天津市第一中学、咸水沽第一中学2025-2026学年高三考前联合模拟考试数学试题

2025~2026学年高三年级第三次联合模拟考试答案 一、选择题 A DA D DBB B D 二、填空题 10.-/-0.5 11.-160 12.413.①06②1.614.①g②2 15.-42 9 6 三、解答题：本题共5小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. l6.(1)由正弦定理得2sinA-V3sinC)cosB=V5 sin BcosC,(1分) 2sin A cos B=3 sin C cos B+3 sin B cos C =3 sin(B+C)=3 sin A, 得到2 sin Acos B=V3sin(B+C),即2 sin Acos B=√3sinA,(3分) 显然sinA≠0，则cosB= √3 2 又B∈(0，)，可得B=T.(5分) 6 (2B=,c=5, 6 由余弦定理可得c0sB=Q+3-BV 2×a×V32 ,整理可得a2-b2+3=3a, 又a+b=2,解得a=b=1, S.oesin8-x1x5×g- 24 .(8分) (3)由正弦定理行sinB=V5sin4,则sin4=sinB-2=5, 2√24 b=√2a,即b>a,则B>A，,故A为锐角， '.=v1-sin2 V14 ,11分) in24=2 sin cos4=2x点x4-5,os24=2os4-1=2x-1} 444 4Γ cos(2A-B)=cos2Acos元+sin2Asin=3xV5+V万x1-35+V 64242-8 .(14分) 17.(I)在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,BCc平面ABCD,则PA⊥BC, 由底面ABCD为正方形，得AB⊥BC,(1分) 而PA∩AB=A,PA,ABC平面PAB,(2分) 因此BC⊥平面PAB,而BCC平面PBC,(3分) 所以平面PAB⊥平面PBC.(4分) (2)由PA⊥平面ABCD,AB,ADC平面ABCD,得PA⊥AB,PA⊥AD, 又AB⊥AD,则直线AB,AD,AP两两垂直， 以A为原点，直线AB,AD,AP分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，如图， ZA B 由PA=AB=2,则A0,0,0,B2,0,0,C2,2,0,D(0,2,0),P(0,0,2),E(1,0,1,(5分) DC=2,0,0),PD=(0,2,-2),BC=0,2,0), iDC=2x=0 设平面PCD的法向量i=（x,y,z,则 iPD=2y-22=0’ 令y=1,则z=1,x=0, 所以i=(0,1,1)为平面PDC的一个法向量，（7分) 由BC⊥平面PAB,得BC=(0,2,0)为平面PAB的一个法向量，(8分) 段于面P4B与猫PCD夹角为0，则eo0=小ao(C引 n.BC V2×2=2,(10分) 所以平面PAB与平面PCD夹角的余弦值为2.1分) 2 (3)由(2)知，平面PCD的一个法向量为i=(0,1,1),PE=(1,0,-1, 所以点E到平面PCD的距离d= 元.PE12 同22 ,(12分) 又PD=(0,2,-2),所以PD=V22+(-22=2V2, 由DC.PD=(2,0,0)(0,2,-2)=0知CD⊥PD, 所以SaD=)CD-PD=,×2x22=2N2,(13分) 2 2 md=x22x5-.15分 1 所以Vp-EcD='E-PCn= 3 3 23 18. c 1 a 2 a=2 由题意得 a+96-9新6=，质方为兰， =1.(4分) 43 a2=b2+c2 c=1 由题意可设M(4,m,N(4,n),P(x,yo),且m>0,n<0. 直线AM的方程为y=心（x+2). 6 y="x+2) 6 由 x2 消去y,整理得27+m2)x2+4m2x+4m2-108)=0 -=1 43 △=(4m2）-427+m2)(4m2-108)>0成立. 由-2。-108，解得5-542m 27+m2 27+m2 所以+70所 54-2m218m (8分) 27+m2’27+m2 B ①当直线PQ⊥x轴时， 54-2m2 =1,解得m=3, (9分) 27+m2 由椭圆的对称性可得MR=FR=NR=3. 又因为∠MRF=∠NRF=90°，所以∠MFR=∠FNR=45°. ②当直线PQ不垂直x轴时，即m>0,m≠3时，n<0,n≠-3， 18m -0 直线FP的斜率m=m 6m 6n 同理k0=g-0· (12分) 54-2m-19-m 27+m2 6m61n 因为P,F,Q三点共线，所以。 以g-m9-n 所以mn=-9. (13分) FR3 m 在Rt△MRF和Rt△NRF中，tan∠MFR= MR m FR 3,tan∠FNR= NR n 3' 所以tan∠MFR=tan∠FNR.因为∠MFR,∠FNR均为锐角，所以∠MFR=∠FNR. 综上，若P,F,Q三点共线，则∠MFR=∠FNR. (15分) 19.(1)设数列{an}的公比为9，因为数列{an}是各项均为正数， 故an>0(n∈N），g>0, 因为a244=64,a3=a2a4, (1分) 所以a=64,解得a3=8,而a,=2,则公比q= =2, (3分) 9 所以数列{an}的通项公式为an=a,g-=2”. (4分) （2)由1)得等差数列a,X8m,a的公差d,=“-a-2-22之 k+1k+1k+1 当b，b1,bn+2∈[ak,ak+i]时，bn1-bn=bn+2-bn+1=dk,则Cn=Cn+1 当bn∈[ak,ak+)，bn+2∈(ak+1,ak+2]时， 2 21 则6=c,=4=k中6n=dk+2 (6分) 212* =2 21 k,2 1C.k+2k+只 （k+2k+1 (k+2)(k+1) >0,因此Cn<C+1, 所以Cn≤C· (8分) (3)依题意，在(2,2)，k≥2内的数列{，}的所有项和为k-2+2) 2 =3k-1)2-2, 数列}中，2项及前面的项数和为n+[1+2+3+…+n-1]=n+”-_n+ 22 n(n+1 当n≥2时， 三=2+2+2++7+222+3-2+a--2门 (10分) 令Sn=12°+22+322+…+(n-12m-2, 则2Sn=12+222+323+…+(n-22"-2+(n-12-, 两式相减得-Sn=1+2+2+…+2"-2-n-1·2"=2--1-n-1·2"-1=（2-n.2"-1-1, 解得Sn=(n-22”+1,而2+22+23+…+2”=2+1-2，(13分) n(n+1) 名6224352-2+0n-2小2+-30-2小24 n(n+l) 当n=1时， 立6=6=4=2满足上式， n(n+1) 所以立6=(3m-2-21+1（15分) 20.4)"x)=1nx+x+a6x>0), 令Fx=xlnx+x+ax>0, 因为函数∫(x)在定义域内无极值， 所以函数f'(x)无变号零点，即函数F(x)在(0，+o)上无变号零点.(1分) 1 由F'x=lnx+2=0,得x= e2 当xe0)F<0,当xeg+o时， F'(x)>0, 所以F到在0，)上年调运减，在怎+)上单调格，行分) 所以F(x)的极小值为F 由上可知，F(x≥0，∴.a∈ (5分) (2)(i)gx)=(x+alnx-8x2-xa>0,x>0, 2 g'(x)=lnx-ax+0(a>0,x>0), 令G(x)=g(x,则G(刘=-a+x-a,(7分) 因为gx)有三个不同的极值点，即Gx)有三个变号零点， 所以G'(x)=0必有两个不相等的正根， 所以方程-ax2+x-a=0必有两个不相等的正根，(8分) 记为5<，则5，=1,5+5，=上且0<<1<6 a 1 由A=1-4a2>0得a∈0,2 当x∈(0，)U(,+oo)时，G'(x<0,当x∈(4,2)时，G'(x)>0, 所以Gx)在(0，t)上单调递减，在(4,2)上单调递增，在(2，+∞）上单调递减， 因为0<t<1<t2,且G(1=0,(10分) 所以必有x2=1,且为极小值点，x∈(0,1)，x3∈(t2,+0）,且为极大值点. Gt2)>G(1)=0,当x→+0时，G(x)→-0，Gx)在(t2,+0上有唯一零点， 园为=h+号=0.d-h*a,号-0， 必有x=上∈(0,4)为极大值点 X 综士，当1仅当a》4,g到有三个不何银点，商的吸花为0 (12分) 1 1 (i)由(i)可知x2=1,x=,所以x+x2+x3=1++ X? 1 又函数y=二+x在(1，+o)单调递增，x3>t2,+t2=二，42=1， a 所以1+K+上>1+4+=1+4+5=1+2,14分) a 又ae0》所以1>2a,所以1+>2a日 a a 即x1+x2+x3>2a+-.16分) a 2025～2026学年高三年级第三次联合模拟考试 高三数学 第I卷（共45分） 一、选择题（本题共9小题，每小题5分，共45分） 1．已知集合，，，则（ ） A． B． C． D． 2．设，为非零实数，则“”是“”成立的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．函数在上的图像大致为（ ） A． B． C． D． 4．下列说法正确的是（ ） A．两个随机变量的线性相关程度越强，相关系数越接近于1 B．数据7，4，2，9，1，5，8，6的70%分位数为6 C．某物理量的测量结果服从正态分布，越大，该物理量在一次测量中在的概率越大 D．某4个数据的平均数为5，方差为3，现又加入一个数据5，此时这5个数据的方差为2.4 5．设，，，则，，的大小关系为（ ） A． B． C． D． 6．已知，，为三条不同的直线，，为两个不同的平面，则以下选项正确的是（ ） A．若，，，，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，，则 7．已知，都是实数，若是，的等差中项，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 8．已知函数在内单调递减，是函数的一条对称轴，且函数为奇函数，则（ ） A． B． C． D． 9．椭圆与双曲线有公共的焦点，，，抛物线的方程为，为，，的一个公共点，若，则，离心率的乘积为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 第Ⅱ卷（共105分） 二、填空题（本题共6小题，每小题5分，共30分） 10．复数（其中为虚数单位），则的模为________． 11．在的展开式中，的系数是________． 12．已知过点的直线与圆：交于，两点，且，则的面积是________________． 13．某篮球运动员进行定点投篮训练．已知他第一次投篮命中的概率为0.5．若前一次命中，则下一次命中的概率为0.8；若前一次未命中，则下一次命中的概率为0.4．该运动员第二次投篮命中的概率为________；若这名篮球运动员做4组投篮训练，每组连续投篮2次，2次都命中记为成功，每组投篮训练成功与否相互独立，设这4组投篮训练中成功的次数为X，则期望________． 14．在梯形中，，，，，，与相交于点Q．若，则________；若，N为线段延长线上的动点，则的最小值为________． 15．若不等式对任意的恒成立，则的最大值为________． 三、解答题（本题共5小题，共75分） 16．（本小题满分14分）已知的内角，，的对边分别为，，，且． （1）求角的大小； （2）若，，求的面积； （3）若，求． 17．（本小题满分15分）如图，已知多面体的底面是边长为2的正方形，底面，，且． （1）证明：平面； （2）求平面与平面所成角的余弦值； （3）求四棱锥的体积． 18．（本小题满分15分）已知椭圆的离心率为，右焦点为，左顶点为，上顶点为，的面积为． （1）求椭圆的方程； （2）已知点的坐标为，，是直线上的两点（在轴上方，在轴下方），直线，与椭圆分别交于，两点．若，，三点共线，求证：． 19．（本小题满分15分）已知数列是各项均为正数的等比数列，且，．对于任意，在和之间插入个数，，…，，使得，，，…，，这个数构成等差数列，记新得到的数列为． （1）求数列的通项公式； （2）记，证明对于任意的，； （3）求（其中）． 20．（本小题满分16分）已知函数． （1）函数在定义域内无极值，求的取值范围； （2）函数，有三个不同的极值点，，，； （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）证明． 学科网（北京）股份有限公司 $