统计与概率：二项分布、超几何分布、正态分布复习讲义-2026届高三数学三轮冲刺

2026届高三数学三轮冲刺复习讲义 统计与概率：二项分布、超几何分布、正态分布复习讲义 考点目录 二项分布 超几何分布 正态分布 知识点解析 考点一 二项分布 一、核心知识点 1. 适用条件（独立重复试验） ① 试验次数有限且固定 ； ② 每次试验相互独立； ③ 每次试验只有两种对立结果：发生/不发生； ④ 每次事件发生概率恒定。 2.定义与符号 若随机变量 表示次独立重复试验中事件发生次数，则 3.核心公式 概率公式： · 期望： 方差： 二、高频题型 1. 直接判定二项分布，求指定取值概率； 1. 求分布列、期望与方差； 1. 求解最值问题（概率最大的）； 1. 二项分布与实际背景结合：射击、投篮、有放回抽取、重复试验。 三、解题方法 1. 先判模型：固定次数+独立+概率不变+有放回 → 判定二项分布； 1. 确定关键量：试验次数、单次概率； 1. 套组合概率公式直接计算； 1. 期望方差直接代结论，无需复杂计算； 1. 最值问题：利用 解不等式。 考点二 超几何分布 一、核心知识点 1. 适用条件（不放回抽样） ① 总体分为两类：正品/次品、男生/女生等； ② 抽取不放回，每次抽取概率不相等； ③ 抽取个数固定。 1. 定义与符号 总体容量，其中一类个体个，抽取个，设取出该类数量为： 1. 核心公式 · 期望： 方差：公式一般不要求硬记。 二、高频题型 1. 不放回抽取类概率计算； 1. 求超几何分布列、期望； 1. 古典概型计数结合组合运算； 1. 超几何与二项分布辨析题型。 三、解题方法 1. 看抽样方式：无放回、总体有限、分层两类 → 超几何分布； 1. 找准三量：总体、特殊个体、抽取数； 1. 利用组合数比值计算概率； 1. 期望直接套用分式结论，简化运算； 1. 辨析技巧： 有放回→二项；无放回→超几何。 考点三 正态分布 一、核心知识点 1. 定义与符号 连续型随机变量， ：均值（对称轴），：标准差。 1. 图象性质 ① 曲线关于直线 对称； ② 中间高、两边低，无限靠近x轴； ③ 决定左右位置， 决定肥瘦； ④ 整体面积为。 1. 核心概率结论 ①； ② ； ③ ； ④ . 利用对称性实现概率转化。 二、高频题型 1. 利用对称轴对称转化求概率； 1. 给定区间，套用3σ原则计算； 1. 由概率反求参数 ； 1. 正态分布实际应用：身高、成绩、产量、误差等； 1. 正态与二项综合：近似计算。 三、解题方法 1. 抓对称轴：所有不对称概率，全部对称转化； 1. 大于/小于类概率统一往两侧转化； 1. 熟记3σ三组数据，直接代值； 1. 图象分析：越大曲线越平缓，数据越分散； 1. 遇复杂区间：拆成已知标准区间的和差运算。 考点一 二项分布 【例题分析】 例1．（25-26高二下·北京丰台·期中）为研究不同性别学生对“deepseek”应用程序的了解情况，某学校进行了一次抽样调查，分别抽取男生30名和女生20名作为样本，设事件“了解deepseek”，“学生为女生”，据统计，，将样本的频率视为概率，现从全校的学生中随机抽取20名学生，设其中了解“deepseek”的学生人数为，则当取得最大值时的值为（    ） A． B． C． D． 例2．（2026·贵州贵阳·模拟预测）已知随机变量，则它对应的频率分布条形图是（   ） A． B． C． D． 例3．（2026·湖南·一模）二项分布又称为重伯努利分布，其可视作将次两点分布叠加所得，现对其中的两点分布进行调整，记原两点分布的发生概率为（发生概率即所得结果为1的概率），定义变化后总试验次数为时的发生概率，其中表示总试验次数．现进行一类关于随机变量的二项分布的调整．若当变化后总试验次数为时的发生概率为，总试验次数为时的发生概率为，则在原二项分布中，的最大值为________（用数字解答）． 例4．（2026·海南儋州·一模）某学校进行了一次抽样调查，了解不同性别的学生“利用AI辅助学习”的情况，采用简单随机抽样的方法，分别抽取男生和女生各50名作为样本．记“利用AI辅助学习”为事件A，“学生为女生”为事件B，将样本的频率视为概率，得到，．现从全校的学生中随机抽取30名，设其中“利用AI辅助学习的学生”的人数为，则当取得最大值时，的值为________． 例5．（25-26高二下·浙江·期中）某商店举办促销活动，顾客消费后可参与抽奖．盒子中有个大小､形状完全相同的小球，其中红球个，白球个．顾客从中一次性抽取个小球，若抽到两个小球中有红球，则获得一份纪念品． (1)求一位顾客获得纪念品的概率； (2)若某家庭个人到店消费，均独立获得抽奖资格并参加抽奖活动，记三人获得纪念品的份数为，求的分布列与数学期望． 例6．（25-26高二下·浙江温州·期中）甲、乙两条生产线生产同一种电子产品，甲生产线的产品合格率为，乙生产线的产品合格率为．现将两条生产线的产品混合在一起，则合格品率为． (1)求甲、乙两条生产线的产量之比． (2)从混合产品中随机抽取3件，记其中甲生产线生产的件数为，以频率估计概率，求的分布列及数学期望． (3)从混合产品中随机抽取件，若发现恰有2件甲生产线生产的不合格品，记这一事件发生的概率为，求取得最大值时的值． 【变式训练】 变式1．（2026·广东东莞·模拟预测）设随机变量服从二项分布，则等于（   ） A． B． C． D． 变式2．（2026·广东汕头·一模）一个质点在随机外力的作用下，从数轴的原点出发，每隔1s等可能地沿数轴的正方向或负方向移动一个单位，共移动7次，则质点最可能移动到的位置的坐标为（    ） A．7或 B．5或 C．3或 D．1或 变式3．（25-26高三上·湖南长沙·月考）从一个装有4个白球和3个红球的袋子中有放回地取球5次，每次取球1个，记X为取得红球的次数，则 ___________ 变式4．（24-25高三上·上海·月考）某公司招聘员工分笔试和面试两个环节，应聘者需从笔试备选题和面试备选题中分别随机抽取各10道题，并独立完成所抽取的20道题，每道题答对得10分，答错不得分．甲答对笔试每道题的概率为，答对面试每道题的概率为．假设每道题都是相互独立的，则甲得________分的概率最大． 变式5．（25-26高二下·浙江嘉兴·期中）DeepSeek是由中国杭州的DeepSeek公司开发的人工智能模型，其中文名“深度求索”反映了其探索深度学习的决心．DeepSeek主要功能为内容生成、数据分析与可视化、代码辅助、多模态融合、自主智能体等，在金融领域、医疗健康、智能制造、教育领域等多个领域都有广泛的应用场景．为提高DeepSeek的应用能力，某公司组织A，B两部门的50名员工参加DeepSeek培训． (1)此次DeepSeek培训的员工中共有6名部门领导参加，恰有3人来自A部门．从这6名部门领导中随机选取2人，求2人都来自于A部门的概率； (2)此次DeepSeek培训分三轮进行，每位员工第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为，，，每轮培训结果相互独立，至少两轮培训达到“优秀”的员工才能合格． （ⅰ）求每位员工经过培训合格的概率； （ⅱ）经过预测，开展DeepSeek培训后，合格的员工每人每年平均为公司创造利润30万元，不合格的员工每人每年平均为公司创造利润20万元，且公司需每年平均为每位参加培训的员工支付3万元的其他成本和费用．试估计该公司A，B两部门培训后的年利润（公司年利润员工创造的利润其他成本和费用）． 变式6．（2026·河北石家庄·一模）某市为增强高中学生的数学建模能力，组织了一次“数学建模竞赛”活动.本次竞赛活动满分为分，得分不低于分为优秀.为了解本次活动学生的得分情况，现从参加活动的所有同学中随机抽取了名学生的分数组成样本，并按分数分成以下6组：，统计结果如图所示. (1)求该样本中学生分数为优秀的人数； (2)从该样本分数不低于分的学生中，用比例分配的分层随机抽样的方法选取人进行座谈，若从座谈名单中随机抽取3人进行个案研究，记分数在的人数为，求的分布列和均值； (3)根据频率分布直方图，以频率估计概率，现从该市所有参加活动的学生中随机抽取人，这名学生的分数相互独立.记分数为优秀的人数为，当最大时，求的值. 考点二 超几何分布 【例题分析】 例1．（25-26高三下·山东泰安·月考）一批零件共有个，其中有个不合格随机抽取个零件进行检测，恰好有件不合格的概率是（    ） A． B． C． D． 例2．（25-26高二下·河南驻马店·开学考试）某体育用品仓库中有12个同款篮球，其中一等品有8个，二等品有4个.现从中不放回地随机抽取5个篮球进行质量检测，记抽到的一等品的个数为X，则当取得最大值时，（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 例3．（2026·山东·模拟预测）从一个装有3个白球和5个黑球的袋子中无放回地取球2次，每次取球1个，记为取得白球的次数，则___________． 例4．（25-26高二上·北京昌平·期末）某校组织一次认识大自然的夏令营活动，有6名同学参加，其中有4名男生、2名女生．现从这6名同学中随机抽取3名同学去采集自然标本，则抽到的3名同学中至少有1名女生的概率为__________． 例5．（2026·广东清远·二模）一个袋子中有3个红球，个绿球，已知从中一次摸出的2个球都是红球的概率为． (1)求的值； (2)从袋中依次随机摸出2个球作为样本（一次只摸出一个球），设采用有放回和不放回摸球得到的样本中绿球的个数分别为． （i）求的分布列与数学期望； （ii）分别就有放回摸球和不放回摸球，用样本中绿球比例估计总体中的绿球比例，求误差的绝对值不超过0.2的概率，并比较所求两概率的大小，说明其实际意义． 例6．（2026·广西南宁·三模）为提升图书盘点效率，某中学图书馆引入AI智能图书盘点机器人．现对该机器人的图书识别准确率进行标准化测试，测试样本集有6本图书，分为两类：4本标签完好，是机器人应正确识别的有效馆藏图书；2本标签破损，是机器人应正确排除的无效图书．两类样本共同用于机器人识别性能测试，现从这6本图书中不放回地随机抽取2本，逐本开展测试． (1)已知第一次抽取到有效馆藏图书，求第二次也抽取到有效馆藏图书的概率； (2)记抽取的2本图书中，有效馆藏图书的数量为X，求X的分布列及数学期望． 【变式训练】 变式1．（25-26高二上·浙江宁波·期末）小卖部推出一套20张不同的角色卡，其中3张为稀有卡．若一次性抽取5张，则抽到的卡中至少有一张稀有卡的概率为（   ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高三上·广东湛江·月考）有甲，乙两个盒子，甲盒中有且仅有1个白球，乙盒中有k（）个白球和个黑球，现从乙盒中随机抽取i（）个球放入甲盒中，设放入后在甲盒中随机抽取一个球是白球的概率为，甲盒中含有白球个数的期望为，则（   ） A．， B．， C．， D．， 变式3．（25-26高三上·天津西青·月考）某学习小组有男生4人，女生3人，现需从中抽取2人参加学校开展的AI人工智能学习，则恰有一名男生参加的概率为______；在有女生参加学习的条件下，恰有一名女生参加AI人工智能学习的概率为______. 变式4．（2025·江西·模拟预测）为了保持某自然生态保护区的生态平衡，现用重捕法了解该保护区内某种动物的大致数量（单位：只），随机在保护区内捕捉了100只该动物并做上标记，一段时间后再随机捕捉100只，用表示第二次捕捉的100只中有标记的数量．若以使得的概率最大时的值作为该保护区内这种动物的数量的估计值，则的估计值是_______________． 变式5．（25-26高三下·河北衡水·月考）在马年春节联欢晚会上，多款人形机器人惊艳亮相，其精彩的表演赢得了观众的一致好评.某款人形机器人在排练时，导演对机器人下达了7个动作指令，机器人成功完成了其中5个.现从这7个指令中随机抽取4个进行回放分析，以表示抽取的指令中成功完成的个数. (1)求的分布列和数学期望； (2)另一款机器人，若对机器人下达的动作指令表述清晰，则机器人成功完成指令的概率为0.9；若对机器人下达的动作指令表述模糊，则成功完成指令的概率为0.5.设下达的动作指令表述模糊的概率为，若该机器人成功完成指令的概率为0.8，求的值； 变式6．（2026·湖南郴州·模拟预测）随着新能源产业的发展，我市近年来新能源汽车保有量快速增长，为了研究我市充电桩建设的情况，能源部门收集到了2021年到2025年充电桩数量（单位：万个），为方便研究，年份代码用表示（如：表示2021年），具体参考数据如下表： 统计量 数值 55 72.6 21 (1)请根据表中数据，建立关于的回归直线方程； (2)现对该市某区域现有的9个充电桩进行检查，其中4个为快充桩，随机抽取3个充电桩进行检查，记抽到的快充桩个数为，求的分布列及均值. （参考公式：） 考点三 正态分布 【例题分析】 例1．（2026·贵州六盘水·一模）已知随机变量，若，则（   ） A．88 B．90 C．92 D．94 例2．（2026·重庆九龙坡·二模）设随机变量服从正态分布 ，若 ，则（   ） A．0.1 B．0.2 C．0.4 D．0.9 例3．（25-26高二下·上海松江·期中）某公司生产的糖果每包标识质量是500g，但公司承认实际质量存在误差．已知每包糖果的实际质量服从正态分布．则随意买一包糖果，其质量误差超过5g（即1%）的可能性为______．（结果精确到0.1%） 例4．（2026·上海静安·二模）某汽车制造厂生产一种用于发动机的活塞销，其设计标准直径为．根据长期生产数据，该活塞销的实际直径服从正态分布，方差为．规定：活塞销的直径在到之间为合格品．随机抽取一个活塞销，其为合格品的概率是______．（结果保留三位小数） 参考数据：若随机变量，则，，． 例5．（2025·江西萍乡·二模）某企业产品质检员随机从一条生产线分两次共抽取50件样品进行误差检测，统计数据如下表： 抽取次数 抽取件数 平均误差 第一次 30 0.3 第二次 20      (1)已知这条生产线的产品误差X服从正态分布，若以这50件样品的平均误差作为的估计值，且误差落在区间内的产品为“特等品”，试估计这条生产线生产的10000件产品中“特等品”的件数； (2)已知这条生产线的“特等品”在某项测试任务中的达标率为80%，现随机抽取4件“特等品”进行该项测试任务，记其中达标的件数为随机变量Y，求Y的分布列及其数学期望． 附：若，则，；． 例6．（2026·上海嘉定·二模）某款足球机器人射点球时，射门点与球门中心的水平偏差（单位：）服从正态分布．在正常状态下，偏差，规定为“严重失误”． (1)求一次射门出现严重失误的概率p（精确到0.0001）； (2)假设每次射门相互独立，每次测试让机器人射门16次，若至少出现一次严重失误，则判定需要校准．在正常状态下，求一次测试被判定需要校准的概率（精确到0.01），并说明该判定规则是否合理； (3)因机械磨损，机器人射门精度下降，一次射门出现严重失误的概率增加到5%．此时每次测试仍射门16次，但判定规则改为：若至少出现2次严重失误，才需要校准．在磨损状态下，求被判定需要校准的概率（精确到0.01）．此时，若一次校准的成本为1万元，且每天测试3次，求日均校准成本的期望值（精确到百元）． 参考公式与数据： ①若，则． ②若，则，． 参考数据：，. 【变式训练】 变式1．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）某工厂生产甲、乙两种零件，其长度(单位:)分别服从正态分布和，已知甲零件的平均长度与乙零件相同，但甲零件数据的离散程度更大，则下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 变式2．（2026·广东梅州·一模）为督导学生体育锻炼，某中学举行一分钟跳绳测试，其成绩（单位：次）近似服从正态分布，且，则该校2000名学生中约有（    ）人一分钟跳绳超过200次. A．100 B．150 C．200 D．250 变式3．（25-26高三下·青海西宁·月考）袋装食盐标准质量为400g，规定误差的绝对值不超过4g就认为合格.随机抽取100袋食盐，假设误差X服从正态分布，则估计这批袋装食盐的合格率是__________.参考数据：若X服从正态分布，则，. 变式4．（25-26高三下·重庆·月考）某中学有2000名学生参加考试，考试后数学成绩X近似服从正态分布，若，则估计学生数学成绩在120分以上的人数为________． 变式5．（2026·河南开封·二模）某中学开展劳动教育实践活动，学生进行某种蔬菜种植实验，实验分为育苗、定植、收获三个阶段．已知每株蔬菜育苗成功的概率为，各株蔬菜苗是否成功相互独立；只有育苗成功的蔬菜才能进入定植阶段，定植后进入收获阶段的蔬菜，单株产量X（单位：kg）服从正态分布，市场上该品种蔬菜的售价为6元/kg，单株蔬菜从育苗到收获的平均种植成本为18元． (1)若对10株蔬菜进行育苗实验，记育苗成功的株数为Y，求至少有9株蔬菜苗育成功的概率与（结果用p表示）； (2)从进入收获阶段的蔬菜中随机抽取1株，估计其单株利润为正的概率． 附：若随机变量，则，，． 变式6．（2026·江西上饶·二模）泊松分布（Poisson Distribution）是一种重要的离散型分布，用于描述稀有事件的发生情况．如果随机变量X的所有可能取值为0，1，2，…，且，，其中，e为自然对数的底数，则称X服从泊松分布，记作． (1)当时，泊松分布近似于正态分布，且满足，若，求的近似值； (2)已知当，时，可以用泊松分布近似二项分布，即对于，，当k不太大时，有．已知某快递公司共有30000个包裹待配送，每个包裹有0.0001的概率出现配送延迟．试估计某天出现至少3起配送延迟的概率；（保留两位有效数字） (3)若，且，求的取值范围． 参考数据：若，，则有，，． 2 学科网（北京）股份有限公司 $2026届高三数学三轮冲刺复习讲义 统计与概率：二项分布、超几何分布、正态分布复习讲义 考点目录 二项分布 超几何分布 正态分布 知识点解析 考点一 二项分布 一、核心知识点 1. 适用条件（独立重复试验） ① 试验次数有限且固定 ； ② 每次试验相互独立； ③ 每次试验只有两种对立结果：发生/不发生； ④ 每次事件发生概率恒定。 2.定义与符号 若随机变量 表示次独立重复试验中事件发生次数，则 3.核心公式 概率公式： · 期望： 方差： 二、高频题型 1. 直接判定二项分布，求指定取值概率； 1. 求分布列、期望与方差； 1. 求解最值问题（概率最大的）； 1. 二项分布与实际背景结合：射击、投篮、有放回抽取、重复试验。 三、解题方法 1. 先判模型：固定次数+独立+概率不变+有放回 → 判定二项分布； 1. 确定关键量：试验次数、单次概率； 1. 套组合概率公式直接计算； 1. 期望方差直接代结论，无需复杂计算； 1. 最值问题：利用 解不等式。 考点二 超几何分布 一、核心知识点 1. 适用条件（不放回抽样） ① 总体分为两类：正品/次品、男生/女生等； ② 抽取不放回，每次抽取概率不相等； ③ 抽取个数固定。 1. 定义与符号 总体容量，其中一类个体个，抽取个，设取出该类数量为： 1. 核心公式 · 期望： 方差：公式一般不要求硬记。 二、高频题型 1. 不放回抽取类概率计算； 1. 求超几何分布列、期望； 1. 古典概型计数结合组合运算； 1. 超几何与二项分布辨析题型。 三、解题方法 1. 看抽样方式：无放回、总体有限、分层两类 → 超几何分布； 1. 找准三量：总体、特殊个体、抽取数； 1. 利用组合数比值计算概率； 1. 期望直接套用分式结论，简化运算； 1. 辨析技巧： 有放回→二项；无放回→超几何。 考点三 正态分布 一、核心知识点 1. 定义与符号 连续型随机变量， ：均值（对称轴），：标准差。 1. 图象性质 ① 曲线关于直线 对称； ② 中间高、两边低，无限靠近x轴； ③ 决定左右位置， 决定肥瘦； ④ 整体面积为。 1. 核心概率结论 ①； ② ； ③ ； ④ . 利用对称性实现概率转化。 二、高频题型 1. 利用对称轴对称转化求概率； 1. 给定区间，套用3σ原则计算； 1. 由概率反求参数 ； 1. 正态分布实际应用：身高、成绩、产量、误差等； 1. 正态与二项综合：近似计算。 三、解题方法 1. 抓对称轴：所有不对称概率，全部对称转化； 1. 大于/小于类概率统一往两侧转化； 1. 熟记3σ三组数据，直接代值； 1. 图象分析：越大曲线越平缓，数据越分散； 1. 遇复杂区间：拆成已知标准区间的和差运算。 考点一 二项分布 【例题分析】 例1．（25-26高二下·北京丰台·期中）为研究不同性别学生对“deepseek”应用程序的了解情况，某学校进行了一次抽样调查，分别抽取男生30名和女生20名作为样本，设事件“了解deepseek”，“学生为女生”，据统计，，将样本的频率视为概率，现从全校的学生中随机抽取20名学生，设其中了解“deepseek”的学生人数为，则当取得最大值时的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据条件概率公式求得，然后根据二项分布概率公式构造不等式组，求解即可. 【详解】已知，， 又抽取男生30名和女生20名，所以. 根据条件概率公式，可得. 再根据条件概率公式，可得. 所以随机变量， 令， 解得， 因为，所以当时，取得最大值. 例2．（2026·贵州贵阳·模拟预测）已知随机变量，则它对应的频率分布条形图是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由二项分布的性质进行判断． 【详解】，则的取值可能是0，1，2，3，，9. 又，所以频率分布条形图应是右偏的， 故选：B. 例3．（2026·湖南·一模）二项分布又称为重伯努利分布，其可视作将次两点分布叠加所得，现对其中的两点分布进行调整，记原两点分布的发生概率为（发生概率即所得结果为1的概率），定义变化后总试验次数为时的发生概率，其中表示总试验次数．现进行一类关于随机变量的二项分布的调整．若当变化后总试验次数为时的发生概率为，总试验次数为时的发生概率为，则在原二项分布中，的最大值为________（用数字解答）． 【答案】 【分析】根据题意先计算，再利用二项分布即可求解. 【详解】由题意知，可知，解得，故， ，，， ，，，，可知的最大值为． 例4．（2026·海南儋州·一模）某学校进行了一次抽样调查，了解不同性别的学生“利用AI辅助学习”的情况，采用简单随机抽样的方法，分别抽取男生和女生各50名作为样本．记“利用AI辅助学习”为事件A，“学生为女生”为事件B，将样本的频率视为概率，得到，．现从全校的学生中随机抽取30名，设其中“利用AI辅助学习的学生”的人数为，则当取得最大值时，的值为________． 【答案】 【分析】借助条件概率公式可计算出，再利用二项分布概率公式，表示出后，解出不等式及即可得. 【详解】由题意可得，则，即， ，则， 则可得服从二项分布，则 ， 令， 即有，解得， 令 即有，解得， 即，由，则当取得最大值时，. 例5．（25-26高二下·浙江·期中）某商店举办促销活动，顾客消费后可参与抽奖．盒子中有个大小､形状完全相同的小球，其中红球个，白球个．顾客从中一次性抽取个小球，若抽到两个小球中有红球，则获得一份纪念品． (1)求一位顾客获得纪念品的概率； (2)若某家庭个人到店消费，均独立获得抽奖资格并参加抽奖活动，记三人获得纪念品的份数为，求的分布列与数学期望． 【答案】(1) (2)分布列: 数学期望为. 【详解】（1）设一位顾客抽到红球的个数为；当时，顾客获得纪念品． ， ， ． （2）由已知可得：， 则． 所以的分布列为： ． 例6．（25-26高二下·浙江温州·期中）甲、乙两条生产线生产同一种电子产品，甲生产线的产品合格率为，乙生产线的产品合格率为．现将两条生产线的产品混合在一起，则合格品率为． (1)求甲、乙两条生产线的产量之比． (2)从混合产品中随机抽取3件，记其中甲生产线生产的件数为，以频率估计概率，求的分布列及数学期望． (3)从混合产品中随机抽取件，若发现恰有2件甲生产线生产的不合格品，记这一事件发生的概率为，求取得最大值时的值． 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3)或100 【分析】(1)利用全概率公式计算即可求解； (2) 由（1）可知，甲生产线产品占总量的，可得，利用二项分布的分布列以及期望公式求解即可； (3)由题可得，利用，解不等式即可求解. 【详解】（1）设甲生产线生产的这批电子产品有件，乙生产线生产的这批电子产品有件， 事件“混合在一起的电子产品来自甲生产线”， 事件“混合在一起的电子产品来自乙生产线”， 事件“混合在一起的某一零件是合格品”， 则，． 由， 得． 所以甲、乙两条生产线的产量之比为． （2）由（1）可知，甲生产线产品占总量的，所以． ，， ，， 所以的分布列： 0 1 2 3 ． （3）从混合产品中抽取1件是甲生产线生产的不合格品的概率为， 则， 由，解得． 所以当或100时，取得最大值． 【变式训练】 变式1．（2026·广东东莞·模拟预测）设随机变量服从二项分布，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，利用独立重复试验的概率计算公式，即可求解. 【详解】因为随机变量服从二项分布， 则 ． 故选：C． 变式2．（2026·广东汕头·一模）一个质点在随机外力的作用下，从数轴的原点出发，每隔1s等可能地沿数轴的正方向或负方向移动一个单位，共移动7次，则质点最可能移动到的位置的坐标为（    ） A．7或 B．5或 C．3或 D．1或 【答案】D 【分析】将“质点移动位置”转化为“正、负方向移动次数”的组合问题，通过分析组合数的最大值确定概率最高的位置. 【详解】设质点向正方向移动的次数为（），则向负方向移动的次数为， 质点最终的位置坐标由正、负方向移动的总距离决定：， 每次移动向正、负方向的概率均为，因此“7次移动中恰好有次向正方向”的概率服从二项分布，概率公式为：， 其中为组合数，为常数，因此，概率的大小由组合数决定，“最可能的位置”对应最大时的， 时 时 时 时 时 时 时 时 综上，组合数在和时取得最大值， 当时，代入得：， 当时，代入得：， 质点最可能移动到的位置坐标为或. 变式3．（25-26高三上·湖南长沙·月考）从一个装有4个白球和3个红球的袋子中有放回地取球5次，每次取球1个，记X为取得红球的次数，则 ___________ 【答案】 【分析】分析可知，结合二项分布的方差公式运算求解. 【详解】因为有放回地取球5次，可知每次取到红球的概率均为， 则，所以. 故答案为：. 变式4．（24-25高三上·上海·月考）某公司招聘员工分笔试和面试两个环节，应聘者需从笔试备选题和面试备选题中分别随机抽取各10道题，并独立完成所抽取的20道题，每道题答对得10分，答错不得分．甲答对笔试每道题的概率为，答对面试每道题的概率为．假设每道题都是相互独立的，则甲得________分的概率最大． 【答案】 【分析】设应聘者答对笔试和面试备选题分别道的概率最大，先利用二项分布概率公式列出概率表达式，依题列出不等式组求得，根据，求得，继而得出答案. 【详解】设应聘者答对笔试和面试备选题分别道的概率最大， 则， 依题意，，解得 又因为，所以，易知时，最大， 故甲得分为的概率最大． 故答案为：120. 变式5．（25-26高二下·浙江嘉兴·期中）DeepSeek是由中国杭州的DeepSeek公司开发的人工智能模型，其中文名“深度求索”反映了其探索深度学习的决心．DeepSeek主要功能为内容生成、数据分析与可视化、代码辅助、多模态融合、自主智能体等，在金融领域、医疗健康、智能制造、教育领域等多个领域都有广泛的应用场景．为提高DeepSeek的应用能力，某公司组织A，B两部门的50名员工参加DeepSeek培训． (1)此次DeepSeek培训的员工中共有6名部门领导参加，恰有3人来自A部门．从这6名部门领导中随机选取2人，求2人都来自于A部门的概率； (2)此次DeepSeek培训分三轮进行，每位员工第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为，，，每轮培训结果相互独立，至少两轮培训达到“优秀”的员工才能合格． （ⅰ）求每位员工经过培训合格的概率； （ⅱ）经过预测，开展DeepSeek培训后，合格的员工每人每年平均为公司创造利润30万元，不合格的员工每人每年平均为公司创造利润20万元，且公司需每年平均为每位参加培训的员工支付3万元的其他成本和费用．试估计该公司A，B两部门培训后的年利润（公司年利润员工创造的利润其他成本和费用）． 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ）1100万元 【分析】（1）利用古典概型的定义即可求解； （2）（ⅰ）记事件“每位员工经过培训合格”，“每位员工第轮培训达到优秀”（），根据概率加法公式和事件相互独立定义即可求解； （ⅱ）记两部门开展DeepSeek培训后合格的人数为，则，然后根据二项分布期望公式结合条件即得. 【详解】（1）根据题意，6名部门领导参加，恰有3人来自A部门，2人都来自于A部门的概率为 （2）（ⅰ）记“每位员工经过培训合格”，“每位员工第i轮培训达到优秀”（，2，3）， ，根据概率加法公式和事件相互独立定义得， ． 即每位员工经过培训合格的概率为． （ⅱ）记A，B两部门开展DeepSeek培训后合格的人数为Y，则，则， 所以（万元） 即估计A，B两部门的员工参加DeepSeek培训后为公司创造的年利润为1100万元． 变式6．（2026·河北石家庄·一模）某市为增强高中学生的数学建模能力，组织了一次“数学建模竞赛”活动.本次竞赛活动满分为分，得分不低于分为优秀.为了解本次活动学生的得分情况，现从参加活动的所有同学中随机抽取了名学生的分数组成样本，并按分数分成以下6组：，统计结果如图所示. (1)求该样本中学生分数为优秀的人数； (2)从该样本分数不低于分的学生中，用比例分配的分层随机抽样的方法选取人进行座谈，若从座谈名单中随机抽取3人进行个案研究，记分数在的人数为，求的分布列和均值； (3)根据频率分布直方图，以频率估计概率，现从该市所有参加活动的学生中随机抽取人，这名学生的分数相互独立.记分数为优秀的人数为，当最大时，求的值. 【答案】(1) (2)分布列 0 1 2 ， (3) 【分析】（1）直接根据频率和样本容量计算可得； （2）由随机变量服从超几何分布，根据超几分布计算可得； （3）随机变量服从二项分布，再根据概率的增减性判断可得. 【详解】（1）该样本中学生分数为优秀的频率 故优秀的人数为人; （2）从样本中得分不低于70分的学生中，用比例分配的分层随机抽样的方法选取11人进行座谈， 其中分数在的人数为. 若从座谈名单中随机抽取3人，则的所有可能取值为. 则的分布列为： 0 1 2 所以. （3）由题意知，，则，. 令， 当，解得. 因为，所以时，， 当时，，所以当时，最大. 考点二 超几何分布 【例题分析】 例1．（25-26高三下·山东泰安·月考）一批零件共有个，其中有个不合格随机抽取个零件进行检测，恰好有件不合格的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】从个零件中随机抽取个，总的抽取方法数为组合数， 要求恰好件不合格，即从个不合格零件中抽1个， 从个合格零件中抽个，符合条件的方法数为， 故恰好件不合格的概率为. 例2．（25-26高二下·河南驻马店·开学考试）某体育用品仓库中有12个同款篮球，其中一等品有8个，二等品有4个.现从中不放回地随机抽取5个篮球进行质量检测，记抽到的一等品的个数为X，则当取得最大值时，（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】确定随机变量的可能取值，应用超几何分布的概率求法求出对应概率值，即可得. 【详解】由题意，的可能值为，则， 所以，，，，， 所以当取得最大值时. 例3．（2026·山东·模拟预测）从一个装有3个白球和5个黑球的袋子中无放回地取球2次，每次取球1个，记为取得白球的次数，则___________． 【答案】 【分析】由随机变量服从超几何分布，从而可得随机变量的期望值. 【详解】因为为取得白球的次数，所以的可能的值为,且随机变量服从超几何分布. ，，. 所以的分布列为： 0 1 2 P 所以. 故答案为：. 例4．（25-26高二上·北京昌平·期末）某校组织一次认识大自然的夏令营活动，有6名同学参加，其中有4名男生、2名女生．现从这6名同学中随机抽取3名同学去采集自然标本，则抽到的3名同学中至少有1名女生的概率为__________． 【答案】 【分析】可以运用“正难则反”的思想， 先求出抽到的3名同学中没有女生的概率，再运用对立事件的概率公式求得抽到的3名同学中至少有1名女生的概率. 【详解】抽到的3名同学中没有女生的概率为， 则抽到的3名同学中至少有1名女生的概率为. 故答案为： 例5．（2026·广东清远·二模）一个袋子中有3个红球，个绿球，已知从中一次摸出的2个球都是红球的概率为． (1)求的值； (2)从袋中依次随机摸出2个球作为样本（一次只摸出一个球），设采用有放回和不放回摸球得到的样本中绿球的个数分别为． （i）求的分布列与数学期望； （ii）分别就有放回摸球和不放回摸球，用样本中绿球比例估计总体中的绿球比例，求误差的绝对值不超过0.2的概率，并比较所求两概率的大小，说明其实际意义． 【答案】(1)3 (2)（i）分布列： 0 1 2 ； （ii）有放回摸球对应概率为，不放回摸球对应概率为，不放回摸球的概率更大，说明相同样本量下，不放回抽样的估计精度更高，更适合用于总体参数估计. 【分析】（1）结合古典概型概率公式与组合数运算构造关于的方程，求解得到的值. （2）（i）判断有放回摸球时服从二项分布，计算各取值对应概率得到分布列，代入二项分布期望公式求期望. （ii）将误差条件转化为绿球个数的取值范围，分别计算有放回、不放回摸球时对应概率，比较大小并说明实际意义. 【详解】（1）∵ 袋子中共有个球，一次摸出2个球的总情况数为，摸出2个红球的情况数为. 由古典概型概率公式得. 代入，，得，整理得. 即，解得或. 又，故. （2）（i） 由（1）得袋子中共有6个球，其中绿球3个，故每次有放回摸球时，摸到绿球的概率为. 的可能取值为0,1,2，且. ∵ ， ， ， 故的分布列为： 0 1 2 数学期望. （ii） 总体中绿球的比例为，样本中绿球比例为（为摸出的绿球个数），误差的绝对值不超过0.2等价于. 解不等式得，又为整数，故. ① 有放回摸球时，所求概率为. ② 不放回摸球时，服从超几何分布，，故所求概率为. ∵ ，故不放回摸球时误差绝对值不超过0.2的概率更大. 实际意义：相同样本量下，不放回抽样对总体比例的估计精度更高，更适合用于抽样调查中估计总体参数. 例6．（2026·广西南宁·三模）为提升图书盘点效率，某中学图书馆引入AI智能图书盘点机器人．现对该机器人的图书识别准确率进行标准化测试，测试样本集有6本图书，分为两类：4本标签完好，是机器人应正确识别的有效馆藏图书；2本标签破损，是机器人应正确排除的无效图书．两类样本共同用于机器人识别性能测试，现从这6本图书中不放回地随机抽取2本，逐本开展测试． (1)已知第一次抽取到有效馆藏图书，求第二次也抽取到有效馆藏图书的概率； (2)记抽取的2本图书中，有效馆藏图书的数量为X，求X的分布列及数学期望． 【答案】(1) (2)X的分布列见解析， 【分析】（1）利用条件概率公式计算即可求解； （2）利用超几何分布求解即可. 【详解】（1）记第一次抽取到有效馆藏图书为事件，第二次抽取到有效馆藏图书为事件， 则，，所以， 所以第二次也抽取到有效馆藏图书的概率； （2）随机变量的值为， 则，，， 所以的分布列为： 0 1 2 所以. 【变式训练】 变式1．（25-26高二上·浙江宁波·期末）小卖部推出一套20张不同的角色卡，其中3张为稀有卡．若一次性抽取5张，则抽到的卡中至少有一张稀有卡的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】运用“正难则反”的策略求出抽到的卡中没有稀有卡的概率，再根据对立事件的概率公式求得抽到的卡中至少有一张稀有卡的概率. 【详解】抽到的卡中没有稀有卡的概率，根据对立事件的概率公式， 可知抽到的卡中至少有一张稀有卡的概率为. 故选：A. 变式2．（25-26高三上·广东湛江·月考）有甲，乙两个盒子，甲盒中有且仅有1个白球，乙盒中有k（）个白球和个黑球，现从乙盒中随机抽取i（）个球放入甲盒中，设放入后在甲盒中随机抽取一个球是白球的概率为，甲盒中含有白球个数的期望为，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】分别对与计算对应的概率和期望，进而比较大小可得结果. 【详解】当时，从乙盒取出白球和黑球的概率分别为和， 放入后，取出白球的概率分别为1和， 故，． 当时，从乙盒取两个球，此时服从超几何分布， 取出两个白球的概率，此时甲盒中取白球概率为1； 取出两个黑球的概率，此时甲盒中取白球概率为； 取出一白一黑的概率，此时甲盒中取白球概率为， 则， 且放入的两个球中白球数的期望， 则， 则， 所以，又，，故． 故选：B 变式3．（25-26高三上·天津西青·月考）某学习小组有男生4人，女生3人，现需从中抽取2人参加学校开展的AI人工智能学习，则恰有一名男生参加的概率为______；在有女生参加学习的条件下，恰有一名女生参加AI人工智能学习的概率为______. 【答案】 【分析】利用超几何概型的概率、古典概型求法及组合数求概率即可. 【详解】由题设，恰有一名男生参加的概率为， 有女生参加学习的条件下，恰有一名女生参加的概率为. 故答案为：， 变式4．（2025·江西·模拟预测）为了保持某自然生态保护区的生态平衡，现用重捕法了解该保护区内某种动物的大致数量（单位：只），随机在保护区内捕捉了100只该动物并做上标记，一段时间后再随机捕捉100只，用表示第二次捕捉的100只中有标记的数量．若以使得的概率最大时的值作为该保护区内这种动物的数量的估计值，则的估计值是_______________． 【答案】 【分析】根据超几何分布，得到，求得，得到，结合，求得，进而得到答案． 【详解】由题意得，随机变量服从超几何分布，即， 记，则， 所以． 当时，，解得， 当时，，故当时，最大，的估计值为． 故答案为：. 变式5．（25-26高三下·河北衡水·月考）在马年春节联欢晚会上，多款人形机器人惊艳亮相，其精彩的表演赢得了观众的一致好评.某款人形机器人在排练时，导演对机器人下达了7个动作指令，机器人成功完成了其中5个.现从这7个指令中随机抽取4个进行回放分析，以表示抽取的指令中成功完成的个数. (1)求的分布列和数学期望； (2)另一款机器人，若对机器人下达的动作指令表述清晰，则机器人成功完成指令的概率为0.9；若对机器人下达的动作指令表述模糊，则成功完成指令的概率为0.5.设下达的动作指令表述模糊的概率为，若该机器人成功完成指令的概率为0.8，求的值； 【答案】(1)分布列为： 2 3 4 (2) 【分析】（1）由题设随机变量服从超几何分布，并求出对应概率，即可得分布列，再应用分布列或超几何分布的期望求法求期望； （2）应用全概率公式求概率即可； 【详解】（1）由题意知随机变量服从超几何分布，其中，，， 且的所有可能取值为2，3，4，，，， 故的分布列为： 2 3 4 法一：所以的数学期望. 法二：根据超几何分布的期望公式知. （2）记“下达的动作指令表述清晰”为事件， 记“下达的动作指令表述模糊”为事件， 记“机器人成功完成指令”为事件. 由已知得，，，，. 因为， 所以. 变式6．（2026·湖南郴州·模拟预测）随着新能源产业的发展，我市近年来新能源汽车保有量快速增长，为了研究我市充电桩建设的情况，能源部门收集到了2021年到2025年充电桩数量（单位：万个），为方便研究，年份代码用表示（如：表示2021年），具体参考数据如下表： 统计量 数值 55 72.6 21 (1)请根据表中数据，建立关于的回归直线方程； (2)现对该市某区域现有的9个充电桩进行检查，其中4个为快充桩，随机抽取3个充电桩进行检查，记抽到的快充桩个数为，求的分布列及均值. （参考公式：） 【答案】(1) (2) X 0 1 2 3 P . 【分析】（1）根据回归直线方程的计算方法求得回归直线方程. （2）根据超几何分布的知识求得分布列并求得数学期望. 【详解】（1）， , .所以，回归直线方程为. （2）由题意知随机变量的可能取值为，则： ， ， ， ， X 0 1 2 3 P 故均值. 考点三 正态分布 【例题分析】 例1．（2026·贵州六盘水·一模）已知随机变量，若，则（   ） A．88 B．90 C．92 D．94 【答案】B 【分析】根据正态分布的对称性可得. 【详解】因为，所以， 所以. 例2．（2026·重庆九龙坡·二模）设随机变量服从正态分布 ，若 ，则（   ） A．0.1 B．0.2 C．0.4 D．0.9 【答案】D 【详解】解：随机变量服从正态分布，， ，． 例3．（25-26高二下·上海松江·期中）某公司生产的糖果每包标识质量是500g，但公司承认实际质量存在误差．已知每包糖果的实际质量服从正态分布．则随意买一包糖果，其质量误差超过5g（即1%）的可能性为______．（结果精确到0.1%） 【答案】4.6% 【分析】用表示糖果质量，可知，令，则，根据正态分布的三段区间法即可求解. 【详解】用表示糖果质量，由题意可知，要求的概率，即求的值， 令，则， 因此有 . 例4．（2026·上海静安·二模）某汽车制造厂生产一种用于发动机的活塞销，其设计标准直径为．根据长期生产数据，该活塞销的实际直径服从正态分布，方差为．规定：活塞销的直径在到之间为合格品．随机抽取一个活塞销，其为合格品的概率是______．（结果保留三位小数） 参考数据：若随机变量，则，，． 【答案】0.954 【详解】依题意，活塞销的直径，， 因此， 所以随机抽取一个活塞销，其为合格品的概率是0.954 例5．（2025·江西萍乡·二模）某企业产品质检员随机从一条生产线分两次共抽取50件样品进行误差检测，统计数据如下表： 抽取次数 抽取件数 平均误差 第一次 30 0.3 第二次 20      (1)已知这条生产线的产品误差X服从正态分布，若以这50件样品的平均误差作为的估计值，且误差落在区间内的产品为“特等品”，试估计这条生产线生产的10000件产品中“特等品”的件数； (2)已知这条生产线的“特等品”在某项测试任务中的达标率为80%，现随机抽取4件“特等品”进行该项测试任务，记其中达标的件数为随机变量Y，求Y的分布列及其数学期望． 附：若，则，；． 【答案】(1)9545件 (2) Y 0 1 2 3 4 P ． 【分析】（1）结合题意先确定，再结合正态分布的性质求出特等品的概率，最后结合题意求解估计值即可. （2）先确定变量服从二项分布，再利用二项分布的概率公式求解概率写出分布列，最后结合二项分布的期望公式求解期望即可. 【详解】（1）设这50件样品平均误差为，则，即，而， 故为“特等品”，即“特等品”的概率为， 故这条生产线生产的10000件产品中“特等品”件数约为件； （2）由题意得：， 则，， ，， ， 则Y的分布列如下： Y 0 1 2 3 4 P 其数学期望． 例6．（2026·上海嘉定·二模）某款足球机器人射点球时，射门点与球门中心的水平偏差（单位：）服从正态分布．在正常状态下，偏差，规定为“严重失误”． (1)求一次射门出现严重失误的概率p（精确到0.0001）； (2)假设每次射门相互独立，每次测试让机器人射门16次，若至少出现一次严重失误，则判定需要校准．在正常状态下，求一次测试被判定需要校准的概率（精确到0.01），并说明该判定规则是否合理； (3)因机械磨损，机器人射门精度下降，一次射门出现严重失误的概率增加到5%．此时每次测试仍射门16次，但判定规则改为：若至少出现2次严重失误，才需要校准．在磨损状态下，求被判定需要校准的概率（精确到0.01）．此时，若一次校准的成本为1万元，且每天测试3次，求日均校准成本的期望值（精确到百元）． 参考公式与数据： ①若，则． ②若，则，． 参考数据：，. 【答案】(1) (2)，判定规则在正常状态下误判率约4.2%，虽偏低但仍存在误报，基本合理但略偏保守. (3)，元 【分析】（1）根据转化公式化为标准正态分布，根据参考数据利用对称性求解； （2）由题意转化为二项分布，根据二项分布求概率，由结果分析规则的合理性即可； （3）根据二项分布求出对应概率，再由二项分布求期望即可. 【详解】（1）令， 则, 因为， 所以， 即. （2）设为次射门中出现严重失误的次数， 则, 则需要校准的概率, 因为， 所以，， 所以， 在正常状态下（无故障），仍有约4.2%的概率被误判为“需要校准”， 即存在约4.2%的假阳性率.虽然不高，但每天多次测试会累积误判次数， 可能造成不必要的校准成本.若追求高可靠性，此规则略显敏感； 若容忍少量误判以确保及时发现故障，则尚可接受. 综合来看，该规则偏保守，有一定合理性，但可优化. （3）机器人因机械磨损，单次失误概率，测试次数为次， 设为次射门中出现严重失误的次数，则， 则， 因为， , 所以， 设每天校准次数为随机变量，则, 则每天校准次数的期望为次， 所以日均校准成本的期望元，即百元. 【变式训练】 变式1．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）某工厂生产甲、乙两种零件，其长度(单位:)分别服从正态分布和，已知甲零件的平均长度与乙零件相同，但甲零件数据的离散程度更大，则下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】A：因为甲零件的平均长度与乙零件相同，所以，所以A错误. B：正态分布关于均值对称，所以，所以B错误. C：因为甲零件的离散程度越大，所以方差更大，即，所以C正确. D：因为，在坐标轴上在的右侧，，所以D错误. 变式2．（2026·广东梅州·一模）为督导学生体育锻炼，某中学举行一分钟跳绳测试，其成绩（单位：次）近似服从正态分布，且，则该校2000名学生中约有（    ）人一分钟跳绳超过200次. A．100 B．150 C．200 D．250 【答案】A 【分析】利用正态曲线的对称性可求得答案. 【详解】因为 ，则有， 所以， 该校2000名学生中，一分钟跳绳超过200次人数约为. 变式3．（25-26高三下·青海西宁·月考）袋装食盐标准质量为400g，规定误差的绝对值不超过4g就认为合格.随机抽取100袋食盐，假设误差X服从正态分布，则估计这批袋装食盐的合格率是__________.参考数据：若X服从正态分布，则，. 【答案】95.45% 【详解】由题意可知，故合格率约为95.45%. 变式4．（25-26高三下·重庆·月考）某中学有2000名学生参加考试，考试后数学成绩X近似服从正态分布，若，则估计学生数学成绩在120分以上的人数为________． 【答案】300 【分析】根据正态分布概率的对称性求解. 【详解】因为， 所以， 所以, 所以， 所以估计学生数学成绩在120分以上的人数为. 变式5．（2026·河南开封·二模）某中学开展劳动教育实践活动，学生进行某种蔬菜种植实验，实验分为育苗、定植、收获三个阶段．已知每株蔬菜育苗成功的概率为，各株蔬菜苗是否成功相互独立；只有育苗成功的蔬菜才能进入定植阶段，定植后进入收获阶段的蔬菜，单株产量X（单位：kg）服从正态分布，市场上该品种蔬菜的售价为6元/kg，单株蔬菜从育苗到收获的平均种植成本为18元． (1)若对10株蔬菜进行育苗实验，记育苗成功的株数为Y，求至少有9株蔬菜苗育成功的概率与（结果用p表示）； (2)从进入收获阶段的蔬菜中随机抽取1株，估计其单株利润为正的概率． 附：若随机变量，则，，． 【答案】(1)概率为，； (2). 【分析】（1）根据给定条件，利用二项分布的概率公式列式求出概率，再利用二项分布的期望公式求出期望. （2）利用正态分布的对称性求出单株利润为正的概率. 【详解】（1）依题意，，则， ， 所以至少有9株蔬菜苗育成功的概率，. （2）由单株产量X（单位：kg）服从正态分布，得， 单株利润为，由单株利润为正，得，解得， 依题意，， 则， 所以单株利润为正的概率约为. 变式6．（2026·江西上饶·二模）泊松分布（Poisson Distribution）是一种重要的离散型分布，用于描述稀有事件的发生情况．如果随机变量X的所有可能取值为0，1，2，…，且，，其中，e为自然对数的底数，则称X服从泊松分布，记作． (1)当时，泊松分布近似于正态分布，且满足，若，求的近似值； (2)已知当，时，可以用泊松分布近似二项分布，即对于，，当k不太大时，有．已知某快递公司共有30000个包裹待配送，每个包裹有0.0001的概率出现配送延迟．试估计某天出现至少3起配送延迟的概率；（保留两位有效数字） (3)若，且，求的取值范围． 参考数据：若，，则有，，． 【答案】(1)0.6827 (2)0.58 (3) 【分析】（1）由时，泊松分布近似于正态分布求解； （2）设为配送延迟包裹数，由，根据，，得到，由求解； （3）由，得到，再根据泊松分布的概率公式求解． 【详解】（1）当时，泊松分布近似于正态分布，且满足，若， 当时，泊松分布近似于正态分布， 即，，要计算， 根据正态分布的性质，， ． （2）当，时，可以用泊松分布近似二项分布， 即对于，， 设为配送延迟包裹数，则，， ，， ， ， 那么，某天至少3起配送延迟的概率约为： ． （3）由，得， 根据泊松分布的概率公式：，，得． 设（）， 由，知在上为减函数． ，， ，即， 的取值范围为． 2 学科网（北京）股份有限公司 $