数列：奇偶数列问题、数列插项问题专项训练-2026届高三数学三轮冲刺

**基本信息** 聚焦数列奇偶项分类与插项构造两大难点，通过典例变式系统覆盖递推关系转化、新数列求和等核心考法，强化推理能力与模型观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |奇偶数列问题|3例+3变式|含奇偶项分段递推、新数列构造证明，涉及存在性探究|以数列通项公式为基础，通过奇偶分类转化为等差/等比数列，构建“递推关系→新数列性质→求和/存在性判断”逻辑链| |数列插项问题|3例+3变式|含指定项间插入数形成新数列，求前n项和及项的存在性|基于等差/等比数列基本量运算，通过插项数量分析新数列构成，建立“原数列性质→插入项规律→新数列求和”推导路径|

数列：奇偶数列问题、数列插项问题专项训练 数列：奇偶数列问题、数列插项问题专项训练 考点目录 奇偶数列问题 数列插项问题 考点一 奇偶数列问题 例1．（2026·湖南衡阳·模拟预测）已知数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)设数列满足，令，是否存在正整数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，为所有不小于的偶数 【分析】（1）先由时求首项，再用推导通项，最后验证是否满足该式，得到。 （2）先根据的分段定义，将分为为偶数、奇数两类，分别写出表达式；再通过相邻项比值判断单调性，计算关键项的数值，得出仅当为偶数且时，． 【详解】（1）当时，， 当时， ， 因为也满足，所以． （2）①当时，， 所以， 所以当时，为递增数列， 又当时，， 当时，， 当时，， 故存在正整数，使得． ②当时，， 所以， 因为，所以， 所以当时，为递减数列，所以， 故不存在正整数，使得． 综上，存在满足条件的正整数，其取值为所有不小于的偶数． 例2．（2026·云南昆明·模拟预测）已知正项等比数列满足（）． (1)求数列的通项公式； (2)设满足，求的前n项和为． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由已知可得，，结合等比数列通项公式求，再求关系求，利用等比数列通项公式求结论； （2）结合（1）求出的通项公式，当为偶数时，利用分组求和法结合等差数列求和公式和等比数列求和公式求，再结合所得结果及与关系求为奇数的结果即可. 【详解】（1） 设正项等比数列的公比为，则， 由已知，故， 两式相除得，结合， 解得， 又，故 ，代入可得， 所以，又，得，所以； （2）由（1）得， 为偶数时，， 为奇数时，， 综上，． 例3．（2026·福建泉州·模拟预测）已知数列满足：，，记的前项和为. (1)求数列的通项公式； (2)求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）应用递推公式分奇数偶数计算求解通项公式； （2）分奇偶结合裂项相消法及分组求和计算求解. 【详解】（1）当为奇数，且，为偶数时，依题意得：，     因为也满足，     所以为奇数时，；     当为偶数时，为奇数时，；     所以 （2）为偶数时，      ，         为奇数时， ；     变式1．（2026·河南·模拟预测）已知数列中，， (1)已知数列满足，求证：是等比数列； (2)若是数列的前项和，求满足的所有正整数． 【答案】(1)证明见解析 (2)1． 【分析】（1）通过构造新数列，证明为常数且首项非零，从而判定为等比数列； （2）先利用（1）的结论求出与的通项，再分组求和得到的表达式，结合数列单调性与特殊值分析，确定满足的正整数. 【详解】（1）证明：， ， 又 是以为首项，为公比的等比数列． （2）由（1）得是以为首项，为公比的等比数列 故， 即， 由，得， ， ， 显然当时，单调递减， 又当时，，当时，， ∴当时，； 综上，满足的所有正整数为1． 变式2．（25-26高二下·黑龙江佳木斯·期中）数列的前n项和为，满足 ，若. (1)证明：数列为等比数列； (2)记，求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据求出，再根据等比数列的定义可证明数列为等比数列； （2）利用分组求和可取. 【详解】（1）因为，故， 而， 故， 整理得，即， 故，所以，故数列为等比数列； （2）由（1）可得， 故 . 变式3．（2026·广东佛山·模拟预测）已知数列满足：，，设． (1)求，，的值； (2)判断数列的单调性并说明理由； (3)求数列的前项和． 【答案】(1)，， (2)数列为单调递增数列，理由见解析 (3) 【分析】（1）利用递推公式先求数列的前几项，再求的前3项即可. （2）根据所给递推公式，判断数列的结构特征，再判断其单调性. （3）分别求出数列偶数项的和与奇数项的和，再相加即可. 【详解】（1）因为，， 所以，， ，， . 又， 所以，，. （2）因为， 且. 所以是以32为首项，4为公比的等比数列. 因为，公比， 所以数列为单调递增数列. （3）由（2）可知，，所以， 所以. 由， 所以. 所以. 考点二 数列插项问题 例1．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）已知为数列的前项和，且 . (1)求数列的通项公式; (2)若数列满足 ，在 之间插入 ，得到新数列 ，记数列的前项和为. （i）求; （ii）是否存在，使得为数列中的项，若存在，求出所有这样的，若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2)（i）（ii）存在这样的，它们分别是 【分析】（1）当时，由可得出，当时，有，两式联立即可求解； （2）（i）根据的构造分组讨论其中和的组成即可求解；（ii）分类算出的表达式，分别讨论能否为数列的项. 【详解】（1）已知是数列的前项和，且， 当时，，解得， 当时，，两式相减得，即，因此数列从第项开始是常数列， 则，所以， 当时，有，因此数列的通项公式为. （2）（i）由（1）可知，则， 新数列 ，可以看作是： 第组：，共项， 第组：，共项， 第组：，共项， ， 第组：，共项， 因此前组共有项，且第组的和为， 由于时，，因此前组共有项， 因此， （ii）由（i）可知，到为止，数列的项数为，此时和为， ①当恰好是前组的总项数时，此时， 当时，，即是数列中的项，符合题意； 当时，，即是数列中的项，符合题意； 当时，恒成立，此时， 在两个相邻的的幂和之间，没有其他的的幂，因此不可能是数列中的项，不符合题意； ②当不是前组的总项数时，而是介于与之间，即， 这意味着是前组的和再加上第组的前几项，设，其中， 则， 当时，，只能取，，即是数列中的项，符合题意； 当时，，能取或，，，即不是数列中的项，不符合题意； 当时，，由于，则， 在两个相邻的的幂和之间，没有其他的的幂，因此不可能是数列中的项，不符合题意； 综上所述，满足条件的只有. 例2．（25-26高二下·辽宁沈阳·期中）已知等差数列的前n项和为，数列是等比数列，，，． (1)求数列和的通项公式； (2)对任意的正整数n，设，求数列的前2n项和； (3)若对于数列，在和之间插入个1（），组成一个新的数列，求数列的前2026项和． 【答案】(1) (2) (3)2116 【分析】（1）根据等差数列和等比数列的基本概念，以及等差数列前项和公式，求出数列通项公式的基本参数，写出通项公式即可； （2）根据数列的通项公式，利用裂项相消法和分组求和发可求； （3）根据等比数列的项和公式，判定数列的前2026项的组成，进而求出前2026项和. 【详解】（1）设等差数列公差为，所以， 因为，解得，则， 所以， 所以，解得， 因为，所以数列公比，则. （2）由（1）可知， 当为奇数时，， 当为偶数时，， 数列的前2n项中有个奇数项，个偶数项， 所以， 可得， 即. （3）数列的项为， 在之前有数列的项个，有个1， 则之前有项， 当时，即之前有项，之后有个， 即数列的前2026项有数列的前项，和个， 所以数列的前2026项的和为. 例3．（25-26高三下·河北衡水·阶段检测）已知数列为递增的等比数列，其前n项和为，已知，，成等差数列，. (1)求数列的通项公式； (2)在与之间插入n个数，使这个数成等差数列，公差记为，设，求数列的前n项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等差中项的概念和等比数列的基本性质，列出方程组，求出公比，写出等比数列通项公式即可； （2）根据等差数列的性质求出，进而求出数列的通项公式，再根据错位相减法求解即可. 【详解】（1）设数列公比为，由题意可得，， 可得，解得， 所以， 化简得，解得或， 因为数列为递增数列，所以，则. （2）由题意可得，则， 设数列的前n项和为， 则， 即， 两式作差得， . 变式1．（25-26高二上·天津·期末）已知等差数列的前n项和为，且． (1)求数列的通项公式以及； (2)记数列的前n项和为，若集合中恰好有3个元素，求的取值范围； (3)在任意相邻两项与之间插入个2，使它们和原数列的项构成一个新的数列，求． 【答案】(1)，. (2) (3) 【分析】（1）根据等差数列基本量计算出首项和公差，即可得出通项公式以及； （2）利用裂项相消求和可得，再利用增减性及集合中元素个数可求出的取值范围； （3）根据插入数字2的规律找出数列的前2026项中2的个数，再利用等差数列前n项公式计算可得结果. 【详解】（1）由题意知， 解得, 可得， 所以, 可得数列的通项公式，. （2）易知 , 所以 , 显然随着的增大逐渐变大， 又， 因集合中恰好有3个元素，可得. （3）依题意可知在项之前共插入了个2， 易知； 当时，新数列从至共有项 当时，新数列从至共有项， 易知，所以数列的前2026项中除了其余全部为2， 所以. 变式2．（2026·湖南衡阳·二模）已知数列的前n项和为，且，，数列满足，，其中． (1)分别求数列和的通项公式； (2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求数列的前项和. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由可得，进而是以3为首项，3为公比的等比数列，可求出，再根据与的关系求解，数列利用累乘法即可求，最后验证是否符合即可； （2）由题意，由等差数列的性质得，即可求出的通项公式，最后利用错位相减法求即可. 【详解】（1）由，得，而， 则数列是以3为首项，3为公比的等比数列， 所以，则， 当时，， 显然满足上式，则. 由，得：，， 以上个式子相乘，可得，即 ， 又满足上式，所以. （2）若在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列， 则，即为， 整理得，所以， ， 则， 两式相减得：， 所以. 变式3．（25-26高三上·山东临沂·阶段检测）已知等比数列的前项和为，且，等差数列的前项和为，且，． (1)求数列和的通项公式； (2)令，求数列的前n项和． (3)在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在3项，（其中m，k，p成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)不存在，理由见解析 【分析】（1）根据已知条件列方程求出数列的首项，公比或公差，进而求出通项公式； （2）用错位相减法求数列前项和； （3）利用反证法，先假设存在，再利用等比中项和等差中项的性质求解，进而证明不存在. 【详解】（1）由题意，当时，有；当时， 联立方程，解得或（舍）. 所以数列的通项公式. 由题意知，，则， 联立方程，解得， 所以数列的通项公式． 综上，，. （2）因为， 所以...①， ①×3得，...②， ①-②得，， ， 化简得：. （3）由（1）知. 所以，所以． 设数列中存在3项，（其中m，k，p成等差数列）成等比数列. 则．故，即． 又因为m，k，p成等差数列，所以，故. 故，化简得，所以. 又因为，所以，故，即. 而，所以. 与假设矛盾． 所以在数列中不存在3项成等比数列． 2 学科网（北京）股份有限公司 $数列：奇偶数列问题、数列插项问题专项训练 数列：奇偶数列问题、数列插项问题专项训练 考点目录 奇偶数列问题 数列插项问题 考点一 奇偶数列问题 例1．（2026·湖南衡阳·模拟预测）已知数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)设数列满足，令，是否存在正整数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 例2．（2026·云南昆明·模拟预测）已知正项等比数列满足（）． (1)求数列的通项公式； (2)设满足，求的前n项和为． 例3．（2026·福建泉州·模拟预测）已知数列满足：，，记的前项和为. (1)求数列的通项公式； (2)求. 变式1．（2026·河南·模拟预测）已知数列中，， (1)已知数列满足，求证：是等比数列； (2)若是数列的前项和，求满足的所有正整数． 变式2．（25-26高二下·黑龙江佳木斯·期中）数列的前n项和为，满足 ，若. (1)证明：数列为等比数列； (2)记，求数列的前项和. 变式3．（2026·广东佛山·模拟预测）已知数列满足：，，设． (1)求，，的值； (2)判断数列的单调性并说明理由； (3)求数列的前项和． 考点二 数列插项问题 例1．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）已知为数列的前项和，且 . (1)求数列的通项公式; (2)若数列满足 ，在 之间插入 ，得到新数列 ，记数列的前项和为. （i）求; （ii）是否存在，使得为数列中的项，若存在，求出所有这样的，若不存在，说明理由. 例2．（25-26高二下·辽宁沈阳·期中）已知等差数列的前n项和为，数列是等比数列，，，． (1)求数列和的通项公式； (2)对任意的正整数n，设，求数列的前2n项和； (3)若对于数列，在和之间插入个1（），组成一个新的数列，求数列的前2026项和． 例3．（25-26高三下·河北衡水·阶段检测）已知数列为递增的等比数列，其前n项和为，已知，，成等差数列，. (1)求数列的通项公式； (2)在与之间插入n个数，使这个数成等差数列，公差记为，设，求数列的前n项和. 变式1．（25-26高二上·天津·期末）已知等差数列的前n项和为，且． (1)求数列的通项公式以及； (2)记数列的前n项和为，若集合中恰好有3个元素，求的取值范围； (3)在任意相邻两项与之间插入个2，使它们和原数列的项构成一个新的数列，求． 变式2．（2026·湖南衡阳·二模）已知数列的前n项和为，且，，数列满足，，其中． (1)分别求数列和的通项公式； (2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求数列的前项和. 变式3．（25-26高三上·山东临沂·阶段检测）已知等比数列的前项和为，且，等差数列的前项和为，且，． (1)求数列和的通项公式； (2)令，求数列的前n项和． (3)在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在3项，（其中m，k，p成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项，若不存在，请说明理由． 2 学科网（北京）股份有限公司 $