有关圆的综合题高频考点预测练-2026年中考数学三轮复习备考

**基本信息** 聚焦中考圆综合高频考点，以"基础证明-中档计算-压轴探究"三级分层设计，构建从单一知识点应用到多模块综合推理的巩固路径，培养几何直观与逻辑推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础综合层（1-5题）|切线性质、直径圆周角、简单计算|2问结构，第1问切线/平行证明（如第1题证MN∥AC），第2问结合三角函数计算长度，强化基础推理| |中档提升层（6-10题）|垂径定理、相似三角形、动态几何|3-4问递进，融入图形变换（如第10题直线与圆位置关系），需构造辅助线（如第7题作垂线），提升综合应用能力| |压轴拓展层（11-15题）|圆与坐标系、多步推理、存在性问题|3问深度探究，涉及跨知识模块（如第11题结合平面直角坐标系），需分类讨论（如第14题点E位置），发展创新意识与批判性思维|

有关圆的综合题高频考点预测练 2026年中考数学三轮复习备考 1.如图，△ABC内接于⊙0，AB是⊙0的直径，且BC=2AC,CM平分∠ACB交 ⊙0于点M,过点M作⊙0的切线，交CA的延长线于点N. B A (1)求证：MN‖AB; (2)若AB=6,求CN的长。 2.已知：如图，⊙01与⊙02相交于点P、Q,且r⊙0，>⊙02，过点P的直线AB分别交 ⊙01、⊙02于点A、B,且AP=BP.点C是线段O10的中点.联结Q02并延长交BP于 点M,且PM=BM M B (I)求证：CP⊥AB; (②)求证：四边形CPO,Q是菱形. 3.如图，AB是半圆的直径，点O为圆心，C,D两点在半圆上，连接AC,BD,过点C作 半圆的切线交AB的延长线于点E. D (I)求证：∠BAC=∠BCE, (2)若BC=CD,BE=2,CE=4,求AB的长. 试卷第1页，共3页 4.如图，△ACB中，AC=BC,点O在AB边上，以点O为圆心，OA的长为半径的圆 与BC相切于点D,分别交AC和AB边于点E和F,连接AD,ED,FD,且AD平分 ∠CAB A E D B (I)求证：FD=DE: (2)求证：△ADF△ACD; (3)若CD=1,求线段BF的长 5.如图，BC是⊙O的直径，PB是⊙O的切线，切点为B,连接PO,过点C作AC‖PO 交⊙0于点A,连接PA: B (1)求证：AP是⊙O的切线： (2)若cos∠AP0=,⊙0的半径为6，求AC的长 6.如图已知：在⊙O中，直径AB⊥CD,垂足为E,连接OC,BD· 图1 图2 图3 (1)如图1，求证：2∠D+∠0CD=90°： (2)如图2，过点B作OC的垂线交⊙O于点G,交OC于点F,求证：CF=BE. (3)如图3，在(2)的条件下，连接CG,点J为⊙0上一点，连接BJ、A,延长C0交AJ 于点H,BE=20H,∠ABJ=3∠CDB,当FG=12W10时，求AH的长. 7.已知AB为⊙O的直径，AC=BC,D为⊙O上一点，连接AD、CD 试卷第1页，共3页 C C D E ⊙ B D 图1 图2 图3 (1)如图1，求∠D的度数； (②)如图2，过点B作BE⊥CD于E,求证：AD=V2CE (3)如图3，在(2)的条件下，AB交CD于点F,连接AB,若 ∠EAB+2∠ABE=90°，△AEF的面积为3，求CE的值， 8.己知△ABC内接于⊙O,AD⊥BC于点D. G F E G D B D 图1 图2 图3 (I)如图1，当AD经过圆心O时，求证：AB=AC: (2)如图2，当AD不经过圆心O时，过点B作BE⊥AC于点E,交AD于点F,交⊙O于点G ，连接CF、CG,求证：∠ABE=∠ACF; (3)如图3，在(2)的条件下，若FA=FB,BD:DC=5:2,AB=V70,求⊙0的半径 长 9.已知：四边形ABCD内接于⊙O,分别连接AC、BD,且∠BAD-∠CBD=60°； B B H E 图1 图2 图3 试卷第1页，共3页 (1)如图1，求∠BDC的度数； (2)如图2，在AC上取点E,使AE=AB,在CD上取点F,使DF=DB,连接EF,求证： EF-AD: (3)如图3，在(2)的条件下，在AC上取点H,连接FH,使∠FHC=∠BDC,若 EH=EA,△ABD的面积为9V3,DF=14,求⊙0半径. 10.如图，己知直线1与⊙0相离，0A垂直于直线1，垂足为点A,0A=5,0A与⊙0相 交于点P,AB与⊙O相切于点B,BP的延长线交直线1于点C (I)试判断线段AB与AC的数量关系，并说明理由； (2)若PC=5,求AB的长： (3)若在⊙O上存在唯一点Q,使△QAC是以AC为底边的等腰三角形，求⊙O的半径. (④)若在⊙0上存在点Q,使△QAC是以AC为底边的等腰三角形，求⊙O的半径r的取 值范围 11.如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的斜边AB在y轴上，边AC与x轴交于点D, AE平分∠BAC交边BC于点E,经过点A、D、E的圆的圆心F恰好在y轴上，⊙F与y轴相 交于另一点G y G (I)求证：BC是⊙F的切线： (2)若点A、D的坐标分别为A(0,-1),D(2,0),求⊙F的半径： (3)在(2)的条件下，求CE的长。 (4)试探究线段AG、AD、CD三者之间满足的等量关系，并证明你的结论. 试卷第1页，共3页 12.如图，已知△ABC内接于⊙O,AB=BC,过点A作AD⊥BC于点D,延长AD交 ⊙O于点E,在AD上截取DF=DE,连结CF. 备用图 (1)求证：∠ABC=2∠CAD 2)若tan∠CAD=专，求是的值. (3)在BC上取一点H,使得CH=CF,连结AH,若AB=10,△AHC的面积为10，求 AC和OH的长. 13.在△ABC中，AB=AC=5,sin∠ABC=寻，AD⊥BC于点D,P是边AC上（与点A, C不重合)的动点，连接PB交AD于点M,过C,P,M三点作⊙O交AD的延长线于点N, 连接CN,PN A M B D B D ○· 图1 图2 (I)求证：CN=PN; (2)如图2，连接BN,若BN与⊙O相切，求此时⊙O的半径： (3)在点P的运动过程中，设线段MN长为y,圆半径为r,求y关于r的函数解析式及其r 的取值范围. 14.综合探究 如1图、2图，已知AB=10,以AB为直径作半圆O,半径0A绕点O顺时针旋转得到0C ，点A的对应点为C,当点C与点B重合时停止.连接BC并延长至点D,使得CD=BC, 过点D作DE⊥AB于点E,连接AD,AC 试卷第1页，共3页 D B B O(E) 1图 2图 备用图 (I)如1图，当点E与点O重合时，求证：△ABD是等边三角形： (2)如2图，若点P是线段AD上一点，连接PC,当PC与半圆O相切时，求证：PC⊥AD (3)当0E=1时，求BC的长 15.△ABC内接于半径为R的⊙0，且∠B=45°. D D 0。 图1 图2 图3 ()如图1，求证：AC=V2R: (2)如图2，D在弧AC上，BD=AB,OE⊥BD交DC延长线于E,求证： ∠CBE=3∠OAB: (3)如图3，在(2)的条件下，延长AC交BE延长线于F,若BF=12,AF-DE=5,求 EF的长. 试卷第1页，共3页 《有关圆的综合题高频考点预测练-2026年中考数学三轮复习备考》参考答案 1.(1)见详解： (2)CN=3+25. 【分析】(1)已知切线，连半径，连接OM,即可得∠OMN=90°，再结合CM平分 ∠ACB,通过圆周角定理可得∠MOA=90°，进而通过同旁内角互补，两直线平行即可证 明； (2)根据题干条件BC=2AC,通过三角形内角和可得∠BAC为特殊角60°，通过分段分 别将AC和AN放入含60°角的直角三角形中通过锐角三角函数即可求解 【详解】(1)证明：如解图，连接0M, “AB是⊙O的直径， ,∠ACB=90°， CM平分∠ACB, .∠MCA=45°， .∠M0A=90°， :MN是⊙O的切线， ∠0MN=90°， ∠M0A+∠0MN=180°， :MNI AB; B M (2)解：如解图，过点A作AD⊥MN, ∴∠ADM=90°， 由(1)可知，∠M0A=∠0MN=90°， .四边形AOMD为矩形， 0A=OM, 矩形AOMD为正方形， ∠0AD=90·,AD=OA=AB=3 答案第1页，共2页 “BC=2AC, .∠BAC=2∠CBA, ∠BAC+∠CBA=90o, .∠BAC=60°， MN‖AB, .∠DNA=∠BAC=60°， AC=AB·Cos∠BAC=6X=3, AN=品a=是=25 CN=AC+AN=3+23 2.(1)见解析 (2)见解析 【分析】(1)作O1N⊥AP,垂足为N,根据垂径定理可得AN=PN=AP, ∠01NP=90°，∠0，MB=90°，从而得到01N‖O,M,可得到四边形01NM02是梯 形，即可求证： (2)联结PQ交0102于D,根据题意可得0102垂直平分PQ,从而得到DP=DQ, CP=CQ,再有CP10M,可得品=器，从而得到CD=02D,可得到四边形 CP0Q是平行四边形，即可求证. 【详解】(1)证明：作ON⊥AP,垂足为N. B :ON过圆心，ON⊥AP, AN=PN=AP,∠ONP=90°. PM=BM, :PM=BP. AP=BP, 答案第1页，共2页 ∴PN=PM,即点P是MN中点. :O2,M过圆心，PM=BM, .O2M⊥BP. ∠02MB=90°， .∠O1NP=∠0MB :.O NIO2M, :01N≠02M, 四边形ONMO2是梯形 :点C是线段OO的中点，点P是MN中点， :.CPOM, ∠CPB=∠02MB=90°， CP⊥AB. (2)证明：联结PQ交0102于D· N :⊙01与⊙02相交于点P、Q, .0102垂直平分PQ, ..DP=DQ,CP=CQ. :CPIlOM, :品=股， ..CD=0D DP=DQ, .四边形CP0Q是平行四边形， CP=CQ, 四边形CPOQ是菱形 3.(1)见解析： (2) 答案第1页，共2页 6. 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、切线的性质、垂径定理、勾股定理，正确做出辅助 线是解题的关键： (1)连接OC,根据切线的性质可得OC⊥CE,由AB是直径可以得到∠ADB=90°，进而 可得∠BAC=∠BCE: (2)以AB为直径，根据勾股定理可以求得半径，进而可得AB的长度 【详解】(1)解：证明：如图，连接0C. D E :CE为半圆的切线， :OC⊥CE, 即∠0CE=90°. :AB是半圆的直径， ∠ACB=90°， ÷∠ACO=∠BCE. :0A=0C, .∠AC0=∠BAC, ·∠BAC=∠BCE (2)解：设半圆的半径为r, 则0C=r,OE=r+2 在Rt△OCE中， 0C2+CB2=0B2, r2+42=(r+2)2, 解得r=3, :AB=2r=6. 4.(1)见详解 (2)见详解 (32-V2 【分析】(1)由角平分线得∠DAE=∠DAF,由相等的圆周角对应的弦也相等，即可得证： 答案第1页，共2页 (2)连接OD,由切线的性质得OD⊥BC,结合等腰三角形的性质得∠DAF=∠CAD, 再由直径所对的圆周角是直角等得∠ADF=∠ACD,即可得证： (3)设BD=x,则AC=BC=x十1，由相似三角形的性质得器=器=克，判定 △DBF∽△ABD,即可求解 【详解】(1)证明：：AD平分∠CAB, ·∠DAE=∠DAF, :DF=DE .FD=DE; (2)证明：连接0D, F E 0 B :BC是⊙O的切线， :OD⊥BC, 0A=OD, ·∠OAD=∠0DA, :∠DAE=∠DAF, 即：∠DAF=∠CAD ·∠ODA=∠DAE, :OD AC, :AC⊥BC, ·∠ACD=90°， :AF是⊙O的直径， :∠ADF=90°， ·∠ADF=∠ACD, ·△ADFM△ACD: (3)解：设BD=x,则AC=BC=x+1, AB =AC2+BC2 答案第1页，共2页 =2(x+1), :△ADFM△ACD, +器=器， 器=是=对， :OD⊥BC :∠BDF+∠ODF=90°， :∠ADF=90o, :∠ODF+∠ODA=90°， :∠0AD=∠0DA, ·∠OAD=∠BDF, :∠DBF=∠ABD, :△DBFM△ABD, 器=器=器， ==对， 2(+9 解得：x=V2, ABF=点=2-反 2+1 【点晴】本题考查了圆与三角形综合，圆的基本性质，切线的性质，等腰三角形的性质，勾 股定理，相似三角形的判定及性质等；掌握圆的基本性质，切线的性质，勾股定理，相似三 角形的判定及性质是解题的关键. 5.(1)见解析 ②AC=碧 【分析】(1)连接OA,证明0A⊥AP即可证明AP是⊙O的切线； (2)连接AB交0P于点D,设AP=4x0P=5x,根据勾股定理，得x=2,再利用三角 形的面积，勾股定理求解即可. 【详解】(1)证明：连接0A, 答案第1页，共2页 B :0A=0C, ·∠OAC=∠OCA, ACl PO, :∠P0B=∠OCA∠POA=∠OAC, ·∠POB=∠POA, OP=OP,OA=0B, .△POB≌△POA(SAS), .∠OAP=∠OBP, :PB是⊙O的切线， ÷∠0BP=90°， :∠0AP=90°， .OA⊥AP, 又因为OA是半径， :AP是⊙O的切线： (2)解：连接AB交OP于点D, :⊙0的半径为6， ÷0A=6BC=12, :△POB≌△POA, ·PA=PB, :0A=0B, ·OP垂直平分AB, D B :cos∠AP0=, 答案第1页，共2页 :设AP=4x,0P=5x, :0A2+PA2=0P2, 62+(4x)2=(5x)2, 解得x=2 ÷PA=8,0P=10, r克0PAD=AP,0A, ÷10AD=48, AD=号， AB=2AD=号， :BC是⊙O的直径， :∠BAC=90°， ÷AC=VBc2-AB2=曾 6.(1)见解析 (2)见解析 (330V2 【分析】(1)根据圆周角定理可得∠D=专∠BOC,即可求证： (2)证明△OBF兰△OCE(AAS),可得0F=OE,即可求证； (3)过点B作BWAH,交CH于点W,证明△AOH兰△BOW(AAS),可得 OW=OH,CF=BE=20H=20W,设∠G=,则∠CDB=a,∠C0B=2a, ∠ABJ=3∠CDB=3C,再证明∠WBF=∠OBF-∠OBW=《=∠G,可证明 △CGF≌△BWF(ASA),可得CF=FW=2OW,设OH=n, CF=BE=20H=2n,0F=30H=3n,0B=0C=50H=5n,根据 BF=FG=12V10,可得n=3√10，即可求解. 【详解】(1)证明：：AB⊥CD, ÷∠0EC=90°， .∠B0C+∠0CD=90°， BC=BC. 答案第1页，共2页 ∠D=克∠B0C, ·∠B0C=2∠D, .2∠D+∠0CD=90o. (2)证明：：BF⊥OC,AB⊥CD, ·∠0FB=∠0EC=90°， 又：∠B0F=∠C0E,OB=OC ÷△OBF≌△OCE(AAS), .OF=0E :0C=0B, ÷0C-0F=0B-0E, :CF=BE. (3)解：如图，过点B作BW‖AH,交CH于点W, B :∠BAJ=∠OBW∠AHO=∠BWO, 0A=0B, .△A0H≌△BOW(AAS), .0W=0H, .CF=BE=20H=20W, 设∠G=e,则∠CDB=,∠C0B=2a,∠ABJ=3∠CDB=3a, :AB为直径， .∠AJB=90°， :∠0BW=∠BAJ=90°-∠ABJ=90o-3, :∠0FB=90°， ∠0BF=90o-∠B0C=90o-2x, ∴∠WBF=∠OBF-∠OBW=a=∠G 答案第1页，共2页 OC⊥BG, FG=BF,∠CFG=∠BFW=90°， △CGF≌△BWF(ASA), .CF=FW=20W, .0F=30H, .0B=0C=50H, 设0H=n,CF=BE=20H=2n,0F=30H=3n,0B=0C=50H=5n, :BF=V0B2-0F2=4n, :BF=FG=12W10, 4n=12y10, n=310, FW=6V10, :.AH=BW=BF2+FW2=302 7.(1)135 (2)见解析 (3)2 【分析】本题主要考查圆的有关性质及圆与四边形综合，相似三角形的判定和性质，熟练掌 握圆的性质是解题的关键 (1)连接CA,BC,根据题意得到∠ABC=∠CAB=45·，再由圆内接四边形的性质可 得∠D的度数. (2)过点A作AN⊥CD于N,延长BE交⊙O于点G,连接CG,证明△ADN≌△GCE ,且为等腰直角三角形，即可得证： (3)连接BD,过点A作AN⊥CD于N,延长BE交⊙O于点G,连接AG,则由 BE⊥CD及∠ADC=45·可得∠BDE=∠EBD=45°，即有DE=BE:由BE⊥CD, AN⊥CD,得∠NAF=∠ABE,而 ∠EAB+∠AEF+∠NAF=∠EAB+∠AEF+∠ABE=90°， ∠EAB+2∠ABE=90°，则可得∠AEF=∠ABE;再证明四边形ANGE是矩形，则有 AG=NE,AGEF;设CE=X,NE=a,则由(2)知AN=DN=GE=x, 答案第1页，共2页 DE=BE=a十X,BG=a+2x;由EFAG得△BEF△BGA,从而有=骺， 则可求得EF;再由△EAN∽△BAG,由相似三角形的性质可求得a=2x;由△AEF面 积为3建立方程即可求得x的值，从而求得CE. 【详解】(1)解：连接CA,BC, C D 图1 AB为⊙O的直径，AC=BC, :∠ACB=90°，CA=CB, :∠ABC=∠CAB=45°， 又四边形ABCD为圆内接四边形， ÷∠ADC=180°-∠ABC=180°-45°=135°； (2)证明：过点A作AN⊥CD于N,延长BE交⊙O于点G,连接CG, G 图2 :AC=BC,AB为⊙O的直径， :∠ADC=∠BGC=45°， :△ADN,△GCE均为等腰直角三角形， ·AC=DG, ·AD=CC, :AD =CG, .△ADN≌△GCE, CG=2 CE, AD=V2CE: (3)解：如图，连接BD,过点A作AN⊥CD于N,延长BE交⊙O于点G,连接AG: 答案第1页，共2页 :AB是直径， ∴∠ADB=∠G=90°； 由(2)知∠ADC=45°， ∠BDE=45° BE⊥CD, ∠BDE=∠EBD=45°， DE=BE: :BE⊥CD,AN⊥CD, AN]BE, .∠NAF=∠ABE: ∠EAB十∠AEF+∠NAF=∠EAB+∠AEF+∠ABE=90°； ∠EAB+2∠ABE=90°， ·∠AEF=∠ABE :∠G=∠GED=∠ANE=90o, .四边形ANGE是矩形， :.AG=NE,AGEF; 设CE=x,NE=a,则AG=NE=a, 由(2)知AN=DN=GE=X,DE=BE=a+X,BG=BE+GE=a十2x; EFAG, .△BEFM△BGA, :器=器， “EF=BEA6=+3 BG +2x; :∠AEF=∠ABE,∠ANE=∠G=90·, .△EAN△BAG, 器=器， 即音=， 整理得：a2-ax-2x2=0, 解得：a=2x,a=-x（舍去) 答案第1页，共2页 当a=2x时，ER=会装=号： :△AEF面积为3， EF·AN=3, 即片×警·x=3, 解得：x=2或x=-2(舍去)， .CE=2. C G B 图3 【点晴】本题是圆的综合，考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，弧、 弦的关系，直径对的圆周角是直角，圆内接四边形的性质，相似三角形的判定与性质，矩形 的判定与性质等知识，有较强的综合性，构造适当的辅助线是解题的关键， 8.(1)见解析 (2)见解析 29 【分析】(1)根据垂径定理，即可证明结论； (2)连接AG,根据全等三角形的判定与性质，逐步证明△AEF兰△AEG, △ACF兰△ACG,得到∠ACF=∠ACG,，再根据圆周角定理得到∠ABE=∠ACG,即 可证得结论； (3)作直径BH,连结AH,设BD=5x,先证明△AEF兰△BDF,得到AE=BD,进 一步推理得到CD=CE=2x,可求得BE=3V5x,再证明△BAH∽△BEC,即可利 用相似三角形的性质列出方程，求得答案 【详解】(1)证明：当AD经过圆心O时， :OD⊥BC, ·AD平分BAC, 即AB=AC: 答案第1页，共2页 (2)证明：连接AG, :AD⊥BC, ·∠CAD+∠ACD=90·, :BE⊥AC, :∠CBE+∠ACD=90°， ·∠CAD=∠CBE, 又：∠CBE=∠CAG, ·∠CAD=∠ACG, '∠AEF=∠AEG,AE=AE ·△AEF≌△AEG(ASA), :AF=AG, 又：∠CAF=∠CAG,AC=AC, ·△ACF≌△ACG(SAS, ·∠ACF=∠ACG, '∠ABE=∠ACG, ·∠ABE=∠ACF; G 图2 (3)解：作直径BH,连结AH, 设BD=5x,则CD=2x,BC=7x :AD⊥BC,BE⊥AC, :∠AEF=∠BDF=90o, :∠AFE=∠BFD,AF=BF, ·△AEF≌△BDFAAS), ·AE=BD, AF=BF, 答案第1页，共2页 :∠FAB=∠FBA, 由(2)知∠CAD=∠CBE, ·∠CAB=∠CBA, ·AC=BC, CD CE=2x, BE=BC2-CE2=(7x)2(2x)2=35x. :BH是直径， ∠BAH=90°， ·∠BAH=∠BEC=90°， :∠H=∠BCE ·△BAH∽△BEC, …=器， =限， 35x 解得BH=4 3 :⊙0的半径长为号BH=4 D 图3 【点晴】本题考查了圆周角定理，全等三角形的判定与性质，垂径定理，相似三角形的判定 与性质等知识，灵活运用圆周角定理及相似三角形的判定与性质等知识是解题的关键 9.(1)60 (2)见解析 3)r=号V57 【分析】(1)根据圆周角定理即可得出结论： (2)连接BE,BF,证明△ABE是等边三角形，△BDF是等边三角形，从而证明 答案第1页，共2页 △BEF兰△BAD,即可由全等三角形的性质得出结论； (3)延长FH到K,使HK=HE,连接KE,KB,先证明△HEK是等边三角形，又根 据△ABE是等边三角形，从而证明△BKE是等边三角形，继而可证明 △BFK兰△BDE,得到∠BKF=∠BED=120°，从而可证得K,E,D三点共线，过 D作DQ⊥BA于Q,ER⊥AB于R,则四边形DERQ是矩形，得到DQ=ER,设AB=2x ,则ER=DQ=V5x,根据SADAB=言×2xV5x=5x2=93,解之求得x1=3, x2=-3(舍)，从而求得AB=6,DQ=ER=3V3,BQ=13,则AQ=7 AD=VDQ+AQ=219,作直径BM,连DM,则∠M=∠DCB=∠DAQ, sin∠M=sin∠DAQ,即器=器，代入即可求解。 【详解】(1)证明：CD=CD, ∠CBD=∠CAD, :∠BAD-∠CBD=60°， ∴∠BAC=60°， BC=BC ∠BDC=∠BAC=60° (2)证明：连接BE,BF B D 图2 :AB=AE,∠BAC=60°， ·.△ABE是等边三角形 .BA=BE,∠ABE=60 同理：△BDF是等边三角形 答案第1页，共2页 ∴BF=BD,∠FBD=60 .∠ABD=∠FBD, ∴∠FBD-∠EBD=∠EBA-∠EBD .∠FBE=∠DBA, :△BEF≌△BAD, :EF=AD (3)解：延长FH到K,使HK=HE,连接KE,KB 及 R K M 图3 :∠FHC=∠BDC=60°， ∴∠KHE=∠FHC=60o :△HEK是等边三角形， 又：△ABE是等边三角形 .∠KEH=∠BEA=60°， ∠KEB=60°，EK=EH,EB=EA 又：EH=EA, :EK=EB, ·△BKE是等边三角形 .∠KEB=∠EBA=60o, .EK LAB 又：△BFD是等边三角形， BD=BF=DF=14,∠DBF=∠EBK=60° ∠DBE=∠FBK 答案第1页，共2页 .△BFK≌△BDE .∠BKF=∠BED=120o, ∠KEB+∠BED=180o K,E,D三点共线， :ED|BA 过D作DQ⊥BA延长线于Q,ER⊥AB于R,则四边形DERQ是矩形， :DQ=ER, 设AB=2x,则ER=DQ=V3x, SADAB=支×2xV5x=V5x2=9V5, 81=3,82=-3(舍)， ..AB=6 :DQ=ER=33, BQ=V142-(35)=13 .AQ=7 AD=VDQ2+AQ2=2V19. 作直径BM,连DM, :.∠M=∠DCB=∠DAq .sin∠M=sin∠DAQ, 器=器 :等-3 2W19 r=进57 【点睛】本题属圆的综合题目，主要考查了圆周角定理及其推论，圆内接四边形的性质，等 边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解直角三角形等知识，正确作出辅助线 是解题的关键。 10.(1)AB=AC,理由见详解 29 答案第1页，共2页 (3V5 (④V5≤r<5 【分析】(1)连接0B,根据切线的性质和垂直得出∠0BA=∠OAC=90°，推出 ∠OBP十∠ABP=90°，∠ACP+∠CPA=90°，求出∠ACP=∠ABC,根据等腰三角 形的判定推出即可； (2)延长AP交⊙O于D,连接BD,设圆半径为r,则设圆半径为r,则OP=OB=r, PA=5-r,根据勾股定理结合AB=AC推出52-r2=52-(5-r)2,求出”，即可得 出AB的值， (3)作线段AC的垂直平分线MN,作OE⊥MN,可得出 0E=AC=AB=V52-r2由再由圆0与直线MN有唯一交点，即0E=V52-r2, 即可求出. (4)根据已知得出Q在AC的垂直平分线上，作线段AC的垂直平分线MN,作OE⊥MN ,求出OE<r,求出r范围，再根据相离得出r<5,即可得出答案。 【详解】(1)解：AB=AC,理由如下： 连接OB。 C :AB切⊙O于B,OA⊥AC, ∠0BA=∠0AC=90°， ∠0BP+∠ABP=90°，∠ACP+∠APC=90°， OP=0B, ∠OBP=∠OPB, :∠OPB=∠APC, .∠ACP=∠ABC, .:AB=AC: (2)延长AP交⊙O于D,连接BD, 答案第1页，共2页 C A 设圆半径为r,则OP=OB=r,PA=5-r, 则AB2=0A2-0B2=52-r2, AC2=PC2-PA2=52-(5-r)2, AB=AC 52-r2=52-(5-r)2, 解得：r=2.5, A8=Ac=9, (3)作线段AC的垂直平分线MN,作OE⊥MN, NIE C M A 则可以推出0E=支AC=专AB=V52-r2 由：圆O与直线MN有唯一交点， 0E=52-r2, 解得：r=5, 即圆0的半径为V5 (4)作出线段AC的垂直平分线MN,作OE⊥MN, CM A 则可以推出0E=专AC=AB=52-r2 答案第1页，共2页 又：圆O与直线MN有交点， 0E=52-r2≤r, V25-r2≤2r, 25-r2≤4r2, r2≥5， r≥5， 又：圆0与直线相离， .r<5, 即V5≤r<5. 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和判定，切线的性质，勾股定理，直线与圆的位置关 系等知识点的应用，主要培养学生运用性质进行推理和计算的能力.本题综合性比较强，有 一定的难度。 11.(1)证明见解析 (2)⊙F的半径为2.5 (3)CE=5 (4)2CD+AD=AG 【分析】本题考查圆与几何的综合，解题的关键是掌握圆的基本性质，切线的判定，勾股定 理的运用，三线合一，矩形的判定和性质，即可. (1)连接EF,根据角平分线的性质，则∠FAE=∠EAC,根据等边对等角，等量代换， 则∠EAC=∠FEA,根据平行线的性质，直角三角形的性质，则∠BEF=∠BCA=90°， 即可； (2)连接FD,根据题意，则0A=1,0D=2,设⊙F的半径为r,得到0F=r-1, FD=r,根据勾股定理，则0F2+OD2=FD2,求出r,即可； (3)过点F作FH上AD交AD于点H,根据矩形的判定和性质，则四边形FECH是矩形， FH=CE,根据等腰三角形三线合一，勾股定理求出FH,即可； (4)由(3)得，四边形FECH是矩形，AH=DH=AD,CH=EF,根据圆的性质， 则AG为⊙F的直径，EF=AG,等量代换，则CH=AG,根据 答案第1页，共2页 AD+CD=AC=AH+CH=号AD+AG,即可. 【详解】(1)证明如下： 连接EF, :△ABC是直角三角形，AB为斜边， ∠ACB=90°， :AE平分∠BAC交边BC于点E, .∠FAE=∠EAC, EF=FA ∴∠FAE=∠FEA, ∠EAC=∠FEA, .FE AC, ∠BEF=∠BCA=90°， 即BC是⊙F的切线. yA B G (2)解：连接FD, :点A、D的坐标分别为A(0,-1),D(2,0), 0A=1,0D=2 设⊙F的半径为r, :.OF=r-1,FD=r, .0F2+0D2=FD2, .(r-1)2+22=r2, 解得：r=2.5, ⊙F的半径为2.5. 答案第1页，共2页 B G E D (3)解：过点F作FH⊥AD交AD于点H, .∠FHD=90o, ∠BCA=∠FEC=90°， :四边形FECH是矩形， :FH=CE, 0A=1,0D=2, .AD=V0A+0D2=5, :FA=FD,FH⊥AD, AH=DH=AD- ·FA2=FH2+AH2, ()2=FH2+()月， 解得：FH=V5, CE=5. (4)2CD+AD=AG,证明如下： 由(3)得，四边形FECH是矩形，AH=DH=专AD, :CH=EF, :AG为⊙F的直径， :EF=吉AG, :.CH=AG, AD+CD=AC=AH+CH=AD+AG, :2CD+AD=AG. 答案第1页，共2页 B G 12.(1)证明过程见详解 2装-5 3)AC=2W10,0H=9 【分析】(I)设∠CAD=《,根据直角三角形两锐角互余可得∠ACD=90·一《，根据等 腰三角形的性质可得∠BAC=∠BCA=90一《，再根据三角形内角和定理可得 ∠ABC=2,由此即可求解； (2)根据题意可得BC垂直平分EF,由AC=AC,可得∠ABC=∠AEC, ∠FAC=∠FCA=《,所以可得点B,F在线段AC的垂值平分线上，如图所示，连接BF并 延长交于AC于点G,可得tan∠CAD=tan∠ABG=器=，在Rt△ABG中，设 AG=CG=x(x>0),则AC=2AG=2x,BG=2x,根据勾股定理可求出AB=V5x ,由此即可求解； (3)由(2)可得，AF=CF=CE=CH,如图所示，过点H作HK⊥AC于点K,可证 △AFG兰△HCK(AAS),得到HK=AG=CG,根据S△4Hc=10,AB=10,可求 出AG=V√10，则AC=2W10,在Rt△ABG中，根据勾股定理可得BG=3V10,设 CD=y,则BD=10-y,由勾股定可得AB2-BD2=AC2-CD2,可求出CD=2, 在Rt△ABD中，AD=6,所以有tan∠ABC=器=，可求出DE=号，在Rt△CDE 中，运用勾股定理可得CE=罗，由此求出CH=CE=罗，如图所示，连接OH,可得 BM=5,MH=号，再根据三角形相似的判定可得△BOM∽△BCG,求出OM=胃， 在Rt△OMH中，根据勾股定理可得OH=华，由此即可求解 【详解】(1)证明：设∠CAD=《, :AD⊥BC, 答案第1页，共2页 ∠ACD=90°-X, AB=BC, ∠BAC=∠BCA=90-, ∠ABC=180°-∠BAC-∠BCA=180°-(90°-a)-(90°-)=2， .∠ABC=2∠CAD: (2)解：如图所示，连接CE, B :AD⊥BC,DE=DF, .BC垂直平分EF, ∴CE=CF,∠CFE=∠CEF, “AC=AC, ·∠ABC=∠AEC, .∠CFE=∠CEF=∠ABC=2, :∠CAD=a,∠CFE=∠CAD+∠ACF, ∠FAC=∠FCA=, FA=FC,且BA=BC, 点B,F在线段AC的垂直平分线上， 如图所示，连接BF并延长交于AC于点G, ·BG⊥AC,AG=CG,∠ABG=∠CBG=∠ABC=a=∠CAD, tan∠CAD=tan∠ABG=器=， 在Rt△ABG中，设AG=CG=x(x>0),，则AC=2AG=2x,BG=2x, AB=AG2+BG2=x2+(2x)2=5x. 架==与： (3)解：由(2)可得，AF=CF=CE=CH, 如图所示，过点H作HK⊥AC于点K， 答案第1页，共2页 B MHD :BG HK, ∠AGF=∠HKC=90°， .∠GBC=∠KHC=∠CAD, △AFG≌△HCK(AAS), .HK=AG=CG, :S△4Hc=10,AB=10, :ACHK=×2AGAG=10, :.AG=V10. AC=2V10, 在Rt△ABG中，AB=10,AG=V10, :BG=AB2-AG=V102-(V10)=3V10, 设CD=y,则BD=10-y, 在Rt△ABD中，AD2=AB2-BD2, 在Rt△ACD中，AD2=AC2-CD2, AB2-BD2=Ac2-CD2,即102-(10-y)2=(210)2-y2, 解得，y=2,即CD=2, BD=10-2=8, 在Rt△ABD中，AD=VAB2-BD2=V102-82=6, :tan∠ABC=0=, “AC=AC, ∠E=∠ABC, 答案第1页，共2页 tan∠E=是=， :DE=号CD=青×2=号， 在Rt△CDE中，CB=CD+DE=22+(号)=9， :CH=CE=, 如图所示，连接OH,过点O作OM⊥BC于点M, BM=支BC=AB=支×10=5， :MH=MC-CH=5-9=号，∠0BM=∠CBG,∠BM0=∠BGC=90°， .△BOMM△BCG, OM 器=器，即指=3， 解得，OM=, 在Rt△OMH中，OH=VOM2+NF-V(得)+（得）=号 【点晴】本题主要考查圆与几何图形的综合，掌握圆的基础知识，全等三角形的判定和性质， 相似三角形的判定和性质，垂径定理，勾股定理，同弧所对圆周角相等，等腰三角形的判定 和性质等知识的综合运用，构造辅助线，图形结合思想是解题的关键， 13.(1)见解析 2r=器 3y=是r(0<r<6) 【分析】(1)连接MC,根据圆内接四边形性质和同弧所对圆周角相等推出 ∠BMN=∠PCN,再结合等腰三角形的性质推出∠PCN=∠CPN,即可求证CN=PN; (2)连接NO并延长交AC于点H,连接OC,OP,根据OC=OP,CN=PN推出 NH⊥CP,从而得到AC‖BN,证明△ADC兰△NDB,得到ND=AD=3,再利用 同一个三角形面积不变性求解出NH=号，在Rt△CNH中，利用勾股定理求出CH=专， 在Rt△COH中，利用勾股定理即可求出半径； (3)连接OM,ON,MC,作OQ⊥MN,根据条件推出∠MCN=∠CAD,利用垂径定 理和圆周角定理推出∠MOQ=∠MCN=∠CAD,再利用三角函数即可求得线段MN和半 径r之间的数量关系. 答案第1页，共2页 【详解】(1)证明：如图1，连接MC, B D W 答图1 CN=CN .∠CMN=∠CPN :圆内接四边形CPMN ∠PCN+∠PMN=180o 又：∠BMN+∠PMN=180° .∠BMN=∠PCN 又：AB=AC,AD⊥BC :BD=CD :BM=CM .∠BMN=∠CMN ∴∠PCN=∠CPN CN=PN (2)如图2，连接NO并延长交AC于点H,连接OC,OP. M W 答图2 :AD⊥BC,AB=AC=5,sin∠ABC=月 AD=3,BD=CD=4,∠ADC=∠NDB=180·-∠ADB=90° OC=OP,CN=PN 答案第1页，共2页 :ON为CP的垂直平分线，即NH⊥CP 又：BN与⊙O相切，即NH⊥BN :ACII BN ∠CAD=∠BND 又：BD=CD,∠ADC=∠NDB :△ADC≌△ND B(AAS :ND=AD=3 .AD L BC AN=2AD=6,CD=4 S△Acw=AN.CD=支×6×4=12 又：S△4aw=AC·NH=克×5×NH=12 NH=号 在Rt△CNH中，CH=VGN2-NH=V52-(号)7={ 在Rt△C0H中，CH2+0H2=0C2, 即：()+（兽-r）2=r2,解得r=器 当BN与⊙0相切时，⊙0的半径r为装 (3)如答图3，连接0M,ON,MC,作OQ⊥MN, A M D W 答图3 PM-PM ∠PCM=∠PNM :∠PCN=∠PCM+∠MCN,∠CPN=∠PNM+∠CAD,∠CPN=∠PCN .∠MCN=∠CAD OQ⊥MN 答案第1页，共2页 .MQ=号MN,∠M0Q=号∠MON, 又：∠MCN=克∠MON ∠MOQ=∠MCN=∠CAD 又：∠MQ0=∠ADC=90° :器=sin∠N0Q=sin∠CAD=是= :9-, 即y=r(0<r<6)· 【点晴】本题考查了圆的综合题型，涉及到了等腰三角形的性质、垂直平分线的判定、圆周 角定理、平行线的性质与判定、全等三角形的性质与判定、同一个三角形的面积不变性、三 角函数等知识点，解题的关键是能够正确作出辅助线，熟练运用各知识点. 14.(1)详见解析 (2)详见解析 (3)BC的长为V30或2V5 【分析】(1)证明AD=AB=10,再证明AD=BD,得到AD=AB=DB,即可得到结 论； (2)先证明OC是△ABD的中位线，得到OC‖AD,由PC与半圆O相切，得到 PC⊥OC,即可得到结论； (3)分点E在AO上和点E在B0上两种情况，利用勾股定理分别进行求解即可. 【详解】(1)证明：：AB是半圆O的直径， .AC⊥BC 又：BC=CD, ·AC垂直平分BD, :AD =AB=10. :点E与点O重合， :AE=BE :DE⊥AB, AD=BD AD=AB=DB· 答案第1页，共2页 :△ABD是等边三角形： (2)证明：：点C是BD的中点，点O是AB的中点， :OC是△ABD的中位线， .OC‖AD 又：PC与半圆O相切， .PC⊥OC ·PC⊥AD (3)解：：AB=10, ÷A0=B0=5 ①如图，当点E在A0上时，AE=A0-OE=4,BE=B0十OE=6. E.O :AD=10,DE⊥A0,， :在Rt△ADE和Rt△BDE中，由勾股定理得DE2=AD2-AE2=BD2-BE2, 即102-42=BD2-62, 解得BD=2√30. BC=BD=30 ②如图，当点E在B0上时，同理可得102-62=BD2-42, 解得BD=4V5. BC=2V5. 综上所述，BC的长为V30或2V5, 【点晴】此题考查了切线的性质、三角形中位线定理、等腰三角形的判定和性质、勾股定理、 答案第1页，共2页 圆周角定理等知识，分类讨论是解题的关键， 15.(1)见解析 (2)见解析 33 【分析】(1)连接AO、C0,根据圆周角定理，得出∠A0C=2∠B=90o, A0=C0=R,利用勾股定理证明AC=V√2R即可； (2)连接B0、C0、D0,由(1)得∠A0C=90°，A0=C0=R,根据等边对等角， 三角形内角和定理，求出∠CA0=∠AC0=45°，利用SSS证明△DB0兰△AB0,得 出∠DBO=∠ABO,推出∠DBO=∠ABO=∠OAB,设∠DBO=∠ABO=∠OAB= ，根据同弧所对的圆周角相等，得出∠EDB=∠CAB=45·+Q《,根据垂径定理，得出 OE垂直平分BD,根据垂直平分线的性质，得出BE=DE,推出∠CBE=3,即可证明 ∠CBE=3∠OAB; (3)在(2)的条件和证明过程下，在CF上取点G,使得∠CBG=《,过点F作FH⊥BF 交BG延长线于点H,过点F作FI⊥BH于点I,推出 ∠ABG=∠ABC+∠CBG=45·+a=∠CAB,根据等角对等边，得出AG=BG,利用 ASA证明△BDE兰△BAG,推出BE=DE=AG=BG,结合AF-DE=5,推出 FH=FG=5,根据等腰三角形三线合一的性质，得出GI=HI,根据勾股定理计算 BH=VFH2+BF,根据Cos∠FHB=品=器=是，计算 GI=HI=FH·Cos∠PHB,求出GH,根据 EF=BF-BE=BF-BG=BF一(BH-GH),计算得出答案即可. 【详解】(1)证明：如图，连接A0、C0, :△ABC内接于半径为R的⊙0，且∠B=45°， .∠A0C=2∠B=2X45°=90°， :A0=C0=R, 答案第1页，共2页 AC=A02+C02=R2+R2=2R7=2R: (2)证明：如图，连接B0、C0、DO, E B 由(1)得：∠A0C=90°，A0=C0=R, :∠CA0=∠AC0=18090=450, 在△DBO和△ABO中， (DO=AO BO=BO BD-AB △DBO≌△ABO(SSS), ∴∠DBO=∠ABO, B0=A0, .∠AB0=∠0AB, ∠DB0=∠AB0=∠OAB, 设∠DB0=∠AB0=∠0AB=, .∠EDB=∠CAB=∠CAO+∠OAB=45o+, ∠DBC=∠ABC-∠DB0-∠AB0=45°-a-x=45°-2a, :OE⊥BD交DC延长线于E, OE垂直平分BD, :BE=DE ∠EBD=∠EDB=45°十， .∠CBE=∠EBD-∠DBC=45。+u-(45°-2&)=45°+x-45°+2C=3a, .∠CBE=3∠OAB: (3)解：如图，在(2)的条件和证明过程下，在CF上取点G,使得∠CBG=《,过点F作 FH⊥BF交BG延长线于点H,过点F作FI⊥BH于点I, 答案第1页，共2页 D E B ∴∠ABG=∠ABC+∠CBG=45o+=∠CAB,∠HFB=∠FIH=90o, ∴AG=BG, ∠FGH=∠AGB=180°-∠CAB-∠ABG=180°-(45°+a)-(450+a)=90°-2a 由(2)得BE=DE,∠EBD=∠EDB=45°+a,∠CBE=3x, .∠EBD=∠GBA,∠EDB=∠GAB,∠FBH=∠CBE-∠CBG=3a-=2, ∠ABF=∠ABC+∠CBE=45°+3a, 在△BDE和△BAG中， I∠EBD=∠GBA BD=AB LEDB=∠GAB' △BDE≌△BAG(ASA), :BE=BG, ∴BE=DE=AG=BG, 又：AF-DE=5， :AF-DE=AF-AG=FG=5, ∠FBH=2, ∠FHG=∠FGH=90°-2， :FH=FG=5, G1=H1,BH=VFH2+BF2=52+122=13, :cos∠PHB=册=器=品， GI=HI=FH.cos∠PHB=5×最=， :GH=G1+HI=+=9, :.EF=BF-BE=BF-BG=BF-(BH-GH)=12-(13-)= 【点晴】本题是圆的综合题，主要考查了圆周角定理、同弧所对的圆周角相等、垂径定理、 答案第1页，共2页 垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形三线合一的性质、勾股定理、解 直角三角形等知识，熟练掌握知识点、作辅助线推理证明、数形结合是解题的关键 答案第1页，共2页