江苏南通市区、通州区、启东市区2025-2026学年高二下学期期中学业质量监测数学试卷

2025-2026学年（下)高二学业质量监测 数学参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的 1.【答案】C 2.【答案】A 3.【答案】B 4.【答案】C 5.【答案】A 6.【答案】D 7.【答案】B 8.【答案】C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.【答案】BD 10.【答案】ACD 11.【答案】ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.【答案】8 13.【答案】84 14.【答案】x-y+1=0或x-y+2=0,亦可写成y=x+1或y=x+2 e e 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) 203’用频率估计概率，得 401 【解】(1)在A(未服用药物X)条件下，患疾病Y的频率为 P 2分 在A(服用药物X)条件下，患疾病Y的频率为30=1， 用频率估计概率，得 1806 P(BA≈，4分 6 1 未服用药物X的动物患疾病Y的概率约为二，而服用药物X的动物患疾病Y的概率约为二，两者有较大 6 差异 因此直观判断，药物X对预防疾病Y有效.6分 (2)零假设H。：药物X对预防疾病Y无效， n(ad-be)2 300×(80×30-40×150) 由列联表得到X2= 8分 (a+b)(c+a(a+c(b+d) 120×180×230×70 (2400-6000)2 36×36001800 ≈11.180>6.635,10分 4×18×230×704×18×23×7161 所以有99%的把握认为药物X对预防疾病Y有效.13分 16.【解】法一：由二项式系数的性质得2”=64，故n=6.2分 6 展开式的第r+1项为工=C厅 6-1 2 2 3r-6 由二项式定理得 x=C526-rx2.5分 (1)展开式中的第5项为T,=C4×2×x3=60x3.8分 (2)设第r+1项的系数最大，则 C62≥Cg27-, c2≥C2 10分 2 7- .4 所以 7 ,解得一≤r≤ 2 3 因为r∈N,所以r=2,13分 6-r r+1 故展开式中系数最大项为T=C624=240.15分 法二：由二项式系数的性质得2”=64，故n=6.2分 2 由二项式定理得 +x 贫的1城为=C居】 6 3r-6 X=C52-x2.5分 =C82x3+C2x2+C%24x°+C2x2+C422x3+C2x2+C62°x6 =64x3+192x2+240+160x2+60x3+12x2+x6.10分 (1)由分析得展开式中的第5项为T=C4×2×x3=60x3.12分 (2)由分析得展开式中的系数最大项为T,=240.15分 17.(15分) 【解】(1)由题意，X的可能取值为0,1,2,3， 所以x-o-c(g)-PAx=-C)= Px-2-c)Px==c-ss分 所以X的分布列为： X 0 1 3 27 54 36 8 125 125 125125 E(X)=0× 27 1x54 36 +2× +3x8-150.6 125 125 12 1251255 或由题意X~B3, ,所以E(X)=3×2=6. 7分 55 ②》设从甲袋中取到红理”为率件4，则P(利=号P叫列=}，9分 则由题意Y的可能取值为0,1,2， P(Y=0)=P(4)P(Y=04)+P(AP(Y=04) =2xCC+3CC=2x1+3x3-11 5C%5C2515'51575 11分 P(Y=1)=P(4)P(Y=14)+P()P(Y=1) -2xCC+3xCC_2x8+3x9-4 -X- 13分 5c5C%51551575 P(Y=2)=P(4)P(Y=24)+P(A)P(Y=2) 2×CC+3×C3C_2x6+3x3_21_7 5C%5C%5155157525 15分 所以Y的分布列为： 0 1 2 11 43 7 P 75 75 25 15分 18.【解】(1)f'(x)=2(x-1(x-+(x-12, 所以f'(3)=4(3-t)+4=0,故t=4.3分 (2)由(1)得f(x)=(x-1(x-4), 法一：令8x)=f(x+2)+2=(x+1)2(x-2)+2=x3-3x,5分 所以g(-x)=-x+3x=-gx),所以g(x=f(x+2)+2为奇函数， 故y=f(x)关于(2，-2)对称，所以函数y=f(x)的图象是中心对称图形.8分 法二：因为f(x=(x-1)2(x-4)=x3-6x2+9x-4, 设g(x)=f(x+a-b=(x+a)3-6x+a2+9x+a-4-b =x3+(3a-6)x2+3a2-12a+9x+a3-6a2+9a-4-b,5分 若g(x)为奇函数，则g(x)=-g(-x), 3a-6=0, 所以 a=2, 。60+9a-4-b=0,:解得6=2 故y=f(x关于(2，-2)对称，所以函数y=f(x的图象是中心对称图形.8分 (3)因为f(x=(x-1)2(x-4=x3-6x2+9x-4, 切点(，x,-1(x-4月，切线斜率fx)=3x,-1(x-3), 故f(x)在点(x,f(x)月处的切线方程为 y-(x-1(x0-4)=3(x-1(x-3)(x-xo),10分 联立得 y-(x-1(x。-4=3(-1(x-3(x- y=(x-1)'(x-4) 即(x-1)'(x-4)-(x,-1'(x-4)=3x-10(x,-3(x-x) 所以(x-12(x-4)-(x,-1)2(x0-4)=x3-6x2+9x-4-x+6x-9x+4 =(x-x0)(x2+xx+x-6x-6x+9=3(x0-10(x0-3(x-x), 所以(x-x)[x2+x0x+x号-6x-6x+9-3(x,-1川x,-3]=0,13分 所以(x-x,(x2+xx-2x-6x+6x)=0,即(x-x)'(x+2x-6)=0, 所以x=x0,或x=6-2x·15分 因为6-2x-x=6-3x≠0，即6-2x,≠x, 所以曲线y=f(x)在点(x,f(xo)(x。≠2)处的切线与该曲线恒有两个公共点.17分 19.【解】(1)设取到的3个球编号为a,b,c,不妨设1≤a<b<c≤5， 则N=2r-1=2×a+h+C-1<M=c,2分 3 即c>2a+2b-3, 法一： 当a=1,b=2时，c>3,共2种情况： 当a=1,b≥3时，c>5,不符合题意； 当a≥2时，c>2b+1≥7，不符合题意， 所以事件N<M发生的概率为 2_2_1.5分 C=105 法二： 当c=5时，a+b<4,共1种情况： 当c=4时，a+b≤3，共1种情况； 当c=3时，a+b<3,不符合题意. 所以事件N<M发生的概率为 2-2-1 g105 .5分 (2)由题意N=n,n+1,n+2,,N, 所以N的分布列为： N n+1 n+2 … W P P(N=n) P(N=n+1) P(N=n+2) …PN=N) 法一： 故E(W)=nP(N=n+(n+1)P(N=n+l+(n+2)P(N=n+2+…+NP(N=N）6分 <NP(N =n)+NP(N=n+1)+NP(N=n+2+...+NP(N=N)=N. 因此E(N)<N,故丙同学论断正确；9分 法二： 故E(N)=nP(N=nj+(n+lP(N=n+1+(n+2)P(N=n+2)++NP(N=）6分 =号a+号a+是++⅓国方nc =C+nC+nC2+…+nC.Cg+C+Ct+CnC C'N C CN C =nT (N+1)!n(N-n)!_n(N+1)_nN+nnN+N=N. (n+1)N-n！N! n+1n+1n+1 因此EN)<N,故丙同学论断正确：9分 (3)解法一：若M=k,表示n个数中，最大的为k，则其余n-1个数均比k要小，故 0, 0<k<n, P(M=k)= 限w-2w--言答，u会 k(k-1)！nk! 因为Cn=1州t-nk-C, C%+C1= k! k! (k-n+1)k+k:(k+1k!(k+1 nk-1n-lk-n+n叫k-n+1！nk-n+:nk+1-mC 13分 mwiw-2gCC+c+ca+4G ec+C+c+4C)“C=n 。(N+！xn(N-nm!_n(N+1 15分 C(n+1)!(N-n)!N!N+1 E(N)=E(aM+b)=aE(M)+b=a" anN+l+b=mN+0+h=N恒成立， n+1 n+1n+1 na=1, n+1 d= 所以 n+1 故 n时，EN)=N.17分 an +b=0, b=-1, n+1 0, 0<k<n, 解法二：P(M≤k)表示取出的n个数中最大数不超过k,故P(M≤k)= C' k≥n, 所AM=小=是-之，PM==ws-PMs-之a+, 所以E(M)=∑P(M=k)=nP(M=川+∑k(P(M≤k)-P(M≤k-) ,11分 因为 C+C=- k! k (k-n+1)k+nk!（k+1)k!(k+1！ k-mn-k-n+n叫k-n+l！nk-n+nk+--C w-答三器-号9 下同解法一. 2025-2026学年（下）高二学业质量监测 数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．对于，两个变量的四组样本数据，分别算得线性相关系数，，，，则线性相关性最强的是 A． B． C． D． 2．已知随机变量服从正态分布，，则 A．0.7 B．0.6 C．0.4 D．0.2 3．已知函数，则 A．3 B．1 C．0 D．-1 4．在的展开式中，只有第7项的二项式系数最大，则 A．14 B．13 C．12 D．11 5．投掷一枚质地均匀的硬币，直到连续两次正面向上时结束投掷，记为结束时投掷的次数，则 A． B． C． D． 6．记，，，，…，，，则 A．0 B．2 C．16 D．32 7．某市公交公司统计了二月份到六月份使用支付宝或微信扫码支付乘车的人次，用表示月份，表示每月使用扫码支付的人次（单位：千人次）．已知变量与变量的关系可以用模型（，为常数）拟合，设，变换后得到一组数据如下： 2 3 4 5 6 1.02 1.20 1.42 1.62 1.84 根据模型预测七月份使用扫码支付的乘客约有7.675千人次，则 （参考数据：） A．0.596 B． C．-6.92 D． 8．定义“特性数列”如下：共有项，每一项（其中，2，…，，），且对任意的，，，…，中0的个数不少于1的个数．若，则不同的“特性数列”的个数为 A．3 B．9 C．10 D．16 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列求导运算正确的是 A． B． C． D． 10．下列说法正确的是 A．用决定系数刻画回归效果，越接近1，说明回归模型的拟合效果越好 B．由独立性检验推断有95%的把握认为“吸烟与患肺病有关”，说明吸烟者有95%的可能患有肺病 C．使最小的实数为，，…，的平均数 D．若，且，则事件，相互独立 11．从正整数数列的前项中任取3项，记3项和为偶数的概率为，则 A． B．存在，使 C．存在无数多个，使 D．对任意正整数， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．现安排甲、乙、丙三名同学到两家企业实习，每名同学只能选择一家企业，每家企业不限制实习生名额，则不同的安排方法有__________种． 13．若，则_______． 14．已知直线与曲线和均相切，则直线的方程是________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 为考察某种药物对预防疾病的效果，进行了动物试验，根据300个样本的数据，得到如下列联表： 单位：只 药物 疾病Y 合计 未患病 患病 未服用 80 40 120 服用 150 30 180 合计 230 70 300 （1）从该样本中任选1个，记“该动物未服用药物”为事件，记“该动物患疾病”为事件．根据上表数据，用频率估计概率，分别估计，，并由此直观判断药物对预防疾病是否有效，简要说明理由； （2）能否有99%的把握认为药物对预防疾病有效？ 附：， 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 16．（15分） 已知的展开式中各项的二项式系数之和为64． （1）求展开式中的第5项； （2）求展开式中系数最大的项． 17．（15分） 甲、乙两袋装有形状、大小都相同的红球和白球，甲袋装有2个红球，3个白球；乙袋装有3个红球，2个白球． （1）若从甲袋中连续抽取3次，每次取1个球，抽取后放回，设取到红球的次数为，求的分布列及均值； （2）若从甲袋中随机取1个球放入乙袋，再从乙袋中任取2个球，设从乙袋中取出的红球个数为，求的分布列． 18．（17分） 设函数，曲线在处的切线与轴垂直． （1）求实数的值； （2）我们知道，函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．证明：函数的图象是中心对称图形； （3）证明：曲线在点处的切线与该曲线恒有两个公共点． 19．（17分） 箱中有形状、大小完全相同的个球，编号分别为1，2，…，．从箱中取出个球，记录其编号分别为，，…，，记，即取出的个球中的最大号码．现考虑用概率统计的方法利用随机模拟取出的球编号信息估计总数 甲同学准备采用样本均值来估计总体均值，即，故认为的估计．但乙同学认为这种方法可能出现的无意义结果．例如，当，时，若，，，则，此时． （1）若，，求事件发生的概率； （2）甲同学的方法有缺陷，故乙同学提出用来作为的估计值，即．由于样本均值会稳定于期望，丙同学凭直觉判断，认为乙同学的方法也不科学．请研究丙同学的判断是否正确，并证明； （3）丙同学改进了乙同学的方法，对于给定的正整数，用来作为的估计值，即．试求实数，的值，使得． 学科网（北京）股份有限公司 $