2026年中考数学二轮复习《二次函数综合压轴题常考热点题型分类》考前冲刺专题提升训练

**基本信息** 以二次函数为核心，分四大几何模块（面积/角度/三角形/四边形）系统整合代数与几何方法，通过20道分层典例提炼坐标转化、分类讨论等解题策略，培养抽象能力与推理意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |二次函数与面积问题综合|5题|铅垂高法、面积分割、函数最值求法|二次函数解析式求解→几何图形面积表达→参数范围确定| |二次函数与角度问题综合|5题|三角函数转化、全等构造、角度分类讨论|函数图像性质→角度关系代数化→动态问题多解分析| |二次函数与特殊三角形综合|5题|等腰/直角三角形性质、勾股定理方程思想|坐标与距离公式→三角形存在性判定→参数方程求解| |二次函数与特殊四边形综合|5题|平行四边形/矩形/菱形性质、中点坐标公式|函数图像与几何图形顶点坐标关联→四边形判定条件转化→分类讨论图形存在性|

2026年九年级数学中考二轮复习《二次函数综合压轴题常考热点题型分类》 考前冲刺专题提升训练（附答案） 一、二次函数与面积问题综合 1．如图，抛物线 与x轴交于，两点，与y轴交于点，连接，． (1)抛物线的解析式； (2)D为抛物线上第一象限内一点，求面积的最大值； (3)点P是抛物线对称轴上的一动点，当是以为腰的等腰三角形时，求点P的坐标． 2．在平面直角坐标系中，抛物线经过点A、B、C，已知，． (1)求抛物线的解析式以及顶点坐标； (2)如图1，D为线段上方抛物线上一点，连接、，当的面积取到最大值时，求点D的坐标； (3)如图2，抛物线的顶点为E，轴于点F，N是线段上一动点，是x轴一个动点，若，请求出m的取值范围． 3．如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，其中点，点，点为抛物线上动点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点在第二象限，连接．作于点，当时，求的面积； (3)如图2，取的中点，作直线，点为直线上一点，若点为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点横坐标． 4．如图，函数的图象与函数的图象相交于，两点．直线与图象，分别交于E，F两点． (1)求b，c的值． (2)设直线与线段交于点D，记和的面积分别为，，当时，求t的值． (3)若t满足，且，试问t取何值时，线段的长度最大？并求出这个最大长度． 5．如图1，已知抛物线与轴交于两点，与轴交于点，直线与抛物线交于两点（点在点的左下方），其中点的坐标为． (1)求该抛物线的表达式． (2)直线为抛物线的对称轴． ①在直线上找到一点，使得的周长最小，求出点的坐标； ②如图2，是抛物线上的动点（在线段上方），求四边形面积的最大值． 二、二次函数与角度问题综合 6．在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线经过点，，点是该抛物线与轴的交点（在的左侧），点是该抛物线上一点，横坐标为． (1)求该抛物线所对应的函数表达式； (2)连接，当时，求证：； (3)设抛物线在两点之间的部分（含两点）为图象，若图象的最高点与最低点的纵坐标之差为，求的取值范围； (4)连接，当时，直接写出的值． 7．抛物线 经过点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点是第四象限内抛物线上一点，满足 求点坐标； (3)如图2，是第一象限内一点，过点的两条直线均与抛物线只有一个交点，交点分别为、，探究直线 是否过定点，求这个定点的坐标． 8．如图，在平面直角坐标系中，点坐标为，点在轴正半轴，且，抛物线经过两点，与轴的另一交点为点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)点为直线上方抛物线上一动点； ①是否存在点，使等于的2倍？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． ②连接、，设直线交线段于点，的面积为，的面积为，当点的横坐标为时，求的值（用含的代数式表示）． 9．如图，已知抛物线与轴交于、（点在点左侧），与轴交于点，顶点为，点在线段上，且． (1)请直接写出点、、、的坐标； (2)作直线，将直线绕点按逆时针方向旋转，速度为，旋转到某一时刻，在该直线上存在一点，使以、、为顶点的三角形是直角三角形，且满足条件的点有且只有三个不同位置，求旋转时间； (3)连接，在轴上方的抛物线上找一点，使，求点的坐标． 10．新定义 【定义与性质】 如图，记二次函数和的图象分别为抛物线和． 定义：若抛物线的顶点在抛物线上，则称是的伴随抛物线． 性质：①一条抛物线有无数条伴随抛物线； ②若是的伴随抛物线，则也是的伴随抛物线，即的顶点在上． 【理解与运用】 (1)若二次函数和的图象都是抛物线的伴随抛物线，则______，______； 【思考与探究】 (2)设函数的图象为抛物线． ①若函数的图象为抛物线，且始终是的伴随抛物线，求的值； ②如图，在①的条件下，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，过点作轴的平行线交抛物线于点，为抛物线上任意一点，当 时，求点的坐标． 三、二次函数与特殊三角形综合 11．抛物线与x轴交于点、点B，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式及B点坐标； (2)点N在抛物线的对称轴上，当是直角三角形时，求点N的坐标； (3)如图2，点D是第四象限内抛物线上一点，当满足时，求点D坐标． 12．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点，，与轴交于点．一次函数的图象过点、． (1)求一次函数和二次函数的解析式； (2)结合函数图象，写出使一次函数值大于二次函数值的的取值范围； (3)若是抛物线对称轴上的一点，是否存在点，使得以，，三点为顶点的三角形是以为腰的等腰三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 13．综合与实践 如图1所示的是某一呈轴对称关系的建筑工地，由直线形建筑与抛物线形建筑组成，且，如图2，以的中点为原点，所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，已知． (1)求抛物线的解析式． (2)如图2，若在抛物线形建筑安装一条过道，且点，点到的距离均为，求过道的长． (3)若要在抛物线形建筑上安装两盏路灯，使这两盏路灯与抛物线的顶点构成以为直角顶点的等腰直角三角形，求出这两盏路灯的坐标． 14．如图，若二次函数的图象交x轴于点和点，与y轴交于点C，P为该函数图象上不与顶点重合的任意一点，且点P的横坐标为m． (1)求该二次函数的解析式； (2)若点P在第一象限内的图象上，且的面积，求点P的坐标； (3)若该二次函数图象的顶点为D，过点P作对称轴的垂线，垂足为E，设． ①求DE的长（用含n的式子表示）； ②定义：对于平面内两点M，N，若点Q满足，则称点Q为线段的中垂点．若点F是线段的中垂点，且为直角三角形，求直角的直角顶点不在二次函数图象内部的m的取值范围． 15．如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C． (1)如图1，一次函数的图象与坐标轴分别交于点M，N．点P是抛物线上的一个动点，过点P作直线的垂线段，垂足为Q，求的最小值； (2)如图2，D是直线上方抛物线上一动点，作垂足为点F，交于点E，连接，是否存在点D，使是等腰三角形？若存在，请直接写出所有满足条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，将线段绕点O按顺时针方向旋转得到线段，连接，求线段的最小值． 四、二次函数与特殊四边形综合 16．如图①，已知抛物线的图象与轴的负半轴交于点，与轴的正半轴交于点，与轴交于点，直线与轴交于点，是第四象限抛物线上一点，连接，，过点作轴交于点，设点横坐标为． (1)求抛物线的函数表达式： (2)当为何值时，的面积有最大值，并求出此时的最大值； (3)作轴，且点横坐标为，以，为邻边构造矩形．若矩形的边与抛物线有三个交点，且其中的一个交点为矩形一边的中点，求的值． 17．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线与轴交于点，顶点为，点是该抛物线上的动点，其横坐标为，过点作轴，交抛物线的对称轴于点，以、为邻边作平行四边形． (1)求该抛物线对应的函数解析式及点的坐标； (2)当该抛物线在点与点之间（包含点和点）的部分的最高点和最低点的纵坐标之差为5时，求的值； (3)当平行四边形的面积被轴平分时，求的值； (4)当该抛物线在平行四边形内部的点的纵坐标随的增大而减小时，直接写出的取值范围． 18．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，经过、两点的二次函数的图象交轴于另一点． (1)求二次函数的表达式； (2)点、在直线上，点是第二象限位于抛物线上一点，点在轴上若四边形是正方形，求点的坐标； (3)连接、，抛物线上是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 19．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点在抛物线上，当时，求点的坐标； (3)将抛物线的对称轴沿轴向右平移个单位得直线，点为直线上一动点，在平面直角坐标系中是否存在点，使以点，，，为顶点的四边形为菱形?若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 20．如图，抛物线的对称轴是直线，与x轴交于点A，，与y轴交于点C，连接． (1)求此抛物线的解析式； (2)已知点D是第一象限内抛物线上的一个动点，过点D作轴，垂足为点M，交直线于点N，是否存在这样的点N，使得以A，C，N为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出点N的坐标，若不存在，请说明理由； (3)已知点E是抛物线对称轴上的点，在坐标平面内是否存在点F，使以点B、C、E、F为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 参考答案 1．（1）解：∵抛物线 与x轴交于，两点，与y轴交于点， ∴， 解得：， ∴抛物线的表达式为； （2）解：如图，过点D作轴交于点E，交x轴于点F， 设直线解析式为， 把，代入解析式得， 解得， ∴直线解析式为， 设，则， ∵D为抛物线上第一象限内一点， ∴， ∴的面积， ∵， ∴的面积有最大值， ∴当时，的面积最大，最大值为16； （3）解：∵，， ∴，， ∴， 又， 所以，对称轴为直线， 设， 则，， ∵是以为腰的等腰三角形， ∴分两种情况： 当时，则， 解得， ∴点P的坐标为或； 当时，则， 解得， ∴点P的坐标为或； 综上，点P的坐标为或或或． 2．(1)，顶点坐标 (2) (3) 【分析】（1）把抛物线上的点，代入抛物线的解析式，求出抛物线的解析式，再化为顶点式即可找到顶点坐标； （2）首先，根据抛物线的解析式令，解得，，得，再求得直线的解析式为，然后，过点D作y轴的平行线，交直线于点F，设，则，得到的长度，再根据，得到当时，的面积最大，最大面积是4，进而求得； （3）由（1）知，然后，设，则，由，得，再根据，，得，进而得当时，m有最小值是，当时，m有最大值是，即可取得m的取值范围． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，两点， ∴，解得， ∴抛物线的解析式为， ∵， ∴抛物线的顶点坐标为； （2）解：∵抛物线的解析式为， 令，得， 解得，， ∴，， ∵， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为． 如图，过点D作y轴的平行线，交直线于点F， 设，则， ∴． ∴， ∴当时，的面积最大，最大面积是4． 当时，， ∴． （3）解：由（1）知，E是顶点坐标． ∴． 设，则， ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴． ∵， ∴当时，m有最小值是． 当时，m有最大值是． ∴m的取值范围是． 【点睛】根据已知条件求得抛物线的解析式及顶点坐标，再运用已知条件及面积公式，得出D点坐标，能根据，得出，并代入数据得到是解题的关键． 3．(1) (2) (3)或或 【分析】（1）利用待定系数法解答，即可； （2）设点D的坐标为，过点D作轴于点M，则，证明，可得，从而得到，即可求解； （3）先求出直线的解析式为，设点，然后根据平行四边形，分三种情况讨论，即可． 【详解】（1）解：把点，点代入抛物线，得： ，解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：设点D的坐标为， 如图，过点D作轴于点M，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：（舍去）， ∴， ∴； （3）解：∵点为的中点， ∴点， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， 设点， 当为对角线时， ，解得：（舍去）或， 此时点D的横坐标为； 当为对角线时， ，解得：（舍去）或， 此时点D的横坐标为或； 当为对角线时， ，解得：（舍去）或， 此时点D的横坐标为； 综上所述，点D的横坐标为或或． 4．(1)， (2) (3)当时，线段的长度取得最大值；当时，线段的长度取得最大值；当时，线段的长度取得最大值为 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出直线的表达式为，可得，，，求出．过点B作直线的垂线交于点P，设直线与x轴的交点为点Q．得到，，根据，建立方程求解即可； （3）求出线段，分，即，，即，，即，三种情况讨论即可． 【详解】（1）解：将，代入函数， 得， 解得，； （2）解：设直线的表达式为， 将，两点代入，则， 解得， ∴直线的表达式为； 直线与图象，分别交于E，F两点，与线段交于点D． ，，， ，， ． 过点B作直线的垂线交于点P，设直线与x轴的交点为点Q． ，． ， ， 解得； （3）解：线段 ． 若t满足，且， ∴直线始终满足． i．若，即， 当时，线段的长度取得最大值． ⅱ．若，即， 当时，线段的长度取得最大值． ⅲ．若，即， 当时，线段的长度取得最大值为． 5．(1) (2)①；② 【分析】（1）由抛物线与直线都经过轴上的点，可得，再由可得6和是的两个根，根据一元二次方程的根与系数的关系建立方程组即可求解； （2）①由点，点是定点，可得当取得最小值时，周长取得最小值，利用点与点关于抛物线的对称轴对称，连接即可得点的坐标； ②过点作轴，交于点，先求得的最大值，再由四边形面积即可得四边形面积的最大值． 【详解】（1）解：∵点既是抛物线与轴的交点，又是直线与抛物线的交点， ∴点是直线与轴的交点， 令，则， 解得， ∴， ∵点在抛物线的图象上， 令，则， ∴6和是的两个根， ∴， 解得或（舍去）， ∴抛物线的表达式为． （2）解：①由题意可得，当取得最小值时，周长取得最小值， ∵点与点关于抛物线的对称轴对称， ∴直线与的交点即为点，此时的周长最小， 由（1）知，抛物线的表达式为，对称轴为直线，直线的解析式为， 把代入得，， ∴． ②联立， 解得或， ∴点坐标为， 设点的坐标为，过点作轴，交于点，则 ∴ ， ∴当时，取得最大值， ∴面积最大值， ∴四边形面积的最大值． 6．(1)； (2)证明见解析； (3)或； (4)或4． 【分析】（1）直接将点坐标代入即可； （2）由题意知，进而可得，据此得证； （3）根据图象明显可知点在点左侧时，最值之差大于，不合题意，点在和顶点之间时，最值之差小于，不合题意；则分两种情况讨论即可； （4）分两种情况讨论：当点在上方时，作点关于轴对称点，易得，再构造一线三垂直全等可得直线解析式，进而联立二次函数解析式求出值；当点在下方时，易得，同理可求值． 【详解】（1）解：将点，代入， 得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）证明：∵当时，代入， 得， ∴． ∵， ∴， ∴． 当时，， ， 解得，． ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． （3）解：由题意可知顶点坐标为， ∵当时， ，， ∴，不成立． ∵当时， ∴此时，，成立； 当时， ，， ∴，不成立． ∵当时， ∵，， ∴， ∴， 解得，（舍）； 综上，或； （4）解：①当点在上方时，作点关于轴对称点，则， 则， ∴， 过作交延长线于点， 则为等腰直角三角形， ∴， 过作轴于点，则， ∴， ∴， ∴，， ∵点，， ∴，， ∴，， ∴点， ∵设直线表达式为 将点、点代入得： ， ∴解得：，， ∴直线表达式为， 令， 解得（舍去）或， ∴； ②当点在下方时，过作交于点，过作交于点 ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵在和中， ， ∴在 ， ∴，， ∴， ∵在第四象限， ∴点． ∵设直线表达式为 将点、点代入得： ， ∴解得：，， ∴直线表达式为， 令， ， ， 解得（舍去）或， ∴； 综上，的值为或4． 【点睛】本题主要考查了求抛物线解析式、二次函数的图象和性质、二次函数最值问题、二次函数角度关系处理等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 7．(1) (2) (3)过定点， 【分析】(1)用待定系数法求二次函数的解析式； (2)延长交轴于，在上取点，使，可得，根据等角对等边可得，利用待定系数法求出直线的解析式，联立直线与抛物线的解析式，解方程即可求出点的坐标； (3)设点的坐标是、点的坐标是，可得直线的解析式是，根据直线、、抛物线有公共交点，可得点的坐标是，从而可得，即直线的解析式是，根据解析式可知直线过定点． 【详解】（1）解：把点的坐标代入， 可得：， 解得：， 抛物线的解析式为； （2）解：当时，， 点的坐标是， ， 如下图所示，延长交轴于，在上取点，使， 设，则， 在中，， ， 解得：， ，， ，， ， ，， ， ， ， 点的坐标是， 点的坐标是、点的坐标是， 设直线的解析式是， 可得：， 直线的解析式是， 联立， 解得：， 点的坐标是； （3）解：设点的坐标是、点的坐标是， 设直线的解析式是， 可得：， 解得：， 直线的解析式是， 设直线的解析式是 联立 ， 直线与抛物线只有一个交点， 一元二次方程有两个相等的实数根， ， ， 直线的解析式是， 同理可得直线的解析式是， 解方程， 可得：， 点的坐标是， 点的坐标是， ， ， 直线的解析式是， 当时，可得：， 直线过定点． 【点睛】本题主要考查了二次函数与几何的综合、用待定系数法求二次函数的解析式、二次函数与一元二次方程、勾股定理，解决本题的关键是根据二次函数与一元二次方程的关系求解． 8．(1)； (2)①存在，；②． 【分析】本题主要考查了二次函数综合，合理运用待定系数法求二次函数表达式、待定系数法求一次函数性质、三角形外角的性质以及等腰三角形的判定与性质是本题解题的关键． （1）根据三角函数的定义，求出点坐标，将，坐标代入抛物线解析式求解即可； （2）①延长交轴于，在直线上取点，在上方，由对顶角相等可知，，由三角形外角的性质可知，，再根据两个坐标轴垂直可知，，从而得解． ②因为和等高，所以它们的面积比就是底边和的比，先用待定系数法求出直线和的表达式，联立求出的坐标，从而得解； 【详解】（1）解：， ， ， ， 在的正半轴， ， ， 将点坐标代入抛物线表达式得：， 解得：， ∴； （2）解：①存在， 延长交轴于，在直线上取点，在上方，如图： ， ， ， ， 又， ， ， 设直线的表达式为：， 将点坐标代入表达式得：， ， 直线的表达式为：， 联立直线和抛物线解析式得：， 解得：，， ． ②设直线的表达式为：， 将点坐标代入得：， 解得：， 直线的表达式为：， 的横坐标为， ， 令抛物线，得：， 解得：，， ， 设直线的表达式为：， 代入 ∴， ∴， ∴直线的表达式为：， 将点坐标代入直线的表达式得：， ， 直线的表达式：， 联立直线和的表达式： ， 解得：， ∴点横坐标为， ∵与的比值和他们之间水平距离的比值相等， ， 和等高， ． 9．(1)，，， (2)3秒或15秒 (3) 【分析】（1）只需令就可求出点、的坐标，把抛物线的解析式配成顶点式就可得到顶点的坐标，根据条件就可求出点的坐标； （2）显然，旋转后的直线上使得和的点各有一个，要使满足条件的点有且只有三个，只需旋转后的直线上使得的点只有一个，由于点在以为直径的上，因此旋转后的直线与只有一个交点，即该直线与相切于，则，如图、图，只需利用三角函数求出，就可解决问题； （3）设直线与轴交于点，过点作于，如图，通过解就可求出，从而得到点的坐标，要求点的坐标只需求出直线的解析式，由于点、的坐标已知，只需运用待定系数法就可解决问题． 【详解】（1）解：令，得， 解得，， ，， ，， 由得， ， ， ， ； （2）解：显然，旋转后的直线上使得和的点各有一个， 要使满足条件的点有且只有三个，只需旋转后的直线上使得的点只有一个， 由于点在以为直径的上，因此旋转后的直线与只有一个交点， 即该直线与相切于，则，如图、图， 在中，， ， ， ， ，． 旋转时间为秒或秒； （3）解：设直线与轴交于点，过点作于，如图， 则有，，， ，， 设，由得， 由得， ， ， ， ， ， 设直线的解析式为， 则有，解得， 直线的解析式为， 解方程组得，， 点的坐标为． 【点睛】本题主要考查了运用待定系数法求直线的解析式、抛物线上点的坐标特征、直线与抛物线的交点问题、三角函数、勾股定理、圆周角定理、直线与圆相切等知识，综合性比较强，难度比较大，把问题转化为直线与圆的位置关系是解决第（2）小题的关键，通过解求出是解决第（3）小题的关键． 10．(1)， (2)①，；②或 【分析】（）根据伴随抛物线的定义解答即可求解； （）①求出抛物线的顶点坐标，再根据伴随抛物线的定义解答即可求解；②先求出点的坐标，设，过点作于点，则，，由正切的定义得 ，求出的值即可求解； 本题考查了二次函数的新定义，二次函数的几何应用，正切的定义，理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：∵二次函数和的图象都是抛物线的伴随抛物线， ∴点和 在抛物线上， ∴，， ∴，， 故答案为：，； （2）解：①∵， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵函数的图象为抛物线，且始终是的伴随抛物线， ∴， 整理得，， ∴，； ②由①得，函数的图象为抛物线， 令，即， 解得或， ∴，， 把代入，得， ∴， 当时，， 解得或， ∵轴， ∴， 设， 如图，过点作于点， 则，， ∵， ∴， ∴， ∴ 或， 解得或， ∴或． 11．(1)， (2)或或或 (3) 【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式，再令，求出x的值，从而求得点B的坐标； （2）先求出抛物线的对称轴，设，由勾股定理和两点间距离公式得出的长度，和的表达式，此时分情况讨论：①当A为直角顶点时；②当C为直角顶点时；③当N为直角顶点时，利用勾股定理求得t的值，即可求得点N的坐标； （3）延长交y轴于F，在上取点E，使，设，则， 利用勾股定理列出方程求得t的值，即可得到，，通过角度和差关系及等边对等角可得到点F的坐标，利用待定系数法求得直线的解析式，最后联立抛物线解析式即可得到点D的坐标． 【详解】（1）解：将代入得， 将代入得：， ∴抛物线的解析式为：， 令，，解得：（舍），， ∴． （2）解：∵对称轴， ∴设， ∵，， ∴，，， ①当A为直角顶点时，， ∴， ∴， ∴； ②当C为直角顶点时，， ∴， ∴， ∴； ③当N为直角顶点时，， ∴， 解得：，， ∴或， 综上所述，点的坐标为或或或． （3）解：如图，延长交y轴于F，在上取点E，使， 设，则， 在中，， ∴， 解得：， ∴，， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴点F的坐标是， 点A的坐标是、点F的坐标是， 设直线的解析式是， 可得：，解得：， ∴直线的解析式是， 联立，解得：（舍），， ∴点D的坐标是． 12．(1)直线的解析式；抛物线的解析式 (2)或 (3)存在，点M坐标为或或 【分析】（1）直接利用待定系数法求解解析式即可； （2）根据函数图象，结合的横坐标，即可求解； （3）先求出抛物线的对称轴为直线，设，可得，，，再分类讨论即可； 【详解】（1）解：设直线的解析式为， 将点，分别代入得： ， 解得： 直线的解析式为； ∵抛物线与轴交于点，，与轴交于点， ∴， 解得：， ∴抛物线为：； （2）根据函数图象可得，使一次函数值大于二次函数值的的取值范围为或． （3）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 设， ∵，， ∴，， ， 当时， ∴， 解得：， ∴或； 当时， ∴， 解得：， ∴， 综上：点M坐标为或或． 13．(1) (2) (3)这两盏路灯的坐标分别为 【分析】（1）根据题意，得出点的坐标为，点的坐标为，设抛物线的解析式为，将代入，求出的值，即可得出结果； （2）令，求解对应自变量的值即可； （3）假设，两盏路灯与点构成等腰直角三角形，且，可得垂直于轴，垂足为，且，设点的横坐标为，得，求解出的值，即可得出最终结果． 【详解】（1）解：据题意，可得， ∴点的坐标为，点的坐标为， 设抛物线的解析式为， 将代入， 得， 解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：∵点，点到的距离均为， ∴令， 解得， ∴． （3）解：如图，假设，两盏路灯与点构成等腰直角三角形，且， 可得垂直于轴，垂足为，且， 设点的横坐标为，则点的纵坐标为， 可得， 解（舍去）． 当时，， ∴点的坐标为，点的坐标为， 即这两盏路灯的坐标分别为或． 14．(1) (2)点P的坐标为 (3)①②或 【分析】（1）待定系数法求函数解析式； （2）连接，过点作轴，交于点，待定系数法求出直线的解析式，假设点P的坐标为，则，根据面积列出方程求解； （3）①分两种情况进行讨论，利用得出的关系，然后表示出点的坐标，即可求解； ②借助①的结论表示出各点的坐标，根据点的坐标情况，列出不等式求解． 【详解】（1）解：将点和点代入得， 解得， ∴； （2）解：如图所示，连接，过点作轴，交于点， 当时，， ∴； 假设直线的解析式为，将和代入得， 解得 ∴直线的解析式为， ∵， ∴， 假设点P的坐标为，，则， ∴， ∴， 解得或， 当时，， ∴点P的坐标为（与顶点重合，舍去）； 当时，； ∴点P的坐标为； （3）解：设点P的横坐标为， ①如图所示， 由（2）得：， 当时，， ∴， ∴点P的纵坐标为：， ∴点P的坐标为， ∴； 当时，， ∴， ∴点P的纵坐标为：， ∴点P的坐标为， ∴； 综上，； ②如图所示，过点作于点， ∵为等腰直角三角形，且， ∴， ，，， ∵直角的直角顶点不在二次函数图象内部， ∴， 令， 则， 整理得， 解得（舍去）或， 即， ∵ ∴解得， 当时，， ∴， 解得； 当时，， ∴， 解得； 综上，m的取值范围为或． 15．(1) (2)存在，点D的坐标为或或 (3)线段的最小值为 【分析】（1）过P作轴交于点G，设，则，求得，根据，用的二次函数表示出，利用二次函数的性质即可求解； （2）用两点间距离公式分别表示三边，分类讨论，建立方程求解即可； （3）在轴负半轴取点，连接并延长交轴于点，连接，证明，则，确定点在线段上运动（不包括端点），故当时，最小，可证明，求得，而当时，，即可由面积法求最小值． 【详解】（1）解：如图，过P作轴交于点G， 设，则， ∴， 对于一次函数，令，得，令，得， ∴，， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，为最小值； （2）解：对于抛物线表达式，当，， ∴， 设直线的表达式为：， 则， 解得：， ∴直线的表达式为：， 设点D的横坐标为t， ∵， ∴，， ∴， ∵， ， ①当时，， 解得：或（舍）， ∴， ∴； ②当时，， 解得：或（舍）， ∴， ∴； ③当时，， 整理得：， 解得：或（舍）或（舍）， ∴， ∴； 综上，是等腰三角形时，点D的坐标为或或； （3）解：在轴负半轴取点，连接并延长交轴于点，连接， 由旋转得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点在线段上运动（不包括端点）， ∴当时，最小， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴当时， ∴， ∴， ∴线段长度的最小值． 16．(1) (2) (3)或 【分析】（1）将，坐标代入解析式即可求出解析式； （2）利用△的面积减去△的面积得出△的面积，分析关于的二次函数的最值； （3）根据矩形的顶点坐标，结合矩形的边与抛物线的交点情况，分三种情况讨论矩形各边中点在抛物线上的情形，分别列方程求解并检验，确定的值． 【详解】（1）解：将，代入， 得，解得， 抛物线的函数表达式：； （2）解：设直线的解析式将，代入得 ，解得， 直线的解析式为， 点，， ， 的面积减去的面积得出的面积， ， ，二次函数开口向下， 当时，有最大值是； （3）解：点位于第四象限， ， ，即点位于点右侧， 矩形与抛物线有三个交点， 点位于抛物线对称轴左侧， ， 点的对称点为， 则必有， 即， ， 由题意得，，， ①当中点位于上时，如图， 中点坐标为，， 又中点在抛物线上， ， ， 解得：（舍去），； ②当中点位于上时，如图， 同理可得，中点坐标为， 代入抛物线解析式得，， 解得：（舍去），（舍去）； ③当中点位于上时，如图， 同理可得，中点坐标为， 代入抛物线解析式得，， 解得：（舍去），； 综上所述，或． 【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，涉及待定系数法求函数表达式、二次函数的最值问题、矩形的性质以及函数交点与中点问题，熟练运用二次函数的性质、矩形的相关性质及分类讨论思想是解答本题的关键． 17．(1)抛物线的解析式为， (2)的值为或 (3)， (4)或 【分析】（1）根据题意，得，求解即可； （2）设，当时，最高点为，最低点为，当时，最高点为，最低点为，列方程求解即可； （3）当平行四边形的面积被轴平分时，根据题意，得，根据平行四边形的性质，列式解答即可； （4）延长，交抛物线与点G，设，根据抛物线的性质，分类求解即可． 【详解】（1）解：因为抛物线与轴交于点，顶点为， 所以， 解得， 故抛物线的解析式为， 令时，得， 故； （2）解：设， 根据题意，得， 因为该抛物线在点与点之间（包含点和点）的部分的最高点和最低点的纵坐标之差为5，顶点为，， ∴或， 当时，最高点为，最低点为， ，解得（舍），； 当时，最高点为，最低点为， ， 解得（舍），． 综上，的值为或． （3）解：当平行四边形的面积被轴平分时，根据题意，得， 因为，，必须为正数， 故， 解得，． （4）解：延长，交抛物线与点G，设， 根据题意，得， 解得， 故， 当时，点P在对称轴的右侧， 当点P与点G重合时，四边形不存在， 当点P在点G的上方时，如图所示，抛物线在平行四边形内部的部分都在对称直线的左侧， 因为抛物线开口向上， 所以对称轴左侧随的增大而减小，符合要求， 故； 当点P在点G的下方时，如图所示，抛物线在平行四边形内部的部分都在对称直线的左侧， 因为抛物线开口向上， 所以对称轴左侧随的增大而减小，符合要求， 当点P与点A重合时，四边形不存在， 故；   当时，点P在对称轴的作出，如图，抛物线不能落在平行四边形内部，不符合要求； 综上所述，符合要求的m的范围是：或 ． 18．(1) (2) (3)存在，或 【分析】（1）先求出的坐标，然后用待定系数法求解即可； （2）连接，，设，根据求解即可； （3）作，根据在上方或下方两种情况讨求解即可. 【详解】（1）解：∵当时，， ∴， ∵当时，，， ∴， ∵二次函数的图象过两点， ∴，解得：， 即：； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， 连接，， ∵， ∴， ∴， ∴即：， ∵四边形是正方形， ∴，即：， ∴互相垂直平分，， ∵点是第二象限位于抛物线上一点， ∴设， ，解得：， ∴， ∴， 解得：（舍）， ∴； （3）答：存在，或，理由如下： 过点作，过点B作 ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是正方形， 当时，， ∴， ∴即：， 如图：当在下方时，过点作射线使交于点交抛物线于点，此时， ∵， ∴， ∴， 即：， 设直线的解析式为：， ∴解得：， 即：， ∵， ∴（舍）或， ∴； 当在上方时， 作点关于的对称点， ∵四边形是正方形， ∴点在上，，， ∴， ∵时，， ∴在抛物线上， ∵， ∴， 当与重合时，，此时，， 综上：存在，或. 19．(1)； (2)或； (3) 在平面直角坐标系中存在点，使以点，，，为顶点的四边形为菱形，点的坐标为或或或． 【分析】（1）把，代入，可得，，即可得抛物线的解析式； （2）根据题意可得，，，当时，，设，则或，可得，即可得点的坐标； （3）抛物线的对称轴为直线，根据题意可得直线：，设，按照四边形为菱形，或四边形为菱形，进行分类讨论，根据菱形的性质，结合中点坐标，即可得点的坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，两点， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：在中， 当时，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， 设， ∴或， 解得或， 当时，， 当时，， ∴或． （3）解：在平面直角坐标系中存在点，使以点，，，为顶点的四边形为菱形， ∵抛物线的对称轴为直线，， ∴直线：， 设， ∵，， ∴， 若四边形为菱形，与的交点记为点， 则，，，， ∴， 解得， ∴或， ∴的中点为或， ∴或， ∴或， 解得或， ∴或， 若四边形为菱形，与的交点记为点， 则，，，， ∴， 解得， ∴或， ∴的中点为或， ∴或， ∴或， 解得或， ∴或， ∴在平面直角坐标系中存在点，使以点，，，为顶点的四边形为菱形，点的坐标为或或或． 20．(1) (2)存在点N使得以，，为顶点的三角形是等腰三角形，此时点N的坐标为或或 (3)或或或 【分析】（1）根据抛物线的对称轴是直线，可得，再利用待定系数法求解即可； （2）求出点A和点C的坐标，则可求出的值，求出直线直线的解析式为，设点，再分三种情况：当时，则，当时，则，当时，则，根据两点间的距离公式建立方程求解即可； （3）分三种情况：为对角线， 为对角线，为对角线，根据矩形的两条对角线的中点坐标相同和两条对角线相等建立方程组求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴是直线， ∴， 解得， ∵抛物线过点， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：在中，当时，则，解得， 当时，， ∴，， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴直线的解析式为， 设点， ∴， ， 当时，则， ∴， 解得或（舍去）， ∴ ∴此时点N的坐标为； 当时，则， ∴， 解得或（舍去）， ∴ ∴此时点N的坐标为； 当时，则 ∴， 解得， ∴ ∴此时点N的坐标为； 综上所述，存在点N使得以，，为顶点的三角形是等腰三角形，此时点N的坐标为或或； （3）解：∵抛物线的解析式为， ∴对称轴为直线； 设， 当为对角线时，由矩形的两条对角线的中点坐标相同可得： ， ∴， 由矩形的性质可得，则， ∴， 解得， ∴点F的坐标为； 当为对角线时，由矩形的两条对角线的中点坐标相同可得： ， ∴， 由矩形的性质可得，则， ∴， 解得， ∴点F的坐标为； 当为对角线时，由矩形的两条对角线的中点坐标相同可得： ， ∴， 由矩形的性质可得，则， ∴， 解得或 ∴点F的坐标为或； 综上所述，点F的坐标为或或或． 学科网（北京）股份有限公司 $