5月下旬之解直角三角形—浙江省2026年中考数学模拟精选新题速递

**基本信息** 聚焦解直角三角形，以实际应用与几何综合为载体，系统提炼三角函数定义应用、辅助线构造等方法，形成“定义-模型-综合”的知识逻辑链。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |实际应用|选择1、填空3-5|构造直角三角形，用三角函数定义求边长|从实际问题抽象数学模型，体现数学眼光| |几何综合|选择2、填空6、解答10-12|结合旋转、等腰三角形等性质综合运用三角函数|图形性质与三角函数结合，培养数学思维| |计算|解答7-8|特殊角三角函数值运算及分式化简求值|数学语言精确表达，强化运算能力|

5月下旬之解直角三角形—浙江省数学2026年中考模拟精选新题速递 一、选择题 1．某校在教学楼顶安装可调节角度的光伏板，用于绿色发电.如图，长为2米的光伏板AB斜靠在竖直于地面的支架 BC上，倾斜角为α.为提高发电效率，将底端A 沿CA方向移动到点 A'，顶端 B向下滑动到点 B'，此时倾斜角为β，则顶端下降的垂直高度BB'为（　　) A．（2sinβ-2sinα)米 B．（2sinα-2sinβ)米 C．（2cosβ-2cosα)米 D．（2cosα-2cosβ)米 2．如图，在△ABC中，CA=CB，，∠ABC=α，将△ABC绕点B逆时针旋转2α，得到△A'BC'，连结CC'，当C，C'、A'三点共线时，则的长为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 3．如图，热气球探测器显示，从热气球A处测得一栋楼顶部C处的仰角是，测得这栋楼的底部B处的俯角是，热气球与这栋楼的水平距离是36米；那么这栋楼的高度是　 　米（精确到0.01米）．（参考数据：，，，） 4．如图，一卫星运行到地球表面 P 点的正上方A 点时，可观测到地球表面一个最远的点 Q.已知地球半径约为6400km，在Rt△AOQ中，测得 sinα=0.8，则卫星到地面高度AP 约为　 　km. 5．如图①，是我国传统中式建筑中较为常见的支摘窗，具有古朴的外观和实用的功能，窗户的上窗扇可绕窗顶的转轴向上推开，形成一个倾斜的角度，当关闭窗户时窗扇的边与窗户重合，AB=BC=50cm.如图②，当窗户推开角度∠B=α（sinα=0.8），则支撑窗扇的杆子AC长为　 　cm. 6．如图，钝角三角形ABC绕点A 逆时针旋转得到△AB'C'，点 C'在直线BC上， 已知 则AC的长为　 　. 三、解答题 7．先化简，再求值：，其中x＝tan60°． 8．计算：． 9．图①、图②、图③都是的网格，每个小正方形的顶点称为格点．顶点均在格点上，在图①、图②、图③给定网格中，仅用无刻度的直尺按要求作图，并保留作图痕迹． （1）在图①中画出的边上的中线． （2）在图②中的边上确定一点，使． （3）在图③中的边上确定一点，使． 10．如图，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，点E，点F分别是AC、BC的中点，连结EF、BE，过点A作AD∥BE交FE的延长线于点D. （1）求证：四边形ABED为平行四边形. （2）若，求线段AD的长. 11． 如图，在矩形ABCD中，点E在边 BC上，以E为圆心，BE长为半径画弧交边 CD于点F，连结BF交线段AE于点 P，恰有AB=AP，连结EF. （1）判断AE与EF的位置关系，并说明理由. （2）若 求PE的长. 12． （1）如图1，在△ABC中，∠ACB=2∠B，CD平分∠ACB，交AB于点D，DE∥AC，交BC于点E. ①若求BC的长； ②试探究是否为定值.如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由. （2）如图2，∠CBG和∠BCF是△ABC的2个外角，∠BCF=2∠CBG，CD平分∠BCF，交AB的延长线于点D，DE∥AC，交CB的延长线于点E.记△ACD的面积为S1，△CDE的面积为S2，△BDE的面积为求cos∠CBD的值. 答案解析部分 1．【答案】B 【解析】【解答】解：由题意得：AB=A'B'=2米， 在 中， (米)， 在 中， (米)， 米， ∴顶端下降的垂直高度BB'为 米， 故答案为：B. 【分析】根据题意可得：AB=A'B'=2米，然后分别在 C和 中，利用锐角三角函数的定义求出BC和B'C的长，从而进行计算即可解答. 2．【答案】B 【解析】【解答】解：∵在△ABC中，CA=CB， ∴∠BAC=∠ABC=α， ∴∠ACB=180°-2α． ∵将△ABC绕点B逆时针旋转2α得到△A'BC'， ∴BC=BC'，，∠A'C'B=∠ACB=180°-2α，旋转角∠CBC'=2α． ∵BC=BC'， ∴△BCC'为等腰三角形，底角． ∵C，C'，A'三点共线， ∴∠BC'C+∠A'C'B=180°，即(90°-α)+(180°-2α)=180°，解得α=30°， ∴旋转角∠CBC'=2α=60°． 设CD交AB于D， ∵CA=CB， ∴D为AB中点，． 在Rt△BCD中，，即，解得BC=4， ∴的半径r=BC=4，圆心角n=60°，根据弧长公式，得． 故答案为：B. 【分析】先利用等腰三角形性质，得到∠ACB=180°-2α；再根据旋转的性质和等腰三角形底角公式求出∠BC'C=90°-α；接着利用C，C'，A'三点共线的条件，建立方程(90°-α)+(180°-2α)=180°，解得α=30°，从而得到圆心角∠CBC'=60°；然后在Rt△BCD中，利用，解得半径BC=4；最后代入弧长公式，计算得弧长为 ． 3．【答案】89.28 【解析】【解答】解：作，由题意，米， 在中，米， 在中，米， ∴； 故这栋楼的高度是89.28米； 故答案为：89.28． 【分析】过点A作AD⊥BC，在Rt△ADC中，由正切函数的定义及∠CAD的正切函数值可求出CD，在Rt△ADB中， 由正切函数的定义及∠BAD的正切函数值可求出BD的长，最后根据BC=BD+CD可得答案. 4．【答案】1600 【解析】【解答】解：在 中， ∴卫星到地面高度AP约为1600km， 故答案为： 1600. 【分析】在 中，利用锐角三角函数的定义求出OA的长，然后进行计算即可解答. 5．【答案】20 【解析】【解答】解：如图，过A点作AD⊥BC于点D， ∵在Rt△ABD中， ∠ADB=90°， ∠B =α(sinα=0.8)， AB=50cm， ∴AD=AB·sinα=50×0.8=40(cm)， ， ∵BC=50cm， ∴CD=BC-BD=20(cm)， m)， 故答案为： 【分析】根据题意，作AD⊥BC，在Rt△ABD中求出AD，利用勾股定理求BD，则得到CD长，利用勾股定理即可求出AC长. 6．【答案】 【解析】【解答】解：延长交于点H， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ 在中，， ∴ 设，则， ∵，， ∴，， ∵绕点旋转得到， ∴，，， 又∵， ∴， ∴， ∴ 设， ∵， ∴，即， ∴， ∴ 在中，由勾股定理得， ∴， ∴ 代入得， ∴整理，得， ∴ 解得或， ∴ 当时，，不合题意，舍去， ∴， ∴，， ∴ 在中，． 故答案为： . 【分析】延长交于点H，根据正切的定义设，，则，然后根据两角对应相等得到，根据对应边成比例求出y与x的关系式，在中根据勾股定理求出x的值，然后在中根据勾股定理解答即可. 7．【答案】解：原式•， ， 当x＝tan60°时， 原式（）（2）＝﹣5﹣3． 【解析】【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先通分计算，然后运用分式的除法法则进一步化简，最后计算特殊角的三角函数值，代入即可. 8．【答案】解： ． 【解析】【分析】先分别计算零指数幂，负整数指数幂，化简二次根式和特殊角的三角函数值，然后再进行加减运算即可. 9．【答案】（1）解：如图①，即为所求． （2）解：如图②，取格点，使，且，连接交于点， 则点即为所求． （3）如图③，取格点，，使，且，连接交于点， 则， 则， 即， 则点即为所求． 【解析】【分析】（1）三角形的中线是连接顶点和对边中点的线段； （2）取格点，使，且，连接，与的交点即为点． （3）取格点，，使，且，连接交于点，则点即为所求． （1）解：如图①，即为所求． （2）解：如图②，取格点，使，且，连接交于点， 则点即为所求． （3）如图③，取格点，，使，且，连接交于点， 则， 则， 即， 则点即为所求． 10．【答案】（1）证明：∵点E，点F分别是AC、BC的中点， ∴EF是△ABC的中位线， ∴EF∥AB， ∴DE∥AB， ∵AD∥BE， ∴四边形ABED为平行四边形 （2）解：∵EF是△ABC的中位线，且EF=1， ∴AB=2EF=2． 在Rt△ABC中，，代入AB=2，得，解得AC=6． ∵E是AC中点， ∴． 在Rt△ABE中，由勾股定理，得. ∵四边形ABED是平行四边形， ∴ 【解析】【分析】（1）先利用三角形中位线定理证明EF∥AB，从而得到DE∥AB，再结合已知的AD∥BE，根据平行四边形的判定定理即可证明； （2）先由中位线性质求出AB=2，再根据 若 求出AC=6，进而得到AE=3，在Rt△ABE中用勾股定理算出，最后利用平行四边形对边相等的性质，得出． 11．【答案】（1）解：AE⊥EF. 理由如下： 因为AB=AP， 所以∠ABP=∠APB=∠EPF， 因为BE=EF， 所以∠EBF=∠BFE. 又因为∠ABP+∠EBF=90°， 所以∠EPF+∠BFE=90°. 因为∠AEF=180°-∠EPF-∠BFE=180°-90°=90°. 所以AE⊥EF. （2）解：因为 AE⊥EF， tan∠BFE= 所以 设PE=x，则BE=EF=3x， 在 Rt△ABE中，由 得 解得 (舍去)， 所以PE=x=1. 【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质及对顶角相等可得，，即可得到，根据三角形内角和定理求出，证明结论即可； （2）根据正切的定义得到，设，则，在中根据勾股定理求出x的值解答即可． 12．【答案】（1）解：①∵CD平分， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ②∵， ∴． 由①可得， ∴． ∴． ∴是定值，定值为1 （2）解：过点D作DH⊥EC于点H，DM⊥AF于点M， ∵DC平分∠BCF， ∴HD=DM， ∴， ∵CD平分， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴ ∵， ∴． ∵ ∴， 又∵， ∴， 设，则． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴（取正值） 如图，过点D作于H． ∵， ∴． ∴ 【解析】【分析】（1）①根据角平分线的定义和平行线的性质得到，进而根据两角对应相等得到，再根据对应边成比例解答即可； ②根据平行线可得，由①可得，然后求差解答即可； （2）过点D作DH⊥EC于点H，DM⊥AF于点M，利用角平分线的性质可证得HD=DM，利用三角形的面积公式可证得，再证明，利用平行线的性质可推出，利用等边对等角可证得CE=DE，据此可得到；利用平行可证得△BDE∽△BAC，利用相似三角形的性质及三角形的面积公式可推出，将两个式子相乘，可推出，结合已知条件可得到BC与CE的比值，设，则；利用平行可证得，利用相似三角形的性质可表示出CD的长，过点D作于H，利用等腰三角形三线合一的性质可表示出BH的长，然后利用余弦的定义可求出cos∠CBD的值. 学科网（北京）股份有限公司 $