5月下旬之圆—浙江省2026年中考数学模拟精选新题速递

**基本信息** 聚焦圆的性质与综合应用，通过分层题型系统训练几何直观与逻辑推理能力，提炼辅助线构造、角度转化等可迁移方法 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |选择填空|10题|正多边形性质转化、切线性质应用、折叠对称思想|从圆的基本概念到与三角形、四边形综合，构建"性质-计算-证明"逻辑链| |解答题|12题|直径圆周角模型、相似全等转化、动态问题参数化|以圆为载体，融合函数与几何，形成"单一性质应用-多知识点综合-开放探究"递进训练|

5月下旬之圆—浙江省数学2026年中考模拟精选新题速递 一、选择题 1．如图，正六边形内接于，点P是上一点（不与点，重合），连接，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 2． 如图，AB切⊙O于点B，OA交⊙O于点C，BD∥OA交⊙O 于点D，连接CD，设∠OCD=x，则∠A的度数为 (　　) A．x B．90°-2x C． D．45°-x 3．如图，在△ABC中， AB=AC， ∠BAC=45°，以AC为直径作半圆，交BC于点 D，交AB于点 E，连结AD， CE相交于点 F.已知 CD=3，则AF的长为(　　) A． B． C．6 D．8 二、填空题 4．图1是小区围墙上的花窗，其形状是扇形的一部分，图2是其几何示意图（阴影部分为花窗).扇形AOB 的圆心角为90°，OA=4m，点C，D分别为OA，OB 的中点，则花窗的面积为　 　m2.（结果保留π) 5．如图，点O在等腰三角形ABC边BC上，以点O为圆心，OC为半径画半圆，与边AB相切，已知.AB=AC， BC=10， cos∠ACB= 则⊙O的半径为　 　. 6．如图，四边形ABCD 内接于⊙O， AD 是直径， ∠C=110°， OA=6，则扇形 BOD 的面积为　 　(结果保留π)． 7．如图， △ABC是⊙O的内接三角形， CD平分∠ACB，若∠ACB=60°，则 　 　. 8．如图，等腰△ABC内接于⊙O， AB=AC，点D是的中点，连结AD，BD.若 则⊙O的半径长为　 　. 9．如图，在矩形ABCD中， E为AD中点，以AE为半径，在矩形外作半圆，连接BE，并延长交半圆于点 F，连接AF，CF， DF，则tan∠DCF=　 　. 10．如图，将圆O沿着它的一条弦AB 折叠，折叠后的劣弧AB经过圆心O且和弦AC交于点D，若圆O的半径为2，AD：CD=1：2，则AC=　 　. 三、解答题 11．如图， AB是⊙O的直径，弦CD⊥OB于点 E，延长AB至点F，使得EF=AE，过点A 作⊙O的切线，交 FC 延长线于点 H，连结AD. （1）求证：四边形ADCH 是平行四边形. （2）若⊙O半径为5， AH=8，求BF的长. 12．如图，四边形ABCD 内接于以对角线 BD为直径的圆， AC=BC， 过点C与AD平行的直线交 BD于点E，交AB于点 F. （1）求证： BE=DE. （2）若AB=6， BC=5，求△ACD的面积. 13．如图，AB为⊙O的直径，C是圆上一点，D是的中点，弦DE⊥AB于点F，延长BA至点Q，连结CQ，若CQ恰与⊙O相切. （1）求证：△ACQ∽△CBQ； （2）若点P是上的一点，连结BP，CP， ①若AC=6，BF=2，求tan∠CPB的值； ②当时，若，用含有k的代数式表示. 14．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作半圆，交AC于点E，BC于点F，分别过点A，B作AG⊥EF于点 G，BH⊥EF与点H. （1）已知∠C=65°，求弧AE的度数. （2）求证：∠BAC=2∠GAE. （3）已知AG=3，GE=2，求BH的长. 15．如图1，点A是⊙O上的一个定点，点B，C是⊙O上的动点，且AB=AC，∠A为锐角，过点B作AC的垂线分别交 于点 D， E，点F在边 AB上， FE=FB，FE交AC于点 G． （1）求证： ∠BFE=2∠BAC． （2）连结OF，如图2，求证： AF=OF． （3）已知⊙O半径为5，求AC·CG的值． 16． 如图1， △ABC内接于⊙O，作直径AD交边BC于点 G， OB平分∠ABC，连结CD， BD． （1）若∠DAC=50°，求∠BAD 的度数． （2）如图2，作CE⊥AB于点E，交AO于点 F， ①求证： ∠DCF=∠DFC． ②若OF=OG+1，且FG≥2，求的最小值． 17．如图①，已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB、DC的延长线交于点E，AD、BC的延长线交于点F，连结EF，已知BE=BF. （1）若∠EBF=100°，求∠EDF的度数； （2）求证：CE=AF； （3）如图②，若AD是直径，CB=kAB，求的值（用含k的代数式表示）. 18．已知圆O的内接四边形ABCD，对角线 AC，BD 相交于点E. （1）如图1，AC平分 求证： （2）如图2，AC平分 AB为圆O的直径，若AD=3，AB=5，求 BC的值. （3）如图3，点 F 在对角线BD 上，连结AF， 若 与的长度之和为 ，请用含 的代数式表示线段AC的长. 19．已知点C是以AB为直径的圆上一点，连结AC，在AB上截取AD＝AC，连结CD并延长交圆于点E，连结AE，设AC＝kAB． （1）如图1，若∠EAB＝25°时，求∠BAC度数； （2）如图2，过点A作AF⊥CD，证明：2k； （3）如图3，若k＜1，连结EB并延长，交AC的延长线于点F，设△BCF的面积为S1，设△AEF面积为S2，用含k的代数式表示S1：S2． 20．如图1，已知△ABC内接于⊙O，直径AD⊥BC，垂足为E.点F为上一动点，连接BF分别交AD， AC于点H， K，过点F作FG∥AB交AC于点G. （1）求证： ∠BAE=∠CAE； （2）如图2，连接 FC，若BF 为⊙O的直径， ①求证： GF=GC； ②若AG=2GC， BC=6，求AC的长； （3）如图3，若AB=5， BC=6，直接写出FG的最大值. 21． 如图，四边形ABCD 内接于圆O，AB为直径，CD=CB， AC交 BD于点 G， 垂足为E， CE交 BD于点 F. （1）如图1，证明： FC=FB. （2）如图2，连结OF，若∠CAD=20°，求∠OFE 的度数. （3）如图3，连结OG，若OG=4， BO=BG，求四边形OEFG的面积. 22．已知内接于，作外角的角平分线交于点A，连接，． （1）如图1，求证：为等腰三角形． （2）如图2，若过圆心O，、交于点，，求． （3）如图3，作直径交于点G，若，且，求． 答案解析部分 1．【答案】B 【解析】【解答】解：连接，在上任意取一点Q，连接，，如图： ∵多边形是正六边形， ∴， ∴， ∵四边形为圆内接四边形， ∴， ∴． 故选：B． 【分析】 利用正六边形的性质求出圆心角的度数，进而求出弧CD所对的圆周角，最后利用圆内接四边形对角互补的性质求出度数即可. 2．【答案】B 【解析】【解答】解：∴AB⊥OB， ∴∠ABO=90°， ∵BD∥OA交⊙O于点D， ∠OCD=x， ∴∠CDB=∠OCD=x， ∵OA交⊙O于点C，且∠COB=2∠CDB=2x， ∴∠A=90°-∠COB=90°-2x， 故选： B. 【分析】由AB切⊙O于点B，证明∠ABO=90°，由BD∥OA交⊙O于点D，得∠CDB=∠OCD=x，因为OA交⊙O于点C，且∠COB=2∠CDB=2x，所以∠A=90°-2x，于是得到问题的答案. 3．【答案】C 【解析】【解答】解：∵是半圆的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：6. 【分析】由圆周角定理的推论得到，然后根据三线合一可得，即可得到是等腰直角三角形，即可得到，根据直角三角形的两锐角互余得到，利用ASA得到，根据对应边相等解答即可． 4．【答案】(4π-2) 【解析】【解答】解：已知扇形AOB的圆心角∠AOB=90∘，半径OA=4m， 根据扇形面积公式（其中n为圆心角度数，r为半径），计算大扇形AOB的面积： 因为点C、D分别为OA、OB的中点， 所以，又∠COD=90∘， 因此直角三角形COD的面积为： 阴影部分（花窗）的面积为大扇形AOB的面积减去直角三角形COD的面积，即：S阴影​=S扇形AOB​−S△COD​=4π−2. 因此，花窗的面积为(4π−2)平方米。 故答案为：(4π−2). 【分析】花窗（阴影部分）的面积等于大扇形AOB的面积减去下方空白的直角三角形COD的面积，先分别计算大扇形和直角三角形的面积，再作差得到结果。 5．【答案】 【解析】【解答】解：设AB与⊙O相切于D， 连接OD， 即 解得： 故答案为： 【分析】连接OD，根据切线的性质得到根据等腰三角形的性质得到 解直角三角形得到答案. 6．【答案】14π 【解析】【解答】解：∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， 扇形的面积． 故答案为：14π. 【分析】根据圆内接四边形的性质求出的度数，然后根据圆周角定理求出，再根据扇形的面积公式计算即可． 7．【答案】 【解析】【解答】解：过点D作于点E，延长，过点D作于点F，如图所示： ∵平分， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【分析】过点D作于点E，延长，过点D作于点F，根据HL得到，即可得到得出，然后根据AAS得到，即可得到，根余弦的定义得出，即可得到，据此解答即可． 8．【答案】 【解析】【解答】解：如图，连接AO并延长，交BC于E，连接OD交AB于F， ∵点D是 的中点， 即 设OF=x，则OA=OD=3x， 由勾股定理得： 解得： ∴⊙O的半径长为 故答案为： 【分析】连接AO并延长，交BC于E，连接OD交AB于F，根据垂径定理得到 得到 根据勾股定理列出方程，解方程得到答案. 9．【答案】 【解析】【解答】解：过点F作. 交BC于点N，交AD于点M，如图所示： ∴设AB=2a，则AD=3a， ∵点E为AD中点， 依题意得：EF=EA=1.5a， ∵四边形ABCD是矩形， AD=3a， ∴△ABE是直角三角形， 在Rt△ABE中， 由勾股定理得： BE= ∵FN∥AB ∴△FME-△BAE， ∴FM= 1.2a， EM = 0.9a， ∴AM=AE+EM=1.5a+0.9a=2.4a， ∵FN∥AB， AD∥BC， ∴四边形ABNM是平行四边形， 又∴∠BAD=90°， ∴平行四边形ABNM是矩形， ∴BN=AM=2.4a， MN=AB=2a，∠FNB=90°， ∴CN=BC﹣BN=3a﹣2.4a=0.6a， FN=FM+MN=1.2a+2a=3.2a， 是直角三角形， 在 中， 故答案为： 【分析】过点F作FN//AB交BC于点N，交AD于点M，设AB=2a，则AD =3a依题意得EF=EA=1.5a，AD//BC，AB//CD， BC= AD = 3a，在Rt△ABE中， 由勾股定理得BE =2.5a， 证明△FME和△BAE相似，由相似三角形性质得证明四边形ABNM是矩形得BN=AM=2.4a，MN=AB=2a， ∠FNB=90°， 进而得CN=BC﹣BN=0.6a， FN=FM+MN=3.2a，证明△FNC是直角三角形，然后在Rt△FNC中，由正切函数的定义得 再证明∠DCF=∠CFN，继而可得tan∠DCF的值. 10．【答案】 【解析】【解答】解： ∴设AD=2k(k>0)，则CD=4k，AC=6k， 设折叠前圆心O的对应点为O'，连接O'O、O'A、O'C、O'D、OA，过点O'作 的垂线段O'M，如图： 则OO'=OA=2 ， ， 由已知折叠知：点(O'是折叠后AB所对应的圆的圆心， ， ， 是等边三角形，CM=AC-AM=5k， ， ， 在 中，由勾股定理，得 即 故答案为：. 【分析】设AD=2k(k>0)， 由已知可知：CD=4k、AC=6k，设折叠前圆心O的对应点为O'， 连接O'O、O'A、O'C、O'D、OA，过点O'作 的垂线段O'M， 由已知折叠知：点O'是折叠后AB所对应的圆的圆心，从而得到O'A=O' 是等边三角形、∠ 根据垂径定理得 D=k，根据“圆周角定理可得根据直角三角形中的边角关系得 在 中，由勾股定理求出 即可得出结论. 11．【答案】（1）证明：∵AH是切线， ∴∠OAH=90°. ∵CD⊥OB， ∴CE=DE，∠CEB=90°， ∴AH∥CD. ∵AE=EF，∠AED=∠CEF，CE=DE， ∴△ADE≌△FCE (SAS)， ∴∠DAE=∠F， ∴CH∥AD， ∴四边形ADCH 是平行四边形. （2）解：连结OC， ∵四边形ADCH是平行四边形， ∴CD=AH=8， ∴CE=DE=4. 在Rt△OCE中， ∴AF=2AE=2(AO+OE)=16. ∵AB=2r=10， ∴BF=AF-AB=6. 【解析】【分析】（1）根据切线的性质得到∠OAH=90°，然后根据CD⊥OB，得到AH∥CD，然后根据SAS得到△ADE≌△FCE，即可得到∠DAE=∠F，进而可得CH∥AD，证明结论即可； （2）连结OC，根据平行四边形的性质得到CD=AH=8，根据垂径定理得到CE=DE=4，然后根据勾股定理求出OE长，即可求出AF长，然后根据线段的和差解答即可. 12．【答案】（1）证明：∵ BD为该圆的直径， ∴∠BAD=90°. ∵CF∥AD， ∴∠BFE=∠BAD=90°，即CF⊥AB. ∵AC = BC， ∴BF=AF. 又∵CF∥AD， ∴BE = DE； （2）解： ∵ AB=6， 在Rt△BCF中， ∵ BE = DE且BD为圆的直径， ∴点E为该圆的圆心. 令该圆的半径为r，则EC= BE =r， 在 中， 解得 连接DF， 【解析】【分析】(1)根据题意，得出. 再结合.AC=BC及 得出点F为AB中点，据此得出点E为BD中点即可； (2)根据题意，求出该圆的半径，据此得出AD的长，连接DF，将的面积转化为的面积即可解决问题. 13．【答案】（1）证明：如图，连结OC， ∵CQ是⊙O的切线， ∴∠ACQ+∠ACO=∠QCO=90°． ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB=∠BCO+∠ACO=90°， ∵OC=OB， ∴∠ABC=∠BCO=∠ACQ， 又∵∠Q=∠Q， ∴△ACQ∽△CBQ， （2）解：①， ② 14．【答案】（1）解：连结， ∵，， ∴， ∴， ∴的度数为100°， ∴的度数为180°-100°=80°． （2）证明：连接、， ∵为的直径， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴． （3）解：过点O作于点M，则， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，， ， ∴， 在中，， ∴，解得，， ∴中，． 【解析】【分析】（）连结，根据等边对等角和三角形的内角和定理求出∠CAB=50°，求出的度数为100°即可解答； （）连接、，根据直径所对的圆周角是直角得到，根据等角的余角相等和同弧或等弧所对的圆周角相等得到，再结合等腰三角形的性质可得即可得，证明结论即可； （）过点O作于点M，根据两边成比例且夹角相等得到，根据对应边成比例得到，设，，再在中根据勾股定理求出m的值解答即可． 15．【答案】（1）证明：因为AC⊥EB， 所以∠A=90°-∠ABE． 因为BF=EF， 所以∠ABE=∠E， 所以∠BFE=180°-2∠ABE， 所以∠BFE=2∠A． （2）证明：连结AO， BO， CO， EO． 因为AB=AC， BO=CO， 所以AO垂直平分 BC， 所以∠CAO=∠BAO． 因为FE=FB， OB=OE， 所以OF垂直平分 BE， 因为AC⊥BE 所以OF∥AC. 所以∠AOF=∠CAO=∠BAO， 所以AF=OF. （3）解：连结AE， AO， OF， BO． 因为∠BFE=2∠BAC， 所以∠AGF=∠BAC， 所以AF=FG． 因为AB=AC， AC⊥EB， 所以∠CBE=90°-∠C 所以∠GAE=∠CBE=∠AEG，所以AG=EG． 因为FB=FE， AB=AC，所以CG=AC-AG=AC-(AB-AF-FG)=2AF． 因为AF=OF， OA=OB， 所以∠ABO=∠BAO=∠AOF， 所以△AOF∽△ABO， 所以AC·CG=2AB·AF=2OA2=50． 【解析】【分析】(1)根据直角三角形的两锐角互余得到∠A=90°-∠ABE， 再根据等角对等边和三角形的额内角和定理得到∠BFE=180°-2∠ABE，即可得到结论； (2)连接AO， BO， CO， EO，先得到AO垂直平分 BC，OF垂直平分 BE，即可得到OF∥AC，进而可得∠AOF=∠CAO=∠BAO，再根据等角对等边证明即可； (3)连接AE， AO， OF， BO，根据等角对等边得到AF=FG，AG=EG，进而得到CG=2AF，然后根据两角对应相等得到△AOF-△ABO，根据对应边成比例解答即可. 16．【答案】（1）解：因为AD为直径， 所以∠ABD=90°， 因为∠DBC=∠DAC=50°， 所以∠ABC=90°-∠DBC=40°， 因为BO平分∠ABC， 所以∠ABO=∠OBC=20°， 因为OB=OA， 所以∠BAD=∠ABO=20°； （2）解：①证明：设∠ABO=α，则∠EBC=2α， 因为OB=OA，所以∠BAO=∠ABO=α， 因为CE⊥AB， 所以∠AFE=90-α=∠DFC， ∠BCE=90-2α， 因为∠BCD=∠BAD=α， 所以∠DCF=∠BCD+∠BCE=α+90-2α=90-α， 即∠DFC=∠DCF； ② 由①得， DF=CD， 因为∠BAD=∠ABO=∠OBC， 又因为∠BAD=∠BCD， 所以∠OBC=∠BCD， 所以OB∥CD， 所以△BOG∽△CDG， 所以 ， 设OG为x， DG为y，则OF=x+1， DC=DF=y+2x+1， BO=DO=x+y， 所以 化简得 ， 因为FG=2x+1≥2， 所以 ， 所以 . 【解析】【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角得到，即可得到，根据角平分线的定义求出，再根据等边对等角解答即可； （2）①设，根据角平分线的定义得到，根据直角三角形的两锐角互余得到解答即可； ②根据两角相等得到，再根据对应边成比例得到，设，，代入比例式整理得，然后根据FG=2x+1≥2求得，进而根据二次函数的增减性求出最小值解答即可． 17．【答案】（1）解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠ABC+∠ADE=180°， ∵∠ABC+∠EBF=180°， ∴∠ADE=∠EBF=100°， ∴∠EDF=180°-∠ADE=80°. （2）证明：在EB上取一点G，使EG=FC，连接FG，如图， ∵BE=BF， ∴∠GEF=∠CFE. 在△EGF和△FCE中， ∴△EGF≌△FCE(SAS)， ∴FG=EC， ∠EGF=∠FCE， ∵∠FCE=∠BCD， ∴∠BCD=∠EGF. ∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠DAB+∠BCD=180°， ∴∠EGF+∠DAB=180°， ∵∠EGF+∠AGF=180°， ∴∠AGF=∠DAB， ∴FG=FA， ∴CE=AF； （3）解：在EB上取一点G，使EG=FC，连接FG，过 点F作FH⊥AE于点H，连接BD，如图， 由(2)知： FG=FA， ∵FH⊥AE， ∴AH=GH. ∵EG=FC， BE=BF， ∴BG=BC=kAB， ∴AG=AB+BG=(1+k)AB， ∵AD是直径， 【解析】【分析】(1)利用圆的内接四边形的性质和邻补角的意义解答即可； (2)在EB上取一点G，使EG=FC， 连接FG，利用等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质得到FG 再利用邻补角的意义，等腰三角形的判定定理解答即可； (3)在EB上取一点G，使EG=FC，连接FG，过点F作 于点H，连接BD，利用等式的性质得到BG=BC=kAB，则AG=AB+BG=(1+k)AB，利用等腰三角形的性质，等式的性质得到BH=AH-AB= 再利用圆周角定理，平行线的判定DL和平行线分线段成比例定理解答即可. 18．【答案】（1）证明：因为AC平分∠BAD， 所以∠CAD=∠BAC=∠BDC. 又因为∠DCE=∠ACD， 所以△ADC∽△DEC. （2）解：如图，延长BC，AD相交于点 F. 因为AB是直径， 所以∠ADB=∠ACB=90°. 因为AC平分∠BAD， 所以∠F=∠ABF， 所以AB=AF=5， 所以DF=2. 在直角三角形ADB中，根据勾股定理可得DB=4. 在直角三角形BDF中，FB=2 （3）解：设圆O的半径为r. 因为∠BAF=∠CAD=∠CBD， 所以∠BAF+∠ABD=∠CBD+∠ABD，即∠AFE=∠ABC. 因为 tan∠AFE=k1， 所以 因为AC⊥BD. 所以∠ABD+∠BAC=90°， 所以AD与BCE的长度之和等于πr，所以r=k2. 过圆心O作AC 的垂线OG，连结 OA， 所以 sin∠ABC= 所以 【解析】【分析】(1) 利用圆周角定理(同弧所对圆周角相等)和角平分线性质，找到两组对应角相等，用 “AA” 判定相似； (2) 由直径得直角，结合角平分线证等腰，用勾股定理求BD，再用相似或面积法求BC； (3) 由弧长和得圆心角和，结合垂直、等角条件，用三角函数设参数，结合弧长公式与相似，用k1​，k2​表示AC。 19．【答案】（1）解：如图1， 连接BE，作AF⊥CD于F， ∴∠AFC＝90°， ∵AD＝AC， ∴∠BAC＝2∠CAF＝2∠DAF， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠AEB＝90°， ∵， ∴∠C＝∠B， ∴∠CAF＝∠EAB＝25°， ∴∠BAC＝50°； （2）证明：如图2， 连接BE， ∵∠AEB＝∠AFC＝90°，∠B＝∠C， ∴△AEB∽△AFC， ∴，∠BAE＝∠CAF， ∵AD＝AC，AF⊥CD， ∴∠C＝∠ADC，CFCD，∠CAD＝2∠CAF＝2∠BAE， ∵∠BDE＝∠ADC， ∴∠B＝∠BDE， ∴BE＝BD， ∴， ∴； （3）解：如图3， 作AB的垂直平分线，交AE于H， ∴AH＝BH， ∴∠BAE＝∠ABH， ∴∠BHE＝∠BAE+∠ABH＝2∠BAE， 由（2）知：∠BAC＝2∠BAE， ∴∠BHE＝∠BAC， ∴cos∠BHE＝cos∠BAC， ∴， 不妨设AH＝BH＝1，EH＝k，BE， ∴AB， ∴， 在Rt△ABC中， ， ∴， ∵AB是直径， ∴∠CFB＝∠ACB＝∠AEB＝90°， ∵∠F＝∠F， ∴△FCB∽△FEA， ∴2﹣2k， ∴． 【解析】【分析】（1）通过连接BE构造直径所对的直角，作AF⊥CD利用等腰三角形三线合一得到角平分线，再结合同弧所对圆周角相等，证明∠CAF=∠EAB=25°； （2）连接BE后，证明△AEB∽△AFC，得到对应边成比例。再利用AD=AC和AF⊥CD的条件，推导出CD与ED的比例关系，最终证明即可； （3）作AB的垂直平分线构造等腰三角形，利用第二问的角关系证明∠BHE=∠BAC。通过设参数建立线段比例，再证明△FCB∽△FEA，将面积比转化为相似比的平方； 20．【答案】（1）证明： ∵AD 是⊙O的直径，AD⊥BC， ， ∴∠BAE=∠CAE； （2）解：①设∠BAE=∠CAE=α，则∠BAC=2α， ∵OA=OB， ∴∠BAE=∠ABO=α， ∴∠ACF=∠ABO=α， ∵FG∥AB， ∴∠AGF=∠BAC=2α， ∴∠GFC=∠AGF-∠ACF=α， ∴∠GFC=∠ACF， ∴ FG=GC； ②连接AF， ∵BF是⊙O 的直径， ∴∠BAF=90°， ∵ FG∥AB ， ∴∠AFG=90°， ∵AG=2GC，GF=GC， ， ∴∠FAG=30°， ∴∠BAC=60°， ∴△ABC 为等边三角形， ∴AC=BC=6； （3）解： 【解析】【解答】解：（3）由(1)可知AE垂直平分BC， 连接OB，设(OB=OA=r，则OE=4-r， 在 中， 即 如图，过B作 于点M，过F作 于点N， ∵FG∥AB， 即当FN有最大值时，则FG有最大值， 当F位于 中点时，FN有最大值， 连接OF，此时O、N、F三点共线，且( 此时 故FG的最大值为 故答案为： 【分析】(1)由垂径定理易得 再根据圆周角定理即可得解； (2)①设 证 即可得证； ②先证 易得 则 即可得解； (3)易得AE=4，半径为 过B作B 于点M， 过F作. 于点N，等面积可得. 由 则 可得 当F位于 中点时，FN有最大值，此时FG也有最大值，据此求解即可. 21．【答案】（1）证明：因为AB为直径，所以∠ACB=90°， ∠CAB+∠CBA=90°. 又因为CE⊥AB， 所以∠BCE+∠CBA=90°， 所以∠CAB=∠BCE. 因为CD=CB， 所以∠CBD=∠CDB=∠CAB. 所以∠CBD=∠BCE， 所以FC=FB. （2）解：由(1)已知∠FBC=∠FCB， ∠ACB=90°， CF=BF， 所以∠FBC+∠CGB=∠FCB+∠FCG=90°， 所以∠FCG=∠CGB. 所以FC=FG， 所以FG=FB. 因为O是AB的中点， 所以OF∥AG. 因为∠CAD=20°， CD=CB， 所以， 所以∠CAB=∠CAD=20°. 因为CE⊥OB， 所以∠ACE=90°-∠CAB=70°， 所以∠OFE=∠ACE=70°. （3）解：连结OF，过O作OH⊥AC，垂足为H，所以AH=HC， 因为OA=BG， ∠AHO=∠ACB=90°， ∠CAB=∠CBG， 所以△AOH≌△BGC， 所以 所以OH=HG，设OH=a， 所以 所以 所以 因为∠BCE=∠CAB， 所以 所以 因为AO=BO， 所以 所以 因为 F为BG的中点， 所以 所以 所以 【解析】【分析】 （1）根据直径对应的圆周角直角和可以得到∠CAB=∠BCE，即可得到 ∠CAB=∠BCE ，进而得到∠CBD=∠BCE，根据等角对等边证明即可． （2）根据等角对等边得到，即可得到FG=FB，证明是中位线，即可得到，再根据等弧所对的圆周角相等得到 ，然后根据直角三角形的两个锐角互余解答即可． （3）连结，过O作，垂足为H，根据AAS得到，即可得到CG=OH，勾股定理求出a2=8，即可得到△AOG的面积根据正切的定义得到进而可得即可得到，进而根据解答即可. 22．【答案】（1）证明：∵平分， ∴， 由题意可得四边形内接于， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等腰三角形． （2）解：如图，连接， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）解：如图，连接，在上取点，使得， ∵， ∵， ∴， ∴， 设，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∵， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得，（舍去）， ∴， ∵为直径，由（2）可知， ∴，， ∴， ∵， ∴． 【解析】【分析】（1）利用圆内接四边形的外角等于内对角及角平分线定义证明，即可得出结论； （2）利用直径所对的圆周角是直角，可得=90°，结合（1）中的AB=AC，利用等腰三角形三线合一的性质，可知OABC，由次可证AODB，进而利用相似三角形的性质可求出半径，最后利用勾股定理求出BC即可； （3）通过作辅助线，使得，由，可得，进而可证明，则有，即，解得，再证明，则，求解得，则，再由勾股定理，求得，由，可得即可求解． （1）证明：∵平分， ∴， 由题意可得四边形内接于， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等腰三角形． （2）解：如图，连接， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）解：如图，连接，在上取点，使得， ∵， ∵， ∴， ∴， 设，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∵， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得，（舍去）， ∴， ∵为直径，由（2）可知， ∴，， ∴， ∵， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $