2026年高考数学三轮冲刺高频错题过关练：函数奇偶性的性质与判断

**基本信息** 聚焦函数奇偶性判定与性质应用，通过分层题型构建"定义辨析-性质综合-抽象拓展"的解题体系，强化逻辑推理与数学抽象素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础判定|3题|定义法/图像法判定奇偶性|从定义域对称性到解析式验证的判定流程| |性质综合|8题|奇偶性+单调性/周期性综合应用|性质间的推导关系（如奇函数对称性→周期性）| |抽象函数|4题|赋值法/构造法求解析式|从具体函数到抽象函数的认知迁移| |应用拓展|6题|不等式恒成立/零点问题转化|奇偶性在代数推理中的工具性作用|

2026年高考数学三轮冲刺高频错题过关练： 函数奇偶性的性质与判断 一．选择题（共9小题） 1．已知f（x）是定义域为（﹣∞，+∞）的奇函数（1﹣x）＝f（1+x），若f（1），则f（1）+f（2）（3）+…+f（50）＝（　　） A．﹣50 B．0 C．2 D．50 2．以下哪个函数既是奇函数，又是减函数（　　） A．y＝﹣3x B．y＝x3 C．y＝log3x D．y＝3x 3．下列函数中与函数y＝ex﹣e﹣x的定义域、单调性与奇偶性均一致的是（　　） A．y＝|x﹣1| B．y＝x3 C．y＝ D．y＝log2x 4．设函数f（x）是定义在R上的偶函数，且当x＞0时，f（x）x+x，则f（﹣1）等于（　　） A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．4 5．设f（x）为奇函数，且当x≥0时，f（x）x﹣1，则当x＜0时，f（x）＝（　　） A．e﹣x﹣1 B．e﹣x+1 C．﹣e﹣x﹣1 D．﹣e﹣x+1 6．已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）2x+4x，则f（）＝（　　） A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2 7．定义在R上的偶函数f（x）＝e|x﹣m|，记a＝f（﹣ln3），b＝f（log25），c＝f（2m），则（　　） A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．a＜c＜b D．c＜b＜a 8．已知f（x）是奇函数，当x≥1时，f（x）2+sinπx，则f（﹣1）＝（　　） A．1 B．0 C．﹣2 D．﹣1 9．下列函数中图像关于原点对称，并且在（0，+∞）上严格递减的是（　　） A．y＝x B．y＝x C．y＝x D．y＝x 二．多选题（共1小题） 10．已知定义域为R的函数f（x）是奇函数，且满足f（1﹣x）（1+x），当0＜x≤1时，f（x）＝2x（　　） A．f（x）的最小正周期为2 B．﹣1＜x≤1时，f（x）＝2x C．f（x）在[11，13]上单调递增 D．f（x）＝ 三．填空题（共14小题） 11．已知函数f（x）＝ln（﹣x）+1，f（a），则f（﹣a）＝　 　 12．若定义在R上的偶函数满足f（x）＞0，f（x）f（1﹣x）＝1，则＝　 　；若实数m，n满足mn＝﹣1，设函数g（x）（x）﹣1，则g（x），n]上最少有　 　个零点． 13．设函数f（x）＝+aex（a为常数）． （1）若f（x）为偶函数，则实数a＝　 　； （2）若∀x∈R，f（x）≥1，则实数a的取值范围是 　 　． 14．设函数f（x）＝ex+ae﹣x（a为常数）．若f（x）为奇函数，则a＝　 　；若f（x）是R上的增函数，则a的取值范围是 　 　． 15．已知函数f（x）＝x3++1（x∈R），若f（a），则f（﹣a）＝　 　． 16．设f（x）＝ax5+bx3+cx+7（其中a、b、c为常数，x∈R），若f（﹣2021）＝﹣17（2021）＝　 　． 17．若函数f（x）称为“准奇函数”，则必存在常数a，b，均有f（x）+f（2a﹣x），请写出一个a＝2，b＝2的“准奇函数”（填写解析式）：　 　． 18．已知y＝f（x）是奇函数，当x≥0时，f（x），则f（﹣8）的值是　 　． 19．设函数f（x）＝ln（1+|x|）﹣，则使得f（x）（2x﹣1）成立的x的取值范围为 　 　． 20．已知函数是偶函数，则f（x）　 　． 21．写出一个最大值为10的偶函数f（x），即f（x）＝　 　． 22．已知偶函数f（x）在区间[0，+∞）上单调增加（2x﹣1）＜f（）的x取值范围是　 　． 23．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，若对于x≥0（x+2）＝﹣，且当x∈[0，f（x）＝log2（x+1），则f（﹣2017）+f（2019）＝　 　． 24．已知函数f（x）＝x3+x+1，若对任意的x，都有f（x2+a）+f（ax）＞2，则实数a的取值范围是　 　． 四．解答题（共7小题） 25．已知函数f（x）＝x2+，（x≠0，a∈R） （1）讨论f（x）的奇偶性，并说明理由； （2）已知a＝16，用定义法证明f（x）在[2 26．设函数f（x）＝ax﹣a﹣x（a＞0且a≠1）． （1）若f（1）＜0，试判断函数f（x），并求使不等式f（x2+tx）+f（4﹣x）＜0恒成立时实数t的取值范围； （2）若f（1）＝，且g（x）＝a2x+a﹣2x﹣2mf（x）在[1，+∞）上的最小值为﹣2 27．已知函数是定义在R上的奇函数，且． （1）求函数f（x）的解析式． （2）用函数单调性的定义证明f（x）在（0，1）上是增函数． （3）判断函数f（x）在区间（1，+∞）上的单调性；（只需写出结论） （4）根据前面所得的结论在所给出的平面直角坐标系上，作出f（x）在定义域R上的示意图． 28．设函数f（x）＝． （1）求f（x）的定义域； （2）判断f（x）的奇偶性； （3）求证：f（）+f（x）＝0． 29．已知函数f（x）＝x2﹣2|x﹣a|． （1）若函数y＝f（x）为偶函数，求a的值； （2）若a＝，求函数y＝f（x）的单调递增区间； （3）当a＞0时，若对任意的x∈（0，+∞），不等式f（x﹣1）（x）恒成立，求实数a的取值范围． 30．已知函数f（x）是在R上的奇函数，当x＞0时，． （Ⅰ）求f（3）+f（﹣1）； （Ⅱ）求f（x）在R上的解析式． 31．已知偶函数f（x）在区间[a，b]上是减函数（x）在区间[﹣b，﹣a]上是增函数． 参考答案与试题解析 一．选择题（共9小题） 1．已知f（x）是定义域为（﹣∞，+∞）的奇函数（1﹣x）＝f（1+x），若f（1），则f（1）+f（2）（3）+…+f（50）＝（　　） A．﹣50 B．0 C．2 D．50 【分析】根据函数奇偶性和对称性的关系求出函数的周期是4，结合函数的周期性和奇偶性进行转化求解即可． 【解答】解：∵f（x）是奇函数，且f（1﹣x）＝f（1+x）， ∴f（3﹣x）＝f（1+x）＝﹣f（x﹣1），f（0）＝8， 则f（x+2）＝﹣f（x），则f（x+4）＝﹣f（x+5）＝f（x）， 即函数f（x）是周期为4的周期函数， ∵f（1）＝2， ∴f（2）＝f（0）＝5，f（3）＝f（1﹣2）＝f（﹣4）＝﹣f（1）＝﹣2， f（4）＝f（0）＝0， 则f（1）+f（2）+f（3）+f（4）＝5+0﹣2+4＝0， 则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）＝12[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]+f（49）+f（50） ＝f（1）+f（2）＝2+2＝2， 故选：C． 2．以下哪个函数既是奇函数，又是减函数（　　） A．y＝﹣3x B．y＝x3 C．y＝log3x D．y＝3x 【分析】结合基本初等函数的单调性及奇偶性分别检验各选项即可判断． 【解答】解：y＝﹣3x在R上单调递减且为奇函数，A符合题意； 因为y＝x3在R上是增函数，B不符合题意； y＝log5x，y＝3x为非奇非偶函数，C不符合题意； 故选：A． 3．下列函数中与函数y＝ex﹣e﹣x的定义域、单调性与奇偶性均一致的是（　　） A．y＝|x﹣1| B．y＝x3 C．y＝ D．y＝log2x 【分析】利用排除法，判断各个函数的性质，排除错误，得出正确结果． 【解答】解：函数y＝ex﹣e﹣x的定义域为R，单调递增， 函数y＝|x﹣1|在R上没有单调性，不符合题意； 函数y＝（）x和y＝log2x不是奇函数，不符合题意， 所以选项A、C、D错误， 故选：B． 4．设函数f（x）是定义在R上的偶函数，且当x＞0时，f（x）x+x，则f（﹣1）等于（　　） A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．4 【分析】利用函数奇偶性的性质进行转化求解即可． 【解答】解：∵f（x）是偶函数， ∴f（﹣1）＝f（1）＝3+4＝4， 故选：D． 5．设f（x）为奇函数，且当x≥0时，f（x）x﹣1，则当x＜0时，f（x）＝（　　） A．e﹣x﹣1 B．e﹣x+1 C．﹣e﹣x﹣1 D．﹣e﹣x+1 【分析】设x＜0，则﹣x＞0，代入已知函数解析式，结合函数奇偶性可得x＜0时的f（x）． 【解答】解：设x＜0，则﹣x＞0， ∴f（﹣x）＝e﹣x﹣8， ∵设f（x）为奇函数，∴﹣f（x）＝e﹣x﹣1， 即f（x）＝﹣e﹣x+1． 故选：D． 6．已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）2x+4x，则f（）＝（　　） A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2 【分析】根据x＞0时的f（x）解析式，即可求出，再根据f（x）是奇函数，即可求出． 【解答】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，且x＞0时，； ∴． 故选：B． 7．定义在R上的偶函数f（x）＝e|x﹣m|，记a＝f（﹣ln3），b＝f（log25），c＝f（2m），则（　　） A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．a＜c＜b D．c＜b＜a 【分析】根据函数是偶函数，先求出m＝0，然后利用对数函数和指数函数的性质进行比较即可． 【解答】解：∵f（x）是偶函数，∴f（x）关于y轴对称， 则m＝0， 即f（x）＝e|x|，则当x≥0时，f（x）为增函数， ∵4＜ln3＜2，4＜log25＜5，2m＝24＝1， 则2m＜ln4＜log25， 则f（2m）＜f（ln3）＜f（log27）， 即f（2m）＜f（﹣ln3）＜f（log85）， 即c＜a＜b， 故选：B． 8．已知f（x）是奇函数，当x≥1时，f（x）2+sinπx，则f（﹣1）＝（　　） A．1 B．0 C．﹣2 D．﹣1 【分析】根据奇函数的性质进行转化求解即可． 【解答】解：∵f（x）是奇函数， ∴f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣（1+sinπ）＝﹣8． 故选：D． 9．下列函数中图像关于原点对称，并且在（0，+∞）上严格递减的是（　　） A．y＝x B．y＝x C．y＝x D．y＝x 【分析】根据题意，依次判断选项中函数的奇偶性和单调性，综合可得答案． 【解答】解：对于A，y＝＝，不符合题意； 对于B，y＝＝，+∞），不符合题意； 对于C，y＝＝，图像关于原点对称，+∞）上递增； 对于D，y＝＝，图像关于原点对称，+∞）上递减． 故选：D． 二．多选题（共1小题） 10．已知定义域为R的函数f（x）是奇函数，且满足f（1﹣x）（1+x），当0＜x≤1时，f（x）＝2x（　　） A．f（x）的最小正周期为2 B．﹣1＜x≤1时，f（x）＝2x C．f（x）在[11，13]上单调递增 D．f（x）＝ 【分析】由函数的性质，逐个选项验证正误即可得出答案． 【解答】解：根据题意，依次分析选项： 对于A，函数f（x）满足f（1﹣x）＝f（1+x），且有f（﹣x）＝f（5+x）， 又由函数f（x）是定义在R上的奇函数，则f（﹣x）＝﹣f（x），进而可得f（4+x）＝f（x），A错误； 对于B，设﹣1≤x＜2，则f（﹣x）＝2（﹣x）＝﹣2x， 又由f（x）为奇函数，则f（x）＝﹣f（﹣x）＝6x， 综合可得：﹣1＜x≤1时，f（x）＝6x； 对于C，函数f（x）的周期为4，13]时，1]，为增函数； 对于D，当2k﹣1＜x≤4k+8，有﹣1＜x﹣4k≤4， 则f（x）＝f（x﹣4k）＝2（x﹣7k）＝2x﹣8k， 当8k+1＜x≤4k+8，k∈Z时，则有﹣1＜（x﹣4k）﹣2＝x﹣4k﹣2≤6， 则f（x）＝f（x﹣4k）＝﹣f（x﹣4k﹣6）＝﹣2（x﹣4k﹣5）＝﹣2x+8k+6， 故，D正确． 故选：BCD． 三．填空题（共14小题） 11．已知函数f（x）＝ln（﹣x）+1，f（a），则f（﹣a）＝　﹣3　 【分析】由已知代入可得f（﹣x）+f（x）＝2，结合已知即可求解． 【解答】解：因为f（﹣x）+f（x）＝ln（）+ln（， ＝ln（﹣x）（， 所以f（a）+f（﹣a）＝7， ∴f（﹣a）＝2﹣5＝﹣7， 故答案为：﹣3． 12．若定义在R上的偶函数满足f（x）＞0，f（x）f（1﹣x）＝1，则＝　1　；若实数m，n满足mn＝﹣1，设函数g（x）（x）﹣1，则g（x），n]上最少有　2　个零点． 【分析】根据条件可得f（x）是以2为周期的周期函数，利用赋值法可求出f（﹣）＝f（）＝f（）＝1，从而得到x＝k+，k∈Z是g（x）的零点，而相邻零点的距离为2，从而可求出所求． 【解答】解：令x＝，则f（）＝1， 而f（x）＞0，所以f（， 又因f（x）为偶函数，则f（﹣， 令x＝，则f（）＝1）＝1； 因为f（x）f（1﹣x）＝6，所以f（﹣x）f（1+x）＝1， 即f（﹣x）＝＝f（x）＝f（x+2）， 由题意可知mn＝﹣8，m＜0，且n﹣m＝n+，当且仅当n＝2时取等号， 说明[m，n]的区间长度大于等于2， 当x＝k+，k∈Z是g（x）的零点， 故g（x）在[m，n]上最少有2个零点． 故答案为：1；6． 13．设函数f（x）＝+aex（a为常数）． （1）若f（x）为偶函数，则实数a＝　1　； （2）若∀x∈R，f（x）≥1，则实数a的取值范围是 　[，+∞）　． 【分析】由偶函数的定义即可求得a＝1；对∀x∈R，f（x）≥1恒成立，分离参数a可得a≥﹣e﹣2x+e﹣x＝﹣（e﹣x﹣）2+恒成立，从而可得实数a的取值范围． 【解答】解：（1）∵函数f（x）＝+aex为偶函数， ∴f（﹣x）＝ex+＝+aex＝f（x）， 解得a＝2． （2）对∀x∈R，f（x）≥1恒成立，即x≥7恒成立， 分离参数a得：a≥﹣e﹣2x+e﹣x＝﹣（e﹣x﹣）2+恒成立， 当e﹣x＝时，﹣（e﹣x﹣）2+取到最大值， ∴a≥，即a的取值范围是[． 故答案为：1；[，+∞）． 14．设函数f（x）＝ex+ae﹣x（a为常数）．若f（x）为奇函数，则a＝　﹣1　；若f（x）是R上的增函数，则a的取值范围是 　（﹣∞，0]　． 【分析】对于第一空：由奇函数的定义可得f（﹣x）＝﹣f（x），即e﹣x+aex＝﹣（ex+ae﹣x），变形可得分析可得a的值，即可得答案； 对于第二空：求出函数的导数，由函数的导数与单调性的关系分析可得f（x）的导数f′（x）＝ex﹣ae﹣x≥0在R上恒成立，变形可得：a≤e2x恒成立，据此分析可得答案． 【解答】解：根据题意，函数f（x）＝ex+ae﹣x， 若f（x）为奇函数，则f（﹣x）＝﹣f（x）﹣x+aex＝﹣（ex+ae﹣x），变形可得a＝﹣1， 函数f（x）＝ex+ae﹣x，导数f′（x）＝ex﹣ae﹣x 若f（x）是R上的增函数，则f（x）的导数f′（x）＝ex﹣ae﹣x≥0在R上恒成立， 变形可得：a≤e6x恒成立，分析可得a≤0，0]； 故答案为：﹣3，（﹣∞． 15．已知函数f（x）＝x3++1（x∈R），若f（a），则f（﹣a）＝　0　． 【分析】根据题意，由函数的解析式可得f（x）+f（﹣x）＝2，据此分析可得答案． 【解答】解：根据题意，函数f（x）＝x3++3（x∈R）3﹣+6， 则有f（x）+f（﹣x）＝2， 若f（a）＝2，则f（﹣a）＝4； 故答案为：0． 16．设f（x）＝ax5+bx3+cx+7（其中a、b、c为常数，x∈R），若f（﹣2021）＝﹣17（2021）＝　31　． 【分析】由已知得f（2021）＝a•20215+b•20213+c•2021+7，f（﹣2021）＝a（﹣2021）5+b（﹣2021）3+c（﹣2021）+7，由此能求出f（2021）． 【解答】解：∵f（x）＝ax5+bx3+cx+3（其中a，b，c为常数，f（﹣2021）＝﹣17， ∴f（2021）＝a•20215+b•20213+c•2021+7， f（﹣2021）＝a（﹣2021）5+b（﹣2021）3+c（﹣2021）+4， ∴f（2021）+f（﹣2021）＝14，∴f（2021）﹣17＝14， ∴f（2021）＝14+17＝31． 故答案为：31． 17．若函数f（x）称为“准奇函数”，则必存在常数a，b，均有f（x）+f（2a﹣x），请写出一个a＝2，b＝2的“准奇函数”（填写解析式）：　f（x）＝　． 【分析】由f（x）+f（2a﹣x）＝2b，可得“准奇函数”f（x）的图像关于点（a，b）对称，所有关于点（2，2）中心对称的函数均满足题意． 【解答】解：由f（x）+f（2a﹣x）＝2b，可得“准奇函数”f（x）的图像关于点（a， 若a＝7，b＝2，2）对数， 如f（x）＝的图像关于点（2． 故答案为：f（x）＝． 18．已知y＝f（x）是奇函数，当x≥0时，f（x），则f（﹣8）的值是　﹣4　． 【分析】由奇函数的定义可得f（﹣x）＝﹣f（x），由已知可得f（8），进而得到f（﹣8）． 【解答】解：y＝f（x）是奇函数，可得f（﹣x）＝﹣f（x）， 当x≥0时，f（x）＝x＝7， 则f（﹣8）＝﹣f（8）＝﹣4， 故答案为：﹣7． 19．设函数f（x）＝ln（1+|x|）﹣，则使得f（x）（2x﹣1）成立的x的取值范围为 　　． 【分析】首先确定函数的单调性和函数的奇偶性，然后脱去f符号求解自变量的取值范围即可． 【解答】解：由函数的解析式可得函数f（x）是定义域上的偶函数， 且x＞0时函数单调递增， 则不等式等价于：f（|x|）＞f（|2x﹣6|）， 脱去f符号有：|x|＞|2x﹣1|， 求解关于实数x的不等式可得使得f（x）＞f（3x﹣1）成立的x的取值范围为 ． 故答案为：． 20．已知函数是偶函数，则f（x）　　． 【分析】根据函数是偶函数，建立方程求出a的值，利用基本不等式进行求解即可． 【解答】解：∵f（x）是偶函数， ∴f（﹣x）＝f（x）， 则＝＝＝， 则3xa﹣x＝ax， 即2x＝a2x， 则a2＝3，则a＝， 则f（x）＝＝≤＝， 当且仅当（）x＝，即3x＝1，则x＝4时取等号， 即f（x）的最大值为， 故答案为：． 21．写出一个最大值为10的偶函数f（x），即f（x）＝　﹣|x|+10（答案不唯一）　． 【分析】根据函数的性质即可求得结论． 【解答】解：一个最大值为10的偶函数f（x）＝﹣|x|+10． 故答案为：﹣|x|+10（答案不唯一）． 22．已知偶函数f（x）在区间[0，+∞）上单调增加（2x﹣1）＜f（）的x取值范围是　（，）　． 【分析】本题采用画图的形式解题比较直观． 【解答】解：如图所示： ∵f（2x﹣1）＜f（） ∴﹣＜2x﹣1＜， 即＜x＜． 故答案为：（，） 23．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，若对于x≥0（x+2）＝﹣，且当x∈[0，f（x）＝log2（x+1），则f（﹣2017）+f（2019）＝　0　． 【分析】根据条件关系得到当x≥0时，函数是周期为4的周期函数，利用函数的周期性和奇偶性进行转化求解即可． 【解答】解：对于x≥0，都有f（x+2）＝﹣， ∴f（x+4）＝﹣＝﹣，即当x≥3时， ∵当x∈[0，2）时6（x+1）， ∴f（﹣2017）＝f（2017）＝f（504×4+8）＝f（1）＝log22＝2， f（2019）＝f（504×4+3）＝f（3）＝f（6+1）＝﹣＝﹣7， 则f（﹣2017）+f（2019）＝﹣1+1＝3， 故答案为：0． 24．已知函数f（x）＝x3+x+1，若对任意的x，都有f（x2+a）+f（ax）＞2，则实数a的取值范围是　0＜a＜4　． 【分析】构造函数g（x）＝f（x）﹣1＝x3+x，则函数是奇函数，在R上单调递增，f（x2+a）+f（ax）＞2，等价于g（x2+a）+g（ax）＞0，即可得出结论． 【解答】解：构造函数g（x）＝f（x）﹣1＝x3+x，则函数是奇函数， f（x2+a）+f（ax）＞2，等价于g（x2+a）+g（ax）＞8， ∴x2+a＞﹣ax， ∴x2+ax+a＞8， ∴△＝a2﹣4a＜7 ∴0＜a＜4， 故答案为5＜a＜4． 四．解答题（共7小题） 25．已知函数f（x）＝x2+，（x≠0，a∈R） （1）讨论f（x）的奇偶性，并说明理由； （2）已知a＝16，用定义法证明f（x）在[2 【分析】（1）讨论当a＝0时，当a≠0时，运用函数的奇偶性的定义，即可判断； （2）运用函数的单调性的定义证明，注意作差、变形和定符号、下结论几个步骤． 【解答】（1）解：当a＝0时，f（x）＝x2，此时f（x）为偶函数； 当a≠4时，f（﹣x）＝（﹣x）2+＝x2﹣ f（﹣x）≠f（x），且f（﹣x）≠﹣f（x）， 则f（x）不为奇函数也不是偶函数； （2）证明：由a＝16，得f（x）＝x5+． 取任意的m，n∈[2，且m＜n2﹣n5﹣ ＝（m﹣n）（m+n）+＝（m﹣n）[（m+n）﹣]， 由于2≤m＜n，则m﹣n＜0，mn＞6，则，m+n﹣， 故f（m）﹣f（n）＜0，也即f（m）＜f（n）， 所以f（x）在[2，+∞）上是单调递增的． 26．设函数f（x）＝ax﹣a﹣x（a＞0且a≠1）． （1）若f（1）＜0，试判断函数f（x），并求使不等式f（x2+tx）+f（4﹣x）＜0恒成立时实数t的取值范围； （2）若f（1）＝，且g（x）＝a2x+a﹣2x﹣2mf（x）在[1，+∞）上的最小值为﹣2 【分析】本题（1）利用条件f（1）＜0，得到0＜a＜1．f（x）在R上单调递减，从而将f（x2+tx）＜f（x﹣4）转化为x2+tx＞x﹣4，研究二次函数得到本题结论；（2）令t＝f（x）＝2x﹣2﹣x，得到二次函数h（t）＝t2﹣2mt+2在区间[，+∞）上的最小值，分类讨论研究得到m＝2，得到本题结论． 【解答】解：（1）∵f（﹣x）＝a﹣x﹣ax＝﹣f（x）， ∴f（x）是定义域为R的奇函数， ∵f（x）＝ax﹣a﹣x（a＞0且a≠1），且f（1）＜7， ∴，又∵a＞8， ∴0＜a＜1． ∵ax单调递减，a﹣x单调递增， ∴f（x）在R上单调递减． 不等式f（x5+tx）+f（4﹣x）＜0化为：f（x7+tx）＜f（x﹣4）， ∴x2+tx＞x﹣2，即x2+（t﹣1）x+5＞0恒成立， ∴△＝（t﹣1）2﹣16＜0，解得：﹣3＜t＜2． （2）∵f（1）＝，∴，即7a2﹣3a﹣7＝0． ∴a＝﹣（舍去）或a＝2， ∴a＝2， ∴g（x）＝62x+2﹣3x﹣2m（2x﹣8﹣x）＝（2x﹣2﹣x）2﹣2m（2x﹣4﹣x）+2． 令t＝f（x）＝2x﹣6﹣x， 由（1）可知t＝f（x）＝2x﹣2﹣x为增函数， ∵x≥3， ∴t≥f（1）＝， 令h（t）＝t6﹣2mt+2＝（t﹣m）5+2﹣m2（t≥）， 若m≥， 当t＝m时，h（t）min＝2﹣m2＝﹣4，∴m＝2 若m＜，当t＝时min＝﹣3m＝﹣2＞，舍去 综上可知m＝2． 27．已知函数是定义在R上的奇函数，且． （1）求函数f（x）的解析式． （2）用函数单调性的定义证明f（x）在（0，1）上是增函数． （3）判断函数f（x）在区间（1，+∞）上的单调性；（只需写出结论） （4）根据前面所得的结论在所给出的平面直角坐标系上，作出f（x）在定义域R上的示意图． 【分析】（1）根据条件建立方程关系进行求解即可． （2）利用函数单调性的定义进行证明即可 （3）结合函数单调性的性质给出结论即可 （4）结合函数的单调性作出草图即可． 【解答】解：（1）∵是定义在R上的奇函数， ∴， ∴b＝0， 又∵，解得a＝1， ∴． （2）证明：设0＜x6＜x2＜1， 则， ∵4＜x1＜x2＜4， ∴x1﹣x2＜6，1﹣x1x2＞0，， ∴f（x7）﹣f（x2）＜0，即f（x5）＜f（x2）， ∴在（0． （3）函数f（x）在区间（1，+∞）上单调递减． （4） 28．设函数f（x）＝． （1）求f（x）的定义域； （2）判断f（x）的奇偶性； （3）求证：f（）+f（x）＝0． 【分析】（1）由分式的分母不为0求得函数定义域； （2）直接利用函数奇偶性的定义判断； （3）求出f（），与f（x）作和可得f（）+f（x）＝0． 【解答】（1）解：由解析式知，函数应满足1﹣x2≠8，即x≠±1． ∴函数f（x）的定义域为{x∈R|x≠±1}； （2）解：由（1）知定义域关于原点对称， 又f（﹣x）＝＝＝f（x）． ∴f（x）为偶函数； （3）证明：∵f（）＝． ∴f（）+f（x）＝． 29．已知函数f（x）＝x2﹣2|x﹣a|． （1）若函数y＝f（x）为偶函数，求a的值； （2）若a＝，求函数y＝f（x）的单调递增区间； （3）当a＞0时，若对任意的x∈（0，+∞），不等式f（x﹣1）（x）恒成立，求实数a的取值范围． 【分析】（1）根据f（﹣x）＝f（x）恒成立，求得a的值． （2）当a＝时，f（x）＝x2﹣2|x﹣a|＝，结合它的图象得到函数的单调增区间． （3）不等式即4|x﹣a|﹣2|x﹣1﹣a|≤x2+2x﹣1 （※），分类讨论，去掉绝对值，求得它的解集． 【解答】解：（1）任取∈R，则有f（﹣x）＝f（x）恒成立2﹣2|﹣x﹣a|＝x2﹣2|x﹣a|恒成立， ∴|x+a|＝|x﹣a|恒成立，∴平方得2ax＝﹣8ax恒成立． （2）当a＝时，f（x）＝x6﹣2|x﹣a|＝， 由函数的图象可知，函数的单调递增区间为（﹣6，]，+∞）． （3）不等式f（x﹣3）≤2f（x）化为（x﹣1）6﹣2|x﹣1﹣a|≤5x2﹣4|x﹣a|， 即：6|x﹣a|﹣2|x﹣1﹣a|≤x2+2x﹣1 （※）， 对任意的x∈（3，+∞）恒成立，所以分如下情况讨论： ①0≤x≤a时，不等式（※）化为﹣4（x﹣a）+5[x﹣（1+a）]≤x2+8x﹣1恒成立， 即x2+5x+1﹣2a≥3对x∈[0，a]恒成立， ∵g（x）＝x2+7x+1﹣2a在[2，a]上单调递增， 只需g（x）的最小值g（0）＝1﹣2a≥2，∴0＜a≤． ②当a＜x≤a+1时，不等式（※）化为 4（x﹣a）+7[x﹣（1+a）]≤x2+2x﹣1恒成立， 即 x2﹣8x+1+16a≥0对x∈（a，3+a]恒成立恒成立， 由①知0＜a＜，∴h（x）＝x2﹣4x+4+16a在∈（a，1+a]上单调递减， ∴只需h（x）的最小值h（1+a）＝a6+4a﹣2≥3，∴a≤﹣2﹣﹣2， ∵﹣6＜，∴． ③当x＞a+7时，不等式（※）化为 4（x﹣a）﹣2[x﹣（6+a）]≤x2+2x﹣7恒成立， 即 x2+2a﹣5≥0 对x∈（a+1，+∞）恒成立． 由于m（x）＝x3+2a﹣3≥6，且m（x）在[a+1， ∴只需m（x）的最小值m（1+a）＝a3+4a﹣2≥4，∴a≤﹣2﹣﹣2， 由②得：﹣2≤a≤． 综上所述，a的取值范围是：． 30．已知函数f（x）是在R上的奇函数，当x＞0时，． （Ⅰ）求f（3）+f（﹣1）； （Ⅱ）求f（x）在R上的解析式． 【分析】（Ⅰ）由函数的解析式计算可得f（3）与f（1）的值，结合函数的奇偶性可得f（﹣1）＝﹣f（1），即可得答案； （Ⅱ）由函数的定义域以及奇偶性可得f（0）＝0；再设x＜0，则有﹣x＞0，结合函数的解析式与奇偶性分析可得此时f（x）的解析式，综合即可得答案． 【解答】解：（Ⅰ）根据题意，当x＞0时，＝， f（1）＝3﹣6＝2， 又由函数为奇函数，则f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣5， （Ⅱ）函数f（x）是在R上的奇函数，则有f（0）＝0， 当x＜0时，﹣x＞6， 则f（﹣x）＝3×（﹣x）2﹣＝3x2+， 又由函数为奇函数，则f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣3x2﹣， 则f（x）＝． 31．已知偶函数f（x）在区间[a，b]上是减函数（x）在区间[﹣b，﹣a]上是增函数． 【分析】设﹣b＜x1＜x2＜﹣a，则有a＜﹣x2＜﹣x1＜b，结合偶函数f（x）在区间[a，b]上是减函数，可得结论． 【解答】证明：设﹣b＜x1＜x2＜﹣a，则有a＜﹣x4＜﹣x1＜b…（2分） 因为f（x）是偶函数，所以f（﹣x）＝f（x） 从而f（﹣x2）＝f（x1），f（﹣x2）＝f（x8）…（4分） 又f（x）在区间[a，b]上是减函数 所以f（﹣x1）＜f（﹣x6） 即f（x1）＜f（x2）…（7分） 所以f（x）在[﹣b，﹣a]上是增函数 1 学科网（北京）股份有限公司 $