10.4 三元一次方程组的解法-【名师学案】2025-2026学年七年级下册数学分层进阶学习法（人教版·新教材）

*10.4三元 恋知识储备步 1.一般地，由 个方程组成，并且方程组中含 有 个未知数，每个方程中含未知数的项的 +! 次数都是 ,含未知数的式子都是 这样的方程组叫作三元一次方程组. + 2.解三元一次方程组的基本思路是：通过 或 进行消元，把 转 化为 ,使解三元一次方程组转化为 解 方程组，进而转化为解 方程 A基础练 必备知识梳理一 知识点一三元一次方程组的有关概念 1.下列是三元一次方程组的是 ( 2x=5, 3 一y十= 2, A.x2+y=7, B. x-2y+z=9, x+y+之=6 y=-3 x十y一之=7， {x十y=2, C.xyz=1, D.y十=1， x-3y=4 x十z=9 2.下列四组数中，是三元一次方程组 [x+y=1, y+=5,的解的是 () 1z十x=6 x=1, A.y=0, y=2, 之=4 x=4 x=1, x=4, C.y=0, D.y=1, x=5 之=0 知识点二三元一次方程组的解法 3x一y+2x=3, 3.观察方程组2x十y一4之=11，的系数特点，若 7x+y-5z=1 要使求解简便，消元的方法应选取 ( 71 七年级数学·下册 次方程组的解法 A.先消去x B.先消去y C.先消去x D.以上说法都不对 5.x+4y+z=0,① 4.解三元一次方程组3x+y一4之=11，②经过 x+y+x=-2.③ 步骤①一③和③×4+②消去未知数之后，得 到的二元一次方程组是 () 4x+3y=2, 4x+3y=2, A. B. 17.x+5y=3 23.x+17y=11 3x+4y=2, f3x+4y=2, C. D. 7x+5y=3 23.x+17y=11 5.【教材P109练习变式】解下列三元一次方 程组： 2x=3y, ① (1)y=2, ② x+2y+x=16;③ (x+之-3=0，① (2)2x-y+2x=2,② x-y-z=-3.③ 知识点三三元一次方程组的简单应用 6.【教材P110例3变式】一个三位数，个位、百 位上的数字的和等于十位上的数字，百位上 的数字的7倍比个位、十位上的数字的和大 2,个位、十位、百位上的数字的和是14，则这 个三位数是 7.【教材P109例2变式】在等式y=ax2+bx+c 中，当x=一1时，y=4;当x=2时，y=4;当 x=1时，y=2, (1)求a,b,c的值； (2)当x=一2时，求y的值. B综合练 骨关键能力提升一 8.【整体思想】有甲、乙、丙三种商品，如果购买 甲商品3件，乙商品2件，丙商品1件共需 315元钱；购买甲商品1件，乙商品2件，丙商 品3件共需285元钱，那么购买甲、乙、丙三 种商品各一件共需 () A.50元B.100元C.150元D.200元 9.【教材P111习题T5变式】小明从家到学校 的路程为25千米，其中有一段上坡路、平路 和下坡路.如果保持上坡路每小时行3千米， 平路每小时行4千米，下坡路每小时行5千 米，那么小明从家到学校要用6小时，从学校 到家要用7.2小时，求从小明家到学校的上 坡路、平路、下坡路各是多少千米？ C素养练 学科素养培育 10.为确保信息安全，在传输时往往需加密，发 送方发出一组密码a,b,c时，则接收方对应 收到的密码为A,B,C.双方约定：A= 2a一b,B=2b,C=b十c,例如发出1,2,3，则 收到0,4,5. (1)当发送方发出一组密码为2,3,5时，则 接收方收到的密码是多少？ (2)当接收方收到一组密码为2,8,11时，则 发送方发出的密码是多少？ 少：解题妙超 每个方程都含有三个未知数的三元一次方程 组的解法 (1)代入法：先将其中一个方程变形，使之成 为用含两个未知数表示第三个未知数的形式，然 后将变形后的方程代入方程组中的另两个方程， 从而把“三元”化为“二元”； (2)加减法：用加减法消去一个未知数，从而 把“三元”化为“二元” 助学助教优质高72笔记木的作价分别是元元限据题意，利径计一收部得若：中性 笔和笔记本的单价分别是2元、6元.7.A8.09.1.5cm10.解：设天头的宽 变是xcm,左右两测一个边的宽度为ycm,由题意，得{762=2210十2，解 得0，∴成品的长为210+2X15=240(cm),宽为76+2×10=96(cm.答：成品 的长是240cm,宽是96cm.11.解：根据小王的设计可以设垂直于墙的边长为x 采，平行于墙的一边长为y米.根据题意，得2十y解得二1又因为塔的S 1y-x=5. 度只有14米，所以小王的设计不符合实际.根据小赵的设计可以设垂直于墙的边长 为ā米，平行于墙的一边长为6米.根据题意，得35解得，又因为墙 的长度有14米，显然小赵的设计符合要求，此时鸡场的面积为11×13=143（平方 米).答：小赵的设计符合实际，按照他的设计，鸡场的面积为143平方米. 第3课时购买、销售、利润问题 知识储备 1.销售单价销售量2.0.5元5000元 基础练 1.A2.C3D4.解：(1)设A种服装购进x件，B种服装购进y件，由题意，得 /x+y=450, +50y=20000,解得二20。'答：A种服装购进250件，B种服装购进200 (2)由题意，得：250×(60×0.8-40)+200×(80×0.7-50)=250×8+200×6=3 200(元).答：全部售完后，服装店共盈利3200元.5.解：设该工厂从A地购买了x 吨原料制成远往B地的产品y吨低题意，得仔式2汉870m解 得：二20Q:答：该工厂从A地购买了300吨原料，制成运往B地的广产品200啊 6.解：设这家文具店销售的A种钢笔的售价是每支x元，B种钢笔的售价是每支y 5x+106x-4)士15y十156一5)=485·解得{10答：这家文具店 元，由题意，得5x+25(x-4)+15y=425. 1y=15. 销售的A种钢笔的售价是每支10元，B种钢笔的售价是每支15元.7.解：(1)150 元80元(2)设购进“冰墩墩”毛绒玩具m只，购进“雪容融”毛绒玩具n只.由题 宣，得150m+801=4500,整理得m=30一8.m,0为正整数，0-22或 ln=15, 三14，或m二6，专卖店共有3种采购方案；(3)当m=22,”=15时，利润为 1n=30, ×(200-150)+15×(100-80)=1400(元)；当m=14,n=30时，利润为：14×(200 一150)+30×(100-80)=1300（元）；当m=6,n=45时，利润为：6×(200-150)+ 45×(100一80)=1200（元）；，1200<1300<1400，.利润最大的采购方案为购进 “冰墩墩”毛绒玩具22只，购进“雪容融”毛绒玩具15只，最大利润为1400元 *10.4三元一次方程组的解法 知识储备 1.三三1整式2.“代入”“加减”“三元”“二元”二元一次一元一次 基础练 1.D2.C3.B4.A5.(1)解：把②代入①，得2x=6z,x=3x.④把②，④代人③， 得3x十4z十x=16.⑤∴.z=2.把x=2分别代入④，②，得x=6,y=4..原方程组的 x=6, 解是y=4,(2)解：②一③，得x+3x=5.④解由①，④组成的方程组，解得 z=2. x=2, 二2将{二2代入③，得y=4.∴原方程组的解为y=4,6.2757.解：(1)由 l2=1. 2=1 x=1. (a一b十c=4, (a=1, 题意，得4a+2b十c=4,解得b=-1,(2)由(1)得y=x2-x十2.当x=-2时，y= (a+b+c=2. (c=2. (一2)2一（一2）十2=8.8.C9.解：设从小明家到学校的上坡路是x千米，平路是 x十y+z=25, y千米下按路是：千米依题意，程言十量十号-5：解得：答：从小明家 x=6, ++=.2 （z=15. -190 到学校上坡路6千米，平路4千米，下坡路15千米.10.解：(1)由题意，得A=2×2 一3=1，B=2×3=6,C=3十5=8.答：接收方收到的密码是1,6,8.(2)由题意，得 2a-b=2,（a=3, 2b=8,解得b=4,答：发送方发出的密码是3,4,7. (b+c=11. c=7. 串题突破重难考点旅游中的二元一次方程（组）的应用问题 1解：设小明家有人小丽家有y人，由题意，得，2解得答：小明 家有6人，小丽家有5人.2.解：设小明家开车的速度是xkm/h,小丽家开车的速 fy=x+13, 度是ykmh,由题意，得1十号)z=y ,解得=65·答：小明家开车的速度是65 y=78. km/h,小丽家开车的速度是78km/h.3.解：，凡团体入住一律五折优惠，.三人间 为每人每天200×0.5=100（元），双人间为每人每天300×0.5=150（元）.设三人间 有a间，双人间有b间，由题意，得{3a十26=50. 息100X3a十150X2b=6300,解得二，答：租住 了三人间8间、双人间13间.4.解：(1)设他们一共去了x个成人y名学生，由题 意网0十X0=7a解得答：他们一其去了7个皮人4个学生 x+y=11, (2)①买12张成人票，8张学生票，需12×30+8×30×0.5=480（元）：②全部买团体 票需20×30×0.6=360（元）；③买16张团体票，4张学生票需16×30×0.6+4×30 ×0.5=348(元)：，348<360<480，∴.最省的购票方案是买16张团体票，4张学生 票，此时的买票费用为348元.5.解：(1)设租用了x条四座电瓶船，y条六座电瓶 船，根据题意，得十v=10, 00,+120y=1060.解得3答：租用了7条四座电瓶附，3条 六座电瓶船；(2)由(1)可知，该旅行团共有游客4×7+6×(10一7)=46（名）.在每船 都坐满的情况下，乘四座电瓶船平均每人100÷4=25（元），乘六座电瓶船平均每人 120÷6=20(元).∴.应尽可能多用六座电瓶船，.46÷6=7…4，∴.租用7条六座电 瓶船，1条四座电瓶船，费用为7×120+100=940（元）.若只租用8条六座电瓶船，总 费用为120×8=960（元）；..最省钱的方案是租用1条四座电瓶船，7条六座电瓶船. 6.解：1)设每盒鲜花饼x元，每盒火腿月饼y元，由题意，得y三1十3， 解得 4x+3y=184. (x二25：答：每盒鲜花饼25元，每盒火腿月饼28元：(2)设小丽的妈妈购买α盒鲜花 1y=28. 所，6盒火腿月饼，由题意，得25a+286=265.a,6是正整数.，答：小丽家可 购买5盒鲜花饼，5盒火腿月饼. 综合与实践（二）搭建蔬菜基地的围栏 解：任务1：752任务2：设用方法②裁剪x根，用方法③裁剪y根，根据题意，得 十2y二16，解得{X二6·答：用方法②裁剪6根，用方法③裁剪5根：任务3：根据题 15x+2y=40. 意，得32十8a十10b=60.正整数解为a=1,b=2.搭建10副围栏共需20根16dm的， 20根10dm的，30根8dm的，买10根60dm的材料可得20根16dm的，20根10 dm的，则少20根8dm的，再买3根60dm的，每根可得7根8dm的用料，∴.剩余材 料的长度为4十4+12=20dm,则至少费用为：(10十3)×50=650（元）. 第十章核心素养与跨学科融合专练 122.353.解：设做了x个竖纸盒y个横纸盒，由题意，得23.0· x=200:答：竖纸盒做了200个，横纸盒做了400个 解得)=40. 4.解：设小明这份营养早餐中需要谷物面包x克，牛奶y克，根据题意，得 x+y+60=400, 4x十7%y十60X13=40×10人.解得：0答：小明这份营养早餐中 y=220. 要谷物面包120g,牛奶220g. 第十章大单元整合与素养提升 1D2B3经答案不窄4D516号，7解0代 入②，得3x十2(2x-3)=8.解得x=2.把x=2代入①，得y=1..原方程组的解是 x=2,(2)解：①×2，得x+1.4y=70.③③-②，得y=30.把y=30代人③，得x y=1. 十2二70.解得=28.“原方程组的解为3：（3)解方程组整理，得 —191