卷03 函数的基本性质：单调性、奇偶性、周期性、对称性-【小题小卷】冲刺2023年高考数学小题限时集训（全国通用）

卷03 函数的基本性质：单调性、奇偶性、周期性、对称性 难度：★★★★☆ 建议用时： 30分钟 正确率 ： /30 一、单选题 1．（2023·全国·深圳中学校联考模拟预测）已知函数的图象如图1所示，则图2对应的函数有可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于，当时，，所以，故选项错误； 对于，当时，，所以，故选项错误； 对于，当时，，所以，且时，，；当时，，所以，且时，，，故选项正确； 对于，当时，，则，所以，故选项错误， 故选：. 2．（2023·陕西西安·统考一模）函数在区间上的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 是偶函数，排除选项B和D 当时，，，即，排除选项C 故选：A 3．（2023·河南平顶山·校联考模拟预测）已知函数，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，， ，解得：. 故选：A. 4．（2022·全国·统考高考真题）已知函数的定义域为R，且，则（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】A 【解析】[方法一]：赋值加性质 因为，令可得，，所以，令可得，，即，所以函数为偶函数，令得，，即有，从而可知，，故，即，所以函数的一个周期为．因为，，，，，所以 一个周期内的．由于22除以6余4， 所以．故选：A． [方法二]：【最优解】构造特殊函数 由，联想到余弦函数和差化积公式 ，可设，则由方法一中知，解得，取， 所以，则 ，所以符合条件，因此的周期，，且，所以， 由于22除以6余4， 所以．故选：A． 【整体点评】法一：利用赋值法求出函数的周期，即可解出，是该题的通性通法； 法二：作为选择题，利用熟悉的函数使抽象问题具体化，简化推理过程，直接使用具体函数的性质解题，简单明了，是该题的最优解. 5．（2022·全国·统考高考真题）已知函数的定义域均为R，且．若的图像关于直线对称，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为的图像关于直线对称， 所以， 因为，所以，即， 因为，所以， 代入得，即， 所以， . 因为，所以，即，所以. 因为，所以，又因为， 联立得，， 所以的图像关于点中心对称，因为函数的定义域为R， 所以 因为，所以. 所以. 故选：D 6．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考一模）已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于函数，令，解得或， 所以函数的定义域为， 又，所以为偶函数， 当时，则在上单调递增， 令，，所以， 所以在上单调递增， 则在上单调递增，从而得到在上单调递减， 则不等式等价于，解得或， 所以不等式的解集为. 故选：C 7．（2023·黑龙江大庆·统考一模）已知函数，的定义域均为，且，，若的图象关于直线对称，，则（    ） A． B． C．0 D．2 【答案】A 【解析】因为的图象关于直线对称，所以， 所以， 因为，所以，所以为偶函数． 因为，所以， 所以，所以， 所以，所以，所以的周期为，所以． 因为，所以，故． 故选：A 8．（2023·内蒙古·模拟预测）已知是定义在上的增函数，且的图象关于点对称，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由得：， 令，则； 关于对称，， ，为定义在上的奇函数； 又为上的增函数，为增函数，在上单调递增， 则由得：， ，解得：，即的解集为. 故选：D. 9．（2023·河南郑州·统考一模）已知函数定义域为，为偶函数，为奇函数，且满足，则（    ） A． B．0 C．2 D．2023 【答案】B 【解析】因为为偶函数，所以，所以， 因为为奇函数，所以， 所以，所以， 所以是以4为周期的周期函数， 由，令，得，则， 又，得， 由，令，得，则， 由，令，得， 则， 所以. 故选：B． 10．（2023·贵州毕节·统考一模）给出下列命题： ①函数恰有两个零点； ②若函数在上单调递增，则实数a的取值范围是； ③若函数满足，则； ④若关于x的方程有解，则实数m的取值范围是. 其中正确的是（    ） A．①③ B．②④ C．③④ D．②③ 【答案】D 【解析】对于①，，故为函数的两个零点， 又当时，单调递增，单调递减， 故在上单调递增，且，， 由零点存在性定理可知：，使得， 故函数零点个数多于2个， 故①错误； 对于②，由题意得在上恒成立， 即在上恒成立， 因为在上，，故，故实数a的取值范围是，②正确； 对于③，函数满足， 令，则，解得， 则 ，③正确； 由题意得有解，其中， 故实数m的取值范围是，④错误. 故选：D 11．（2023·全国·模拟预测）已知是定义在上的函数,为奇函数,若函数与函数