6.6.1柱锥台的侧面展开与面积课件-2025-2026学年高一下学期数学北师大版必修第二册

该高中数学课件聚焦柱、锥、台的侧面展开与面积计算，通过回顾简单几何体分类及平面图形面积公式，结合正方体展开图实例，搭建从已知到未知的学习支架，帮助学生建立空间图形与平面展开图的联系。 其亮点是以实例为载体，如圆柱锅炉表面积计算、矩形卷圆柱的分类讨论，培养学生用数学眼光观察空间形式，通过推理推导侧面积公式（数学思维），用规范公式表达结果（数学语言）。采用典例与同步练习结合的教学方法，总结系统呈现公式，助力学生掌握转化思想，也为教师提供丰富教学资源。

作课人：廉文杰 北师大版（2019）高中数学 必修第二册 作课人：廉文杰 焦作市外国语中学 第六章 立体几何初步 第6节 简单几何体的再认识 6.1 柱、锥、台的侧面展开与面积 第1课时（共1课时） 1 学 习 目 标 目 标 重 点 难 点 1、了解柱体、锥体、台体的侧面展开图. 2、掌握柱、锥、台的侧面积的求法． 1、掌握柱、锥、台的侧面积的求法． 1、了解柱体、锥体、台体的侧面展开图. 2 新 知 引 入 1、简单几何体 简单几何体 多面体 旋转体 棱柱 棱锥 棱台 圆柱 圆锥 圆台 球 新 知 引 入 a h r l a a a b b h h r 三角形 矩形 平行四边形 梯形 圆 扇形 S= S= S= S= S= S= 2、平面图形的面积公式： ah ab ah (a+b)h πr2 rl 扇环 l1 l2 h S= (l1+l2)h 新 知 引 入 3、设正方体的棱长为a. 正方体有六个面，这六个面是全等的正方形， 每个正方形的面积是a2， 所以正方体的表面积是6a2. 4、我们也可以这样理解正方体的表面积公式： 把正方体的表面展开，展开的平面图形的面积就是正方体的表面积。 学 习 新 知 圆柱的侧面展开图是一边长为母线长,另一边长是圆柱底面周长的________ S圆柱侧=___________ 圆锥的侧面展开图是半径为母线长,弧长为圆锥底面周长的 ________ S圆锥侧=___________ 圆台的侧面展开图是上底面周长为较短弧长,下底面周长为较长弧长的________ S圆台侧=___________ 矩形 扇形 扇环 2πrl πrl π(r1+r2)l 圆柱、圆锥、圆台的侧面积 学 习 新 知 圆柱、圆锥、圆台的表面积 S圆柱表面积=_______________ S圆锥表面积=_______________ S圆台表面积=___________________ 2πrl+2πr2 πrl+πr2 π(r1+r2)l+πr12+πr22 典 例 引 路 例1、一个圆柱形的锅炉，底面直径d=1m,高h=2.3m,求锅炉的表面积。 （精确到0.1m2) 解：S = S侧面积+2S底面积 =πdh+2π()2 =π×1×2.3+2π× = 2.8π ≈ 8.8m2 因此，锅炉的表面积约为8.8m2. 同 步 练 习 练1、用一张4×8(cm2)的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，求圆柱的全面积。 解：（1）当以矩形的长为母线时 底面周长为 2πr=4 , r = ∴两底面的面积之和为 2×π×（）2 = ∴ S全 = 32 + （2）当以矩形的宽为母线时 底面周长为2πr = 8 ,r = ∴两底面的面积之和为2×π×（）2 = ∴ S全= 32 + 4 8 O M N O N 8 O M 4 典 例 引 路 例2、若一个圆锥的轴截面是一个边长为3的等边三角形,则该圆锥的表面 积是(　 　) A. π B. π C. 9π D.π 解：由已知得该圆锥的底面半径是 ，母线长为 3， ∴其底面面积S底=π·（）2= π 侧面积S侧=π××3 = π ∴其表面积为S=S底+S侧 = π。 D 同 步 练 习 练2、若某圆锥的高等于其底面直径，则它的底面积与侧面积之比 为（ ） A. 1:2 B. 1: C. 1: D. :2 解：设圆锥底面半径为r,则高h=2r ∴其母线长l=r ∴S侧=πrl=πr2 S底=πr2 ∴S底：S侧=1： C 典 例 引 路 例3、圆台的上、下底面半径分别是10cm和20cm，它的侧面展开图的扇环 的圆心角是180º，那么圆台的侧面积是多少？（结果中保留π） 解：设圆台上底面周长为 c cm ∵扇环的圆心角是180º，∴c=π·SA 又∵c=2π×10=20π ∴SA=20, 同理SB=40 ∴AB=SB-SA=20 S圆台侧=π（r1+r2)·AB=π(10+20)×20=600π(cm2) 因此，圆台的侧面积为600πcm2. 同 步 练 习 练3、设圆台的高为3，在轴截面中，母线AA1与底面圆直径AB的夹角为60°， 且轴截面的一条对角线垂直于腰，求圆台的侧面积． 解：如图所示，作出轴截面A1ABB1,设上、下底面半径、母线长 分别为r,R,l,作A1D⊥AB于D,则A1D=3,∠A1AB=60º. ∵∠BA1A=90º ∴∠BA1D=60º ∴AD=A1D·tan30º= 3× = = R-r BD=A1D·tan60º= 3 = R+r ∴R=2, r= , l= A1A = =2 ∴圆台的侧面积 S侧=π(r+R)l=π(2+)×2=18π 即圆台的侧面积是18π 学 习 新 知 直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积 S直棱柱侧=_______ c 是底面周长 h 是高 S正棱锥侧=_______ c 是底面周长 h＇是斜高 S正棱台侧=____________ c 是上底面周长 c＇是下底面周长 h＇是斜高 ch ch＇ (c+c＇)h＇ 对于一般的棱柱、棱锥、棱台,求其侧面积时,一般是将其每一个侧面的面积分别求出来,然后相加. 学 习 新 知 一般的，多面体的表面积就是各个面的面积之和。 表面积=侧面积+底面积。 多面体的表面积 组合体的表面积 (1)弄清楚它是由哪些简单几何体构成的,组成形式是什么; (2)对于由简单几何体拼接成的组合体,要注意拼接面重合 对组合体表面积的影响; (3)对于从简单几何体中“切掉”或“挖掉”部分构成的组 合体,要注意新产生的截面和原几何体表面的变化. 典 例 引 路 例4、正三棱柱的底面边长为1,侧棱长为2,则它的侧面积为　　　　　, 表面积为　　　　　.  解：正三棱柱底面为正三角形，侧面为三个全等的矩形。 ∴侧面积S侧=3×1×2=6 底面积S底= ×1× = ∴它的表面积为 6 + 同 步 练 习 练4、现有一个底面是菱形的直四棱柱，它的体对角线长为9和15，高是5， 求该直四棱柱的侧面积． 解：如图，设底面对角线AC=a,BD=b,交点为O ， 对角线A1C=15,B1D=9 ∴ a2+52=152 ,b2+52=92 ∴ a2=200,b2=56 ∵ 该直四棱柱的底面是菱形 ∴ AB2 = ()2+()2 = = = 64 ∴ AD=8 ∴ 直四棱柱的侧面积S侧=4×8×5=160 典 例 引 路 例5、已知正四棱锥的底面边长为4 cm,高与斜高的夹角为30°,则该正四棱 锥的侧面积等于　　　　　 cm2. 解：如图所示,正四棱锥的高PO、斜高PE、底面边心距OE组 成Rt△POE. ∵ OE = ×4 = 2 ，∠OPE=30º ∴ PE = = 4 ∴ S侧 = ×4×4×4 = 32 cm2 同 步 练 习 练5、在《九章算术》中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马,若四棱锥S-ABCD为阳马,侧棱SA⊥底面ABCD,且SA=BC=AB=2,则该阳马的表面积为　　　　　.  解：由题意知几何体的表面积为： S = S△SAB + S△SAD + S△SBC + S△SDC + S正方形ABCD = 2S△SAB + 2S△SBC + S正方形ABCD = 2×·SA·AB + 2×·BC·SB + AB·BC = 2××2×2 + 2××2×2 + 2×2 = 8+4 典 例 引 路 例6、一个正三棱台的上、下底面边长分别是3cm和6cm，高是 cm， 求这个正三棱台的侧面积。 解：点O1,O分别是上、下底面的中心，则O1O= cm. 连接A1O1并延长交B1C1于点D1,连接AO并延长交BC于点D， 过D1作D1E的垂线，垂足为E,连接D1D. 在Rt△D1ED中：D1E = O1O = ， DE = DO-OE = DO-D1O1 = ××(6-3)= DD1== ∴S正三棱台侧= （c+c＇)·DD1= ×3×(3+6)×= 因此，三棱台的侧面积为 cm2. 同 步 练 习 练6、若正三棱台的侧面均是上、下底边长分别为2和4,腰长为3的等腰 梯形,则该正三棱台的表面积等于　　　　　.  解：由已知可得该正三棱台的斜高h＇, 即侧面等腰梯形的高为 = 2 ∴其侧面积S侧= ×（2+4）×2×3 = 18 ∵其上底面面积为 ×22 = 下底面面积为 ×42 = 4 ∴其表面积 S = 18++4 = 18+5 典 例 引 路 例7、已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝a，BC＝2a， ∠DCB＝60°，在平面ABCD内，过点C作l⊥CB，以l为轴将梯形 ABCD旋转一周，求旋转体的表面积． 解：如图所示，所得几何体为一个圆柱除去一个圆锥。 在直角梯形ABCD中， AD=a,BC=2a,AB=(2a-a)tan60º=a，DC==2a 又DD＇=DC=2a ∴S表=S圆环+S圆柱侧+S圆C+S圆锥侧 =[π·(2a)2-πa2]+2π·2a·a+π(2a)2+π·a·2a =(9+4)πa2 同 步 练 习 练7、如图所示,一个正方体的棱长为2,以相对两个面的中心连线为轴,钻一个直径 为1的圆柱形孔,所得几何体的表面积为　　　　　.  解：由该几何体的组合形式可知,其表面积应该是正方 体的表面积减去中间圆柱的两个底面的面积,再加 上圆柱的侧面积.故其表面积 S = 6×22-π×0.52×2+2π×0.5×2 = 24-0.5π+2π = 24+1.5π. 同 步 练 习 全 课 总 结 S圆柱侧 = 2πrl S圆锥侧 = πrl S圆台侧 = π(r1+r2)l S直棱柱侧 = ch S正棱锥侧 = ch＇ S正棱台侧 = (c+c＇)h＇ 表面积=侧面积+底面积 THANK YOU 谢谢！ 作课人：廉文杰 焦作市外国语中学 25 $