，若该校共有1200名学生参加此次知识竞赛，估计获得奖励的学生人数． 20. 如图，在中，，，点分别为边、、的中点，连结、． （1）求证：四边形为矩形； （2）用无刻度的直尺和圆规在线段上作点，连结，使的周长与四边形的周长相等．（简要说明点找法，保留作图痕迹，作图确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑） 21. 节日期间某草莓采摘园推出优惠促销方案：游客进园不需购买门票，采摘的草莓达到一定重量后，超过部分按照优惠价格计算．设游客在该采摘园采摘的草莓重量为千克，所花的费用为元，与之间的函数关系如图所示． （1）优惠前草莓的销售价格为每千克________元； （2）当时，求与之间的函数关系式； （3）节日过后，该采摘园将会调整优惠方案：游客进园需购买90元门票，采摘的草莓按（1）中求得的优惠前价格的六折计费．若某游客采摘的草莓重量超过了10千克，且发现节前、节后两种方案的花费恰好相同，则该游客采摘的草莓重量是________千克． 22. 【概念呈现】 在钝角三角形中，若钝角的度数恰好比其中一个锐角大，则称这个钝角三角形为差角三角形，这个锐角称为差角．例如：在中，，，则是差角三角形，是差角． 【概念理解】 （1）若一个差角三角形恰好是等腰三角形，则它的差角的大小为________． 【性质探究】 （2）如图①，是差角三角形，是钝角，是差角．求证：． 小慧同学的证明思路是：过点作交于点，通过构造直角三角形和相似三角形来证明． 证明：如图②，作交于点． … 请你帮助小慧完成上述证明过程． 【拓展应用】 （3）如图③，在中，，．点在边上．若是差角三角形，且是差角，则________． 23. 如图，在中，，，，点是边上的动点（点不与点、重合），过点作，交边于点，以为直径作，与边的另一个交点为点，连接． （1）________； （2）当与直线相切时． ①求的长； ②连接，线段交于点，则的长为________； （3）若与边有两个交点，设这两个交点为、．当时，直接写出的取值范围． 24. 如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，点在抛物线上，点的横坐标为，且，点在直线上，点的横坐标为，连接、、． （1）当轴时，求线段的长； （2）当点在线段上时，求点的坐标； （3）当线段与抛物线有交点时，设交点为，设线段与轴的交点为． ①________； ②连接，当线段将分成两部分图形的面积比为时，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $