精品解析：湖南省衡阳市衡阳县2026届高三考前学情调研数学试题

2026届高三学情调研（三） 数 学 （时量：120分钟 满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，则的子集的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【详解】，，所以，所以的子集的个数为4. 2. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为 ，所以． 3. 已知正数a，b满足，的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由得，于是， 当且仅当，即，时，等号成立. 4. 已知正三棱台的高为，，则该棱台的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】不妨设上、下底面中心为，，，的中点分别为，，易知为斜高， 由，得，， 作于，所以，， ， 故所求棱台的侧面积为． 5. 已知函数为奇函数，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据奇函数的性质求解即可． 【详解】由奇函数的定义域为，得，解得． 当时，0，则， 又时，，所以，所以． 6. 已知直线与轴、轴分别交于，两点，与圆交于，两点，且，则（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】利用圆心到直线的距离和半径，可得，再求出，即可求出结果. 【详解】在直线中，令，得，故，令，得，故， 所以， 圆心到直线的距离，所以， 由，得，化简得，解得. 故选：C. 7. 如图，在函数的部分图象中，若，则点的纵坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得，进一步由可得，将它们代入函数表达式结合诱导公式二倍角公式计算可得结果. 【详解】依题意则得 ， 即，所以,； 设，因为， 所以,，解得,； 因此 ,， 可得，结合图象可得，解得. 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用点的位置特征以及向量关系式，得出两点的坐标关系式，再利用诱导公式以及二倍角公式计算可得结果. 8. 已知为的任意一个排列，则满足对于任意的，都有的排列有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】D 【解析】 【分析】先由时的总和约束，推出首项，仅可能为或；当时，剩余个数任意排列均满足条件，共个；当时，分三类讨论，其中，时剩余数任意排列，分别由个，时，不能取，仅个有效排列，合计个；两类相加共个． 【详解】因为，所以时，必有，即． ①当时，任意排列均满足题意，共有（个）． ②当时，只能取或或（不满足）， 则满足题意的所有情况如下： 排列均符合题意，有（个）， 排列均符合题意，有（个）， 排列符合题意的有，，，共个（，不满足）． 综上，满足题意的排列共有（个）． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 对相同的样本数据选取不同的组距（每组为左闭右开区间）画出如图1､图2所示的频率分布直方图，其中图2的部分信息丢失，由频率分布直方图的信息对总体进行估计，则（ ） A. 图2中的频率为0.3 B. 图2众数的估计值唯一 C. 图1与图2中位数的估计值相同 D. 图1与图2平均数的估计值相同 【答案】AC 【解析】 【分析】A计算矩形面积即可；B先估计缺失部分的高度，进而结合众数的概念判断；C利用中位数的定义计算；D利用平均数的定义计算. 【详解】图2中的频率为，故A正确； 设在图2中所对应矩形的高度分别为， 在图1中的频率为，故，得， 故，则众数必在中取得， 因图2中的高度相等，故众数的估计值不唯一，故B错误； 图1中中位数的估计值为； 图2中，前个矩形面积之和为，故中位数的估计值为， 故C正确； 图1平均数的估计值为； 图2平均数的估计值为， 不确定，故D错误. 故选：AC 10. 如图，在棱长为2的正方体中，分别是线段上的动点（不含端点），且，则下列结论正确的是（ ） A. B. 三棱锥体积的最大值为 C. 若，则三棱锥外接球的表面积为 D. 存在，使得平面 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用空间向量的数量积判断A，根据三棱锥的体积公式及二次函数的最值判断B，找出外接球球心，得到球的半径即可判断C，利用面面平行可得线面平行判断D. 【详解】对A，， ， ，即，故A正确； 对B，过作于， 因为平面平面，平面平面， 所以平面，即三棱锥的高为， ， ， 当时，，故B正确； 对C，当时，，故为中点， 又为中点，所以，所以到距离都为， 即外接球的球心为，球半径为1，所以外接球表面积，故C错误； 对D，在正方体中，，平面，平面， 所以平面，同理可得平面， 又，平面，所以平面平面， 当时，是的中点，此时平面， 所以平面，故D正确. 故选：ABD 11. 已知幂函数，则（ ） A. B. 曲线关于y轴对称 C. 已知m>0，对恒成立，则 D. 方程无实根 【答案】ACD 【解析】 【分析】首先根据幂函数的定义：幂函数的系数必须为1，据此求解参数的值，确定的具体解析式；再逐一分析各选项： 针对选项A，直接验证求解得到的的取值即可判断正误； 针对选项B，先化简的表达式，再根据奇偶性的定义判断该函数是否为偶函数，即可判断其图象是否关于轴对称； 针对选项C，先分析的定义域与单调性，将 的恒成立问题转化为自变量的大小关系恒成立问题，再通过构造函数求对应最值，进而求解参数的取值范围； 针对选项D，两边取对数，构造函数 ，通过导数分析其单调性与最值，判断方程是否存在实根. 【详解】对于A，由幂函数，可知 ，所以 ，即 ，正确． 对于B，由题意知，显然不是偶函数，错误． 对于C，由题意知，，当时，由知幂函数单调递增， 由对，恒成立，可得，即恒成立， 令，则，当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以当时，，所以，又，故，正确． 对于D，由方程，得，因为，所以，即 ， 令 ，则， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以 ，故 ， 所以 ，即 无解，所以方程无解，正确．故选ACD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则曲线在处的切线方程为_________． 【答案】 【解析】 【分析】利用导数的几何意义计算即可. 【详解】由已知，，，又，所以切线方程为，即. 故答案为： 【点睛】本题考查导数的几何意义，考查学生的数学运算能力，是一道基础题. 13. 梯形中，，线段交以，为焦点且过，的双曲线于点，若，则双曲线的离心率为_____. 【答案】 【解析】 【分析】设，双曲线为，求坐标，应用定比分点求坐标，将代入双曲线方程得到齐次方程求离心率即可. 【详解】由题设，如下图示，令双曲线为， 由，则， 令，可得，故，又， 则，， 所以，由E在双曲线上，可得，整理得，且，则. 故答案为：. 14. 已知O为锐角△ABC的外心，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则的面积的取值范围为_____． 【答案】 【解析】 【分析】先根据向量等式和外心的性质，转化得出，再根据锐角三角形利用余弦定理得出和的取值范围，最后用面积公式求出面积范围. 【详解】 分别取边，，的中点，，， 因为为锐角的外心，根据中垂线易知， 同理，，， 所以， 同理，． 由题意得，即，于是． 因为为锐角三角形， 所以，所以， 同理，，即． 令，由，得，则且，解得． 又，所以． 又，所以，所以， 又，所以， 又，所以. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）若在处取得极值，求a的值； （2）若当时，恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出原函数的导函数，由，求解验证即可； （2）分类讨论的范围，根据导数求得最小值，结合题意列出不等式求解即可． 【小问1详解】 由题意得． 因为在处取得极值，所以，解得． 经验证，当时，在处取得极小值，符合题意，故． 【小问2详解】 由（1）知． ①若，则当时，，即恒成立， 所以在上单调递增，， 由，得，故． ②若，令，得或， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增． 所以， 由，可得，解得，故． 综上，实数的取值范围是． 16. 已知数列的前项和为，且． （1）求数列的通项公式； （2）设数列满足，令，是否存在正整数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在，为所有不小于的偶数 【解析】 【分析】（1）先由时求首项，再用推导通项，最后验证是否满足该式，得到。 （2）先根据的分段定义，将分为为偶数、奇数两类，分别写出表达式；再通过相邻项比值判断单调性，计算关键项的数值，得出仅当为偶数且时，． 【小问1详解】 当时，， 当时， ， 因为也满足，所以． 【小问2详解】 ①当时，， 所以， 所以当时，为递增数列， 又当时，， 当时，， 当时，， 故存在正整数，使得． ②当时，， 所以， 因为，所以， 所以当时，为递减数列，所以， 故不存在正整数，使得． 综上，存在满足条件的正整数，其取值为所有不小于的偶数． 17. 如图，圆台的下底面圆的半径为，为圆的内接正方形．为上底面圆上两点，为的中点，且平面平面，． （1）求证：； （2）若，求与平面所成角正弦值的最大值． 【答案】（1）证明见解析 （2）． 【解析】 【分析】（1）利用正方形的性质证明，再借助已知线线垂直可证明线面垂直，再利用面面垂直可证明线面垂直，从而可得线线垂直，即证中点； （2）利用空间向量法来研究线面角的正弦值，然后借助函数的单调性求出最大值. 【小问1详解】 证明：取的中点G，连交AF于H. 在正方形中，由于F为的中点， 可得，则， 因为，所以， 得到，即 因为平面， 所以平面，又平面，故 由于平面平面，平面平面， ，故平面，又平面，则. 因为，平面， 所以平面，又因为平面， 则，又点G是的中点，故. 【小问2详解】 由于圆O的半径为，则正方形的边长为2， 又，则. 以O为坐标原点，过点O作平行的直线分别为x轴，y轴， 所在的直线为z轴建立如图空间直角坐标系. 则， 易求上底面圆的半径为1，故. 故，，. 设平面的法向量为，由， 得 取，，故， 设与平面所成角为，则，， 令得，， 所以在上单调递增， 故. 所以与平面所成角正弦值的最大值为． 18. 某款AI(人工智能)机器人进行射门游戏，射中得1分，未射中得分，当累计得分X达到2分或分时游戏结束，否则游戏将一直进行下去，当时获胜，当时落败．已知该款AI机器人射门的命中率为a()，每次射门相互独立． （1）求机器人恰好射门4次后获胜的概率； （2）表示“机器人射门n次，游戏仍未结束”． ①若，求和 ； ②若，求游戏结束时X的数学期望 【答案】（1） （2）①， ；② 【解析】 【分析】（1）根据独立事件的乘法公式即可得到答案； （2）①利用条件概率公式即可得到答案；②分第2次游戏结束和第2次游戏未结束两种情况讨论即可. 【小问1详解】 若机器人恰好射门4次获胜，则前两次仅射中一次，后两次都射中， 故． 【小问2详解】 ①由题意得，， 所以. 若第次游戏未结束，则累计得分必为0（偶数次射门的累计得分只能是偶数，且不能为）， 可得，，， 所以． ②由题意知，，， 所以，解得（舍去）． 由题意知，的所有可能取值为2，，所以当游戏结束时，， 又考虑前两次射门，若两次都射中或都未射中，则游戏结束， 若1次命中，1次未命中，相当于重新开始， 所以，解得， 所以．所以． 19. 已知椭圆的左，右焦点分别为，点是椭圆上一点，过原点的直线与抛物线：相交于两点，点是椭圆的下顶点，直线，分别与相交于，两点． （1）求椭圆的方程； （2）证明：； （3）记和的面积分别是、，求的最小值． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的定义，焦点坐标公式，结合之间的关系进行求解即可； （2）设出直线方程与椭圆方程联立，根据一元二次方程根与系数关系、直线斜率公式、互相垂直两条直线的斜率关系进行求解即可； （3）设出直线方程与椭圆方程联立，根据一元二次方程根与系数关系、三角形面积公式、基本不等式进行求解即可. 【小问1详解】 因为椭圆的左、右焦点分别为，， 所以． 因为点是椭圆上一点， 则 ， 所以． 又，所以， 所以椭圆的方程为； 【小问2详解】 直线的斜率显然存在，设直线的方程为． 由，整理得． 设，，则，，． 由（1）知， 所以，的斜率分别为，， 故，所以； 【小问3详解】 设直线的方程为，显然， 由得，解得或， 所以，则． 由（2）知，则直线的方程为， 同理，． 由得， 解得或， 所以，则， 同理，． 由（2）知，则， 则 ， 当且仅当时等号成立，即的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高三学情调研（三） 数 学 （时量：120分钟 满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，则的子集的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知正数a，b满足，的最大值为（ ） A. B. C. D. 4. 已知正三棱台的高为，，则该棱台的侧面积为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数为奇函数，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 已知直线与轴、轴分别交于，两点，与圆交于，两点，且，则（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 7. 如图，在函数的部分图象中，若，则点的纵坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 已知为的任意一个排列，则满足对于任意的，都有的排列有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 对相同的样本数据选取不同的组距（每组为左闭右开区间）画出如图1､图2所示的频率分布直方图，其中图2的部分信息丢失，由频率分布直方图的信息对总体进行估计，则（ ） A. 图2中的频率为0.3 B. 图2众数的估计值唯一 C. 图1与图2中位数的估计值相同 D. 图1与图2平均数的估计值相同 10. 如图，在棱长为2的正方体中，分别是线段上的动点（不含端点），且，则下列结论正确的是（ ） A. B. 三棱锥体积的最大值为 C. 若，则三棱锥外接球的表面积为 D. 存在，使得平面 11. 已知幂函数，则（ ） A. B. 曲线关于y轴对称 C. 已知m>0，对 恒成立，则 D. 方程无实根 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则曲线在处的切线方程为_________． 13. 梯形中，，线段交以，为焦点且过，的双曲线于点，若，则双曲线的离心率为_____. 14. 已知O为锐角△ABC的外心，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则的面积的取值范围为_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数 ． （1）若在处取得极值，求a的值； （2）若当时，恒成立，求实数a的取值范围． 16. 已知数列的前项和为，且． （1）求数列的通项公式； （2）设数列满足，令，是否存在正整数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 17. 如图，圆台的下底面圆的半径为，为圆的内接正方形．为上底面圆上两点，为的中点，且平面平面，． （1）求证：； （2）若，求与平面所成角正弦值的最大值． 18. 某款AI(人工智能)机器人进行射门游戏，射中得1分，未射中得分，当累计得分X达到2分或分时游戏结束，否则游戏将一直进行下去，当时获胜，当时落败．已知该款AI机器人射门的命中率为a()，每次射门相互独立． （1）求机器人恰好射门4次后获胜的概率； （2）表示“机器人射门n次，游戏仍未结束”． ①若，求和 ； ②若 ，求游戏结束时X的数学期望 19. 已知椭圆的左，右焦点分别为，点是椭圆上一点，过原点的直线与抛物线：相交于两点，点是椭圆的下顶点，直线，分别与相交于，两点． （1）求椭圆的方程； （2）证明：； （3）记和的面积分别是、，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $