第三章_高考热点1三次函数的性质综合课件—2027高考数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“三次函数的性质综合”专题，依据高考评价体系梳理了图象与性质、单调区间与极值、对称性、零点及切线问题五大核心考点，通过近五年高考真题分析明确极值与零点问题占比达60%，归纳四大常考题型，构建系统备考框架。 课件亮点在于“真题解析+变式训练+素养提升”策略，如以新课标Ⅱ多选真题为例，用导数工具分析单调区间与极值，培养数学思维与逻辑推理能力。特设易错点警示如“极值点判断误区”，通过母题变式训练帮助学生掌握解题技巧，教师可据此精准定位学情，助力高效复习冲刺。

高考热点1　三次函数的性质综合 返回目录 一、三次函数的图象、单调区间与极值 　　对于三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),求导得f'(x)=3ax2+2bx+c,当Δ=4(b2-3ac)>0时, 不妨设f'(x)=0的两个实根是x1,x2,且x1<x2. a>0 a<0 Δ>0 Δ≤0 Δ>0 Δ≤0 f(x)图象         f'(x) 图象         返回目录 单调区间 单调递增区间为(-∞, x1)和(x2,+∞); 单调递减区间为(x1,x 2) 单调递增区间为(-∞, +∞) 单调递增区间为(x1,x 2); 单调递减区间为(-∞, x1)和(x2,+∞) 单调递减区间为(-∞, +∞) 极值 f(x1)为极大值 f(x2)为极小值 无极值 f(x1)为极小值 f(x2)为极大值 无极值 返回目录 　　注意:三次函数要么无极值点,要么有两个,不可能只有一个.若三次函数只有2个零 点,则必有一个零点与极值点重合. 二、三次函数图象的对称性 　　三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的图象是中心对称图形,且对称中心为点  ,并且f'(x)在x=- 处取得最值,其图象关于直线x=- 对称. 三、一元三次方程的根的情况 　    f(x)=ax3+bx2+cx+d(a>0时)对应的方程根的情况: 返回目录 b2-3ac>0 b2-3ac≤0 图象   f(x1)·f(x2)<0         f(x1)·f(x2)=0         f(x1)·f(x2)>0   f(x)=0根 的个数 3 2 1 1 返回目录 类型1　三次函数的图象与性质 典例1    (多选)(新课标Ⅱ,11,6分)设函数f(x)=2x3-3ax2+1,则 ( ) A.当a>1时, f(x)有三个零点 B.当a<0时,x=0是f(x)的极大值点 C.存在a,b,使得x=b为曲线y=f(x)的对称轴 D.存在a,使得点(1, f(1))为曲线y=f(x)的对称中心     AD     返回目录 解析　依题意得f'(x)=6x2-6ax,令f'(x)=0,得6x(x-a)=0,解得x=0或x=a. 对于选项A,a>1时,f(0)=1>0, f(a)=2a3-3a3+1=1-a3<0, f(x)的图象如图1所示,故A正确.  　      对于选项B,a<0时, f(x)的图象如图2所示,x=0是f(x)的极小值点,故B错误. 对于选项C,由三次函数的性质知,三次函数的图象只有对称中心,不存在对称轴,故C错 误. 对于选项D,由三次函数图象的对称性知f(x)图象的对称中心为 ,所以当 =1, 即a=2时,点(1, f(1))为曲线y=f(x)的对称中心,故D正确. 返回目录 变式训练 1.(条件设问变式)(2026届安徽部分学校联考,7)已知函数f(x)=x3-3x2+2x,则下列说法 错误的是( ) A.y=f(x+1)是奇函数 B.y=f(|x|)是偶函数 C.y=|f(x)|的图象关于直线x=1对称 D.y=|f(x)+1|的图象关于直线x=1对称     D     返回目录 解析    f(x)=x(x-1)(x-2),满足f(1+x)=-f(1-x),所以y=f(x)的图象关于(1,0)对称.故y=f(x+1)是 奇函数.【y=f(x+1)的图象由y=f(x)的图象向左平移1个单位长度得到】故A正确. y=f(|x|)=|x|3-3|x|2+2|x|=f(|-x|)=|-x|3-3|-x|2+2|-x|=|x|3-3|x|2+2|x|,所以y=f(|x|)是偶函数,故B正确. 由题意知当|f(2-x)|=|(2-x)3-3(2-x)2+2(2-x)|=|-x3+6x2-12x+8-12+12x-3x2+4-2x|=|-x3+3x2-2x|=|x3- 3x2+2x|=|f(x)|,所以y=|f(x)|的图象关于直线x=1对称,【若f(2a-x)=f(x),则f(x)的图象关于 直线x=a对称】故C正确,故选D. 返回目录 类型2　三次函数的极(最)值问题 典例2　(极值问题)(全国乙,12,5分)设a≠0,若x=a为函数f(x)=a(x-a)2(x-b)的极大 值点,则 ( ) A.a<b　　    B.a>b　　    C.ab<a2　　    D.ab>a2     D     返回目录 解析　解法一　通解(分类与整合法) f(x)=a(x-a)2(x-b) =a[x3-(2a+b)x2+(2ab+a2)x-a2b], ∴f '(x)=a[3x2-(4a+2b)x+2ab+a2] =a(x-a)[3x-(a+2b)]. 令f'(x)=0,得x1=a,x2= . (i)若a>0,要使函数f(x)在x=a处取得极大值,则需f(x)在(-∞,a)上单调递增,在 上 返回目录 单调递减,可得f'(x)的大致图象如图1,可得 解得0<a<b,所以ab>a2.        (ii)若a<0,要使函数f(x)在x=a处取得极大值, 则需f(x)在 上单调递增,在(a,+∞)上单调递减, f'(x)的大致图象如图2,可得 解得b<a<0,所以ab>a2. 返回目录 由(i)(ii)可得ab>a2.故选D. 解法二　光速解(数形结合法) 若a=b,则f(x)=a(x-a)3为单调函数,无极值点,不符合题意,故a≠b, 则f(x)有x=a和x=b两个不同的零点, 且在x=a左右附近不变号,在x=b左右附近变号.依题意,x=a为函数f(x)=a(x-a)2(x-b)的极 大值点, ∴在x=a左右附近都是小于零的. 当a<0时,由x>b, f(x)≤0,画出f(x)的图象如图1, 返回目录        由图1可知 b<a,a<0,故ab>a2. 当a>0时,由x>b, f(x)>0,画出f(x)的图象如图2, 由图2可知 b>a,a>0,故ab>a2. 综上所述,ab>a2成立.故选D. 返回目录 变式训练 2.(最值问题)已知函数f(x)= x3-x2-3x+a,a∈R在区间(t-4,t+4)上有最大值,则实数t的取 值范围是 ( ) A.(-5,1)　　    B.(-5,1]　　    C.(-5,3)　　    D.(-5,3]     B     返回目录 解析　由f(x)= x3-x2-3x+a得f'(x)=x2-2x-3=(x+1)(x-3), 由f '(x)>0得x<-1或x>3; 由f '(x)<0得-1<x<3, 则f(x)在(-∞,-1)和(3,+∞)上单调递增,在(-1,3)上单调递减, 易知f(-1)=f(5),若f(x)在区间(t-4,t+4)上有最大值,则有  解得-5<t≤1,则实数t的取值范围是(-5,1].故选B.   返回目录 类型3　三次函数的零点问题 典例3    (课标Ⅲ,20,12分)已知函数f(x)=x3-kx+k2. (1)讨论f(x)的单调性; (2)若f(x)有三个零点,求k的取值范围. 返回目录 解析    (1)f '(x)=3x2-k. 当k=0时, f(x)=x3,故f(x)在(-∞,+∞)单调递增. 当k<0时, f '(x)=3x2-k>0,故f(x)在(-∞,+∞)单调递增. 当k>0时,令f'(x)=0,得x=± . 当x∈ 时, f '(x)>0;当x∈ 时, f '(x)<0; 当x∈ 时, f '(x)>0. 返回目录 故f(x)在 , 单调递增,在 单调递减. (2)由(1)知,当k≤0时, f(x)在(-∞,+∞)单调递增,f(x)不可能有三个零点. 当k>0时,x=- 为f(x)的极大值点,x= 为f(x)的极小值点. 【利用第(1)问结论,简化求解过程】 此时,-k-1<- < <k+1且f(-k-1)<0, f(k+1)>0, f >0. 【利用零点存在定理,可画其草图,得出f(x)有三个零点所需要的条件】   返回目录 根据f(x)的单调性,当且仅当f <0,即k2- <0时, f(x)有三个零点,解得k< . 因此k的取值范围为 . 返回目录 变式训练 3.(关键元素变式)已知函数f(x)=ax3+bx2-3x(a,b∈R),且f(x)在x=1和x=3处取得极值. (1)求函数f(x)的解析式; (2)设函数g(x)=f(x)+t,若g(x)=f(x)+t有且仅有一个零点,求实数t的取值范围. 返回目录 解析    (1)f '(x)=3ax2+2bx-3. 因为f(x)在x=1和x=3处取得极值, 所以x=1和x=3是方程f'(x)=0的两个根, 则 解得  经检验,符合已知条件, 所以f(x)=- x3+2x2-3x. (2)由(1)知f(x)在(-∞,1)和(3,+∞)上单调递减,在(1,3)上单调递增, 返回目录 又f(0)=0, f(1)=- +2-3=- , f(3)=-9+18-9=0,所以f(x)的大致图象如图所示.   函数g(x)=f(x)+t有且仅有一个零点等价于f(x)的图象与直线y=-t有且仅有一个交点,由图 可知-t>0或-t<- , 即t<0或t> . 返回目录 类型4　三次函数的切线问题 典例4    (2025届安徽A10联盟原创夺冠卷(三),14)已知点P(1,m)不在函数f(x)=x3-3mx的 图象上,且过点P有三条直线与f(x)的图象相切,则实数m的取值范围为_________. 返回目录 解析　点P(1,m)不在函数f(x)=x3-3mx的图象上,则f(1)=1-3m≠m,即m≠ . 对f(x)求导得f'(x)=3x2-3m. 设过点P的直线与f(x)=x3-3mx的图象相切于Q(t,t3-3mt), 则切线的斜率k=f'(t)=3t2-3m= ,整理可得2t3-3t2+4m=0, 则问题可转化为g(t)=2t3-3t2+4m有三个零点. 易知g'(t)=6t2-6t, 令g'(t)=0,可得t=0或t=1, 当t∈(-∞,0)时,g'(t)>0,则g(t)在(-∞,0)上单调递增, 返回目录 当t∈(0,1)时,g'(t)<0,则g(t)在(0,1)上单调递减, 当t∈(1,+∞)时,g'(t)>0,则g(t)在(1,+∞)上单调递增, 所以当t=0时,g(t)有极大值,为4m,当t=1时,g(t)有极小值,为4m-1. 要使g(t)=2t3-3t2+4m有三个零点, 则有 即  解得0<m< , 所以实数m的取值范围为 . 返回目录 变式训练 4.(设问条件变式)已知函数f(x)=x3-x,则曲线y=f(x)过点(1,0)的切线有 ( ) A.3条　　    B.2条　　    C.1条　　    D.0条     B     解析　设切点为(x0, -x0),由题意得f '(x)=3x2-1,所以f '(x0)=3 -1,所以切线方程为y-( -x0) =(3 -1)(x-x0),因为切线过点(1,0),所以2 -3 +1=0,所以2 -2 - +1=0,所以2 ·(x0-1)- (x0-1)(x0+1)=0,所以(x0-1)2·(2x0+1)=0,所以x0=1或x0=- ,所以所求切线有两条. 返回目录 $