2026年九年级数学中考二轮复习《二次函数综合压轴题》常考热点题型分类考前冲刺专题提升训练

**基本信息** 以二次函数为核心，系统整合线段周长、面积、角度、相似三角形、平行四边形五大几何模块，通过分类题型构建“代数表达—几何转化—方程求解”的综合解题体系，培养抽象能力与推理意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |线段周长问题|4题|坐标表示法、分类讨论、对称转化|二次函数解析式（顶点式/交点式）→线段长度坐标化→方程求解最值| |面积问题|4题|铅垂高法、割补法、参数表示|函数图像与几何图形交点→面积表达式构建→二次函数最值性质应用| |角度问题|4题|构造全等/相似、三角函数转化|角度关系转化为线段比→利用相似三角形或三角函数建立等量关系| |相似三角形|4题|对应关系分类、比例线段列方程|相似判定条件（AA/SAS/SSS）→对应边比例坐标化→方程求解参数| |平行四边形|4题|中点坐标公式、平移性质|平行四边形对边/对角线性质→坐标平移或中点关系→参数方程求解|

2026年春九年级数学中考二轮复习《二次函数综合压轴题》 常考热点题型分类考前冲刺专题提升训练（附答案） 一、二次函数与线段、周长问题综合 1.如图，抛物线L:y=ax2+bx+c的顶点坐标为(-4，-9)，与x轴交于点A,B(点A在点B左 侧)，与y轴交于点C(O,-5),D,F是x轴上的两点，且点F在点D的右侧，DF=1.过D,F分 别作x轴的垂线，与抛物线分别交于点E,G: (1)求抛物线L的解析式； (2)若D,F均在负半轴，且DE=7,求抛物线上G点的横坐标； (3)若E,G在x轴下方的抛物线上，点D的横坐标为m,是否存在线段DE=2FG?若存在，求 出m的值，若不存在；请说明理由、 2.直线l1y=x+3与抛物线y=-x2+bx+c分别交于x轴上的A点和y轴上的B点. 备用图 (1)求抛物线的表达式： (2)点C为点B关于x轴的对称点，P为直线L1上方抛物线上一点，将直线L1向下平移2个单位长 度得到直线l2,M为直线l1上任意一点，过点M作MN⊥l2于点N;当△PAB面积取得最大值 时，求PM+MN+NC的最小值； (3)记抛物线与x轴的另一交点为点D,将原抛物线向左平移1个单位长度，向上平移2个单 位长度可得新抛物线y.点H为新抛物线上的一动点，若满足∠HAB=45°+LOBD,则求所 有符合条件的点H的横坐标，并写出其中一种情况的解答过程， 3.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A(-2,0),B(6,0)两点， 与y轴交于点C,连接BC. 备用图 (1)求抛物线的表达式： (2)点P是线段BC上方抛物线上的一动点，连接AP,BP,CP,点M,N分别是x轴上，直线BP上一 动点，连接CN,CM,MN.当SABCP-SA4CP取得最大值时，求△CMN周长的最小值： (3)在(2)问△CMW周长取得最小值的条件下，将抛物线沿射线AC方向平移13个单位长度 得到抛物线y',点Q为y上的一动点.若LCMN=2LQPB,请直接写出所有符合条件的点Q 的坐标，并写出求解点Q的坐标的其中一种情况的过程， 4.已知抛物线y=2+x+3与x轴交于点A,点B,与y轴交于点C,直线y=子x+3经 过点B和C, 图1 图2 备用图 (1)则点A、B、C的坐标分别为 (2)点P是抛物线上一动点，过点P作PE⊥x轴于点E,交直线BC于点D,连接PC, ①如图1，若动点P在直线BC上方运动时，过点P作PF⊥BC于点F,试求△PFD的周长的最 大值 ②如图2，当点P在抛物线上运动时，将△CPD沿直线CP翻折，点D的对应点为点Q,若以 C、D、P、Q为顶点的四边形能成为菱形，求点P的坐标 二、二次函数与面积问题综合 5.已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点A、C(C在A的左侧)，与y轴交于点 B. 图1 图2 (1)若A(3,0),B(0,-3),C(-1,0) ①直接写出抛物线解析式：-； ②若D点与C点关于y轴对称，在直线AB上是否存在点M使△ABC与△ADM相似，若存 在，求出点M的坐标； (2)如图2，点P和点Q在抛物线y=ax2+bx+c上，其中P在点C左侧抛物线上，Q点在y 轴右侧抛物线上，直线CQ交y轴于点F,直线PC交y轴于点H,设直线PQ解析式为 y=kx+t,当S△HcQ=2 SABCO,试证明为一个定值，并求出定值. 6,如图1，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A(-1,0),B(3,0)两 点，且与y轴交于点C(0,3), C D A A B 图1 图2 备用图 (1)求该二次函数表达式； (2)如图2设抛物线顶点为E,连接BE,将线段BE绕着B点旋转90°，得到线段BD,连接 AD,求经过A,D两点的直线表达式； (3)若点P为x轴上方该二次函数图象上的动点，当P在对称轴右侧时，求△PBC面积的最 大值，及此时P点坐标 7.如图，抛物线y=Qx2+bx+4与x轴相交于A(x1,0),B(x2,0)两点（点A在点B的左 侧)，其中x1,x2是方程x2-3x-4=0的两个根，抛物线与y轴相交于点C. 备用图 (1)求该抛物线对应的函数表达式： (2)已知直线l:y=2x+8与x,y轴分别相交于点D,E. ①设直线BC与1相交于点F,问在第三象限内的抛物线上是否存在点P,使得LPBF=∠DFB? 若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由： ②过抛物线上一点M作直线BC的平行线，与抛物线相交于另一点N.设直线MB,NC相交 于点Q.若△QBC的面积为4.求点Q的坐标. 8.已知抛物线y=a(x+1)(x-4)与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C(0,2),P为第一象 限抛物线上的点，连接CA,CB,PB,PC. VA R E D 图1 图2 备用图 (1)求抛物线的表达式； (2)如图1所示，当∠PCB=2L0CA时，求点P的坐标； (3)如图2所示，点D在y轴负半轴上，OD=OB,点Q为抛物线上一点，∠QBD=90°，点 E,F分别为△BDQ的边DQ,DB上的动点，且QE=DF,记BE+QF的最小值为m. ①求m的值； ②设△PCB的面积为S,若S=4m2-k,请直接写出k的取值范围. 三、二次函数与角度问题综合 9.如图，抛物线y=2(x-1)2的顶点为A,且与y轴交于点B. B (1)求A,B两点的坐标： (2)抛物线与平行于x轴的直线y=h交于点D、E,△DEA为等边三角形，求h的值， (3)若点C为点B关于对称轴对称的点，点P在抛物线上，且LPBC=∠BAC,求点P的坐标. 10.如图，抛物线y=ax2+bx+3(a<0)的图象与x轴交于点A(-3,0)和点B(1,0),与y轴 交于点C,抛物线的顶点为D, (1)求该抛物线的解析式和点D的坐标； (2)连接AC,若线段AC上方的抛物线上有一点E,求点E到线段AC距离的最大值，并写出此时 点E的坐标； (3)在抛物线上找一点M,使LCBM=45°，求点M的坐标： (4)在对称轴上找一点P,使PA-PC最大，直接写出点P的坐标； (5)N为抛物线上一点，若S△NAc=S△ABc,请直接写出点N的坐标； (6)若点P在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点Q,使以A,B,P,Q为顶点的四边形为 平行四边形？若存在，请直接写出满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由. 11.已知抛物线y=ax2+bx-5交x轴于点A(-1,0),点B,交y轴于点C.点C向右平移4个 单位长度，得到点D,点D在抛物线y=ax2+bx-5上，点E为抛物线的顶点. 备用图 备用图 (1)求抛物线的表达式及顶点E的坐标： (2)连接BC,点M是线段BC上一动点，连接OM,作射线CD ①在射线CD上取一点F,使CF=CO,连接FM.当OM+FM的值最小时，点M的坐标为_； ②点N是射线CD上一动点，且满足CN=CM.在第四象限内过点C作射线CH⊥BC,在射 线CH上取一点G,使CG=CO.连接GN,BN.求OM+BW的最小值；（请在备用图中画出草 图再求解) (3)点P在抛物线y=ax2+bx-5的对称轴上，若L0AP+∠0CA=45°，请直接写出点P的坐 标. 12,综合与探究 如图，抛物线y=ax2+bx+3与x轴相交于A(x1,0),B(x2,0)两点（点A在点B的左侧）， 其中x1,x2是方程x2-2x-3=0的两个根，抛物线与y轴相交于点C. (备用图) (1)求该抛物线对应的函数表达式； (2)已知直线y=3x+9与x,y轴分别相交于点D,E. ①抛物线上是否存在点N,直线BC上是否存在点Q,使以D,N,E,Q为顶点的四边形是 平行四边形？若存在，请直接写出点N的横坐标；若不存在，请说明理由， ②设直线BC与1相交于点F,问在第三象限内的抛物线上是否存在点P,使得LPBF=∠DFB? 若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由； ③过抛物线上一点M作直线BC的平行线.与抛物线相交于另一点N.设直线MB,NC相交 于点Q,连接QD,QE,求线段QD+QE的最小值. 四、二次函数与相似三角形综合 13.抛物线y=ax2+bx+c与y轴相交于点C(0,-3),与x轴相交于点A(-2,0)、B(6,0), 点D是抛物线的顶点. B D (1)求抛物线的解析式： (2)在y轴上有一点P,求出使PB+PD的值最小时点P的坐标，并求出此时PB+PD的最 小值： (3)在(2)的条件下，在第四象限中的抛物线上是否存在一点E,过点E作EF⊥x轴交x 轴于点F,使△OEF与△OBP相似？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理 由 14.抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A(-3,0),B(1,0)两点，与y轴交于点C. D B 图1 图2 (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，D为第二象限内抛物线上一点，OD交AC于点E,若△AOE与△ABC相似，求点D 的横坐标； (3)如图2，直线y=t交抛物线于M,N两点，直线CM和AN交于点P,若点P在直线y=2x+9 上，求t的值 15,如图①，在平面直角坐标系中，一个半圆和二次函数图像的一部分围成的封闭图形， 称为“甜筒圆”，已知A、B、C、D分别为“甜筒圆”与坐标轴的交点，其中半圆直径CD=12, 圆心E(2,0),二次函数的最小值为-9. 本y B B D E 图① 图② 图③ (1)求“甜筒圆”中的二次函数的表达式； (2)如图②，画直线AD,点G是第四象限内甜筒圆”上的一点，过点G作x轴的平行线与直线AD 相交于点F,求FG的最大值； (3)如图③，连接AC,点H为“甜筒圆”上任意一点，过H作HM⊥CD,垂足为点M,是否存在 点H使得△HMD和△COA相似，若存在，请直接写出点H的坐标，若不存在，请说明理 由 16,如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=-x2+bx+c与x轴相交于点A(-1,0),B (4,0) H 图1 图2 (1)求抛物线的表达式： (2)如图1.抛物线的对称轴与直线BC交于点G,与x轴交于点H,若点P是对称轴上的一个动 点，是否存在以P、C、G为顶点的三角形与△GHB相似？若存在，求出点P的坐标，若不存 在，请说明理由： (3)如图2，抛物线与y轴相交于点C,连接AC,BC,点D是直线BC上方抛物线上一动点（不 与端点重合)，过动点D作DE II AC线段BC于点E,连接DA,DB,AE,记△DAE的面积为S1 ,△DBE的面积为S2,当S1+S2取得最大值时，求点D的坐标并求出S1+S2的最大值. 五、二次函数与平行四边形综合 17,如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点A的坐标为 (-1,0),与y轴交于点C(0,3),作直线BC,动点P在x轴上运动，过点P作PM⊥x轴，交抛物 线于点M,交直线BC于点N,设点P的横坐标为m. (1)求抛物线的解析式和直线BC的解析式； (2)当点P在线段OB上运动时，求线段MN的长度；（用含m的式子表示） (3)当点P在线段OB上运动时，若△CMN是以MN为腰的等腰直角三角形时，直接写出m的值： (4)当以C、O、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出m的值. 18.如图，点A(-1,0),B(3,0),C(2,m)在抛物线y=x2+bx+c上. (1)求抛物线的解析式 (2)点P是线段AC上一个动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点E,求线段PE长度最大时 点P的坐标 (3)点Q是抛物线对称轴上一点，且△ACQ是以AC为斜边的直角三角形，则点Q坐标为 (4)点F是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点D,使得以点A,C,D,F为顶点的四边 形是平行四边形？如果存在，请直接写出所有满足条件的点D的坐标；如果不存在，请说 明理由， 19.如图，在平面直角坐标系中放置一个直角三角板，其顶点为A(0,1),B(2,0),0(0,0), 将此三角板绕原点O逆时针旋转90°，得到三角形A'B0.抛物线y=-x2+bx+c经过点A', B',B. y B B A 备用图 (1)求该抛物线的解析式； (2)当-4<x<3时，直接写出y的取值范围； (3)设点P是第一象限内抛物线上的一个动点，是否存在点P,使四边形PBA'B的面积是△A'B 0面积的4倍？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由： (4)抛物线上有一动点M,对称轴上有一动点N,当以A、B、M、N四点为顶点的四边形是平 行四边形时，直接写出点M的坐标， 20,如图所示，已知抛物线y=ax2+bx+4(a≠0)与x轴相交于点A(1,0)和B,与y轴相交于 点C,对称轴为直线x=2 甲 (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图甲所示，若P是线段BC上的一个动点（不与点B,C重合），过点P作y轴的平行线，交 抛物线于点Q,连结OQ,当线段PQ的长最大时，判断四边形0CPQ的形状，并说明理由； (3)如图乙所示，在(2)的条件下，D是0C的中点，过点Q的直线与抛物线相交于点E,且 ∠DQE=2LODQ,连结BE,在y轴上是否存在一点F,使得BE=BF?？若存在，求点F的坐标 若不存在，请说明理由. 参考答案 1.（1)解：抛物线L的顶点坐标为(-4，-9)， ∴设抛物线的解析式为y=a(x+4)2-9; 将点C(0,-5)代入解析式，得a(0+4)2-9=-5,解得a=4 y=1(x+4)2-9=2x2+2x-5, (2)解：设点D的横坐标为t,则点E(,t2+2t-5), ~点F在点D的右侧且DF=1, “点F的横坐标为t+1; ~E是过D作x轴的垂线与抛物线的交点， EG ".DE=yel=11t2+2t-5 DE=7, 2+2-5=7 分两种情况求解： ①当t2+2t-5=7时，解得t=-12或t=4; D、F均在负半轴， t<0且t+1<0,即t<-1, :t=4舍去，取t=-12,此时G点的横坐标为t+1=-11; ②当t2+2t-5=-7时，解得t=-4+22或t=-4-2V2,均满足t<-1, 此时G点的横坐标为t+1=-3+2W2或t+1=-3-2V2: 综上，G点的横坐标为-11或-3+22或-3-2W2; （3)解：存在，理由如下： 令y=0,则x2+2x-5=0, 解得x1=-10,x2=2, ∴A(-10,0),B(2,0), 点D的横坐标为m, 点F的横坐标为m+1,点E的坐标为m,4m2+2m-5), 点G的坐标为(m+1号 (m+1)2+2(m+1)-5): E、G在x轴下方的抛物线上， yE<0,yc<0, DB=-yE=-m2-2m+5,FG=-y6=m+1)2-2m+1)+5; DE =2FG 7m2-2m+5=2-(m+1)2-2m+1)+5, 展开并整理得m2+12m-2=0, 解得m=-6+38或m=-6-V38: ~E、G在x轴下方，抛物线与x轴的交点为(-10,0)和(2,0)， 产19，解得-10<m<1, -38<-6,38>6, m=-6-V38<-10,不符合条件，舍去； 0<-6+V38<1,符合-10<m<1的条件； 存在满足条件的m,m的值为-6+V38. 2.（1)解：对于直线l1:y=x+3,当x=0时，y=3;当y=0时，x=-3, ∴A(-3,0),B(0,3), ~直线l1:y=x+3与抛物线y=-x2+bx+c分别交于x轴上的A点和y轴上的B点， {-(-3)2-3b+c=0 C=3 解得b=-2,c=3, 抛物线的表达式为y=-x2-2x+3. (2)解：P为直线上方抛物线上一点， 作直线‖1，并与抛物线相切时，如图所示，当切点为点P时，此时点P与1的距离最大， 即△PAB面积取得最大值， 2+3 设：y=x+m明y+3, -x2-3x+3-m=0有两个相等的实数根， 令4=(-3)2-4×(-1)(3-m)=0, 解得m-升 的：y=x+县 y=-x2-2x+3 y=x+4 21 解得x=多y=只 即当P(-)时，△PAB面积取得最大值： 由(1)可知，A(-3,0),B(0,3), :.0A=0B=3, “△OAB为等腰直角三角形， 20AB=∠0BA=90°×245， 将直线l1:y=x+3向下平移2个单位长度得到直线2， l2:y=x+3-2=x+1, 设直线L2与x轴交于点E,过点E作EF⊥L于点F,如上图所示， 则△AEF为等腰直角三角形， 对于直线l2:y=x+1,当y=0时，x=-1,即E(-1,0), AE=-1-(-3)=2, AEF=AEsin45°=2×=V2, l1I2, ·直线L1和直线2的距离为V2, ~M为直线L1上任意一点，过点M作MN⊥l2于点N, ÷MN=EF=2; 将点P沿MN平行方向移动MN的长度，得到点P,连接PP,NP,如上图所示， 则PP'IIMN,PP'=MN, ∴四边形PMNP'为平行四边形， ..PM P'N, ..PM+NC=P'N+NC, ∴当P'、N、C共线时，PN+NC取得最小值，即PM+NC取得最小值， ~MN为定值， ∴此时PM+MN+NC取得最小值； 作FH⊥x轴于点H,如上图所示， 则△FHE为等腰直角三角形， EF =2, ∴FH=EH=EFsin45°=2×2=1， 即点F向右平移1个单位，向下平移1个单位可得到点E, EF MN,PP'MN,EF MN,PP'=MN, ·点P向右平移1个单位，向下平移1个单位可得到点P', p() P(》 ~点C为点B关于x轴的对称点，B(0,3), C(0,-3), 当P、M、C共线时，PC=(--0)+日-(-3到= 此时PM+NC+MN=P'C+MN=533+2, 4 当△PAB面积取得最大值时，PM+MN+NC最小值为533+V2. (3)解：由-x2-2x+3=0可得x1=1,x2=-3, ∴D(1,0),0D=1, 根据题意可得y=-(x+1)2-2(x+1)+3+2=-x2-4x+2, 取点T(0,-1),连接AT,则0T=1, D 在△AOT和△BOD中， OA=OB ∠AOT=∠BOD, OT=OD ·△AOT≌△BOD(SAS), .∠OAT=∠OBD ∠TAB=45°+∠0AT=45°+∠0BD, ∴点H为射线AT与抛物线y=-x2-4x+2的交点， 设直线7的解所式为y=x+1,则{厂3治士0。 1 直线AT的解析式为y=子-1， 由y=- 3x-1 ,可得3x2+11x-9=0, (y=-x2-4x+2 解得x1=-1+229, 6 x2=-11-229 6 xH=11+229 6 0A=3,0D=1, .AD=3+1=4, 作平行四边形ADBK,则BK=AD=4,BK II AD, ∠KAB=∠ABD=45°+∠OBD, ∴点H为射线AK与抛物线y=-x2-4x+2的交点， B(0,3), ∴K(-4,3), 设直线AK的解折式为》=kex+g:则仁孜：十8：三9， 解得你：三， “直线AK的解析式为y=-3x-9, (yy23x42可得2+-1=0， 解得x3=1-35 2 x4=-1+35 2 tH=-1-35 2 综上，所有符合条件的点H的横坐标为11+229或1-35， 6 2 3.(1)解：抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A(-2,0),B(6,0)两点， ÷品+28+30 帮得。 1 抛物线的表达式为y=-4x2+x+3; (2)解：过点P作y轴的平行线交BC于点U,直线AC于点T, B 对于y=-子2+x+3,当x=0时，y=3, ∴C(0,3) 设直线BC:y=mx+n, 则+0， 解得 m=-1 n=3 1 直线BCy=-+3, 同理可求：直线ACy=x+3 3 设P(p,-p2+p+3),则u(p,-p+3),t(,p+3) pu=p2+p+3-(-2P+3)=p2+n,7p=2+3-(←-2+p+3)=p2+P SamcP =Sapn +Saruc =ix PUX (xg-xc)=(-p2+p)x6=+ 5AGr-5Aae-SacmT(e 1 Sacp-5aAcp=-2+3p-(（得p2+2p）=-p2+4p=-p-22+4 -1<0,0<p<6 当p=2时，SABCP--SAACP取得最大值，此时P(2,4), 同理可求直线BPy=-x+6, 过点C分别作x轴和直线BP的对称点为点C,C”, 则C'(0,-3), 连接MC,NC",PC”,CC”,CC",CC"与直线BP交于点E, 设E(e,-e+6),由对称可得CE=C"E C"(2e,-2e+12-3),即C(2e,-2e+9), 由对称可得PC”=PC, :(2-0)2+(4-3)2=(2-2e)2+(-2e+9-4)2, 解得e=或e=2(舍)， C(3,6) CC”=(3-0)2+(-3-6)2=3V10 由对称可得，CM=CM,CN=C"N, C△cMw=CM+CN+MN=C'M+MN+C"N≥C'C ∴当点C',M,N,C"共线时，△CMN的周长取得最小值即为CC”=3W10. (3)解：A(-2,0),C(0,3) AC=V22+32=V13 将抛物线沿射线AC方向平移13个单位长度得到抛物线y, 抛物线y=-2+x+3向右平移2个单位，向上平移3个单位即可得到抛物线， 而y=-2+x+3=x-22+4 抛物线y=-4(x-4)2+7 连接OP交BC于点I,过点P作PI⊥y轴于点J, K B R 由对称可得，MC=MC, ∠1=∠2， ∠CMN=∠1+∠2=2∠1， .∠CMN=2∠3 L3=∠1 tan4=g=2-2, ---m5-品-8- .tan∠4=tan∠5 44=∠5 LC0B=∠4+∠P0B=∠5+∠P0B=90° PO⊥BC, 20C×0B=BC×01 01--2-4 BC 5 P0=VPI2+0J2=2W5 P1=P0-01=25-95=5, 81=PB-P7=4+(6-22-(5-号5， an6== C"(3,6),C'(0,-3) 同上可求直线CC”y=3x-3, 当y=0时，3x-3=0 解得x=1, ∴M(1,0), am41-0-月 tan∠1=tan∠6 ∴41=∠6 L3=∠6 :.PQ BC, 直线BCy=子+3， 设直线PQy=-+t, 代入点P2,4利得，-之×2+t=4, 解得t=5 直线PQy=-+5 :联立直线PQ和抛物线y表达式得-之x+5=-x-4)2+7, 解得x=5+V17或x=5-V17(舍)， 0(5+17,5巴） 作点Q关于BP的对称点R,射线PR交BC于点K, 则∠3=∠7 ∠CMN=2∠3， ..LCMN =247, ∴此时射线PR与抛物线y的交点也是符合题意的点Q ∠3=∠6， L6=∠7， ..KP=KB, 设K(k-k+3 k-22+(-k+3-4)°=(k-62+(-2k+3)2 解得数=号 kg) 同理可求直线PKy=-2x+8, 与抛物线y联立可得-2x+8=-1(x-4)2+7, 解得x=8+2y11或x=8-211(舍) Q(8+2y11,-4W11-8) 综上：符合条件的点Q的坐标为Q(8+211,-411-8)或Q(5+V17,5円） 4.(1)解：~抛物线y=2+x+3与x轴交于点A,点B,与y轴交于点C, 令y=0,则-2+x+3=0,解得：名1=-1,2=4， 令x=0,则y=3, ·.A(-1,0)、B(4,0),C(0,3), 故答案为：(-1,0)、(4,0)、(0,3)： (2)解：①设P(m-m2+m+3),△PFD的周长为L, 则D(m-m+3),PD=-3m2+3m, ~PE1x轴， .PEllOC, ·LPDF=∠BCO, .∠PFD=∠BOC=90°， ∴△PFD△BOC, :A0F的月长、P △B0c的周长=Bc1 由题意可知，0C=3、0B=4, BC=V0C2+0B2=5, ∴.△B0C的周长为0B+0C+BC=3+4+5=12, 5 l=号m2+6 9 5m m-22+尝 36 当m=2时，L最大=5’ 即△PFD的周长的最大值为， ②将△CPD沿直线CP翻折后，以C、D、P、Q为顶点的四边形能成为菱形， ∴.CQUPD,CD=PD, ∴点Q落在y轴上， 如图2，过点D作DG⊥y轴于点G, yA G B 图2 设P(n-n2+n+3),则D(n-n+3c(0,-n+3) cG=3-(-n+3)=,pm=(-n2+n+3)-(n+3=-n2+3m 在△cGD中，GD=cG2+GD2-很2+n2=原n2=n, PD=CD, -n2+3n=n①或-(-n2+3m）-n②， 解方程①得：n=或n=0(不符合题意，舍去)， 解方程②得：n=号或n=0(不符合题意，舍去). 当m=时，P（G,) 当m=时，P侣-) VA B E 备用图 故以C、D、P、Q为顶点的四边形能成为菱形的点P的坐标为(G,)或（侣，-） 5.(1)解：①将A(3,0),B(0,-3),C(-1,0)代入y=ax2+bx+c 0=9a+3b+c 得， c=-3 l a-b+c=0 (a=1 解得b=-2 (c=-3 故抛物线解析式为y=x2-2x-3; ②过M作MF⊥x轴 点D与点C关于y轴对称 D(1,0),AC=4,AB=3V2,AD=2 当△ADM一△ACB时， 4M=32, .0A=0B, ∠0AB=45% AP-MF-3 M呢，-到 当△AMD一△ACB时， AD AM AB=AC MM=2, 0A=0B, ∠0AB=45° +AF-MF- M(,-) 故M(G-到或M(-): (2)解：抛物线解析式为y=ax2+bx+c 当x=0时，y=c ∴B(0,c) 设直线PC的解析式为y=mx+n,直线CQ的解析式为y=dx+e ∴H(0,n),F(0,e) :.FH=yp-yH=e-n FB=yp-yB=e-c S△HcQ=2 SABCQ 2FH×(xQ-x)=2×BF×(xQ-xc) :.e-n=2(e-c) ..e=2c-n 《即+4=c=yB即点B是FH的中点) 2 ya e ∴ax2+(b-m)x+c-n=0 xpc lyoxd e ∴ax2+(b-d)x+c-e=0 Xoxc=- e=-2c+n=c a a a c-n n-c xpxc=a,xQxc=a,xc≠0 xpxc+xoxc=xc(xp +xo)=0 xp+xo=0 又直线y=kx+t经过抛物线y=ax2+bx+c上两点P、Q 风y年+。 ax2+(b-k)x+c-t=0的两个根为xp和xQ ,+0=结 -k=0而a≠0 a ..b=k 堂=1 b 为定值1. 6.（1)解：二次函数的图象经过A(-1,0),B(3,0)两点， “设二次函数表达式为y=a(x+1)(x-3), 将C(0,3)代入得3=a(0+1)(0-3), 解得a=-1, y=-(x+1)(x-3),即y=-x2+2x+3. (2)解：由(1)可知二次函数表达式为y=-x2+2x+3, 2 对称轴为直线x=-2×D=1,顶点纵坐标为y=-1+2+3=4, E(1,4), 过点E作EF⊥x轴于点F, EF=4,0F=1, B(3,0), .0B=3, .BF=0B-OF=2, 过点D作DG⊥x轴于点G,则LEFB=∠DGB=90°， VA D OF 由旋转的性质得BE=BD,∠EBD=90°， LEBF+∠DBG=90°， ∠EFB=90°， ∠EBF+∠BEF=90°， ∠BEF=∠DBG, 在△BEF和△DBG中， (LBEF=∠DBG ∠EFB=∠BGD, BE=DB .△BEF≌△DBG(AAS), ..BG=EF=4,DG=BF=2, :点D的横坐标为3+4=7，纵坐标为2， “点D的坐标为(7,2)， 设直线AD的表达式为y=kx+d, 把A(-1,0.D7,2代入得2=7灰+日. (k= 解得 d= 4 经过4，D两点的直线表达式为y=子+ (3)解：设P(t,-t2+2t+3)(1<t<3), 设直线BC的表达式为y=mx+n, 把B(3,0.c03代入得m+n30， 解得n二32， 直线BC的表达式为y=-x+3, 过P作PM⊥x轴于点M,交BC于点H, B ∴H(t,-t+3), :PH=-t2+2t+3-(-t+3)=-t2+3t, 过点C作CN⊥PM于点N, S△PBC=S△PHC+S△PHB 1 1 =2X PHX CN+2XPHX BM 1 -2X PH X (CN +BM) 1 -2x PHXOB 1 =2×(-t2+30)×3 =-9+8 当t=时，△PBC面积的最大值为名， 当=时，-+2+3=-月+2×2+3= 4 点P的坐标为(，) 7.解：(1)x2-3x-4=0, :(x-4)(x+1)=0, 解得x1=-1,x2=4, 由题意得A(-1,0),B(4,0), 了a-b+4=0 将A、B代入抛物线y=a2+bx+4,得{16a+4b+4=0' 解得a=-1,b=3, 抛物线的函数表达式为：y=-x2+3x+4; (2)①存在，理由如下： 如图， 直线y=2x+8与x、y轴分别交于点D、E, 当x=0时，y=8, 当y=0时，2x+8=0,x=-4, 点D(-4,0)、E(0,8), .0D=4,0E=8, an40ED-82- 由抛物线可知：当x=0时，y=4, C(0,4), .0B=0C=4, ∠0BC=∠0CB=45, ∴LFCE=∠0CB=45°， LDFB是△CEF的外角， .∠DFB=∠FCE+∠FEC=45°+∠FEC ∠DFB=∠PBF=∠CB0+∠PBG=45°+∠PBG, ∠PBG=∠FEC anPRG 设P(t,-t2+3t+4),则BG=4-t,PG=t2-3t-4, - 4-t 整理得2t2-5t-12=0, 解得t=4(舍去>或t=多 -2+3t+4=-(-到+3×(-)+4=-4， (--》 ②~B(4,0),C(0,4), 直线BC的解析式为y=-x+4, 设M(m,-m2+3m+4), 直线MN与BC平行， :设直线MN的解析式为y=-x+b, 把点M(m,-m2+3m+4)代入，得b=-m2+4m+4. ∴直线MN的解析式为y=-x-m2+4m+4, 与抛物线联立得)柳4， x2-4x-m2+4m=0,即(x-m)(x+m-4)=0, 解得x1=m,x2=4-m, 把x2=4-m代入直线MN的解析式，得y=-m2+5m, ∴点N(4-m,-m2+5m) ~点M(m,-m2+3m+4),B(4,0), 直线MB的解析式为y=-(m+1)x+4m+4, 点N(4-m,-m2+5m),C(0,4), :直线NC的解析式为y=(m-1)x+4, -(m+1)x+4m+4=(m-1)x+4, 解得x=2, y=2m+2. Q(2,2m+2) △QBC的顶点为B(4,0),C(0,4),Q(2,2m+2), S△QBc=2×4×12-(2m+2)=41ml=4, 解得m=1或m=-1. 当m=1时，Q(2,4): 当m=-1时，Q(2,0) 因此点Q的坐标为(2,4或(2,0)， 8.(1)解：抛物线y=a(x+1)(x-4)经过点C(0,2), ∴2=a(0+1)(0-4), 解得a=一2 1 抛物线解析式为：y=2+x+2: 3 (2)解：过点C作CD‖x轴，交BP于点D,过点P作PE‖x轴，交y轴于点E, 图1 A0=1,0C=2,0B=4, tan∠0CA=A0=1 c0=2 由(1)可得，tanABC=2即tanzOCA=tan∠ABC, LOCA=∠ABC, .∠PCB=2∠OCA, .∠PCB=2∠ABC, CDIx轴，EPIx轴， ∠ACB=∠DCB,∠EPC=∠PCD, ∠EPC=∠ABC, 又LPEC=∠B0C=90°， △PEC一△BOC, EP EC 设点P坐标为(，-22+3t+2),则EP=t,EC=2+t+2-2=-2+3, 3 解得：t=0(舍去)，t=2, 点P坐标为(2,3)： (3)解：①如图2，作DH⊥DQ,且使DH=BQ,连接FH, D H 图2 LBQD+∠BDQ=90°，∠HDF+∠BDQ=90°， ∴LBQD=∠HDF, QE DF,DH=BQ, ·△BQE≌△HDF(SAS), ..BE FH, :BE+QF=FH+QF≥QH, ∴Q,F,H共线时，BE+QF的值最小，作QG⊥AB于点G, .OB=OD,∠BOD=90°， .∠0BD=45°， LQBD=90°， LQBG=45°， ..QG=BG. 设c(n,0)则Q(n-n2+n+2, n2+3n+2=4-n, 解得n=1或n=4(舍去)， ∴Q(1,3), QG=BG=4-1=3, :.BQ DH 3V2QD =5v2, m=QH=(32)2+(5V2)2=2W17: ②如图3，作PTI‖y轴，交BC于点T, V A 图3 BC解析式为y=-+2, 设7(a-2a+2,p(a-a2+2a+2, 则s=(-2a2+a+2+2a-2)×4=-(a-22+4, 点P在第一象限， 0<S≤4， -0<4m2-k≤4， 13≤k<17 9.(1)解：抛物线y=2(x-1)2顶点为A(1,0), 令x=0,得y=2(0-1)2=2, 故B(0,2): (2)解：直线y=h交抛物线于D,E两点，则D,E横坐标满足 2(x-1)2=h, =1t® 则DE=1+ 合-(1-周=2后-. 作AH⊥DE, 珠 B D H △DEA为等边三角形， :.DH=DE=12,AD DE =2h AH=DA2-DH2= 2 h=6顾 2 3 h2=2h 3 h2-2h=0 3\ hh-2)=0 h>0, 心h= （3)解：抛物线对称轴x=1, ∴B(0,2)关于x=1的对称点为C(2,2), O G B 07 作AQ⊥BC于Q, B,C关于对称轴对称， Q为BC中点，Q坐标为Q(1,2),且∠BAQ=∠BAC, 则ItanzBAQ=A0=2' BQ 1 LPBC-BAC, tan∠PBC=tan∠BAQ=2 P在抛物线上， ∴设P(x,2x2-4x+2), 过P作PG⊥BC, PG=I2x2-4x+2-2,BG=|x-0|=|x, 则22+2a=月 x 12x2-4x1 Ixl -2 X≠0， 2x-4= 2x-4=或2x-4=月 x=或x= 当x=时， y=20-1)°=202-a 得P) 当x=时， y=20-)-20=0 得PzC) 综上所述，P(,)或P() 10,(1)解：将点A(-3,0)和点B(1,0)代入抛物线y=ax2+bx+3得： 《-046+30 解得6=-之 则抛物线的解析式为y=-x2-2x+3, -2 对称轴为x=-2xCD=-1, 将x=-1代入y=-x2-2x+3得y=-(-1)2-2×(-1)+3=4, 则点D的坐标为(-1,4)； (2)解：根据抛物线y=ax2+bx+3与y轴交于点C得，点C的坐标为C(0,3), 设直线AC的解析式为y=kx+b1, 将点A(-3,0)和点C(0,3)代入y=kx+b1得 (3%3=0 解得化三3 则直线AC的解析式为y=x+3, 过点E作EFI‖y轴，交直线AC于点F,过点E作EG⊥AC于点G, 设点E(m,-m2-2m+3),点F坐标为F(m,m+3), EP=（-m2-2m+3)-(m+3)=-m2-3m=-(m+)+} 当m=-时，EF有最大值，最大值为， -m2-2m+3=-(-)-2×(-)+3= 则点E坐标为(-) 根据点A(-3,0)和点C(0,3)得0A=0C、∠A0C=90°， 则LAC0=45° 由于EG⊥AC,EF ly轴， 则LEGF=90°、∠EFG=∠AC0=45°， EF 9 6-若音=9 81 因此，点E到线段AC距离的最大值为2， 点E的坐标为(-，)： (3)解：过点B作BH⊥CB且BH=BC,连接CH,过点C、H作x轴的平行线，与过点B作y 轴的平行线，分别交于点K、I,取CH的中点B1,作射线BB1与抛物线交于点M,此时 ∠CBM=45,如图： 则∠CKB=∠HIB=90°、∠IHB+∠HBI=90°、∠HBI+∠CBK=90°， ∠CBK=∠IHB, BC=BH, ∴△BKC≌△BIH(AAS), 点B(1,0)、C(0,3), .BI=CK=1、HI=BK=3, ·点H的坐标为(-2，-1)， “B1中点的横坐标为=-1、纵坐标为。=1， 即点B1的坐标为(-1,1)， 设直线BB1的解析式为y=k1x+b2, 将点B(1,0)和B1(-1,1)代入y=k1x+b2得， {,+,9 1 (k1=一2 解得b22 1 则直线BB1的解析式为y=-之x+2 将直线BB1与抛物线联立得： -x2-2x+3=-+2 5 解得x=-或x=1, 由于点B(1,0), 则点M的横坐标为x= 将x=-代入y=-x2-2x+3得y=-(-)-2×(←)+3=} 因此点M的坐标为(-)： (4)解：作点A关于对称轴x=-1的对称点，作射线BC,交对称轴于点P,如图所示： 由(1)知，抛物线的对称轴为x=-1, 点A关于对称轴x=-1的对称点为A'(1,0),即为点B, 设直线BC的解析式为y=k2x+b3, 将点B(1,0)和C(0,3)代入y=k2x+b3得， k2+b3=0 1b3=3’ 解得，=3， 则直线BC的解析式为y=-3x+3, 当x=-1时，y=-3×(-1)+3=6, 因此，点P的坐标为(-1,6)： (5)解：根据题意得：S△NAc=S△BAC, 则点N、B到AC的距离相等， 分两种情况： ①当N、B在AC同侧时，NB II AC, 由(2)可知，直线AC的解析式为y=x+3, 设直线NB的解析式为y=x+b4, 将点B(1,0)代入y=x+b4得，1+b4=0, 解得b4=-1, 则直线NB的解析式为y=x-1, 将直线NB的解析式与抛物线解析式联立得， -x2-2x+3=x-1) 解得x=-4或x=1(舍去)， 将x=-4代入y=x-1得，y=-4-1=-5, 因此，点N的坐标为(-4，-5)： ②当N、B在AC两侧时，延长BC到点R使CR=CA,则点R坐标为(-1,6)，即为P点，过点P 作AC的平行线，如图： 设过P的直线解析式为y=x+b5, 将点P(-1,6代入y=x+b5得，-1+b5=6, 解得b5=7, 则直线解析式为y=x+7, 由图像发现，此时过点P的直线与抛物线没有交点， 则N点不存在， 综上所述，点N的坐标为(-4，-5)： (6)解：存在点Q,点Q坐标为(-1,4、(3，-12)和(-5，-12)： 理由如下： 由(1)知，抛物线的解析式为y=-x2-2x+3,对称轴为x=-1, 设点P(-1,t),Q(s,w) 当AB为平行四边形的对角线时， 根据题意得：-3+1=-1+s, 解得s=-1, 当s=-1时，w=-(-1)2-2×(-1)+3=4, 则点Q的坐标为(-1,4)： 当AB II PQ且AB=PQ时， 根据题意得：s+1=|-3-1, 解得s=3或s=-5, 当s=3时，w=-32-2×3+3=-12, 当s=-5时，w=-(-5)2-2×(-5)+3=-12, 则点Q的坐标为(3，-12)和(-5，-12)， 综上所述，抛物线上存在点Q,使以A,B,P,Q为顶点的四边形为平行四边形，满足条件 的点Q的坐标为(-1,4)、(3，-12)和(-5，-12) 等面积的性质、平行四边形的性质，正确作出辅助线，熟练运用数形结合思想是解题的关 键， 11.(1)解：对于抛物线y=ax2+bx-5,令x=0,则y=-5, C(0,-5), 点C向右平移4个单位长度，得到点D, ∴D(4,-5) 抛物线y=ax2+bx-5过点A(-1,0),D(4,-5), 16e8+46550-5 解得：6014， 抛物线的解析式为y=x2-4x-5, y=x2-4x-5=(x-2)2-9, 抛物线的顶点E的坐标为(2，-9) (2)解：①如图，当点O,M,F三点共线时，OM+FM=OF为最小值 对于抛物线y=x2-4x-5,令y=0,则x2-4x-5=0, 解得：x1=-1,x2=5, ∴B(5,0), 设过点B(5,0),C(0,-5)的直线解析式为y=kx+c, 则财±号0 解得5 直线BC的解析式为y=x-5, C(0,-5), :CF=C0=5, 点F在射线CD上，C(0,-5),D(4,-5), F(5,-5), 设直线0F的解析式为y=K'x,把F(5,-5)代入得：5k=-5, 解得：k=-1, :直线OF的解析式为y=-x, 5 解方程组y二x-5 X= 2 (y=-x y=-2 当OM+FM的值最小时，点M的坐标为(，-)： ②连接BG, H B(5,0),C(0,-5), :.0C=0B=5, “△BOC是等腰直角三角形， ∠0CB=45, 根据平移可得：CD⊥y轴， L0CD=90, ∠BCD=90°-45°=45°， CH⊥BC, LBCG=90°， LDCG=90°-45°=45°， .LDCG LOCM, CM=CN,CO=CG, ·.△COM≌△CGN(SAS), ..0M=NG, ..OM+BN=NG+BN, 两点之间线段最短， “当B、N、G三点共线时，BN+NG最小，即OM+BN最小，且最小值为BG, 0C=0B=5 BC=V0B2+0C2=5V2, CG=0C=5, :在Rt△BCG中，BG=VBC2+CG2=V(5V2)2+52=53, 即0M+BN的最小值为5V3 (3)解：①当点P在x轴上方时， 取点H(-5,0),连接HC, H0=C0=5, “△OCH是等腰直角三角形， ∠0CH=45°，即∠0CA+∠ACH=45°， L0AP+∠0CA=45°， LOAP=∠ACH, 过点A作AK⊥HC于点K,设对称轴与x轴的交点为Q, ∠AKC=∠PQA=90°， ∴△AKC一△PQA, PQ AQ AKKC A(-1.0),H(-5,0),C(0,-5), AH=-1-(-5)=4,AC=V(-1-0)2+(0+5)2=V26,HC=(-5-0)2+(0+5)2=5 2, SAACH=2AH.C0=HC·AK, 即2×4×5=3×52.AK, AK=22, 在Rt△ACK中，KC=AC2-AK2=262-(22)2=32, 对称轴为直线x=2, ∴AQ=2-(-1)=3, AK=KC’ PQ 3 22=32 PQ=2, ∴P(2,2). ②当点P在x轴下方时，由对称性可得P(2,-2). 综上所述，点P的坐标为(2,2)或(2，-2) 故答案为：(2,2)或(2，-2) 12.（1)解：x1,x2是x2-2x-3=0的两个根， x1=-1,x2=3, ∴.A(-1,0),B(3,0), 抛物线y=ax2+bx+3与x轴相交于A、B两点， 98+3站子390 解得6=2， 抛物线函数表达式为y=-x2+2x+3; (2)①解：0或3或3+57或357，理由如下： 2 2 令y=0得：3x+9=0,解得x=-3, 令x=0得：y=3×0+9=9, 则点D(-3,0)、E(0,9), 抛物线与y轴相交于点C, 则点C(0,3), 设直线BC的解析式为y=Kx+b', 将点B(3,0)、C(0,3)代入y=kx+b'得 3k+b'=0 (b=3 解得=3 则直线BC的解析式为y=-x+3, 设点N的坐标为(m,-n2+2n+3)、点Q的坐标为(q,-q+3), 当DE为平行四边形的对角线时， DE的中点为(-》NQ的中点为，++) 2 n+9=-3 2 2 n2+2m+3-q+3彡) 解得n=0或n=3, 令n=0时，q=-3,点N的坐标为(0,3)、点Q的坐标为(-3,6)， 令n=3时，q=-6,点N的坐标为(3,0)、点Q的坐标为(-6,9)： 当DQ为平行四边形的对角线时， D0的中点为(3，士)， NE的中点为(G,心+2+3+9)。 2 -3+9=” 则-q+3= 2 、2 二n2+2+3+9 2 2 解得n=3±57 2 当DN为平行四边形的对角线时， Dw的申点为(2"，+)， 2 BQ的中点为，g+) -3+n_q 则 2 -2+2n+3=9g+3 2 2 整理得n2-3n+12=0, 判别式△=(-3)2-4×1×12=-39<0， 则没有实数解， 综上所述，点N的横坐标为0,3,3+57,3=57 2 2 ②解：存在，理由如下： 直线y=3x+9与x、y轴分别交于点D、E, ∴x=0时，y=9, 当y=0时，3x+9=0,x=-3, ∴点D(-3,0)、E(0,9), ∴0D=3,0E=9, ÷.tanL0ED=oE=3 0D1 由抛物线可知：当x=0时，y=3, C(0,3), 0B=0C=3, ∴.∠0BC=∠0CB=45°， ∴∠FCE=∠0CB=45°， LDFB是△CEF的外角， ·∠DFB=∠FCE+∠FEC=45°+LFEC, '∠DFB=∠PBF=∠CB0+∠PBQ=45°+∠PBQ, ∴.∠PBQ=∠FEC, an2PBQ-器- 设P(m,-m2+2m+3),则BQ=3-m,PQ=m2-2m-3, 3-m m=3(舍去)或 p(-g): ③~过抛物线上一点M作直线BC的平行线，与抛物线相交于另一点N, 设M(x1y1),N(x2y2),设直线MN的解析式为：y=-x+n, 设直线BM的解析式为y=k1x+m, 将B(3,0)代入y=k1x+m得3k1+m=0, 解得m=-3k1, ·直线BM的解析式为y=k1x-3k1, 设直线CN的解析式为y=k2x+m1, 将C(0,3)代入y=k2x+m1得m1=3, ∴直线CN的解析式为y=k2x+3; 联立方程组(y4克+3 得x2-3x+n-3=0, x1+x2=3, 将M(x1y1)代入y=k1x-3k1,y=-x2+2x+3得： 423 ·x1+(k1-2)x1-3(k1+1)=0, ·(x1-3)[x1+(k1+1]=0, 解得：k1=-1-x1, 将N(x2y2)代入y=k2x+3,y=-x2+2x+3得： fy2=k2x2+3 y2=-x22+2x2+3’ x22+(k2-2)x2=0, x2(x2+k2-2)=0, 解得：k2=2-x2, 联立方程组成， 得出xQ= 3(1+k)_31+(-1-x】_-3x1 -3x1 3 k1-k2 -1-x1-(2-2)=-3+2-名1=3+3-1-1=2 “点0在直线x=上运动， 在y=3x+9中，令x=0,则y=9,即E(0,9), 3 如图，作点E关于直线x=的对称点E'，连接DE交直线x=,于Q,连接EQ', 则E(3,9), 由轴对称性质可得EQ'=EQ', ∴.QD+QE的最小值=DQ'+EQ'=DQ'+E'Q'=DE, 由两点之间线段最短可得：线段QD+QE的最小值为DE, DE=V3-(-3)]2+(9-0)2=3V13, 线段QD+QE的最小值为3W13. 13,(1)解：抛物线y=ax2+bx+c与y轴相交于点C(0,-3),与x轴相交于点A (-2,0)、B(6,0), 把点A,点B,点C的坐标代入y=ax2+bx+c得： 4a-2b+c=0 36a+6b+c=0, C=-3 a=1 解得 4 b=-1 C=-3 抛物线的解析式为y=x2-x-3; (2)解：作点B关于y轴的对称点B,连接BD交y轴于点P,如图所示： A B' D 根据轴对称可知：PB'=PB, ..PB+PD=PB'+PD. 两点之间线段最短， 此时PB'+PD最小，即PB+PD的值最小， 点B的坐标为(6,0)， ∴点B的坐标为(-6,0)， y=3x2-x-3=1（x-2)2-4, 顶点坐标D(2,-4) 设直线B'D的解析式为y=kx+n, 24=4 解得： k=-1 n=-3 直线BD的表达式为y=-x-3, 当x=0时，y=-3, “点P的坐标为(0，-3)： 则最小值为：V(2+6)2+42=45; (3)解：在第四象限中的抛物线上存在点E,使△OEF与△OBP相似； 理由如下：设E(m,2m2-m-3)(m>0),则F(m,0), 0F=m,EF=-4m2+m+3,0B=6,0P=3, ①当△FEO~△OPB时， OF EF 0B=0p 即2+m+3 3 解得：m1=V13+1,m2=-V13+1(舍去)， 此时点(+1，区-： ②当△FE0~△OBP时， EF OF 即-2+m+3。m 6 解得：m1=2,m2=-6（舍去)， 此时点E(2,-4): 综上所述，点E坐标为(2，-或(13+1，) 14.(1)解：抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A(-3,0),B(1,0)两点， 8+2+30, 解得：8=二2 ∴抛物线的解析式为y=-x2-2x+3; (2)解：在y=-x2-2x+3中，令x=0,则y=3,即C(0,3), A(-3,0),B(1,0), AB=4,A0=3,0C=3, ∴△A0C为等腰直角三角形，AC=V(-3-0)2+(0-3)2=3y2, ∴LCA0=45°， 设直线BC的解析式为y=kx+b1, 将(1,0，c03)代入解析式可得吉，：写0， 解得：你=子 直线BC的解析式为y=-3x+3, 连接AD、BC, 1 D E B 图1 :△AOE与△ABC相似， :当△AOE一△ABC时，∠AOE=∠ABC, ..OE II BC, :设直线0E的解析式为y=-3x+b2, 将0(0,0)代入解析式可得b2=0, 直线OE的解析式为y=-3x, 联立，-3数+3可得-2-2x+3=-3x, 解得：==西（不符合题意，舍去， 2 此时点D的横坐标为， 2 当△A0E-△AC8时，铝-是即号- AE=22, 过点E作EH⊥AB于H,则△AEH为等腰直角三角形， AH EH =2AE=2, 0H=1, ∴E(-1,2), 设直线OE的解析式为y=k1x, 将E(-1,2)代入解析式可得2=-k1, k1=-2, :直线0E的解析式为y=-2x, 联-2经+3可得-2-2x+3=-2 解得：x1=-3,x2=3(不符合题意，舍去)： 此时点D的横坐标为-3； 综上所述，点D的横坐标为'或-3， (3)解：设M(m,-m2-2m+3),N(n,-n2-2n+3),P(xo2xo+9), 由题意可得MN1<轴，抛物线的对称挂为直线x=22=-1, m+n=-2,t=-n2-2n+3, 设直线CM的解析式可得y=k2x+b2, 将C(0,3),M(m,-m2-2m+3)代入解析式可得mk2+b25-m2-2m+3, b2=3 解得：，=g2， :直线CM的解析式为y=(-m-2)x+3, 同理可得直线AN的解析式为y=(-n+1)x+3-3n, 直线CM和AN交于点P, 2时吉92 0可得：==由@可得：0= -6 n+1 -6-3n-6 “n+1=2n 整理可得：n2+2n=2 ∴t=-n2-2n+3=-(n2+2n)+3=-2+3=1. 15,(1)解：己知半圆直径CD=12,圆心E(2,0), .CE=DE=CD=6, 则C点坐标为(2-6,0)即C(-4,0), D点坐标为(2+6,0)即D(8,0), 二次函数的最小值为-9， ·二次函数的顶点坐标为(2，-9)， 设二次函数的表达式为y=a(x-2)2-9,把C(-4,0)代入可得， 0=a(-4-2)2-9, 解得，a= 二次函数的表达式为y=1(x-2)2-9=x2-x-8, 即“甜筒圆“中的二次函数的表达式为：y=x2-x-8; (2)解：先求A点坐标，令x=0, 则y=4(0-2)2-9=-8, ·A(0,-8) 已知D(8,0),设直线AD的表达式为y=kx+b, 把A(0,-8),D(8,0)代入， 可得ak+b80 解得k=8. 直线AD的表达式为y=x-8, 设点G的坐标为(m,2m2-m-8)(0<m<8), GFI‖x轴， ·点F的纵坐标为m2-m-8, 把y=4m2-m-8代入y=x-8, 可得m2-m-8=x-8 解得x=m2-m,即r(m2-mm2-m-8) 则FG=4m2-m-m=4m2-2m=4(m-4)2-4, ×1>0, “.当m=4时，FG有最大值为4； (3)解存在，由点A、O、C的坐标得，tanLOAC=2,当△HMD和△COA相似时，则tan ∠DHM=2或号， 当点H在“甜筒圆”上时，连接HE,如图所示： 本y B 当tanDHM=2时，设DM=m,则HM=2m,EM=6-m, 当taniDHM=2时，设DM=2m,则HM=m,EM=6-2m, 在Rt△HME中，则EH2=EM2+HM2, 即62=(6-m)2+(2m)2或62=(6-2m)2+m2, 解得，m=号或0舍去)， 1228 0M=8-5=5 则点H(②9 根据图形的对称性，另外一个点关于x=2对称， 则点H(-) 当点H在抛物线上时，如图所示， y B M 则tan-HDM=2或2 1 设点H(m,m2-m-8),则MD=8-m, 则an2HDM=之-m-8=2或号 8-m 解得，m=8(舍去)或4或-2， 即点H(-2,-5)或(4，-8)， 综上所述，H(-2,-5)或(4-8)或(）或(-，) 16.(1)解：根据题-16+站。00 解得：化=， 抛物线的表达式为：y=-x2+3x+4; (2)解：存在， 由(1)知抛物线的表达式为：y=-x2+3x+4, 将x=0代入y=-x2+3x+4,则y=4, C(0,4), 0B=0C=4, “△BOC是等腰直角三角形， ∠0BC=∠0CB=45°， GH⊥OB,即∠GHB=90°， ∠HBG=∠BGH=45°， △BGH是等腰直角三角形， .∠CGH=135°， 以P、C、G为顶点的三角形与△GHB相似， “△CGP是等腰直角三角形， ∴点P在点G上方， 设直线BC的解析式为y=kx+4, 则0=4k+4,解得：k=-1 设直线BC的解析式为y=-x+4, 3 抛物线的对称轴为x=一2xD=2 3 点G的横坐标为， y6=-+4=2 G(,)Hg）, c6=目°+4=9B6=,(4到+月2=-受BH=6H= 设r(pp>) PG=P-2 LBGH=∠CGP, 当LCPG=90时，△CPG一△BHG, %-- PG p-多 p=4, 当∠PCG=90时，△PCG一△BHG, 瓷-%-号 PG=3, p2=3, 5 11 冲=2 综上，点P的坐标为4或(，) (3)解：过点E作EM⊥x轴于点M, 设直线AC的解析式为y=mx+4, 则-m+4=0,解得：m=4, 直线AC的解析式为y=4x+4, 设D(d,-d2+3d+4), .DE II AC, ∴设直线DE的解析式为y=4x+n, 则-d2+3d+4=4d+n,解得：n=-d2-d+4, 直线DE的解析式为y=4x-d2-d+4, 联立y整d+d44，解得：y三2。 5d+4, e(（2+d-d-d+4 5 MB=-2-d+4, AB=5,△DAE的面积为S1v△DBE的面积为S2, S1+S2=S△ABD-S△ABE, :S1+S2=AB-yp-AB-ME 1 =zAB-(Yp-ME) 1 =-2d2+8d =-2(d-2)2+8, -2<0, 当d=2时，S1+S2有最大值，最大值为8； 此时，-d2+3d+4=-4+6+4=6, D(2,6),S1+S2的最大值为8. 17.（1)解：抛物线过A,C两点， 代入抛物线解析式可得1-b十5=0， c=3 解得化二子， :抛物线解析式为y=-x2+2x+3; 令y=0, 可得-x2+2x+3=0, 解x1=-1,x2=3, 点B在点A右侧， ∴点B坐标为(3,0)， 设直线BC解析式为y=kx+s, 把B、C坐标代入可得k十0， 解得3， 直线BC解析式为y=-x+3; (2)解：PM⊥x轴，点P的横坐标为m, M(m,-m2+2m+3),N(m,-m+3), P在线段OB上运动， “点M在点N上方， MW=-m2+2m+3-(-m+3)=-m2+3m; (3)解：PM⊥x轴， “△CMN当是以MN为腰的等腰直角三角形时， 则有CM⊥MN, M点纵坐标为3， -m2+2m+3=3, 解得m=0或m=2, 当m=0时， 则M,N重合，不能构成三角形，不符合题意，舍去， m=2; (4)解：C0IMN, :当以C、O、M、N为顶点的四边形是平行四边形时，C0=MN, -m2+3m=3, .-m2+3m=3或-m2+3m=-3, 解方程-m2+3m=3, 即m2-3m+3=0, 此时△=(-3)2-4×3=-3<0. …方程无解， 解方程-m2+3m=-3, 即m2-3m-3=0, m=--3)+-32-4×1×(-3=3±2 2 2 m=3,m=, 2 综上，m的值为3+②或3-2回 2 2 18.1)解：将A(-10,B(30代入y=2+bx+6,得到g1+60。 解得化=二子， 抛物线的解析式为y=x2-2x-3; (2)将C点的横坐标代入y=x2-2x-3,得y=-3, ·C(2,-3), 设直线AC的解析式为y=kx+b,把A(-1,0),C(2,-3)分别代入y=kx+b,得{2k+b2=-3 (-k+b=0 解得：伦=二1， ·直线AC的函数解析式是y=-x-1, 设点P的横坐标为x(-1≤x≤2)，则P、E的坐标分别为P(x,-x-1),E(x,x2-x-3), 点P在点E的上方， P8=(-x-1)-(2-2x-3)=-2+x+2=-(x-)2+8 .-1<0, 当x=时，PE最大，最大值为此时点P的坐标为(，-)： b -2 (3)抛物线y=x2-2x-3的对称轴是x=-2a=-2x1=1, 因为点Q在抛物线对称轴上，所以设点Q的坐标是(1，a), AQ=V[1-(-1)]2+a2=4+a2,CQ=V(2-1)2+(-3-a)2=V1+(3+a)2,AC= -1-2)2+(-3)2=V18 ~△ACQ是以AC为斜边的直角三角形， AQ2+CQ2=AC2,即4+a2+1+(3+a)2=18, 解得a=-3±17 2 Q(1,3四）成(1,3四)： (4)存在，满足条件的点D的坐标为(-3,0)或(1,0)或(4-V7,0)或(4+V7,0), 理由如下：如下图，设抛物线与y轴的交点为K,由题意得K(0,-3), 3 D D D D 5.6 C(2,-3), CKllx轴，CK=2, 当点F与点K重合时， ①当AC是平行四边形ACF1D1的边时，即CK=AD1=2,则OD1=3,得D1=(-3,0), ②当AC是平行四边形AF1CD2的对角线时，即AD2=CF1=CK=2,则0D2=1,得D2 (1,0), 当点F在x轴的上方时，令y=3,x2-2x-3=3 解得x=1士V7, F3(1-V7,3),F4(1+V7,3), 由平移的性质可知D3(4-7,0),D4(4+V7,0) 综上所述，满足条件的点D的坐标为(-3,0)或(1,0)或(4-V7,0)或(4+V7,0): 19.(1)解：A(0,1),B(2,0), 0A=1,0B=2, 将此三角板绕原点0逆时针旋转90°，得到三角形A'B'O, .0A'=0A=1,0B=0B=2, ∴A'(-1,0),B'(0,2), 把A'(-1,0),B'(0,2)代入y=-x2+bx+c得 1-b±=0 解得化=2， ∴该抛物线的解析式为y=-x2+x+2; (2)y=-x2+x+2=-(x-)+ 当x=时，y=, 当x=-4时，y=-18, 当x=3时，y=-4, 当-4<x<3时，-18<y≤ (3)存在， 如图，连接OP, SAAB0=0A,0B=2x1×2=1, 1 S四边形PBAB=4S△AB'0=4, 设点P的坐标为P(m,-m2+m+2)(其中0<m<2), 1 S△B0p=20B':m=2×2×m=m, S△op=20B-(-m2+m+2)=2×2×(-m2+m+2)=-m2+m+2, S四边形PBAB=S△AB0+S△B0P+S△B0p=1+m+(-m2+m+2)=-m2+2m+3, -m2+2m+3=4, 解得m=1, -m2+m+2=-12+1+2=2, P(12) 1 (4)抛物线y=-x2+x+2对称轴为x=一2×D= 1 设点M(x,-x2+x+2),N号n),分以下两种情况： ①如图，以AB为对角线，四边形ANBM是平行四边形， ∴AB与MN互相平分，即MN中点与AB中点重合， B aB中点为（告，19）=(1，引.MN中点为字，+2+） =1,解得x=多 2 代入抛物战得y=-（)++2= M): ②以AB为平行四边形的边： 如图，四边形AMNB是平行四边形， B B AB II MN.且AB=MN, M移动到N与A移动到B的平移方式相同， ~A(0,1)移动到B(2,0),水平移动2，垂直移动-1，（即横坐标+2，纵坐标-1）， :M的横坐标+2=N的横坐标，即x+2=2 解得x=是 代入抛物线得y=-()°+(-)+2=子 M(--0 如图，四边形ANMB是平行四边形， y个 .AB II NM,AB=NM, ∴N移动到M与A移动到B的平移方式相同， A(0,1)移动到B(2,0),水平移动2，垂直移动-1，（即横坐标+2，纵坐标-1）， M的横坐标=N的横坐标+2，即x=+2, 解得x= 代入地物线衔y=-月+2=子 2 M3- 综上，点M的坐标为()或(--)或(（-) (a+b+4=0 20.(1)解：由题意得： 解得{05 故抛物线的表达式为y=x2-5x+4①： (2)解：四边形OCPQ为平行四边形，理由如下： 对于y=x2-5x+4, 令y=x2-5x+4=0, 解得x=1或4， 令x=0,则y=4, 故点B的坐标为(4,0)，点C(0,4, ,t=4 设直线BC的表达式为y=kx+t,则{4k十t=0, 解得=4， 故直线BC的表达式为y=-x+4, 设点P的坐标为(x,-x+4),则点Q的坐标为(x,x2-5x+4), 则PQ=(-x+4)-(x2-5x+4)=-x2+4x, -1<0, 故PQ有最大值， 当x=2时，PQ的最大值为4， 此时点Q的坐标为(2，-2)： PQ=CO,PQllOC, 故四边形0CPQ为平行四边形； (3)解：D是OC的中点， 点D(0,2) 设直线DQ的表达式为y=k1x+b,则{2k,十b三-2， b=2 解得代三2， 直线DQ的表达式为y=-2x+2, 过点Q作QH⊥x轴于点H, 则QHICO,故LAQH=∠ODA, 而∠DQE=2LODQ, LHQA=∠HQE, 则直线AQ和直线QE关于直线QH对称， A ~点A(1,0)在直线AQ上， ∴点(3,0)在直线QE上， 故设直线05的衣达式为y=kgx+bg,{松2：=昌： 解得{=。 故直线QE的表达式为y=2x-6②， 联立①②并解得仔二5 (不合题意的值已舍去)， 故点E的坐标为(5,4)， 设点F的坐标为(0，m), 由点B、E的坐标得：BE2=(5-4)2+(4-0)2=17, 由点B、F的坐标得：BF2=(0-m)2+(4-0)2=m2+16, 当BE=BF时，则16+m2=17, 解得m=士1， 故点F的坐标为(0,1)或(0，-1)