专题11 数列中奇、偶项与增、减项问题 专项训练-2026届高三数学三轮冲刺

专题11　数列中奇、偶项与增、减项问题 题型01 奇、偶项问题 1．（25-26高三下·湖南长沙·月考）已知数列{an}的前n项和为，数列{bn}满足 (1)求数列的通项公式; (2)若数列满足，求数列的前n项和. 2．（25-26高三下·广东佛山·月考）已知等差数列的前项和为，数列是等比数列，. (1)求数列和的通项公式； (2)若，设数列的前项和为，求； (3)求. 3．（25-26高三下·山东·月考）已知等差数列和正项等比数列满足，，． (1)求和的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前项和． 4．（25-26高三上·山东淄博·期末）已知数列满足. (1)证明：数列为等比数列； (2)设，求数列的前项和； (3)设，求证：. 5．（2026高三上·浙江温州·专题练习）数列的前n项和，数列满足，，. (1)求数列的通项公式； (2)若，， （ⅰ）求证：数列是等比数列； （ⅱ）若数列的前n项和为，求证：. 6．（25-26高三上·浙江宁波·期末）已知各项均不相等的正项等差数列的前n项和为，，且． (1)求的通项公式； (2)设数列，求数列的前2n项和． 题型02 公共项问题 7．（25-26高三下·河南南阳·月考）将数列和数列的公共项按从小到大的次序组成数列，则数列的前5项和为（    ） A．220 B．124 C．370 D．225 8．（25-26高三上·安徽宣城·期末）已知数列的通项公式分别为，将数列的公共项从小到大排列得到数列，设数列的前项和为，则（    ） A． B． C． D． 9．（25-26高三上·浙江温州·期末）已知等差数列的前项和为，，，数列满足． (1)求数列、的通项公式； (2)将数列、的公共项从小到大排列组成新的数列，求的前项和． 10．（24-25高三下·湖北·期中）等差数列的前n项和为，数列满足 (1)求数列和的通项公式； (2)若从数列中依次剔除与数列的公共项，剩下的项组成新的数列，求数列的前50项和． 11．（25-26高三上·上海·期中）已知数列的通项公式，数列的通项公式（）.若，则称d为数列与的公共项，将数列与的公共项，按它们在原数列中的先后顺序排成一个新数列. (1)直接写出、、、的值； (2)猜想并证明的通项公式，并求数列各项和； (3)是否存在正整数r、s、t（）使得成立，若存在，求出r、s、t；若不存在，说明理由. 12．（2025高三·全国·专题练习）已知数列的前项和，为等比数列，公比为2，且，，为等差数列. (1)求与的通项公式； (2)把数列和的公共项由小到大排成的数列记为，求数列的前项和. 题型03 增、减项问题 13．（2025·陕西·模拟预测）已知等比数列中，，．在与之间插入个数，使得这个数依次构成一个公差为的等差数列． (1)求数列，的通项公式； (2)是否存在三个不同的正整数，，，且，使得数列中的三项，，成等比数列？若存在，求出这样的三项；若不存在，请说明理由． 14．（25-26高三上·天津滨海新区·期中）已知数列是等差数列，是公比不为1的等比数列，，，且是与的等差中项. (1)求数列的通项公式； (2)设，求； (3)若对于数列，在和之间插入个组成一个新的数列，记数列的前项和为，求 15．（25-26高三上·甘肃兰州·期中）在数1和100之间插入个实数，使得这个数构成递增的等比数列，将这个数的乘积记作，再令，则数列的通项公式是____________. 16．（25-26高三上·甘肃兰州·月考）已知数列是各项均为正数的等比数列，其前项和为，，且，，成等差数列. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和； (3)若对每个正整数，在与之间插入个，得到一个新的数列.设是数列的前项和，试求满足的所有正整数的值. 17．（25-26高三上·湖南·月考）数列满足，数列满足，.将中的项按从小到大的顺序插入中，且在任意的，之间插入项，从而构成一个新数列：，设的前n项和为，则_____（请用数字作答）. 18．（2025·福建福州·模拟预测）已知数列是等差数列，其前和为，，，数列满足. (1)求数列，的通项公式； (2)若对数列，，在与之间插入个1（），组成一个新数列，求数列的前75项的和. 19．（25-26高三上·河北邢台·月考）在递增数列中，，． (1)证明：是等差数列． (2)若，求数列的前n项和． (3)在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在不同的三项，，（其中，）成等比数列？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由． 强化训练 1．（25-26高三上·陕西榆林·期末）已知数列中，，，则数列前项的和为（   ） A．0 B． C． D． 2．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·期末）已知数列满足，，记，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·全国·月考）将数列和数列的公共项按从小到大的次序组成数列，那么数列的前10项和为（   ） A．560 B．1330 C．100 D．385 4．（24-25高三下·广东深圳·期中）等差数列的前n项和为，，数列的通项．将数列和数列的公共项按从小到大的顺序排列构成数列，则数列的前50项和为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高三上·云南昭通·月考）已知正项数列的前项和为，且.在数列的每相邻两项之间依次插入，得到数列，则的前88项和等于（   ） A．163 B．165 C．167 D．173 6．（25-26高三上·河北张家口·期末）（多选）已知数列的通项公式为，前项和为，则（   ） A． B． C． D．若，则数列的前100项和为 7．（25-26高三上·湖南长沙·月考）（多选）若，数列和的公共项由小到大排列组成，则（     ） A．数列 的前项和 B． C．为等比数列 D．、、不是任一等差数列的三项 8．（25-26高三上·全国·单元测试）（多选）已知数列是各项为正数的等比数列，公比为，在之间插入1个数，使这3个数成等差数列，记公差为，在之间插入2个数，使这4个数成等差数列，公差为，在之间插入个数，使这个数成等差数列，公差为，则下列说法正确的是（    ） A．当时，数列单调递增 B．当时，数列单调递增 C．当时，数列单调递减 D．当时，数列单调递增 9．（25-26高三上·河南郑州·期末）已知等比数列的前项和为，且．在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，若为数列的前项和，则______． 10．（2026·山东泰安·模拟预测）与的公共项从小到大构成新数列，则的最小项为______. 11．（2025·山东青岛·三模）在平面直角坐标系中，已知直线经过原点，是的方向向量．数列满足：点均在上，． (1)求的通项公式； (2)已知是以4为首项，2为公差的等差数列，若与的公共项为，的值由小到大构成数列，求的前项和． 12．（25-26高三下·辽宁沈阳·开学考试）数列为等差数列，其前项和为为等比数列，其前项和为，已知. (1)求数列和的通项公式； (2)若，令，求数列的前项和． 13．（2026·湖南永州·一模）已知数列的前项和为，且 (1)求的值，并求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 14．（26-27高三上·重庆·期末）已知数列满足：对任意的，，，正项递增等差数列中，为与的等比中项， (1)求、； (2)若对数列、，在与之间插入个，组成一个新数列，令的前项和为，求使得成立的的最小值； (3)令，求 15．（25-26高三上·浙江嘉兴·期末）已知数列满足，且． (1)证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和； (3)在数列的任意相邻两项与（）之间，插入k个相同的数，组成一个新的数列，记数列的前n项和为，求． 2 / 8 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11　数列中奇、偶项与增、减项问题 题型01 奇、偶项问题 1．（25-26高三下·湖南长沙·月考）已知数列{an}的前n项和为，数列{bn}满足 (1)求数列的通项公式; (2)若数列满足，求数列的前n项和. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据的关系求的通项公式；根据题意得到为等比数列，根据等比数列通项公式求出，进而求出数列的通项公式; （2）分为偶数，奇数，分组后由等差、等比数列的求和公式求解即可. 【详解】（1）当时，， 当时，，满足上式， 所以； 由得， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，所以； （2）当为偶数时， ， 当为奇数时， ， 所以 2．（25-26高三下·广东佛山·月考）已知等差数列的前项和为，数列是等比数列，. (1)求数列和的通项公式； (2)若，设数列的前项和为，求； (3)求. 【答案】(1)，. (2) (3) 【分析】（1）由已知列出方程组，求得公差和公比，然后求得数列的通项公式； （2）利用分组求和法可求得； （3）若为偶数，由（2）可求得，为奇数，利用，可求得. 【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为， ， 解得 ，. （2） （3）由（2）可知 若为偶数，则 若为奇数，若 若，则 综上，. 3．（25-26高三下·山东·月考）已知等差数列和正项等比数列满足，，． (1)求和的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前项和． 【答案】(1)；， (2) 【分析】（1）根据等差数列和等比数列的性质求出，再列方程组求解； （2）利用分组求和以及等差、等比求和公式计算. 【详解】（1）设的公差为，数列的公比为， 由，得， 因为，，所以，，得，， 故，； （2）由（1）可知，， 则 4．（25-26高三上·山东淄博·期末）已知数列满足. (1)证明：数列为等比数列； (2)设，求数列的前项和； (3)设，求证：. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据递推公式及等比数列的定义证明即可； （2）由（1）求出，即可求出，从而得到，利用错位相减法计算可得； （3）由（2）可得，利用分析法只需证明，即可利用裂项消项法证出. 【详解】（1）因为，， 所以 ， 所以数列为首项为，公比为的等比数列. （2）由（1）得， 则， 所以 ， 所以， 则， 所以 ， 所以； （3）因为 ， 又 ， 欲证， 只要证， 即证，即证， 由于， 所以，所以命题得证. 5．（2026高三上·浙江温州·专题练习）数列的前n项和，数列满足，，. (1)求数列的通项公式； (2)若，， （ⅰ）求证：数列是等比数列； （ⅱ）若数列的前n项和为，求证：. 【答案】(1)； (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）证明见解析. 【分析】（1）根据与的关系求解可得； （2）（ⅰ）分为奇数和偶数，利用递推关系证明即可；（ⅱ）利用错位相减法求和即可得证. 【详解】（1）当时，， 当时，也符合上式， 所以. （2）（ⅰ）当n为奇数时，；此时为偶数，由， 得. 当n为偶数时，；此时为奇数，由， 得. 因此，对任意，有. 因为，所以数列是首项为3，公比为3的等比数列. （ⅱ）由（ⅰ）得，， ① ①得② 由①-②得 ， 所以， 因为，所以， 因为 ，， 所以，，即关于n是递增的，因此， 综上，. 6．（25-26高三上·浙江宁波·期末）已知各项均不相等的正项等差数列的前n项和为，，且． (1)求的通项公式； (2)设数列，求数列的前2n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据对数运算性质可得，再根据等差数列的性质求解首项和公差分别为，d，即可得解； （2）根据奇数项和偶数项分组求和，其中奇数项裂项相消法求和. 【详解】（1）因为，即， 设等差数列的首项和公差分别为，d， 由已知条件可得，∴， 解得，∴； （2） . 题型02 公共项问题 7．（25-26高三下·河南南阳·月考）将数列和数列的公共项按从小到大的次序组成数列，则数列的前5项和为（    ） A．220 B．124 C．370 D．225 【答案】D 【分析】先列举出两数列的项，找到它们的公共项，总结出其规律，求和即得. 【详解】数列的项依次为，而数列的项依次为， 故两数列的公共项依次为，即， 故数列的前5项和为. 8．（25-26高三上·安徽宣城·期末）已知数列的通项公式分别为，将数列的公共项从小到大排列得到数列，设数列的前项和为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先判断出数列项的特征，从而判断出两个数列公共项所构成新数列的首项以及公差，利用等差数列的求和公式求得结果. 【详解】因为数列是以3为首项，以2为公差的等差数列，数列是以2为首项，以3为公差的等差数列， 所以这两个数列的公共项所构成的新数列是以5为首项，以6为公差的等差数列， 所以. 故选：B. 9．（25-26高三上·浙江温州·期末）已知等差数列的前项和为，，，数列满足． (1)求数列、的通项公式； (2)将数列、的公共项从小到大排列组成新的数列，求的前项和． 【答案】(1)，； (2). 【分析】（1）设等差数列的公差为，根据已知条件可得关于、的方程组，解出这两个量的值，即可得数列的通项公式；当时，由得出，两式作差可得在时的表达式，然后验证即可得数列的通项公式； （2）分为奇数、偶数两种情况讨论，利用二项式定理化简的表达式，可得出数列的通项公式，再利用分组求和法可求得的表达式. 【详解】（1）设等差数列的公差为，由，得，得，， 所以， 当时，由①， 得②，          ①②得，所以， 当时，，可得，也满足，所以. （2）因为， ， 当为偶数时，， 此时被除余，为数列中的项； 当为奇数时，， 此时被整除，不为数列中的项， 所以， . 10．（24-25高三下·湖北·期中）等差数列的前n项和为，数列满足 (1)求数列和的通项公式； (2)若从数列中依次剔除与数列的公共项，剩下的项组成新的数列，求数列的前50项和． 【答案】(1)， (2)4231 【分析】（1）利用等差数列的性质求出公差即可求数列的通项公式；利用降标作差求得，再代入检验即可； （2）计算以及至，即可观察得出数列中的项，进而利用等差数列的前项和公式计算. 【详解】（1）因数列是等差数列，则，得， 又，所以，所以等差数列的公差， 则， 因， 则当时，，    两式作差得，即， 令，得，则，满足上式，则， 综上，数列的通项公式为， 数列的通项公式为. （2）由（1）可得，，且， 经验证数列前50项中与数列的公共项共有4项，分别为， 从而数列中去掉的是这4项， 所以. 11．（25-26高三上·上海·期中）已知数列的通项公式，数列的通项公式（）.若，则称d为数列与的公共项，将数列与的公共项，按它们在原数列中的先后顺序排成一个新数列. (1)直接写出、、、的值； (2)猜想并证明的通项公式，并求数列各项和； (3)是否存在正整数r、s、t（）使得成立，若存在，求出r、s、t；若不存在，说明理由. 【答案】(1)，，，； (2)，的各项和为； (3)只存在一组正整数、、. 【分析】（1）由题意，列举的前4项即可； （2）猜想，结合二项式定理证明即可；由等比数列求和公式求的和即可. （3）假设存在，由奇偶一致可得唯一解. 【详解】（1），，，. （2）猜想，证明如下： 设公共项为， 若是中的项，则存在正整数使得， 若为偶数，则，由的二项展开式可得其除以3余数为1，不符合题意； 若为奇数，则为偶数，则, 除以3余数为2，符合题意； 又，故，所以公共项为数列中指数为大于等于3的奇数的项， 即， 所以 . ，， 则. （3）假设存在正整数、、使得成立， 则 即 即 等式右边为奇数，要使等式成立，则左边也要为奇数 又因，所以只能有， 故 可得 即 等式右边为奇数，要使等式成立，则左边也要为奇数 又因，所以只能有 故 可得，所以 所以只存在一组正整数、、，使得成立. 12．（2025高三·全国·专题练习）已知数列的前项和，为等比数列，公比为2，且，，为等差数列. (1)求与的通项公式； (2)把数列和的公共项由小到大排成的数列记为，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据即可求，根据条件计算等比数列的首项及公比即可得到； （2）根据题意得到数列，再利用公式求和即可. 【详解】（1）由得， 当时，， 当时，， 当时，上式也成立，所以. 依题意，，， 解得，所以. （2）数列和的公共项从小到大依次为，，，，…， 所以，，，，…,构成首项为2，公比为4的等比数列， 所以， 则. 题型03 增、减项问题 13．（2025·陕西·模拟预测）已知等比数列中，，．在与之间插入个数，使得这个数依次构成一个公差为的等差数列． (1)求数列，的通项公式； (2)是否存在三个不同的正整数，，，且，使得数列中的三项，，成等比数列？若存在，求出这样的三项；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)不存在，理由见解析 【分析】（1）根据题意得到，进而得到，再由题意得即可求解； （2）假设在数列中存在三项，，成等比数列，则，结合，解得，与题设矛盾，从而得出结论． 【详解】（1）设等比数列的公比为， 则， 又， 所以，所以， 所以． 在与之间插入个数组成一个公差为的等差数列， 则， 即， 则． （2）不存在，理由如下： 假设在数列中存在三项，，成等比数列， 则， 即，即． 因为， 所以， 即， 即， 联立 解得，与题设矛盾， 故在数列中不存在三项，，成等比数列． 14．（25-26高三上·天津滨海新区·期中）已知数列是等差数列，是公比不为1的等比数列，，，且是与的等差中项. (1)求数列的通项公式； (2)设，求； (3)若对于数列，在和之间插入个组成一个新的数列，记数列的前项和为，求 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）设公差和公比，根据条件列出方程组求解，再根据等差、等比数列的通项公式求出； （2）求出，再利用错位相减求出奇数项的和，利用裂项相消求出偶数项的和； （3）依据规律找出的项数和的个数即可. 【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 由，则，故， 所以， 则，由，则， 又由是与的等差中项，所以，则，即， 解得或（舍去）， 故； （2）由（1）可得，， ， 令， ， 两式相减得，， ， 则， 因， 则 则； （3）根据题意可得，， 之前共有个， 与之间共有个， 所以共有7项，共有个2， 则. 15．（25-26高三上·甘肃兰州·期中）在数1和100之间插入个实数，使得这个数构成递增的等比数列，将这个数的乘积记作，再令，则数列的通项公式是____________. 【答案】 【分析】记这个数构成递增的等比数列为，则由，，可求得，代入即可得出答案. 【详解】记这个数构成递增的等比数列为，则由，， 由，则， ，故. 故答案为：. 16．（25-26高三上·甘肃兰州·月考）已知数列是各项均为正数的等比数列，其前项和为，，且，，成等差数列. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和； (3)若对每个正整数，在与之间插入个，得到一个新的数列.设是数列的前项和，试求满足的所有正整数的值. 【答案】(1) (2) (3). 【分析】（1）利用等差中项得到方程，借助等比数列公式即可求解； （2）利用错位相减法来求和即可； （3）利用分类讨论，从前几项检验，分析到是不为2，且必是数列中的某一项，从而列式求解，由方程无解，从而可得到仅有. 【详解】（1）设数列的公比为. 因为成等差数列，所以， 即， 因此，而，所以. 又，所以数列的通项公式. （2）由（1）知， 所以， ， 两式相减得：， 所以， 所以. （3）由题意知， 则当时，，不合题意，舍去； 当时，，所以成立； 当时，若，显然， 若不为2，则必是数列中的某一项， 则 . 又因为，所以， 即，所以， 因为为奇数，而为偶数，所以上式无解， 即当时，，不合题意，舍去. 综上所述，满足题意的正整数仅有. 17．（25-26高三上·湖南·月考）数列满足，数列满足，.将中的项按从小到大的顺序插入中，且在任意的，之间插入项，从而构成一个新数列：，设的前n项和为，则_____（请用数字作答）. 【答案】12182 【分析】根据新数列的结构特点，分组求和即可. 【详解】对于数列，由可得，又， 所以，所以数列是首项为4，公比为2的等比数列， 故，得. 又， 新数列结构为：后插1项，后插3项，…，后插项，到， 总项数为. 当时，到共项， 和为， 插入的到的和， 第92到100项为后插的9项，即到，其和为， 故. 故答案为：12182 18．（2025·福建福州·模拟预测）已知数列是等差数列，其前和为，，，数列满足. (1)求数列，的通项公式； (2)若对数列，，在与之间插入个1（），组成一个新数列，求数列的前75项的和. 【答案】(1)， (2)96 【分析】（1）设出公差，结合题目条件得到方程组，求出首项和公差，得到，根据题目条件得到时，，两式相减求出，经过检验，得到的表达式； （2）在中，从开始到项为止，计算出项数，从而确定数列前75项是项之后，还有5项为1，分组求和即可. 【详解】（1）为等差数列，设其公差为d， 则，解得， 故； 又①， 故当时，②， 两式相减得， 故，所以，，又，故，满足， 从而； （2）由（1）知，，， 所以在中，从开始到项为止， 共有项数为， 当时，， 当时，， 所以数列前75项是项之后，还有5项为1， 故. 19．（25-26高三上·河北邢台·月考）在递增数列中，，． (1)证明：是等差数列． (2)若，求数列的前n项和． (3)在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在不同的三项，，（其中，）成等比数列？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在，或11 【分析】（1）将原等式进行展开化简，得到是首项为4，公差为1的等差数列． （2）先求出的通项公式，然后代入中进行化简，最后累加求和即可. （3）先求出的通项公式，然后根据等比数列的性质进行验证即可. 【详解】（1）证明：由， 得，得或． 因为是递增数列，所以． 故是首项为4，公差为1的等差数列． （2）解：由（1）可得． ， 所以． （3）解：． 假设存在不同的三项，，成等比数列，则，得， 得．因为，所以． 易得m，p是方程的两个不等实根，由，得． 因为m，p，k均为正整数，且，所以是完全平方数，且为不小于9的正奇数． 当，即时，，，不符合题意． 当，即时，，，符合题意． 当，即时，，，符合题意． 当，即时，，不符合题意． 故或11． 强化训练 1．（25-26高三上·陕西榆林·期末）已知数列中，，，则数列前项的和为（   ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据递推关系先求出数列的前几项，可归纳出数列是周期数列，进而可求得前项的和. 【详解】因为，， 所以，，， ，， 所以数列是是周期为4的周期数列， 且， 所以前项的和． 故选：C． 2．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·期末）已知数列满足，，记，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】代入前几项即可判断出A，B；然后分奇偶可求得数列的通项公式，从而判断出C，D. 【详解】因为，， 则，，， 所以，，所以A、B错误； 又因为，，， 则，即，即，故C正确， 可知数列是以首项为3，公差为4的等差数列， 所以，故D错误， 故选：C. 3．（25-26高三上·全国·月考）将数列和数列的公共项按从小到大的次序组成数列，那么数列的前10项和为（   ） A．560 B．1330 C．100 D．385 【答案】B 【分析】列举出数列和的公共项的前10项，进而求解即可. 【详解】由于数列是以1为首项的奇数列，即， 数列是以1为首项的平方数列，即， 则数列和的公共项的前10项列举出来分别是：， 所以数列的前10项和为． 故选：B． 4．（24-25高三下·广东深圳·期中）等差数列的前n项和为，，数列的通项．将数列和数列的公共项按从小到大的顺序排列构成数列，则数列的前50项和为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先分析，及的关系，再应用等比数列求和公式计算求解. 【详解】设等差数列公差为，又因为，所以，所以， 所以，且都是奇数， 所以，所以将数列和数列的公共项按从小到大的顺序排列构成数列， 所以数列的前50项和为的前50项和， 所以. 故选：B. 5．（25-26高三上·云南昭通·月考）已知正项数列的前项和为，且.在数列的每相邻两项之间依次插入，得到数列，则的前88项和等于（   ） A．163 B．165 C．167 D．173 【答案】A 【分析】先通过已知条件求出的通项，再分析的插入结构，确定前88项对应的段，最后分为本身、插入部分、剩余项三部分求和得到结果. 【详解】因为，当，， 因为，所以，故.当时，适合上式， 所以； 当时，.. 又因为在数列的每相邻两项，之间依次插入， 得到数列，所以根据数列的定义可知： 数列， 故. 故选：A. 6．（25-26高三上·河北张家口·期末）（多选）已知数列的通项公式为，前项和为，则（   ） A． B． C． D．若，则数列的前100项和为 【答案】ABD 【分析】根据通项公式逐一列举可判断ABC，根据等比数列前项和公式可判断D. 【详解】由，可知，，，，，， 所以A，B正确；，所以，C错误； ，则的前100项和为，D正确. 故选：ABD 7．（25-26高三上·湖南长沙·月考）（多选）若，数列和的公共项由小到大排列组成，则（     ） A．数列 的前项和 B． C．为等比数列 D．、、不是任一等差数列的三项 【答案】ACD 【分析】通过错位相减求和，得到即可判断A；分别求出数列和的几项找出公共项判断B；根据等比数列的定义可判断C；利用等差数列的通项可判断D． 【详解】对于A，由， 得， 两式相减得，， ， 所以， 故对； 对于，设的第项与的第项相等，即， 则， 故为奇数，则，故B错，C对； 对于，设、、是等差数列的第项，的首项为，公差为， ， 因为是有理数，是无理数， 所以原假设不成立，即、、不是任一等差数列的三项，故D正确． 故选：ACD． 8．（25-26高三上·全国·单元测试）（多选）已知数列是各项为正数的等比数列，公比为，在之间插入1个数，使这3个数成等差数列，记公差为，在之间插入2个数，使这4个数成等差数列，公差为，在之间插入个数，使这个数成等差数列，公差为，则下列说法正确的是（    ） A．当时，数列单调递增 B．当时，数列单调递增 C．当时，数列单调递减 D．当时，数列单调递增 【答案】AD 【分析】由等差数列得，然后在或的条件下分别确定的单调性判断A、B，再由或确定的范围，从而确定的单调性判断C、D． 【详解】A：数列是各项为正数的等比数列，则公比， 由题意，得， 时，，有，数列单调递增，对； B：时，，有， 若数列单调递增，则，即，由，需要，错； C：时，，解得，而时，， 由，若数列单调递减，则，即， 而不能满足恒成立，错； D：时，，解得或， 由A，B可知，数列单调递增，对. 故选：AD 9．（25-26高三上·河南郑州·期末）已知等比数列的前项和为，且．在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，若为数列的前项和，则______． 【答案】 【分析】利用递推式结合等比数列性质求出，进而求出及，从而得出表达式，再利用错位相减法化简，求出． 【详解】当时，，则， 即，故公比为3； 当时，，解得， ， 由题意知，，则， 解得，， 令，则①， ②， 用①减②得，， 解得， ． 10．（2026·山东泰安·模拟预测）与的公共项从小到大构成新数列，则的最小项为______. 【答案】 【分析】根据等差数列的性质，是以13为首项，14为公差的等差数列，再结合函数的单调性判断最小项. 【详解】是以13为首项，14为公差的等差数列，. 令， 根据在上单调递减，上单调递减， 又时，，时，，最小值为. 11．（2025·山东青岛·三模）在平面直角坐标系中，已知直线经过原点，是的方向向量．数列满足：点均在上，． (1)求的通项公式； (2)已知是以4为首项，2为公差的等差数列，若与的公共项为，的值由小到大构成数列，求的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据直线的方向向量求出直线方程，进而得到数列的递推关系，确定其为等比数列并求出通项公式； （2）根据等差数列的首项和公差求出数列的通项公式，结合求出数列的通项公式，最后求出数列的前项和. 【详解】（1）由直线过原点且方向向量为可知的方程为 因此对任意正整数，即 因为，所以， 所以，是首项为2，公比为3的等比数列， 所以 （2）因为数列是以4为首项，2为公差的等差数列， 所以 因为，所以，即 因为,所以,则的值为 所以，可得 12．（25-26高三下·辽宁沈阳·开学考试）数列为等差数列，其前项和为为等比数列，其前项和为，已知. (1)求数列和的通项公式； (2)若，令，求数列的前项和． 【答案】(1) ，或. (2) 【分析】（1）分别设出的公差、公比，再根据通项公式求解即可. （2）根据（1）问的结果以及等比、等差数列的前项和公式求解即可. 【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为. 则，得. 又，则，得， 代入，得，因此. 设等比数列的首项为，公比为. 由，，所以， 两式相减得，联立得，解得或. 若，代入得， 因此. 若，则，因此. 综上，，或. （2）因为，所以. 由的定义，前项中包含个奇数项和个偶数项，分组求和： 奇数项和（），该数列是首项为，公差为的等差数列， 末项为，所以和为. 偶数项和（），该数列是首项为，公比为的等比数列，共项， 所以和为. 因此，整理得. 13．（2026·湖南永州·一模）已知数列的前项和为，且 (1)求的值，并求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1)，（或，答案不唯一） (2) 【分析】（1）直接求出，由求得.由，求得数列的通项公式； （2）根据裂项相消法求得数列的前项和． 【详解】（1）由条件知. 当为偶数时，； 当为奇数且时，也符合. 数列的通项公式为，（或，答案不唯一） （2）由题意可知： 当为奇数时，，，则； 当为偶数时，，，则. 综上可得，. 所以， 所以. 14．（26-27高三上·重庆·期末）已知数列满足：对任意的，，，正项递增等差数列中，为与的等比中项， (1)求、； (2)若对数列、，在与之间插入个，组成一个新数列，令的前项和为，求使得成立的的最小值； (3)令，求 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）分析可知数列是等比数列，确定该数列的首项和公比，可得出数列的通项公式，即可得出数列的通项公式；设等差数列的公差为，根据题意可得出，结合题意可得出关于的方程，解出的值，即可得出数列的通项公式； （2）将新数列进行分组：与个分为组，假设前组共有项，求出的表达式，令，分析数列的单调性，结合以及可得出的最小值； （3）求出的表达式，计算得出，可得出，令，利用错位相减法可求得的表达式，即为所求. 【详解】（1）对任意的，，所以，又， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以，即， 设等差数列的公差为， 因为为与的等比中项，，由可得， 整理可得，解得或， 又因为等差数列递增，故， 所以. （2）将新数列进行分组：与个分为组， 则前组中包含中的前项，以及个， 假设一共有项，则 ， 令， 则，故单调递增， 当时，，当时，， 此时，即， 故使得的最小的值为. （3）由题意可得， 对任意的，， 所以， 令①， 则②， ①②：， 所以， 所以. 15．（25-26高三上·浙江嘉兴·期末）已知数列满足，且． (1)证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和； (3)在数列的任意相邻两项与（）之间，插入k个相同的数，组成一个新的数列，记数列的前n项和为，求． 【答案】(1)证明见解析， (2) (3) 【分析】（1）应用等差数列定义证明，再应用等差数列通项公式计算求解； （2）应用错位相减法计算求解； （3）应用等差数列计算求和再应用分组求和计算求解. 【详解】（1）由，则，又， 所以数列是首项为2，公差为1的等差数列，则， 所以． （2）由， 则， 所以， 所以． （3）数列中在之前共有项，所以， 当时，，当时，，所以 ． 2 / 8 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $