精品解析：湖南邵东市创新学校2025-2026学年高二下学期5月创高杯考试数学试题

创新高级中学2026年上学期创高杯考试高二数学试题 （分值：150分 时间:120分钟 命题人：林老师） 一、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解不等式求得集合，进而利用交集的意义求解即可. 【详解】因为，， 所以. 故选：B. 2. 设为虚数单位，若复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的除法化简复数即可. 【详解】. 故选：A. 3. 的展开式中的系数为 A. 10 B. 20 C. 40 D. 80 【答案】C 【解析】 【详解】分析：写出，然后可得结果 详解：由题可得 令,则 所以 故选C. 点睛：本题主要考查二项式定理，属于基础题． 4. 已知，，则向量的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为，， 所以， 即，解得， 由知，. 5. 已知抛物线C：的焦点为F，点在抛物线C上，且，则（ ） A. 8 B. 6 C. 5 D. 4 【答案】D 【解析】 【详解】由题意可得抛物线的焦点为，准线方程为， 根据抛物线的定义可得，则. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由，得，解得， 所以. 7. 已知袋中装有红色、黄色、绿色的小球各5个，小球除了颜色外完全相同，现从中随机取出5个小球，则不同的取法种数为（ ） A. 15 B. 19 C. 21 D. 23 【答案】C 【解析】 【分析】利用分类列举法，即可求解. 【详解】第一种情况，5个小球只包含1种颜色，有3种情况； 第二种情况，5个小球包含2种颜色，两种颜色的球的个数组合为或， 所以包含2种颜色的取法种数有； 第三种情况，5个小球包含3种颜色，3种颜色的球的个数组合为或， 所以包含3种颜色的取法种数有. 所以共有种方法. 故选：C 8. 已知正三棱柱的底面边长为6，高为，其顶点都在球O的球面上，则球心O到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用向量法计算球心到该平面的距离. 【详解】正三棱柱外接球的球心是上下底面正三角形中心连线的中点， 以点为原点，，为轴的正方向，建立空间直角坐标系， 则球心的坐标为： 因为底面边长为，所以底面正三角形外接圆半径； 故 ，，， 所以 ，， 设平面的法向量为，则由，即， 令，则，则是平面的一个法向量. 又，因此球心到平面的距离 . 二、 多选题：本题共3小题 ，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知双曲线和，其中，且，则（ ） A. 与有相同的实轴 B. 与有相同的焦距 C. 与有相同的渐近线 D. 与有相同的离心率 【答案】BC 【解析】 【分析】根据条件，利用双曲线的性质，对各个选项逐一分析判断，即可求解. 【详解】对于选项A，双曲线的实轴在轴上，实轴长为， 双曲线的实轴在轴上，实轴长为，所以选项A错误， 对于选项B，双曲线和焦距均为，所以选项B正确， 对于选项C，双曲线的渐近线为，双曲线的渐近线为，所以选项C正确， 对于选项D，双曲线的离心率为， 双曲线的离心率为，所以选项D错误， 故选：BC. 10. 已知，则满足：（ ） A. 最小正周期为 B. 在区间上为减函数 C. 图像关于点对称 D. 在区间上的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据余弦函数的性质一一判断即可； 【详解】解：因为所以函数的最小正周期，故A正确； 对于B：因为，所以，又在上单调递减， 所以函数在上不单调，故B错误； 对于C：，所以图像关于点对称， 故C正确； 对于D：因为，所以，所以， 所以，故D正确； 故选：ACD. 11. 在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列．由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0．已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为0.9和0.1；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为和（）．假设每次发送信号0和1是等可能的且每次发送信号相互之间是独立的．当发送两次信号是“0”“1”时，接收到的信号也是“0”“1”的概率为0.72．则下列结论正确的是（ ） A. B. 当发送两次信号是“1”“1”时，恰有一次被正确接收的概率为0.16 C. 一次发信后被接收为信号“1”的概率为0.45 D. 若已知一次发信后被接收为信号“1”，则接收正确的概率为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据互斥事件概率加法和条件概率进行逐项分析即可判断. 【详解】对于，当发送两次信号是“0”“1”时，接收到的信号也是“0”“1”的概率为0.72， 则 ，解得，所以选项A正确； 对于，发送两次信号是“1”“1”时，恰有一次被正确接收有两种情况： 第一种情况是第一次发送1接收为1，第二次发送1接收为0，其概率为； 第二种情况是第一次发送1接收为0，第二次发送1接收为1，其概率为。 根据互斥事件概率加法公式，恰有一次被正确接收的概率为， 所以选项B错误； 对于, 一次发信后被接收为信号“1”有两种情况： 第一种情况是发送0收为1其概率为； 第二种情况是发送1收为1其概率为， 根据互斥事件概率加法公式， 一次发信后被接收为信号“1的概率为， 所以选项C正确； 对于，设事件表示“一次发信后被接收为信号1，事件表示“接收正确”。 由前面计算可知，表示发送1接收为1概率， 即，根据条件概率公式可得， 所以选项D正确. 故选：． 三、 填空题 ：本题共 3小题，每小题 5分，共15分. 12. 已知等差数列的前项和为．且．则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意结合等差数列的性质运算求解即可. 【详解】因为数列为等差数列，则，即， 所以. 故答案为：. 13. 若曲线的一个对称中心为，则的最小值为_________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据给定条件，利用正切函数的对称性列式求出的关系，进而求出最小值. 【详解】由曲线的一个对称中心为，得， 解得，所以的最小值为2. 故答案为：2 14. 已知函数的值域为，且，则________. 【答案】 【解析】 【分析】根据条件，利用指数函数的性质，即可求解. 【详解】由指数函数的性质可知， 若，则，为常数，不合题意； 若，则，不合题意； 若，则， 因为函数的值域为，则， 又，则，解得， 所以. 故答案为：. 四、 解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，角，，的对边分别为，，．且满足． （1）求角的大小； （2）已知，，在边上，且满足，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用两角和的余弦公式结合三角形内角和计算求解； （2）根据已知条件，利用余弦定理解三角形． 【小问1详解】 由得， 即， ，即， ， 又， ． 【小问2详解】 已知，，，在边上，且满足， ， ， ， 在中，由余弦定理得， 在中，已知， 则 ， 解得． 16. 如图所示，在长方体中，，，，点在棱上，点在棱上，且. （1）证明：； （2）求直线与平面所成角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先证四边形为菱形得，再结合长方体性质得，进而证平面，最终推出； （2）由面面垂直性质确定点在平面上的投影位置，得到线面角，再通过计算三角形边长，利用余弦定理求出该角的余弦值； 【小问1详解】 证明：连接交于点，， ，故为菱形， 故，由长方体得平面， 由平面，知； 由，平面，平面， 知平面，由平面，知. 【小问2详解】 如图所示，连接，由（1）知，平面， 又由平面，平面平面，交线为， 故点在平面上的投影必在直线上， 故直线与平面所成角即为， 在中，， ，， 故由余弦定理得， 即直线与平面所成角的余弦值为． 17. 已知函数． （1）当时，求的最小值； （2）若对总成立，求实数a的取值范围． 【答案】（1）0 （2） 【解析】 【分析】（1）先求出导函数，再根据导函数正负得出函数单调性进而得出最小值； （2）先参数分类把转化为，再构造函数结合函数最值计算求参. 【小问1详解】 时，因为，所以， 所以当时，，当时，，所以在上单调递减， 在上单调递增，所以． 【小问2详解】 因为，所以等价于， 令，则， 由（1）得时，， 所以当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，所以， 所以． 18. 平面内，动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数，记动点的轨迹为曲线． （1）求曲线的方程； （2）为坐标原点，为曲线上不同两点，经过两点的直线与圆相切，求面积的最大值． 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】（1）根据题设条件列出方程，化简即得曲线的方程； （2）依题设直线的方程为，由圆心到直线的距离等于半径推出，再由直线与椭圆方程联立消元，写出韦达定理，计算弦长和点到直线的距离，表示出面积，利用换元和基本不等式即可求得面积最大值. 【小问1详解】 设到定直线的距离为， 依题意，可得，化简得， 即曲线的方程为. 【小问2详解】 依题意，直线的斜率不可能是0，不妨设其方程为：， 则圆的圆心到直线的距离，即 ① 由消去，可得， 由，可得， 设，则， 则 ， 将①式代入，化简得：， 因点到直线的距离为， 则的面积为， 设，则，， 因，当且仅当时取等号， 此时， 的面积的最大值为. 19. 某运动员为了解自己的运动技能水平，记录了自己1000次训练情况并将成绩（满分100分）统计如下表所示. 成绩区间 频数 100 200 300 240 160 （1）求上表中成绩的平均值及上四分位数（同一区间中的数据用该区间的中点值为代表）； （2）该运动员用分层抽样的方式从的训练成绩中随机抽取了6次成绩，再从这6次成绩中随机选2次，设成绩落在区间的次数为X，求X的分布列及数学期望； （3）对这1000次训练记录分析后，发现某项动作可以优化.优化成功后，原低于80分的成绩可以提高10分，原高于80分的无影响，优化失败则原成绩会降低10分，已知该运动员优化动作成功的概率为．在一次资格赛中，入围的成绩标准是80分.用样本估计总体的方法，求使得入围的可能性变大时p的取值范围. 【答案】（1）平均值为，上四分位数为； （2）分布列见解析，数学期望为； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据平均值计算公式和上四分位数计算方法即可得到答案； （2）写出的可能取值，再分别计算出其分布列，最后再利用数学期望公式即可； （3）法一：利用互斥事件加法公式和全概率计算公式得到关于的表达式，从而得到不等式，解出即可；法二：根据比例法得到相关概率表达式，解出不等式即可. 【小问1详解】 依题意，平均值 ， ， 上四分位数落在区间，且等于. 【小问2详解】 由样本数据可知，训练成绩在之内的频数之比为2:1， 由分层抽样的方法得，从训练成绩在中随机抽取了6次成绩， 在之内的4次，在之内的抽取了2次， 所以可取的值有：0，1，2， ，，， 分布列为： 0 1 2 . 【小问3详解】 法一：设事件分别表示动作优化前成绩落在区间，，， 则相互互斥，所以动作优化前， 在一次资格赛中，入围的概率， 设事件B为＂动作优化成功＂，则， 动作优化后，在一次资格赛中，入围事件为：，且事件相互互斥， 所以在一次资格赛中入围的概率 ， 故， 由解得，又的取值范围是. 法二：因为入围的成绩标准是80分，所以进行某项动作优化前，该运动员在资格赛中入围的概率为：， 进行某项动作优化后，影响该运动员入围可能性变化的是落在区间或的成绩， 当且仅当动作优化成功，落在这两个区间的成绩才能符合入围标准， 所以进行优化后，该运动员在资格赛中入围的概率， 由，得，又的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 创新高级中学2026年上学期创高杯考试高二数学试题 （分值：150分 时间:120分钟 命题人：林老师） 一、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设为虚数单位，若复数，则（ ） A. B. C. D. 3. 的展开式中的系数为 A. 10 B. 20 C. 40 D. 80 4. 已知，，则向量的夹角为（ ） A. B. C. D. 5. 已知抛物线C：的焦点为F，点在抛物线C上，且，则（ ） A. 8 B. 6 C. 5 D. 4 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知袋中装有红色、黄色、绿色的小球各5个，小球除了颜色外完全相同，现从中随机取出5个小球，则不同的取法种数为（ ） A. 15 B. 19 C. 21 D. 23 8. 已知正三棱柱的底面边长为6，高为，其顶点都在球O的球面上，则球心O到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 二、 多选题：本题共3小题 ，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知双曲线和，其中，且，则（ ） A. 与有相同的实轴 B. 与有相同的焦距 C. 与有相同的渐近线 D. 与有相同的离心率 10. 已知，则满足：（ ） A. 最小正周期为 B. 在区间上为减函数 C. 图像关于点对称 D. 在区间上的最小值为 11. 在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列．由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0．已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为0.9和0.1；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为和（）．假设每次发送信号0和1是等可能的且每次发送信号相互之间是独立的．当发送两次信号是“0”“1”时，接收到的信号也是“0”“1”的概率为0.72．则下列结论正确的是（ ） A. B. 当发送两次信号是“1”“1”时，恰有一次被正确接收的概率为0.16 C. 一次发信后被接收为信号“1”的概率为0.45 D. 若已知一次发信后被接收为信号“1”，则接收正确的概率为 三、 填空题 ：本题共 3小题，每小题 5分，共15分. 12. 已知等差数列的前项和为．且．则______． 13. 若曲线的一个对称中心为，则的最小值为_________． 14. 已知函数的值域为，且，则________. 四、 解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，角，，的对边分别为，，．且满足． （1）求角的大小； （2）已知，，在边上，且满足，求的长． 16. 如图所示，在长方体中，，，，点在棱上，点在棱上，且. （1）证明：； （2）求直线与平面所成角的余弦值． 17. 已知函数． （1）当时，求的最小值； （2）若对总成立，求实数a的取值范围． 18. 平面内，动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数，记动点的轨迹为曲线． （1）求曲线的方程； （2）为坐标原点，为曲线上不同两点，经过两点的直线与圆相切，求面积的最大值． 19. 某运动员为了解自己的运动技能水平，记录了自己1000次训练情况并将成绩（满分100分）统计如下表所示. 成绩区间 频数 100 200 300 240 160 （1）求上表中成绩的平均值及上四分位数（同一区间中的数据用该区间的中点值为代表）； （2）该运动员用分层抽样的方式从的训练成绩中随机抽取了6次成绩，再从这6次成绩中随机选2次，设成绩落在区间的次数为X，求X的分布列及数学期望； （3）对这1000次训练记录分析后，发现某项动作可以优化.优化成功后，原低于80分的成绩可以提高10分，原高于80分的无影响，优化失败则原成绩会降低10分，已知该运动员优化动作成功的概率为．在一次资格赛中，入围的成绩标准是80分.用样本估计总体的方法，求使得入围的可能性变大时p的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $