精品解析：河南濮阳市第一高级中学2025-2026学年高一下学期第三次质量检测数学试题

高一年级2025-2026学年第二学期第三次质量检测数 学 2026.05.25 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数的虚部为（ ） A. 1 B. C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】将复数利用化为的形式，实部为，虚部为判断即可． 【详解】因为，所以复数的虚部为1． 2. 在中，是线段上的靠近的三等分点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的加法计算即可. 【详解】 由题意可知. 3. 在中，，，，则（ ） A. B. C. D. 或 【答案】B 【解析】 【详解】由正弦定理，，可得， 因，则，故. 4. 已知向量满足，且，则向量在向量上的投影向量为（    ） （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据投影向量的概念直接求解即可. 【详解】因为满足，且， 所以，向量在向量上的投影向量为， 故选：D. 5. 长方体中，，则异面直线与所成角的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据异面直线所成角的定义可知为异面直线与所所成角，利用正切值求出此角即可． 【详解】连接， 所以异面直线与所成角是异面直线与所成角是， 因为，所以， 所以，所以. 故选：A 6. 如图所示，为了测量湖中两处亭子间的距离，湖岸边现有相距100米的甲､乙两位测量人员，甲测量员在处测量发现亭子位于北偏西亭子位于东北方向，乙测量员在处测量发现亭子位于正北方向，亭子位于北偏西方向，则两亭子间的距离为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知，结合图形，利用三角形的性质以及正弦定理、余弦定理求解. 【详解】 连接，在中，由条件可得，则， ， 在中，由正弦定理得， 在中，由条件得，且， 在中，由余弦定理得 ， ，故A，C，D错误. 故选：B. 7. 三棱柱中，是棱的中点，是棱上一点，，若平面，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接交于点，连接，利用线面平行的性质定理及平行线分线段成比例定理求解. 【详解】如图，连接，设 ，连接. 因为平面，平面 平面 ， 平面 ， 所以 . 在三棱柱中，侧面为平行四边形，所以，即 . 所以 与相似， 则，又在中，由 可得. 所以 ，即. 8. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由向量的数量积公式、余弦定理、正弦定理得，再由余弦定理得，平方求出可得答案. 【详解】因为， 所以， 所以， 整理得，又， 由正弦定理得，所以 ， 所以， 所以，解得， 所以， 因为， 所以，所以. 故选：A. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知虚部不为的复数互为共轭复数，则（ ） A. 是实数 B. 是纯虚数 C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据共轭复数的定义，设，，然后根据复数的运算，逐个选项判断即可. 【详解】由题设，， 则，故A，B正确； 又，C选项错误； 又，D选项正确. 故选：ABD 10. 记的内角的对边分别为，且，的面积为，则的周长可能为（ ） A. 8 B. C. 9 D. 【答案】AB 【解析】 【分析】由正弦定理得，由三角形面积公式得，进而得出，再根据余弦定理求得或，即可求解． 【详解】由正弦定理得，得，则， 由，得，所以， 由余弦定理，得或17， 所以或， 所以的周长为8或， 故选：AB． 11. 已知正方体的棱长为2，为底面内（包括边界）的动点，则下列结论正确的是（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 存在点，使得平面 C. 若，则点在正方形底面内的运动轨迹长为 D. 若点是的中点，点是的中点，经过，，三点的正方体的截面周长为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，由题意可知点到平面的距离是常数2，从而可得结论，对于B，当点为的中点时，利用线面平行的判定定理分析判断，对于C，若，则点在以为直径的球面上，然后通过判断球心到平面的距离分析判断，对于D，连接，可证得经过，，三点的正方体的截面为梯形，求出梯形的周长，可得截面周长. 【详解】对于A，因为为底面内（包括边界）的动点， 所以点到平面的距离是2， 所以， 即三棱锥的体积为定值，所以A正确； 对于B，设，连接，当点为的中点时，，且∥， 所以四边形为平行四边形，所以∥， 因为平面，平面， 所以平面，所以B正确， 对于C，若，则点在以为直径的球面上，球心为的中点，半径为， 因为到平面的距离为2，且， 所以以为直径的球与平面无交点， 所以不存在点，使，所以C错误， 对于D，连接，因为点是的中点，点是的中点， 所以∥，， 因为∥，所以∥， 所以经过，，三点的正方体的截面为梯形， 因为，， 所以梯形的周长为， 即经过，，三点的正方体的截面周长为，所以D正确， 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：此题考查棱锥的体积的求法，考查线面平行的判定，考查正方体的截面，D选项解题的关键是利用平行关系确定出过，，三点的截面，从而可求了截面周长，考查空间想象能力和推理能力，属于较难题. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 如图所示的是用斜二测画法画出的的直观图（图中虚线分别与轴，轴平行），则原图形的面积是 _____． 【答案】40 【解析】 【分析】根据斜二测画法还原原图形，求出其面积. 【详解】根据题意，原图形如下图： 的底边AB的长为5，高为16， 其面积为. 故答案为：40 13. 已知向量，的夹角为，，，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用垂直关系的向量表示求出，根据向量数量积的定义求得，结合数量积的运算律求解即可. 【详解】由，得，即，所以. 又，所以，即. 所以. 14. 如图，四面体中，，，、分别为、的中点．若异面直线与所成角的大小为，则的长为________． 【答案】 或 【解析】 【分析】取中点，连接，即可得到为异面直线与所成角（或补角），再由余弦定理计算可得. 【详解】取中点，连接， 又因为，，、分别为、的中点， 所以且，且 ， 则为异面直线与所成角（或补角）， 又因为异面直线与所成角的大小为，所以或 ， 在中，由余弦定理得 ， 当，有，解得； 当，有，解得； 因此的长为或. 四、解答题（共5题，共计77分） 15. 在△ABC中，，，，点D在边BC上，且． （1）求的值； （2）求线段的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据余弦定理，代入三条边的长度，直接求解即可； （2）由（1）所求的值，利用同角三角函数求出的值，再根据正弦定理代入求值即可. 【小问1详解】 解：在△ABC中，， 因为，，，所以. 【小问2详解】 解：由（1）知，，所以， 在中，，由正弦定理可得，即， 解得. 16. 已知向量. （1）若，求； （2）若，求向量与的夹角. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用向量的数乘表示向量共线关系，结合向量模长的坐标公式计算即可； （2）利用垂直向量的数量积为0，结合向量数量积的运算律计算可得，再根据向量间夹角公式计算即可. 【小问1详解】 由题意，是非零向量，则由可设， 因为，所以，解得， 则. 【小问2详解】 因为，所以， 即，解得， 设向量与的夹角为， 所以，， 又因为，所以. 17. 已知图所示，在四棱锥中，底面是矩形，平面，M，N分别是AB，PC的中点，. （1）求证：平面 （2）求证：平面PCD. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，，可证，，从而面面，即可证明平面； （2）先证明，由，、分别是、的中点，可证，，从而得证． 【详解】证明：（1）取的中点，连接，， 、分别是、的中点， ， 又面，面，所以面 又面，面，所以面 因为，面 面面， 因为面 平面； （2）底面是矩形，平面， ，，，平面，平面 平面， 平面 ， 又， 平面 ，、分别是、的中点， ，，面 平面． 【点睛】本题考查了空间几何体的线面位置关系判定与证明： （1）对于异面直线的判定要熟记异面直线的概念：把既不平行也不相交的两条直线称为异面直线； （2）对于线面位置关系的判定中，熟记线面平行与垂直、面面平行与垂直的定理是关键. 18. 如图，在中，已知，，，边上的两条中线相交于点P. （1）求中线的长； （2）若的平分线为，求的长； （3）求的余弦值. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用向量数量积的运算律求解. （2）利用三角形面积公式列式求解. （3）利用向量夹角公式求解. 【小问1详解】 在中，，由为的中点，得， . 【小问2详解】 由的平分线为，得，由， 得， 所以. 【小问3详解】 由是的中点，得， ， 所以的余弦值为. 19. 如图，在三棱柱中，底面中角为直角，，侧面底面. （1）求证：； （2）当，直线与平面所成角为时， （i）求证：平面平面； （ii）求二面角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2）（i）证明见解析；（ii） 【解析】 【分析】（1）先求证平面，进而得，接着由是菱形得，从而得平面，进而得证. （2）（i）求证平面即可由面面垂直的判定定理得证平面平面； （ii）分别作交于，作交于，连接，进而得平面，从而得是二面角的平面角，接着由等面积法求出和即可由得解. 【小问1详解】 因为，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 由三棱柱性质得四边形是平行四边形，又因为， 所以是菱形，所以， 因为，、平面，所以平面， 因为平面，所以. 【小问2详解】 （i）当时，因为， 所以，所以， 由（1）平面，平面，所以， 因为，、平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面； （ii）因为平面，平面， 所以直线与平面所成的角为，所以， 因为，且，，，故， 作交于， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又平面，所以， 作交于，连接， 因为，、平面，所以平面， 因为平面，所以， 所以是二面角的平面角， 因为即，所以， 因为即，所以， 所以， 所以二面角的正弦值为. 【点睛】思路点睛：本题在求二面角时采用的方法是定义法，通过作交于和作交于，从而作出二面角的棱的垂面，进而得到二面角的平面角，再由等面积法求出和即可得解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一年级2025-2026学年第二学期第三次质量检测数 学 2026.05.25 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数的虚部为（ ） A. 1 B. C. 3 D. 2. 在中，是线段上的靠近的三等分点，则（ ） A. B. C. D. 3. 在中，，，，则（ ） A. B. C. D. 或 4. 已知向量满足，且，则向量在向量上的投影向量为（    ） （ ） A. B. C. D. 5. 长方体中，，则异面直线与所成角的大小为（ ） A. B. C. D. 6. 如图所示，为了测量湖中两处亭子间的距离，湖岸边现有相距100米的甲､乙两位测量人员，甲测量员在处测量发现亭子位于北偏西亭子位于东北方向，乙测量员在处测量发现亭子位于正北方向，亭子位于北偏西方向，则两亭子间的距离为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 7. 三棱柱中，是棱的中点，是棱上一点，，若平面，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 8. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知虚部不为的复数互为共轭复数，则（ ） A. 是实数 B. 是纯虚数 C. D. 10. 记的内角的对边分别为，且，的面积为，则的周长可能为（ ） A. 8 B. C. 9 D. 11. 已知正方体的棱长为2，为底面内（包括边界）的动点，则下列结论正确的是（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 存在点，使得平面 C. 若，则点在正方形底面内的运动轨迹长为 D. 若点是的中点，点是的中点，经过，，三点的正方体的截面周长为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 如图所示的是用斜二测画法画出的的直观图（图中虚线分别与轴，轴平行），则原图形的面积是 _____． 13. 已知向量，的夹角为，，，则___________． 14. 如图，四面体中，，，、分别为、的中点．若异面直线与所成角的大小为，则的长为________． 四、解答题（共5题，共计77分） 15. 在△ABC中，，，，点D在边BC上，且． （1）求的值； （2）求线段的长． 16. 已知向量. （1）若，求； （2）若，求向量与的夹角. 17. 已知图所示，在四棱锥中，底面是矩形，平面，M，N分别是AB，PC的中点，. （1）求证：平面 （2）求证：平面PCD. 18. 如图，在中，已知，，，边上的两条中线相交于点P. （1）求中线的长； （2）若的平分线为，求的长； （3）求的余弦值. 19. 如图，在三棱柱中，底面中角为直角，，侧面底面. （1）求证：； （2）当，直线与平面所成角为时， （i）求证：平面平面； （ii）求二面角的正弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $